沪科版-数学-八年级上册-15.4角的平分线 课时训练
八年级数学沪科版上册【能力培优】专题训练：15.4角的平分线(含答案)
15.4角的均分线专题一角均分线知识的应用1. 如图， BD 是∠ A.BC 的角均分线， DE⊥ A.B 于点 E， DF ⊥ BC 于点 F ，S△A.BC=36cm2，?A.B=18cm， BC=12cm，求 DE 的长．2.已知：如图，在△ A.BC 中，∠ A.BC ＝3∠ C，∠ 1＝∠ 2， BE⊥ A.E.求证： A.C－ A.B＝ 2BE.A1 24M35EB C专题二作图与实质问题3.如图，点 B、 C 在∠ SA.T 的两边上，且 A.B=A.C.（1）请按以下语句用尺规画出图形（不写画法，保存作图印迹）①A.N⊥ BC，垂足为 N；②∠ SBC 的均分线交 A.N 延伸线于M；③连结 CM .（2）该图中有 __________对全等三角形 .SBA TC4. 夏令营组织学员到某一景区游乐，老师交给同Y轴5学一张画有直角坐标系和标有 A.、 B、C、D 四个景点4D地点的地图，指出：今日我们游乐的景点 E 是新开发B的，地图上还没来得及标明，但已知这个景点 E 知足：3A2①与景点 A.、C 和景点 B、D 所在的两条直线等距离；②到 B、C 两景点等距离 . 请你在平面直角坐标系中，1CX轴5画出景点 E 的地点，并注明坐标（用整数表示）.专题三角均分线中的研究题5. 已知：点O 到△ A.BC 的两边 A.B 、A.C 所在直线的距离相等，且OB＝OC.（ 1）如图 1，若点 O 在 BC 上，求证： A.B＝ A.C；A AOBO C B C图1图2（2）如图 2，若点 O 在△ A.BC 的内部，求证： A.B＝ A.C；（3）若点 O 在△ A.BC 的外面， A.B＝ A.C 建立吗？请绘图表示。
6. 如图，△ A.BC 中，∠ A.BC 与∠ A.CB 的均分线交于点I，过 I 作 DE∥ BC 交 BA.?于 D ，交A.C于E．（1）你能发现哪些结论？把它们一一列出来，并选择一个加以证明．（2）若 A.B=7， A.C=5，你能求△ A.DE 的周长吗？（ 3）作∠ A.BC 与∠ A.CB 的外角均分线，他们订交于点 O，过 O 点作 BC?的平行线分别交A.B、 A.C 的延伸线于 F、 G，你还可以发现什么结论？【知识重点】1. 角均分线上随意一点到角的两边的距离相等.2.在一个角的内部 , 到角的两边距离相等的点在这个角的均分线上.【温馨提示】1. 角均分线性质定理中的“角均分线上的点”是指角的均分线上的随意一点.2. 角均分线性质和判断定理中的“距离”是指点到直线的距离, 它是过角的均分线上任意一点向角的两边作垂线 , 该点与垂足间的距离 , 是指点到直线的垂线段的长 , 而不是该点与角的两边上随意一点的距离 .【方法技巧】1.利用角均分线的性质可证明两条线段相等,利用角均分线的判断可证明两个角相等,要注意不要再利用全等三角形证明.2. 碰到证明相关角均分线的问题时, 可作角的两边的垂线 , 证明垂线段相等 .参照答案1. 解: ∵ BD 是∠ A.BC 的角均分线， DE ⊥A.B ， DF ⊥ A.B ，∴ DE=DF ．∵ S △ A.BC =36cm 2， S △ A.BD = 1BC · DF ．2又∵ S △ A.BC = S △ A.BD +S △BCD ， A.B=18cm ， BC=12cm ，∴ 1 × 18DE + 1× 12DF =36，22∴ 9DE +6DF =36．又∵ DE=DF ，∴ 9DE +6DE =36，∴ DE=12cm ．52. 证明：延伸 BE 交 A.C 于点 M ，∵ BE ⊥ A.E ，∴∠ A.EB ＝∠ A.EM ＝90° .在△ A.BE 中，∵∠ 1＋∠ 3＋∠ A.EB ＝180°，∴∠ 3＝90°－∠1 .同理，∠ 4＝90°－∠2 .S∵∠ 1＝∠ 2，∴∠ 3＝∠ 4，∴ A.B ＝ A.M .∵ BE ⊥ A.E ，∴ BM ＝ 2BE ，∴ A.C － A.B ＝ A.C －A.M ＝BCM .NM∵∠4 是△ BCM 的外角，∴∠ 4＝∠ 5＋∠C .T∵∠ A.BC ＝3∠C ，∴∠ A.BC ＝∠ 3＋∠ 5＝∠ 4＋∠ 5，AC∴3∠ C ＝∠ 4＋∠ 5＝2∠5＋∠ C.∴∠ 5＝∠ C ，∴ CM ＝BM. ∴ A.C － A.B ＝ BM ＝ 2BE.3. （1）如图 ; （ 2）3.4. 如图 , 坐标为 (2,2).5. （ 1）过点 O 分别作 OE ⊥ A.B ，OF ⊥A.C ，E 、F 分别是垂足，由题意知，OE ＝ OF ， OB ＝OC ，∴ Rt △OEB ≌ Rt △ OFC , ∴∠ B ＝∠ C ，进而 A.B ＝ A.C.（ 2）过点 O 分别作 OF ⊥A.B ，OE ⊥ A.C ，F 、 E 分别是垂足，由题意知， OE ＝ OF .在 Rt △OFB 和 Rt △ OEC 中，∵ OF ＝OE ，OB ＝ OC ，∴ Rt △ OFB ≌ Rt △ OEC.∴∠ OBF ＝∠ OCE ，又由 OB ＝OC 知∠OBC ＝∠ OCB ，∴∠ A.BC ＝∠ A.CD ，∴ A.B ＝ A.C.（ 3）不必定建立。
沪科版数学八年级上册(基础练习)15.4《角的平分线》
15.4《角的平分线》基础练习第1课时《角平分线的尺规作图》一、选择题1．如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（）A．6 B．2 C．3 D．2．如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（）A．B．1 C．D．3．如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN=∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（）A．以点C为圆心，OD为半径的弧B．以点C为圆心，DM为半径的弧C．以点E为圆心，OD为半径的弧D．以点E为圆心，DM为半径的弧4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D．则∠ADC的度数为（）A．40°B．55°C．65°D．75°5．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC的长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，以大于EF长为半径作圆弧，两条弧交于点G，作射线AG交CD于点H，若∠C=120°，则∠AHD=（）A．120°B．30°C．150°D．60°6．下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA、OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C；③画射线OC，射线OC就是∠AOB的平分线．如图，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（）A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS7．如图，点A在点O的北偏西30°的方向上，AB⊥OA．根据已知条件和图上尺规作图的痕迹判断，下列说法正确的是（）A．点O在点A的南偏东60°方向上B．点B在点A北偏东30°方向上C．点B在点O北偏东60°方向上D．