【K12教育学习资料】2018高考数学一轮复习第7章立体几何第3节空间点直线平面之间的位置关系课时分
课时分层训练(三十八) 空间点、直线、平面之间的位置关系A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则( ) A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件A[若l1，l2异面，则l1，l2一定不相交；若l1，l2不相交，则l1，l2是平行直线或异面直线，故p⇒q，qD⇒/p，故p是q的充分不必要条件．]2．已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为( ) A．0 B．1C．2 D．3B[法一：在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错，③显然成立．法二：构造长方体或正方体模型可快速判断，①②错，③正确．]3．(2017·台州调考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( )A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面D[依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．]4．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定D[如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA.若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A 和C.若取C 1D 为l 4，则l 1与l 4相交；若取BA 为l 4，则l 1与l 4异面；取C 1D 1为l 4，则l 1与l 4相交且垂直．因此l 1与l 4的位置关系不能确定．]5．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，CC 1的中点，那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为( )A.45B.35 C.23D.57B [连接DF ，则AE ∥DF ，∴∠D 1FD 为异面直线AE 与D 1F 所成的角． 设正方体棱长为a ， 则D 1D ＝a ，DF ＝52a ，D 1F ＝52a ， ∴cos ∠D 1FD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52a 2－a22·52a ·52a ＝35.]二、填空题6.如图737所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点，有以下四个结论：图737①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线MN 与AC 所成的角为60°.其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)③④ [由题图可知AM 与CC 1是异面直线，AM 与BN 是异面直线，BN 与MB 1为异面直线． 因为D 1C ∥MN ，所以直线MN 与AC 所成的角就是D 1C 与AC 所成的角，且角为60°.] 7.(2017·舟山模拟)如图738所示，在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AA 1∶AB ＝2∶1，则异面直线AB 1与BD 所成的角为________.【导学号：51062229】图73860° [取A 1C 1 的中点E ，连接B 1E ，ED ，AE ，在Rt △AB 1E 中，∠AB 1E 即为所求， 设AB ＝1，则A 1A ＝2，AB 1＝3，B 1E ＝32，AE ＝32，故∠AB 1E ＝60°.] 8．如图739，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．图7394 [取CD 的中点为G (图略)，由题意知平面EFG 与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行，从而EF 与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF 在平面内，所以直线EF 与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交．故直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.]三、解答题9.如图7310所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点．问：图7310(1)AM 和CN 是否是异面直线？说明理由； (2)D 1B 和CC 1是否是异面直线？说明理由．[解] (1)AM ，CN 不是异面直线．理由：连接MN ，A 1C 1，AC .因为M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点，所以MN ∥A 1C 1.4分 又因为A 1A 綊C 1C ，所以A 1ACC 1为平行四边形， 所以A 1C 1∥AC ，所以MN ∥AC ， 所以A ，M ，N ，C 在同一平面内， 故AM 和CN 不是异面直线.7分 (2)直线D 1B 和CC 1是异面直线.9分理由：因为ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，所以B ，C ，C 1，D 1不共面．假设D 1B 与CC 1不是异面直线，则存在平面α，使D 1B ⊂平面α，CC 1⊂平面α， 所以D 1，B ，C ，C 1∈α，13分这与B ，C ，C 1，D 1不共面矛盾，所以假设不成立， 即D 1B 和CC 1是异面直线.15分10．如图7311所示，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求：图7311(1)三棱锥P ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值． [解] (1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433.6分 (2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE 是异面直线BC 与AD 所成的角(或其补角).10分在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.15分B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·绍兴二模)设α为平面，a ，b 为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( ) A ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥b B ．若a ⊥α，a ∥b ，则b ⊥α C ．若a ⊥α，a ⊥b ，则b ∥α D ．若a ∥α，a ⊥b ，则b ⊥αB [若a ∥α，b ∥α，则a 与b 相交、平行或异面，故A 错误；易知B 正确； 若a ⊥α，a ⊥b ，则b ∥α或b ⊂α，故C 错误；若a ∥α，a ⊥b ，则b ∥α或b ⊂α或b 与α相交，故D 错误．]2．(2017·浙江名校(绍兴一中)交流卷五)如图7312，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是边长为1的正方形，点E 在侧棱AA 1上，满足∠C 1EB ＝90°，则异面直线BE 与C 1B 1所成的角为________，侧棱AA 1的长的最小值为________.【导学号：51062230】图731290° 2 [连结BC 1，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，CB ⊥平面ABB 1A 1，∴∠CBE ＝90°，又C 1B 1∥BC ，∴异面直线BE 与C 1B 1所成的角为90°.设AA 1＝x ，AE ＝m (m ≥0)，所以BE 2＝1＋m 2，EC 21＝(x －m )2＋2，BC 21＝1＋x 2，因为∠C 1EB ＝90°，所以BC 21＝EC 21＋BE 2，即1＋x 2＝(x －m )2＋2＋1＋m 2，即m 2－mx ＋1＝0，所以x ＝m ＋1m≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当m ＝1m ，即m ＝1时“＝”成立.] 3．(2017·广州模拟)已知三棱锥A BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 成60°角，点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，求直线AB 和MN 所成的角.【导学号：51062231】[解] 如图，取AC 的中点P .连接PM ，PN ，又点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ，PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN 为AB 与CD 所成的角(或其补角).6分 则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°，①若∠MPN ＝60°，因为PM ∥AB ，所以∠PMN 是AB 与MN 所成的角(或其补角)． 又因为AB ＝CD ，所以PM ＝PN ，则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN ＝60°， 即AB 和MN 所成的角为60°.9分②若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形， 所以∠PMN ＝30°，即AB 和MN 所成的角为30°. 综上，直线AB 和MN 所成的角为60°或30°.12分。
【K12教育学习资料】2018年高考数学一轮复习第七章立体几何课时达标40空间点直线平面之间的位置关
2018年高考数学一轮复习第七章立体几何课时达标40 空间点、直线、平面之间的位置关系理[解密考纲]考查点、线、面的位罝关系常以选择题或填空题的形式出现．一、选择题1．设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的( C )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：直线a，b平行时，由“l⊥a，l⊥b”⇒/“l⊥α”；“l⊥α”⇒“l⊥a，l ⊥b”，所以“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的必要不充分条件．2．如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( A )A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面解析：连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1，C1，C，A四点共面．∴A1C⊂平面ACC1A1.∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1，∴M为平面ACC1A1与AB1D1的公共点．同理O，A为平面ACC1A1与平面AB1D1的公共点．∴A，M，O三点共线．3．正方体A1C中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( A )A．相交B．异面C．平行D．垂直解析：如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．4．(2017·安徽合肥模拟)已知空间中有三条线段AB ，BC 和 CD ，且∠ABC ＝∠BCD ，那么直线AB 与CD 的位置关系是( D )A ．AB ∥CD B ．AB 与CD 异面C ．AB 与CD 相交D ．AB ∥CD 或AB 与CD 异面或AB 与CD 相交解析：若三条线段共面，如果AB ，BC ，CD 构成等腰三角形，则直线AB 与CD 相交，否则直线AB 与CD 平行；若不共面，则直线AB 与CD 是异面直线．5．如图，直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，点D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1＝1，则 BD 1与AF 1所成角的余弦值为( A)A ．