导数与积分
导数、积分公式大全
导数与定积分知识汇总
导数与定积分知识汇总导数和定积分是微积分的重要概念之一、导数描述了函数在其中一点上的变化率，而定积分则计算了函数在给定区间上的累积量。
本文将对导数和定积分的基本定义、性质和应用进行详细介绍。
一、导数的定义和性质1. 导数的定义：对于函数f(x)，在其中一点a处的导数定义为：f'(a) = lim(x→a) (f(x)-f(a))/(x-a)。
导数表示了函数y=f(x)在x=a处的切线斜率。
2.导数的几何意义：导数表示了函数图像在其中一点上的切线斜率。
如果导数大于零，则函数在该点上递增；如果导数小于零，则函数在该点上递减；如果导数等于零，则函数在该点上取极值；如果导数不存在，则函数在该点上存在间断。
3.导数的计算方法：可以使用基本导数公式来计算导数，例如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。
此外，还可以使用导数的四则运算法则，包括求和、差、积和商的导数。
4.高阶导数：函数的导数可以继续求导，得到高阶导数。
第n阶导数表示了函数的n次变化率，可以用f^(n)(x)表示。
例如，如果函数的二阶导数大于零，那么函数在该点上呈现凸的曲线形状。
二、定积分的定义和性质1. 定积分的定义：对于函数f(x)，在区间[a,b]上的定积分定义为：∫[a,b] f(x) dx = lim(n→∞) Σ[f(x_k) Δx_k]，其中Σ表示求和，Δx_k是区间[a,b]上一个子区间的长度，x_k是该子区间内任意一点。
2.定积分的几何意义：定积分表示了函数f(x)在区间[a,b]上的曲线下面积。
如果函数在该区间上为正值，则积分值为正；如果函数在该区间上为负值，则积分值为负；如果函数在该区间上变号，则通过积分可以得到曲线上和曲线下的面积差。
3.定积分的计算方法：可以使用定积分的基本公式来计算定积分，如幂函数的定积分、三角函数的定积分等。
此外，还可以利用换元积分法、分部积分法等方法来计算更复杂的定积分。
4. 积分的性质：积分具有线性性质，即∫[a,b] (f(x) + g(x)) dx = ∫[a,b] f(x) dx + ∫[a,b] g(x) dx；积分也具有保号性质，即如果在[a,b]上f(x) ≤ g(x)，那么∫[a,b] f(x) dx ≤ ∫[a,b] g(x) dx。
导数微积分公式大全
导数微积分公式大全导数是微积分中非常重要的概念，它表示函数在其中一点的变化率。
为了计算导数，我们需要使用一系列的微积分公式。
下面是一份包含最常用的导数公式的清单：1.基本导数公式：-常数函数：如果f(x)=c，则f'(x)=0，其中c是一个常数。
- 幂函数：如果f(x) = x^n，则f'(x) = nx^(n-1)，其中n是一个实数。
-指数函数：如果f(x)=e^x，则f'(x)=e^x。
- 对数函数：如果f(x) = ln(x)，则f'(x) = 1/x。
- 正弦函数：如果f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。
- 余弦函数：如果f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
- 正切函数：如果f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)。
2.基本运算规则：- 常数乘法规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，且c是常数，则(cf(x))' = c(f'(x))。
-加法规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)。
-乘法规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
-除法规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^23.链式法则：-如果h(x)=f(g(x))，其中f和g都是可导函数，则h'(x)=f'(g(x))g'(x)。
4.反函数法则：- 如果y = f(x)是可导函数，且在x处有非零的导数，则它的反函数x = f^(-1)(y)的导数为(dx/dy) = 1/(dy/dx)。
5.高阶导数：-如果f(x)的导数f'(x)存在，则f'(x)的导数称为f(x)的二阶导数，记作f''(x)，依此类推。
最全高等数学导数和积分公式汇总表
最全高等数学导数和积分公式汇总表-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2高等数学导数及积分公式汇总表一、导数公式 1．幂函数 0='c1)(-='n n nu u 2．指数函数 a a a u u ln )(=' e e e u u ln )(='3．对数函数 au a u ln 1)(log ='uu 1)(ln ='4．三角函数 u u cos )(sin =' u u sin )(cos -='u u 2sec )(tan ='u u 2csc )(cot -='u u u tan sec )(sec =' u u u cot csc )(csc -='5．反三角函数 211)(arcsin uu -='211)(arccos u u --='211)(arctan u u +='211)cot (u u arc +-='6．其他 1='u211)(u u -='uu 21)(='23211)(uu-='22)(22a u u a u ±='±二、积分公式 1．幂函数C du =⎰0 C u du un n n+=++⎰1112．指数函数C e du e uu +=⎰C du a aa uu +=⎰ln3．有关对数C u udu +=⎰ln4．三角函数C u udu +-=⎰cos sin C u udu +=⎰sin cosC u udu +=⎰tan sec2C u udu +-=⎰cot csc2C u udu u +=⎰sec tan sec C u udu u +-=⎰csc cot cscC u udu +-=⎰cos ln tanCu udu +=⎰sin ln cotC u u udu ++=⎰tan sec ln secC u u udu +-=⎰cot csc ln csc5．反三角函数C a u u a u du +±+=⎰±22ln 22C a u ua du +=⎰-arcsin 22C ua ua a u a du +=-+-⎰ln2122Ca ua u a du +=⎰+arctan 1226．其他C uu du +-=⎰12C u du u +=⎰23323C u du u+=⎰2121Cu u udu +-=⎰-2222C u u udu ++=⎰+22111ln 2C u u u udu +-=⎰ln ln三、定义域 ))(10(∞+-∞∈≠>=，，，x a a a y x)010(log >≠>=x a a x y a ，，四、对数公式b Nb a a N log log log =mn m a n a log )(log =2lg 1lg 2lg 1lg log 21lg 21lg 2121q q k k q q k k k k q q --==五、三角公式 αααcos sin 22sin =ααα22sin cos 2cos -=αα2cos 1cos 22+=αα2cos 1sin 22-=六、因式分解3223333)(y xy y x x y x ±+±=±。
导数和积分公式
导数和积分公式导数和积分是微积分的两个重要概念，在数学中起着至关重要的作用。
它们不仅仅是理论上的概念，更是实际问题求解中不可或缺的工具。
本文旨在以生动、全面、有指导意义的方式介绍导数和积分的公式及其应用。
一、导数的公式及应用：导数是函数变化率的度量，表示函数在某一点的瞬时变化速率。
它有几种常见的表达方式：1. 函数f(x)在某一点x=a的导数记作 f'(a)，也可以用 dy/dx 或 df(x)/dx 表示。
2. 导数的表达式为f'(x) = lim (x→a) (f(x) - f(a))/(x -a)。
3. 常见函数的导数公式：① 若 f(x) = ax^n （a为常数，n为正整数），则 f'(x) = anx^(n-1)。
② 若 f(x) = e^x，则 f'(x) = e^x。
③ 若 f(x) = sinx，则 f'(x) = cosx。
④ 若 f(x) = cosx，则 f'(x) = -sinx。
⑤ 若 f(x) = ln(x)，则 f'(x) = 1/x。
导数的应用非常广泛，例如：1. 求函数的最大值和最小值：在函数的导数为零或不存在的点处，可能存在极值点。
2. 描述物体运动：导数可以反映物体的速度和加速度，常用于描述运动物体的位置、速度和加速度之间的关系。
3. 经济学中的边际分析：导数可以用于分析经济中的边际成本、边际收益等问题。
二、积分的公式及应用：积分是导数的逆运算，表示函数区间上的累积变化量。