点B在点O北偏东30°方向上8．在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（）A．图2 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3二、填空题9．如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3．按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线AE；④以同样的方法作射线BF．AE交BF于点O，连接OC，则OC=．10．“直角”在初中几何学习中无处不在．课堂上李老师提出一个问题：如图1，已知∠AOB．判断∠AOB是否为直角（仅限用直尺和圆规）．小丽的方法如图2，在OA、OB上分别取点C，D，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交OB 的反向延长线于点E．若OE=OD，则∠AOB=90°．李老师说小丽的作法正确，请你写出她作图的依据：．11．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为．12．如图，在▱ABCD中按以下步骤作图：①以点B为圆心，BA长为半径作弧，交BC于点E；②分别以A，E为圆心，大于AE的长为半径作弧两弧交于点F；③连接BF，延长线交AD于点G．若∠AGB=30°，则∠C=°．13．小林在没有量角器和圆规的情况下，利用刻度尺和一副三角板画出了一个角的平分线，他的作法是这样的：如图，（1）利用刻度尺在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON；（2）利用两个三角板，分别过点M，N画OM，ON的垂线，交点为P；（3）画射线OP．则射线OP为∠AOB的平分线．请写出小林的画法的依据．三、解答题14．如图，D是△ABC中BC边上一点，∠C=∠DAC．（1）尺规作图：作∠ADB的平分线，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：DE∥AC．15．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°．（1）用尺规作图作∠ABC的角平分线，交AC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）．（2）求证：△BCD是等腰三角形．第2课时《角平分线的性质和判定》基础练习一、选择题1．如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，则DF的长度是（）A．2 B．3 C．4 D．62．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（）A．30°B．35°C．45°D．60°3．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=（）A．40°B．45°C．50°D．60°4．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD=2，AB=8，则△ABD的面积是（）A．6 B．8 C．10 D．125．如图，已知△ABC的周长是20，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积是（）A．20 B．25 C．30 D．356．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，点D是OB上的动点，若PC=6cm，则PD的长可以是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．7 cm7．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=10，DE=2，AC=6，则AB长是（）A．5 B．4 C．3 D．28．如图，点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，则以下结论错误的是（）A．AD+BC=AB B．∠AOB=90°C．与∠CBO互余的角有2个D．点O是CD的中点二、填空题9．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于点E，若AB=5，BC=6，S△ABC=9，则DE 的长为．10．如图：在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，若BD=6，则CD=．11．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有处．12．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是．13．如图，AB∥CD，O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB 与CD之间的距离等于．三、解答题14．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．15．阅读并理解下面的证明过程，并在每步后的括号内填写该步推理的依据．已知：如图，AM，BN，CP是△ABC的三条角平分线．求证：AM、BN、CP交于一点．证明：如图，设AM，BN交于点O，过点O分别作OD⊥BC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F．∵O是∠BAC角平分线AM上的一点（），∴OE=OF（）．同理，OD=OF．∴OD=OE（）．∵CP是∠ACB的平分线（），∴O在CP上（）．因此，AM，BN，CP交于一点．参考答案第1课时1．解：过点M作ME⊥OB于点E，由题意可得：OP是∠AOB的角平分线，则∠POB=×60°=30°，∴ME=OM=3．故选：C．2．解：∵由题意可知CF是∠BCD的平分线，∴∠BCE=∠DCE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠DCE=∠E，∠BCE=∠AEC，∴BE=BC=3，∵AB=2，∴AE=BE﹣AB=1，故选：B．3．解：根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．故选：D．4．解：根据作图方法可得AG是∠CAB的角平分线，∵∠CAB=50°，∴∠CAD=∠CAB=25°，∵∠C=90°，∴∠CDA=90°﹣25°=65°，故选：C．5．解：由作法得AH平分∠BAC，则∠CAH=∠BAH，∵AB∥CD，∴∠BAC=180°﹣∠C=180°﹣120°=60°，∴∠CAH=∠BAC=30°，∴∠AHD=∠CAH+∠C=30°+120°=150°．故选：C．6．解：由作图可得OD=OE，EC=DC，而OC=OC，所以根据“SSS”可判定△OCD和△OCE全等．故选：C．7．解：如图由题意：∠AOD=30°，∠COD=90°，∴∠AOC=120°，由作图可知，OB平分∠AOC，∴∠AOB=∠AOC=60°，∴∠DOB=30°，∴点B在点O北偏东30°方向上，故选：D8．解：根据基本作图可判断图1中AD为∠BAC的平分线，图2中AD为BC边上的中线，图3中AD为∠BAC的平分线．故选：C．9．