3010 B ．12 C ．3015D ．1510解析：取BC 的中点E ，连接EF 1，EA ，则可知∠EF 1A 或其补角为BD 1与AF 1所成的角，在△AEF 1中，可求得F 1E ＝62，AF 1＝52，AE ＝52，由余弦定理得，cos ∠EF 1A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫5222×62×52＝3010，故选A ． 6．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别在AB 1，BC 1上，且AM ＝13AB 1，BN ＝13BC 1.给出下列结论：①AA 1⊥MN ；②A 1C 1∥MN ；③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1；④B 1D 1⊥MN .其中正确结论的个数是( B )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：在BB 1上取一点P ，使BP ＝13BB 1，连接PN ，PM .∵点M ，N 分别在AB 1，BC 1上，且AM＝13AB1，BN＝13BC1，∴PN∥B1C1，PM∥A1B1.又∵PN∩PM＝P，B1C1∩A1B1＝B1，∴平面PMN∥平面A1B1C1D1.∵MN⊂平面PMN，∴MN∥平面A1B1C1D1.又∵AA1⊥平面PMN，∴AA1⊥MN.故①③正确．分别作MM1∥BB1，NN1∥CC1，交A1B1，B1C1于点M1，N1，连接M1N1，则M1N1不平行于A1C1，∴MN与A1C1不平行．又∵A1C1⊥B1D1，∴B1D1与MN不垂直，故②④不正确．∴正确结论的个数是2，故选B.二、填空题7．下列如图所示是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是①②③.解析：在④图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P，Q，R，S四点不共面．可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如图所示，取A1A与BC的中点为M，N，可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．8．四棱锥PABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是腰长为a的等腰三角形，则在四棱锥PABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有6对．解析：由题意可得PA⊥BC，PA⊥CD，AB⊥PD，BD⊥PA，BD⊥PC，AD⊥PB，即互相垂直的异面直线共有6对．9．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线MN与AC所成的角为60°.其中正确的结论为③④(填所有正确结论的序号)．解析：AM 与CC 1是异面直线，AM 与BN 是异面直线，BN 与MB 1为异面直线．因为D 1C ∥MN ，所以直线MN 与AC 所成的角就是D 1C 与AC 所成的角，为60°.三、解答题10．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，CC 1的中点，求异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小．解析：如图，连接D 1M ，可证D 1M ⊥DN . 又∵A 1D 1⊥DN ，A 1D 1，MD 1⊂平面A 1MD 1，A 1D 1∩MD 1＝D 1，∴DN ⊥平面A 1MD 1，∴DN ⊥A 1M ，即异面直线A 1M 与DN 所成的夹角为90°.11．如图，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC12AD ，BE 12FA ，G ，H 分别为 FA, FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形． (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？ 解析：(1)证明：由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ， 可得GH 12AD . 又BC12AD ，∴GH BC ． ∴四边形BCHG 为平行四边形． (2)由BE12AF ，G 为FA 的中点知，BE FG ， ∴四边形BEFG 为平行四边形． ∴EF ∥BG .由(1)知BG ∥CH ， ∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C ，D ，F ，E 四点共面．12．如图所示，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝60°，PA ＝AB ＝AC ＝2，E 是PC 的中点．(1)求证：AE 与PB 是异面直线；(2)求异面直线AE 和PB 所成角的余弦值； (3)求三棱锥A EBC 的体积．解析：(1)证明：假设AE 与PB 共面，设平面为α. 因为A ∈α，B ∈α，E ∈α， 所以平面α即为平面ABE ，所以P ∈平面ABE ， 这与P ∉平面ABE 矛盾， 所以AE 与PB 是异面直线． (2)取BC 的中点F ，连接EF ，AF ， 则EF ∥PB ，所以∠AEF 或其补角就是异面直线AE 和PB 所成的角，因为∠BAC ＝60°，PA ＝AB ＝AC ＝2，PA ⊥平面ABC ，所以AF ＝3，AE ＝2，EF ＝2， 由余弦定理得cos ∠AEF ＝2＋2－32×2×2＝14，所以异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为14.(3)因为E 是PC 的中点，所以点E 到平面ABC 的距离为12PA ＝1，V A EBC ＝V E ABC ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×32×1＝33.。
高考数学一轮复习第七篇立体几何与空间向量第3节空间点直线平面之间的位置关系训练理新人教版
第3节空间点、直线、平面之间的位置关系基础巩固(时间:30分钟)1.已知空间三条直线l,m,n,若l与m异面,且l与n异面,则( D )(A)m与n异面(B)m与n相交(C)m与n平行(D)m与n异面、相交、平行均有可能解析:在如图所示的长方体中,m,n1与l都异面,但是m∥n1,所以A,B错误;m,n2与l都异面,且m,n2也异面,所以C错误.2.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是( D )解析: 在A图中分别连接PS,QR,易证PS∥QR,所以P,Q,R,S共面;在C图中分别连接PQ,RS,易证PQ∥RS,所以P,Q,R,S共面;在B图中过P,Q,R,S可作一正六边形,故四点共面;D图中PS与QR为异面直线,所以四点不共面,故选D.3.如图是某个正方体的侧面展开图,l1,l2是两条侧面对角线,则在正方体中,l1与l2( D )(A)互相平行(B)异面且互相垂直(C)异面且夹角为(D)相交且夹角为解析:将侧面展开图还原成正方体如图所示,则B,C两点重合.故l1与l2相交,连接AD,△ABD为正三角形,所以l1与l2的夹角为.故选D.ABCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则下列判断:①MN≥(AC+BD);②MN> (AC+BD);③MN= (AC+BD);④MN< (AC+BD).其中正确的是( D )(A)①③ (B)②④ (C)② (D)④解析:如图,取BC的中点O,连接MO,NO,则OM=AC,ON=BD.在△MON中,MN<OM+ON= (AC+BD),所以④正确.5.在正方体ABCDA1B1C1D1中,P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,那么正方体过P,Q,R的截面图形是( D )(A)三角形(B)四边形(C)五边形(D)六边形解析:如图所示,作RG∥PQ交C1D1于G,连接QP并延长与CB延长线交于M,且QP反向延长线与CD延长线交于N,连接MR交BB1于E,连接PE,则PE,RE为截面与正方体的交线,同理连接NG交DD1于F,连接QF,FG,则QF,FG为截面与正方体的交线,所以截面为六边形PQFGRE.DABC的三视图,点O在三个视图中都是所在边的中点,则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于( A )(A)(B) (C)(D)解析:由题意得如图的直观图,从A出发的三条线段AB,AC,AD两两垂直且AB=AC=2,AD=1,O是BC中点,取AC中点E,连接DE,DO,OE,则OE=1.又可知AE=1,由于OE∥AB,故∠DOE或其补角即为所求两异面直线所成的角.在直角三角形DAE中,DE=,由于O是中点,在直角三角形ABC中可以求得AO=.在直角三角形DAO中可以求得DO=,又EO=1,所以△DOE为直角三角形,cos∠DOE==,故所求余弦值为,故选A.7.如图所示,在三棱锥ABCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则当AC,BD满足条件时,四边形EFGH为菱形,当AC,BD满足条件时,四边形EFGH是正方形.解析:易知EH∥BD∥FG,且EH=BD=FG,同理EF∥AC∥HG,且EF=AC=HG,显然四边形EFGH为平行四边形.要使平行四边形EFGH为菱形需满足EF=EH,即AC=BD;要使平行四边形EFGH为正方形需满足EF=EH且EF⊥EH,即AC=BD且AC⊥BD.答案:AC=BD AC=BD且AC⊥BD·安庆市二模)正四面体ABDC中,E,F分别为边AB,BD的中点,则异面直线AF,CE所成角的余弦值为.解析:如图,连接CF,取BF的中点M,连接CM,EM,则ME∥AF,故∠CEM(或其补角)即为所求的异面直线所成的角.设这个正四面体的棱长为2,在△ABD中,AF==CE=CF,EM=,CM=.所以cos∠CEM==.答案:能力提升(时间:15分钟)9.如图,ABCDA1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是( A )(A)A,M,O三点共线(B)A,M,O,A1不共面(C)A,M,C,O不共面(D)B,B1,O,M共面解析:连接A1C1,AC,则A1C1∥AC,所以A1,C1,C,A四点共面,所以A1C⊂平面ACC1A1,因为M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1,又M∈平面AB1D1,所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,又A在平面ACC1A1和平面AB1D1的交线上.所以A,M,O三点共线.B,C不正确,BB1与AO异面,所以D不正确.故选A.10.长方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上,E为AB的中点,CE=3,异面直线A1C1与CE所成角的余弦值为,且四边形ABB1A1为正方形,则球O的直径为( C )(A)4 (B)(C)4或(D)4或5解析:设AE=x,则BC=,AC=.因为A1C1∥AC,所以∠ACE为异面直线A1C1与CE所成的角,由余弦定理得=,所以x4-7x2+6=0,所以x2=1或6,所以x=1或.设球O的半径为R,则2R===4或.故选C.11.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是棱C1D1,C1C的中点,给出以下四个结论:①直线AM与直线C1C相交;②直线AM与直线BN平行;③直线AM与直线DD1异面;④直线BN与直线MB1异面.其中正确结论的序号为.(把你认为正确的结论的序号都填上)解析:AM与C1C异面,故①错;AM与BN异面,故②错.易知③④正确.答案:③④12.在正三棱柱ABCA1B1C1中,D是AC的中点,AA1∶AB=∶1,则异面直线AB1与BD所成的角为.解析:如图,取A1C1的中点D1,连接B1D1,因为D是AC的中点,所以B1D1∥BD,所以∠AB1D1即为异面直线AB1与BD所成的角.连接AD1,设AB=a,则AA1=a,所以AB1=a,B1D1=a,AD1==a.所以,在△AB1D1中,由余弦定理得cos∠AB1D1===,所以∠AB1D1=60°.答案:60°,在体积为的正三棱锥ABCD中,BD长为2,E为棱BC的中点,求:(1)异面直线AE与CD所成角的余弦值;(2)正三棱锥ABCD的表面积.解:(1)过点A作AO⊥平面BCD,垂足为O,则O为△BCD的中心,由××22×3×AO=,得AO=1.又在正三角形BCD中得OE=1,所以AE=.取BD中点F,连接AF,EF,故EF∥CD,所以∠AEF就是异面直线AE与CD所成的角.在△AEF中,AE=AF=,EF=.所以cos∠AEF==.所以,异面直线AE与CD所成的角的余弦值为.(2)由AE=可得正三棱锥ABCD的侧面积为S=3··BC·AE=×2×=3,所以正三棱锥ABCD的表面积为S=3+·BC2=3+3.。
