2016-2017学年高中数学人教A版选修4-4学案：第1讲-1 平面直角坐标系 Word版含解析
人教版数学高二A版选修4-4学案第一讲第4节第1课时柱坐标系
第1课时 柱坐标系[核心必知]1．柱坐标系的概念建立空间直角坐标系O -xyz ，设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ＜2π)来表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标．这时点P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z )(z ∈R )表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0，0≤θ＜2π，z ∈R ．柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的．2．直角坐标与柱坐标的转化空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z Ｗ.[问题思考]1．柱坐标与平面上的极坐标之间有什么关系？提示：柱坐标就是平面上的极坐标加上与平面垂直的一个直角坐标．2．在极坐标中，方程ρ＝ρ0(ρ0为正常数)表示圆心在极点，半径为ρ0的圆，方程θ＝θ0(θ0为常数)表示与极轴成θ0角的射线，那么，在柱坐标系中，上述方程又分别表示什么图形？提示：在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ0表示中心轴为z 轴，底半径为ρ0的圆柱面，它是上述圆周沿z 轴方向平行移动而成的．方程θ＝θ0表示与zOx 坐标面成θ0角的半平面．已知空间点P 的直角坐标为(43，4，3)，求它的柱坐标．[精讲详析] 本题主要考查将直角坐标化为柱坐标的方法，解答此题需要明确各坐标的意义，然后将其代入相应公式即可解决．由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，得ρ2＝x 2＋y 2，z ＝3.∴ρ2＝(43)2＋(4)2＝48＋16＝64， ∴ρ＝8.tan θ＝y x ＝443＝33，又x >0，y >0，点在第一象限． ∴θ＝π6.∴点P 的柱坐标为(8，π6，3)．——————————————————已知点的直角坐标，确定它的柱坐标的关键是确定ρ和θ，尤其是θ，要注意求出tan θ还要根据点P 所在的象限确定θ的值(θ的范围是[0，2π))．1．已知空间点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，求它的柱坐标． 解：由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝ρcos θ，－3＝ρsin θ，z ＝3. ∴ρ2＝(－1)2＋(－3)2＝4. ∴ρ＝2.∴cos θ＝－12，sin θ＝－32.又∵θ∈[0，2π)， ∴θ＝43π.即M 的柱坐标为(2，43π，3)．已知点P 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫8，π6，4，求它的直角坐标．[精讲详析] 本题考查柱坐标与直角坐标的转化，解答本题只要将已知点的柱坐标代入相应的公式即可．∵P 点的柱坐标为(8，π6，4)，∴ρ＝8，θ＝π6.由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，得⎩⎨⎧x ＝8cos π6，y ＝8sin π6，z ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝4，z ＝4.∴P 点的直角坐标为(43，4，4)． ——————————————————已知柱坐标，求直角坐标直接利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z即可．2．已知点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，1，求M 关于原点O 对称的点的柱坐标．解：M (2，π4，1)的直角坐标为 ⎩⎨⎧x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1，z ＝1，∴M 关于原点O 的对称点的直角坐标为(－1，－1，－1)，ρ2＝(－1)2＋(－1)2＝2，∴ρ＝ 2. tan θ＝－1－1＝1，又x ＜0，y ＜0. ∴θ＝5π4.∴M 关于原点O 对称点的柱坐标为(2，5π4，－1).给定一个底面半径为2，高为2的圆柱，建立柱坐标系，利用柱坐标系描述圆柱侧面以及底面上点的坐标．[精讲详析]本题考查柱坐标系的建法以及柱坐标的确定方法．解答本题需要建立恰当的柱坐标系，然后根据柱坐标的定义解决相关问题．以圆柱底面圆的圆心为原点，取两条互相垂直的直线为x 轴y 轴，以向上的中轴线为z 轴正方向建立柱坐标系．下底面上的点的柱坐标满足(ρ1，θ1，0)，其中0≤ρ1≤2，0≤θ1＜2π. 上底面上的点的柱坐标满足(ρ2，θ2，2)，其中0≤ρ2≤2，0≤θ2＜2π. 侧面上的点的柱坐标满足(2，θ3，z )，其中0≤θ3＜2π，0≤z ≤2. ——————————————————(1)柱坐标系是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的． (2)解决此类问题的关键是找出这些点所具有的共性和变化的特征．3.如图，P 为圆柱的上底面与侧面交线上的一点，且P 点的柱坐标为(6，π4，5)，求该圆柱的体积．解：过点P 作PP ′垂直底面，垂足为P ′，∵P (6，π4，5)，∴P ′点的坐标为(6，π4，0)．∴圆柱底面圆的半径为6，高为5. ∴圆柱的体积为V ＝π×62×5＝180π.本课时考点在近几年的高考中未出现过．本考题以长方体的外接球为载体考查了柱坐标与直角坐标的转化．[考题印证]如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点坐标为A 1(4，0，5)，C 1(6，π2，5)，则此长方体外接球的体积为________．[命题立意] 本题主要考查柱坐标与直角坐标的转化以及长方体的外接球的体积的求法．[解析] 由长方体的两个顶点坐标为A 1(4，0，5)， C 1(6，π2，5)，可知：OA ＝4，OC ＝6，OO 1＝5，则对角线长为42＋52＋62＝77. 长方体外接球的半径为772， ∴球的体积为：43·π·(772)3＝77776π.答案：77776π一、选择题1．柱坐标P ⎝⎛⎭⎫16，π3，5转换为直角坐标为( )A ．(5，8，83)B ．(8，83，5)C ．(83，8，5)D ．(4，83，5)解析：选B 由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，得⎩⎨⎧x ＝16cos π3＝8，y ＝16sin π3＝83，z ＝5.即P 点的直角坐标为(8，83，5)．2．已知点M 的直角坐标为(3，3，3)，则它的柱坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫32，π4，3 B.⎝⎛⎭⎫32，34π，1 C.⎝⎛⎭⎫32，54π，3 D.⎝⎛⎭⎫32，74π，1解析：选A 由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝ρcos θ，3＝ρsin θ，3＝z ，∴ρ2＝32＋32＝18，∴ρ＝3 2. ∴cos θ＝22，sin θ＝22. 又∵θ∈[0，2π)， ∴θ＝π4.∴M 点的柱坐标为(32，π4，3)． 3．在柱坐标中，方程ρ＝2表示空间中的( ) A ．以x 轴为中心轴，底半径为2的圆柱面 B ．以y 轴为中心轴，底半径为2的圆柱面 C ．以z 轴为中心轴，底半径为2的圆柱面 D ．以原点为球心，半径为2的球面解析：选C 由柱坐标的几何意义可知，方程ρ＝2表示以z 轴为中心，底面半径为2的圆柱面．4．空间点P 的柱坐标为(ρ，θ，z )，关于点O (0，0，0)的对称的点的坐标为(0＜θ≤π)( ) A ．(－ρ，－θ，－z ) B ．(ρ，θ，－z ) C ．(ρ，π＋θ，－z ) D ．(ρ，π－θ，－z )解析：选C 点P (ρ，θ，z )关于点O (0，0，0)的对称点为 P ′(ρ，π＋θ，－z )． 二、填空题5．已知点M 的直角坐标为(1，0，5)，则它的柱坐标为________． 解析： ∵x ＞0，y ＝0，∴tan θ＝0，θ＝0.ρ＝12＋02＝1. ∴柱坐标为(1，0，5)． 答案：(1，0，5)6．点P 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫8，π4，2，则点P 与原点的距离为________．解析：点P 的直角坐标为(42，42，2)．∴它与原点的距离为：（42－0）2＋（42－0）2＋（2－0）2＝217.答案：2177．设点M 的直角坐标为(1，－3，4)，则点M 的柱坐标为________． 解析：ρ＝x 2＋y 2＝12＋（－3）2＝2. tan θ＝－31＝－ 3 又x ＞0，y ＜0.∴θ＝5π3.∴柱坐标为(2，5π3，4)．答案：(2，5π3，4)8．在直角坐标系中，(1，1，1)关于z 轴对称点的柱坐标为________．解析：(1，1，1)关于z 轴的对称点为(－1，－1，1)，它的柱坐标为(2，5π4，1)．答案：(2，5π4，1)三、解答题9．求点M (1，1，3)关于xOz 平面对称点的柱坐标． 解：点M (1，1，3)关于xOz 平面的对称点为(1，－1，3)． 由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z 得，ρ2＝12＋(－1)2＝2，∴ρ＝ 2.tan θ＝－11＝－1，又x ＞0，y ＜0.∴θ＝7π4.∴其关于xOz 平面的对称点的柱坐标为(2，7π4，3)． 10．已知点A 的柱坐标为(1，π，2)，B 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π2，1，求A 、B 两点间距离．解：由x ＝ρcos θ得：x ＝cos π＝－1. 由y ＝ρsin θ得：y ＝sin π＝0. ∴A 点的直角坐标为(－1，0，2)． 同理：B 点的直角坐标为(0，2，1)．∴|AB |＝（－1－0）2＋（0－2）2＋（2－1）2＝ 6. 故A 、B 两点间的距离为 6. 11.如图建立柱坐标系，正四面体ABCD 的棱长为2，求A 、B 、C 、D 的柱坐标．(O 是△BCD 的中心)解：∵O 是△BCD 的中心， 则OC ＝OD ＝OB ＝23·32·2＝233AO ＝AC 2－OC 2＝263， ∴C (233，0，0) D (233，2π3，0) B (233，4π3，0)A (0，0，263)．。
人教课标版高中数学选修4-4：《平面直角坐标系》教案-新版
