2018年高中理科数学优化设计第一轮复习8.5
2018年高中数学优化设计第一轮复习考点规范练63课后习题Word版
考点规范练63二项分布与正态分布基础巩固1.(2016湖北武昌区调考)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B,系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为,则p=()A. B. C. D.2.已知随机变量X服从正态分布N(2,32),且P(X≤1)=0.30,则P(2<X<3)等于()A.0.20B.0.50C.0.70D.0.803.在投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.3124.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被击中,则它被甲击中的概率为() A.0.45 B.0.6C.0.65D.0.755.(2016河北衡水模拟)甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏,其中任何一人射击一次击中目标得2分,未击中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为和p,且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为.假设甲、乙两人射击互不影响,则p值为()A. B. C. D.6.一袋中有5个白球,3个红球,这些球除颜色外完全相同.现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了X次球,则P(X=12)等于()A. B.C. D.7.甲射击命中目标的概率是,乙射击命中目标的概率是,丙射击命中目标的概率是.现在三人同时射击目标,则目标被击中的概率为()A. B. C. D.8.(2016湖南永州二模)大学生甲、乙两人独立地参加论文答辩,他们的导师根据他们的论文质量估计他们都能过关的概率为,甲过而乙没过的概率为(导师不参与自己学生的论文答辩),则导师估计乙能过关的概率为.9.(2016河北唐山一模)1 000名考生的某次成绩近似服从正态分布N(530,502),则成绩在630分以上的考生人数约为.(注:正态分布N(μ,σ2)在区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)内取值的概率分别为0.682 7,0.954 5,0.997 3)10.设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内,甲、乙都需要照顾的概率为0.05,甲、丙都需要照顾的概率为0.1,乙、丙都需要照顾的概率为0.125.(1)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少?(2)计算这一小时内至少有一台机器需要照顾的概率.11.某袋子中有1个白球和2个红球,这些球除颜色外完全相同.(1)每次取1个球,不放回,直到取到白球为止,求取球次数X的分布列;(2)每次取1个球,有放回,直到取到白球为止,但抽取次数不超过5次,求取球次数X的分布列;(3)每次取1个球,有放回,共取5次,求取到白球次数X的分布列.能力提升12.(2016天津河西一模)在盒子里有大小相同,仅颜色不同的球共10个,其中红球4个,白球3个,蓝球3个.现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里,再取下一个球.重复以上操作,最多取3次,过程中如果取出蓝球则不再取球.求:(1)最多取两次就结束的概率;(2)整个过程中恰好取到2个白球的概率;(3)设取球的次数为随机变量X,求X的分布列和均值.〚导学号37270395〛13.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?14.(2016山东,理19)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,若两人都猜对,则“星队”得3分;若只有一人猜对,则“星队”得1分;若两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:(1)“星队”至少猜对3个成语的概率;(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和均值E(X).〚导学号37270396〛高考预测15.甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;(2)记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列.参考答案考点规范练63二项分布与正态分布1.B解析由题意,得(1-p)+p=,故p=,故选B.2.A解析因为该正态密度曲线的对称轴方程为x=2,∴P(X≥3)=P(X≤1)=0.30,∴P(1<X<3)=1-P(X≥3)-P(X≤1)=1-2×0.30=0.40,∴P(2<X<3)=P(1<X<3)=0.20.3.A解析由题意知该同学通过测试,即3次投篮投中2次或投中3次就算通过测试.故所求的概率为0.62(1-0.6)+0.63=0.648.4.D解析设目标被击中为事件B,目标被甲击中为事件A,则由P(B)=0.6×0.5+0.4×0.5+0.6×0.5=0.8,得P(A|B)==0.75.5.C解析设“甲射击一次,击中目标”为事件A,“乙射击一次,击中目标”为事件B,则“甲射击一次,未击中目标”为事件“乙射击一次,未击中目标”为事件,则P(A)=,P()=1-,P(B)=p,P()=1-p,依题意得(1-p)+p=,解得p=故选C.6.D解析由题意知第12次取到红球,前11次中恰有9次红球2次白球,由于每次取到红球的概率为,所以P(X=12)=7.A解析设“甲命中目标”为事件A,“乙命中目标”为事件B,“丙命中目标”为事件C,则击中目标表示事件A,B,C中至少有一个发生.又P()=P(·P(·P(=[1-P(A)]·[1-P(B)]·[1-P(C)]=---∴击中的概率为1-P()=解得p=,q=8解析设导师估计甲、乙能过关的概率分别为p,q,则-故导师估计乙能过关的概率为9.23解析由题意可知μ=530,σ=50,在区间(430,630)的概率为0.954 5,故成绩在630分-0.023,因此成绩在630分以上的考生人数约为1 000×0.023=23.以上的概率为10.解记“机器甲需要照顾”为事件A,“机器乙需要照顾”为事件B,“机器丙需要照顾”为事件C.由题意,各台机器是否需要照顾相互之间没有影响,因此,A,B,C是相互独立事件.(1)由已知得P(AB)=P(A)·P(B)=0.05,P(AC)=P(A)·P(C)=0.1,P(BC)=P(B)·P(C)=0.125.解得P(A)=0.2,P(B)=0.25,P(C)=0.5.所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2,0.25,0.5.(2)记A的对立事件为B的对立事件为,C的对立事件为则P(=0.8,P(=0.75,P()=0.5,于是P(A∪B∪C)=1-P()=1-P(·P(·P(=0.7.所以这一小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7.11.解(1)由题意可知X的取值为1,2,3.P(X=1)=;P(X=2)=;P(X=3)=1=所以X的分布列是(2)由题意可知X的取值为1,2,3,4,5.P(X=k)=-,k=1,2,3,4.P(X=5)=故X的分布列为(3)因为X~B,所以X的分布列为P(X=k)=-,其中k=0,1,2,3,4,5.12.解(1)设取球的次数为ξ,则P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,所以最多取两次就结束的概率为P(ξ=1)+P(ξ=2)=(2)由题意可知,可以如下取球方式:红白白,白红白,白白红,白白蓝,故恰好取到2个白球的概率为3+(3)随机变量X的取值为1,2,3,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,随机变量X的分布列为X的均值E(X)=1+2+313.解(1)X可能的取值为:10,20,100,-200.根据题意,有P(X=10)=-,P(X=20)=-,P(X=100)=-,P(X=-200)=-所以X的分布列为(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件A i(i=1,2,3),则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=所以,“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1-P(A1A2A3)=1-=1-因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是14.解(1)记事件A为“甲第一轮猜对”,记事件B为“乙第一轮猜对”,记事件C为“甲第二轮猜对”,记事件D为“乙第二轮猜对”,记事件E为“‘星队’至少猜对3个成语”.由题意,E=ABCD+BCD+A CD+AB D+ABC由事件的独立性与互斥性,P(E)=P(ABCD)+P(BCD)+P(A CD)+P(AB D)+P(ABC)=P(A)P(B)P(C)P(D)+P( )P(B)·P(C)P(D)+P(A)P()P(C)P(D)+P(A)·P(B)P(P(D)+P(A)P(B)P(C)P()=+2所以“星队”至少猜对3个成语的概率为(2)由题意,随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性,得P(X=0)=,P(X=1)=2,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=2,P(X=6)=可得随机变量X的分布列为所以均值E(X)=0+1+2+3+4+615.解用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”,A k表示“第k局甲获胜”,B k表示“第k 局乙获胜”,则P(A k)=,P(B k)=,k=1,2,3,4,5.(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)=(2)X的可能取值为2,3,4,5.P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=,P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=, P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)·P(B3)P(B4)=,P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=故X的分布列为。
2018届高考数学一轮复习8.6
第八章
第六节
双曲线
名师考点精讲 综合能力提升
主干知识回顾
-2-
考纲概述
考查热点 双曲线的定义及其应用
考查频次 ★★★
备考指导 双曲线的定义是重要考点,应用定 义求标准方程、研究几何性质如 离心率,要有应用定义解题的意识. 双曲线的标准方程、几何性质也
(1)了解双曲线的定义、几何图形 和标准方程,知道其简单几何性质(
第八章
知识清单 基础自测
第六节
双曲线
名师考点精讲 综合能力提升
主干知识回顾
-4-
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
x2 a2
−
y2 =1(a>0,b>0) b2
y2 a2
x2 − b2=1(a>0,b>0)
图形
第八章
知识清单 基础自测
第六节
双曲线
名师考点精讲 综合能力提升
主干知识回顾
-5-
范围 对称性 几何 性质 顶点 轴 渐近线 离心率 a,b,c的关系
范围、对称性、顶点、离心率、
渐近线); (2)了解双曲线的简单应用; (3)理解数形结合的思想 双曲线的标准方程、几何性质 ★★★★★
是必考考点,尤其是离心率、渐近 线等,更加是考查的重中之重.题型 以选择题或填空题为主
第八章
知识清单 基础自测
第六节
双曲线
名师考点精讲 综合能力提升
主干知识回顾
-3-
1 2
4 3
1 2
双曲线定义应用的几个题型 (1)已知双曲线上一点和两个焦点,用定义法求标准方程; (2)求解过程中经常结合‖PF1|-|PF2‖=2a,运用方程两边平方的方法,建 立它与|PF1||PF2|的联系.