2018届高三数学文一轮复习课件：7-3 空间点、直线、平面之间的位置关系 精品
2．(2015·广东卷)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是 平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )
A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交 解析：可用反证法。假设 l 与 l1，l2 都不相交，因为 l 与 l1 都在平面 α 内， 于是 l∥l1，同理 l∥l2，于是 l1∥l2，与已知矛盾，故 l 至少与 l1，l2 中的一条相 交。
[规律方法] (1)异面直线，可采用直接法或反证法。 (2)平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面 面平行的性质定理。 (3)垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决。
【微练2】在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中 点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有__________。(填上所有正确答 案的序号)
解析：如题干图①中，直线GH∥MN； 图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图 ③中连接MG，GM∥HN， 因此GH与MN共面； 图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN， ∴GH与MN异面。 所以图②④中GH与MN异面。 答案：②④
微考点
两条异面直线所成的角
【典例3】已知正方体ABCD-A1B1C1D1。 (1)求AC与A1D所成角的大小；
由题知AC＝2，BC＝ 13，SB＝ 29，可得DE＝ 217，EF＝2，DF＝52。在
△DEF中，由余弦定理可得cos∠FED＝DE2＋2DEEF·E2－F DF2＝ 1177。
答案：
17 17
4．(2016·泸州模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1 ＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值为________。
高考数学一轮复习第7章立体几何第3讲空间点直线平面之间的位置关系
第三讲 空间点、直线、平面之间的位置关系知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 平面的基本性质公理1：如果一条直线上的_两点__在一个平面内,那么这条直线在这个平面内． 公理2：过_不共线__的三点,有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们_有且只有一条__过该点的公共直线． 知识点二 空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行 关系 图形语言符号语言 a ∥ba ∥αα∥β相交 关系图形语言符号语言 a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l独有 关系 图形语言符号语言a,b 是异面直线a ⊂α(1)异面直线所成的角①定义：设a,b 是两条异面直线,经过空间中任一点O 作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的_锐角或直角__叫做异面直线a 与b 所成的角．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.(2)平行公理平行于同一条直线的两条直线_平行__. (3)等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角_相等或互补__.重要结论异面直线的判定定理过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．用符号可表示为：若l⊂α,A∉α,B∈α,B∉l,则直线AB与l是异面直线(如图)．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个不重合的平面α,β有一条公共直线a,就说平面α,β相交,并记作α∩β＝a.( √)(2)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线．( ×)(3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合．( ×)(4)经过两条相交直线,有且只有一个平面．( √)(5)两两相交的三条直线共面．( ×)(6)若a,b是两条直线,α,β是两个平面,且a⊂α,b⊂β,则a,b是异面直线．( ×)题组二走进教材2．(必修2P52B组T1)如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C 与EF所成角的大小为( C )A．30°B．45°C．60°D．90°[解析] 连接B1D1,D1C,则B1D1∥EF,故∠D1B1C即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C,∴△B1D1C为等边三角形,∴∠D1B1C＝60°.故选C．3．(必修2P45例2)如图,在三棱锥A－BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA上的点,(1)若AE EB ＝AH HD 且CF FB ＝CGGD,则E 、F 、G 、H 是否共面．_共面__.(2)若E 、F 、G 、H 分别为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点,①当AC,BD 满足条件_AC ＝BD__时,四边形EFGH 为菱形；②当AC,BD 满足条件_AC ＝BD 且AC ⊥BD__时,四边形EFGH 为正方形．题组三 走向高考4．(2019·新课标Ⅲ)如图,点N 为正方形ABCD 的中心,△ECD 为正三角形,平面ECD ⊥平面ABCD,M 是线段ED 的中点,则( B )A ．BM ＝EN,且直线BM,EN 是相交直线B ．BM≠EN ,且直线BM,EN 是相交直线C ．BM ＝EN,且直线BM,EN 是异面直线D ．BM≠EN ,且直线BM,EN 是异面直线[解析] ∵点N 为正方形ABCD 的中心,△ECD 为正三角形,M 是线段ED 的中点,∴BM ⊂平面BDE,EN ⊂平面BDE,∵BM 是△BDE 中DE 边上的中线,EN 是△BDE 中BD 边上的中线, ∴直线BM,EN 是相交直线, 设DE ＝a,则BD ＝2a, ∵平面ECD ⊥平面ABCD, ∴BE ＝34a 2＋54a 2＝2a, ∴BM ＝72a,EN ＝34a 2＋14a 2＝a, ∴BM≠EN ,故选B ．5．(2017·新课标Ⅱ)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,∠ABC ＝120°,AB ＝2,BC ＝CC 1＝1,则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( C )A ．32 B ．155 C ．105D ．33[解析] 解法一：如图所示,补成四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1,连DC 1、BD,则DC 1∥AB 1,∴∠BC 1D 即为异面直线AB 1与BC 1所成的角, 由题意知BC 1＝2,BD ＝22＋12－2×2×1×cos 60°＝3, C 1D ＝5,∴BC 21＋BD 2＝C 1D 2,∴∠DBC 1＝90°, ∴cos ∠BC 1D ＝25＝105.故选C ． 解法二：(向量法)如图建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),A(2,0,0),B 1(0,0,1),C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，1,从而AB 1→＝(－2,0,1),BC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，1,记异面直线AB 1与BC 1所成角为θ,则cos θ＝|AB 1→·BC 1→||AB 1→|·|BC 1→|＝25×2＝105,故选C ．解法三：如图所示,分别延长CB,C 1B 1至D,D 1,使BD ＝BC,B 1D 1＝B 1C 1,连接DD 1,B 1D ．由题意知,C 1B B 1D,则∠AB 1D 即为异面直线AB 1与BC 1所成的角．连接AD,在△ABD 中,由AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB·BD·cos∠ABD,得AD ＝ 3. 又B 1D ＝BC 1＝2,AB 1＝5,∴cos ∠AB 1D ＝AB 21＋B 1D 2－AD 22AB 1·B 1D ＝5＋2－32×5×2＝105.考点突破·互动探究考点一 平面基本性质的应用——自主练透例1 如图,在空间四边形ABCD 中,E,F 分别是AB,AD 的中点,G,H 分别在BC,CD 上,且BG ︰GC ＝DH ︰HC ＝1︰2.(1)求证：E,F,G,H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P,求证：P,A,C 三点共线． [解析] (1)证明：∵E,F 分别为AB,AD 的中点, ∴EF ∥BD ．在△BCD 中,BG GC ＝DH HC ＝12,∴GH ∥BD,∴EF ∥GH. ∴E,F,G,H 四点共面．(2)∵EG∩FH＝P,P ∈EG,EG ⊂平面ABC, ∴P ∈平面ABC ．同理P ∈平面ADC ． ∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点． 又平面ABC∩平面ADC ＝AC, ∴P ∈AC,∴P,A,C 三点共线．注：本题(2)可改为：求证GE 、HF 、AC 三线共点．名师点拨1．证明空间点共线问题的方法(1)公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上．(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上．2．点、线共面的常用判定方法(1)纳入平面法：先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内．(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合．3．证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点．〔变式训练1〕如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点．求证：(1)E,C,D1,F四点共面；(2)CE,D1F,DA三线共点．[解析] (1)如图,连接EF,CD1,A1B．因为E,F分别是AB,AA1的中点,所以EF∥A1B．又A1B∥CD1,所以EF∥CD1,所以E,C,D1,F四点共面．(2)因为EF∥CD1,EF<CD1,所以CE与D1F必相交,设交点为P,则由P∈CE,CE⊂平面ABCD,得P∈平面ABCD．同理P∈平面ADD1A1.又平面ABC D∩平面ADD1A1＝DA,所以P∈直线DA．所以CE,D1F,DA三线共点.考点二空间两条直线的位置关系——师生共研例2 (1)(2019·上海)已知平面α、β、γ两两垂直,直线a、b、c满足：a⊂α,b⊂β,c⊂γ,则直线a、b、c不可能满足以下哪种关系( B )A．两两垂直B．两两平行C．两两相交D．两两异面(2)如图所示,正方体ABCD－A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为_③④__(注：把你认为正确的结论序号都填上)．[解析] (1)如图1,可得a、b、c可能两两垂直；如图2,可得a、b、c可能两两相交；如图3,可得a、b、c可能两两异面；故选B．