2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：2.4二次函数与幂函数

12 ∴y＝f(x)＝ax－2 ＋8. 12 ∵f(2)＝－1，∴a2－2 ＋8＝－1，
解之，得 a＝－4.
1 2 ∴f(x)＝－4x－2 ＋8＝－4x2＋4x＋7.
题型二
二次函数的图象与性质的应用 (1)(2013· 辽宁)已知函数 f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2
• 【归纳提升】 幂函数的指数对函数图象的影响 • 当α≠0,1时，幂函数y＝xα在第一象限的图象特征：
α取值 图象
α＞ 1
0 ＜ α＜ 1
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4．幂函数y＝xα. (1)当α＞0时，y＝xα过定点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上递增； 当 α ＜ 0 时， y ＝ xα 过定点 (1,1) ，不过原点，且在 (0 ，＋ ∞ ) 上递 减． (2)当α为奇数时，y＝xα是奇函数；当α为偶数时，y＝xα是偶函 数． (3)幂函数f(x)＝xα满足f(xy)＝f(x)·f(y)．
2
∵0≤α≤π， 1 ∴0≤sin α≤2， π 5π ∴0≤α≤ 或 ≤α≤π， 6 6 即α
π 5π 的取值范围为0，6∪ 6 ，π. π 5π (2)0，6∪ 6 ，π
【答案】 (1)C
【归纳提升】 1.求解二次函数问题，要充分利用图象的特征，特 别是开口方向、对称轴，与坐标轴交点等会对解题思路带来突破． 2．一元二次不等式恒成立问题的两种解法： (1)分离参数法．把所求参数与自变量分离，转化为求具体函数的 最值问题． (2)不等式组法．借助二次函数的图象性质，列不等式组求解．
第4课时
二次函数与幂函数
(一)考纲点击 1．了解幂函数的概念． 1 1 2．结合函数 y＝x，y＝x ，y＝x ，y＝x ，y＝x2的图象，了解它们
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的变化情况． 3．理解并掌握一次函数与二次函数的定义、图象及性质．
4．运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去 解决有关问题． 5．掌握数形结合及等价转化的思想．
对点演练 (2013· 重庆) 3－aa＋6(－6≤a≤3)的最大值为 ( A．9 C．3 9 B.2 3 2 D. 2 )
解析：易知函数 y＝(3－a)(a＋6)的两个零点是 3，－6，对称轴为
3 3 92 3 － ＋6＝ ， a＝－2，y＝(3－a)(a＋6)的最大值为 y＝3＋2· 2 2
针对训练 1．已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大 值是 8，试确定此二次函数． 解：设 f(x)＝a(x－m)2＋n，a≠0. ∵f(2)＝f(－1)， 2＋－1 1 ∴抛物线对称轴为 x＝ ＝2. 2 1 ∴m＝2.
又根据题意函数有最大值为 n＝8，
＋2(a－2)x－a2＋8.设 H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)， g(x)}(max{p，q}表示 p，q 中的较大值，min{p，q})表示 p、q 中的较小值)．记 H1(x)的最小值为 A，H2(x)的最大值为 B，则 A －B＝ ( )
A．a2－2a－16 C．－16
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题型一 求二次函数的解析式 已知二次函数f(x)同时满足条件： (1)f(1＋x)＝f(1－x)； (2)f(x)的最大值为15； (3)f(x)＝0的两根平方和等于17. 求f(x)的解析式．
【解】 依条件，设 f(x)＝a(x－1)2＋15(a＜0)， 即 f(x)＝ax2－2ax＋a＋15. 令 f(x)＝0，即 ax2－2ax＋a＋15＝0， 15 ∴x1＋x2＝2，x1x2＝1＋ a .
(二)命题趋势 1．对幂函数的考查常以基础知识为主，考查定义、图象、性质， 有时与函数的基本性质、二次函数、方程、不等式结合，多以 选择题、填空题形式出现，属容易题． 2．对二次函数的考查侧重于求解析式，求二次函数在闭区间上的 最值等，各种题型都可能出现，一般涉及到分类讨论思想的运 用.
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2 x －2xx＞0， ∴f(x)＝ 2 x ＋2xx≤0.
(3)g(x)＝x2－2x－2ax＋2，对称轴方程为 x＝a＋1， 当 a＋1≤1，即 a≤0 时，g(1)＝1－2a 为最小值； 当 1＜a＋1≤2，即 0＜a≤1 时，g(a＋1)＝－a2－2a＋1 为最小值．
题型三 幂函数的图象和性质的应用 (1)(2014· 太原模拟)当 0＜x＜1 时，f(x)＝x2，g(x)＝x ，h(x) ＝x－2，则 f(x)，g(x)，h(x)的大小关系是________． (2)(2014· 临川模拟 )已知幂函数 y＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象 与 x 轴、y 轴无交点且关于原点对称，则 m＝________.