2018届高考数学一轮复习8.5
所以点A的坐标为 ������, ±
2 ������
,
������ 1+������2 ������ 2
故AF1所在的直线方程为x-acy+c=0, 所以坐标原点O到直线AF1的距离为 =
������ ������2 −1
.
又|OF1|=c,
所以
������ ������2 −1
知识清单 基础自测
第五节
椭
圆
主干知识回顾 名师考点精讲
-5-
3.直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系有三种:相离、相切、相交. (1)直线与椭圆相离的充要条件是直线与椭圆所组成的方程组无解,即转化所 得的一元二次方程的判别式小于0; (2)直线与椭圆相切的充要条件是直线与椭圆所组成的方程组有唯一解,即转 化所得的一元二次方程的判别式等于0; (3)直线与椭圆相交的充要条件是直线与椭圆所组成的方程组有两组不同的 解,即转化所得的一元二次方程的判别式大于0.
第五节 椭 圆
第八章
第五节
椭
圆
主干知识回顾 名师考点精讲
-2-
考纲概述 (1)了解椭圆的实际背景,了解椭圆 在刻画现实世界和解决实际问题 中的作用; (2)掌握椭圆的定义、几何图形、 标准方程及简单几何性质(范围、 对称性、顶点、离心率); (3)了解椭圆的简单应用; (4)理解数形结合的思想
考查热点 椭圆的定义、标准方程与几何性
第五节
椭
圆
主干知识回顾 名师考点精讲
-8-
������ 2 5.设椭圆C: 2 ������
点,������������2 ·
������ 2 + =1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A是椭圆C上的一 2 1 ������1 ������2 =0,坐标原点O到直线AF1的距离为 |OF1|. 3
2018年高中数学优化设计第一轮复习单元质检六A
单元质检六数列(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a6=15,S9=99,则等差数列{a n}的公差是()A. B.4 C.-4 D.-32.公比为的等比数列{a n}的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a16=()A.4B.5C.6D.73.(2016河北衡水中学考前仿真二)设等差数列{a n}的前n项和为S n,a1>0,且,当S n取最大值时,n的值为()A.9B.10C.11D.124.已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足:3a1-+3a15=0,且a8=b10,则b3b17=()A.9B.12C.16D.365.(2016陕西汉中市质检二)设S n是数列{a n}的前n项和,当n≥2时,点(a n-1,2a n)在直线y=2x+1上,且{a n}的首项a1是二次函数y=x2-2x+3的最小值,则S9的值为()A.6B.7C.36D.32 〚导学号37270578〛6.(2016河北保定一模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=x(1-x).若数,则f(a11)=()列{a n}满足a1=,且a n+1=-A.2B.-2C.6D.-6 〚导学号37270579〛二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2016河北唐山一模)已知S n为等比数列{a n}的前n项和,且S n=2a n-1,则数列{a n}的公比q=.8.已知等比数列{a n}满足a2+8a5=0,设S n是数列的前n项和,则=.〚导学号37270580〛三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2016河南郑州一模)已知数列{a n}的首项为a1=1,其前n项和为S n,且数列是公差为2的等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=(-1)n a n,求数列{b n}的前n项和T n.10.(15分)(2016河南八市重点高中4月质检)数列{a n}满足a n=6-(n∈N*,n≥2).-是等差数列;(1)求证:数列-(2)若a1=6,求数列{lg a n}的前999项的和.11.(15分)设数列{a n}满足a1=2,a n+1-a n=3·22n-1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=na n,求数列{b n}的前n项和S n.〚导学号37270581〛参考答案单元质检六数列(A)1.B解析∵{a n}是等差数列,a6=15,S9=99,∴a1+a9=22,∴2a5=22,a5=11.∴公差d=a6-a5=4.2.B解析由等比中项的性质得a3a11==16,又数列{a n}各项为正,所以a7=4.所以a16=a7q9=32.所以log2a16=5.3.B解析不妨设a6=9t,则a5=11t,故公差d=-2t,其中t>0.因此a10=t,a11=-t,即当n=10时,S n取最大值,故选B.4.D解析由3a1-+3a15=0得=3a1+3a15=3(a1+a15)=3×2a8,即-6a8=0,因为a8=b10≠0,所以a8=6,b10=6,所以b3b17==36.5.C解析由点(a n-1,2a n)在直线y=2x+1上,得2a n=2a n-1+1,a n-a n-1=,故数列{a n}是公差为的等差数列.由函数y=x2-2x+3的最小值为2,得a1=2,故S9=9×2+×9×8×=36.6.C解析设x>0,则-x<0.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-[-x(1+x)]=x(1+x).由a1=,且a n+1=-,得a2=--=2,a3=--=-1,a4=---.……所以数列{a n}是以3为周期的周期数列,即a11=a3×3+2=a2=2.所以f(a11)=f(a2)=f(2)=2×(1+2)=6.7.2解析∵S n=2a n-1,∴a1=2a1-1,a1+a2=2a2-1,解得a1=1,a2=2.∴等比数列{a n}的公比q=2.8.-11解析由a2+8a5=0得a1q+8a1q4=0,解得q=-.易知是等比数列,公比为-2,首项为,所以S2=----=-,S5=----,所以=-11.9.解(1)∵数列是公差为2的等差数列,且=a1=1,∴=1+(n-1)×2=2n-1.∴S n=2n2-n.∴当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n2-n-[2(n-1)2-(n-1)]=4n-3.又a1符合a n=4n-3,∴a n=4n-3.(2)由(1)可得b n=(-1)n a n=(-1)n·(4n-3).当n为偶数时,T n=(-1+5)+(-9+13)+…+[-(4n-7)+(4n-3)]=4×=2n;当n为奇数时,n+1为偶数T n=T n+1-b n+1=2(n+1)-(4n+1)=-2n+1.综上,T n=∈--∈10.(1)证明∵------------(n≥2),∴数列-是等差数列.(2)解∵-是等差数列,且-,d=.∴--(n-1)=.∴a n=.∴lg a n=lg(n+1)-lg n+lg 3.设数列{lg a n}的前999项的和为S,则S=999lg 3+(lg 2-lg 1+lg 3-lg 2+…+lg 1 000-lg 999)=999lg 3+lg 1 000=3+999lg 3.11.解(1)由已知,当n≥1时,a n+1=[(a n+1-a n)+(a n-a n-1)+…+(a2-a1)]+a1=3(22n-1+22n-3+…+2)+2=22(n+1)-1.而a1=2,所以数列{a n}的通项公式为a n=22n-1.(2)由b n=na n=n·22n-1知S n=1·2+2·23+3·25+…+n·22n-1.①从而22·S n=1·23+2·25+3·27+…+n·22n+1.②①-②,得(1-22)S n=2+23+25+…+22n-1-n·22n+1,即S n=[(3n-1)22n+1+2].。
2018(理科)优化设计一轮高考模拟卷理科2.7
第七章不等式推理与证明(组)与简单的线性规划问题专题1二元一次不等式(组)表示的平面区域问题■(2015甘肃省兰州一中三模,二元一次不等式(组)表示的平面区域问题,填空题,理16)关于x的不等式<2-ax有唯一整数解x=1,则的取值范围是.解析:∵<2-ax⇔x2+ax+2b<0,∴函数f(x)=x2+ax+2b的图象与x轴在[0,1)和(1,2]内各有一个交点.∴作出可行域,如图所示:∵为可行域内的点(a,b)与定点P(1,2)的连线的斜率,由图可知,k PA<<k PB,其中点A(-3,1),B(-1,0),∴k PA=,k PB=1,故的取值范围是.故答案为.答案:■(2015甘肃省嘉峪关一中高考数学三模,二元一次不等式(组)表示的平面区域问题,选择题,理8)在坐标平面上,不等式组所表示的平面区域的面积为()A.2B.C.D.2解析:画出约束条件表示的可行域,如图中阴影部分,由题意M(2,3),N,P(0,-1),Q(0,1)不等式组所表示的平面区域的面积为:×2×2+×2×.故选B.答案:B专题2与目标函数有关的最值问题■(2015甘肃省张掖市高考数学4月模拟,与目标函数有关的最值问题,填空题,理15)设实数x,y满足向量a=(2x-y,m),b=(-1,1),若a∥b,则实数m的最小值为.解析:∵向量a=(2x-y,m),b=(-1,1),若a∥b,∴,即m=-2x+y,由m=-2x+y,得y=2x+m,作出不等式对应的可行域(阴影部分),平移直线y=2x+m,由平移可知当直线y=2x+m经过点B时,直线y=2x+m的截距最小,此时m取得最小值,由解得即B(2,2).将B(2,2)坐标代入m=-2x+y得z=-4+2=-2,即目标函数m=-2x+y的最小值为-2.故答案为-2.