解：过点O作OD⊥BC，OG⊥AC，垂足分别为：D，G，由题意可得：O是△ACB的内心，∵AB=5，AC=4，BC=3，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB=90°，∴四边形OGCD是正方形，∴DO=OG==1，∴CO=．故答案为：．10．解：由作图可知，CE=CD，∵OE=OD，∴CO⊥ED（等腰三角形的三线合一），∴∠COD=90°，故答案为等腰三角形的三线合一．11．解：根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，因此2a+b+1=0，即：2a+b=﹣1．故答案为：2a+b=﹣1．12．解：由题意：∠GBA=∠GBE，∵AD∥BC，∴∠AGB=∠GBE=30°，∴∠ABC=60°，∵AB∥CD，∴∠C=180°﹣∠ABC=120°，故答案为12013．解：有画法得OM=ON，∠OMP=∠ONP=90°，则可判定Rt△OPM≌Rt△OPN，所以∠POM=∠PON，即射线OP为∠AOB的平分线．故答案为斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线．14．（1）解：如图，（2）证明：∵DE平分∠ADB，∴∠ADE=∠BDE，∵∠ADB=∠C+∠DAC，而∠C=∠DAC，∴2∠BDE=2∠C，即∠BDE=∠C，∴DE∥AC．15．（1）解：如图，BD为所作；（2）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣36°）=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=∠ABC=36°，∴∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°，∴∠C=∠BDC，∴△BCD为等腰三角形．第2课时1．解：∵BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF=6，故选：D．2．解：作MN⊥AD于N，∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°，∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，∴MN=MC，∵M是BC的中点，∴MC=MB，∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，∴∠MAB=∠DAB=35°，故选：B．3．解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD=x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，∴PF=PM，∵∠BPC=40°，∴∠ABP=∠PBC=∠PCD﹣∠BPC=（x﹣40）°，∴∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）=80°，∴∠CAF=100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP=∠PAC=50°．故选：C．4．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵AB=8，CD=2，∵AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°，∴DE=CD=2，∴△ABD的面积=AB•DE=×8×2=8．故选：B．5．解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OE=OF=OD=3，∵△ABC的周长是20，OD⊥BC于D，且OD=3，∴S△ABC=×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF=×（AB+BC+AC）×3=×20×3=30，故选：C．6．解：作PD⊥OB于D，∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OA，∴PD=PC=6cm，则PD的最小值是6cm，故选：D．7．解：如图：过D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DE=2，∴DF=DE=2，∵S△ABC=10，∴AB×DE+AC×DF=10，∴×AB×2+6×2=10，∴AB=4，故选：B．8．解：∵点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，∴AD=AE，BC=BE，∵AB=AE+BE，∴AB=AD+BC，故A选项结论正确；在Rt△AOD和Rt△AOE中，，∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL），∴OD=OE，∠AOE=∠AOD，同理可得OC=OE，∠BOC=∠BOE，∴∠AOB=×180°=90°，故B选项结论正确；与∠CBO互余的角有∠COB，∠EOB，∠OAD，∠OAE共4个，故C选项结论错误；∵OC=OD=OE，∴点O是CD的中点，故D选项结论正确．故选：C．9．解：作DF⊥AB于F，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE=DF，∴×AB×DF+×BC×DE=S△ABC，即×5×DE+×6×DE=9，解得，DE=，故答案为：．10．解：∵∠C=90°，∠BAC=60°，∴∠B=30°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD=30°，∴AD=BD=6，∵∠C=90°，∠CAD=30°，∴CD=AD=3，故答案为：3．11．解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，∴△ABC内角平分线的交点满足条件；如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，∴PE=PF，PF=PD，∴PE=PF=PD，∴点P到△ABC的三边的距离相等，∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；综上，到三条公路的距离相等的点有4个，∴可供选择的地址有4个．故答案为：4．12．解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，∴OE=OD，OD=OF，即OE=OF=OD=4，∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC=×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD=×4×（AB+AC+BC）=×4×21=42，故答案为：42．13．解：过点O作OF⊥AB于F，作OG⊥CD于G，∵O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC，∴OE=OF，OE=OG，∴OE=OF=OG=2，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°，∴∠EOF+∠EOG=（180°﹣∠BAC）+（180°﹣∠ACD）=180°，∴F、O、G三点共线，∴AB与CD之间的距离=OF+OG=2+2=4．