【创新设计】2015-2016学年高中数学(人教A版选修1-1)同步课时作业与单元检测： 圆锥曲线与方程 2.2.1
创新设计同步人教A版选修第一章
明目标、知重点1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．2．会利用微积分基本定理求函数的积分．1．微积分基本定理如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)．2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则ʃb a f(x)d x＝S上．(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则ʃb a f(x)d x＝－S下．(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则ʃb a f(x)d x＝S上－S下，若S上＝S下，则ʃb a f(x)d x＝0.[情境导学]从前面的学习中可以发现，虽然被积函数f(x)＝x3非常简单，但直接用定积分的定义计算ʃ10x3d x的值却比较麻烦．有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？另外，我们已经学习了两个重要的概念——导数和定积分，这两个概念之间有没有内在的联系呢？我们能否利用这种联系求定积分呢？探究点一微积分基本定理问题你能用定义计算ʃ211xd x吗？有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？思考1 如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)＝y′(t)．设这个物体在时间段[a，b]内的位移为s，你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？答由物体的运动规律是y＝y(t)知：s＝y(b)－y(a)，通过求定积分的几何意义，可得s ＝ʃb a v (t )d t ＝ʃba y ′(t )d t ， 所以ʃb a v (t )d t ＝ʃba y ′(t )d t ＝y (b )－y (a )．其中v (t )＝y ′(t )．小结 (1)一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么ʃba f (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．(2)运用微积分基本定理求定积分ʃba f (x )d x 很方便，其关键是准确写出满足F ′(x )＝f (x )的F (x )．思考2 对一个连续函数f (x )来说，是否存在唯一的F (x )，使F ′(x )＝f (x )？若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？答 不唯一，根据导数的性质，若F ′(x )＝f (x )，则对任意实数c ，[F (x )＋c ]′＝F ′(x )＋c ′＝f (x )． 不影响，因为ʃba f (x )d x ＝[F (b )＋c ]－[F (a )＋c ]＝F (b )－F (a ) 例1 计算下列定积分： (1)ʃ211xd x ；(2)ʃ31(2x －1x2)d x ；(3)ʃ0－π(cos x －e x)d x .解 (1)因为(ln x )′＝1x，所以ʃ211xd x ＝ln x |21＝ln 2－ln 1＝ln 2.(2)因为(x 2)′＝2x ，(1x )′＝－1x2，所以ʃ31(2x －1x 2)d x ＝ʃ312x d x －ʃ311x2d x＝x 2|31＋1x|31＝(9－1)＋(13－1)＝223.(3)ʃ－π(cos x －e x)d x ＝ʃ0－πcos x d x －ʃ0－πe x d x＝sin x |0－π－e x |0－π＝1eπ－1.反思与感悟 求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限． 跟踪训练1 若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1答案 B解析 S 1＝ʃ21x 2d x ＝13x 3|21＝73，S 2＝ʃ211xd x ＝ln x |21＝ln 2<1，S 3＝ʃ21e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)>73.所以S 2<S 1<S 3，选B.探究点二 分段函数的定积分例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2≤x ≤4.先画出函数图象，再求这个函数在[0,4]上的定积分． 解 图象如图．ʃ4f (x )d x ＝π20⎰sin x d x ＋π20⎰1d x ＋42⎰(x －1)d x＝(－cos x )|π20＋x |2π2＋(12x 2－x )|42＝1＋(2－π2)＋(4－0)＝7－π2.反思与感悟 求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数．跟踪训练2 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≤0，cos x －1， x >0，求ʃ1－1f (x )d x . 解 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃ10(cos x －1)d x＝13x 3|0－1＋(sin x －x )|10＝sin 1－23. 探究点三 定积分的应用 例3 计算下列定积分： ʃπ0sin x d x ，ʃ2ππsin x d x ，ʃ2π0sin x d x .由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论． 解 因为(－cos x )′＝sin x ， 所以ʃπ0sin x d x ＝(－cos x )|π＝(－cos π)－(－cos 0)＝2； ʃ2ππsin x d x ＝(－cos x )|2ππ＝(－cos 2π)－(－cos π)＝－2； ʃ2π0sin x d x ＝(－cos x )|2π＝(－cos 2π)－(－cos 0)＝0.反思与感悟 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0：定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：(1)位于x 轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分；(2)位于x 轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数；(3)定积分的值就是位于x 轴上方曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积．跟踪训练3 求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54π，y ＝0所围图形的面积(如图所示)．解 所求面积为S ＝5π4π2-⎰－π2|sin x |d x ＝－0π2-⎰sin x d x ＋ʃπ0sin x d x －5π4π⎰sin x d x＝1＋2＋(1－22)＝4－22.1．π2π2-⎰(1＋cos x )d x 等于( )A ．π B．2 C ．π－2 D ．π＋2 答案 D解析 ∵(x ＋sin x )′＝1＋cos x ， ∴π2π2-⎰(1＋cos x )d x ＝(x ＋sin x )|π2π2-＝π2＋sin π2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π＋2. 2．若ʃa1(2x ＋1x)d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 D解析 ʃa 1(2x ＋1x )d x ＝ʃa 12x d x ＋ʃa 11xd x＝x 2|a 1＋ln x |a 1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln 2， 解得a ＝2.3．ʃ20(x 2－23x )d x ＝________.答案 43解析 ʃ20(x 2－23x )d x ＝ʃ20x 2d x －ʃ2023x d x＝x 33|2－x 23|20＝83－43＝43. 4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π，计算ʃπ0f (x )d x .解 ʃπ0f (x )d x ＝π20⎰f (x )d x ＋ππ2⎰f (x )d x＝π20⎰(4x －2π)d x ＋ππ2⎰cos x d x ，取F 1(x )＝2x 2－2πx ，则F 1′(x )＝4x －2π； 取F 2(x )＝sin x ，则F 2′(x )＝cos x .所以π20⎰(4x －2π)d x ＋ππ2⎰cos x d x ＝(2x 2－2πx )|π20＋sin x |ππ2＝－12π2－1，即ʃπ0f (x )d x ＝－12π2－1.[呈重点、现规律]1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数．一、基础过关1．已知物体做变速直线运动的位移函数s ＝s (t )，那么下列命题正确的是( ) ①它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝s (t )|ba ； ②它在某一时刻t ＝t 0时，瞬时速度是v ＝s ′(t 0)； ③它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝lim n →∞i ＝1nb －ans ′(ξi )； ④它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝ʃba s ′(t )d t . A ．① B ．①② C ．①②④ D ．①②③④答案 D2．若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( ) A ．F (x )＝13x 3B ．F (x )＝x 3C ．F (x )＝13x 3＋1D ．F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)答案 B3．ʃ10(e x＋2x )d x 等于( ) A ．1 B ．e －1 C ．e D ．e ＋1 答案 C解析 ʃ10(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|10＝(e 1＋12)－(e 0＋02)＝e.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 的值为( ) A.32 B.43 C.23 D ．－23 答案 B 解析 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃ101d x ＝x 33|0－1＋1＝13＋1＝43，故选B. 5．π20⎰sin 2x2d x 等于( ) A.π4B.π2－1 C ．2D.π－24 答案 D解析 π20⎰sin 2x 2d x ＝π20⎰1－cos x 2d x ＝12(x －sin x )|π20＝π－24，故选D. 6．若ʃ10(2x ＋k )d x ＝2，则k ＝________.答案 1解析 ∵ʃ10(2x ＋k )d x ＝(x 2＋kx )|10＝1＋k ＝2，∴k ＝1.二、能力提升7．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________． 答案 33解析 ʃ10(ax 2＋c )d x ＝ax 20＋c ，∴a 3＝ax 20， ∵a ≠0，∴x 20＝13，又0≤x 0≤1， ∴x 0＝33. 8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ，x >0x ＋a 03t 2d t ，x ≤0，若f [f (1)]＝1，则a ＝________.