它也有几种常见的表达方式：1. 函数f(x)在区间[a, b]上的积分记作∫(a to b) f(x)dx。
2. 不定积分的表达式为∫f(x)dx + C，其中C为常数。
3. 常见函数的积分公式：① 若 f(x) = x^n （n不等于-1），则∫f(x)dx = (1/(n +1))x^(n + 1)。
② 若 f(x) = e^x，则∫f(x)dx = e^x。
最全高等数学导数和积分公式汇总表
高等数学导数及积分公式汇总表一、导数公式 1．幂函数 0='c1)(-='n n nu u 2．指数函数 a a a u u ln )(=' e e e u u ln )(=' 3．对数函数 au a u ln 1)(log =' uu 1)(ln ='4．三角函数 u u cos )(sin =' u u sin )(cos -=' u u 2sec )(tan ='u u 2csc )(cot -='u u u tan sec )(sec =' u u u cot csc )(csc -='5．反三角函数 211)(arcsin uu -='211)(arccos u u --=' 211)(arctan u u +='211)cot (u u arc +-='6．其他 1='u211)(u u -='uu 21)(='23211)(uu-='22)(22a u u a u ±='±二、积分公式 1．幂函数 C du =⎰0 C udu un n n+=++⎰1112．指数函数 C e du e uu +=⎰ C du a aa uu +=⎰ln3．有关对数 C u udu +=⎰ln4．三角函数 C u udu +-=⎰cos sinC u udu +=⎰sin cosC u udu +=⎰tan sec 2C u udu +-=⎰cot csc 2C u udu u +=⎰sec tan sec C u udu u +-=⎰csc cot csc C u udu +-=⎰cos ln tan C u udu +=⎰sin ln cotC u u udu ++=⎰tan sec ln secC u u udu +-=⎰cot csc ln csc5．反三角函数C a u u a u du +±+=⎰±22ln 22C a u ua du +=⎰-arcsin 22C ua ua au a du +=-+-⎰ln2122Ca ua u a du +=⎰+arctan 122 6．其他 C u u du +-=⎰12C u du u +=⎰2332C u du u+=⎰2121Cu u udu +-=⎰-2222C u u udu ++=⎰+22111ln 2C u u u udu +-=⎰ln ln三、定义域 ))(10(∞+-∞∈≠>=，，，x a a a y x)010(log >≠>=x a a x y a ，，四、对数公式b Nb a a N log log log =mn m a n a log )(log =2lg 1lg 2lg 1lg log 21lg 21lg 2121q q k k q q k k k k q q --==五、三角公式 αααcos sin 22sin =ααα22sin cos 2cos -=αα2cos 1cos 22+=αα2cos 1sin 22-=六、因式分解3223333)(y xy y x x y x ±+±=±。
导数与微积分公式
导数与微积分公式导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在其中一点上的变化率，也可以理解为函数曲线在该点处的斜率。
微积分公式则是导数与积分的数学公式，它们反映了函数在整个定义域上的性质和关系。
本篇文章将介绍导数的定义及其性质，以及常见的微积分公式。
一、导数的定义及性质导数的定义：对于给定函数f(x)，若存在一个常数a，当x趋近于a 时，函数变化的速率趋近于其中一确定值，则称f(x)在a点可导，并将这个确定值称为f(x)在a点的导数，记作f'(a)，即f'(a) = lim┬(h→0)〖[f(a+h)-f(a)]/h 〗其中h表示自变量x的增量。
导数的几何意义：导数可以理解为函数曲线在其中一点上的切线的斜率。
当导数为正时，函数在该点处上升；当导数为零时，函数在该点处取极值；当导数为负时，函数在该点处下降。
导数的性质：导数具有一些重要的基本性质，包括线性性、可导函数的和、差、积、商的导数计算等。
下面是其中几个重要的性质：1. 线性性质：若f(x)和g(x)在x=a点可导，则(cf(x)+dg(x))' = cf'(a) + dg'(a)，其中c为常数。
2.和与差的求导：(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)，(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)。
3. 常数倍的导数：(cf(x))' = cf'(x)，其中c为常数。
4.积的求导：(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
5.商的求导：(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]^2，(当g(x)≠0时)。
微积分公式是微积分中经常使用的重要公式，它们是导数与积分的数学关系。
下面将介绍几个常见且重要的微积分公式。
1.关于导数的公式：（1）幂函数的导数：对于函数y=x^n，其中n为常数，则它的导数为dy/dx = nx^(n-1)。
导数与积分
导数与定积分1. 导数（导函数的简称）的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=. 注：①是增量，我们也称为“改变量”，因为可正，可负，但不为零. ②以知函数定义域为，的定义域为，则与关系为. 2. 函数在点处连续与点处可导的关系：⑴函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果在点处可导，那么点处连续. 事实上，令，则相当于. 于是⑵如果点处连续，那么在点处可导，是不成立的. 例：在点处连续，但在点处不可导，因为，当＞0时，；当＜0时，，故不存在.注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义：函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P 处的切线的斜率是，切线方程为0x )(x f y =x 0x x ∆y )()(00x f x x f y -∆+=∆xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00)(x f y =0x x x ∆+0xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000)(x f y =0x )(x f y =0x )(0'x f 0|'x x y =)(0'x f x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000x ∆x ∆)(x f y =A )('x f y =B A B B A ⊇)(x f y =0x 0x )(x f y =0x )(x f y =0x )(x f y =0x )(x f y =0x x x x ∆+=00x x →0→∆x )]()()([lim )(lim )(lim 000000x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=∆+=→∆→∆→).()(0)()(lim lim )()(lim )]()()([lim 000'0000000000x f x f x f x f xx f x x f x f x x x f x x f x x x x =+⋅=+⋅∆-∆+=+∆⋅∆-∆+=→∆→∆→∆→∆)(x f y =0x )(x f y =0x ||)(x x f =00=x 00=x xx x y ∆∆=∆∆||x ∆1=∆∆x y x ∆1-=∆∆xy x yx ∆∆→∆0lim )(x f y =0x )(x f y =))(,(0x f x )(x f y =))(,(0x f x )(0'x f ).)((0'0x x x f y y -=-4. 求导数的四则运算法则：（为常数）注：①必须是可导函数. ②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如：设，，则在处均不可导，但它们和在处均可导.5. 复合函数的求导法则：或 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果＞0，则为增函数；如果＜0，则为减函数.⑵常数的判定方法；如果函数在区间内恒有=0，则为常数.