2018年高考数学一轮复习经典高考小题狂练17

感知高考刺金251题设,m k 为正整数，方程220mx kx -+=在区间()0,1内有两个不同的根，则m k +的最小值是 ． 解：2220mx kx k mx x-+=⇒=+于是问题转化为直线y k =与打勾函数2y mx x=+的图象的两个交点的横坐标均在区间()0,1内，于是2k m <+注意到2m +为整数，于是在区间()2m +上存在整数k 的充要条件为21m +>解得3m >+故m 的最小值为6，而k 的最小值为7，则m k +的最小值为13感知高考刺金252题已知21x y +=，求x 的最小值是 ．解法一：令x m =，则222m y x m-=因此22212m y y m-⋅+=，整理得220y my m m -+-= 故用判别式()2240m m m ∆=--≥，解得45m ≥解法二：设cos x r θ=，sin y r θ=，条件转化为2cos sin 1r r θθ+=，即12cos sin r θθ=+所求代数式转化为cos 1cos 2cos sin r r θθθθ++=+的最小值由此可有斜率角度求值域：2cos sin 2cos 2sin 2sin 252cos 1cos 1cos 14θθθθθθθθ+++--==+≤+++，（视为单位圆上的点与()1,2-连线斜率），则cos 142cos sin 5x θθθ+≥+也可由三角函数角度求值域：()cos 14sin 21cos 112cos sin 5m m m m θθθθθ+=⇒+-=⇒≥+评注：这里因为遇到22x y +的结构，故三角换元设cos x r θ=，sin y r θ=。

解法三：数形结合当0x ≥时，点P 为21x y +=上的一点，则x PO PH +如图，就是典型的“饮马问题”，点O 关于直线21x y +=的对称点42,55Q ⎛⎫⎪⎝⎭到y 轴的距离为45当0x <时，点P 为21x y +=上的一点，则x PO PH -而21PO O H O B PH PH >=+>+于是1PO PH ->感知高考刺金253题如图，直线m 与平面α，垂足是O ，正四面体ABCD 的棱长为4，点C 在平面α上运动，点B 在直线m 上运动，则点O 到直线AD 的距离的取值范围是 ． 解：题意中是点O 是定点，正四面体ABCD 运动，但始终保持OB OC ⊥不变 不妨反过来换位思考，将正四面体ABCD 固定下来，让点O 在以BC 为直径的球面上运动，如图所示。

接下来可以得到点O 到直线AD 的距离的取值范围就是球心F 到直线AD 的距离EF 减去球的半径与球心F 到直线AD 的距离加上球的半径之间，即2⎡⎤⎣⎦感知高考刺金254题★已知,a b ∈R ，对任意满足01x ≤≤的实数x ，都有1ax b +≤成立，则107107a b a b ++-的最大值是 ． 解法一：显然{}107107max 20,14a b a b a b ++-= 于是问题转化为求,a b 的最大值当0x =时，容易得到1b ≤，由图可知直线y ax b =+在01x ≤≤上的值域为[]1,1-的子集，于是斜率a 必然在[]2,2-内，故2a ≤ 从而当2,1a b ==-时，原式取到最大值为40 解法二：绝对值不等式 因为()()01,11f b f a b =≤=+≤故()2a a b b a b b =+-≤++≤，同解法一练习：若对任意满足11x -≤≤的实数x ，都有21a x b x c ++≤成立，则a 的取值范围是 ． 如图，易得22a -≤≤点评：本题就是将一次函数转变为二次函数，异曲同工。

感知高考刺金255题已知圆22:1O x y +=为ABC ∆的外接圆，且tan 2A =，若A O x A B y A C =+，则x y +的最大值为 ． 解：如图，延长AO 交边BC 于点D ，设AO AD λ=则1x y AD AO AB AC λλλ==+由,,B C D 三点共线可知1xyλλ+=，从而11AO x y AO ODODλ+===++显然当OD 取最小值，即OD BC ⊥时，x y +取得最大值，此时ABC ∆为等腰三角形，可得x y +感知高考刺金256题已知非零向量a 和b 互相垂直，则a b + 和2a b +的夹角余弦值的最小值是 ．解：()()222cos 2a b a b a b a b θ++==+⋅+ 令22,a x b y == ，则cos θ====感知高考刺金257题已知正数,a b 满足1910a b ab+++=，则a b +的取值范围是 ． 解：设a b t +=，则1910t ab +=- 又因为()1991916b a a b a b a b ⎛⎫++=+++≥ ⎪⎝⎭即()1016t t -≥，解得28t ≤≤当且仅当13,22a b ==时，2a b +=；当且仅当2,6a b ==时，8a b +=感知高考刺金258题已知实数,0x y >，若22x y +=，则3x y +的最小值是． 解法一：待定系数法1,02y x λλλ⎛⎫+>⎪⎝⎭1122212222y x y x y x x y λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭待定系数法，令11:21:322λλ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得13λ=故1237x y +≥，当且仅当91,77x y ==时取得解法二：()()()(32321321x y x y x y x y λλλλλ+-=+---+-令10=，即76λ=时，1237x y +≥，当且仅当91,77x y ==时取得解法三：三角换元设a b 2222a ab b ++=，求223a b +的最小值 令cos a r θ=，b θ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0r >，2223a b r += 故问题又转化为已知222222cos sin sin cos 23r r θθθθ+=，求2r 的最小值于是2222261cos sin cos sin 23536r πθθθθθ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭因为0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故2212,37r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦评注：这里又遇到)22a +的结构，故可三角换元设cos a r θ=，b θ=，10月1日每日征解有相同的处理方法。

