圆锥曲线离心率问题

圆锥曲线的离心率问题离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c 之间的联系。

一、基础知识： 1、离心率公式：ce a=（其中c 为圆锥曲线的半焦距） （1）椭圆：()0,1e ∈ （2）双曲线：()1,+e ∈∞2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系 （1）椭圆：222a b c =+，① 2a ：长轴长，也是同一点的焦半径的和：122PF PF a += ② 2b ：短轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距 （2）双曲线：222c b a =+① 2a ：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：122PF PF a -= ② 2b ：虚轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距。

从而可求解（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。

如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可（3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞ 二、典型例题：例1：设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为（ ）A ．3 B ．3 C ．13 D ．16思路：本题存在焦点三角形12PF F ，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=，则直角三角形12PF F 中，1212::2:1:3PF PF F F =，且12122,2a PF PF c F F =+=，所以12122323F F c c e a a PF PF ∴====+ 答案：A小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意O 为12F F 中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与O 搭配形成三角形的中位线。

例2：椭圆()222102312x y b b+=<<与渐近线为20x y ±=的双曲线有相同的焦点12,F F ,P 为它们的一个公共点,且1290F PF ∠=,则椭圆的离心率为________思路：本题的突破口在于椭圆与双曲线共用一对焦点，设122F F c =，在双曲线中，''''1::2:1:52b a bc a =⇒=，不妨设P 在第一象限，则由椭圆定义可得：1243PF PF +=，由双曲线定义可得：'1225PF PF a c -==，因为1290F PF ∠=，222124PF PF c ∴+=而()()2222121212=2PF PF PF PF PF PF ++-+代入可得：2216488105c c c +=⇒= 30c e a ∴==答案：30小炼有话说：在处理同一坐标系下的多个圆锥曲线时，它们共同的要素是联接这些圆锥曲线的桥梁，通常以这些共同要素作为解题的关键点。

例3：如图所示，已知双曲线()222210x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于,A B 两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ）A.324 B. 233 C. 305 D. 52思路：本题没有焦半径的条件，考虑利用点的坐标求解，则将所涉及的点坐标尽力用,,a b c 表示，再寻找一个等量关系解出,,a b c 的关系。

双曲线的渐近线方程为by x a=±，由直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍可得：2222221OA baba kb a b a ==--，确定直线l 的方程为()222ab y x c a b =--，与渐近线联立方程得()2222222223ab y x c abc abc a by or y ba b a b y a ⎧=-⎪⎪-⇒=-=⎨-+⎪=±⎪⎩将2AF FB =转化为坐标语言，则2A B y y =- ，即22222223abc abc a b a b =⋅+-，解得::3:1:2a b c =，从而233e =答案：B例4：设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为 A.34 B.35 C.49思路：条件与焦半径相关，所以联想到122PF PF a -=，进而与,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+找到联系，计算出,a b 的比例，从而求得e 解：122PF PF a -=()()221212124PF PF PFPF PF PF ∴+--=⋅即22229499940b a ab b ab a -=⇒--=29940b b a a ⎛⎫∴-⋅-= ⎪⎝⎭解得：13b a =-（舍）或43b a =::3:4:5a b c ∴= 53c e a ∴== 答案：B例5：如图，在平面直角坐标系xOy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 .思路：本题涉及的条件多与坐标有关，很难联系到参数的几何意义，所以考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，在利用条件求出离心。

首先直线121,A B B F 的方程含,,a b c ，联立方程后交点T 的坐标可用,,a b c 进行表示（()2,b a c ac T a c a c +⎛⎫⎪--⎝⎭），则OT 中点()(),2b a c ac M a c a c ⎛⎫+ ⎪ ⎪--⎝⎭，再利用M 点在椭圆上即可求出离心率e 解：直线12A B 的方程为：1x ya b+=-； 直线1B F 的方程为：1x yc b +=-，联立方程可得：bx ay ab cy bx bc -=-⎧⎨-=-⎩解得：2()(,)ac b a c T a c a c+--， 则()(,)2()ac b a c M a c a c +--在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上， 2222222()1,1030,1030()4()c a c c ac a e e a c a c ++=+-=+-=-- 解得：275e =- 答案：275e =-例6：已知F 是双曲线2221x a b2y －＝()0,0a b >>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为 （ ）A ． ()1,+∞B ． ()1,2C ． ()1,12+D ． ()2,12+思路：从图中可观察到若ABE 为锐角三角形，只需要AEB ∠为锐角。

由对称性可得只需0,4AEF π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭即可。

且,AF FE 均可用,,a b c 表示，AF 是通径的一半，得：2b AF a =，FE a c =+，所以()2tan 1AFb AEF FE a ac ==<+()22112c a c a e a a c a--⇒<⇒<⇒<+，即()1,2e ∈答案：B小炼有话说：（1）在处理有关角的范围时，可考虑利用该角的一个三角函数值，从而将角的问题转变为边的比值问题（2）本题还可以从直线AE 的斜率入手，()2,0,,b E a A c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，利用()1,0AE k ∈-即可求出离心率例7：已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，若椭圆上存在点P 使1221sin sin a c PF F PF F =∠∠，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）A. ()0,21-B. 2,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C. 20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D. ()21,1-思路：1221,PF F PF F ∠∠为焦点三角形12PF F 的内角，且对边为焦半径21,PF PF ，所以利用正弦定理对等式变形：1221sin sin a c PF F PF F =⇒∠∠121122sin sin PF PF F cc PF F a PF a∠=⇒=∠，再由212PF PF a +=解得：222a PF a c=+，再利用焦半径的范围为(),a c a c -+可得（由于依题意，P 非左右顶点，所以焦半径取不到边界值,a c a c -+）：22222222222222210a c a a ca a c a c a c a a ac c e e ⎧⎧-<>-⎪⎪-<<+⇒⇒⎨⎨+<+++->⎪⎪⎩⎩，解得()21,1e ∈-答案：D例8：已知12,F F 是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左右焦点，若椭圆上存在点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A. 5⎫⎪⎪⎣⎭B. 2⎫⎪⎪⎣⎭C. 5⎛⎝⎦D. 0,2⎛ ⎝⎦ 思路一：考虑在椭圆上的点P 与焦点连线所成的角中，当P 位于椭圆短轴顶点位置时，12F PF ∠达到最大值。

所以若椭圆上存在12PF PF ⊥的点P ，则短轴顶点与焦点连线所成的角90θ≥，考虑该角与,,a b c 的关系，由椭圆对称性可知，2452OPF θ∠=≥，所以22tan 1OF c OPF OP b∠==≥，即22222c b c b c a c ≥⇒≥⇒≥-，进而2212c a ≥即212e ≥，解得2e ≥，再由()0,1e ∈可得2e ⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭思路二：由12PF PF ⊥可得1290F PF ∠=，进而想到焦点三角形12F PF 的面积：122212tan2F PF F PF Sb b ∠==，另一方面：121212F PF P P S F F y c y =⋅⋅=⋅，从而22P P b c y b y c ⋅=⇒=，因为P 在椭圆上，所以[],P y b b ∈-，即2P b y b b c c=≤⇒≤，再同思路一可解得：2e ⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭思路三：12PF PF ⊥可想到120PF PF ⋅=，进而通过向量坐标化，将数量积转为方程。