注：①是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如在上并不是都有，有一个点例外即x =0时f （x ） = 0，同样是f （x ）递减的充分非必要条件. ②一般地，如果f （x ）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.7. 极值的判别方法：（极值是在附近所有的点，都有＜，则是函数的极大值，极小值同理） 当函数在点处连续时，①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值； ②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值.''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=c )0(2'''≠-=⎪⎭⎫⎝⎛v v u v vu v u v u ,x x x f 2sin 2)(+=xx x g 2cos )(-=)(),(x g x f 0=x =+)()(x g x f xx cos sin +0=x )()())(('''x u f x f x ϕϕ=x u x u y y '''⋅=)(x f y =)('x f )(x f y =)('x f )(x f y =)(x f y =I )('x f )(x f y =0)( x f 32x y =),(+∞-∞0)( x f 0)( x f 0x )(x f )(0x f )(0x f )(x f )(x f 0x 0x )('x f )('x f )(0x f 0x )('x f )('x f )(0x f也就是说是极值点的充分条件是点两侧导数异号，而不是=0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注①： 若点是可导函数的极值点，则=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数，使=0，但不是极值点.②例如：函数，在点处不可导，但点是函数的极小值点. 8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数：I.（为常数）（） II.III. 求导的常见方法： ①常用结论：.②形如或两边同取自然对数，可转化求代数和形式.③无理函数或形如这类函数，如取自然对数之后可变形为，对两边求导可得.10．定积分（1）概念设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上取任一点ξi （i ＝1，2，…n ）作和式I n ＝∑ni f 1＝(ξi )△x （其中△x 为小区间长度），把n →∞即△x →0时，0x 0x )('x f 0x )(x f )('x f 0x 3)(x x f y ==0=x )('x f 0=x ||)(x x f y ==0=x 0=x 0'=C C x x cos )(sin '=1')(-=n n nx x R n ∈x x sin )(cos '-=xx 1)(ln '=e xx a a log 1)(log '=x x e e =')(a a a x x ln )('=xx 1|)|(ln '=))...()((21n a x a x a x y ---=))...()(())...()((2121n n b x b x b x a x a x a x y ------=x x y =x x y =x x y ln ln =x x x x x y y x y y xx x y y +=⇒+=⇒⋅+=ln ln 1ln '''和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作：⎰badx x f )(，即⎰badx x f )(＝∑=∞→ni n f 1lim (ξi )△x 。
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分类汇编14：导数与定积分一、选择题1 ．（广东省中山二中2014届高三9月第一次月考数学理试题）函数()x f 满足()00=f ,其导函数()x f '的图象如下图,则()x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．31B ．34 C ．2D ．38 【答案】B由图可知'()f x =2x+2,所以,2()2f x x x c =++,又f(0)=0,所以,c=0, 面积为023202214(2)()|33S x x dx x x --=+=+=⎰ 2 ．（广东省廉江一中2014届高三上学期第二次月考数学（理）试卷）已知函数f (x )=(x -1)(x -2)(x -3)(x -100),则()1f '=（ ）A ．-99!B ．-100!C ．-98!D ．0【答案】A3 ．（广东省珠海一中等六校2014届高三上学期第二次联考数学（理）试题）一个物体的运动方程为21s t t =-+,其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是 （ ） A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒【答案】C4 ．（广东省湛江市湖光中学2014届高三上学期入学考试数学（理）试题）曲线2x x )x (f 3-+=在P 处的切线平行于直线y=4x-1,则P 坐标为（ ）A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)或(-1,-4)D ．(2,8)或(-1,-4)【答案】C5 ．（广东省汕头四中2014届高三第一次月考数学（理）试题）从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点(,)M x y ,则点M 取自阴影部分的概率为 （ ）A ．12B ．13C ．14 D ．16【答案】B6 ．（广东省惠州市2014届高三上学期第二次调研数学（理）试题）已知函数2342013()12342013x x x x f x x =+-+-++且函数()f x 的零点均在区间[],a b (,,)a b a b Z <∈内,圆22x y b a +=-的面积的最小值是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【答案】【解析】∵f(x)=1+x﹣,∴当x<﹣1或x>﹣1时,f'(x)=1﹣x+x 2﹣x 3++x 2012=>0.而当x=﹣1时,f'(x)=2013>0∴f'(x)>0对任意x ∈R 恒成立,得函数f(x)是(﹣∞,+∞)上的增函数 ∵f(﹣1)=(1﹣1)+(﹣﹣)++(﹣﹣)<0,f(0)=1>0∴函数f(x)在R 上有唯一零点x 0∈(﹣1,0) ∴b﹣a 的最小值为0-(-1)=1. ∵圆x 2+y 2=b ﹣a 的圆心为原点,半径r=∴圆x 2+y 2=b ﹣a 的面积为πr 2=π(b ﹣a)≤π,可得面积的最小值为π.故选:A7 ．（广东省惠州市2014届高三第一次调研考试数学（理）试题）已知函数x x x f 3)(3-=,若过点()0,16A 且与曲线()y f x =相切的切线方程为16y ax =+,则实数a 的值是 （ ）A ．3-B ．3C ．6D ．9【答案】设切点为00(,)M x y ,则03003x x y -= ①,∵33)(200-='=x x f k ,又切线l 过 （ ）A ．M 两点, ∴0016x y k -=则00201633x y x -=- ② 联立①、②可解得2,200-=-=y x ,从而实数a 的值为21692a k --===-故选D ． 8 ．（广东省深圳市高级中学2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）设直线x t =与函xyOAC y x =2y x =(1,1) B数2(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ,则当||MN 达到最小时t 的值为（ ）A ．1B ．12C D 【答案】D9 ．（广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试（二）数学理试题）设a ∈R ,若函数3ax y e x =+,x ∈R 有大于零的极值点,则（ ）A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <-【答案】B 【解析】'()3axf x ae =+,若函数在x R ∈上有大于零的极值点,即'()30ax f x ae =+=有正根.当有'()30ax f x ae =+=成立时,显然有0a <,此时13ln()x a a=-,由0x >我们马上就能得到参数a 的范围为3a <-. 10．