答案 1解析 因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg 1＝0.又x ≤0时，f (x )＝x ＋ʃa 03t 2d t ＝x ＋t 3|a 0＝x ＋a 3，所以f (0)＝a 3.因为f [f (1)]＝1，所以a 3＝1，解得a ＝1.9．设f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为________． 答案 f (x )＝4x ＋3解析 ∵f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax ＋b )d x ＝ʃ10ax d x ＋ʃ10b d x ＝12a ＋b ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝ʃ10x (ax ＋b )d x ＝ʃ10(ax 2)d x ＋ʃ10bx d x ＝13a ＋12b ＝176. 由⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3. 10．计算下列定积分： (1)ʃ21(e x ＋1x )d x ；(2)ʃ91x (1＋x )d x ； (3)ʃ200(－0.05e －0.05x ＋1)d x ； (4)ʃ211x (x ＋1)d x . 解 (1)∵(e x ＋ln x )′＝e x ＋1x， ∴ʃ21(e x ＋1x)d x ＝(e x ＋ln x )|21＝e 2＋ln 2－e. (2)∵x (1＋x )＝x ＋x ，(12x 2＋2332x )′＝x ＋x ， ∴ʃ91x (1＋x )d x ＝(12x 2＋2332x )|91＝1723. (3)∵(e－0.05x ＋1)′＝－0.05e －0.05x ＋1， ∴ʃ200(－0.05e －0.05x ＋1)d x ＝e －0.05x ＋1|20＝1－e. (4)∵1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1， (ln x )′＝1x ，(ln(x ＋1))′＝1x ＋1，∴ʃ211x (x ＋1)d x ＝ln x |21－ln(x ＋1)|21＝2ln 2－ln 3. 11．若函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3].求ʃ30f (x )d x 的值． 解 由定积分的性质，知： ʃ30f (x )d x ＝ʃ10f (x )d x ＋ʃ21f (x )d x ＋ʃ32f (x )d x＝ʃ10x 3d x ＋ʃ21x d x ＋ʃ322x d x＝x 44|10＋23x 32|21＋2x ln 2|32 ＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2＝－512＋432＋4ln 2. 12．已知f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值．解 ∵(23ax 3－12a 2x 2)′＝2ax 2－a 2x ， ∴ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ＝(23ax 3－12a 2x 2)|10 ＝23a －12a 2， 即f (a )＝23a －12a 2＝－12(a 2－43a ＋49)＋29 ＝－12(a －23)2＋29， ∴当a ＝23时，f (a )有最大值29. 三、探究与拓展13．求定积分ʃ3－4|x ＋a |d x .解 (1)当－a ≤－4即a ≥4时， 原式＝ʃ3－4(x ＋a )d x ＝(x 22＋ax )|3－4＝7a －72. (2)当－4<－a <3即－3<a <4时， 原式＝ʃ－a－4[－(x ＋a )]d x ＋ʃ3－a (x ＋a )d x ＝(－x 22－ax )|－a－4＋(x 22＋ax )|3－a＝a 22－4a ＋8＋(a 22＋3a ＋92)＝a 2－a ＋252.(3)当－a ≥3即a ≤－3时，原式＝ʃ3－4[－(x ＋a )]d x ＝(－x22－ax )|3－4＝－7a ＋72.综上，得ʃ3－4|x ＋a |d x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 7a －72 (a ≥4)a 2－a ＋252(－3<a <4)－7a ＋72 (a ≤－3).。
2014-2015学年高中数学(人教A版,选修1-1)课时作业1.1.2
1.1.2四种命题【课时目标】 1.了解四种命题的概念.2.认识四种命题的结构，会对命题进行转换．1．四种命题的概念：(1)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的______________，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．(2)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的____________________________，我们把这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．(3)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的______________________________，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．2．四种命题的命题结构：用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p，綈q分别表示p和q的否定，四种形式就是：原命题：若p成立，则q成立．即“若p，则q”．逆命题：________________________.即“若q，则p”．否命题：______________________.即“若綈p，则綈q”．逆否命题：__________________.即“若綈q，则綈p”．一、选择题1．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．42．命题“若A∩B＝A，则A⊆B”的逆否命题是()A．若A∪B≠A，则A⊇BB．若A∩B≠A，则A⊆BC．若A⊆B，则A∩B≠AD．若A⊇B，则A∩B≠A3．对于命题“若数列{a n}是等比数列，则a n≠0”，下列说法正确的是()A．它的逆命题是真命题B．它的否命题是真命题C．它的逆否命题是假命题D．它的否命题是假命题4．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④若“A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．其中的真命题是()A．①②B．②③C．①③D．③④5．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A．4 B．3 C．2 D．06．命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是()A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若log a2<0，二、填空题7．命题“若x>y，则x3>y3－1”的否命题是________________________．8．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆否命题是____________________________；逆命题是_______；否命题是________________________．9．有下列四个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题；②若a2＋b2＝0，则a，b全为0；③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆命题．其中是真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．三、解答题10．命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.”写出其逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．11．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等．12．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．【能力提升】13．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数14．命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．1．对条件、结论不明显的命题，可以先将命题改写成“若p则q”的形式后再进行转换．2．分清命题的条件和结论，然后进行互换和否定，即可得到原命题的逆命题，否命题和逆否命题．1.1.2四种命题知识梳理1．(1)结论和条件(2)条件的否定和结论的否定(3)结论的否定和条件的否定2．若q成立，则p成立若綈p成立，则綈q成立若綈q成立，则綈p成立作业设计1．B[由a>－3⇒a>－6，但由a>－6 a>－3，故真命题为原命题及原命题的逆否命题，故选B.]2．C[先明确命题的条件和结论，然后对命题进行转换．]3．D 4.C5．C[原命题和它的逆否命题为真命题．]6．A[由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．]7．若x≤y，则x3≤y3－18．不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除9．②③10．解逆命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.假命题否命题：已知a，b，c，d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题逆否命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d.真命题．11．解(1)原命题：“若a是正数，则a的平方根不等于0”．逆命题：“若a的平方根不等于0，则a是正数”．否命题：“若a不是正数，则a的平方根等于0”．逆否命题：“若a的平方根等于0，则a不是正数”．(2)原命题：“若x＝2，则x2＋x－6＝0”．逆命题：“若x2＋x－6＝0，则x＝2”．否命题：“若x≠2，则x2＋x－6≠0”．逆否命题：“若x2＋x－6≠0，则x≠2”．(3)原命题：“若两个角是对顶角，则它们相等”．逆命题：“若两个角相等，则它们是对顶角”．否命题：“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．逆否命题：“若两个角不相等，则它们不是对顶角”．12．解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高．否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高．(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧．逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．13．B[命题“若p，则q”的否命题为“若綈p，则綈q”，而“是”的否定是“不是”，故选B.]14．解逆命题：已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．否命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b<0. 逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b<0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集．原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．。