故答案为：4．14．证明：在△ABD和△CBD中，AB=BC（已知），∠ABD=∠CBD（角平分线的性质），BD=BD（公共边），∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB（全等三角形的对应角相等）；∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN（角平分线的性质）．15．证明：设AM，BN交于点O，过点O分别作OD⊥BC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F．∵O是∠BAC角平分线AM上的一点（已知），∴OE=OF（角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等）．同理，OD=OF．∴OD=OE（等量代换）．∵CP是∠ACB的平分线（已知），∴O在CP上（角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．因此，AM，BN，CP交于一点；故答案为：已知；角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等；等量代换；已知；角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．。
沪科版数学8年级上册学案15.4 第2课时 角平分线的性质及判定
15.4 角的平分线第2课时角平分线的性质及判定【学习目标】1.理解角平分线的性质定理。
（重点）2.能运用角平分线的性质定理去解决问题。
（是重点也是难点）3.理解角平分线的性质定理的逆定理，会用该定理去解题（重点）。
4.理解三角形的三个内角的平分线相交于一点，该点到三角形三边的距离相等。
【学习过程】一、学前准备复习旧知：1.叫做角平分线；2.怎样用圆规和直尺作角平分线？3．角是对称图形，是它的对称轴。
4.角平分线的性质定理是。
5.这个定理的题设是，结论是。
6.你能写出上述定理的逆命题吗？二、合作探究㈠操作：1.作∠AOB的平分线OM，在OM上取点P，过点P作PC⊥OA，PD⊥OB，C、D 是垂足。
2.量一量：PC、PD的长分别是多少？你有什么发现？3.猜一猜：角平分线上的点具有什么性质？㈡根据你猜想的结论，写出这个问题的已知、求证、证明。
㈢形成结论：角平分线上的点到距离相等。
㈣例题解析1.△ABC中，AD是平分线，BD=CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，E、F是垂足。
求证：EB=FC2．如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F,FG⊥AB，垂足为G。
求证：CE=FGG FE D CBA根据所写的逆命题画出图形，写出、已知、求证并尝试证明：总结：在一个角的内部，的点在这个角的平分线上。
阅读教材P145的例题，完成下列问题已知：△ABC中，∠A、∠B的平分线AD、BE相交于点P。
求证：CP平分∠ACB本例说明，三角形三个内角的平分线一点，这点到的距离相等。
【学习检测】一、基础性练习1.已知：在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.判断下列结论是否正确：⑴DE=DF （）⑵BD=CD （）⑶AD上任一点到AB、AC的距离相等。
（）⑷AD上任一点到点B、C的距离相等。
（）2. 已知：在△ABC中，AD是平分线，BD=CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，E、F是垂足。
沪科版数学八年级上册专题训练15.4 角的平分线
15.4 角的平分线1. 如图，点P 是∠BAC 内一点，且点P 到AB ，AC 的距离相等，则△PEA ≌△PFA 的理由是( )A ．HLB ．AASC ．SSSD ．ASA2. 到三角形三边距离相等的点是( )A ．三边垂直平分线的交点B ．三条高所在直线的交点C ．三条角平分线的交点D ．三条中线的交点3. 如图，△ABC 的三边AB ，BC ，AC 的长分别是20 cm ，30 cm ，40 cm ，点O 为△ABC 三内角平分线的交点，则S △AOB ∶S △BOC ∶S △AOC 等于( )A ．1∶1∶1B ．1∶2∶3C ．2∶3∶4D ．3∶4∶54．作∠AOB 的平分线时，以点O 为圆心，某一长度为半径作弧，与OA ，OB 分别相交于点C ，D ，然后分别以点C ，D 为圆心，适当的长度为半径作弧，使两弧相交于一点，则这个适当的长度应( )A ．大于12CDB ．等于12CDC ．小于12CD D ．以上答案都不对 5. 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图，则能说明∠AOC ＝∠BOC 的依据是( )A ．SSSB ．ASAC ．AASD ．角平分线上的点到角两边距离相等6. 如图，OP 平分∠MON ，PA ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上一个动点，若PA ＝3，则PQ 的最小值为( )A. 3 B．2 C．3 D．2 37. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DE＝2，AC＝3，则△ADC的面积是( )A．3 B．4 C．5 D．68. 如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则∠P＝ .9．如图，O是△ABC内一点，OD⊥BC于点D，OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，且OD＝OE＝OF，若∠A＝70°，则∠BOC＝ .10. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB＝6 cm，AC＝8 cm，则S△ABD∶S△ACD ＝，BD∶CD＝ .11. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，S△ABC ＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是 .12. 如图，在四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且AO平分∠BAC.求证：OC 平分∠ACD .13. 如图，已知OD 平分∠AOB ，P 是OD 上一点，在OA ，OB 边上取OA ＝OB ，PM ⊥BD ，PN ⊥AD ，垂足分别为M ，N .求证：PM ＝PN .14. 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，且CD ＝CB ，∠ABC＋∠ADC ＝180°.求证：AE ＝12(AB ＋AD )．参考答案1. A2.C3.C4.A5.A6.C7.A8.90° 9.120° 10.3∶4 3∶4 11.312.证明：作OE ⊥AC 于E ，得OE ＝OC .又∵OC ＝OD ，∴OE ＝OD ，∴OC 平分∠ACD.13.证明：∵OD 平分∠AOB ，∴∠1＝∠2.又∵OA ＝OB ，OD ＝OD ，∴△AOD ≌△BOD ，∴∠3＝∠4.又∵PM ⊥DB ，PN ⊥DA ，∴PM ＝PN.14.证明：过点C 作CF ⊥AD ，交AD 延长线于点F ，易证△CEB ≌△CFD ，△AEC ≌△AFC. ∴DF ＝BE ，AF ＝AE .又DF ＝AF －AD ＝AE －AD ，BE ＝AB －AE ，∴AB －AE ＝AE －AD ，即AE ＝ 12(AB ＋AD ).。