1.1平面直角坐标系一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，能根据问题的几何特征选择建立适当的平面直角坐标系，在数学建模过程中体会坐标法的思想． （二）学习目标1．根据问题的几何特征建立适当的平面直角坐标系． 2．通过实例概括坐标伸缩变换公式．3．了解利用坐标伸缩变换公式研究平面图形伸缩变化情况,体会坐标法思想． （三）学习重点1．根据几何特征选择坐标系． 2．坐标法思想．3．平面直角坐标系中的伸缩变换． （四）学习难点1．适当直角坐标系的选择．2．对伸缩变换中点的对应关系的理解． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第2页至第7页，填空：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ: 的作用下,点),(y x P 对应到点),(y x P ''',称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2．预习自测（1）如何由正弦曲线y ＝sin x 经伸缩变换得到y ＝12sin 12x 的图象( ) A ．将横坐标压缩为原来的12，纵坐标也压缩为原来的12 B ．将横坐标压缩为原来的12，纵坐标伸长为原来的2倍 C ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标也伸长为原来的2倍D ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标压缩为原来的12 【知识点】伸缩变换【解题过程】将正弦曲线y ＝sin x 的横坐标伸长为原来的2倍得到x y 21sin =，再由x y 21sin =的图像的横坐标不变，纵坐标压缩为原来的21即可得y ＝12sin 12x 的图像． 【思路点拨】可根据三角函数的知识求解 【答案】D（2）在平面直角坐标系中，B A ,两点分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB|＝4，则AB 中点P 的轨迹方程为________． 【知识点】点轨迹方程【数学思想】函数与方程的思想【解题过程】422=+y ．端点的坐标关系，最后代入整理即可． 【答案】422=+y x ．（3）在平面直角坐标系中，方程142=+y x 对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧='='y y xx 42后得到的图形对应的方程是（ ） A ．0142=-'+'y x B ．01=-'+'y x C ．014=-'+'y xD ．0116=-'+'y x【知识点】伸缩变换【解题过程】将⎩⎨⎧='='y y x x 42经过变形得⎪⎩⎪⎨⎧'='=y y x x 4121代入到方程142=+y x ，整理得01=-'+'y x 【思路点拨】通过对伸缩变换公式的变形为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=''=y y x x μλ11，在代入原图形对应的方程，从而得到变形后的图形对应的方程． 【答案】B（4）将圆122=+y x 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C 对应的方程为________． 【知识点】伸缩变换 【数学思想】【解题思路】设),(11y x 为圆上任意一点，在已知变换下变为曲线C 上对应的点为),(y x ，依题意，得⎩⎨⎧==112y y x x ，而12121=+y x ，得1)2(22=+y x ，所以曲线C 的方程为1422=+y x ．【思路点拨】将问题转化为伸缩变换问题，再由伸缩变换公式求解【答案】1422=+y x(二)课堂设计 1．知识回顾（1）平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标（有序实数对）、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合．（2）坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究他的性质及其他几何图形的关系． 2．问题探究探究一 结合实例，感受坐标法思想★例 1 某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚4s.已知各观测点到中心的距离都是1020m.试确定巨响发生的位置.（假定声音传播的速度为340m/s ，各观测点均在同一平面上.）●活动① 实际问题抽象转化为数学问题我们将正东、正西、正北的三个观测点分别记为C B A ,,，爆炸点记为P .由于C B ,同时听到由点P 发出的响声，因此PC PB =，所以点P 在线段BC 的垂直平分线l 上，由于点A 听到的响声比C B ,晚s 4，所以AB PB PA <=⨯=-13603404，说明点P 在以点B A ,为焦点的双曲线Γ上,所以点P 在直线l 与双曲线Γ的交点. 【知识点】平面直角坐标系，双曲线定义 【数学思想】数形结合，转化与化归 【解题过程】解:以信息中心为原点O ,正东、正北方向为x 轴、y 轴正向,建立直角坐标系. 设C B A ,,分别是东、西、北观测点,则)1020,0(),0,1020(),0,1020(C B A -于是直线l 的方程为 x y -=设双曲线Γ的方程是)0,0(12222>>=-b a by a x由已知得222234056801020,1020,680⨯=-===b c a ,于是双曲线Γ的方程是134056802222=⨯-y x 将x y -=代入上述方程,解得5680,5680 =±=y x ,由已知,响声在双曲线Γ的左半支上,所以)5680,5680(-P ,10680=OP所以巨响发生在接报中心的西偏北 45距中心m 10680处. 【思路点拨】建立坐标系，把实际问题转化为数学问题. 【答案】巨响发生在接报中心的西偏北 45距中心m 10680处.同类训练 由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东6 km 处，丙舰在乙舰北偏西30°，相距4 km.某时刻甲舰发现商船的某种求救信号．由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s 后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s.若甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？ 【知识点】平面直角坐标系的应用 【数学思想】坐标法思想【解题过程】设A ，B ，C ，P 分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图所示，以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则A (3,0)，B (－3,0)，C (－5,23)． ∵|PB |＝|PC |，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上． k BC ＝－3，线段BC 的中点D (－4，3)， ∴直线PD 的方程为y －3＝13(x ＋4)．①又|PB |－|P A |＝4，∴点P 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上， 双曲线方程为x 24－y 25＝1(x ≥2)． ②联立①②，解得P 点坐标为(8,53)， ∴k P A ＝538－3＝ 3.因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.【思路点拨】本题的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置，因此不妨用点A 、B 、C 表示甲舰、乙舰、丙舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解． 【答案】甲舰行进的方位角为北偏东30°.【设计意图】从生活实例到数学问题，体会坐标法的提炼、抽象过程． ●活动② 归纳梳理、理解提升通过实例,合理建立坐标系是解决此类问题的关键，如果坐标系建立得合理，可以简化我们的计算，并且使问题的结论清晰明了、具体形象，那么利用坐标法解决问题的基本步骤是什么呢?坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.●活动③ 学以致用,理论实践例2 已知△ABC 的三边 c b a ,,满足 2225a c b =+ , BE,CF 分别为边AC,AB 上的中线, 建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF 的位置关系.【知识点】平面直角坐标系，轨迹方程 【数学思想】数形结合 【解题过程】解: 如图, 以△ABC 的顶点A 为原点O, 边AB 所在的直线为x 轴, 建立直角坐标系. 由已知, 点A,B,F 的坐标分别为)0,2()0,(),0,0(c F c B A ,设点C 的坐标为),(y x ,点E 的坐标为)2,2(yx .由2225a c b =+可得2225BC AB AC =+即 []22222)(5y c x c y x +-=++,整理得05222222=-++cx c y x因为 ),2(),2,2(y x cy c x --=-=所以0)5222(41222=-++-=∙cx c y x CF BE由此,BE 与CF 相互垂直.【思路点拨】建立坐标系，把实际问题转化为数学问题. 【答案】BE 与CF 相互垂直.同类训练 已知正三角形ABC 的边长为a ,在平面上求一点P ,使|P A |2+|PB |2+|PC |2最小,并求出此最小值.【知识点】平面直角坐标系 【数学思想】数形结合思想【解题过程】 如右图,以BC 所在直线为x 轴,BC 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系,则A (0,23 a ),B (-2a ,0),C (2a ,0).设P (x ,y ),则|P A |2+|PB |2+|PC |2 =x 2+(y -23 a )2+(x +2a )2+y 2+(x -2a)2+y 2 =3x 2+3y 2-3ay +452a =3x 2+3(y -63a )2+a 2≥a 2,当且仅当x =0,y =63a 时,等号成立∴所求最小值为a 2,此时P 点坐标为P (0,63a ),是正三角形AB C 的中心. 【思路点拨】建立适当的平面直角坐标系，把几何问题转化为代数问题，从而简化问题 【答案】所求最小值为a 2,此时P 点坐标为P (0,63a ),是正三角形AB C 的中心 【设计意图】通过把平面几何的问题转化为代数问题，认识坐标法思想的优势. 探究二 探究平面直角坐标系中的伸缩变换 ●活动① 温故知新、提炼概念在三角函数图像的学习中,我们研究过下面一些问题:你还能分析出由正弦曲线x y sin =怎样得到曲线x y 2sin =吗？在由正弦曲线x y sin =上任取一点),(y x P ，保持纵坐标y 不变，将横坐标x 缩为原来的21，就的到曲线x y 2sin =.从坐标系中的点的对应关系出发，你认为“保持纵坐标y 不变，将横坐标x 缩为原来的21”的实质是什么？（讨论）即，设),(y x P 为平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标y 不变，将横坐标x 缩为原来的21，得到点),(y x P '''，则⎪⎩⎪⎨⎧='='yy xx 21 ①我们把①式叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换.【设计意图】通过对三角函数图像的变换的回顾，为后面一般图形的伸缩变换表示做好铺垫． ●活动② 温故知新、提炼概念那么如何由正弦曲线x y sin =怎样得到曲线x y sin 3=呢？在由正弦曲线x y sin =上任取一点),(y x P ，保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来的3倍，就的到曲线x y sin 3=.从坐标系中的点的对应关系出发，你认为“保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来的3倍”的实质是什么？（讨论）即，设),(y x P 为平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来的3倍，得到点),(y x P '''，则⎩⎨⎧='='y y xx 3 ②我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换.【设计意图】通过对三角函数图像的变换的回顾，为后面一般图形的伸缩变换表示做好铺垫． ●活动③ 巩固理解、提炼概念同理，由正弦曲线x y sin =怎样得到曲线x y 2sin 3=呢？这个可以认为是是上述两个的“合成”，即先保持纵坐标y 不变，将横坐标x 缩为原来的21，再保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来的3倍，就可得曲线x y 2sin 3=.