（广东省兴宁市沐彬中学2014届上期高三质检试题 数学（理科））设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 （ ）A ．()0()g a f b <<B ．()0()f b g a <<C ．0()()g a f b <<D ．()()0f b g a <<【答案】A11．（广东省普宁侨中2014届高三第一次月考（10月）数学（理）试题）若函数32()=+++f x x ax bx c 有极值点1x ,2x ,且11()=f x x ,则关于x 的方程23(())+2()+=0f x a f x b 的不同实根个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A12．（广东省广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试数学理试题）若过点(2,0)的直线与曲线3y x =和274y ax x =+-都相切,则a 的值为 （ ）A ．2或4916-B ．3或516C ．2D ．516【答案】A 13．（广东省汕头四中2014届高三第一次月考数学（理）试题）已知函数3,0,()ln(1),>0.x x f x x x ⎧≤=⎨+⎩ 若f(2-x 2)>f(x),则实数x 的取值范围是(A) (,1)(2,)-∞-⋃+∞B ．(,2)(1,)-∞-⋃+∞C ．(1,2)-D【答案】D14．（广东省揭阳一中2014届高三上学期第一次阶段考试数学（理）试题）已知函数()f x 在R上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-,则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 （ ）A ．y x =B ．21y x =-C ．32y x =-D ．23y x =-+【答案】B15．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第二次月考测试数学（理）试题）函数1)(3++=x ax x f 有极值的充要条件是（ ）A ．0≥aB ．0>aC ．0≤aD ．0<a【答案】D16．（广东省佛山市佛山一中2014届高三10月段考数学（理）试题）已知函数210()0x x f x a x ⎧+>⎪=≤ 在点(1,2)处的切线与()f x 的图像有三个公共点,则a 的取值范围是（ ）A．[8,4--+ B．(44---+C．(48]-+D．(48--- 【答案】D 二、填空题17．（广东省廉江一中2014届高三上学期第二次月考数学（理）试卷）已知函数f (x -1)=2x 2-x ,则()f x '= _______________ .【答案】4x +318．（广东省韶关市曲江中学2013-2014学年高三第一次阶段检测数学(理)试题）已知直线(0)y ax a =>与抛物线2x y =所围成的封闭图形的面积为92,则=a ____.【答案】319．（广东省廉江一中2014届高三上学期第二次月考数学（理）试卷）曲线y =x 2+3x 在点(2,10)处的切线的斜率是_________ .【答案】7 .20．（广东省湛江市湖光中学2014届高三上学期入学考试数学（理）试题）320(1)x dx +=⎰_______________.【答案】1221．（广东省揭阳一中2014届高三上学期第一次阶段考试数学（理）试题）已知函数f(x),g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x<0时,0)()()()(''>+x g x f x g x f 且g(3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是_________________.【答案】(,3)(0,3)-∞-⋃22．（广东省揭阳一中2014届高三上学期第一次阶段考试数学（理）试题）若函数f (a )=⎠⎛0a(2+sin x )d x ,则f [f (π2)-1]=________________.【答案】 21π+23．（广东省汕头市金山中学2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知函数313()22f x x x =-,则函数()f x 过．点(2,1)的切线方程为_____________. 【答案】1y =或92160x y --=24．（广东省深圳市宝安区2014届高三上学期调研测试数学理试卷）若函数,8))1((),0(3),0(lg )(02=⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=⎰f f x dt t x x x x f a则a 的值为__________. 【答案】225．（广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试（二）数学理试题）若曲线y =与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a 2.则正实数a=____【答案】94=a 26．（广东省普宁侨中2014届高三第一次月考（10月）数学（理）试题）若209,Tx dx T =⎰则常数的值为_________;【答案】3;27．（广东省佛山市佛山一中2014届高三10月段考数学（理）试题）计算dxx x )4222-2+-⎰（的值为________________.【答案】3162+π28．（广东省深圳中学2013-2014学年度高三年级第一次阶段性测试理科数学（A 卷））右图中阴影部分区域的面积S =_________.x129．（广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试（二）数学理试题）函数f(x)=x 3-3x 2+1在x =____________处取得极小值.【答案】230．（广东省汕头市金山中学2014届高三上学期开学摸底考试数学（理）试题）若函数()x f 的导函数()342+-='x x x f ,则函数()x f +1的单调减区间是____*****___.【答案】(0,2)31．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第二次月考测试数学（理）试题）已知曲线12-=x y 在0x x =处的切线与曲线31x y -=在0x x =处的切线互相平行,则0x 的值为_______.【答案】32000-==x x 或32．（广东省六校2014届高三第一次联考理科数学试题）计算定积分)120x dx =⎰__________.【答案】13解析:)12x dx =⎰3212021()|33x x -=1333．（广东省珠海一中等六校2014届高三上学期第二次联考数学（理）试题）由曲线xy e =与直线0x =、直线y e =所围成的图形的面积为____________.【答案】134．（广东省珠海市2014届高三9月开学摸底考试数学理试题）直线14y x b =-+是函数1()f x x=的切线,则实数b =____________. 【答案】11或- 三、解答题35 ．（广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试（二）数学理试题）已知二次函数()y g x =的导函数的图像与直线2y x =平行,且()y g x =在1x =-处取得极小值1(0)m m -≠.设()()g x f x x=.(1)若曲线()y f x =上的点P 到点(0,2)Q ,求m 的值; (2)()k k R ∈如何取值时,函数()y f x kx =-存在零点,并求出零点.【答案】解:设二次函数()y g x =的解析式为)0()(2≠++=a c bx ax x g则它的导函数为)0(2)(≠+='a b ax x g ,∵ 函数)0(2)(≠+='a b ax x g 的图像与直线x y 2=平行, ∴ 2a=2,解得a=1,所以 c bx x x g ++=2)(,b x x g +='2)( ∵()y g x =在1x =-处取得极小值1(0)m m -≠∴⎩⎨⎧-=-=-'1)1(0)1(m g g ,即⎩⎨⎧-=+-=+-1102m c b b ,解得⎩⎨⎧==m c b 2.