八年级数学上册 15.4 角的平分线同步导练1 (新版)沪科版
15.4角的平分线（1）基础导练1. 如图，已知∠B=∠C，AD平分∠BAC，用来直接证明△ABD≌△ACD的依据是（）A. ASAB.SASC.AASD.SSS2. 如图：将一张矩形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠（F在BC边上，不与B、C重合）使得C点落在矩形ABCD内部的E处，FH平分∠BFE，则∠GFH的度数α满足（）A．90°＜α＜180°B．α=90°C．0°＜α＜90°D．α随着折痕位置的变化而变化3.如图所示，在ΔABC中，∠B=∠D=90°，CB=CD，则AC是∠BAD的________ .4. 已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线，不写作法，保留作图痕迹.能力提升5. 如图，CD ⊥AB 于D 点，BE ⊥AC 于E 点，BE ，CD 交于O 点，OB=OC ，求证：AO平分∠BAC ．6.已知：如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC 于F,且DB=DC, 求证：BE=CF.CF A D B E ┐ ┐参考答案1. C2. B3. 平分线4. 略5. 证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=∠AEB=∠CEB=90°．又∵∠BOD=∠COE在△BOD和△COE中，∠BDC=∠CEB,∠BOD=∠COE,OB=OC,∴△BOD≌△COE（AAS）．∴OD=OE．∴AO平分∠BAC．6.证明：∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵DB=DC,DE=DF,∴Rt△BDE≌Rt△CDF,∴BE=CF.。
沪科版数学八年级上册15.4角的平分线 练习1
课后训练1．如图，点P是∠BAC的平分线AD上的一点，PE⊥AC于点E，PE＝3，那么点P到AB的距离是()．(第1题图)A．3 B．4 C．5D．62．以下结论正确的有()．①如果(x－1)(x－2)＝0，那么x＝1；②在△ABC中，假设∠B是钝角，那么∠A，∠C一定是锐角；③如果两个角相等，那么两个角互为对顶角；④如果在一个角内的点，到这个角的两边距离相等，那么这个点在角的平分线上．A．1个B．2个C．3个D．4个3．(四川巴中中考)如下图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在()．(第3题图)A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三边的中垂线的交点C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点4．如图，△ABC，求作一点P，使P到∠BAC的两边的距离相等，且P A＝PB.以下确定P点的方法正确的选项是()．(第4题图)A．P为∠A，∠B两角平分线的交点B．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点C．P为AC，AB两边上的高的交点D．P为AC，AB两边的垂直平分线的交点5．Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，假设BC＝32，且BD∶CD＝9∶7，那么D 到AB的距离为()．A．18B．16 C．14 D．126．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD是∠ABC的角平分线，假设AD＝6，BC＝10，那么△BDC的面积为()．(第6题图)A．20 B．30 C．60 D．1207．如图，点P到∠AOB两边的距离相等，假设∠POB＝30°，那么∠AOB＝________度．(第7题图)8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于E，且DE＝3 cm，BD＝5 cm，那么BC＝__________ cm.(第8题图)9．如图，点C是∠AOB的平分线上一点，点P，P′分别在边OA，OB上．如果要得到OP＝OP′，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能的序号________．①∠OCP＝∠OCP′；②∠OPC＝∠OP′C；③PC＝P′C；④PP′⊥OC.(第9题图)10．如图，D，E，F分别是△ABC的三边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC.(第10题图)11．如图，△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，DE⊥AB于E，且AE＝EB，DE＝DC，求∠B的度数．(第11题图)12．(广东珠海中考)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD.(1)用尺规作图方法，作∠DAB的角平分线AF(只保存作图痕迹，不写作法和证明)；(2)假设AF 交CD 边于点E ，判断△ADE 的形状(只写结果)．(第12题图)13．如图，AD ∥BC ，∠B ＝90°，E 是AB 的中点，且DE 平分∠ADC .求证：CE 平分∠BCD .(第13题图)答案与解析1．A 解析：根据角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，可知点P 到AB 的距离等于PE 的长．2．B 解析：正确的有②④.3．C 解析：到草坪三条边的距离相等的点是三条角平分线的交点，应选C.4．B 解析：由点P 到∠BAC 的两边的距离相等知，点P 在∠BAC 的平分线上；由P A ＝PB 知，点P 在AB 的垂直平分线上，应选B.5．C 解析：因为BC ＝32，BD ∶CD ＝9∶7，所以CDAD 是∠BAC 的角平分线，D 在AD 上，DC ⊥AC ，所以点D 到AB 的距离等于CD 的长，应选C.6．B 解析：如图，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E .(第6题图)∵BD 是∠ABC 的角平分线，AD ⊥AB ，DE ⊥BC ，∴DE ＝AD ＝6.∴111063022BDC S BC DE =⨯⨯=⨯⨯=.应选B.7．60解析：如图因为点P到∠AOB两边的距离相等，∠POB＝30°，所以由角的平分线性质定理的逆定理得，∠AOP＝∠B OP＝30°，∴∠AOB＝60°.8．8解析：由角平分线的性质可知DE＝CD，所以BC＝BD＋CD＝BD＋DE＝5＋3＝8 cm.9．①②④解析：假设分别添加条件①②，均可判定△POC≌△P′OC，从而有OP＝OP′；假设添加条件④，那么可判定△POQ≌△P′OQ，从而有OP＝OP′；假设添加条件③，那么△POC与△P′OC不一定全等，因而不能判定OP和OP′相等，故此题答案为①②④.10．