类比上述情况，即 ：设平面直角坐标系中任意一点),(y x P 经过上述变换后为点),(y x P '''，那么⎪⎩⎪⎨⎧='='yy x x 321 ③ 我们把③式叫做平面直角坐标系中的坐标伸缩变换. 一般地，设),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>∙='>∙=')0()0(:μμλλϕy y x x 的作用下，点),(y x P 对应点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.【设计意图】通过对前面的总结，发现一般情况，从而得出伸缩变换的概念． 活动④ 巩固基础，检查反馈例3 在同一平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='yy x x 2131后的图形. ⑴14922=+y x ； ⑵1121822=-y x ⑶x y 22= 【知识点】伸缩变换．【数学思想】转化与化归的思想【解题过程】．⑴由伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 2131得⎩⎨⎧'='=y y x x 23代入14922=+y x ，得到经过伸缩变换后的图形方程为122='+'y x同理可得⑵式经过伸缩变换后的图形方程为13222='-'y x⑶式经过伸缩变换后的图形方程为x y '='232 【思路点拨】通过对伸缩变换公式的变形为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=''=y y x x μλ11，在代入原图形对应的方程，从而得到变形后的图形对应的方程.同类训练 在平面直角坐标系中, 求方程032=+y x 所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧='='y y xx 32后的图形对应的方程为 . 【知识点】坐标的伸缩变换． 【数学思想】转化与化归思想【解题过程】由伸缩变换⎩⎨⎧='='y y x x 32得⎪⎩⎪⎨⎧'='=y y x x 321代入032=+y x ，得到经过伸缩变换后的图形方程为0='+'y x【思路点拨】伸缩变换公式的应用． 【答案】0='+'y x●活动⑤ 强化提升、灵活应用例4 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='y y x x 3后，曲线C 变为曲线9922='-'y x ，求曲线C 的方程．【知识点】伸缩变换逆向应用．【解题过程】将伸缩变换⎩⎨⎧='='y y x x 3代入曲线9922='-'y x 得到曲线C 对应的方程为122=-y x 【思路点拨】伸缩变换公式的应用． 【答案】122=-y x ．同类训练 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 312后，曲线C 变为曲线1922='+'y x ，求曲线C 的方程． 【知识点】伸缩变换逆向应用．【解题过程】将伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 312代入曲线1922='+'y x 得到曲线C 对应的方程为1422=+y x 【思路点拨】伸缩变换公式的应用． 【答案】1422=+y x ． 3.课堂总结 知识梳理（1） 坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.（2）建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系:第一：如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；第二：如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；第三：使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上.（3）一般地，设),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>∙='>∙=')0()0(:μμλλϕy y x x 的作用下，点),(y x P 对应点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 重难点归纳（1）坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法.它是解析几何中最基本的研究方法．（2）在坐标伸缩变换的作用下,可以实现平面图形的伸缩.因此,平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示. （三）课后作业 基础型 自主突破1．已知f 1(x )=cos x ,f 2(x )=cos ωx (ω>0),f 2(x )的图象可以看作是把f 1(x )的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的31倍（纵坐标不变）而得到的，则ω为( )A.21B.2C.3D.31 【知识点】三角函数图像，伸缩变换公式．【解题过程】:∵1,3,x x y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩∴3,.x x y y '=⎧⎨'=⎩将其代入y =cos x ,得到y ＇=cos3x ＇,即f 2(x )=cos3x . 【思路点拨】函数y =cos ωx ,x ∈R （其中ω>0,ω≠1）的图象，可以看作把余弦曲线上所有点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的ω1倍（纵坐标不变）而得到.应用时谨防出错． 【答案】C2.曲线122=+y x 经过φ: ⎩⎨⎧='='yy xx 43 变换后得到的新曲线的方程是（ ）.A ．14322='+'y xB ．191622='+'y xC ．116922='+'y x D ．116922='+'y x 【知识点】伸缩变换公式与应用．【解题过程】曲线122=+y x 经过φ: ⎩⎨⎧='='y y x x 43变换后,即 ⎪⎩⎪⎨⎧'='=y y x x 4131代入到圆的方程,可得116922='+'y x 即所求新曲线的方程为 116922='+'y x ． 【思路点拨】将y x ,表示出来,代入到原方程即可得到新曲线的方程. 【答案】D ．3．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( ) A.椭圆B.C.比原来小的圆D.双曲线【知识点】伸缩变换的应用．【解题过程】由伸缩变换的公式可知不可能得到的图形是双曲线，只能是圆或者椭圆． 【思路点拨】将伸缩变换的公式进行变形可得． 【答案】D4. 将点(2,3)变成点(3,2)的伸缩变换是( )A ．2332x'x y'y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩B ．3223x'x y'y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C ．x'y y'x =⎧⎨=⎩D ．11x'x y'y =+⎧⎨=-⎩【知识点】伸缩变换公式与应用．【解题过程】设此变换为,,x'x y'y λμ=⎧⎨=⎩则3,22,3x'x y'y λμ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩所以所求变换为3,22,3x'x y'y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【思路点拨】将伸缩变换公式进行变形得到． 【答案】B ．5．已知函数=)(xf +则)(x f 的最小值为__________． 【知识点】平面直角坐标系的应用． 【数学思想】数形结合的思想【解题过程】f (x )可看作是平面直角坐标系下x 轴上一点(x,0)到两定点(－1,1)和(1,1)的距离之和，结合图形可得，f (x )的最小值为.【思路点拨】利用代数式的几何意义来处理． 【答案】22．6．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换5,3x x y y '=⎧⎨'=⎩后，曲线C 变为曲线322='+'y x ，则曲线C 的方程为________． 【知识点】伸缩变换公式应用．【解题过程】将伸缩变换5,3x x y y '=⎧⎨'=⎩代入322='+'y x ，得392522=+y x ．【思路点拨】灵活应用伸缩变换公式． 【答案】392522=+y x ． 能力型 师生共研7．设曲线C 对应的方程为)0,0(12222>>=-b a b y a x ，曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧>∙='>∙=')0()0(:μμλλϕy y x x 后得到曲线C ',则曲线C '为（ ） A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．随μλ,的系数不同曲线也不同【知识点】双曲线，伸缩变换．【解题过程】将变换,,x'x y'y λμ=⎧⎨=⎩转化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'='=y y x x μλ11代入双曲线方程得)0,0(1222222>>='-'b a b y a x μλ，所以曲线C '为双曲线.【思路点拨】伸缩变换公式的应用以及双曲线定义． 【答案】A ．8．在同一平面直角坐标系中，将曲线01283622=+--x y x 变成曲线03422=+'-'-'x y x ，求满足条件的伸缩变换．【知识点】伸缩变换公式应用．【解题过程】解：x 2－36y 2－8x ＋12＝0可化为24()2x -－9y 2＝1.① x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0可化为(x ′－2)2－y ′2＝1.②比较①②，可得42,23,x x y y -⎧'-=⎪⎨⎪'=⎩即,23.xx y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩ 所以将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标变为原来的3倍，就可得到曲线x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0的图象． 【思路点拨】灵活应用伸缩变换公式．【答案】,23.x x y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩．探究型 多维突破9．△ABC 的顶点A 固定，点A 的对边BC 的长是2a ，边BC 上的高的长是b ，边BC 沿一条直线移动，求△ABC 外心的轨迹方程． 【知识点】平面直角坐标系的应用，轨迹方程． 【数学思想】数形结合【解题过程】解：以边BC 所在的定直线为x 轴，过A 作x 轴的垂线为y 轴，建立直角坐标系，则点A 的坐标为(0，b )． 设△ABC 的外心为M (x ，y )．取BC 的中点N ，则MN ⊥BC ，即MN 是BC 的垂直平分线． ∵|BC |＝2a ，∴|BN |＝a ，|MN |＝|y |. 又M 是△ABC 的外心，∴|MA |＝|MB |. 又|MA |＝x 2＋y －b2，|MB |＝|MN |2＋|BN |2＝y 2＋a 2，x 2＋y －b2＝y 2＋a 2，化简，得所求的轨迹方程为x 2－2by ＋b 2－a 2＝0.【思路点拨】选择恰当的坐标系，坐标系如果选择得恰当，可使解题过程简化，减少计算量. 【答案】02222=-+-a b by x ． 自助餐1．将正弦曲线y ＝sin x 作如下变换：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，得到的曲线方程为( )．A ．y ′＝3sin 12x ′B ．