答案:-2■(2015甘肃省河西五地市高三第一次联考,与目标函数有关的最值问题,选择题,理7)若实数x,y满足不等式组则z=|x|+2y的最大值是()A.10B.11C.13D.14解析:由约束条件作出可行域如图,当x≥0时,z=|x|+2y化为y=-x+z,表示的是斜率为-,截距为的平行直线系,当过点B(1,5)时,直线在y轴上的截距最大,z最大,z max=1+2×5=11;当x<0时,z=|x|+2y化为y=x+,表示斜率为,截距为的平行直线系,当直线过点C(-4,5)时,直线在y轴上的截距最大,z最大,z max=4+2×5=14.∴z=|x|+2y的最大值是14.故选D.答案:D专题1利用基本不等式求最值■(2015河南省六市高考数学二模,利用基本不等式求最值,解答题,理24)设函数f(x)=+|x|(x∈R)的最小值为a.(1)求a;(2)已知两个正数m,n满足m2+n2=a,求的最小值.解:(1)f(x)=∴当x<-2时,f(x)>f(-2)=2;当-2≤x≤0时,f(x)≥f(0)=1;当x>0时,f(x)>f(0)=1.综上可得:函数f(x)的最小值为1,∴a=1.(2)由(1)可知:m2+n2=1,∴1≥2mn,∴mn≤.∵m,n>0,∴≥2≥2,当且仅当m=n=时取等号.∴的最小值为2.■(2015甘肃省张掖市高考数学4月模拟,利用基本不等式求最值,填空题,理16)如图,在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=3,PB=2,PC=1.设M是底面ABC内一点,定义f(M)=(m,n,p),其中m,n,p分别是三棱锥M-PAB、三棱锥M-PBC、三棱锥M-PCA的体积.若f(M)=,且≥8恒成立,则正实数a的最小值为.解析:∵PA,PB,PC两两垂直,且PA=3,PB=2,PC=1,∴V P-ABC=×3×2×1=1=+x+y,即x+y=,则2x+2y=1.(2x+2y)=2+2a+≥2+2a+4≥8,解得a≥1,∴正实数a的最小值为1.故答案为1.答案:1专题1综合法■(2015河南省六市高考数学二模,综合法,填空题,理15)已知数列{a n}的首项为a1=1,a2=3,且满足对任意的n∈N*,都有a n+1-a n≤2n,a n+2-a n≥3×2n成立,则a2 015=.解析:∵a n+1-a n≤2n,∴-a n+1+a n≥-2n,又a n+2-a n≥3×2n,∴a n+2-a n+1=a n+2-a n-a n+1+a n≥3×2n-2n=2n+1,∴a n+1-a n≥2n,又a n+1-a n≤2n,∴a n+1-a n=2n,∴a2015=a2015-a2014+a2014-a2013+…+a3-a2+a2-a1+a1=22014+22013+…+22+2+1==22015-1,故答案为22015-1.答案:22 015-1。
2018年高中数学优化设计第一轮复习考点规范练50课后习题Word版
考点规范练50双曲线基础巩固1.(2016吉林白山三模)当双曲线x 2m+8−y26-2m=1的焦距取得最小值时,其渐近线的斜率为()A.±1B.±23C.±13D.±122.(2016河南信阳、三门峡一模)若双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e,一条渐近线的方程为y=2e-1x,则e=()A.2B.3C.2D.63.已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,3),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=47x的准线上,则双曲线的方程为()A.x 221−y228=1 B.x228−y221=1C.x 23−y24=1 D.x24−y23=14.已知F1,F2是双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,以F1F2为直径的圆与双曲线的一个交点是P,且△F1PF2的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是() A.2 B.3 C.2 D.55.设F1,F2分别为双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=94ab,则该双曲线的离心率为()A.43B.53C.94D.3 〚导学号37270497〛6.(2016河南焦作二模)已知双曲线x 2a2−y2b2=1的一个焦点为F(2,0),且双曲线与圆(x-2)2+y2=1相切,则双曲线的离心率为()A.32B.2C.3D.4 〚导学号37270498〛7.(2016河北南宫一中三模)若双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14,则该双曲线的离心率为.8.(2016山东,理13)已知双曲线E:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是.9.设A,B分别为双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为43,焦点到渐近线的距离为3.(1)求双曲线的方程;(2)已知直线y=33x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使OM+ON=t OD,求t的值及点D的坐标.〚导学号37270499〛10.已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=22,记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程;(2)若A和B是W上的不同两点,O是坐标原点,求OA·OB的最小值.〚导学号37270500〛能力提升11.(2016浙江,理7)已知椭圆C1:x 2m2+y2=1(m>1)与双曲线C2:x2n2-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则()A.m>n,且e1e2>1B.m>n,且e1e2<1C.m<n,且e1e2>1D.m<n,且e1e2<1 〚导学号37270501〛12.(2016东北三省四市二模)已知双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线的实轴垂直,则双曲线C的离心率为()A.52B.5C.2D.2 〚导学号37270502〛13.若点P在曲线C1:x 216−y29=1上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是.〚导学号37270503〛14.已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1.(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;(2)若l与C交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为2,求实数k的值.〚导学号37270504〛15.如图,O为坐标原点,双曲线C1:x 2a12−y2b12=1(a1>0,b1>0)和椭圆C2:y2a22+x2b22=1(a2>b2>0)均过点P233,1,且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求C1,C2的方程;(2)是否存在直线l,使得l与C1交于A,B两点,与C2只有一个公共点,且|OA+OB|=|AB|?证明你的结论.〚导学号37270505〛高考预测16.如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形,其中上半个圆所在圆的方程是x2+y2-4y-4=0,双曲线的左、右顶点A,B是该圆与x轴的交点,双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点.(1)试求双曲线的标准方程.(2)记双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,试在“8”字形曲线上求点P,使得∠F1PF2是直角.〚导学号37270506〛参考答案考点规范练50 双曲线1.B 解析由题意可得6-2m>0,即m<3.由c 2=m 2+8+6-2m=(m-1)2+13,可得当m=1时,焦距2c 取得最小值,此时双曲线的方程为x 29−y 24=1.故渐近线方程为y=±23x , 即其渐近线的斜率为±23. 2.C 解析因为e=c ,双曲线x 22−y 2b2=1的渐近线方程为y=±bx ,所以 2e -1=ba .又b= c 2-a 2,所以 2e -1= c 2-a2a 2= e 2-1,即为e 2=2e ,解得e=2(e=0舍去). 3.D解析因为双曲线x 22−y 2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±b x ,所以2b= 3.① 又因为抛物线y 2=4 7x 的准线为x=- 7,所以c=2+b 2= 7. ②由①②,得a 2=4,b 2=3.故所求双曲线的方程为x 24−y 23=1.4.D 解析不妨设点P 位于第一象限,F 1为左焦点,|PF 2|=m-d ,|PF 1|=m ,|F 1F 2|=m+d ,其中m>d>0,则有(m-d )2+m 2=(m+d )2,解得m=4d ,故双曲线的离心率e=|F 1F 2||PF 1|-|PF 2|=5.5.B 解析由双曲线的定义得||PF 1|-|PF 2||=2a ,又|PF 1|+|PF 2|=3b ,所以(|PF 1|+|PF 2|)2-(|PF 1|-|PF 2|)2=9b 2-4a 2, 即4|PF 1|·|PF 2|=9b 2-4a 2, 又4|PF 1|·|PF 2|=9ab , 因此9b 2-4a 2=9ab ,即9 b a 2−9ba -4=0,则 3ba +1 3ba -4 =0,解得b a=43 b a=-13舍去 ,则双曲线的离心率e= 1+ ba2=53.6.B解析因为双曲线x 2a 2−y 2b2=1的一个焦点为F (2,0),所以c=2,因为双曲线与圆(x-2)2+y 2=1相切,所以圆心为F (2,0),半径R=1. 