所以 m x x x g ++=2)(2,()()g x f x x ==2++xmx (0≠x ) (1)设点点P ⎪⎭⎫⎝⎛++2,x m x x (0≠x ,0≠m )为曲线()y f x =上的任意一点 则点P 到点(0,2)Q 的距离为m x m x x m x x PQ 2222222++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=由基本不等式定理可知m m m xm x 22222222+≥++,当且仅当222m x =时,等号“=”成立,此时m in PQ =m m 222+又已知点P 到点(0,2)Q 所以令2222=+m m两边平方整理, 得12=+m m 当0>m 时,12=+m m ,解得12-=m当0<m 时,12=+-m m ,解得12--=m 所以,m 的值为12-或者12--; (2)函数令kx x f x h -=)()(=2)1(2++-=-++xmx k kx x m x (0≠x ) 令0)(=x h ,即02)1(=++-xmx k (0≠x ), 整理,得02)1(2=++-m x x k (0≠x ),①函数kx x f x h -=)()(存在零点,等价于方程①有非零实数根, 由0≠m 可知,方程①不可能有零根,当k=1 时,方程①变为02=+m x ,解得02≠=mx ,方程①有唯一实数根, 此时, 函数kx x f x h -=)()(存在唯一的零点2mx =;当k≠1 时,方程①根的判别式为)1(44k m --=∆,0≠m 令)1(44k m --=∆=0,解得mk 11-=, 方程①有两个相等的实数根m x x -==21,此时, 函数kx x f x h -=)()(存在唯一的零点m x -=; 令)1(44k m --=∆>0,得m(1-k)<1 ,当m>0时,解得m k 11->, 当m<0时,解得mk 11-<,以上两种情况下,方程①都有两个不相等的实数根k k m x ---+-=1)1(111,kk m x -----=1)1(112此时, 函数kx x f x h -=)()(存在两个零点k k m x ---+-=1)1(111,kk m x -----=1)1(112综上所述,函数()y f x kx =-存在零点的情况可概括为 当k=1 时,函数kx x f x h -=)()(存在唯一的零点2mx =; 当mk 11-=时,函数kx x f x h -=)()(存在唯一的零点m x -=; 当 m>0且m k 11->,或者m<0且m k 11-<时,函数kx x f x h -=)()(存在两个零点k k m x ---+-=1)1(111,kk m x -----=1)1(112.36 ．（广东省揭阳一中2014届高三上学期第一次阶段考试数学（理）试题）已知函数()()222ln ,.f x x x h x x x a =-=-+(Ⅰ)求函数()x f 的极值;(Ⅱ)设函数()()(),x h x f x k -=若函数()x k 在[]31,上恰有两个不同零点,求实数 a 的取值 范围. 【答案】(Ⅱ)12)(ln 2)()()('+-=∴-+-=-=xx k a x x x h x f x k ,若2,0)('==x x k 则 当[)1,2x ∈时,()'0fx <;当(]2,3x ∈时,()'0f x >.故()k x 在[)1,2x ∈上递减,在(]2,3x ∈上递增(1)0,1,(2)0,22ln 2,22ln 232ln 3.(3)0,32ln 3,k a k a a k a ≥≤⎧⎧⎪⎪∴<∴>-∴-<≤-⎨⎨⎪⎪≥≤-⎩⎩所以实数 a 的取值范围是(]22ln 2,32ln 3--37 ．（广东省广州市仲元中学2014届高三数学（理科）10月月考试题）已知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+- ,其中 2.a > (Ⅰ)讨论函数()f x 的单调性;(Ⅱ)若对于任意的1212,(0,),x x x x ∈+∞≠,恒有1212()()1f x f x x x ->--,求实数a 的取值范围;(Ⅲ)设*1(3,4),,n n a x n N n+∈=∈,求证:111()()n n f x f x x +-<.【答案】解:(Ⅰ)函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞211()a x ax a f x x a x x--+-'=-+=令()0f x '=,则210x ax a -+-=,即(1)[(1)]0x x a ---=,1x =或1x a =-因为2a >,所以11a ->当(0,1),()0x f x '∈>,函数()f x 为增函数 当(1,a 1),()0x f x '∈-<,函数()f x 为减函数 当(a 1,),()0x f x '∈-+∞>,函数()f x 为增函数 (Ⅱ)设12x x >,则不等式1212()()1f x f x x x ->--等价于1221()()f x f x x x ->-整理得到1122()()f x x f x x +>+ 令21()()(1)ln 2g x f x x x ax a x x =+=-+-+ 即函数()g x 在(0,)x ∈+∞上为增函数1()(1)a g x x a x -'=--+,不等式1(1)0a x a x---+≥恒成立而1a x x-+≥所以1a ≥-,因为 2.a >,225a ≤⇒<≤ (Ⅲ)因为(3,4)a ∈,由(Ⅰ)可以知道当(1,1)x a ∈-时,函数()f x 为减函数, 而1211(1,1)11n n x a n n ++==+∈-++,12(1,1)x a =∈-, 那么11n x x +<所以11()()n f x f x +> 所以1111()()()()n n f x f x f x f x ++-=- 由(Ⅱ)知道1111()()1n n f x f x x x ++->--所以1111111()()2(1)1111n n nn f x f x x x n n n x ++-<-=-+=-==+++ 38 ．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第二次月考测试数学（理）试题）已知函数)0(ln )(2>+=x x ax x f .(Ⅰ)求)(x f 的单调区间;(Ⅱ)当0=a 时,设斜率为k 的直线与曲线)(x f y =交于),(11y x A 、),(22y x B )(21x x < 两点,求证:211x kx <<.【答案】解:(Ⅰ))0(1212)('2>+=+=x xax x ax x f ,当0≥a 时,'()0f x >,()f x 在),0(+∞上是增函数; 当0<a 时,由0)('=x f ,得a ax 221--=(取正根), 在区间)221,0(a a --内,)(,0)('x f x f >是增函数;在区间),221(+∞--a a内,,0)('<x f )(x f 是减函数.综上,当0≥a 时,)(x f 的增区间为),0(+∞,没有减区间; 当0<a 时,)(x f 的减区间是),221(+∞--a a ,增区间是)221,0(a a-- (Ⅱ)当0=a 时,1212ln ln 1),0(ln )(x x x x k x x x f --=>=, 今证明 212121ln ln x x x x x x <--<,先证明 0)()ln (ln 12121<---x x x x x 设 )0(),()ln (ln )(1111>>---=x x x x x x x x h则 1)('1-=xx x h , ∵ 01>>x x ,∴0)('<x h ,)(x h 在),[1+∞x 上是减函数.∵ 12x x >,∴0)()(12=<x h x h , 即 0)()ln (ln 12121<---x x x x x ∴12121ln ln x x x x x --<,同理可证21212ln ln x x x x x <--39 ．（广东省廉江一中2014届高三上学期第二次月考数学（理）试卷）已知函数f (x )=ax 3-6ax 2+b(x ∈[-1,2])的最大值为3,最小值为-29,求a 、b 的值.【答案】解:令22'()3123(4)f x ax ax a x x =-=-=0,显然a ≠0,否则f (x )=b 为常数,又x∈[-1,2],∴x =0,若a >0,则当()1,0x ∈-时()0f x '>,当()0,2x ∈时()0f x '<, ∴()()max 0f x f b ===3,()()17,216,f a b f a b -=-+=-+∴()()min 216329, 2.f x f a a ==-+=-= 若a <0,同理可得a =-2,b =-29 ∴2,3,2,29.a b a b ===-=-或40 ．（广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试（二）数学理试题）设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .【答案】【解析】(Ⅰ) 当1k=时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:右表可知,函数()f x 的递减区间为()0,ln 2,递增区间为(),0-∞,()ln 2,+∞.