y ′＝13sin 2x ′C ．y ′＝12sin 2x ′ D ．y ′＝3sin 2x ′ 【知识点】三角函数图形、伸缩变换． 【解题过程】将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，转化为⎪⎩⎪⎨⎧'='=y y x x 312代入y ＝sin x 可得【思路点拨】将伸缩变换公式进行变形后再应用． 【答案】D2．将曲线F (x ，y )＝0上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的13，得到的曲线方程为( )A ．F ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，3y ＝0B ．F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ，y 3＝0 C ．F ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ，y 2＝0 D ．F ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，2y ＝0【知识点】伸缩变换．【解题过程】设(x ，y )经过伸缩变换变为(x ′，y ′)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝3y ′，代入F (x ，y )＝0得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′，3y ′＝0.．【思路点拨】正确使用伸缩变换公式． 【答案】A3．双曲线C:16422=-y x 经过⎩⎨⎧='='yy x x 23:ϕ变换后所得曲线C '的焦点坐标为________．【知识点】双曲线的性质、伸缩变换．【解题过程】 将变换⎩⎨⎧='='y y x x 23ϕ变形为⎪⎩⎪⎨⎧'='=y y x x 231代入曲线C 中得：116922=-y x ，所有焦点坐标为)0,5(或)0,5(-．【思路点拨】先将曲线C '的方程求解，在根据双曲线的性质求焦点坐标． 【答案】)0,5(或)0,5(-．4．在同一平面直角坐标系中，曲线369422=+y x 经过伸缩变换ϕ后变成曲线1222='+'y x ，则伸缩变换ϕ为________． 【知识点】伸缩变换公式．【解题过程】将369422=+y x 变形为14922=+y x 与1222='+'y x 比较可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='yy x x 2231． 【思路点拨】对伸缩变换公式进行适当的变形．【答案】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='y y x x 2231． 5．如图所示，A ，B ，C 是三个观察站，A 在B 的正东，两地相距6 km ，C 在B 的北偏西30°，两地相距4 km ，在某一时刻，A 观察站发现某种信号，并知道该信号的传播速度为1 km/s,4 s 后B ，C 两个观察站同时发现这种信号，在以过A ，B 两点的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的P 的坐标．【知识点】双曲线的定义、直角坐标系． 【数学思想】坐标法思想．【解题过程】解：设点P的坐标为(x，y)，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,23)．因为|PB|＝|PC|，所以点P在BC的中垂线上．因为k BC＝－3，BC的中点D(－4，3)，所以直线PD的方程为y－3＝13(x＋4)．①又因为|PB|－|P A|＝4，所以点P必在以A，B为焦点的双曲线的右支上，双曲线方程为x24－y25＝1(x≥2)．②联立①②，解得x＝8或x＝－3211(舍去)，所以y＝5 3.所以点P的坐标为(8,53)．【思路点拨】根据实际问题建立合适的直角坐标系，转为数学问题．【答案】(8,53)．。
高中数学人教A版选修4-4课件：1-1平面直角坐标系
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HISHISHULI
HONGNANJUJIAO IANLITOUXI
D典例透析
2.平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换:设点 P(x,y)是平面直角坐 ������’= ������������( ������ > 0) , 标系中的任意一点,在变换 φ : 的作用下, 点������ ������, ������ ������’ = ������������( ������ > 0) 对应到点 ������ ′ ������ ′ , ������ ′ , 称������为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换, 简称 伸缩变换 .
C.y'=2cos ������′D. ������′ = cos 3������′
������ = ������' = 2������, 解析 :由 得 ������' = 3������, ������ = 得
������' 3 1 3
2x,
= cos x'.所以 y'=cos x'.
答案:A
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D典例透析
【做一做 2-2】 将曲线 y= cos 2������作如下变换 : 到的曲线方程为(
A.y'=cos x'
1 3
1 3
������’ = 2������, 则得 ������’ = 3������,
)
1 2 1 2
B.y'=3cos ������′
������' , 1 2 将其代入 y = cos ������' 3 . 3
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选修4-4第一讲学案
2012—2013学年下学期高二文数学案第4周第一节平面直角坐标系学习目标：1.理解平面直角坐标系的定义，并会建立恰当的坐标系2.掌握坐标法解决几何问题的步骤并能灵活应用3.掌握平面直角坐标系中的伸缩变换公式并能灵活运用学习重点：理解平面直角坐标系中的伸缩变换学习难点：能够建立适当的坐标系解决数学问题学习过程：一、知识要点1．平面直角坐标系（1）平面直角坐标系的作用：使平面上的点与（有序实数对）、曲线与建立联系，从而实现的结合．（2）坐标法：根据集合对象的，选择适当的坐标系，建立它的，通过研究它的及与其他集合图形的。
（3）坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的元素，将几何问题转化为问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成结论．2．平面直角坐标系中的伸缩变换（1）平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归纳为伸缩变换，这就是用研究变换．（2）设点(,)P x y是平面直角坐标系中的任意一点，在变换ϕ：的作用下，点(,)''',称ϕ为平面直角坐标系中P x yP x y对应到点(,)的，简称变换二、例题展示【探究一】运用坐标法解决问题例1、声响定位问题某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离都是1020m，试确定该巨响的位置。
（假定当时声音传播的速度为340m/s，各相关点均在同一平面上）解决此类应用题的关键：1、建立平面直角坐标系2、设点（点与坐标的对应）3、列式（方程与坐标的对应）4、化简5、说明建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系。
（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点； （2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； （3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-1第一讲-坐标系
【分析】
解决这一问题的关键，在于确定遗址 W 与地下管
线 m 的位置关系， 即求出 W 到直线 m 的距离 d 与 100 米进行比较．
【解】 依题意，以 A 点为原点，正东方向和正北方向分别为 x 轴和 y 轴的正方向，建立平面直角坐标系．如下图．
则 A(0,0)，B(－1 000,0)，由|AW|＝400，得
∴水面与抛物线拱顶相距 3 5 3 |y|＋ ＝ ＋ ＝2(m)． 4 4 4 即水面上涨到与抛物线形拱顶相距 2 m 时，船开始不能通航．
【例 2】 用解析法证明：任意四边形两组对边中点连线及两 对角线中点连线三线共点，且互相平分．
【证明】 如下图所示，建立直角坐标系．设四边形各点的坐 标分别为 A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，(d，e)．
2 2 2 2 2
1 1 ∴λ＝3，μ＝2. 1 x′＝3x， ∴ y′＝1y， 2 1 即将椭圆 4x ＋9y ＝36 上的所有点的横坐标变为原来的 ，纵 3
2 2
1 坐标变为原来的 ，即可得到圆 x′2＋y′2＝1. 2
规律技巧
求满足图象变换的伸缩变换， 实际上是让我们求出
变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数 可得．
2．坐标法的应用 (1)坐标法的基本思想就是在平面上引进“坐标”的概念，建 立平面上的点和坐标之间的一一对应，从而建立曲线的方程，并通 过方程研究曲线的性质． (2)坐标法解决几何问题的“五步骤”： ①建立适当的平面直角坐标系，设动点 M(x，y)； ②根据题设条件，找出动点 M 满足的等量关系式；
第一讲 坐标系
一 平面直角坐标系
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
2017-2018学年高中数学人教A版选修4-4第一讲坐标系一平面直角坐标系互动课堂学案
一平面直角坐标系互动讲堂重难打破本课时的要点是坐标法思想与坐标伸缩变换, 难点是如何成立合适的坐标系及注意问题, 对坐标伸缩变换的理解与应用一、坐标法思想1.坐标法是在座标系的基础上，把几何问题转变为代数问题，经过代数运算研究几何图形性质的方法 . 它是分析几何中最基本的研究方法. 比如在平面直角坐标系中，依据确立直线地点的几何因素，我们能够研究并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），领会斜截式与一次函数的关系. 在空间坐标系中，经过高次方程的计算，令人们对一些星体的轨迹运动和变化规律有所认识和掌握.2. 坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：成立合适的坐标系，用坐标和方程表示问题中波及的几何元素，将几何问题转变为代数问题；第二步：经过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论坐标系包含平面直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系等 . 关于不一样种类的几何图形，采用相应的坐标系能够使成立的方程更为简单. 如要确立体育馆内一个地点，成立柱坐标系就比较合适，经过柱坐标我们能够比较精准地找到这个地点的所在地.3. “坐标法”应贯串分析几何教课的一直，帮助同学们不停地领会“数形联合”的思想方法在教课中应从头至尾加强这一思想方法，这是分析几何的特色. 在经过代数方法研究几何对.象的地点此后，还能够画出其图形，考证代数结果；同时，经过察看几何图形获得数学结论，对结论进行代数证明，即用分析方法解决某些代数问题，不该切断它们之间的联系.4. 平面直角坐标系是分析几何的基础, 同学们应在已有知识的基础上做好自我完美, 从解决问题中提升学习兴趣, 激发学习的踊跃性和主动性, 养成不停研究知识、完美自我的优秀个性质量 . 