所以c-a=1,即a=1,所以双曲线的离心率e=ca =2.7.2 33 解析因为双曲线的一条渐近线方程为y=ba x ,即为bx-ay=0,一个焦点为(c ,0),所以焦点到渐近线的距离为a 2+b=b=1×2c=1c ,所以c 2=a 2+b 2=a 2+1c 2,得c =2 3. 8.2 解析由双曲线和矩形的对称性可知AB ⊥x 轴,设点A 的横坐标为c ,则由c 2a 2−y 2b2=1,解得y=±b 2a .不妨设A c ,b 2 ,B c ,-b 2 ,则|AB|=2b 2,|BC|=2c ,由2|AB|=3|BC|,c 2=a 2+b 2得离心率e=2或e=-1(舍去),所以离心率为2. 9.解(1)由题意知a=2 3,故可得一条渐近线方程为y=23x ,即bx-2 3y=0,所以b +12= 3.所以b 2=3,所以双曲线的方程为x 2−y 2=1.(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),D (x 0,y 0),则x 1+x 2=tx 0,y 1+y 2=ty 0. 将直线方程代入双曲线方程得x 2-16 3x+84=0, 则x 1+x 2=16 3,y 1+y 2=12.故 x 00=4 3,x 02-y 02=1,解得 x 0=4 3,y 0=3. 由OM +ON =t OD,得(16 3,12)=(4 3t ,3t ),故t=4,点D 的坐标为(4 3,3). 10.解(1)由|PM|-|PN|=2 2知动点P 的轨迹是以M ,N 为焦点的双曲线的右支,实半轴长a= 2.又焦距2c=4,所以虚半轴长b= c 2-a 2= 2. 所以W 的方程为x 22−y 22=1(x ≥ .(2)设A ,B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2).当AB ⊥x 轴时,x 1=x 2,y 1=-y 2,从而OA ·OB =x 1x 2+y 1y 2=x 12−y 12=2.当AB 与x 轴不垂直时,设直线AB 的方程为y=kx+m (k ≠±1),与W 的方程联立,消去y 得(1-k 2)x 2-2kmx-m 2-2=0,则x 1+x 2=2km 1-k2,x 1x 2=m 2+2k 2-1,所以OA ·OB=x 1x 2+y 1y 2 =x 1x 2+(kx 1+m )(kx 2+m ) =(1+k 2)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2 =(1+k 2)(m 2+2)k 2-1+2k 2m 21-k2+m 2=2k 2+2k 2-1=2+4k 2-1.又因为x 1x 2>0,所以k 2-1>0.所以OA ·OB>2. 综上所述,当AB ⊥x 轴时,OA ·OB取得最小值2. 11.A 解析∵椭圆与双曲线的焦点重合,∴m 2-1=n 2+1. ∴m 2-n 2=2,∴m>n.∵e 1= 1-1m 2,e 2= 1+1n 2, ∴e 1e 2= 1-1m 2 1+1n 2= 1+1n 2-1m 2-1m 2n 2= 1+m 2-n 2-1m 2n 2= 1+1m 2n 2>1.故选A .12.C 解析设F (c ,0),渐近线方程为y=b a x ,可得点F 到渐近线的距离为 a 2+b=b ,即有圆F 的半径为b.令x=c ,可得y=±b c 2a 2-1=±b 2a .由题意可得b2a =b ,即a=b ,则c= a 2+b 2= 2a. 即离心率e=ca = 2.13.10 解析依题意得,点F 1(-5,0),F 2(5,0)分别为双曲线C 1的左、右焦点,因此有|PQ|-|PR|≤|(|PF 2|+1)-(|PF 1|-1)|≤||PF 2|-|PF 1||+2=2×4+2=10,故|PQ|-|PR|的最大值是10. 14.解(1)双曲线C 与直线l 有两个不同的交点,则方程组 x 2-y 2=1,y =kx -1有两个不同的实数根,整理得(1-k 2)x 2+2kx-2=0.故 1-k 2≠0,Δ=4k 2+8(1-k 2)>0, 解得- 2<k< 2,且k ≠±1.双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时,k 的取值范围是(- 2,-1)∪(-1,1)∪(1, 2). (2)设交点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线l 与y 轴交于点D (0,-1), 由(1)知,C 与l 联立的方程组可化简为(1-k 2)x 2+2kx-2=0. 故 x 1+x 2=-2k 1-k 2,x 1x 2=-21-k 2.当A ,B 在双曲线的一支上且|x 1|>|x 2|时,S △OAB =S △OAD -S △OBD =1(|x 1|-|x 2|)=1|x 1-x 2|; 当A ,B 在双曲线的两支上且x 1>x 2时, S △OAB =S △ODA +S △OBD =1(|x 1|+|x 2|)=1|x 1-x 2|. 故S △OAB =1|x 1-x 2|= 2,即(x 1-x 2)2=(2 2)2, 即-2k1-k2 2+81-k2=8,解得k=0或k=± 6. 又- 2<k< 2,且k ≠±1,所以当k=0或k=± 6时,△AOB 的面积为15.解(1)设C 2的焦距为2c 2,由题意知,2c 2=2,2a 1=2.从而a 1=1,c 2=1.因为点P 2 3,1 在双曲线x 2-y2b 12=1上,所以 2 32−1b 12=1.故b 12=3. 由椭圆的定义知2a 2= 2 332+(1-1)2+ 2 332+(1+1)2=2 3.于是a 2= 3,b 22=a 22−c 22=2.故C 1,C 2的方程分别为x2-y 23=1,y 23+x 22=1.(2)不存在符合题设条件的直线.①若直线l 垂直于x 轴,因为l 与C 2只有一个公共点,所以直线l 的方程为x= 2或x=- 2.当x= 2时,易知A ( 2, 3),B ( 2,- 3),所以|OA +OB |=2 2,|AB |=2 3.此时,|OA +OB |≠|AB |.当x=- 2时,同理可知,|OA +OB |≠|AB |.②若直线l 不垂直于x 轴,设l 的方程为y=kx+m.由 y =kx +m ,x 2-y 23=1 得(3-k 2)x 2-2kmx-m 2-3=0.当l 与C 1相交于A ,B 两点时, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1,x 2是上述方程的两个实根, 从而x 1+x 2=2km 3-k2,x 1x 2=m 2+3k 2-3.于是y 1y 2=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=3k 2-3m 2k 2-3.由y=kx+m,y23+x22=1得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.因为直线l与C2只有一个公共点,所以上述方程的判别式Δ=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.化简,得2k2=m2-3,因此OA·OB=x1x2+y1y2=m 2+3k2-3+3k2-3m2k2-3=-k2-3k2-3≠0,于是OA2+OB2+2OA·OB≠OA2+OB2-2OA·OB,即|OA+OB|2≠|OA−OB|2,故|OA+OB|≠|AB|.综合①②可知,不存在符合题设条件的直线.16.解(1)上半圆所在圆的方程是x2+y2-4y-4=0,则圆心为(0,2),半径为2 2.则下半圆所在圆的圆心为(0,-2),半径为2 2.双曲线的左、右顶点A,B是该圆与x轴的交点,即为(-2,0),(2,0),即a=2.由于双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点,则令y=2,解得x=±2 2.即交点为(±22,2).设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),则82−4b2=1,且a=2,解得b=2.则双曲线的标准方程为x24−y24=1.(2)由(1)知双曲线的左、右焦点分别为F1(-22,0),F2(22,0).若∠F1PF2是直角,则设P(x,y),则有x2+y2=8.由x2+y2=8,x2-y2=4,解得x2=6,y2=2.由x2+y2=8,x2+(y±2)2=8,解得y=∓1,不满足题意,舍去.故在“8”字形曲线上所求点P的坐标为(6,2),(-6,2),(-6,-2),(6,-2).11。
最新精编高中人教版A版高考数学理科一轮复习8.5 椭圆公开课优质课教学设计