(2)因为点A在平面CDD1C1外,点M在平面CDD1C1内,直线CC1在平面CDD1C1内,CC1不过点M,所以AM与CC1是异面直线,故①错；取DD1中点E,连接AE,则BN∥AE,但AE与AM相交,故②错；因为B1与BN都在平面BCC1B1内,M在平面BCC1B1外,BN不过点B1,所以BN与MB1是异面直线,故③正确；同理④正确,故填③④.名师点拨1．异面直线的判定方法(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．(2)判定定理法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．2．判定平行直线的常用方法(1)三角形中位线的性质．(2)平行四边形的对边平行．(3)平行线分线段成比例定理．(4)公理：若a∥b,b∥c,则a∥c.〔变式训练2〕(1)(2021·甘肃诊断)如图为正方体表面的一种展开图,则图中的AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面直线的有_3__对．(2)(多选题)(2021·湘潭调研改编)下图中,G,N,M,H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形是( BD )[解析] (1)画出该正方体的直观图如图所示,其中异面直线有(AB,GH),(AB,GD),(GH,EB)．故共有3对．故答案为：3.(2)图A中,直线GH∥MN；图B中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,N∉HG,因此直线GH与MN异面；图C中,连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面；图D中,G、M、N共面,但H∉平面GMN,G∉MN因此GH与MN异面,故选B、D．考点三异面直线所成的角——师生共研例3 (1)(2021·广西玉林模拟)如图,正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别为A1B1,CD的中点,则异面直线D1E与A1F所成的角的余弦值为( A )A ．55 B ．56 C ．33D ．36(2)(2021·山东泰安模拟)如图,在三棱锥A －BCD 中,AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3,AD ＝BC ＝2,点M,N 分别为AD,BC 的中点,则异面直线AN,CM 所成的角的余弦值是( C )A ．58 B ．58 C ．78D ．78(3)若两条异面直线a 、b 所成角为60°,则过空间一点O 与两异面直线a 、b 所成角都为60°的直线有_3__条．[解析] (1)解法一：(平移法) 如图,连接BE,BF 、D 1F,由题意知BED 1F 为平行四边形, ∴D 1E ∥BF,∴异面直线D 1E 与A 1F 所成角为A 1F 与BF 所成锐角,即∠A 1FB, 连接A 1B,设AB ＝2,则在△A 1BF 中,A 1B ＝22,BF ＝5, A 1F ＝AA 21＋AD 2＋DF 2＝3,∴cos ∠A 1FB ＝A 1F 2＋BF 2－A 1B 22·A 1F·BF ＝9＋5－82×3×5＝55.∴异面直线D 1E 与A 1F 所成的角的余弦值为55.故选A ． 解法二：(向量法)如图建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为2,异面直线D 1E 与A 1F 所成角为θ, 则D 1E →＝(2,1,0),A 1F →＝(－2,1,－2),∴cos θ＝|D 1E →·A 1F →||D 1E →|·|A 1F →|＝35×3＝55.故选A ．(2)连接ND,取ND 的中点E,连接ME,则ME ∥AN,异面直线AN,CM 所成的角就是∠EMC,∵AN ＝AB 2－BN 2＝22, ∴ME ＝2＝EN,MC ＝22,又∵EN ⊥NC,∴EC ＝EN 2＋NC 2＝3,∴cos ∠EMC ＝EM 2＋MC 2－EC 22EM·MC ＝2＋8－32×2×22＝78.故选C ．(3)如图,过O 分别作a′∥a,b′∥b,则a′,b′所成角为60°,如图易知过O 与a′、b′所成角都为60°的直线有3条, 即与a,b 所成角都为60°的直线有3条．[引申1]本例(2)中MN 与BD 所成角的余弦值为_73__. [解析] 取CD 的中点H,连DN,NH,MH,则NH ∥BD,∠HNM 为异面直线MN 与BD 所成的角,由题意知AN ＝22,从而MN ＝7,又NH ＝32＝MH,∴cos ∠HNM ＝12MN NH ＝73.[引申2]本例(3)中与异面直线a 、b 所成角都为75°的直线有_4__条． 注：本例中,若直线与异面直线所成角都为θ,则 (1)0<θ<π6时,0条；(2)θ＝π6时,1条；(3)π6<θ<π3时,2条；(4)π3<θ<π2时,4条；(5)θ＝π2时,1条．名师点拨求异面直线所成角的方法1．平移法(1)一作：根据定义作平行线,作出异面直线所成的角． (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角． (3)三求：解三角形,求出所作的角．注：①为便于作出异面直线所成角,可用补形法,如将三棱柱补成四棱柱；②注意余弦定理的应用． 2．向量法建立空间直角坐标系,利用公式|cos θ|＝|m·n||m||n|求出异面直线的方向向量的夹角．若向量夹角是锐角或直角,则该角即为异面直线所成角；若向量夹角是钝角,则异面直线所成的角为该角的补角．〔变式训练3〕(1)(2021·山西运城调研)如图,等边△ABC 为圆锥的轴截面,D 为AB 的中点,E 为弧BC 的中点,则直线DE 与AC 所成角的余弦值为( C )A ．13 B ．12 C ．22D ．34(2)(2021·黑龙江师大附中期中)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,AB ⊥AC,AB ＝AC ＝AA 1,则直线A 1B 与AC 1所成角的大小为( B )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°[解析] (1)取BC 的中点O,连接OE,OD,∵D 为AB 的中点, ∴OD ∥AC,∴∠EDO 即为DE 与AC 所成的角,由E 为BC ︵的中点得OE ⊥BC,又平面ABC ⊥平面BCE, ∴OE ⊥平面ABC,从而OE ⊥OD, 设正△ABC 的边长为2a,则OD ＝a ＝OE, ∴cos ∠EDO ＝cos π4＝22,故选C ．(2)解法一：(平移法)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,连接A 1C,A 1C∩AC 1＝O,则O 为A 1C 的中点,取BC 的中点H,连接OH,则OH ∥A 1B,∴∠AOH 或其补角即为直线A 1B 与AC 1所成的角．设AB ＝AC ＝AA 1＝1,则BC ＝2, 易得AO ＝AH ＝OH ＝22, ∴三角形AOH 是正三角形,∴∠AOH ＝60°,即异面直线所成角为60°.故选B ． 解法二：(向量法)如图建立空间直角坐标系,不妨设AB ＝1,A 1B 与AC 1所成角为θ,则A 1B →＝(1,0,－1),AC 1→＝(0,1,1), ∴cos θ＝|A 1B →·AC 1→||A 1B →|·|AC 1→|＝12×2＝12.∴θ＝60°,故选B ．名师讲坛·素养提升 空间几何体的截面问题例4 (原创)E 、F 分别为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1、C 1D 1的中点,若AB ＝6,则过A 、E 、F 三点的截面的面积为_71532__.[解析] 作直线EF 分别与直线DC 、DD 1相交于P 、Q,连AP 交BC 于M,连AQ 交A 1D 1于N,连接NF 、ME. 则五边形AMEFN 即为过A 、E 、F 三点的截面． 由题意易知AP ＝AQ ＝117,PQ ＝92, ∴S △APQ ＝91532,又ME ∥AQ,且EM AQ ＝13,∴S △MPE ＝S △QNF ＝19S △APQ ,∴S AMEFN ＝79S △APQ ＝71532.名师点拨作出截面的关键是找到截线,作出截线的主要根据有： (1)确定平面的条件； (2)三线共点的条件； (3)面面平行的性质定理． 〔变式训练4〕(多选题)(2021·百师联盟联考)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2,用一个平面α截这个正方体,把该正方体分为体积相等的两部分,则下列结论正确的是( AD )A ．这两部分的表面积也相等B ．截面可以是三角形C ．截面可以是五边形D ．截面可以是正六边形[解析] 平面α截这个正方体,把该正方体分为体积相等的两部分,则平面α一定过正方体的中心,所以这两部分的表面积也相等,根据对称性,截面不会是三角形、五边形,但可以是正六边形(如图)．故选AD ．。
2018高考数学一轮复习第7章立体几何第3节空间点直线平面之间的位置关系教师用书
第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． (2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间点、直线、平面之间的位置关系平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 4．异面直线所成的角(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角．(2)范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线．( )(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．( )(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( )(4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面．( )[答案] (1)×(2)√(3)×(4)×2．(教材改编)如图731所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )图731A．30°B．45°C．60°D．90°C[连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.]3．在下列命题中，不是公理的是( )A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线A[A不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B，C，D是平面的基本性质公理．] 4．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.] 5．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________.【导学号：51062227】b与α相交或b⊂α或b∥α如图11111的中点．求证：图732(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．[证明] (1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.4分又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面.6分(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈直线CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.10分同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点.15分[规律方法] 1.证明线共面或点共面的常用方法：(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．2．证明点共线问题的常用方法：(1)基本性质法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上．(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上． [变式训练1] 如图733所示，四边形ABEF 和ABCD 都是梯形，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．图733(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？