证明：如图，过D作DH⊥AB于H，DG⊥AC于G.(第10题图)∵S△DCE＝S△DBF，∴1122CE DG BF DH⋅=⋅.∵CE＝BF，∴DG＝DH.∴点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC.11．解：∵DC⊥AC，DE⊥AB，且DE＝DC，∴∠1＝∠2.∵DE⊥AB于E，AE＝EB，∴DE为AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠1＝∠B. ∴∠B＝∠1＝∠2.又∵在Rt△ABC中，∠B＋∠BAC＝90°，∴3∠B＝90°.∴∠B＝30°.12．解：(1)如图，射线AF即为所求．(2)△ADE是等腰三角形．(第12题图)解析：(1)①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AD，AB于点G，H；②分别以G，H为圆心，大于12GH的长为半径画弧，两弧交于点F；③画射线AF，射线AF即为所求．(2)因为AB∥CD，所以∠BAE＝∠DEA.又∠BAE＝∠DAE，所以∠DEA＝∠DAE，所以DA＝DE.所以△ADE 是等腰三角形．(第13题图)13．证明：如图，作EF⊥CD，垂足为F.∵∠B＝90°，AD∥BC，∴∠A＝90°.∴AD⊥AE.∵EF⊥CD，DE平分∠ADC，∴AE＝FE.又∵E为AB的中点，∴AE＝BE.∴BE＝FE.∴CE平分∠BCD.。
【水印已去除】【培优练习】《角的平分线》(数学沪科版八上)【含答案】
15.4《角的平分线》培优练习第1课时《角平分线的尺规作图》一、选择题1．已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB作法的合理顺序是（）①作射线OC；②在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE；③分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①2．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线②∠ADC=60°③△ABD是等腰三角形④点D到直线AB的距离等于CD的长度．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题3．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OM、ON，使OM=ON；再分别以点M、N圆心，以大于MN长为半径作圆弧，两弧交于点E，过点E作EC⊥OA于点C．若EC=2，则点E到直线OB的距离是．4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心，大于MN长的一半为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长，交BC于点D，则下列说法中，正确的有．（填写序号）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．三、解答题5．如图，在△ABC中，∠C=90°，P是AB上任意一点（P与A不重合），PQ⊥BC，垂足为D．（1）操作：作∠BAC的平分线AE交PQ于点E（保留作图痕迹，不用写作法）；（2）图中是否存在与AP相等的线段？若存在，请加以证明，若不存在，请说明理由．6．如图所示，在△ABC中，∠ABC=∠ACB．（1）尺规作图：过顶点A，作△ABC的角平分线AD；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在AD上任取一点E，连接BE、CE．求证：BE=CE．第2课时一、选择题1．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（）A．∠ACD=∠B B．CH=CE=EF C．AC=AF D．CH=HD2．如图，△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为40、50、60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：2：3 B．2：3：4 C．3：4：5 D．4：5：6二、填空题3．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，垂足为A，交CD于D，若AD=8，则点P到BC的距离是．4．如图，已知∠MON=80°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．当AB⊥OM，且△ADB有两个相等的角时，∠OAC的度数为．三、解答题5．已知：△ABC内部一点O到两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC．求证：AB=AC．参考答案第1课时1．解：角平分线的作法是：在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE；分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C；作射线OC．故其顺序为②③①．故选：C．2．解：根据基本作图，所以①正确，因为∠C=90°，∠B=30°，则∠BAC=60°，而AD平分∠BAC，则∠DAB=30°，所以∠ADC=∠DAB+∠B=60°，所以②正确；因为∠DAB=∠B=30°，所以△ABD是等腰三角形，所有③正确；因为AD平分∠BAC，所以点D到AB与AC的距离相等，而DC⊥AC，则点D到直线AB的距离等于CD的长度，所以④正确．故选：D．3．解：∵在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OM、ON，使OM=ON；再分别以点M、N圆心，以大于MN长为半径作圆弧，两弧交于点E，∴E点在∠AOB的平分线上，∵过点E作EC⊥OA于点C，EC=2，∴点E到直线OB的距离是：2．故答案为：2．4．①证明：连接NP，MP，在△ANP与△AMP中，∵，∴△ANP≌△AMP，则∠CAD=∠BAD，故AD是∠BAC的平分线，故此选项正确；②证明：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=∠CAB=30°，∴∠3=90°﹣∠2=60°，∠ADC=60°，故此选项正确；③证明：∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上，故此选项正确；④证明：∵在Rt△ACD中，∠2=30°，∴CD=AD，∴BC=BD+CD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD，∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD，∴S△DAC：S△ABC=1：3，故此选项正确；故答案为：①②③④．5．解：（1）∠BAC的平分线如图所示；（2）存在．PA=PE．理由：∵PD⊥BC，∴∠C=∠PDB=90°，∴AC∥PE，∴∠CAE=∠AEP，∵∠EAB=∠EAC，∴∠PAE=∠PEA，∴PA=PE．6．（1）解：如图，AD为所作；（2）证明：如图，∵∠ABC=∠ACB，∴AC=AB，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=CD，即AD垂直平分BC，∴EB=EC．