【创新设计-课堂讲义】2015-2016学年高中数学(人教A版选修1-2)课时作业：章末检测卷(一)
章末检测卷 (一 )(时间： 120 分钟满分：150分)一、选择题 (本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分 )1．以下语句表示的事件中的要素不拥有有关关系的是()A ．瑞雪兆丰年B．名师出高徒C．抽烟有害健康D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧2．以下结论正确的选项是()①函数关系是一种确立性关系；②有关关系是一种非确立性关系；③回归剖析是对拥有函数关系的两个变量进行统计剖析的一种方法；④回归剖析是对拥有有关关系的两个变量进行统计剖析的一种常用方法．A ．①②B．①②③C．①②④D．①②③④^3．若线性回归方程为 y＝ 2－ 3.5x，则变量 x 增添一个单位，变量y 均匀 ()A ．减少 3.5 个单位B．增添 2个单位C．增添 3.5 个单位D．减少 2 个单位4．下表是某厂1～ 4 月份用水量 (单位：百吨 )的一组数据：月份 x1234用水量 y 4.543 2.5^^由散点图可知，用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性有关关系，其线性回归方程是y ＝－ 0.7x＋ a ，^则 a 等于 ()A ． 10.5B． 5.15C． 5.2 D ． 5.255．独立性查验中，假定 H 0：变量 X 与变量 Y 没有关系，则在 H 0成立的状况下， P(K2≥ 6.635) ≈ 0.010表示的意义是 ()A ．变量 X 与变量 Y 有关系的概率为1%B．变量 X 与变量 Y 有关系的概率为99.9%C．变量 X 与变量 Y 没有关系的概率为 99%D ．变量 X 与变量 Y 有关系的概率为99%6．依据以下样本数据x345678y 4.0 2.5－ 0.50.5－ 2.0－ 3.0^^^获取的回归方程为 y＝ bx＋ a，则 ()^^^^A. a>0 ， b>0B.a>0， b<0^^^^C.a<0， b>0D. a<0， b<07.如图， 5 个 (x， y)数据，去掉 D (3,10) 后，以下说法错误的选项是()A ．有关系数 r 变大B．残差平方和变大C． R2变大D ．解说变量 x 与预告变量y 的有关性变强8．依据一位母亲记录儿子3～ 9 岁的身高数据，成立儿子身高(单位： cm) 对年纪 (单位：岁 )的线性^回归方程 y ＝ 7.19x＋ 73.93，用此方程展望儿子10 岁的身高，有关表达正确的选项是()A ．身高必定为145.83 cmB．身高大于145.83 cmC．身高小于145.83 cmD ．身高在145.83 cm 左右9．四名同学依据各自的样本数据研究变量x，y 之间的有关关系，并求得回归直线方程，分别获取以下四个结论：^①y 与 x 负有关且 y ＝ 2.347 x－ 6.423 ；^②y 与 x 负有关且 y ＝－ 3.476 x＋ 5.648 ；^③y 与 x 正有关且 y ＝ 5.437 x＋ 8.493 ；^④y 与 x 正有关且 y ＝－ 4.326 x－ 4.578.此中必定不正确的结论的序号是()A ．①②B．②③C．③④D．①④10.以下是 x 与 y 之间的一组数据 ()x0123y1357^^^则 y 对于 x 的回归方程 y＝ b x＋ a ，对应的直线必过点()A．(3，4)B． (3， 2) 22C． (2,2)D． (1,2)11．在两个学习基础相当的班级推行某种教课举措的实验，测试结果见下表，则在出错误的概率不超出 0.005 的前提下推测实验成效与教课举措()优、良、中差总计实验班48250对照班381250总计8614100A. 有关B．没关C．关系不明确 D ．以上都不正确12．某检查者从检查中获知某企业最近几年来科研花费支出x(万元 )与企业所获取收益y(万元 )的统计资料以下表：序号科研花费支出 x i收益 y i x i y i x i21531155252114044012134301201645341702553257596220404总计30180 1 000200则收益 y 对科研花费支出x 的线性回归方程为 ()^^A. y ＝ 2x＋ 20B. y ＝ 2x－ 20^^C.y ＝ 20x＋ 2D. y ＝ 20x－ 2二、填空题 (本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 )13．很多要素都会影响贫困，教育或许是此中之一．在研究这两个要素的关系时，采集了美国 50 个州的成年人受过 9 年或更少教育的百分比 (x)和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的^百分比 (y) 的数据，建立的线性回归方程为 y＝ 0.8x ＋ 4.6. 斜率的估计值为 0.8说明________________________________________________________________________ ．^ 14．考古学家经过鼻祖鸟化石标本发现：其股骨长度x(cm) 与肱骨长度 y(cm) 的线性回归方程为y ＝1.197x－ 3.660，由此预计，当股骨长度为50 cm 时，肱骨长度的预计值为 ________ cm.15．下边是一个 2× 2 列联表：y1y2总计x1a2170x25c30总计b d100则 b－ d＝ ________.16．为了研究电离辐射的剂量与人体的受损程度能否有关，用两种不一样剂量的电离辐射照耀小白鼠．在照耀14 天内的结果如表所示：死亡存活总计第一种剂量141125第二种剂量61925总计203050进行统计剖析时的统计假定是________.题12345678910111213141516号答案三、解答题 (本大题共 6 小题，共70 分 )17.(10 分 )为研究质量x(单位：克 )对弹簧长度y(单位：厘米 )的影响，对不一样质量的 6 个物体进行测量，数据以下表所示：x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8(1)作出散点图并求线性回归方程；(2)求出 R2；(3)进行残差剖析．18.(12 分 )电视传媒企业为了认识某地域电视观众对某类体育节目的收视状况，随机抽取了100 名观众进行检查．下边是依据检查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频次散布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40 分钟的观众称为“体育迷”．依据已知条件达成下边的2× 2 列联表，并据此资料，你能否定为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷共计男女1055共计19.(12 分 )在海南省第二十四届科技创新大赛活动中，某同学为研究“ 网络游戏对今世青少年的影响”作了一次检查，共检查了50 名同学，此中男生26 人，有 8 人不喜爱玩电脑游戏，而检查的女生中有 9 人喜爱玩电脑游戏．(1) 依据以上数据成立一个2× 2 的列联表；(2) 依据以上数据，在出错误的概率不超出0.025 的前提下，可否定为“喜爱玩电脑游戏与性别有关系” ？20．(12 分)某校团对“学生性别与能否喜爱韩剧有关”作了一次检查，此中女生人数是男生人数的1122，男生喜爱韩剧的人数占男生人数的6，女生喜爱韩剧的人数占女生人数的3.若在出错误的概率不超出 0.05 的前提下以为能否喜爱韩剧和性别有关，则男生起码有多少人？21.(12 分 ) 某农科所对冬天日夜温差大小与某反季节大豆新品种抽芽多少之间的关系进行剖析研究，他们分别记录了12 月 1 日至 12 月 5 日的每日日夜温差与实验室每日每100 颗种子中的抽芽数，获取以下资料：日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日抽芽数 y(颗)2325302616该农科所确立的研究方案是：先从这五组数据中选用 2 组，用剩下的 3 组数据求线性回归方程，再对被选用的 2 组数据进行查验．(1)求选用的 2 组数据恰巧是不相邻 2 天数据的概率；(2)若选用的是 12 月 1 日与 12月 5 日的两组数据，请依据12月 2日至 12 月 4 日的数据，求出y^^^对于 x 的线性回归方程 y ＝ b x＋ a；(3)若由线性回归方程获取的预计数据与所选出的查验数据的偏差均不超出2颗，则以为获取的线性回归方程是靠谱的，试问(2)中所得的线性回归方程能否靠谱？22.(12 分)某工厂有25 周岁以上 (含 25 周岁 )工人 300 名， 25 周岁以下工人200 名．为研究工人的日均匀生产量能否与年纪有关，现采纳分层抽样的方法，从中抽取了100 名工人，先统计了他们某月的日均匀生产件数，而后按工人年纪在“25 周岁以上 (含 25 周岁 )”和“25 周岁以下” 分为两组，再将两组工人的日均匀生产件数分红 5 组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90) ，[90,100]分别加以统计，获取以下图的频次散布直方图．(1)从样本中日均匀生产件数不足60 件的工人中随机抽取 2 人，求起码抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日均匀生产件数许多于80 件者为“生产好手”，请你依据已知条件达成2×2列联表，并判断能否有 90%的掌握以为“生产好手与工人所在的年纪组有关”？P(K 2≥ k)0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.8282(注： K2＝n ad － bc)。
2016-2017《创新设计》同步人教A版选修1-1第二章 2.1.2(二)
题型二
直线与椭圆的相交弦问题 2 2 x y 例2 已知点P(4,2)是直线l被椭圆 ＋ ＝1所截得的线段的中点，求直线l 36 9 的方程.
解 由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，
而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0.
将直线方程代入椭圆方程有(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0.
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|； 解 由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4， 得|AF1|＝3，|F1B|＝1. 因为△ABF2的周长为16， 所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8. 故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.
解析答案
3 (2)若 cos∠AF2B＝5，求椭圆 E 的离心率. 解 设|F1B|＝k，则k>0，且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.
8k4k－2 1 所以 x1＋x2＝ ＝8，所以 k＝－2. 2 4k ＋1 1 所以直线 l 的方程为 y－2＝－2(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
反思与感悟 解析答案
x2 y2 跟踪训练2 设F1，F2分别是椭圆E： 2＋ 2 ＝1 (a>b>0)的左，右焦点， a b 过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|BF1|.
y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离.