[解] (1)证明：由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，得GH 綊12AD .4分又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 是平行四边形.6分 (2)C ，D ，F ，E 四点共面，理由如下： 由BE 綊12AF ，G 为FA 的中点知BE 綊GF ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG .10分 由(1)知BG ∥CH ，∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C ，D ，F ，E 四点共面.15分(1)1212内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交(2)(2017·绍兴模拟)在图734中，G ，H ，M ，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．①②③④图734(1)D(2)②④[(1)由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH 与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图②④中，GH与MN异面．][规律方法] 1.异面直线的判定方法：(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．2．点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系．[变式训练2] (2017·嘉兴质检)a，b，c表示不同的直线，M表示平面，给出四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b或a，b相交或a，b异面；②若b⊂M，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中正确的为( ) A．①④B．②③C．③④D．①②A[对于①，当a∥M，b∥M时，则a与b平行、相交或异面，①为真命题．②中，b ⊂M，a∥b，则a∥M或a⊂M，②为假命题．命题③中，a与b相交、平行或异面，③为假命题．由线面垂直的性质，命题④为真命题，所以①④为真命题．](1)如图735，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )。
(全国版)高考数学一轮复习 第7章 立体几何 第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系增分练-人教版
第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．[2018·某某模拟]直线l1，l2平行的一个充分条件是( )A．l1，l2都平行于同一个平面B．l1，l2与同一个平面所成的角相等C．l1平行于l2所在的平面D．l1，l2都垂直于同一个平面答案 D解析对A，当l1，l2都平行于同一个平面时，l1与l2可能平行、相交或异面；对B，当l1，l2与同一个平面所成角相等时，l1与l2可能平行、相交或异面；对C，l1与l2可能平行，也可能异面，只有D满足要求．故选D.2．[2018·某某期末]已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l( )A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面答案 C解析直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错误；l⊂α时，在平面α内不存在与l异面的直线，∴D错误；l∥α时，在平面α内不存在与l相交的直线，∴B错误．无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．故选C.3．已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3答案 B解析解法一：在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，并且相交或异面时不一定垂直，所以①②错，③显然成立．解法二：构造长方体或正方体模型可快速判断，①②错，③正确．故选B.4．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定答案 D解析构造如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l4，故排除A，B，C.故选D.5.如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A．点A B．点BC．点C但不过点M D．点C和点M答案 D解析∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．故选D.6．[2018·某某模拟]已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝c.①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；③若a∥b，则必有a∥c；④若a⊥b，a⊥c，则必有α⊥β.其中正确的命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析①中若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交，故①正确；②中平面α⊥平面β时，若b⊥c，则b⊥平面α，此时不论a，c是否垂直，均有a⊥b，故②错误；③中当a∥b时，则a∥平面β，由线面平行的性质定理可得a∥c，故③正确；④中若b∥c，则a⊥b，a⊥c时，a与平面β不一定垂直，此时平面α与平面β也不一定垂直，故④错误，所以正确命题的个数是2.故选C.7.如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )A.15 B.25C.35 D.45答案 D解析连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1或其补角即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，则A1C1＝2，A1B＝BC1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝5＋5－22×5×5＝45.则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45.故选D.8.如图，在三棱锥D －ABC 中，AC ＝BD ，且AC ⊥BD ，E ，F 分别是棱DC ，AB 的中点，则EF 和AC 所成的角等于( )A ．30° B．45° C ．60° D．90° 答案 B解析 如图所示，取BC 的中点G ，连接FG ，EG . ∵E ，F 分别为CD ，AB 的中点，∴FG ∥AC ，EG ∥BD ， 且FG ＝12AC ，EG ＝12BD .∴∠EFG 为EF 与AC 所成的角． ∵AC ＝BD ，∴FG ＝EG . ∵AC ⊥BD ，∴FG ⊥EG ， ∴∠FGE ＝90°，∴△EFG 为等腰直角三角形，∴∠EFG＝45°，即EF与AC所成的角为45°.故选B.9.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案②③④解析还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.10．[2018·某某模拟]如下图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．答案②④解析①中HG∥MN；③中GM∥HN且GM≠HN，所以直线HG与MN必相交．[B级知能提升]1．[2018·某某模拟]设a，b是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是( ) A．存在唯一直线l，使得l⊥a，且l⊥bB．存在唯一直线l，使得l∥a，且l⊥bC．存在唯一平面α，使得a⊂α，且b∥αD．存在唯一平面α，使得a⊂α，且b⊥α答案 C解析a，b是互不垂直的两条异面直线，把它放入正方体中如图，由图可知A不正确；由l∥a，且l⊥b，可得a⊥b，与题设矛盾，故B不正确；由a⊂α，且b⊥α，可得a⊥b，与题设矛盾，D不正确．故选C.2.[2018·某某模拟]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是( )A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行答案 D解析如图，连接C1D，在△C1DB中，MN∥BD，故C项正确；因为CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD，所以MN与CC1垂直，故A项正确；因为AC⊥BD，MN∥BD，所以MN与AC垂直，故B项正确；因为A1B1与BD异面，MN∥BD，所以MN与A1B1不可能平行，D项错误．故选D.3.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是________．(填序号)①A，M，O三点共线；②A，M，O，A1四点共面；③A，O，C，M四点共面；④B，B1，O，M四点共面．答案④解析连接AO，则AO是平面AB1D1与平面AA1C1C的交线．因为A1C⊂平面AA1C1C，M∈A1C，所以M∈平面AA1C1C.又M∈平面AB1D1，所以M∈AO，故A，M，O三点共线，从而易知①②③均正确．4.如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC 的中点．(1)求证：AE与PB是异面直线；(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值；(3)求三棱锥A－EBC的体积．解(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为α，∵A∈α，B∈α，E∈α，∴平面α即为平面ABE，∴P∈平面ABE，这与P∉平面ABE矛盾，∴AE与PB是异面直线．(2)取BC的中点F，连接EF，AF，则EF∥PB，所以∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角．∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，∴AF＝3，AE＝2，EF＝2，cos ∠AEF ＝2＋2－32×2×2＝14，∴异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为14.(3)因为E 是PC 的中点，所以E 到平面ABC 的距离为12PA ＝1，V A －EBC ＝V E －ABC ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×3×1＝33. 5.[2018·某某一中模拟]已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为2，A 1在底面ABC 内的射影O 为底面△ABC 的中心，如图所示．(1)连接BC 1，求异面直线AA 1与BC 1所成角的大小； (2)连接A 1C ，A 1B ，求三棱锥C 1－BCA 1的体积．解 (1)连接AO ，并延长与BC 交于点D ，则D 是BC 边的中点． ∵点O 是正△ABC 的中心，且A 1O ⊥平面ABC ，∴BC ⊥AD ，BC ⊥A 1O .∵AD ∩A 1O ＝O ，∴BC ⊥平面ADA 1. ∴BC ⊥AA 1.又AA 1∥CC 1，∴异面直线AA 1与BC 1所成的角为∠BC 1C 或其补角． ∵CC 1⊥BC ，即四边形BCC 1B 1为正方形，∴异面直线AA 1与BC 1所成角的大小为π4.(2)∵三棱柱的所有棱长都为2， ∴可求得AD ＝3，AO ＝23AD ＝233，A 1O ＝AA 21－AO 2＝263.∴VABC －A 1B 1C 1＝S △ABC ·A 1O ＝22， VA 1－B 1C 1CB ＝VABC －A 1B 1C 1－VA 1－ABC ＝423. ∴VC 1－BCA 1＝VA 1－BCC 1＝12VA 1－BCC 1B 1＝223.。
最新-2018年高考数学一轮复习 第7章立体几何空间点、平面、直线之间的位置关系课件 精品
1
3
CH= DC.求3 证：
（1）E，F，G，H
四点共面；
（2）三直线FH，EG，
AC共点.