第2课时1．解：A、∵∠B和∠ACD都是∠CAB的余角，∴∠ACD=∠B，故正确；B、∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴EF∥CD∴∠AEF=∠CHE，∴∠CEH=∠CHE∴CH=CE=EF，故正确；C、∵角平分线AE交CD于H，∴∠CAE=∠BAE，又∵∠ACB=∠AFE=90°，AE=AE，∴△ACE≌△AEF，∴CE=EF，∠CEA=∠AEF，AC=AF，故正确；D、点H不是CD的中点，故错误．故选：D．2．解：作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，∵三条角平分线交于点O，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，∴OD=OE=OF，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=AB：BC：CA=4：5：6，故选：D．3．解：过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，PA⊥AB，∴PD⊥CD，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，∴PA=PE，PD=PE，∴PE=PA=PD，∵PA+PD=AD=8，∴PA=PD=4，∴PE=4．故答案为：44．解：如图1，∵∠MON=80°，OE平分∠MON，∴∠MOE=∠MON=40°，又∵AB⊥OM，∴∠OAB=90°，∴∠1=90°﹣∠MOE=50°，①当∠1=∠2=50°时，∠OAC=∠OAB﹣∠2=40°；②当∠1=∠3=50°时，∠2=180°﹣∠1﹣∠3=80°，∴∠OAC=90°﹣∠2=10°；③当∠2=∠3时，∵∠1=50°，∴∠2=∠3==65°，∴∠OAC=∠OAB﹣∠2=25°；④如图2，当点D在射线BE上时，因为∠ABE=130°，且三角形的内角和为180°，所以只有∠BAD=∠BDA，此时x=115°，C不在ON上，舍去；综上，∠OAC的度数为10°、25°、40°，故答案为：10°、25°、40°．5．证明：在Rt△BOF和Rt△COE中，，∴Rt△BOF≌Rt△COE，∴∠FBO=∠ECO，∵OB=OC，∴∠CBO=∠BCO，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC．。
沪科版八年级数学上册 15.4 角的平分线 同步测试卷
沪科版八年级数学上册 15.4 角的平分线 同步测试卷1 / 11沪科版八年级数学上册15.4角的平分线测试卷一、选择题（本大题共10小题，共40分）1. 如图，点O 在△ABC 内，且到三边的距离相等．若∠BOC ＝120°，则∠A 的度数为（）A.B.C.D.2. 如图， △ 中， 于点，则DE 的长是A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm3. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF AB ，DE AC ，若AB =8cm ，AC =6cm ，S △ABC =14cm 2，则DF 的长为（ ）A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm4. 如图所示，OP 是 的平分线，点P 到OA 的距离 ，点N 是OB 上的任意一点，则线段PN 的取值范围为 ( )A.B.C.D.5.如图，在△ABC中，AD BC，垂足为D，AD＝BD＝CD，则下列结论错误的是( )A. B. AD平分 C. D.6.已知，如图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，CD=2cm，则点D到AB的距离为（）A.B. 3cmC.D. 2cm7.如图，在△ABC中，∠C=90°，O为△ABC的三条角平分线的交点，OD BC，OE AC，OF AB，点D、E、F分别是垂足，且AB=10cm，BC=8cm，CA=6cm，则点O到边AB的距离为A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm8.如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（）A. 6B. 12C. 32D. 649.下列说法中正确的个数是（）（1)三角形三条高线的交点叫做三角形的重心；（2）三角形具有稳定性；沪科版八年级数学上册 15.4 角的平分线 同步测试卷3 / 11（3）在角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上；（4）有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等；（5）等腰三角形的角平分线，中线，高线互相重合，简称三线合一。
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15.4《角的平分线》水平测试 A 卷一、选择题（每题5分，共25分）1.如图1，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，则下列结论中错误的是（ ） A. PC=PD B.OC=OD C.∠CPO=∠DPO D.OC=PC2.如图2，△ABC 中，AB=AC ，AD 平分∠B AC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E 、F 为垂足，则下列四个结论：（1）AD 上任意一点到点C 、D 的距离相等；（2）AD 上任意一点到AB 、AC 的距离相等；（3）AD⊥BC 且BD ＝CD ；（4）∠BDE=∠CDF,其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3．如图，L1.L2.L3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（ ）A. 一处B. 二处C. 三处D.四处 4．下列说法中，错误的是 （ ）A.三角形任意两个角的平分线的交点在三角形的内部B. 任意两个角的平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等C.三角形两个角的平分线的交点到三边的距离相等D.三角形两个角的平分线的交点在第三个角的平分线上 5.与相交两直线距离相等的点在（ ） A.一条直线上B. 一条射线上C.两条相互垂直的直线上D.两条相互垂直的射线上 二、填空题（每题5分，共25分） 1.如图4，已知AB ∥CD ，OA 平分∠B AC ，OC 平分∠AOD ，OE ⊥AC 于点E ，且OE=2，则两平行线间的距离为2.如图5，在△ABC 中，∠C ＝错误！不能通过编辑域代码创建对象。
，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC=20，BD ︰CD=5︰3，则D 到AB 的距离DE 是3.如图6，△ABC 是等腰直角三角形，∠A ＝错误！不能通过编辑域代码创建对象。
，BD 是角平分线，DE ⊥BC ，若BC ＝10，则△DEC 的周长为4.如图7，已知在△ABC 中，∠A BC 与∠ACB 的平分线交于点O ，若∠A ＝错误！不能通过编辑域代码创建对象。