(Ⅱ)()()()1222x x x xf x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-,令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =,令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<;当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>; 所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==--- 令()()311kh k k e k =--+,则()()3k h k k e k '=-,令()3kk e k ϕ=-,则()330kk e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭所以存在01,12x ⎛⎤∈⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0k ϕ>, 当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<, 所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减.因为17028h ⎛⎫=>⎪⎝⎭,()10h =, 所以()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”. 综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31kM k e k =--.41 ．（广东省湛江市2014届高三10月高三调研测试数学理试题（WORD 版））设函数()()21ln 2a f x x ax x a R -=+-∈. (1)当a=1时,求函数f(x)的极值, (2)当a>1时,讨论函数f(x)的单调性.(3)若对任意(3,)a ∈+∞及任意12,[1,2]x x ∈,恒有2121ln 2|()()|2a m f x f x -+>+成立,求实数m 的取值范围. 【答案】42 ．（广东省佛山市南海区2014届普通高中高三8月质量检测理科数学试题 ）设P 是曲线1C 上的任一点,Q 是曲线2C 上的任一点,称PQ 的最小值为曲线1C 与曲线2C 的距离. (1)求曲线1:xC y e =与直线2:1C y x =-的距离;(2)设曲线1:x C y e =与直线3:C y x m =-(0m R m ∈≥，)的距离为1d ,直线2:1C y x =-与直线3:C y x m =-的距离为2d ,求12d d +的最小值.【答案】解:(1)只需求曲线1C 上的点到直线1y x =-距离的最小值设曲线1C 上任意一点为(,),x P x e 则点(,)xP x e 到1y x =-的距离为d ==令()1xf x e x =-+,则()1xf x e '=-,由()100xf x e x '=->⇒>;()100;()100.x x f x e x f x e x ''=-<⇒<=-=⇒=故当0x =时, 函数()1xf x e x =-+取极小值即最小值(0)2f =,即d =故曲线1C 与曲线2C(2)由(1)可知,1d =,又易知2d =,则)12|1||1|d d m m +==++-≥=当且仅当(1)(1)0m m +-≤时等号成立,考虑到0m ≥,所以,当01m ≤≤时,12d d +43 ．（广东省惠州市2014届高三上学期第二次调研数学（理）试题）已知函数2()ln(1)f x ax x =-+(1)当45a =时,求函数()f x 在(0,)+∞上的极值; (2)证明:当0x >时,2ln(1)x x +<;(3)证明:444111(1)(1)(1)23e n+++< (,2,n N n e *∈≥为自然对数的底数）. 【答案】解 (1)当)1ln(54)(542x x x f a +-==时，)1(541041254)(222'x x x x x x f ++-=+-=∴ )(),(,'x f x f x 变化如下表x⎪⎭⎫⎝⎛21,0 21 ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21 2()+∞,2)('x f+ 0 - 0 + )(x f↗极大值↘极小值↗45ln 52)21(-==∴f f 极大值, 5ln 58)2(-==f f 极小值(2)令)1ln()(2x x x g +-=则01)1(121)(222'≥+-=+-=x x x x x g()∞+∴，在0)(x g 上为增函数.0)0()(=>∴g x g x x <+∴)1ln(2(3)由(2)知x x <+)1ln(2令41n x =得,n n n n n n 111)1(11)11ln(24--=-<<+ )11ln()311ln()211ln(444n ++++++∴ 11111141313121211<-=--++-+-+-<n n n∴e n <+++)11()311)(211(44444．（广东省珠海一中等六校2014届高三上学期第二次联考数学（理）试题）设函数3()65f x x x =-+,x R ∈(1)求函数()f x 的单调区间;(2)求函数()f x 在区间[]2,2-上的最值.【答案】解:(1)3()65f x x x =-+2'()36f x x ∴=-令'()0,f x = x ∴='(),()f x f x x 随着的变化情况如下表:x(,-∞()+∞'()f x +0 — 0 +()f x单调递增极大值单调递减极小值单调递增由上表可知()f x的单调递增区间为(,-∞和)+∞,单调递减区间为((2)由(1)可知函数()f x在2,⎡-⎣ 上单调递增,在⎡⎣ 上单调递减,在2⎤⎦上单调递增,()f x ∴的极大值(5f ==+()f x的极小值5f ==-又(2)15(f f =<+=,(2)95f f -=>-=∴函数()f x 在区间[]2,2-上的最大值为5+最小值为5-45．（广东省中山二中2014届高三9月第一次月考数学理试题）已知三次函数32()f x x ax bx c =+++在1x =和1x =-时取极值,且(2)4f -=-.(Ⅰ) 求函数()y f x =的表达式;(Ⅱ)求函数()y f x =的单调区间和极值;(Ⅲ)若函数()()4(0)g x f x m m m =-+>在区间[3,]m n -上的值域为[4,16]-,试求m 、n 应满足的条件.【答案】(Ⅰ) 解:2()32f x x ax b '=++,由题意得:1,1-是2320x ax b ++=的两个根,解得,0,3a b ==-.再由(2)4f -=-可得2c =-∴3()32f x x x =--(Ⅱ) 解:2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-,当1x <-时,()0f x '>;当1x =-时,()0f x '= 当11x -<<时,()0f x '<;当1x =时,()0f x '=; 当1x >时,()0f x '>.∴函数()f x 在区间(,1]-∞-上是增函数; 在区间[1,]-１上是减函数;在区间[1,)+∞上是增函数. 函数()f x 的极大值是(1)0f -=,极小值是(1)4f =-.(Ⅲ)解:函数()g x 的图象是由()f x 的图象向右平移m 个单位,向上平移4m 个单位得到,所以,函数()f x 在区间[3,]n m --上的值域[44,164]m m ---(0m >) 而(3)20f -=-,∴4420m --=-, 即4m =. 则函数()f x 在区间[3,4]n --上的值域为[20,0]-令()0f x =得1x =-或2x =.由()f x 的单调性知,142n -≤-≤,即36n ≤≤. 综上所述,m 、应满足的条件是:4m =,且36n ≤≤46．（广东省汕头四中2014届高三第一次月考数学（理）试题）已知函数3211()(0)32f x x ax x b a =+++≥,'()f x 为函数()f x 的导函数.(1)设函数f(x)的图象与x 轴交点为A,曲线y=f(x)在A 点处的切线方程是33y x =-,求,a b 的值; (2)若函数()'()axg x ef x -=⋅,求函数()g x 的单调区间.【答案】解:(Ⅰ)∵3211()(0)32f x x ax x b a =+++≥,∴2'()1f x x ax =++∵()f x 在(1,0)处切线方程为33y x =-, ∴'(1)3(1)0f f =⎧⎨=⎩,∴1=a ,611-=b . (各1分)(Ⅱ)'()()ax f x g x e=21axx ax e ++=()x R ∈. '()g x =22(2)(1)()ax ax ax x a e a x ax e e +-++2[(2)]axx ax a e -=-+- ①当0a =时,'()2g x x =,g ②当0a >时,令'()0g x =,得0x =或2x a a=-(ⅰ)当20a a->,即0a <<,)()g x 的单调递增区间为2(0,)a a -,单调递减区间为(,0)-∞,2(,)a a-+∞; (ⅱ)当20a a-=,即a =,'()g x =2220x x e -=-≤,故()g x 在(,)-∞+∞单调递减;(ⅲ)当20a-<,即a >,()g x 在22(,0)a a-上单调递增,在(0,)+∞,22(,)a a --∞上单调递减 综上所述,当0a =时,()g x 的单调递增区间为(0,)+∞,单调递减区间为(,0)-∞;当0a <<,()g x 的单调递增区间为22(0,)a a-,单调递减区间为(,0)-∞ 当a =()g x 的单调递减区间为(,)-∞+∞当a >时,()g x 的单调递增区间为2(,0)a a-,单调递减区间为(0,)+∞、2(,)a a-∞-47．