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（1）连接EF，GH.
由E,F分别为AB,AD中点，
∴EF
＝∥
1BD,由CG= 2
1 BC 3
CH=
1 3
DC，
∴HG
＝∥
1 3BD，
∴EF∥HG且EF≠HG.
∵EF,HG可确定平面α,
∴E,F,G,H四点共面.
a′∥a,b′∥b，把直线a′与b′所成的
锐角(叫或做直异角面) 直
线a与b所成的角(或夹角).
三、空间直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有且只有三种： （1）直线在平面内： 有无数个公共点 ； （2）直线与平面相交： 有且只有一个公共点 ；
（3）直线与平面平行： 没有公共点 ，
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直线与平面相交或平行的情况统称 直线在平面外 .
∵O∈直线a,M∈直线a,
∴直线a ⊂ α. 同理b⊂ α,c ⊂ α.
∴a,b,c,d四线共面.
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(2)如图,设直线a,b,c,d两两相交,且任意三条不共点. ∵直线a∩b=M,∴直线a和b确定平面α. ∵a∩c=N,b∩c=Q,∴N,Q都在平面α内. ∴直线a,b,c,d共面于α. 综合（1），（2）知,两 两相交而不过同一点的 四条直线必在同一平面内.
A∈平面α,②B ∈α,③直线a ≠⊂α,④A ∈a,则直线AB与a
异面.
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＊对应演练＊
如图所示，E,F在AD上， G,H在BC上，图中8条线 段所在的直线，哪些直线 互为异面直线？
先找规律性较强的直线，如AB与CD，AC与BD，AD与 BC互为异面直线，然后再把EG添入，那么易得EG分别与 AB,AC,BD,DC成异面直线.同理，FH也与它们分别成 异 面直线，EG与FH也互为异面直线.每两条异面直线称 为 “一对”，则共有12对异面直线.
高三理科数学一轮复习 第七章 立体几何 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系课件
【针对训练】
平面α外有两条直线m和n,如果m和n在平面α内的射影分别是直线m1和直线n1,给出下列四个命题: ①m1⊥n1⇒m⊥n;②m⊥n⇒m1⊥n1;③m1与n1相交⇒m与n相交或重合;④m1与n1平行⇒m与n平行或 重合.其中不正确的命题个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
D 【解析】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中AD1,AB1,B1C在底面 上的射影分别是A1D1,A1B1,B1C1.A1D1⊥A1B1,但AD1不垂直AB1,故① 不正确;又AD1⊥B1C,但A1D1∥B1C1,故②也不正确;若m1与n1相交,则m 与n还可以异面,③不正确;若m1与n1平行,m与n可以平行,也可以异面, ④不正确.
说明:两条异面直线所成的角的范围是
0,
π 2
.
4
3.空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
位置关系
图形语言
符号语言
直线在平面内
a⊂α
公共点 无数个
直线与平面 直线在 平面外
相交
平行
a∩α=A a∥α
有且只 有一个
无
两平面平行
平面与平面
两平面相交
α∥β
无
α∩β=a 有无数个(在一条直线上)
4.常用的数学方法与思想
(1)判断四边形D1MBN的形状;
【(解2)析求】四(边1)四形边D形1MDB1NM的BN面为积菱.形.取 BB1 的中点 Q,连接 QN,
则 QN B1C1,B1C1 A1D1, 所以 QN A1D1, 所以四边形 A1D1NQ 是平行四边形, 所以 D1N A1Q, 又 BM A1Q, 所以 D1N BM, 所以四边形 D1MBN 是平行四边形, 又 D1M=BM, 所以四边形 D1MBN 是菱形.