第五节椭圆1．椭圆的标准方程掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程．2．椭圆的几何性质掌握椭圆的简单性质．知识点一椭圆的定义易误提醒当到两定点的距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹是线段F1F2；当到两定点的距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．[自测练习]1．已知椭圆x225＋y216＝1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3，则P到另一个焦点F2的距离为( )A．2 B．3C．5 D．7解析：∵a2＝25，∴2a＝10，∴由定义知，|PF1|＋|PF2|＝10，∴|PF2|＝10－|PF1|＝7.答案：D知识点二椭圆的标准方程和几何性质易误提醒注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．必记结论 (1)当焦点的位置不能确定时，椭圆方程可设成Ax 2＋By 2＝1的形式，其中A ，B 是不相等的正常数，或设成x 2m 2＋y 2n2＝1(m 2≠n 2)的形式．(2)以椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)为顶点的△PF 1F 2中，若∠F 1PF 2＝θ，注意以下公式的灵活运用：①|PF 1|＋|PF 2|＝2a ；②4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ； ③S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ.[自测练习]2．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝________.解析：因为焦点在x 轴上，所以0<m <2，所以a 2＝2，b 2＝m ，c 2＝a 2－b 2＝2－m .椭圆的离心率为e ＝12，所以e 2＝14＝c 2a 2＝2－m 2，解得m ＝32.答案：323．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点P 到两焦点的距离之和为6，且椭圆的离心率为13，则椭圆方程为________．解析：由题意得2a ＝6，故a ＝3.又离心率e ＝c a ＝13.所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝8，故椭圆方程为x 29＋y 28＝1.答案：x 29＋y 28＝14．椭圆Γ：x 2a ＋y 2b＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y＝3(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．解析：依题意得∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°，设|MF1|＝m，则有|MF2|＝3m，|F1F2|＝2m，该椭圆的离心率是e＝|F1F2||MF1|＋|MF2|＝3－1.答案：3－1考点一椭圆的定义及方程|1．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )A.x264－y248＝1 B.x248＋y264＝1C.x248－y264＝1 D.x264＋y248＝1解析：设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，∴M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为x264＋y248＝1.答案：D2.(2016·大庆模拟)如图，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，其中左焦点为F(－25，0)，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为( )A.x225＋y25＝1 B.x236＋y216＝1C.x 230＋y 210＝1 D.x 245＋y 225＝1 解析：设椭圆的焦距为2c ，右焦点为F 1，连接PF 1，如图所示． 由F (－25，0)，得c ＝2 5.由|OP |＝|OF |＝|OF 1|，知PF 1⊥PF . 在Rt △PF 1F 中，由勾股定理，得|PF 1|＝|F 1F |2－|PF |2＝52－42＝8.由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF |＝2a ＝4＋8＝12，从而a ＝6，得a 2＝36，于是b 2＝a 2－c 2＝36－(25)2＝16，所以椭圆C 的方程为x 236＋y 216＝1.答案：B3．若椭圆C ：x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：由题意得a ＝3，c ＝7，则|PF 2|＝2. 在△F 2PF 1中，由余弦定理可得 cos ∠F 2PF 1＝42＋22－722×4×2＝－12.又∵∠F 2PF 1∈(0，π)，∴∠F 2PF 1＝2π3.答案：C椭圆定义应用的两个方面一是利用定义求椭圆的标准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．考点二 椭圆的几何性质|(1)(2015·高考广东卷)已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．9(2)如图，已知椭圆E 的左、右焦点分别为F1，F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P ，Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为( )A.53 B.23 C.23D.13[解析] (1)由4＝25－m 2(m >0)⇒m ＝3，故选B. (2)由题意可知，∠F 1PF 2是直角，且tan ∠PF 1F 2＝2，∴|PF 2||PF 1|＝2.又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝2a 3，|PF 2|＝4a 3.根据勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 32＝(2c )2，所以离心率e ＝c a ＝53.[答案] (1)B (2)A求解直线与椭圆位置关系问题的常规思路(1)求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，既不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．(2)求椭圆离心率问题，应先将e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的等式或不等式，从而求出e 的值或范围．离心率e 与a ，b的关系．e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2⇒ba＝1－e 2.1．如图，已知F1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为( )A.3－1 B ．2－ 3 C.22D.32解析：因为过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，所以可得∠F 1MF 2＝90°，|MF 2|＝c .因为|F 1F 2|＝2c ，所以可得|MF 1|＝3c .由椭圆定义可得|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ，可得离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.答案：A考点三 直线与椭圆的位置关系|已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆的一个焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．[解] (1)设F (c,0)，由题意k AF ＝2c ＝233，∴c ＝3，又∵离心率e ＝c a ＝32，∴a ＝2，b ＝a 2－c 2＝1， 故椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，方程为y ＝kx －2，联立直线与椭圆方程，得⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx －2，化简，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. ∵Δ＝16(4k 2－3)>0，∴k 2>34.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝16k 1＋4k 2，x 1·x 2＝121＋4k 2，∴|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·44k 2－31＋4k 2.坐标原点O 到直线l 的距离d ＝2k 2＋1.S △OPQ ＝121＋k 2·44k 2－31＋4k 2·2k 2＋1＝44k 2－31＋4k 2.令t ＝4k 2－3(t >0)，则S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.∵t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝4t，t ＝2时，等号成立，∴S △OPQ ≤1，故当t ＝2，即4k 2－3＝2，k ＝±7时，△OPQ 的面积最大，从而直线l 的方程为y ＝±72x －2.2．(2016·邯郸质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，32，离心率为22，点F 1，F 2分别为其左、右焦点．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点P ，Q ，且OP→⊥OQ →？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意，得c a ＝22，得b ＝c .因为⎝ ⎛⎭⎪⎫－222a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1(a >b >0)，得c ＝1，所以a 2＝2，所以椭圆C 方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设满足条件的圆存在，其方程为x 2＋y 2＝r 2(0<r <1)．当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋b ，x22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4bkx ＋2b 2－2＝0.令P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝－4bk1＋2k 2，x 1x 2＝2b 2－21＋2k 2.