设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x－y＋a＝0，
2 2 x ＋ 8 y ＝8， 联立方程 得 9y2－2ay＋a2－8＝0， x－y＋a＝0，
Δ＝4a2－36(a2－8)＝0， 解得a＝3或a＝－3，
|4－3| 2 ∴与直线l距离较近的切线方程为x－y＋3＝0，最小距离为 d＝ 2 ＝ 2 . 8 2 2 x ＝－ ， x ＋ 8 y ＝ 8 ， 3 8 1 由 得 即 P(－3，3). 1 x－y＋3＝0， y＝3，
【创新设计-课堂讲义】2015-2016学年高中数学(人教A版选修1-2)课时作业：第一章 统计案例
1 加深理解回归分析与独立性检验一、回归分析1．回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中：b ^＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑ni ＝1(x i －x )2＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑n i ＝1x 2i －n x 2，a ^ ＝y －b ^x . (注：b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑n i ＝1x 2i －n x 2主要方便计算，其中(x i ，y i )为样本数据，(x ，y )为样本点的中心)公式作用：通过刻画线性相关的两变量之间的关系，估计和分析数据的情况，解释一些实际问题，以及数据的变化趋势． 公式联系：是进行残差分析的基础． 2．样本相关系数的具体计算公式：r ＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑n i ＝1(x i －x )2∑n i ＝1(y i －y )2＝∑n i ＝1x i y i －n x y(∑ni ＝1x 2i －n x2)(∑ni ＝1y 2i －n y 2)公式作用：反映两个变量之间线性相关关系的强弱．当r 的绝对值接近1时，表明两个变量的线性相关性越强；当r 的绝对值接近0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．规定当r >0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系．公式联系：(1)由于分子与回归方程中的斜率b 的分子一样(这也给出了公式的内在联系以及公式的记法)，因此，当r >0时，两个变量正相关；当r <0时，两个变量负相关． (2)常配合散点图判断两个随机变量是否线性相关．散点图是从形上进行粗略地分析判断，这个判断是可行的、可靠的，也是进行线性回归分析的基础，否则回归方程失效；它形象直观地反映了数据点的分布情况．相关系数r 是从数上反映了两个随机变量是否具有线性相关关系，以及线性相关关系的强弱，它较精确地反映了数据点的分布情况，准确可靠．3．我们可以用相关指数R 2来刻画回归的效果，其计算公式是：R 2＝1－∑n i ＝1(y i －y ^i )2∑n i ＝1(y i －y )2＝∑ni ＝1(y i －y )2－∑n i ＝1(y i －y ^i )2∑n i ＝1(y i －y )2用R 2来刻画回归的效果．对于已经获取的样本数据，R 2表达式中的∑ni ＝1(y i －y )2为确定的数．因此R 2越大，意味着残差平方和∑n i ＝1(y i －y ^i )2越小，即模型的拟合效果越好；R 2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差．在线性回归模型中，R 2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率．R 2越接近于1，表示回归的效果越好．R 2是常用的选择模型的指标之一，在实际应用中应该尽量选择R 2大的回归模型． 二、独立性检验(一)基础概念的梳理与理解1．分类变量：对于宗教信仰来说，其取值为信宗教信仰与不信宗教信仰两种．像这样的变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量．例如性别变量其取值为男和女两种，吸烟变量其取值为吸烟与不吸烟两种．2．两个分类变量：是否吸烟与是否患肺癌，性别男和女与是否喜欢数学课程等等，这些关系是我们所关心的．3．2×2列联表：列出的两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}的样本频数表称为2×2列联表(如下表).(二)两个分类变量是否有关的粗略估计等高条形图由深、浅颜色的高度可见两种情况下的百分比；另一方面，数据a a ＋b 要比c c ＋d 小得多，因此，说明两分类变量X 和Y 有关系成立的可能性较大．重点：等高条形图能直观地看出在两个分类变量频数相等的情况下，各部分所占的比例情况． (三)独立性检验的基本思想上面通过分析数据与图形，得出的估计是粗略的，因为我们说的“大得多”、“小得多”，到底是有多大的差距？也就是说得到的结论是直观上的印象，其实与是否有关还是有较大的差距的．但是上面的分析给了我们一种重要的思想方法．下面从理论上说明两类分类变量是否有关，请同学们从中体会其思想方法． 1．基本思想与图形的联系假设两类分类变量是无关的，可知如下的比应差不多，即：a a ＋b ≈cc ＋d ⇒|ad －bc |＝0.构造随机变量K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )(此公式如何记忆，其特点是什么？结合2×2列联表理解)．显然所构造的随机变量与|ad －bc |的大小具有一致性． 2．独立性检验的思想方法如果K 2的观察值较大，说明其发生(无关系)的概率很小，此时不接受假设，也就是两分类变量是有关系的(称小概率事件发生)；如果K 2的观察值较小，此时接受假设，说明两分类变量是无关系的．其思想方法类似于数学上的反证法． 3．得到K 2的观测值k 常与以下几个临界值加以比较：如果k >2.706，就有90%的把握认为两分类变量X 和Y 有关系；如果k >3.841，就有95%的把握认为两分类变量X 和Y 有关系；如果k >6.635，就有99%的把握认为两分类变量X 和Y 有关系；如果k >10.828，就有99.9%的把握认为两分类变量X 和Y 有关；如果k ≤2.706，就认为没有充分的证据说明变量X 和Y 有关系．像这种利用随机变量K 2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验．2 回归分析题型归纳相关关系是自然中普遍存在的关系，高考中对具有线性相关关系的考查已成为趋势，有的考查概念性质，更多是考查线性回归直线方程的实际应用，下面精选几例题型供赏析． 一、考查相关系数例1 变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( ) A ．r 2<r 1<0B ．0<r 2<r 1C ．r 2<0<r 1D ．r 2＝r 1解析 方法一 由散点图可以得出结论：变量X 与Y 正相关；变量U 与V 负相关．故r 1>0，r 2<0，因此选C.方法二 由线性相关系数公式知r ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2∑i ＝1n(y i －y )2.∵X ＝U ＝11.72，Y ＝V ＝3，X i ＝U i (i ＝1,2，…，5)，Y i ＝V 6－i (i ＝1,2，…，5)， ∴∑i ＝15(X i －X )2∑i ＝15(Y i －Y )2＝ ∑i ＝15(U i －U )2∑i ＝15(V i －V )2.令∑i ＝15(X i －X )(Y i －Y )＝A＝(10－X )(1－Y )＋(11.3－X )(2－Y )＋(11.8－X )·(3－Y )＋(12.5－X )(4－Y )＋(13－X )(5－Y )，∑i ＝15(U i －U )(V i －V )＝B＝(10－U )(5－V )＋(11.3－U )(4－V )＋(11.8－U )·(3－V )＋(12.5－U )(2－V )＋(13－U )(1－V )， ∴A >0，B <0，∴r 1>0，r 2<0. 答案 C二、考查线性回归直线的性质 例2设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是( ) A ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率 B ．x 和y 的相关系数在0到1之间C ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同D ．直线l 过点(x ，y )解析 因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强，所以A 、B 错误．C 中n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数可以不相同，所以C 错误．根据线性回归方程一定经过样本中心点可知D 正确．所以选D. 答案 D三、考查线性回归直线方程的应用例3 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系：小李这56号打6小时篮球的投篮命中率为________． 解析 小李这5天的平均投篮命中率 y ＝0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.45＝0.5，可求得小李这5天的平均打篮球时间x ＝3.根据表中数据可求得b ^＝0.01，a ^＝0.47，故线性回归方程为y ^＝0.47＋0.01x ，将x ＝6代入得6号打6小时篮球的投篮命中率约为0.53. 答案 0.5 0.533 巧解非线性回归问题如果题目所给样本点的分布不呈带状分布，即两个变量不呈线性关系，那么，就不能直接利用线性回归方程建立两个变量之间的关系，这时我们可以把散点图和已经学过的各种函数，如幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等作比较，挑选出与这些散点拟合最好的函数，然后利用变量置换，把非线性回归方程问题转化为线性回归方程的问题来解决，这是解决此类问题的通法，体现了转化思想． 一、案例分析例 一个昆虫的某项指标和温度有关，现收集了7组数据如下表：分析 根据表中的数据画出散点图，再由图设出相应的回归模型． 解画出散点图如图所示，样本点并没有分布在某个带状区域内，而是分布在某一条二次函数曲线y ＝Bx 2＋A 的周围．令X ＝x 2，则变换后的样本点应该分布在y ＝bX ＋a (b ＝B ，a ＝A )的周围． 由已知数据可得变换后的样本数据表：计算得到线性回归方程为y ^＝0.199 94X ＋4.999 03.用x 2替换X ，得某项指标y 关于温度x 的回归方程y ^＝0.199 94x 2＋4.999 03. 计算得R 2≈0.999 997，几乎为1，说明回归模型的拟合效果非常好．点评 本题是非线性回归分析问题，解决这类问题应该先画出散点图，把它与我们所学过的函数图象相对照，选择一种跟这些样本点拟合的最好的函数，然后采用适当的变量变换转化为线性回归分析问题，使之得以解决．二、知识拓展常见的非线性函数转换方法：(1)幂型函数y ＝ax m (a 为正数，x ，y 取正值)解决方案：对y ＝ax m 两边取常用对数，有lg y ＝lg a ＋m lg x ，令u ＝lg y ，v ＝lg x ，则原式可变为u ＝m v ＋lg a ，其中m ，lg a 为常数，该式表示u ，v 的线性函数． (2)指数型函数y ＝c ·a x (a ，c >0，且a ≠1)解决方案：对y ＝ca x 两边取常用对数，则有lg y ＝lg c ＋x lg a ，令u ＝lg y ，则原式可变为u ＝x lg a ＋lg c ，其中lg a 和lg c 为常数，该式表示u ，x 的线性函数．