2018高考数学(文)第七篇 立体几何 第3节 空间点 直线
第3节空间点、直线、平面之间的位置关系【选题明细表】基础对点练(时间:30分钟)1.(2016·广州期中)空间中,可以确定一个平面的条件是( C )(A)三个点(B)四个点(C)三角形(D)四边形2.若点M在直线a上,a在平面α内,则M,a,α间的关系可记为( B )(A)M∈a,a∈α(B)M∈a,a⊂α(C)M⊂a,a⊂α(D)M⊂a,a∈α解析:点M在直线a上,记为M∈a;a在平面α内记为a⊂α.3.(2016·黄埔区月考)若一个角的两边分别和另一个角的两边平行,那么这两个角( C )(A)相等 (B)互补(C)相等或互补(D)无法确定4. 如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( D )(A) (B)(C) (D)解析: 连接BC1,易证BC1∥AD1,则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角.连接A1C1,由AB=1,AA1=2,则A 1C1=,A1B=BC1=,故cos ∠A1BC1==.故选D.5.(2016·上海浦东新区期中)在正方体AC1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是( A )(A)相交(B)异面(C)平行(D)垂直解析: 如图,在正方体AC1中:因为A1B∥D1C,所以A1B与D1C可以确定平面A1BCD1,又因为EF⊂平面A1BCD1,且两直线不平行,所以直线A1B与直线EF的位置关系是相交,故选A.6.(2015·广东卷)若直线l1与l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( D )(A)l与l1,l2都不相交(B)l与l1,l2都相交(C)l至多与l1,l2中的一条相交(D)l至少与l1,l2中的一条相交解析:可用反证法.假设l与l1,l2都不相交,因为l与l1都在平面α内,于是l∥l1,同理l∥l2,于是l1∥l2,与已知矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交.7.对于空间三条直线,有下列四个条件:①三条直线两两相交且不共点;②三条直线两两平行;③三条直线共点;④有两条直线平行,第三条直线和这两条直线都相交.其中使三条直线共面的充分条件有.解析:易知①中的三条直线一定共面;三棱柱三侧棱两两平行,但不共面,故②错;三棱锥三侧棱交于一点,但不共面,故③错;④中两条直线平行可确定一个平面,第三条直线和这两条直线相交于两点,则第三条直线也在这个平面内,故三条直线共面.答案:①④8. (2016·兰州模拟)如图,E,F分别是三棱锥P-ABC的棱AP,BC的中点,PC=10,AB=6,EF=7,则异面直线AB与PC所成的角为.解析: 取AC的中点M,连接EM,MF,因为E,F是中点,所以MF∥AB,MF=AB==3,ME∥PC,ME=PC==5,所以MF与ME所成的角即为AB与PC所成的角(或其补角).在三角形MEF中,cos ∠EMF===-,所以∠EMF=120°,所以异面直线AB与PC所成的角为60°.答案:60°9.下列各图的正方体中,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则使这四个点共面的图形是(把正确图形的序号都填上).解析:①中直线QP与直线RS相交,所以四点共面;②中直线PS与直线QR平行,所以四点共面.③中直线SR与直线PQ平行,所以四点共面;④中直线PS与直线RQ异面,所以四点不共面.答案:①②③10. 已知:空间四边形ABCD(如图所示),E,F分别是AB,AD的中点,G,H 分别是BC,CD上的点,且CG=BC,CH=DC.求证:(1)E,F,G,H四点共面;(2)三直线FH,EG,AC共点.证明: (1)连接EF,GH,因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD.又因为CG=BC,CH=DC.所以GH∥BD,所以EF∥GH,所以E,F,G,H四点共面.(2)易知FH与直线AC不平行,但共面,所以设FH∩AC=M,所以M∈平面EFHG,M∈平面ABC.又因为平面EFHG∩平面ABC=EG,所以M∈EG,所以FH,EG,AC共点.11. 空间四边形ABCD中,AB=CD且AB与CD所成的角为30°,E,F分别为BC,AD的中点,求EF与AB所成角的大小.解:取AC的中点G,连接EG,FG,则EG AB,FG CD,由AB=CD知EG=FG,所以∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角,∠EGF(或它的补角)为AB 与CD所成的角.因为AB与CD所成的角为30°,所以∠EGF=30°或150°.由EG=FG知△EFG为等腰三角形,当∠EGF=30°时,∠GEF=75°;当∠EGF=150°时,∠GEF=15°.故EF与AB所成的角为15°或75°.能力提升练(时间:15分钟)12.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和a,且长为a的棱与长为的棱异面,则a的取值范围是( A )(A)(0,) (B)(0,)(C)(1,) (D)(1,)解析: 构造四面体ABCD,使AB=a,CD=,AD=AC=BC=BD=1,取CD的中点E,则AE=BE=,所以+>a,0<a<.13. 如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H分别为DE,AF的中点,将△ABC沿DE,EF,DF折成正四面体P-DEF,则四面体中异面直线PG与DH所成的角的余弦值为.解析: 如图,连接HE,取HE的中点K,连接GK,PK,则GK∥DH,故∠PGK即为所求的异面直线所成的角或其补角.设这个正四面体的棱长为2,在△PGK中,PG=,GK=,PK==,故cos ∠PGK==.即异面直线PG与DH所成的角的余弦值是.答案:,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为.解析:依题意把正四面体CDEF放在正方体内,假设AB与CD等长,使AB 与CD重合.在正四面体CDEF内,易得CD与EF所在直线是异面直线且互相垂直, 故正方体内与CD(也即AB)垂直的平面必与EF平行,这样的平面有2个.又因EF不与平面α垂直,易知EF与正方体内其他4个平面的关系是相交的.答案:415. (2015·全国Ⅱ卷)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10, AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.解: (1)交线围成的正方形EHGF如图所示.(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH==6,AH=10,HB=6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为10×]∶10×]={10×]∶10×]=也正确}.16.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:(1)D,B,F,E四点共面;(2)若A1C交平面DBFE于点R,则P,Q,R三点共线.证明: (1)如图所示,因为EF是△D1B1C1的中位线,所以EF∥B1D1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD.所以EF,BD确定一个平面.即D,B,F,E四点共面.(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设平面A1ACC1确定的平面为α,又设平面BDEF为β,因为Q∈A1C1,所以Q∈α.又因为Q∈EF,所以Q∈β,则Q是α与β的公共点,同理,P点也是α与β的公共点,所以α∩β=PQ.又因为A1C∩β=R,所以R∈A1C,则R∈α且R∈β,则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.好题天天练1.空间四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,AB≠AD,M,N分别是对角线AC与BD 的中点,则MN与( B )(A)AC,BD之一垂直(B)AC,BD都垂直(C)AC,BD都不垂直(D)AC,BD不一定垂直解题关键:转化思想(平面化).解析:连接AN,CN,因为AD=BC,AB=CD,BD=BD,所以△ABD≌△CDB,则AN=CN,在等腰△ANC中,由M为AC的中点知MN⊥AC.同理可证MN⊥BD.2. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是( D )(A)MN与CC1垂直(B)MN与AC垂直(C)MN与BD平行(D)MN与A1B1平行解题关键:排除法.解析: 如图,连接C1D,BD,AC,在△C1DB中,MN∥BD,故C正确;因为CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BD,所以MN与CC1垂直,故A正确;因为AC⊥BD,MN∥BD,所以MN与AC垂直,故B正确;因为A1B1与BD异面,MN∥BD,所以MN与A1B1不可能平行,故D错误.。
2018年高考数学理一轮复习文档 第七章 立体几何 第3讲
第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系)1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 公理2的三个推论：推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2．(3)定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)空间中直线和平面的位置关系1．辨明三个易误点(1)正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”．(2)不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”的条件． (3)两条异面直线所成角的范围是(0°，90°]． 2．证明共线问题的两种途径(1)先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上； (2)直接证明这些点都在同一条特定直线上． 3．证明共面问题的两种途径(1)首先由条件中的部分线(或点)确定一个平面，再证其他线(或点)在此平面内； (2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这两个平面重合．1．已知A ，B ，C 表示不同的点，l 表示直线，α，β表示不同的平面，则下列推理错误的是( )A ．A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α⇒l ⊂α B ．A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝AC2.教材习题改编如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )A．30°B．45°C．60° D．90°C 连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，所以∠D1B1C＝60°.3．(2016·高考山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a 和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A 若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a⊂α，b⊂β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．4．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成________部分．通过举例说明，如三棱柱三个侧面所在平面满足两两相交，且三条交线互相平行，这三个平面将空间分成7部分．75.教材习题改编给出下列命题：①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．其中正确的为________．经过不共线的三点可以确定一个平面，所以①不正确；两条平行线可以确定一个平面，所以②正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，所以③正确；命题④中没有说清三个点是否共线，所以④不正确．②③平面的基本性质如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点．求证：E 、C 、D 1、F 四点共面．【证明】如图所示，连接CD 1、EF 、A 1B ， 因为E 、F 分别是AB 和AA 1的中点， 所以EF ∥A 1B 且EF ＝12A 1B ．又因为A 1D 1綊BC ，所以四边形A 1BCD 1是平行四边形， 所以A 1B ∥CD 1， 所以EF ∥CD 1，所以EF 与CD 1确定一个平面α， 所以E 、F 、C 、D 1∈α， 即E 、C 、D 1、F 四点共面．本例条件不变，如何证明“CE ，D 1F ，DA 交于一点”？ 如图，由本例知EF ∥CD 1，且EF ＝12CD 1，所以四边形CD 1FE 是梯形，所以CE 与D 1F 必相交，设交点为P ， 则P ∈CE ，且P ∈D 1F ， 又CE ⊂平面ABCD ， 且D 1F ⊂平面A 1ADD 1， 所以P ∈平面ABCD ， 且P ∈平面A 1ADD 1.