∵OP →⊥OQ →，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴＋k 2b 2－1＋2k 2－4k 2b 21＋2k2＋b 2＝0，∴3b 2＝2k 2＋2. 此时Δ＝323k 2＋83>0恒成立．∵直线PQ 与圆相切，∴r 2＝b 21＋k 2＝23，∴存在圆x 2＋y 2＝23.当直线PQ 的斜率不存在时，也存在圆x 2＋y 2＝23满足题意．综上所述，存在圆心在原点的圆x 2＋y 2＝23满足题意．26.几何法求解椭圆离心率范围问题【典例】 (2015·山西大学附中月考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1[思维点拨] 利用对称性分|PF 1|＝|F 1F 2|，|PF 2|＝|F 1F 2|两种性质讨论，结合几何特征建立相关不等式求解．[解析] 6个不同的点有两个为短轴的两个端点，另外4个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称．不妨设P 在第一象限，|PF 1|>|PF 2|，当|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c 时，|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2c ，即2c >2a －2c ，解得e ＝c a >12.因为e <1，所以12<e <1.当|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c 时，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝2a －2c ，即2a －2c>2c，且2c＋2c>2a－2c，解得13<e<12.综上可得13<e<12或12<e<1，故选D.[答案] D[方法点评] 椭圆的离心率范围求法是考查的热点，常见的方法有利用几何特征建立不等式或建立目标函数求解．利用几何法建立不等关系式时注意根据题目中隐含的几何特性(如两边之和大于第三边)，同时注意定义应用．[跟踪练习] 已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P使asin∠PF1F2＝csin∠PF2F1，则该椭圆的离心率的取值范围为________．解析：由asin∠PF1F2＝csin∠PF2F1，得ca＝sin∠PF2F1sin∠PF1F2.又由正弦定理得sin∠PF2F1sin∠PF1F2＝|PF1||PF2|，所以|PF1||PF2|＝ca，即|PF1|＝ca|PF2|.又由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a2a＋c，|PF1|＝2aca＋c.因为|PF2|是△PF1F2的一边，所以有2c－2aca＋c<2a2a＋c<2c＋2aca＋c，即c2＋2ac－a2>0，所以e2＋2e－1>0(0<e<1)，解得椭圆离心率的取值范围为(2－1,1)．答案：(2－1,1)A组考点能力演练1．点F为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个焦点，若椭圆上存在点A使得△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为( )A.22B.32C.3－12D.3－1解析：由题意，可设椭圆的焦点F 的坐标为(c,0)，因为△AOF 为正三角形，则点⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，3c 在椭圆上，代入得c 24a 2＋3c 24b 2＝1，即e 2＋3e 21－e 2＝4，得e 2＝4－23，解得e ＝3－1，故选D.答案：D2．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点为M (1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 解析：k AB ＝0＋13－1＝12，k OM ＝－1，由k AB ·k OM ＝－b 2a 2，得b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2.∵c＝3，∴a 2＝18，b 2＝9，椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.答案：D3．(2016·厦门模拟)椭圆E ：x 2a 2＋y 23＝1(a >0)的右焦点为F ，直线y ＝x ＋m 与椭圆E 交于A ，B 两点，若△FAB 周长的最大值是8，则m 的值等于( )A ．0B ．1 C. 3D ．2解析：设椭圆的左焦点为F ′，则△FAB 的周长为AF ＋BF ＋AB ≤AF ＋BF ＋AF ′＋BF ′＝4a ＝8，所以a ＝2，当直线AB 过焦点F ′(－1,0)时，△FAB 的周长取得最大值，所以0＝－1＋m ，所以m ＝1.故选B.答案：B4．已知F 1，F 2是椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，P 是该椭圆上的任意一点，则|PF 1|·|PF 2|的最大值是( )A ．9B ．16C ．25D.252解析：设P (x ，y )，则|PF 1→|＝a －ex ，|PF 2→|＝a ＋ex ，∴|PF 1→|·|PF 2→|＝(a －ex )(a ＋ex )＝a 2－e 2x 2. 当x ＝0时，|PF 1→|·|PF 2→|取最大值a 2＝25. 答案：C5．已知F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫55，1B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 C.⎝⎛⎦⎥⎤0，55D.⎝⎛⎦⎥⎤0，22解析：设P (x ，y )，PF 1→＝(－c －x ，－y )，PF 2→＝(c －x ，－y )，由PF 1⊥PF 2，得PF 1→·PF 2→＝0，即(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2＋y 2－c 2＝x 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2a 2－c 2＝c 2x 2a 2＋b 2－c 2＝0，∴x 2＝a 2c 2－b 2c 2≥0，∴c 2－b 2≥0，∴2c 2≥a 2，∴e ≥22.又∵e <1，∴椭圆的离心率e 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1.答案：B6．(2016·黄山质检)已知圆(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e ＝________.解析：因为圆(x －2)2＋y 2＝1与x 轴的交点坐标为(1,0)，(3,0)，所以c ＝1，a＝3，e ＝c a ＝13.答案：137．(2015·泰安模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点在x 轴上，过点(2,1)作圆x 2＋y 2＝4的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________．解析：设切点坐标为(m ，n )，则n －1m －2·nm ＝－1，即m 2＋n 2－n －2m ＝0.∵m 2＋n 2＝4，∴2m ＋n －4＝0，即直线AB 的方程为2x ＋y －4＝0.∵直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，∴2c －4＝0，b －4＝0，解得c ＝2，b ＝4，所以a 2＝b 2＋c 2＝20，所以椭圆方程为x 220＋y 216＝1.答案：x 220＋y 216＝18．(2016·保定模拟)直线l 过椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点F ，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，M 为弦PQ 的中点，O 为原点，若△FMO 是以线段OF 为底边的等腰三角形，则直线l 的斜率为________．解析：因为△FMO 是以线段OF 为底边的等腰三角形，所以直线OM 与直线l 的斜率互为相反数．设直线l 的斜率为k ，则有k ·(－k )＝－12，解得k ＝±22.答案：±229.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点、上顶点分别为A ，B ，且|AB |＝52|BF |.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若斜率为2的直线l 过点(0,2)，且l 交椭圆C 于P ，Q 两点，OP ⊥OQ ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程．解：(1)由已知|AB |＝5|BF |，即a 2＋b 2＝5a,4a 2＋4b 2＝5a 2,4a 2＋4(a 2－c 2)＝5a 2，∴e ＝c a ＝32.(2)由(1)知a 2＝4b 2，∴椭圆C ：x 24b 2＋y 2b2＝1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.由⎩⎨⎧2x －y ＋2＝0，x 24b 2＋y2b2＝1，消去y ，得x 2＋4(2x ＋2)2－4b 2＝0，即17x 2＋32x ＋16－4b 2＝0.Δ＝322＋16×17(b 2－4)>0，解得b >21717.x 1＋x 2＝－3217，x 1x 2＝16－4b 217.∵OP ⊥OQ ，∴OP→·OQ →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1x 2＋(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝0， 5x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋4＝0. 