与幂函数不同的是x 保持不变，用y 的对数lg y 代替了y . (3)反比例函数y ＝kx(k >0)解决方案：令u ＝1x ，则y ＝ku ，该式表示y ，u 的线性函数．(4)二次函数y ＝ax 2＋c解决方案：令u ＝x 2，则原函数可变为y ＝au ＋c ，该式表示y ，u 的线性函数． (5)对数型函数y ＝c log a x解决方案：令x ＝a u ，则原函数可变为y ＝cu ，该式表示y ，u 的线性函数．4 判断两个变量线性相关的方法一、由散点图判断两个变量线性相关例1 “阿曼德匹萨”是一个制作和外卖意大利匹萨的餐饮连锁店，其主要客户群是在校大学生，为研究各店铺某季度的销售额与店铺附近地区大学生人数的关系，随机抽取十个分店的样本，得到数据如下：(1)相关关系？(2)若具有线性相关关系，求回归直线方程，然后再进一步根据回归直线方程预测一个区内大学生有1万人的店铺的季度销售额．分析 先根据表中的数据画出散点图，然后判断是否具有线性相关关系，若具有线性相关关系，再根据所给的数据求出线性回归方程，最后进行预测． 解 (1)散点图如图所示．由散点图可以看出：这些点分布在一条直线的附近．所以各店铺该季度的销售额y 与店铺附近地区大学生人数x 具有线性相关关系． (2)由表中数据可知x ＝1.4，y＝13，∑i ＝110x 2i －10x 2＝5.68，∑i ＝110x i y i －10x y ＝28.4.所以b ^＝28.45.68＝5，a ^＝13－5×1.4＝6.因此回归直线方程是y ^＝5x ＋6.当x ＝1时，y ^＝5×1＋6＝11，即区内大学生有1万人的店铺的季度销售额约为11万元． 评注 本题根据线性回归方程进行预测，这要求同学们具备一定的数据分析、推测能力．通过学习，体会数据收集、分析在现实生活中的作用．二、由样本相关系数判断两个变量线性相关例2 2010年4月14日青海省玉树县发生7.1级大地震，为了抗震救灾，某工厂需大批生产帐篷支援灾区，工厂为了规定工时定额，需要确定加工帐篷所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下：(2)如果x 与Y 具有线性相关关系，求出回归直线方程．分析 可通过计算相关系数判断Y 与x 是否具有相关关系，如果Y 与x 具有相关关系可将有关数据代入公式求得回归直线方程．解 (1)①作统计假设：x 与Y 不具有线性相关关系． ②由小概率0.05与n －2＝8在附表中查得r 0.05＝0.632. ③根据已知数据，可求得x ＝55，y ＝91.7，∑i ＝110x 2i ＝38 500，∑i ＝110y 2i ＝87 777，∑i ＝110x i y i ＝55 950. 因此，r ＝55 950－10×55×91.7(38 500－10×552)×(87 777－10×91.72)≈0.999 8.④|r |>0.632，即|r |>r 0.05从而有95%的把握认为x 与Y 之间具有线性相关关系，因而求回归直线方程是有意义的．(2)设所求的回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则有b ^＝55 950－10×55×91.738 500－10×552≈0.668，a ^ ＝y －b ^x ＝54.96.因此，所求的回归直线方程是y ^＝0.668x ＋54.96.评注 求解两个变量的相关系数及它们的回归直线方程的计算量大，需要细心、谨慎地计算．5 独立性检验思想的应用在日常生活中，经常会面临一些需要推断的问题．在对这些问题作出推断时，我们不能仅凭主观臆断作出结论，需要通过试验来收集数据，并依据独立性检验思想做出合理的推断．所谓独立性检验，就是根据采集样本的数据，先利用等高条形图粗略判断两个分类变量是否有关系，再利用公式计算K2的值，比较与临界值的大小关系来判定事件X与Y是否有关的问题．其基本步骤如下：(1)考察需抽样调查的背景问题，确定所涉及的变量是否为二值分类变量；(2)根据样本数据制作列联表；(3)通过图形直观判断两个分类变量是否相关；(4)计算统计量K2，并查表分析．当K2很大时，就认为两个变量有关系；否则就认为没有充分的证据显示两个变量有关系．下面举例说明独立性检验思想在解决实际问题中的应用．例为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以上的人，统计结果为：患慢性气管炎共有56人，患慢性气管炎且吸烟的有43人，未患慢性气管炎但吸烟的有162人．根据调查统计结果，分析患慢性气管炎与吸烟在多大程度上有关系？解根据所给样本数据得到如下2×2列联表：由列联表可以粗略估计出：在吸烟者中，有20.98%的患慢性气管炎；在不吸烟者中，有9.70%的患慢性气管炎．两个比例的值相差较大，所以结论“患慢性气管炎与吸烟有关”成立的可能性较大．作出相应的等高条形图，如图所示．比较图中两个深色条的高可以发现在吸烟样本中患慢性气管炎的频率要高一些，可以在某种程度上认为“患慢性气管炎与吸烟有关”．根据列联表中的数据，得到- 11 - K 2＝339×(43×121－13×162)256×283×205×134≈7.469>6.635. 而P (K 2≥6.635)≈0.010.所以有99%的把握认为“患慢性气管炎与吸烟有关”．点评 对列联表的比例及等高条形图进行分析，可粗略地判断两个分类变量是否有关系．通过计算检验随机变量K 2，可以比较精确地给出这种判断的可靠程度．先收集数据，然后通过一些统计方法对数据进行科学的分析，这是我们用统计方法解决实际问题的基本策略．。
【创新设计-课堂讲义】2015-2016学年高中数学(人教A版选修1-2)课时作业：章末检测卷(四)
章末检测卷 (四 )(时间： 120 分钟满分：150分)一、选择题 (本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分 )1．以下说法正确的选项是()A．工序流程图中不行能出现闭合回路B．程序框图中不行能出现闭合回路C．在一个程序框图中三种程序构造能够都不出现D．在一个程序框图中三种程序构造一定都出现2．要描绘一个工厂某种产品的生产步骤，应用()A ．程序框图B ．工序流程图C．知识构造图 D ．组织构造图3．在下边的图示中，是构造图的为()A.B.C.D.4．如图是“会合”的知识构造图，假如要加入“子集”，则应当放在()—会合的观点—会合的表示会合——基本关系—会合的运算——基本运算A．“会合的观点”的下位B．“会合的表示”的下位C．“基本关系”的下位D．“基本运算”的下位5．以下框图中不是构造图的是()A. 整数指数幂→ 有理指数幂→ 无理指数幂B. 随机事件→ 频次→ 概率C. 发现问题→ 剖析问题→ 解决问题→ 定义D. 对数函数→→ 图象与性质6．以下图所示的工序流程图中，设施采买的上一道工序是()A ．设施安装B ．土建设计C．厂房土建 D ．工程设计6题图7题图7．履行如下图的程序框图，若输入的 A 的值为2，则输出的P 值为 () A．2B．3C． 4D．58．如下图的构造图中“古典概型”的上位是()A ．试验B．随机事件C．概率统计定义D．概率的应用A．3B．5C． 8D．1210．某成品的组装工序流程图如下图，箭头上的数字表示组装过程中所需要的时间(小时 )，不一样车间可同时工作，同一车间不可以同时做两种或两种以上的工作，则组装该产品所需要的最短时间是()A．11 小时B．13 小时C． 15 小时D．17 小时2π2π11．某程序框图如下图，现履行该程序，输入以下函数f(x)＝ sin 3 x，f(x)＝cos3x，f(x)＝tan 4π3 x，则能够输出的函数是()2π2πA ． f(x)＝ sin 3 xB． f(x)＝ cos 3 x4πC． f(x)＝ tan 3 xD．三个函数都没法输出3A ． 4 B. 22C.3D．－ 1二、填空题 (本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分)13．如下图的是某企业的组织构造图，则后勤部的直接领导是________________ ．14．按以下程序框图运算：规定：程序运转到“判断结果能否大于244 ”为 1 次运算，若 x＝ 5，则运算进行________ 次才停止．15．程序框图 (即算法流程图)如下图，其输出结果是________ ．16．某市质量技术监察局计量认证审察流程图如下图，从图中可知在计量认证审察过程中审察可能不经过的环节有________ 处．三、解答 (本大共 6 小，共70 分 )17． (10 分 )汽托运重量P(kg) 的物，每千米的用(位：元 )准0.2P，当 P ≤20 kg ，y＝0.3× 20＋ 1.1 P－ 20 ，当 P>20 kg .画出行李托运用的程序框．18． (12 分 )画出修1－ 2 中“推理与明” 一部分内容的知构．19． (12 分 )画出求足1＋ 22＋ 32＋⋯＋ n2 >20 000 的最小自然数n 的程序框．20．(12 分 )明日小要参加班里的郊游活，了做好参加次郊游的准工作，他算了如下数据：整理床、整理携物件8 分，洗、刷牙7 分，煮牛奶15 分，吃早10 分，公交路9 分，出差在外的父手机短信 6 分，走到公共汽站10 分，等公共汽10 分．小大略地算了一下，共需要75 分，了追上7： 50 的公共汽，小决定6：30 起床，不幸的是他一下子睡到7：00！你帮小安排一下，画出一份郊游出行前安排流程，使他能来得及参加此次郊游．22． (12 分 )按相关定在国内投寄平信，每封信的重量x(g) 不超 60 g 的 (分 )的准：80x∈ 0， 20]，y＝ 160x∈ 20，40] ，240x∈ 40，60].一个算的流程．。
【创新设计-课堂讲义】2015-2016学年高中数学(人教A版选修1-2)课时作业：第一章统计案例
1 加深理解回归剖析与独立性查验一、回归剖析^ ^ ^1．回归直线方程 y ＝ b x ＋ a ，此中：nn^∑x i － x y i － y∑ x i y i － n x y ^ i ＝1＝i ＝1，a b ＝nx i － x2n ∑ ∑ x i 2－ n x 2i ＝1i ＝1n^∑ x i y i －n xy(注： b ＝ i＝1主要方便计算，此中n∑ x 2i － n x 2i ＝1^＝ y － b x .(x i ， y i )为样本数据， ( x ， y )为样本点的中心)公式作用：经过刻画线性有关的两变量之间的关系，预计和剖析数据的状况，解说一些实质问题，以及数据的变化趋向．公式联系：是进行残差剖析的基础．2．样真有关系数的详细计算公式：n∑x i － x y i － yi ＝1r ＝nny i － y2∑ x i － x 2∑i ＝1i ＝1n∑ x i y i －n xy＝i＝1nn∑ x i 2－ n x 2∑ y i 2－ n y2i ＝1i ＝1公式作用： 反应两个变量之间线性有关关系的强弱． 当 r 的绝对值靠近 1 时，表示两个变量的线性有关性越强； 当 r 的绝对值靠近 0 时，表示两个变量之间几乎不存在线性有关关系． 规定当 r >0.75 时，以为两个变量有很强的线性有关关系．公式联系： (1) 因为分子与回归方程中的斜率b 的分子同样 (这也给出了公式的内在联系以及公式的记法 ) ，所以，当 r>0 时，两个变量正有关；当r<0 时，两个变量负有关．(2) 常配合散点图判断两个随机变量能否线性有关．散点图是从形长进行大略地剖析判断，这个判断是可行的、靠谱的，也是进行线性回归剖析的基础，不然回归方程无效；它形象直观地反应了数据点的散布状况．有关系数 r 是从数上反应了两个随机变量能否拥有线性有关关系，以及线性有关关系的强弱，它较精准地反应了数据点的散布状况，正确靠谱．