进一步理解平面直角坐标系在对本质问题的解决中的重要作用, 会用平面直角坐标系解决本质问题 .二、用数学知识和方法解决本质问题1. 教材中从本质问题引入数学方法，逐渐把本质问题归纳为数学模型，而后运用数学方法加以解决 . 如：利用两个不一样的观察点测得同一炮弹爆炸声的时间差，能够确立爆炸点所在的双曲线的方程，此时还不可以确立爆炸点的正确地点 . 再增设一个观察点 C，利用 B、C两处测得的爆炸声的时间同样，能够求出一条直线的方程，解这两个方程构成的方程组，就能确立爆炸点的正确地点 .2.存在的问题 : 把本质问题归纳为数学模型是需要必定功底的，而我们广泛存在着一些问题：不喜爱应用性问题中烦杂的文字表达，不肯读下去，牵强读完也弄不清题意 ;(2) 学过的 (1)看法、公式、方法到解题时用不上，找不到数学关系式，思路不清，简单混杂;(3)平常学习中对应用性问题接触太少，所以学习感觉困难，不知如何下手，也不肯多做，致使心理上不愿学等等我们应注意运用数学方法、思想、看法去察看和剖析各样本质问题，从中抽象出数学知识和数学规律，成立数学模型，并运用数学知识进行正确的运算和推理.3.要擅长在一般语言中找寻数目关系，找出哪些是已知量，哪些是未知量，哪些是直接未知量，哪些是间接未知量，用数学语言把这些数目关系表示出来.4. 化本质问题为数学模型，一方面要深入剖析本质问题中的空间形式和各样数目关系，方面在学习数学理论的过程中，要认真领会和追求这些理论对解决本质问题的指导作用，力把它应用于现实世界，以解决人们急迫需要解决的本质问题另一努三、平面直角坐标系中的坐标伸缩变换1. 设点 P( x , y ) 是平面直角坐标系中的随意一点x x, 0, , 在变换 φ:y,的作用下 , 点yP ( x , y ) 对应到点 P ＇( x ＇ , y ＇), 称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换, 简称伸缩变换 .2. 在座标伸缩变换的作用下 , 能够实现平面图形的伸缩 . 所以 , 平面图形的伸缩变换能够用坐标伸缩变换来表示 .3. 坐标伸缩变换与我们前方学的坐标变换之间的关系二者都是将平面图形进行伸缩平移的变换. 本质是同样的 . 比方正弦曲线经过这两种变换后，所得图形的形状是没有改变的 . 在必定的变换规律下椭圆能够变为椭圆，也能够变为圆.不过说法上和认识上的一点不一样我们联合函数 y =A sin( ω x +φ) 的图象的形成过程 ( 与 y =A cos( ω x +φ ) 相近似 ) ，看看在 平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化状况吧.函数 y =sin ω x , x ∈R （此中 ω >0, ω≠1）的图象， 能够看作把正弦曲线上全部点的横坐标缩 短（当 ω >1 时）或伸长（当 0<ω <1 时）到本来的1倍（纵坐标不变）而获得 . 平面直角坐标系伸缩变换以为是一个坐标伸缩过程：保持纵坐标不变，将 x 轴进行压缩或伸长函数 y =A sin x , x ∈ R （此中 A >0, ω≠1）的图象， 能够看作把正弦曲线上全部点的纵坐标 伸长（当 A ＞ 1 时）或缩短（当 0＜A ＜1 时）到本来的 A 倍（横坐标不变）而获得 . 平面直角 坐标系伸缩变换以为是一个坐标伸缩过程：保持横坐标不变，将y 轴进行压缩或伸长由此看出，二者不过说法上的不一样，本质上是同样的此外， 我们应当注意到： 经过一个表达式， 平面直角坐标系中坐标伸缩变换将 x 与 y 的伸缩变换一致成一个式子了, 即x x, 0,yy,我们在使用时，要注意点的对应性，即分清爽0.旧. ＇( x ＇,y ＇ ) 是变换图形后的点的坐标，( , y ) 是变换前图形的点的坐标 .PP x活学巧用【例 1】 终究以什么样的方法成立平面直角坐标系，才能够使方程最为简单呢？在成立坐 标系的过程中我们应当注意什么呢？研究 : 一般状况下我们有这样一个成立坐标系的规律： （ 1）当题目中有两条相互垂直的直线,以这两直线为坐标轴 ; （ 2）当题目中有对称图形，以对称图形的对称轴为坐标轴; （ 3）当题目中有已知长度的线段, 以线段所在直线为对称轴，以端点或中点为原点直角坐标系成立完后， 需认真剖析曲线的特色， 注意揭露隐含条件， 抓住曲线上随意点有关 的等量关系、所知足的几何条件，列出方程 . 在将几何条件转变为代数方程的过程中，要注 意圆锥曲线定义和初中平面几何知识的应用， 还会用到一些基本公式， 如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等此外，在化简过程中， 我们要注意运算和变形的合理性与正确性，防止“失解”和“增解” . 这一步内容中学阶段不作要求 （从理论上讲则是必需的） ，多半状况下不会有什么问题，但若遇特别状况则应当合适予以说明.【例 2】 (2005 江苏高考 ) 如图 , 圆 O 1 与圆 O 2 的半径都是 1， | O 1O 2|=4 ，过动点P 分别作圆O 1、圆 O 2 的切线 PM 、PN （ M 、 N 分别为切点），使得 PM = 2 PN , 试成立合适的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程分析 : 此题是分析几何中求轨迹方程问题，由题意成立合适坐标系，写出有关点的坐标，由几何关系式： PM = 2 2PN ) 2，联合图形 , 由勾股定理转变为 22， PN ，即 ( PM ) =2( PO 1 -1=2( PO 2 -1) 设 P ( x ， y ), 由距离公式写出代数关系式，化简整理可得解: 如图 , 以直线 O 1O 2 为 x 轴，线段 O 1O 2 的垂直均分线为 y 轴，成立平面直角坐标系，则两圆 心的坐标分别为 O (-2,0), O (2,0).1 2设 P ( x , y ) ，则2同理 , PN =( x -2)PM 22222-1.=PO 1 - MO 1=( x +2) +y 2+y 2-∵PM = 2 PN ，即 ( x +2) 2+y 2-1=2 ［ ( x -2) 2+y 2-1 ］，即 x 2-12 x +y 2+3=0，即 ( x -6) 2+y 2=33.这就是动点 P 的轨迹方程评论 : 这道高考题是考察分析几何中求点的轨迹方程的方法应用，考察成立坐标系、数形联合思想、勾股定理、两点间距离公式等有关知识点，及剖析推理、计算化简技术、技巧等，是一道很综合的题目 .1【例 3】 (1) 在同一平面直角坐标系中, 求以下方程所对应的图形经过伸缩变换x2 x,后y 4y的图形 .① y 2=2 ; ② y =3sin2x .x(2) 将曲线 C 按伸缩变换公式x2x,变换后的曲线方程为 x ＇2+y ＇2=1, 则曲线 C 的方程为y3y(A. x 2 y 2 149B. x 2y 2 1 94C.4 x 2+9y 2=36D.4 x 2+9y 2=1x 1x,x 2x , 解: (1) 由伸缩变换2得(*)y4 y, y1y .4①将 (*) 代入 y 2=2x , 得 ( 1y ＇ ) 2=2·(2 x ＇ ).4∴ y ＇ 2=64x ＇.∴经过伸缩变换后抛物线y 2=2x 变为了抛物线 y ＇ 2=64x ＇ .②将 (*) 代入 y =3sin2 x , 得 1y ＇=3sin2 ·(2x ＇∴y ＇ =12sin4 x ＇ .4∴经过伸缩变换后 , 曲线 y =3sin2 x 变为了曲线 y ＇ =12sin4 x ＇(2) 将x2x,代入方程x ＇2+ ＇2=1, 得 4 2+9 2y3 yyxy应选 D.【例 4】 在同一平面直角坐标系中，将直线 x -2 y =2 变为直线 2x ＇- y ＇=4，求知足图象变换的伸缩变换 .x x,0,代入方程 2x ＇ - y ＇ =4, 得 2λ x - μ y =4, 与 x -2 y =2 比较系数得解: 设变换为y,y0.λ=1, μ =4.x x,y =2 上全部点的横坐标不变 , 纵坐标伸长为本来的4 倍可获得直线∴即直线 x -2y4y,2 ＇ -y ＇x评论 : (1) 求知足图象变换的伸缩变换， 其实是让我们求出其变换公式，我们将新旧坐标分清，代入对应的直线方程，而后比较系数便可得了.(2) 原 曲 线 的 方 程f( x , y )=0, 新 曲 线 的 方 程 g( x ＇ , y ＇ )=0, 以 及 坐 标伸 缩 变 换 公 式x x, 0,yy,中, “知二可求一”.【例 5】 已知 f 1( x )=cos x , f 2( x )=cos ω x ( ω>0), f 2( x ) 的图象能够看作是把 f 1( x ) 的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到本来的 1倍（纵坐标不变）而获得的，则ω 为 (31 A.2B.2C.31D.3分析一 : f1( x)=cos x→f2( x)=cos3 x分析二 : x1x, x 3x ,3y y . y y,将其代入 y=cos x,获得 y＇=cos3x＇,即 f 2( x)=cos3 x.答案:C评论 : 此题直接考察变换规律：函数y=cosωx, x∈R（此中ω>0,ω≠1）的图象，能够看作把余弦曲线上全部点的横坐标缩短（当ω >1 时）或伸长（当 0<ω <1 时）到本来的1倍（纵坐标不变）而获得. 应用时提防犯错.。
高中数学选修4-4第一讲坐标系1.1平面直角坐标系
得9x -9y =9 即x -y =1
2
2
课堂小结：
（1）体会坐标法的思想，应用坐标 法解决几何问题； （2）掌握平面直角坐标系中的伸缩 变换。
xxz
根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则： （1）如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点；
（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；
（3）使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。
二.平面直角坐标系中的伸缩变换
思考：
（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
1 x x 2 y y
1
通常把 1 叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sinx?写出其坐标变换。 y y=3sinx
y=sinx 2
x
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出 其坐标变换。 在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标x不变， 将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。 设点P（x,y）经变换得到点为 p x, y
为平面直角坐标系中的伸缩变换。
注 （1） 0, 0 （2）把图形看成点的运动轨迹，平面图 形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到； （3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不 变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。
例2：在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过 伸缩变换 x 2 x
1 x x 2 y 3 y
3
通常把 3 叫做平面直角坐标系中 的一个坐标伸缩变换。
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点， 在变换 ( 0) x' x : 4 ( 0) y' y 的作用下，点P(x,y)对应 p x, y 称
2017-2018学年高中数学人教A版选修4-4第一讲坐标系一平面直角坐标系课堂导学案