感知高考刺金259题已知ABC ∆中，()12CP CA CB =+ ，112CP AB == ，点Q 是线段AB 上一点，且12CQ CP = ，则CQ的取值范围是 ．解：根据()12CP CA CB =+ ，112CP AB ==，可知,,A B C 在以AB 为直径，以AB 中点P 为圆心的圆上。

又12CQ CP = ，且1CP = ，根据投影的几何意义为点Q 在PC 的中垂线上，又点Q 在AB 上，故点Q 就是线段PC 的中垂线与线段AB 的交点又CQ PQ =，故问题转化为当点C 在以AB 为直径的圆上运动时，求PQ 的取值范围 显然当Q 与B 重合时，max 1PQ =，C 与B 接近重合时，min 12PQ → 故1,12CQ ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦感知高考刺金260题在正方体''''ABCD A B C D -中，若点P （异于点B ）是棱上一点，则满足BP 和'AC 所成的角为45 的点P 有 个． 解：如图，将正方体的各个顶点（除B 点外）分类，规定当顶点与B 的连线与直线'AC 所成的角大于等于45︒时为一类，小于45︒时为一类。

显然,',AB B B CB 与'AC 45︒',A B DB 与'AC 所成角的为90 ，大于45︒'D B 与'AC 所成角的为60 ，大于45︒'C B 与'AC 45︒ 当点P 从'B 运动到'C 时，角度从大于45︒变化到小于45︒，一定经过一个点满足45 ；依此类推，当点P 在'',',''B C CC D C 上运动时，都经历过角度从小于45︒到大于45︒的变化，故满足条件的点共有3个。

点评：本题虽然是立体几何问题，但类似于函数的零点存在性定理（一上一下中间一点），角度的变化不会发生突变，故在变化的过程中一定存在一个临界点。

这种思想在处理选择题时经常用到。

感知高考刺金261题在ABC ∆中，D 是边AC 上一点，6AB AC ==，4AD =，若ABC ∆的外心O 恰在线段BD 上，则BC = ． 解：设()()2113AO AB AD AB AC λλλλ=+-=+-因为ABC ∆是等腰三角形，故()213λλ=-，即25λ=故有2355AO AB AC =+再对上式两边同时与AB作数量积，有2355AO AB AB AC AB ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ，得1cos 4A =故由余弦定理得2222cos 54BC AB AC AB AC A =+-=即BC =点评：本题的一个难点在于从等腰三角形想到AO在,AB AC方向的分量一样，即系数一致求出λ。

其次还是向量与外心合作的老套路——点积转边长。

感知高考刺金262题已知平面α和β相交形成的四个二面角中的其中一个为60 ，则在空间中过某定点P 与这两个平面所成的线面角均为30 的直线l 有 条．解：设平面α和平面β过点P 的法线（垂直于平面的直线）分别为,m n ，则,60m n =而直线l 与两个平面所成的线面角均为30 可转化为直线l 与法线,m n 所成的角均为60 由“鸡爪定理”可知，直线l 与法线,m n 所成角为60 的直线有3条。

点评：平面的法向量是平面方向的代表。

“鸡爪定理”：如图，若直线,m n 所成角为θ，则与直线,m n 所成角相同的直线l 一定在直线,m n 的角平分面上，且该角的取值范围是,22θπ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和,22πθπ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦其中2θ与2πθ-就是直线l 正好为直线,m n 的两条角平分线时，2π就是垂直时取得。

感知高考刺金263题已知向量,a b 满足231+=a b ，则⋅a b 最大值为 。

解法1：（方程构造法）构造方程()2223(23)24+--=⋅a b a b a b则⋅a b 222(23)(23)1(23)12424242424+--=-=-≤a b a b a b ，当且仅当23=a b ，且14=a 时，上式等号成立．解法2：（不等式法）对于条件231+=a b ，则有2249121++=a b ab ，又因()2230-≥a b ，则有224912+≥⋅a b a b ，则12112⋅≤-⋅a b a b ，因此⋅a b 最大值为124解法3：（极化恒等式法）设2a OA = ，3b OB = ，取AB 的中点为M ，12OM =，对于OAB ∆，因BOA ∠可以变化，当BOA ∠趋向于0度时，MB 趋向于0，而12OM =，则23⋅a b 2211044OA OB OM MB =⋅=≤= －-，因此⋅a b 最大值为124感知高考刺金264题已知过点()0,1A ，且斜率为k 的直线l 与圆C ：()222(3)1x y -+-=相交于,M N 两点．则AM AN ⋅=．解法1：（普通方法）设直线l 与圆的交点为1122(,),(,)M x y N x y ，则1122(,1),(,1)AM x y AN x y =-=-，由直线1y kx =+与圆()222(3)1x y -+-=联立得()2214(1)70k x k x +-++=，因此有12122274(1),11k x x x x k k +=+=++，()221212122124111k k y y k x x k x x k++=+++=+， 212122642()21k k y y k x x k +++=++=+，因此可得121212()1AM AN x x y y y y ⋅=+-++222227124164217111k k k k k k k++++=+-+=+++ 解法2：（极化恒等式）如图所示，取MN 的中点为G ，则CG MN ⊥，由极化恒等式可得22224MN AM AN AG AG MG ⋅=-=-()2222()AC CG MC CG =---22AC MC =- 21817AC =-=-=点评：这里的极化恒等式并没有出现在三角形中，但仍然适用。