3．我们能够用有关指数R 2 来刻画回归的成效，其计算公式是：n^nn^∑y i － y2∑ y i － y 2－∑ y i － y 2＝i＝＝iR 2＝ 1－ in1＝ i1ni1∑y i － y2∑y i － y2用 R 2 来刻画回归的成效． 对于已经获得的样本数据， R 2n表达式中的∑ ( y i － y )2为确立的数．因i ＝1n ^R 2越小，残差平方此 R 2越大，意味着残差平方和∑(y i － y i )2越小，即模型的拟合成效越好；i ＝1和越大，即模型的拟合成效越差．在线性回归模型中，R 2 表示解说变量对于预告变量变化的贡献率． R 2 越靠近于 1，表示回归的成效越好． R 2 是常用的选择模型的指标之一， 在实质应用中应当尽量选择 R 2 大的回归模型． 二、独立性查验(一 )基础观点的梳理与理解1．分类变量：对于宗教崇奉来说，其取值为信宗教崇奉与不信宗教崇奉两种．像这样的变量的不一样“值”表示个体所属的不一样类其他变量称为分类变量．比如性别变量其取值为男和女两种，抽烟变量其取值为抽烟与不抽烟两种．2．两个分类变量：能否抽烟与能否患肺癌，性别男和女与能否喜爱数学课程等等，这些关系是我们所关怀的．3．2× 2 列联表：列出的两个分类变量X 和 Y ，它们的取值分别为 { x 1，x 2} 和 { y 1，y 2} 的样本频数表称为 2× 2 列联表 (以下表 ).y 1y 2 总计x 1a b a ＋bx 2c d c ＋ d总计a ＋ cb ＋ da ＋b ＋c ＋ d(二 )两个分类变量能否有关的大略预计等高条形图由深、浅颜色的高度可见两种状况下的百分比；另一方面，数据a要比 c小得多，所以，a ＋bc ＋ d说明两分类变量 X 和 Y 有关系成立的可能性较大．要点： 等高条形图能直观地看出在两个分类变量频数相等的状况下，各部分所占的比率状况．(三 )独立性查验的基本思想上边经过剖析数据与图形，得出的预计是大略的，因为我们说的“大得多”、“小得多”，究竟是有多大的差距？也就是说获得的结论是直观上的印象，其实与能否有关仍是有较大的差距的．可是上边的剖析给了我们一种重要的思想方法．下边从理论上说明两类分类变量能否有关，请同学们从中领会其思想方法．1．基本思想与图形的联系假定两类分类变量是没关的，可知以下的比应差不多，即：a ≈ c? |ad － bc|＝ 0.a ＋bc ＋ d结构随机变量 K 2＝n ad － bc 2b ＋ d ( 此中 n ＝ a ＋ b ＋c ＋ d)(此公式怎样记忆，其特色是c ＋d a ＋ ca ＋b 什么？联合 2× 2 列联表理解 )．明显所结构的随机变量与 |ad － bc|的大小拥有一致性．2．独立性查验的思想方法假如 K 2 的察看值较大，说明其发生(没关系 )的概率很小，此时不接受假定，也就是两分类变量是有关系的 (称小概率事件发生 )；假如 K 2 的察看值较小，此时接受假定，说明两分类变量是没关系的．其思想方法近似于数学上的反证法．3．获得 K 2 的观察值 k 常与以下几个临界值加以比较：假如 k>2.706，就有 90%的掌握以为两分类变量 X 和 Y 有关系；假如 k>3.841，就有 95%的把握以为两分类变量X 和 Y 有关系； 假如 k>6.635 ，就有 99%的掌握以为两分类变量 X 和 Y 有关系；假如 k>10.828 ，就有 99.9%的掌握以为两分类变量 X 和 Y 有关；假如 k ≤ 2.706，就以为没有充足的凭证说明变量X 和 Y 有关系．像这种利用随机变量K 2 来确立在多大程度上能够以为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性查验．2 回归剖析题型概括有关关系是自然中广泛存在的关系，高考取对拥有线性有关关系的观察已成为趋向，有的考查观点性质，更多是观察线性回归直线方程的实质应用，下边优选几例题型供赏析．一、观察有关系数例 1 变量 X 与 Y 相对应的一组数据为 (10,1) ， (11.3,2)， (11.8,3)， (12.5,4)， (13,5) ；变量 U 与 V相对应的一组数据为 (10,5) ，(11.3,4) ， (11.8,3)， (12.5,2)， (13,1) ． r 1 表示变量 Y 与 X 之间的线性有关系数， r 2 表示变量 V 与 U 之间的线性有关系数，则()A ． r 2<r 1<0B ． 0< r 2<r 1C ． r 2<0<r 1D ． r 2＝ r 1分析 方法一 由散点图能够得出结论：变量 X 与 Y 正有关；变量U 与 V 负有关．故 r 12<0 ，所以选 C.>0， r方法二由性有关系数公式知nx i－ x y i－ yi＝ 1r＝.n nx i－ x 2y i－ y 2i＝ 1i＝1∵X ＝ U ＝11.72， Y ＝ V ＝3，X i＝U i(i ＝ 1,2，⋯， 5)， Y i＝ V6－i(i＝ 1,2，⋯， 5)，∴5i－X25Xi－Y2 Yi＝1i＝15U i－ U 25V i－ V 2.＝i＝1i＝15令(X i－ X )(Y i－ Y )＝ Ai＝1＝ (10－ X )(1 － Y )＋ (11.3－ X )(2－ Y )＋ (11.8－ X ) ·(3－ Y ) ＋ (12.5－ X )(4－ Y )＋ (13－X )(5－ Y )，5(U i－ U )( V i－ V )＝ Bi＝1＝(10－ U )(5－ V )＋(11.3－ U )(4 － V )＋(11.8－ U ) ·(3－ V )＋ (12.5－ U )(2－ V )＋ (13－U )(1－ V )，∴A>0， B<0，∴r 1>0， r 2<0.答案C二、考性回直的性例 2(x1， y1)， (x2， y2)，⋯， (x n， y n)是量 x 和 y 的 n 个本点，直l 是由些本点通最小二乘法获得的性回直 A ．x 和 y 的有关系数直 B ． x 和 y 的有关系数在 0 到C．当 n 偶数，散布在 l D ．直 l 点 ( x ，y )(如 )，以下中正确的选项是() l的斜率1之两的本点的个数必定同样分析因有关系数是表示两个量能否拥有性有关关系的一个，它的越靠近1，两个量的性有关程度越，所以 A 、 B ． C 中 n 偶数，散布在l 两的本点的个数能够不同样，所以 C ．依据性回方程必定本中心点可知 D 正确．所以D.答案D三、考性回直方程的用例 3认识球好者小李的投命中率与打球之的关系，下表了小李某月1号到 5 号每日打球x( 位：小 )与当日投命中率y 之的关系：x12345命中率 y0.40.50.60.60.4小李 5 天的均匀投命中率 ________；用性回剖析的方法，小李月6号打 6小球的投命中率________．分析小李 5 天的均匀投命中率0.4＋ 0.5＋ 0.6＋0.6＋ 0.4y ＝5＝0.5，可求得小李 5 天的均匀打球x ＝ 3.^^^依据表中数据可求得 b ＝ 0.01，a ＝ 0.47，故性回方程y＝ 0.47＋ 0.01x，将 x＝ 6 代入得6 号打 6 小球的投命中率0.53.答案0.5 0.533巧解非性回假如目所本点的散布不呈状散布，即两个量不呈性关系，那么，就不可以直接利如幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等作比较，优选出与这些散点拟合最好的函数，而后利用变量置换，把非线性回归方程问题转变成线性回归方程的问题来解决，这是解决此类问题的通法，表现了转变思想．一、事例剖析例一个昆虫的某项指标和温度有关，现采集了7 组数据以下表：温度x/℃2345678某项指标 y 5.790 6.810 8.199 10.001 12.190 14.790 17.801 试成立某项指标 y 对于温度 x 的回归模型，并判断你所成立的回归模型的拟合成效．剖析依据表中的数据画出散点图，再由图设出相应的回归模型．解画出散点图以下图，样本点并无散布在某个带状地区内，而是散布在某一条二次函数曲线 y＝ Bx2＋ A 的四周．令 X＝ x2，则变换后的样本点应当散布在y＝ bX＋ a(b＝ B， a＝ A) 的四周．由已知数据可得变换后的样本数据表：X491625364964某项指标 y 5.790 6.8108.19910.00112.19014.79017.801^计算获得线性回归方程为y ＝ 0.199 94X＋ 4.999 03.^用 x2替代 X，得某项指标 y 对于温度 x 的回归方程 y ＝ 0.199 94x2＋ 4.999 03.计算得 R2≈0.999 997，几乎为1，说明回归模型的拟合成效特别好．评论此题是非线性回归剖析问题，解决这种问题应当先画出散点图，把它与我们所学过的函数图象相比较，选择一种跟这些样本点拟合的最好的函数，而后采纳适合的变量变换转变为线性回归剖析问题，使之得以解决．二、知识拓展常有的非线性函数变换方法：(1) 幂型函数 y ＝ ax m (a 为正数， x ， y 取正当 )解决方案：对 y ＝ ax m 两边取常用对数，有lg y ＝ lg a ＋ mlg x ，令 u ＝ lg y ，v ＝ lg x ，则原式可变为 u ＝ mv ＋ lg a ，此中 m ， lg a 为常数，该式表示 u ， v 的线性函数．(2) 指数型函数 xy ＝ c ·a (a ， c>0，且 a ≠ 1)解决方案：对 y ＝ ca x两边取常用对数，则有lg y ＝ lg c ＋ xlg a ，令 u ＝ lg y ，则原式可变成 u ＝xlg a ＋ lg c ，此中 lg a 和 lg c 为常数，该式表示 u ，x 的线性函数．与幂函数不一样的是 x 保持不变，用 y 的对数 lg y 取代了 y.k(3) 反比率函数 y ＝ x (k>0)解决方案：令 u ＝1，则 y ＝ku ，该式表示 y ， u 的线性函数．x(4) 二次函数 y ＝ ax 2＋ c解决方案：令 u ＝x 2 ，则原函数可变成 y ＝au ＋ c ，该式表示 y ，u 的线性函数．(5) 对数型函数 y ＝ clog a x解决方案：令 x ＝ a u ，则原函数可变成 y ＝cu ，该式表示 y ， u 的线性函数．4 判断两个变量线性有关的方法一、由散点图判断两个变量线性有关例 1 “阿曼德匹萨”是一个制作和外卖意大利匹萨的餐饮连锁店，其主要客户群是在校大学生，为研究各商铺某季度的销售额与商铺邻近地域大学生人数的关系，随机抽取十个分店的样本，获得数据以下：商铺编号区内大学生数 x(万人 )某季度销售额 y(万元 )1 0.2 5.8 2 0.6 10.53 0.8 8.84 0.8 11.85 1.2 11.76 1.6 13.7 72 15.7 8216.99 2.214.910 2.620.2(1) 画出散点图，并判断各商铺该季度的销售额y 与商铺邻近地域大学生人数x 能否拥有线性有关关系？(2)若拥有线性有关关系，求回归直线方程，而后再进一步依据回归直线方程展望一个区内大学生有 1 万人的商铺的季度销售额．剖析先依据表中的数据画出散点图，而后判断能否拥有线性有关关系，若拥有线性有关关系，再依据所给的数据求出线性回归方程，最后进行展望．解 (1)散点图以下图．由散点图能够看出：这些点散布在一条直线的邻近．所以各商铺该季度的销售额y 与商铺邻近地域大学生人数 x 拥有线性有关关系．(2) 由表中数据可知102210x ＝ 1.4， y ＝ 13，x i－ 10 x＝ 5.68，x i y i－ 10 x y ＝ 28.4.i＝ 1i ＝1^28.4^所以 b ＝5.68＝ 5， a＝ 13－5× 1.4＝ 6.^所以回归直线方程是y＝ 5x＋6.^当 x＝ 1 时， y＝ 5×1＋ 6＝ 11，即区内大学生有 1 万人的商铺的季度销售额约为11 万元．评注此题依据线性回归方程进行展望，这要求同学们具备必定的数据剖析、推测能力．通过学习，领会数据采集、剖析在现实生活中的作用．