（2013-2014学年广东省（宝安中学等）六校第一次理科数学联考试题）设函数21()ln .2f x x ax bx =--(Ⅰ)当12a b ==时,求函数)(x f 的最大值; (Ⅱ)令21()()2aF x f x ax bx x=+++(03x <≤)其图象上任意一点00(,)P x y 处切线的斜率k ≤21恒成立,求实数a 的取值范围;(Ⅲ)当0a =,1b =-,方程22()mf x x =有唯一实数解,求正数m 的值【答案】解:(1)依题意,知()f x 的定义域为(0,)+∞,当12a b ==时,211()ln 42f x x x x =--, 111(2)(1)()222x x f x x x x-+-'=--=令,解得 1.(0)x x =>因为()0g x =有唯一解,所以2()0g x =,当01x <<时,()0f x '>,此时()f x 单调递增;当1x >时,()0f x '<,此时()f x 单调递减. 所以()f x 的极大值为3(1)4f =-,此即为最大值 (2)()ln ,(0,3]aF x x x x=+∈,则有00201(),2x a k F x x -'==≤在0(0,3]x ∈上恒成立,∴a ≥max 020)21(x x +-,]3,0(0∈x 当10=x 时,02021x x +-取得最大值21,所以a ≥21(3)因为方程2)(2x x mf =有唯一实数解,所以22ln 20x m x mx --=有唯一实数解,设2()2ln 2g x x m x mx=--,则2222().x mx mg x x--'=令()0g x '=,20x mx m --=因为0,0,m x >>所以102m x =<(舍去),22m x =,当2(0,)x x ∈时,()0g x '<,()g x 在2(0,)x 上单调递减, 当2(,)x x ∈+∞时,()0g x '>,()g x 在2(,)x +∞上单调递增, 当2x x =时,2()0g x '=,()g x 取最小值2()g x则22()0()0g x g x =⎧⎨'=⎩ 即22222222ln 20x m x mx x mx m ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩所以222ln 0,m x mx m +-=因为0,m >所以222ln 10()x x +-=*设函数()2ln 1h x x x =+-,因为当0x >时,()h x 是增函数,所以()0h x =至多有一解.∵0)1(=h ,∴方程(*)的解为21x =,即12m +=,解得21=m 48．（广东省深圳中学2013-2014学年度高三年级第一次阶段性测试理科数学（A 卷））设函数()e ,xf x =2()4x g x =-,其中e 为自然对数的底数.(1) 已知12,R x x ∈,求证:[]12121()()()22x x f x f x f ++≥; (2)是否存在与函数()f x ,()g x 的图象均相切的直线l ?若存在,则求出所有这样的直线l 的方程;若不存在,则说明理由.【答案】(1)证明: []12121()()()22x x f x f x f ++- 121221(e e )e 2x x x x +=+-121221(e e 2e )2x x x x +=+-122221(e e )0.2x x=-≥ []12121()()().22x x f x f x f +∴+≥ (2) 设直线l 与函数()f x 的图象相切,切点为(,e )tt , 则直线l 的方程为e e (),tty x t -=-即e e (1).t ty x t =+- 直线l 与函数()g x 的图象相切的充要条件是关于x 的方程2e e (1),4ttx x t +-=-即2+e e (1)04tt x x t +-=有两个相等的实数根,即2e e (1)0,t t t ∆=--=e 10.tt +-=设()e 1tt t ϕ=+-,则(0)0ϕ=,且()e 10tt ϕ'=+>,()t ϕ在R 上递增, ()t ϕ只有一个零点0.t =所以存在唯一一条直线l 与函函数()f x 与()g x 的图象均相切,其方程为1.y x =+49．（广东省韶关市曲江中学2013-2014学年高三第一次阶段检测数学(理)试题）已知函数)0,0(112)1ln()(>≥-+++=a x x ax x f .(Ⅰ)若)(x f 在2x =处取得极值,求a 的值; (Ⅱ)求)(x f 的单调区间; (Ⅲ)若1=a 且0<b ,函数bx bx x g -=331)(,若对于)1,0(1∈∀x ,总存在)1,0(2∈x 使得)()(21x g x f =,求实数b 的取值范围.【答案】解:(I)222)1)(1()1(2)1()1(21)('+++-+=+-+=x ax ax x a x ax a x f 22)1)(1(2++-+=x ax a ax 1分由()'10f =得, 520,a -=.25a =(II))0,0()1)(1(2)('22≥>++-+=x a x ax a ax x f ,若2,0a x ≥≥,得()'0fx >即()f x 在[)0+∞，上单调递增, 若a ax x f a -==<<20)('20得令或aa--2(舍去) x )2,0(aa -a a -2 ),2(+∞-aa )('x f- 0 + )(x f单调减单调增)(x f ∴的单调减区间是0⎛ ⎝,单调增区间是 ），＋（∞-a a2, (Ⅲ)1=a 由(2)得)(x f 在()0,1上是减函数,1)(2ln <<∴x f ,即()f x 值域()ln 2,1A =又)1)(1()('2+-=-=x x b b bx x g , 0<b ,)1,0(∈∴x 时()'0g x >∴()g x 在()0,1上递增. )(x g ∴的值域20,3B b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭由)1,0(),1,0(21∈∃∈∀x x 使得()()12f x g x =, ,B A ⊆∴即213b -≥ ,3.2b ∴≤-50．（广东省兴宁市沐彬中学2014届上期高三质检试题 数学（理科））(本小题满分共l4分)已知函数()1x af x x e=-+(a R ∈,e 为自然对数的底数). (1)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴,求a 的值; (2)求函数()f x 的极值;(3)当1a =的值时,若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,求k 的最大值.【答案】解:(Ⅰ)由()1x a f x x e =-+,得()1xaf x e'=- 又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴,得()10f '=,即10ae-=,解得a e =(Ⅱ)()1x a f x e'=-, ①当0a ≤时,()0f x '>,()f x 为(),-∞+∞上的增函数,所以函数()f x 无极值 ②当0a >时,令()0f x '=,得x e a =,ln x a =(),ln x a ∈-∞,()0f x '<;()ln ,x a ∈+∞,()0f x '>所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减,在()ln ,a +∞上单调递增, 故()f x 在ln x a =处取得极小值,且极小值为()ln ln f a a =,无极大值 综上,当0a ≤时,函数()f x 无极值;当0a >,()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ,无极大值 (Ⅲ)当1a =时,()11xf x x e =-+令()()()()111xg x f x kx k x e =--=-+, 则直线l :1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点, 等价于方程()0g x =在R 上没有实数解 假设1k >,此时()010g =>,1111101k g k e -⎛⎫=-+<⎪-⎝⎭,又函数()g x 的图象连续不断,由零点存在定理,可知()0g x =在R 上至少有一解,与“方程()0g x =在R 上没有实数解”矛盾,故1k ≤ 又1k =时,()10x g x e=>,知方程()0g x =在R 上没有实数解 所以k 的最大值为1. 