又平面ABCD ∩平面A 1ADD 1＝AD ，所以P ∈AD ， 所以CE 、D 1F 、DA 三线共点．(1)点线共面问题证明的两种方法①纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；②辅助平面法：先证有关点、线确定平面α，再证其余点、线确定平面β，最后证明平面α，β重合．(2)证明多线共点问题的两步 ①先证其中两条直线交于一点；②再证交点在第三条直线上．证交点在第三条直线上时，第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，可以利用公理3证明．如图，空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：P ，A ，C 三点共线． (1)因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点， 所以EF ∥BD ． 在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12，所以GH ∥BD ， 所以EF ∥GH .所以E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.所以P为平面ABC与平面ADC的公共点．又平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三点共线．空间两直线的位置关系如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．【解】(1)不是异面直线．理由：连接MN，A1C1，AC.因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1.又因为A1A綊C1C，所以四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，所以A，M，N，C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线．理由如下：因为ABCDA1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，所以D1，B，C，C1∈α，这与B，C，C1，D1不共面矛盾．所以假设不成立，即D1B和CC1是异面直线．1．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为( )A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直D 将展开图还原为正方体，如图所示．AB与CD所成的角为60°，故选D．2．在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN 是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中GH与MN异面．②④异面直线所成的角(高频考点)从近几年的高考试题来看，异面直线所成的角是高考的热点，题型既有选择题又有填空题，也有解答题，难度为中低档题．高考对异面直线所成的角的考查主要有以下两个命题角度： (1)求异面直线所成的角或其三角函数值； (2)由异面直线所成角求其他量．(2016·高考全国卷乙)平面α过正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( )A.32 B ．22C.33D ．13【解析】 因为过点A 的平面α与平面CB 1D 1平行，平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，所以m ∥B 1D 1∥BD ，又A 1B ∥平面CB 1D 1，所以n ∥A 1B ，则BD 与A 1B 所成的角为所求角，所以m ，n 所成角的正弦值为32，选A. 【答案】 A角度一 求异面直线所成的角或其三角函数值1．如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15 B ．25 C.35D ．45D 连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角． 连接A 1C 1，由AB ＝1，AA 1＝2， 则A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5， 故cos∠A 1BC 1＝5＋5－22×5×5＝45.角度二 由异面直线所成角求其他量2．四面体A BCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．若BD ，AC 所成的角为60°，且BD ＝AC ＝1，则EF 的长为________．如图，取BC 的中点O ，连接OE ，OF ，因为OE ∥AC ，OF ∥BD ，所以OE 与OF 所成的锐角(或直角)即为AC 与BD 所成的角，而AC ，BD 所成角为60°，所以∠EOF ＝60°或∠EOF ＝120°.当∠EOF ＝60°时，EF ＝OE ＝OF ＝12.当∠EOF ＝120°时．取EF 的中点M ，则OM ⊥EF ，EF ＝2EM ＝2×34＝32. 12或32——构造模型判断空间线面位置关系已知m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β； ②若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β； ③若m ⊥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β； ④若m ⊥α，n ∥β，α∥β，则m ⊥n . 其中所有正确的命题是( ) A ．①④ B ．②④ C ．①D ．④【解析】 借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α、β可能垂直，如图(2)所示，故②不正确；对于③，平面α、β可能垂直，如图(3)所示，故③不正确；对于④，由m ⊥α，α∥β可得m⊥β，因为n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为m⊥g，所以m⊥n，故④正确．【答案】 A(1)构造法实质上是结合题意构造合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误；(2)对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断．已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则( ) A．m与n异面B．m与n相交C．m与n平行D．m与n异面、相交、平行均有可能D 在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误．1．下列命题中，不是公理的是( )A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线A 选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．2．(2017·赣州四校联考)若平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是( )A．AB∥CDB．AD∥CBC．AB与CD相交D．A，B，C，D四点共面D 因为平面α∥平面β，要使直线AC∥直线BD ，则直线AC 与BD 是共面直线，即A ，B ，C ，D 四点必须共面．3．(2017·广州市高考模拟)已知E ，F ，G ，H 是空间四点，命题甲：E ，F ，G ，H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B 若E ，F ，G ，H 四点不共面，则直线EF 和GH 肯定不相交，但直线EF 和GH 不相交，E ，F ，G ，H 四点可以共面，例如EF ∥GH .故选B ．4．(2015·高考广东卷)若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交D 由直线l 1和l 2是异面直线可知l 1与l 2不平行，故l 1，l 2中至少有一条与l 相交．5．(2017·辽宁省三校协作体联考)如图，四棱锥P ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ，△PAB 和△PAD 都是等边三角形，则异面直线CD 与PB 所成角的大小为( )A ．90°B ．75°C ．60°D ．45°A 延长DA 至E ，使AE ＝DA ，连接PE ，BE ，因为∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ，所以DE ＝BC ，DE ∥BC .所以四边形CBED 为平行四边形．所以CD ∥BE .所以∠PBE (或其补角)就是异面直线CD 与PB 所成的角．在△PAE 中，AE ＝PA ，∠PAE ＝120°，由余弦定理得PE ＝PA 2＋AE 2－2·PA ·AE ·cos ∠PAE＝ AE 2＋AE 2－2·AE ·AE ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3AE .在△ABE 中，AE ＝AB ，∠BAE ＝90°，所以BE ＝2AE .因为△PAB 是等边三角形，所以PB ＝AB ＝AE .因为PB 2＋BE 2＝AE 2＋2AE 2＝3AE 2＝PE 2，所以∠PBE ＝90°.故选A.6．(2017·郑州模拟)如图所示，ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论正确的是( )A ．A ，M ，O 三点共线B ．A ，M ，O ，A 1不共面C ．A ，M ，C ，O 不共面D ．B ，B 1，O ，M 共面A 连接A 1C 1，AC (图略)，则A 1C 1∥AC ，所以A 1，C 1，A ，C 四点共面，所以A 1C ⊂平面ACC 1A 1.因为M ∈A 1C ，所以M ∈平面ACC 1A 1.又M ∈平面AB 1D 1，所以M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，同理A ，O 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上．所以A ，M ，O 三点共线．7.如图所示，在三棱锥A BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为菱形，当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 是正方形．易知EH ∥BD ∥FG ，且EH ＝12BD ＝FG ，同理EF ∥AC ∥HG ，且EF ＝12AC ＝HG ，显然四边形EFGH 为平行四边形．要使平行四边形EFGH 为菱形需满足EF ＝EH ，即AC ＝BD ；要使四边形EFGH 为正方形需满足EF ＝EH 且EF ⊥EH ，即AC ＝BD 且AC ⊥BD ．AC ＝BD AC ＝BD 且AC ⊥BD8.如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线；②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与MB 1是异面直线；④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．直线AM 与CC 1是异面直线，直线AM 与BN 也是异面直线，故①②错误．③④9.如图所示，正方体的棱长为1，B ′C ∩BC ′＝O ，则AO 与A ′C ′所成角的度数为________．连接AC .因为A ′C ′∥AC ，所以AO 与A ′C ′所成的角就是∠OAC (或其补角)．因为OC ⊥OB ，AB ⊥平面BB ′C ′C ，所以OC ⊥AB ．又AB ∩BO ＝B ，所以OC ⊥平面ABO .又OA ⊂平面ABO ，所以OC ⊥OA .在Rt △AOC 中，OC ＝22，AC ＝2， sin ∠OAC ＝OC AC ＝12， 所以∠OAC ＝30°.即AO 与A ′C ′所成角的度数为30°.30°10．如图所示，在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AA 1∶AB ＝2∶1，则异面直线AB 1与BD 所成的角为________．如图，取A1C 1的中点D 1，连接B 1D 1，因为点D 是AC 的中点，所以B 1D 1∥BD ，所以∠AB 1D 1即为异面直线AB 1与BD 所成的角．连接AD 1，设AB ＝a ，则AA 1＝2a ，所以AB 1＝3a ，B 1D 1＝32a ， AD 1＝ 14a 2＋2a 2＝32a . 所以，在△AB 1D 1中，由余弦定理得，cos ∠AB 1D 1＝AB 21＋B 1D 21－AD 212AB 1·B 1D 1＝3a 2＋34a 2－94a 22×3a ×32a ＝12，所以∠AB 1D 1＝60°.60°11.如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)求证：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？(1)证明：由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ，所以GH 綊12AD ．又BC 綊12AD ， 故GH 綊BC .所以四边形BCHG 是平行四边形．(2)C ，D ，F ，E 四点共面．理由如下：由BE 綊12FA ，G 是FA 的中点知，BE 綊GF ， 所以EF 綊BG .由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，故EC 、FH 共面．又点D 在直线FH 上，所以C ，D ，F ，E 四点共面．。