二、由样真有关系数判断两个变量线性有关例 2 2010 年 4 月 14 日青海省玉树县发生7.1 级大地震，为了抗震救灾，某工厂需大量生产帐篷增援灾区，工厂为了规定工时定额，需要确立加工帐篷所花销的时间，为此进行了10 次试验，测得的数据以下：帐篷数x(顶 ) 102030405060708090100加工时间Y(小时 )62 68 75 81 89 95 102 108 115 122试问： (1) 对 x 与 Y 进行有关性查验；(2) 假如 x 与 Y 拥有线性有关关系，求出回归直线方程．剖析可经过计算有关系数判断 Y 与 x 能否拥有有关关系，假如 Y 与 x 拥有有关关系可将有关数据代入公式求得回归直线方程．解 (1)①作统计假定： x 与 Y 不拥有线性有关关系．②由小概率 0.05 与 n － 2＝8 在附表中查得r 0.05＝ 0.632.10x i 2＝ 38 500，③依据已知数据，可求得x ＝55， y ＝ 91.7，i ＝11010i2＝ 87 777，i i ＝ 55 950.yx yi ＝1 i ＝1所以， r ＝55 950－ 10× 55× 91.738 500 －10× 552 × 87 777 －10× 91.72≈0.999 8.④ |r |>0.632，即 |r |>r 0.05 进而有 95% 的掌握以为 x 与 Y 之间拥有线性有关关系， 因此求回归直线方程是存心义的．(2) 设所求的回归直线方程为^^^^55 950－ 10× 55× 91.7 ^ ^y ＝b x ＋ a ，则有 b ＝38 500－ 10× 552≈0.668，a ＝ y －bx ＝ 54.96.^所以，所求的回归直线方程是 y ＝ 0.668x ＋ 54.96.评注 求解两个变量的有关系数及它们的回归直线方程的计算量大，需要仔细、慎重地计算．5 独立性查验思想的应用在平时生活中，常常见面对一些需要推测的问题．在对这些问题作出推测时，我们不可以仅凭主观臆断作出结论，需要经过试验来采集数据，并依照独立性查验思想做出合理的推测．所谓独立性查验，就是依据采集样本的数据，先利用等高条形图大略判断两个分类变量能否有关系，再利用公式计算K2的值，比较与临界值的大小关系来判断事件X 与 Y 能否有关的问题．其基本步骤以下：(1)观察需抽样检查的背景问题，确立所波及的变量能否为二值分类变量；(2)依据样本数据制作列联表；(3)经过图形直观判断两个分类变量能否有关；(4)计算统计量 K 2，并查表剖析．当 K2很大时，就以为两个变量有关系；不然就以为没有充足的凭证显示两个变量有关系．下边举例说明独立性查验思想在解决实质问题中的应用．例为了检查患慢性气管炎能否与抽烟有关，检查了339 名 50 岁以上的人，统计结果为：患慢性气管炎共有56 人，患慢性气管炎且抽烟的有43 人，未患慢性气管炎但抽烟的有162 人．根据检查统计结果，剖析患慢性气管炎与抽烟在多大程度上有关系？解依据所给样本数据获得以下2×2 列联表：患慢性气管炎未患慢性气管炎总计抽烟43162205不抽烟13121134总计56283339由列联表能够大略预计出：在抽烟者中，有 20.98% 的患慢性气管炎；在不抽烟者中，有9.70%的患慢性气管炎．两个比率的值相差较大，所以结论“ 患慢性气管炎与抽烟有关” 成立的可能性较大．作出相应的等高条形图，以下图．比较图中两个深色条的高能够发此刻抽烟样本中患慢性气管炎的频次要高一些，能够在某种程度上以为“ 患慢性气管炎与抽烟有关”．依据列联表中的数据，获得【创新设计-课堂讲义】2015-2016学年高中数学(人教A版选修1-2)课时作业：第一章统计案例K339× 43× 121－13× 162 22＝≈7.469>6.635.56× 283× 205× 134而 P(K2≥ 6.635)≈0.010.所以有 99% 的掌握以为“患慢性气管炎与抽烟有关”．评论对列联表的比率及等高条形图进行剖析，可大略地判断两个分类变量能否有关系．通过计算查验随机变量K2，能够比较精准地给出这种判断的靠谱程度．先采集数据，而后经过一些统计方法对数据进行科学的剖析，这是我们用统计方法解决实质问题的基本策略．-11-。
【创新设计】高中数学(人教版选修1-1)配套练习：第一章 章末总结(含答案解析)
第一章章末总结知识点一四种命题间的关系命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句．一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题．例1判断下列命题的真假．(1)若x∈A∪B，则x∈B的逆命题与逆否命题；(2)若0<x<5，则|x－2|<3的否命题与逆否命题；(3)设a、b为非零向量，如果a⊥b，则a·b＝0的逆命题和否命题．知识点二充要条件及其应用充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考的热点，判断方法有以下几种：(1)定义法(2)传递法：对于较复杂的关系，常用推出符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接判断的命题化为其逆否命题加以判断．(3)等价命题法：对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化．(4)集合法：与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时如果能运用数形结合的思想(如数轴或Venn 图等)就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系．例2 若p ：－2<a<0,0<b<1；q ：关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，则p 是q 的什么条件？例3 设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，a<0.q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0.且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．知识点三 逻辑联结词的应用对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假．利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一．例4 判断下列命题的真假．(1)对于任意x ，若x －3＝0，则x －3≤0；(2)若x ＝3或x ＝5，则(x －3)(x －6)＝0.例5 设命题p ：函数f(x)＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋116a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立．如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．知识点四全称命题与特称命题全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观题出现．全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就行．特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可．全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．例6写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)3＝2；(2)5>4；(3)对任意实数x，x>0；(4)有些质数是奇数．例7已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围．章末总结重点解读例1 解 (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x ∈B ，则x ∈A ∪B ，为真命题．(2)∵0<x<5，∴－2<x －2<3，∴0≤|x －2|<3.原命题为真，故其逆否命题为真．否命题：若x≤0或x≥5，则|x －2|≥3.例如当x ＝－12，⎪⎪⎪⎪－12－2＝52<3. 故否命题为假．(3)原命题：a ，b 为非零向量，a ⊥b ⇒a·b ＝0为真命题．逆命题：若a ，b 为非零向量，a·b ＝0⇒a ⊥b 为真命题．否命题：设a ，b 为非零向量，a 不垂直b ⇒a·b≠0也为真．例2 解 若a ＝－1，b ＝12，则Δ＝a 2－4b<0，关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0无实根，故p ⇒q.若关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x 1、x 2，且0<x 1≤x 2<1，则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b.于是0<－a<2,0<b<1，即－2<a<0,0<b<1，故q ⇒p.所以，p 是q 的必要不充分条件．例3 解 设A ＝{x|p}＝{x|x 2－4ax ＋3a 2<0，a<0}＝{x|3a<x<a ，a<0}． B ＝{x|q}＝{x|x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x|x<－4或x≥－2}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．∴A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a≤－4a<0或⎩⎪⎨⎪⎧3a≥－2a<0， 解得－23≤a<0或a≤－4. 故实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－23，0. 例4 解 (1)∵x －3＝0，有x －3≤0，∴命题为真；(2)∵当x ＝5时，(x －3)(x －6)≠0，∴命题为假．例5 解 p ：由ax 2－x ＋116a>0恒成立得 ⎩⎪⎨⎪⎧ a>0Δ＝1－4×a×a 16<0，∴a>2. q ：由2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立，令t ＝2x ＋1>1，则x ＝t 2－12， ∴t<1＋a·t 2－12， ∴2(t －1)<a(t 2－1)对一切t>1均成立．∴2<a(t ＋1)，∴a>2t ＋1，∴a≥1. ∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 一真一假．若p 真q 假，a>2且a<1不存在．若p 假q 真，则a≤2且a≥1，∴1≤a≤2.故a 的取值范围为1≤a≤2.例6 解 (1)3≠2，真命题；(2)5≤4，假命题；(3)存在一个实数x ，x≤0，真命题；(4)所有质数都不是奇数，假命题．例7 解 (1)不等式m ＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m>－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m ，使不等式m ＋f(x)>0对于任意x ∈R 恒成立，此时，只需m>－4.(2)不等式m －f(x 0)>0可化为m>f(x 0)，若存在一个实数x 0，使不等式m>f(x 0)成立， 只需m>f(x)min .又f(x)＝(x －1)2＋4，∴f(x)min ＝4，∴m>4.