，则∠BOC ＝5.三角形三条角平分线相交于一点，且这一点到 的距离相等．三、解答题（每题10分，共50分）1.已知：如图，AD 为△ABC 的角平分线，DE ⊥ACAC PD BO 图1AD B C FE 图2L1L2L3图3A BO E CD图4AEB C D 图5AB DCE 图6CAOB图7A于点E ，DF ⊥AB 于点F ，EF 交AD 于M ．求证：AM ⊥EF2.如图，CF ⊥AB 于点F ，BE ⊥AC 于点E,且CF 、DE 交于点D ，BD=CD ．求证：AD 平分∠BAC3.已知：如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且BD=CD ． 求证：BE=CF4.已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AP 平分∠DAB ，BP 平分∠ABC ，点P 恰在DC 上．⑴求证：AP ⊥BP;⑵若∠D ＝错误！不能通过编辑域代码创建对象。
，猜想AB 、AD 、BC 之间有何数量关系？请证明你的结论．5.如图，已知△ABC 中，∠C ＝2∠B ，AD 是角平分线． 求证：AB=AC+CDA B CD FE D E B AF CA D P CB A《角的平分线》单元测试B 卷一．选择题（每题5分，共25分）1．如图1所示，△ABC 中，∠C ＝错误！不能通过编辑域代码创建对象。
，BE 平分∠ABC ，ED ⊥AB 于D ，若AC ＝3cm ，则AE+DE 等于（ ）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm2．如图2所示，△ABC 中，∠C ＝错误！不能通过编辑域代码创建对象。
，AC=BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，若AB=6cm ，则△DEB 的周长为（ ）A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm3．如图3所示，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，则下列结论错误的是（）A.DE=DFB.AD 上任意一点到E 、F 点的距离相等C.AE=AFD.BD=DC4．如图4所示，MP ⊥NP ，MQ 为△MNP 的角平分线，MT ＝MP ，连接TQ ，则下列结论中，不正确的是（ ）A.TQ=PQB.∠MQT=∠MQPC. ∠QTN = 错误！不能通过编辑域代码创建对象。
D. ∠NQT=∠MQT5．如图5所示，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，若∠DAB 的角平分线AE 交CD 于E ，连接BE ，且BE 恰好平分∠ABC ，则AB 的长与AD+BC 的长的大小关系是（ ）A.AB ＞AD+BCB.AB=AD+BCC.AB ＜AD+BCD.无法确定二．填空题（每题5分，共25分）1．到一个角的两边距离相等的点在 2．△ABC 内有一点P ，点P 到三边的距离都相等，则点P 的作法是 3．已知：如图6，△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线BF 、CF 相交于点F ，连接AF ，则∠1和∠2的大小关系是4．如图7，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，M 为OP 上任一点，连接CM 、DM ，则有CM 和DM 的大小关系是5．如图8，BP 、CP 分别是△ABC 的外角∠CBD 、∠ECB 的平分线．小明经过分析后，得出了以下结论：①点P 在∠BAC 的平分线上；②BP=CP ；③点P 到AD 、AE 、BC 的距离相等．把你认为正确的结论的序号写在横线上C E AD B 图1CDB E A 图2AF C EB D 图3M P N T 图4B AE D C 图5F CEO M PC A A C E PD B三．解答题（每题10分，共50分）1．如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB ＝错误！不能通过编辑域代码创建对象。
，D 是AC 上一点，且AE 垂直BD 的延长线于E ，又AE ＝错误！不能通过编辑域代码创建对象。
BD ．求证：BD 平分∠ABC2．如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，AD=C D,BD 平分∠ABC ．求证：∠A ＋∠C ＝错误！不能通过编辑域代码创建对象。
3.如图，AB=AC,CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，DC 、BE 相交于F ．求证：AF 平分∠BAC4.如图，在△ABC 中，∠C 的平分线交AB 于E ，自E 作BC 的平行线交AC 于点F ，交∠C 的外角平分线于点G ．求证：EF=FG5．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，AD 平分∠BAC ，在DB 上取点M ，使MD=DC ，作MN ∥AB ，交AD 于点N ，MN 与AC 的大小关系如何？请说明理由．AEC BD A D C BA E C FD BA EBC F G AB N《角的平分线》单元测试附加题已知：如图①所示，在△ABC 中，已知∠B 和∠C 的平分线相交于点F ，过点F 作DE ∥BC ，交AB 于点D,交AC 于点E ．求证：DE=BD+CE ．如图②所示，若F 是∠B 的平分线与∠C 的外角平分线的交点，其他条件不变． 求证：DE=BD －CE若F 是∠B 和∠C 外角平分线的交点，其他条件不变． 求证：DE=BD ＋CE答案与提示ADE F B C A F C E D B ①②A卷一．选择题1. A 2.C 3. D 4. B 5.C二．填空题1.4 2. 错误！不能通过编辑域代码创建对象。
3. 10 4. 错误！不能通过编辑域代码创建对象。
5.三角形三边三．解答题1．先证△AFD≌△AED,得AF=AE,再证△AFM≌△AEM得∠AMF=∠AME.又因为∠AMF＋∠AME＝错误！不能通过编辑域代码创建对象。
，所以∠AMF=∠AME＝错误！不能通过编辑域代码创建对象。
．2．先证△ECD≌△FBD,得ED=FD，又由FC⊥AB,BE⊥AC可得结论．3．利用角平分线的性质可得DE=DF,再证△BDE≌△CDF．4．（1）略（2）AB=AD+BC,提示：过点P 作AB的垂线．5．在AB上截取AE=AC，过点E作EF⊥BD，垂足为F．先证△AED≌△ACD再证△EBF≌△EDF．B卷一．选择题1.B2.B3.D4.D5.B二．填空题1．这个角的角平分线上2．作两内角平分线，交点即为所求3．∠1＝∠24．MC=MD5．①、③三．解答题1．提示：延长AE、BC相交于点F，可证△ACF≌△BCD，得AF=BD、AE=EF．2．提示：在BC上截取BE,使BE=AB,连接DE.证△ABD≌△EBD3．提示：证△DAC≌△EAB 和△FAD≌△FAE4．提示：分别证EF=FC;FC=FG得EF=FG5．MN=AC；提示：过点C作CE∥MN，交AD的延长线于点E．证：△MDN≌△CDE附加题提示：利用平行线和角平分线证DF=BD,EF=CE得DE=DF+EF=BD+CE；(1)(2)类似得证．。