一平面直角坐标系讲堂导学三点分析一、成立平面直角坐标系解决问题我们已经熟习了平面直角坐标系【例 1】两个定点的距离为6, 点解：如图 ., 借此工具 , 议论轨迹特别方便M到这两个定点的距离的平方和为. 请看例 1.26, 求点 M的轨迹 .以 AB 所在直线为x 轴, 以 AB中点为原点 , 成立平面直角坐标系, 则 A(-3,0),B(3,0),设222 2这即是点M的轨迹方程 , 是以 AB的中点为圆心 ,2 为半径的圆 .温馨提示因而可知 , 成立适合的坐标系, 一些看似困难的问题就很简单解决了.各个击破类题操练 1已知 A 为定点 , 线段 BC在定直线l 上滑动 ,|BC|=4,点A到l的距离为 3.求△ ABC外心的轨迹方程 .解: 以 l 为 x 轴 , 过 A 与 l 垂直的直线为y 轴成立平面直角坐标系, 则 A 为(0,3),设△ ABC的外心为 P(x,y).由于P是BC的中垂线上的点, 故 B,C 坐标分别为 (x-2,0),(x+2,0).因P在线段 AB的中垂线上 , 故|PA|=|PB|,即x 2( y 3) 2 2 2y 2,即x2-6y+5=0.变式提高 1证明三角形的三条高线交于一点.证明 : 如图 , △ABC,则 AD,BE,CO分别是△ ABC的三条高 , 取边 AB所在的直线为 x 轴 ,CO所在的直线为 y 轴, 成立坐标系 .设BE 交AD 于点H(x,y),A(-a,0,),B(b,0),C(0,c), 则BH =(x-b,y), AH =(x+a,y), BC =(-b,c), AC =(a,c).∵ AC ⊥ BH AC · BH =0,即 a(x- b)+cy=0, ①∵BC⊥AH BC· AH =0,故(- b)(x+a)+cy=0, ②①- ②得 (a+b)x=0. ∵ a +b ≠0, ∴x=0.∴H 在 AB 的高线上 , 即△ ABC 三条高线交于一点 . 二、坐标变换问题【例 2】 在同一平面直角坐标系中, 求以下方程所对应的图形经过伸缩变换图形 .2①y =2x; ②y=3sin2x.x1x,2 后的y 4 yx 1x,x 2x , 解: 由伸缩变换2得1 y ′.(*)y4 y yy .4①将 (*) 代入 y 2=2x, 得 ( 1 42y ′)=2·(2x ′).2∴y ′ =64x ′.22∴经过伸缩变换后抛物线y =2x 变为了抛物线 y ′ =64x ′. 1②将 (*) 代入 y=3sin2x,得y ′=3sin2 ·(2x ′),4∴ y ′=12sin4x ′.∴经过伸缩变换后 , 曲线 y=3sin2x 变为了曲线 y ′=12sin4x ′.类题操练 2将曲线 C 按伸缩变换公式x 2x,变换后的曲线方程为 x ′2+y ′ 2=1, 则曲线 C 的方程为y3 y( )A.x 2 y 2 =1B.x 2 y 2 =1499 4C.4x 2+9y 2=36D.4x 2+9y 2=1分析:将x2x,代入方程 x ′ 2+y ′ 2=1, 得 4x 2+9y 2=1. 应选 D.y3y答案:D变式提高 2已知 f 1(x)=cosx,f2(x)=cos ω x( ω>0),f 2(x) 的图象能够看作是把 f 1 (x) 的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到本来的1倍 ( 纵坐标不变 ) 而获得的 , 则 ω 为 ( )131B.2C.3D.A.32分析 : f 1(x)=cosx →f 2(x)=cos3x.∴ω =3, 选 C.答案:C三、利用直角坐标系解决应用题【例 3】 某河上有抛物线型拱桥 , 当水面距拱顶 5 m 时 , 水面宽 8 m, 一木船宽4 m, 高 2 m,载货后木船露在水面上的部分高为 3m, 问水面涨到与抛物线拱顶相距多少米时, 木船开始不可以通航 ?4解：以水平面与拱的截面的交线为x 轴 , 以该交线的中点为原点成立平面直角坐标系 , 如图.由题意 , 点 A(-4,0),B(4,0),C(0,5). 则可设抛物线为 y=ax 2+c.∴把 A,C 代入得 16a+c=0 且 c=5. ∴a=5 . ∴ y= 5 x 2+5.16 16,D 为 (-2,0),当船沿拱的中心方向经过时 代入得y=5 · 4+5= 15 ,164 15 m.即拱到水平面的高为415-2= 7, 若保证船经过 , 则水平面涨到与拱顶相距13 m 又船高 2 m, ∴水面上升的余地为 时, 船开始不可以通航 , 此中137 444=5- .类题操练 344某蔬菜基地栽种西红柿 , 由历年市场行情得悉 , 从 2 月 1 日起的 300 天内 , 西红柿市场售价与 上市时间的关系用图 (1) 的一条折线表示 ; 西红柿的栽种成本与上市时间的关系用图 (2) 的抛物线表示 .(1) 写出图 (1) 表示的市场售价与时间的函数关系式 P=f(t); 写出图 (2) 表示的栽种成本与时间的函数关系式 Q=g(t).(2) 认定市场售价减去栽种成本为纯利润, 问何时上市的西红柿纯利润最大?( 注：市场售价和2栽种成本的单位：元 /10 千克 , 时间单位：天）300 t ,0 t 200,f(t)=2t 300,200 t300.由题图 (2) 可得栽种成本与时间的函数关系为g(t)= 1 (t-150) 2+100,0 ≤t ≤ 300.200(2) 设 t 时辰的纯利润为h(t), 则由题意得 h(t)=f(t)-g(t),1 t2 1 t 175 ,0 t 200,200 2 2 ,即 h(t)=t 2 t 300.1 7 t 1025 ,200200 2 2当 0≤t ≤200 时 , 配方整理得 h(t)= 1 (t-50) 2+100,200因此当 t=50 时 ,h(t) 获得区间［ 0,200 ］上的最大值 100;当 200<t ≤300 时 , 配方整理得 h(t)= 1 (t-350) 2+100.200因此当 t=300 时,h(t) 获得区间（ 200,300 ］上的最大值 87.5.综上 , 由 100>87.5 可知 ,h(t) 在区间［ 0,300 ］上能够获得最大值100, 此时 t=50, 即从 2 月 1 日开始的第50 时节 , 上市的西红柿纯利润最大 .。
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一平面直角坐标系1．回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用并领会坐标法的应用．2．了解在伸缩变换作用下平面图形的变化情况，掌握平面直角坐标系中的伸缩变换．(重点、难点)3．能够建立适当的直角坐标系解决数学问题．[基础·初探]教材整理1平面直角坐标系阅读教材P2～P4“探究”及以上部分，完成下列问题．1．平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合．2．坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系．3．坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论．点P(－1,2)关于点A(1，－2)的对称点坐标为()A．(3,6) B．(3，－6)C．(2，－4) D．(－2,4)【解析】 设对称点的坐标为(x ，y )， 则x －1＝2，且y ＋2＝－4， ∴x ＝3，且y ＝－6. 【答案】 B教材整理2 平面直角坐标系中的伸缩变换阅读教材P 4～P 8“习题”以上部分，完成下列问题．设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λ·x (λ>0)，y ′＝μ·y (μ>0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( ) A ．椭圆 B ．比原来大的圆 C ．比原来小的圆D ．双曲线【解析】 由伸缩变换的意义可得． 【答案】 D2．y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后，曲线方程变为( )A ．y ′＝3cos x ′2 B ．y ′＝3cos 2x ′ C ．y ′＝13cos x ′2 D ．y ′＝13cos2x ′【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3y，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′y ＝13y ′，又∵y ＝cos x ，∴13y ′＝cos x ′2，即y ′＝3cos x ′2. 【答案】 A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]|2＋|AD |2).【导学号：91060000】【思路探究】 从要证的结论，联想到两点间的距离公式(或向量模的平方)，因此首先建立坐标系，设出A ，B ，C ，D 点的坐标，通过计算，证明几何结论．【自主解答】 法一 (坐标法)以A 为坐标原点O ，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则A (0,0)，设B (a,0)，C (b ，c )，则AC 的中点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，c 2，由对称性知D (b －a ，c )，所以|AB |2＝a 2，|AD |2＝(b －a )2＋c 2， |AC |2＝b 2＋c 2，|BD |2＝(b －2a )2＋c 2， |AC |2＋|BD |2＝4a 2＋2b 2＋2c 2－4ab ＝2(2a 2＋b 2＋c 2－2ab )，|AB |2＋|AD |2＝2a 2＋b 2＋c 2－2ab ， ∴|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2)． 法二 (向量法)在▱ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，两边平方得AC →2＝|AC →|2＝AB →2＋AD →2＋2AB →·AD →， 同理得BD →2＝|BD →|2＝BA →2＋BC →2＋2BA →·BC →， 以上两式相加，得 |AC →|2＋|BD →|2＝2(|AB →|2＋|AD →|2)＋2BC →·(AB →＋BA →) ＝2(|AB →|2＋|AD →|2)，即|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2)．1．本例实际上为平行四边形的一个重要定理：平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和．法一是运用代数方法，即用解析法实现几何结论的证明．这种“以算代证”的解题策略就是坐标方法的表现形式之一．法二运用了向量的数量积运算，更显言简意赅，给人以简捷明快之感．2．建立平面直角坐标系的方法步骤： (1)建系——建立平面直角坐标系．建系原则是 利于运用已知条件，使运算简便，表达式简明；(2)设点——选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程；(3)运算——通过运算，得到所需要的结果．[再练一题]1．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且满足|BD |＝|CD |. 求证：|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|BD |2)．【证明】 法一 以A (O )为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy .则A (0,0)，设B (a,0)，C (b ，c )，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，c 2， 所以|AD |2＋|BD |2＝(a ＋b )24＋c 24＋(a －b )24＋c 24＝12(a 2＋b 2＋c 2)，|AB |2＋|AC |2＝a 2＋b 2＋c 2＝2(|AD |2＋|BD |2)． 