所以，所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程 课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．1．双曲线的有关概念(1)双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做双曲线．平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于|F 1F 2|时的点的轨迹为__________________________________________．平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值大于|F 1F 2|时的点的轨迹__________．(2)双曲线的焦点和焦距双曲线定义中的两个定点F 1、F 2叫做________________，两焦点间的距离叫做________________．2．双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点F 1__________，F 2__________.(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________________________，焦点F 1________，F 2__________.(3)双曲线中a 、b 、c 的关系是____________．一、选择题1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a (a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若ax 2＋by 2＝b (ab <0)，则这个曲线是( )A ．双曲线，焦点在x 轴上B ．双曲线，焦点在y 轴上C ．椭圆，焦点在x 轴上D ．椭圆，焦点在y 轴上3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1 B.x 23－y 2＝1 C ．y 2－x 23＝1 D ．x 22－y 22＝1 4．双曲线x 2m －y 23＋m＝1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( ) A ．12B ．1或3C ．1＋22D ．2－125．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( )A ．抛物线B ．圆C ．双曲线的一支D ．椭圆6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1C ．x 22－y 23＝1D ．x 23－y 22＝17．设F 1、F 2是双曲线 x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|＝______.8．已知方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________． 9．F 1、F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝______.三、解答题10．设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．11．在△ABC 中，B (4,0)、C (－4,0)，动点A 满足sin B －sin C ＝12sin A ，求动点A 的轨迹方程．能力提升12．若点O 和点F(－2，0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a>0)的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞)D ．[74，＋∞) 13．已知双曲线的一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，求双曲线的标准方程．1．双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得．2．和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解，也要和双曲线的定义相结合．3．直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求)，利用韦达定理，弦长公式等解决．§2.2 双曲线2．2.1 双曲线及其标准方程答案知识梳理1．(1)|F 1F 2| 以F 1，F 2为端点的两条射线 不存在 (2)双曲线的焦点 双曲线的焦距2．(1)x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) (－c,0) (c,0) (2)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) (0，－c ) (0，c ) (3)c 2＝a 2＋b 2作业设计1．B [根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲 乙，只有当2a <|F 1F 2|且a ≠0时，其轨迹才是双曲线．]2．B [原方程可化为x 2b a＋y 2＝1，因为ab <0，所以b a<0，所以曲线是焦点在y 轴上的双曲线，故选B.]3．A [∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)． 由题知c ＝2，∴a 2＋b 2＝4. ①又点(2,3)在双曲线上，∴22a 2－32b 2＝1. ② 由①②解得a 2＝1，b 2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.] 4．A [∵双曲线的焦点为(2,0)，在x 轴上且c ＝2，∴m ＋3＋m ＝c 2＝4.∴m ＝12.] 5．C [由题意两定圆的圆心坐标为O 1(0,0)，O 2(4,0)，设动圆圆心为O ，动圆半径为r ，则|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2，∴|OO 2|－|OO 1|＝1<|O 1O 2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]6．B [设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，因为c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以x 2a 2－y 25－a 2＝1.由于线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则P 点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a 2－165－a 2＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x 2－y 24＝1.故选B.]7．2解析 ∵||PF 1|－|PF 2||＝4，又PF 1⊥PF 2，|F 1F 2|＝25，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝20－2|PF 1||PF 2|＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝2.8．－1<k <1解析 因为方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线， 所以(1＋k )(1－k )>0.所以(k ＋1)(k －1)<0.所以－1<k <1.9．90°解析 设∠F 1PF 2＝α，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得(2c )2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos α，∴cos α＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝36＋64－10064＝0. ∴α＝90°.10．解 方法一 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)，由题意知c 2＝36－27 ＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ 42a 2－(±15)2b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5. 所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1. 方法二 将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A (±15，4)，又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)． 所以2a ＝|(±15－0)2＋(4＋3)2－ (±15－0)2＋(4－3)2|＝4， 即a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1. 11．解 设A 点的坐标为(x ，y )，在△ABC 中，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， 代入sin B －sin C ＝12sin A ，得|AC |2R －|AB |2R ＝12·|BC |2R，又|BC |＝8， 所以|AC |－|AB |＝4.因此A 点的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a ＝4,2c ＝8，所以 a ＝2，c ＝4，b 2＝12.所以A 点的轨迹方程为x 24－y 212＝1 (x >2)． 12．B[由c ＝2得a 2＋1＝4，∴a 2＝3，∴双曲线方程为x 23－y 2＝1. 设P (x ，y )(x ≥3)，∴ OP →·FP →＝(x ，y )·(x ＋2，y )＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1 ＝43x 2＋2x －1(x ≥3)． 令g (x )＝43x 2＋2x －1(x ≥3)，则g (x )在[3，＋∞)上单调递增．g (x )min ＝g (3)＝3＋2 3. OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞)．]13．解 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1， 且c ＝7，则a 2＋b 2＝7.①由MN 中点的横坐标为－23知， 中点坐标为⎝⎛⎭⎫－23，－53. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则由⎩⎨⎧ x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1， 得b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∵⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝－43y 1＋y 2＝－103，且y 1－y 2x 1－x 2＝1， ∴2b 2＝5a 2.②由①，②求得a 2＝2，b 2＝5.x2 2－y25＝1.∴所求双曲线的标准方程为。