从而－4b 217－12817＋4＝0，解得b ＝1，满足b >21717，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，且椭圆C 的离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)若动点P 在直线x ＝－1上，过P 作直线交椭圆C 于M ，N 两点，且P 为线段MN 中点，再过P 作直线l ⊥MN .证明：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆C 上，所以1a 2＋94b 2＝1.又椭圆C 的离心率为12，所以c a ＝12，即a ＝2c ，所以a 2＝4，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y23＝1.(2)设P (－1，y 0)，y 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32，①当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y －y 0＝k (x ＋1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12，y －y 0＝k x ＋，得(3＋4k 2)x 2＋(8ky 0＋8k 2)x ＋(4y 20＋8ky 0＋4k 2－12)＝0，所以x 1＋x 2＝－8ky 0＋8k 23＋4k 2.因为P 为MN 中点，所以x 1＋x 22＝－1，即－8ky 0＋8k 23＋4k 2＝－2，所以k ＝34y 0(y 0≠0)．因为直线l ⊥MN ，所以k l ＝－4y 03，所以直线l 的方程为y －y 0＝－4y 03·(x ＋1)，即y ＝－4y 03⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋14，显然直线l 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0. ②当直线MN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为x ＝－1， 此时直线l 为x 轴，也过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0.综上所述，直线l 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0.B 组 高考题型专练1．(2015·高考福建卷)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 解析：设椭圆的左焦点为F 1，半焦距为c ，连接AF 1，BF 1，则四边形AF 1BF 为平行四边形，所以|AF 1|＋|BF 1|＝|AF |＋|BF |＝4.根据椭圆定义，有|AF 1|＋|AF |＋|BF 1|＋|BF |＝4a .所以8＝4a ，解得a ＝2.因为点M 到直线l ：3x －4y ＝0的距离不小于45，即4b 5≥45，b ≥1，所以b 2≥1，所以a 2－c 2≥1,4－c 2≥1，解得0<c ≤3，所以0<c a ≤32，所以椭圆的离心率的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤0，32.故选A.答案：A2．(2015·高考浙江卷)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c,0)关于直线y ＝bc x的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．解析：设左焦点为F 1，由F 关于直线y ＝bc x 的对称点Q 在椭圆上，得|OQ |＝|OF |，又|OF 1|＝|OF |，所以F 1Q ⊥QF ，不妨设|QF 1|＝ck ，则|QF |＝bk ，|F 1F |＝ak ，因此2c ＝ak .又2a ＝ck ＋bk ，由以上二式可得2ca ＝k ＝2ab ＋c ，即c a ＝ab ＋c，即a 2＝c 2＋bc ，所以b ＝c ，e ＝22.答案：223．(2015·高考陕西卷)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22. (1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.解：(1)由题设知c a ＝2，b ＝1，结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2.所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：设直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0.由已知Δ>0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4kk －1＋2k 2，x 1x 2＝2kk －1＋2k 2.从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4kk －2kk －＝2k －2(k －1)＝2.4．(2015·高考天津卷)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．解：(1)由已知有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k >0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )． 由已知，有⎝ ⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，解得k ＝3.(2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c ，或x ＝c .因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，233c .由|FM |＝c ＋c2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233c －02＝43，解得c ＝1， 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，得t ＝y x ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立得⎩⎨⎧y ＝t x ＋，x 23＋y22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6.又由已知，得t ＝6－2x 2x ＋2>2，解得－32<x <－1，或－1<x <0.设直线OP 的斜率为m ，得m ＝yx ，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理可得m 2＝2x 2－23.①当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)<0，因此m >0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233.②当x ∈(－1,0) 时，有y ＝t (x ＋1)>0，因此m <0，于是m ＝－2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233.综上，直线OP 的斜率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233.。
2018年高中理科数学优化设计第一轮复习1.1
或
A=B
第一章
知识梳理 双基自测
1.1
集合的概念与运算
知识梳理 核心考点
知识体系
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3.集合的运算
集合的并集 图形 符号 A∩B ∁U A A∪B {x|x∈A,且x∈B} ={x|x∈U,且x∉A} ={x|x∈A或x∈B} = 集合的交集 集合的补集
第一章
知识梳理 双基自测
1.1
集合 自然数集 正整数集 符号 整数集 有理数集 实数集
N
N*(或N+)
Z
Q
R
第一章
知识梳理 双基自测
1.1
集合的概念与运算
知识梳理 核心考点
知识体系
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2.集合间的基本关系
关系 自然语言 符号语言 Venn 图
集合 A 中所有元素都在 子集 集合 B 中(即若 x∈A,则 x A⊆B(或B⊇A) ∈B) 集合 A 是集合 B 的子集, 真子 且集合 B 中至少有一个 A⫋B(或B⫌A) 集 元素不在集合 A 中 集合 A,B 中元素相同或 相等 集合 A,B 互为子集
第一章 集合与常用逻辑用语
第一章
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8.5
直线、平面垂直的判定与性质
知识梳理 核心考点
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续 图 形 条 件 结论 a⊥b
表
a⊥α, b⊂α 性质 a⊥α,b⊥α
a∥b
第八章
知识梳理 双基自测
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直线、平面垂直的判定与性质
知识梳理 核心考点
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2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交,如果它们所成的二面角是 说这两个平面互相垂直.