法二 延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连接BE ，CE ，则四边形ABEC 为平行四边形，由平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和得|AE |2＋|BC |2＝2(|AB |2＋|AC |2)，即(2|AD |)2＋(2|BD |)2＝2(|AB |2＋|AC |2)，所以|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|BD |2)．赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东6 km 处，丙舰在乙舰北偏西30°，相距4 km.某时刻甲舰发现商船的某种求救信号．由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s 后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s.若甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？【思路探究】 本题求解的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置，因此不妨用点A 、B 、C 表示甲舰、乙舰、丙舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解．【自主解答】 设A ，B ，C ，P 分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,23)．∵|PB|＝|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上．k BC＝－3，线段BC的中点D(－4，3)，∴直线PD的方程为y－3＝13(x＋4)．①又|PB|－|P A|＝4，∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，双曲线方程为x24－y25＝1(x≥2)．②联立①②，解得P点坐标为(8,53)，∴k P A＝538－3＝ 3.因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.1．由于A，B，C的相对位置一定，因此解决问题的关键是如何建系．2．运用坐标法解决实际问题的步骤：建系→设点→列关系式(或方程)→求解数学结果→回答实际问题．[再练一题]2．有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用：A地每千米的运费是B地每千米运费的3倍，已知A、B两地距离为10千米，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是包括运费和价格的总费用最低，求P地居民选择A地或B地购货总费用相等时，点P所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点？【解】 如图，以A 、B 所在的直线为x 轴，线段AB 的中点为原点建立直角坐标系，设P 点的坐标为(x ，y )，P 到A 、B 两地购物的运费分别是3a 、a (元/千米)．当由P 地到A 、B 两地购物费用相等时，有“价格＋A 地运费＝价格＋B 地运费”，∴3a ·(x ＋5)2＋y 2＝a ·(x －5)2＋y 2， 化简整理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2542＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1542.(1)当P 点在以⎝ ⎛⎭⎪⎫－254，0为圆心，154为半径的圆上时，居民到A 地或B 地购货总费用相等．(2)当P 点在上述圆内时， ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2542＋y 2<⎝ ⎛⎭⎪⎫1542， ∴[9(x ＋5)2＋9y 2]－[(x －5)2＋y 2] ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2542＋y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1542<0，∴3(x ＋5)2＋y 2<(x －5)2＋y 2.故此时到A 地购物最合算．(3)当P 点在上述圆外时，同理可知，此时到B 地购物最合算．[探究共研型]探究1 【提示】如图，在正弦曲线y ＝sin x 上任取一点P (x ，y )，保持纵坐标y 不变，将横坐标x 缩为原来的12，那么正弦曲线y ＝sin x 就变成曲线y ＝sin 2x .探究2 怎样由正弦曲线y ＝sin x 得到曲线y ＝3sin x?【提示】 如图，在正弦曲线y ＝sin x 上任取一点P (x ，y )，保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来的3倍，那么正弦曲线y ＝sin x 就变成曲线y ＝3sin x .探究3 怎样由正弦曲线y ＝sin x 得到曲线y ＝3sin 2x?【提示】 实际上，这是上述探究1、2的“合成”：如图，先保持纵坐标y 不变，将横坐标x 缩为原来的12；在此基础上再将纵坐标y 变为原来的3倍，就可以由正弦曲线y ＝sin x 得到曲线y ＝3sin 2x .在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .(1)求点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过φ变换所得的点A ′的坐标；(2)点B 经过φ变换后得到点B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12，求点B 的坐标；(3)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得直线l ′的方程；(4)求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ变换后所得曲线C ′的焦点坐标．【思路探究】 (1)由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，求得x ′，y ′，即用x ，y 表示x ′，y ′；(2)(3)(4)将求得的x ，y 代入原方程得x ′，y ′间的关系．【自主解答】 (1)设点A ′(x ′，y ′)． 由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得到⎩⎨⎧x ′＝3x ，y ′＝12y .又已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2.于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1， ∴变换后点A ′的坐标为(1，－1)． (2)设B (x ，y )，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得到⎩⎨⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′，由于B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12，于是x ＝13×(－3)＝－1，y ＝2×12＝1， ∴B (－1,1)为所求．(3)设直线l ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由上述可知，将⎩⎨⎧x ＝13x ′y ＝2y ′，代入y ＝6x 得2y ′＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ′，所以y ′＝x ′，即y ′＝x ′为所求． (4)设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，将⎩⎨⎧x ＝13x ′y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1，得x ′29－4y ′264＝1， 化简得x ′29－y ′216＝1， ∴a 2＝9，b 2＝16，c 2＝25，因此曲线C ′的焦点F ′1(5,0)，F ′2(－5,0)．1．解答本题的关键：(1)是理解平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；(2)是明确变换前后点的坐标关系，利用方程思想求解．2．伸缩变换前后的关系：已知平面直角坐标系中的伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λ·x (λ>0)，y ′＝μ·y (μ>0)，则点的坐标与曲线的方程的关系为：[再练一题]3．若将例3中第(4)题改为：如果曲线C 经过φ变换后得到的曲线的方程为x ′2＝18y ′，那么能否求出曲线C 的焦点坐标和准线方程？请说明理由．【解】 设曲线C 上任意一点M (x ，y )，经过φ变换后对应点M ′(x ′，y ′)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎨⎧x ′＝3x ，y ′＝y 2. (*)又M ′(x ′，y ′)在曲线 x ′2＝18y ′上． ①将(*)代入①式得 (3x )2＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即x 2＝y 为曲线C 的方程．可见仍是抛物线，其中p ＝12，抛物线x 2＝y 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，准线方程为y ＝－14.[构建·体系] 平面直角坐标系—⎪⎪⎪⎪—平面直角坐标系—坐标法思想—伸缩变换—⎪⎪⎪—定义—应用1．如何由正弦曲线y ＝sin x 经伸缩变换得到y ＝12sin 12x 的图象( ) A ．将横坐标压缩为原来的12，纵坐标也压缩为原来的12B ．将横坐标压缩为原来的12，纵坐标伸长为原来的2倍 C ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标也伸长为原来的2倍 D ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标压缩为原来的12【解析】 y ＝sin x ――――――――→横坐标伸长为原来的2倍y ＝sin 12x ――――――――→纵坐标压缩为原来的12y ＝12sin 12x .故选D.【答案】 D2．将直线x ＋y ＝1变换为直线2x ′＋3y ′＝6的一个伸缩变换为( )【导学号：91060001】A.⎩⎨⎧x ′＝3xy ′＝2y B.⎩⎨⎧x ′＝2xy ′＝3y C.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x y ′＝12yD.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x y ′＝13y【解析】 设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy ，由(x ′，y ′)在直线2x ′＋3y ′＝6上，则2λx ＋3μy ＝6， 因此λ3x ＋μ2y ＝1，与x ＋y ＝1比较， ∴λ3＝1且μ2＝1，故λ＝3且μ＝2， 即所求的变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y .【答案】 A3．在△ABC 中，B (－2,0)，C (2,0)，△ABC 的周长为10，则A 点的轨迹方程为________．【解析】 ∵△ABC 的周长为10， ∴|AB |＋|AC |＋|BC |＝10，其中|BC |＝4， 即有|AB |＋|AC |＝6＞4，∴A 点轨迹为椭圆除去B 、C 两点，且2a ＝6,2c ＝4， ∴a ＝3，c ＝2，b 2＝5，∴A 点的轨迹方程为x 29＋y 25＝1(y ≠0)． 