解法二:(Ⅰ)(Ⅱ)同解法一. (Ⅲ)当1a =时,()11x f x x e=-+. 直线l :1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点, 等价于关于x 的方程111xkx x e -=-+在R 上没有实数解,即关于x 的方程: ()11x k x e-=(*)在R 上没有实数解.①当1k =时,方程(*)可化为10x e =,在R 上没有实数解. ②当1k ≠时,方程(*)化为11x xe k =-.令()xg x xe =,则有()()1xg x x e '=+.令()0g x '=,得1x =-,当x 变化时,()g x '的变化情况如下表:当1x =-时,()min g x e=-,同时当x 趋于+∞时,()g x 趋于+∞, 从而()g x 的取值范围为1,e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 所以当11,1k e ⎛⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭时,方程(*)无实数解, 解得k 的取值范围是()1,1e -.综上,得k 的最大值为1.51．（广东省珠海市2014届高三9月开学摸底考试数学理试题）已知函数1()ln xf x x ax-=+(0>x ).(1)当1a =时,求()f x 在1[,2]2上的最小值;(2)若函数()f x 在1[,+)2∞上为增函数,求正实数a 的取值范围;(3)若关于x 的方程12ln 20x x x mx -+-=在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有两个相异的实根,求实数m 的取值范围.【答案】解:(1)当1a =1()ln 1f x x x =+-,22111'()x f x x x x-=-=,于是,当x 在1[,2]上变化时,'(),()f x f x 的变化情况如下表:由上表可得,当1x =时函数()f x 取得最小值0(2)22111'()ax f x x ax ax -=-=,因为a 为正实数,由定义域知0x >,所以函数的单调递增区间为1[,+)a ∞,因为函数()f x 在1[,+)2∞上为增函数,所以1102a <≤,所以2a ≥(3)方程12l n 20x x x mx -+-=在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有两个相异的实根⇔方程1l n 02x x m x -+-=在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有两个相异的实根⇔方程1ln 2xx m x -+=在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有两个相异的实根⇔函数1()ln 2xg x x x -=+的图象与函数y m =的图象在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有两个交点 考察函数1()ln 2x g x x x -=+,221121()22x g x x x x -'=-+=,在11,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数,在1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数111()ln 10222e e eg e e e e e--+=+=+=>111112()ln ln 20122222g -=+=-<⨯ 111113()ln 10()1222e e e g g e e e e---=+=-=<<⨯ 画函数1()ln 2x g x x x -=+,1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的草图,要使函数1()ln 2x g x x x -=+的图象与函数y m =的图象在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有两个交点,则要满足11()()2g m g e <≤所以m 的取值范围为13{|ln 2}22e m m --<≤52．（广东省廉江一中2014届高三上学期第二次月考数学（理）试卷）求函数()32133f x x x x =--的单调区间.【答案】解:2()23,.......2f x x x '=--分()()()()0,31,.......5()0,3,.......8(),1,3,,.......101,3.......12f x x x f x x f x '>><-'<<<-∞-+∞-令得或分令得-1分所以的单调递增区间是分单调递减区间是分53．（广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三9月三校联考数学（理）试题）已知函数2()2ln f x x x ax =--.(Ⅰ)当3≥a 时,讨论函数()y f x =在[)21∞+，上的单调性;(Ⅱ)如果1x ,2x 12()x x <是函数()f x 的两个零点,)(f ,x 为函数()f x 的导数, 证明:0)32(21,<+x x f 【答案】解:(Ⅰ)2()2f x x a x¢=--, 1分 易知()f x ¢在1[,)2+ 上单调递减, ∴当1[,)2x ? 时,/1()()32f x f a ¢?-当3a ³时,()0f x ¢£在1[,)2+ 上恒成立.∴当3a ³时,函数()y f x =在1[,)2+ 上单调递减54．（广东省汕头市金山中学2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知函数3211()232f x x mx nx =+++;(1)如果函数()f x 有两个极值点1-和2,求实数m .n 的值;(2)若函数()f x 有两个极值点1x 和2x ,且1x ∈[1,1]-,2x ∈[1,)+∞, 求22(2)(1)m n -+-的最小值.【答案】解:(1)由22131)(23+++=nx mx x x f ,故n mx x x f ++='2)(, 函数)(x f 有两个极值点-1和2,故2)2)(1()(22--=-+=++='x x x x n mx x x f ∴1-=m ,2-=n .经检验,1-=m ,2-=n 满足题意.(2)由函数)(x f 有两个极值点1x 和2x ,且]1,1[1-∈x ,),1[2+∞∈x故有⎩⎨⎧<++='>+-=-'01)1(01)1(n m f n m f , 即⎩⎨⎧<++<--0101n m n m画出上述不等式组的可行域Ω如右图又22(2)(1)m n -+-表示点(,)m n 到点(2,1)A 距离的平方.而点(2,1)A 到可行域Ω的点的最小距离是点A 到点(0,1)B -的距离.AB ==所以, 22(2)(1)m n -+-的最小值是228AB ==,此时,0m =,1n =-;经检验,0m =,1n =-满足题意.55．（广东省湛江市第二中学2014届高三理科数学8月考试题 ）已知函数()21(0)2f x ax x c a =++≠.若函数()f x 满足下列条件:①()10f -=;②对一切实数x ,不等式()21122f x x ≤+恒成立. (Ⅰ)求函数()f x 的表达式;(Ⅱ)若21f t at ≤-+2（x ）对[]1,1x ∀∈-,[]1,1a ∀∈-恒成立,求实数t 的取值范围; (Ⅲ)求证:()()()*1112()122nn N f f f n n ++⋅⋅⋅+>∈+. 【答案】解:(Ⅰ)又()10f -=,所以0a b c -+=,即12a c +=又因为()21122f x x ≤+对一切实数x 恒成立, 即对一切实数x ,不等式2111()0222a x x c -++-≤,211022cx x c -++-≤也即恒成立.显然,当0c =时,不符合题意.当0c ≠时,应满足0114042c c c -<⎧⎪⎨⎛⎫∆=+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩,()2410c c >⎧⎪⎨-≤⎪⎩即 可得14c =,故14a c ==. 所以()2111424f x x x =++ (Ⅱ)由于[]()-11f x 在，上是增函数,()(1)=1f x f ∴的最大值为, [][]2()211,1,1,1f x t at a x ∴≤-+∈-∈-对恒成立.即:[]21211,1t at a ≤-+∈-对任意恒成立. []2021,1t at a ∴≤-∈-对任意恒成立22y t at a =-可把看作关于的一次函数，由[]1,1a ∈-知其图像是一段线段。