1．(1)ax2＋bx＋c＞0 恒成立⇔①验证 a＝0 时是否恒成立；②a≠0
a＞0， 时， Δ＜0.
(2)ax2＋bx＋c≤0 恒成立⇔①验证 a＝0 时是否恒成立； ②a≠0
a＜0， 时， Δ≤0.
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2 ．求二次函数在给定区间上的最值或值域一般要讨论其对称轴 相对于区间端点，区间中点的位置关系，确定其单调性，从而求 出最值或值域． 3 ．解决有关二次函数对应的方程的根在某个范围内的分布问题， 一般要从二次函数的①开口方向，②对称轴位置，③判别式，④ 端点函数值的符号四个方面限制，列不等式组求某个参数的范 围．
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3．幂函数的定义 形如 (α∈R)的函数称为幂函数，其中 α y ＝ x x是 ， α为 ．
自变量
常数
对点演练
已知点 3 在幂函数 f(x)的图象上，则 f(x)的表达式是( ， 3 3 3
)
A．f(x)＝x3 C．f(x)＝x 答案：B
B．f(x)＝x－3 D．f(x)＝x
[0， ＋∞)
奇偶性
奇
偶 x∈[0，＋∞)
奇
非奇 非偶
奇 x∈(0，＋∞)
单调性
增 时，增 x∈(－ 增 ∞， 0] 时， 减
增
时，减 x∈(－ ∞， 0) 时， 减 (1,1)
定点
(0,0)，(1,1)
对点演练 设
3 a＝5 2 ，b＝5 2 ，c＝5
2 b －3b＋2＝0 ，即 b＞1
，解得 b＝2.
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(2)(教材改编)已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3， 最小值2，则m的取值范围为________． 解析：y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2 当x∈[0，m]时，当x＝1时，有最小值2. 当x＝0时，y＝3，当x＝2时，y＝3. ∴1≤m≤2 答案：[1,2]
2 2 x1 ＋x2 ＝ ( x ＋ x ) 2 1 2 －2x1x2
15 30 ＝4－2 1＋ a ＝2－ ＝17， a
∴a＝－2，∴f(x)＝－2x2＋4x＋13.
【归纳提升】
二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况
选用：如和对称性、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零 点有关，可选用两根式；一般式可作为二次函数的最终结果．
2 4 ac － b b － ， 2a 4a
奇偶性
b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶 函数
b 在－∞，－2a上是减
b 在－∞，－2a上是增 b 函数；在－2a，＋∞
单调性
b 函数；在－2a，＋∞
1．二次函数的解析式的三种常用表达形式 (1)一般式：f(x)＝ ； 2 ax ＋ ＋ a≠ 0) (2)顶点式：f(x)＝a(x －h )2bx ＋k (ac ≠( 0) ， (h，k)是顶点； (3)两根式 (或因式分解式 )： f(x)＝ a(x－ x1)(x －x2)(a≠0)，其中 x1， x2分别是f(x)＝0的两实根．
9 则 3－a6＋a的最大值为 ，选 B. 2 答案：B
• 2．二次函数的图象及其性质
a＞ 0 图象 定义域 R
a＜ 0
R
y∈ 值域
4ac－b2 ，＋∞ 4a
y∈
2 4 ac － b －∞， 4a
对称轴 顶点坐标
b x＝－ 2a
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针对训练 2．(2014·辽宁五校第二次联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函 数，且当x≤0时， f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象， 如图所示，请根据图象：
(1)写出函数 f(x)(x∈R)的增区间； (2)写出函数 f(x)(x∈R)的解析式； (3)若函数 g(x)＝f(x)－2ax＋2(x∈[1,2])，求函数 g(x)的最小值． 解析：(1)f(x)在区间(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增． (2)设 x＞0， 则－x＜0， 函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数， 且当 x≤0 时， f(x)＝x2＋2x， ∴f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋2×(－x)＝x2－2x(x＞0)，
• 【解析】 (1)分别作出f(x)，g(x)，h(x)的图象，如图所示． • 可知h(x)＞g(x)＞f(x)．
• (2)由题意知m2－2m－3为奇数且 m2－2m－3＜0，由m2－2m－3＜0 得－1＜m＜3，又m∈N*，故m＝1,2. • 当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4(舍去)． • 当m＝2时，m2－2m－3＝22－2×2－3＝－3，∴m＝2. • 【答案】 (1)h(x)＞g(x)＞f(x) (2)2
由图及 H1(x)的定义知 H1(x)的最小值是 f(a＋2)， H2(x)的最大值为 g(a－2)，A－B＝f(a＋2)－g(a－2) ＝(a＋2)2－2(a＋2)2＋a2＋(a－2)2－2(a－2)(a－2)＋a2－8＝－16. (2)由 8x2－(8sin α)x＋cos 2α≥0 对 x∈R 恒成立， 得 Δ＝(－8sin α)2－4×8cos 2α≤0， 即 64sin2α－32(1－2sin2α)≤0， 1 得到 sin α≤4，