【答案】 x 29＋y 25＝1(y ≠0)4．将圆x 2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝4xy ′＝3y后的曲线方程为________．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4x ，y ′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′4，y ＝y ′3，代入到x 2＋y 2＝1，得x ′216＋y ′29＝1.【答案】 x ′216＋y ′29＝15．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝14y 后，曲线C 变为曲线x ′216＋4y ′2＝1，求曲线C 的方程并画出图形．【解】 设M (x ，y )是曲线C 上任意一点，变换后的点为M ′(x ′，y ′)．由⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝14y ，且M ′(x ′，y ′)在曲线x ′216＋4y ′2＝1上，得4x216＋4y216＝1，∴x2＋y2＝4.因此曲线C的方程为x2＋y2＝4，表示以O(0,0)为圆心，以2为半径的圆(如图所示)．我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．动点P到直线x＋y－4＝0的距离等于它到点M(2,2)的距离，则点P的轨迹是()A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线【解析】∵M(2,2)在直线x＋y－4＝0上，∴点P的轨迹是过M与直线x＋y－4＝0垂直的直线．【答案】 A2．已知线段BC长为8，点A到B，C两点距离之和为10，则动点A的轨迹为()A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线【解析】由椭圆的定义可知，动点A的轨迹为一椭圆．【答案】 C3．若△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,2)，B(2,3)，C(3,1)，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．钝角三角形【解析】|AB|＝(2－1)2＋(3－2)2＝2，|BC|＝(3－2)2＋(1－3)2＝5，|AC|＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，|BC|＝|AC|≠|AB|，△ABC为等腰三角形．【答案】 A4．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|P A|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于()A．πB．4πC．8πD．9π【解析】设P点的坐标为(x，y)，∵|P A|＝2|PB|，∴(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2＝4.故P点的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，它的面积为4π.【答案】 B5．在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝13cos 2x按伸缩变换⎩⎨⎧x′＝2x，y′＝3y，后为()A ．y ′＝cos x ′B ．y ′＝3cos 12x ′ C ．y ′＝2cos 13x ′ D ．y ′＝12cos 3x ′【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′3.代入y ＝13cos 2x ，得y ′3＝13cos x ′， ∴y ′＝cos x ′. 【答案】 A 二、填空题6．若点P (－2 016,2 017)经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x2 017，y ′＝y2 016后的点在曲线x ′y ′＝k 上，则k ＝________.【解析】 ∵P (－2 016,2017)经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x2 017，y ′＝y2 016，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2 0162 017，y ′＝2 0172 016，代入x ′y ′＝k ， 得k ＝－1. 【答案】 －17．将点P (2,3)变换为点P ′(1,1)的一个伸缩变换公式为________.【导学号：91060002】【解析】 设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝hx (h ＞0)，y ′＝ky (k ＞0)，由⎩⎪⎨⎪⎧1＝2h ，1＝3k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧h ＝12，k ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x2，y ′＝y3.【答案】⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x2y ′＝y 38．平面直角坐标系中，在伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λx (λ>0，λ≠1)，y ′＝μy (μ>0，μ≠1)，作用下仍是其本身的点为________． 【解析】 设P (x ，y )在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)作用下得到P ′(λx ，μy )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λx ，y ＝μy ，其中λ>0，μ>0，λ≠1，μ≠1，∴x ＝y ＝0，即P (0,0)为所求． 【答案】 (0,0) 三、解答题9．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x3，y ′＝y 2后的图形．(1)x 2－y 2＝1； (2)x 29＋y 28＝1.【解】由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x 3，y ′＝y2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝2y ′.① (1)将①代入x 2－y 2＝1得9x ′2－4y ′2＝1， 因此，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x3，y ′＝y2后，双曲线x 2－y 2＝1变成双曲线9x ′2－4y ′2＝1，如图甲所示．(2)将①代入x 29＋y 28＝1得x ′2＋y ′22＝1，因此，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x3，y ′＝y2后，椭圆x 29＋y 28＝1变成椭圆x ′2＋y ′22＝1，如图乙所示．10．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 地正东40 km 处．求城市B 处于危险区内的时间．【解】 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则B (40,0)，以点B 为圆心，30为半径的圆的方程为(x －40)2＋y 2＝302，台风中心移动到圆B 内时，城市B 处于危险区．台风中心移动的轨迹为直线y ＝x ，与圆B 相交于点M ，N ，点B 到直线y ＝x 的距离d ＝402＝20 2.求得|MN |＝2302－d 2＝20(km)，故|MN |20＝1，所以城市B 处于危险区的时间为1 h.[能力提升]1．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后曲线C 变为曲线2x ′2＋8y ′2＝0，则曲线C 的方程为( )A ．25x 2＋36y 2＝0B ．9x 2＋100y 2＝0C ．10x ＋24y ＝0D.225x 2＋89y 2＝0【解析】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y ，代入2x ′2＋8y ′2＝0，得：2·(5x )2＋8·(3y )2＝0，即：25x 2＋36y 2＝0. 【答案】 A2．如图1-1-1，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域(含边界)，A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点P (x ，y )、点P ′(x ′，y ′)满足x ≤x ′且y ≥y ′，则称P 优于P ′.如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其他点优于点Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧( )图1-1-1A. AB ︵B. BC ︵C. CD ︵D. DA ︵【解析】 如图，过任一点P 作与坐标轴平行的直线，则两直线将平面分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四部分，由题意，Ⅱ(包含边界)区域内的点优于P ，在圆周上取点，易知只有P 在AD ︵上时，Ⅱ(含边界)内才不含Ω内的点，故点Q 的集合为DA ︵.【答案】 D3．已知A (2，－1)，B (－1,1)，O 为坐标原点，动点M 满足OM →＝mOA →＋nOB →，其中m ，n ∈R ，且2m 2－n 2＝2，则M 的轨迹方程为________．【解析】 设M (x ，y )，则(x ，y )＝m (2，－1)＋n (－1,1)＝(2m －n ，n －m )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2m －n ，y ＝n －m .又2m 2－n 2＝2，消去m ，n 得x 22－y 2＝1.【答案】 x 22－y 2＝14.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图1-1-2，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100＋y 225＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，647为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D (8,0)，观测点A (4,0)，B (6,0)同时跟踪航天器．图1-1-2(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x 轴上方时，观测点A ，B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？21 【解】 (1)设曲线方程为y ＝ax 2＋647. 因为D (8,0)在抛物线上，∴a ＝－17，∴曲线方程为y ＝－17x 2＋647.(2)设变轨点为C (x ，y )．根据题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ x 2100＋y 225＝1，y ＝－17x 2＋647，∴4y 2－7y －36＝0，解得y ＝4或y ＝－94(不合题意，舍去)，∴y ＝4.解得x ＝6或x ＝－6(不合题意，舍去)，∴C 点的坐标为(6,4)，|AC |＝25，|BC |＝4.即当观测点A 、B 测得离航天器的距离分别为25、4时，应向航天器发出变轨指令．。