解析
关闭
C.异面且垂直
D.异面但不垂直
答案
第八章
知识梳理 双基自测
8.5
直线、平面垂直的判定与性质
知识梳理 核心考点
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4.(教材习题改编P67T2)P为△ABC所在平面外一点,O为P在平面 ABC内的射影. (1)若P到△ABC三边距离相等,且O在△ABC的内部,则O是△ABC 的 心; 关闭 (2)若PA⊥BC,PB⊥AC,则O是△ABC的 心; (1) P到△ ABC ,且O在△ABC,的内部 ,可知 O到△ (3) 若PA ,PB三边距离相等 ,PC与底面所成的角相等 则O是△ ABC 的 ABC三边距 心 . 离相等 ,即O是△ABC的内心;(2)由PO⊥平面ABC且BC⊂平面ABC,得
第八章
知识梳理 双基自测
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直线、平面垂直的判定与性质
知识梳理 核心考点
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1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)已知直线a,b,c;若a⊥b,b⊥c,则a∥c.( ) (2)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.( ) (3)设m,n是两条不同的直线,α是一个平面,若m∥n,m⊥α,则n⊥α. ( ) (4)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一 个平面.( ) (5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β. ( )
关闭
图1 图 2 就是斜边上的高, 在题图1中的等腰直角三角形 ABC中,斜边上的中线 AD 相交且垂直 B.2, 相交但不垂直 则A. AD ⊥BC,翻折后如题图 AD与BC变成异面直线,而原线段BC变成两条
线段BD,CD,这两条线段与AD垂直,即AD⊥BD,AD⊥CD,故AD⊥平面 BCD C ,所以AD⊥BC.
PO⊥BC,又PA⊥BC,PO与PA是平面POA内两条相交直线,所以BC⊥平面 POA,从而BC⊥AO.同理AC⊥BO,所以O是△ABC的垂心;(3)由PA,PB,PC
与底面所成的角相等,易得Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC,从而
OA=OB=OC O是△ABC的外心. (1) 内 (2)垂 ,所以 (3)外
①因为AE⊂平面PAC,BC⊥AC,BC⊥PA,所以AE⊥BC,故①正确;②因为
AE⊥PC,AE⊥BC,PB⊂平面PBC,所以AE⊥PB,又AF⊥PB,EF⊂平面AEF,所 以EF⊥PB,故②正确;③因为AF⊥PB,若AF⊥BC,则AF⊥平面PBC,则
AF∥AE,与已知矛盾,故③错误;由①可知④正确.
(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
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答案
第八章
知识梳理 双基自测
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直线、平面垂直的判定与性质
知识梳理 核心考点
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2.如图,O为正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列 直线中与B1O垂直的是( )
A.A1D
B.AA1
C.A1D1
D.A1C1
关闭
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直线、平面垂直的判定与性质
第八章
知识梳理 双基自测
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直线、平面垂直的判定与性质
知识梳理 核心考点
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1.直线与平面垂直
图
形
条
件 一条直
结论 a⊥α
a⊥b,b⊂α(b 为 α 内的 任意 线) 判 定 a⊥m,a⊥n,m,n⊂α, m∩n=O
a⊥α
a∥b, a⊥α
b⊥α
第八章
知识梳理 双基自测
由题易知,A1C1⊥平面BB1D1D,又OB1⊂平面DD1B1B,所以A1C1⊥B双基自测
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直线、平面垂直的判定与性质
知识梳理 核心考点
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3.(教材习题改编P69练习)将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边 BC的中线折起得到空间四面体A-BCD(如图2),则在空间四面体ABCD中,AD与BC的位置关系是( )
直二面角
,就
第八章
知识梳理 双基自测
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直线、平面垂直的判定与性质
知识梳理 核心考点
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(2)判定定理与性质定理
文字语言 如果一个平面经过另一个 判定 平面的一条 垂线 ,那 定理 么这两个平面互相垂直 如果两个平面互相垂直, 性质 那么在一个平面内垂直于 定理 它们 交线 的直线垂直 于另一个平面 图形语言 符号语言 l⊂β ⇒α⊥β l⊥α α⊥β α⋂β = a ⇒l⊥α l⊂β l⊥a
关闭
①②④
解析 答案
第八章
考点1 考点2 考点3
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直线、平面垂直的判定与性质
知识梳理 核心考点
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考点 1
直线与平面垂直的判定与性质
例1
(2016浙江,理17)如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面 ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3. (1)求证:BF⊥平面ACFD; (2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值. 思考证明线面垂直的常用方法有哪些?
解析
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答案
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直线、平面垂直的判定与性质
知识梳理 核心考点
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5.如图,PA⊥☉O所在平面,AB是☉O的直径,C是☉O上一 点,AE⊥PC,AF⊥PB,给出下列结论:①AE⊥BC;②EF⊥PB;③ AF⊥BC;④AE⊥平面PBC,其中真命题的序号 是 .
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直线、平面垂直的判定与性质
知识梳理 核心考点
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3.常用结论 (1)线面平行或垂直的有关结论 ①若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个 平面. ②若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面内的任何一 条直线(证明线线垂直的一个重要方法). ③垂直于同一条直线的两个平面平行. ④一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这一条直线与另一个 平面也垂直. ⑤两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第 三个平面. (2)证明线面垂直时,易忽视平面内两条线为相交线这一条件.