【K12教育学习资料】2018高考数学一轮复习第7章立体几何第3节空间点直线平面之间的位置关系课时分

课时分层训练(三十八) 空间点、直线、平面之间的位置关系A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则( ) A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件A[若l1，l2异面，则l1，l2一定不相交；若l1，l2不相交，则l1，l2是平行直线或异面直线，故p⇒q，qD⇒/p，故p是q的充分不必要条件．]2．已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为( ) A．0 B．1C．2 D．3B[法一：在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错，③显然成立．法二：构造长方体或正方体模型可快速判断，①②错，③正确．]3．(2017·台州调考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( )A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面D[依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．]4．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定D[如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA.若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A 和C.若取C 1D 为l 4，则l 1与l 4相交；若取BA 为l 4，则l 1与l 4异面；取C 1D 1为l 4，则l 1与l 4相交且垂直．因此l 1与l 4的位置关系不能确定．]5．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，CC 1的中点，那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为( )A.45B.35 C.23D.57B [连接DF ，则AE ∥DF ，∴∠D 1FD 为异面直线AE 与D 1F 所成的角． 设正方体棱长为a ， 则D 1D ＝a ，DF ＝52a ，D 1F ＝52a ， ∴cos ∠D 1FD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52a 2－a22·52a ·52a ＝35.]二、填空题6.如图7­3­7所示，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点，有以下四个结论：图7­3­7①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线MN 与AC 所成的角为60°.其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)③④ [由题图可知AM 与CC 1是异面直线，AM 与BN 是异面直线，BN 与MB 1为异面直线． 因为D 1C ∥MN ，所以直线MN 与AC 所成的角就是D 1C 与AC 所成的角，且角为60°.] 7.(2017·舟山模拟)如图7­3­8所示，在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AA 1∶AB ＝2∶1，则异面直线AB 1与BD 所成的角为________.【导学号：51062229】图7­3­860° [取A 1C 1 的中点E ，连接B 1E ，ED ，AE ，在Rt △AB 1E 中，∠AB 1E 即为所求， 设AB ＝1，则A 1A ＝2，AB 1＝3，B 1E ＝32，AE ＝32，故∠AB 1E ＝60°.] 8．如图7­3­9，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．图7­3­94 [取CD 的中点为G (图略)，由题意知平面EFG 与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行，从而EF 与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF 在平面内，所以直线EF 与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交．故直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.]三、解答题9.如图7­3­10所示，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点．问：图7­3­10(1)AM 和CN 是否是异面直线？说明理由； (2)D 1B 和CC 1是否是异面直线？说明理由．[解] (1)AM ，CN 不是异面直线．理由：连接MN ，A 1C 1，AC .因为M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点，所以MN ∥A 1C 1.4分 又因为A 1A 綊C 1C ，所以A 1ACC 1为平行四边形， 所以A 1C 1∥AC ，所以MN ∥AC ， 所以A ，M ，N ，C 在同一平面内， 故AM 和CN 不是异面直线.7分 (2)直线D 1B 和CC 1是异面直线.9分理由：因为ABCD ­A 1B 1C 1D 1是正方体，所以B ，C ，C 1，D 1不共面．假设D 1B 与CC 1不是异面直线，则存在平面α，使D 1B ⊂平面α，CC 1⊂平面α， 所以D 1，B ，C ，C 1∈α，13分这与B ，C ，C 1，D 1不共面矛盾，所以假设不成立， 即D 1B 和CC 1是异面直线.15分10．如图7­3­11所示，在三棱锥P ­ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求：图7­3­11(1)三棱锥P ­ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值． [解] (1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P ­ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433.6分 (2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE 是异面直线BC 与AD 所成的角(或其补角).10分在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.15分B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·绍兴二模)设α为平面，a ，b 为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( ) A ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥b B ．若a ⊥α，a ∥b ，则b ⊥α C ．若a ⊥α，a ⊥b ，则b ∥α D ．若a ∥α，a ⊥b ，则b ⊥αB [若a ∥α，b ∥α，则a 与b 相交、平行或异面，故A 错误；易知B 正确； 若a ⊥α，a ⊥b ，则b ∥α或b ⊂α，故C 错误；若a ∥α，a ⊥b ，则b ∥α或b ⊂α或b 与α相交，故D 错误．]2．(2017·浙江名校(绍兴一中)交流卷五)如图7­3­12，长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的底面是边长为1的正方形，点E 在侧棱AA 1上，满足∠C 1EB ＝90°，则异面直线BE 与C 1B 1所成的角为________，侧棱AA 1的长的最小值为________.【导学号：51062230】图7­3­1290° 2 [连结BC 1，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，CB ⊥平面ABB 1A 1，∴∠CBE ＝90°，又C 1B 1∥BC ，∴异面直线BE 与C 1B 1所成的角为90°.设AA 1＝x ，AE ＝m (m ≥0)，所以BE 2＝1＋m 2，EC 21＝(x －m )2＋2，BC 21＝1＋x 2，因为∠C 1EB ＝90°，所以BC 21＝EC 21＋BE 2，即1＋x 2＝(x －m )2＋2＋1＋m 2，即m 2－mx ＋1＝0，所以x ＝m ＋1m≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当m ＝1m ，即m ＝1时“＝”成立.] 3．(2017·广州模拟)已知三棱锥A ­BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 成60°角，点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，求直线AB 和MN 所成的角.【导学号：51062231】[解] 如图，取AC 的中点P .连接PM ，PN ，又点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ，PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN 为AB 与CD 所成的角(或其补角).6分 则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°，①若∠MPN ＝60°，因为PM ∥AB ，所以∠PMN 是AB 与MN 所成的角(或其补角)． 又因为AB ＝CD ，所以PM ＝PN ，则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN ＝60°， 即AB 和MN 所成的角为60°.9分②若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形， 所以∠PMN ＝30°，即AB 和MN 所成的角为30°. 综上，直线AB 和MN 所成的角为60°或30°.12分。