最新人教版八年级数学上册课件 14.3.2 第2课时 运用完全平方公式因式分解
人教版八年级上册数学14.3.2公式法第2课时利用完全平方公式分解因式课件
(2) y 2 2 y 1 x2
(2)原式=(y 1)2 x2
=(y 1 x)(y 1 x)
(3) 4(2a b)2 4(2a b) 1
(3)原式=[2(2a b)]2 2 2(2a b) 112
=(4a 2b 1)2
6.计算： (1) 38.92 2 38.9 48.9 48.92
法叫做公式法.
【课本P119 练习 第2题】
强化练习
分解因式：
（1）x2+12x+36； =(x+6)²
（2）-2xy-x2-y2； =-(x+y)²
（3）a2+2a+1.
=(a+1)²
【课本P119 练习 第2题】
强化练习
分解因式：
（4）4x2-4x+1； =(2x-1)²
（5）ax2+2a2x+a3； =a(x+a)²
B. x( x 2 y)2
D. x(4 xy 4 y 2 x2)
1
3.若m=2n+1，则m²-4mn+4n²的值是________.
4.若关于x的多项式 x²-8x+m²是完全平方式，则m 的
±4
值为________.
5.把下列多项式因式分解.
(1) x2 12 x 36
解：(1)原式=x2 2 x 6 62
2
（4 x+3）；
2
2
(2) x 2 4 xy 4 y 2
( x 2 4 xy 4 y 2 )
[ x 2 2 x 2 y (2 y)2 ]
例6 分解因式：
2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思第14章14.3.2 公式法(第2课时)
第十四章整式的乘法与因式分解14.3 因式分解14.3.2 公式法第2课时一、教学目标【知识与技能】1.在掌握了因式分解意义的基础上，会运用平方差公式和完全平方公式对比较简单的多项式进行因式分解.【过程与方法】1.经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程,感受逆向思维的意义,掌握因式分解的基本步骤.2.在运用公式法进行因式分解的同时，培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力.【情感、态度与价值观】1.培养学生逆向思维的意识,同时培养学生团队合作、互帮互助的精神.2.进一步体验“整体”的思想，培养“换元”的意识.二、课型新授课三、课时第2课时，共2课时。
四、教学重难点【教学重点】运用完全平方公式法进行因式分解.【教学难点】观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解.五、课前准备教师：课件、直尺、矩形图片等。
学生：三角尺、练习本、铅笔、钢笔。
六、教学过程（一）导入新课我们知道，因式分解与整式乘法是反方向的变形，我们学习了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？（出示课件2）（二）探索新知1.创设情境，探究运用完全平方公式分解因式教师问1：什么叫因式分解？（出示课件4）学生回答：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式.教师问2：我们已经学过哪些因式分解的方法？学生回答：提公因式法、平方差公式：a2–b2=(a+b)(a–b)教师问3：把下列各式分解因式：(1)ax4－a；(2)16m4－n4.学生回答：(1)ax4－a=a(x2+1)(x+1)(x-1)；(2)16m4－n4=(4m2+n)(2m+n)(2m-n).教师问4：结合上题思考因式分解要注意什么问题？学生回答：①一提二看三检查；②分解要彻底.教师问5：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式？请写出来.学生回答：完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2教师讲解：这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.教师问6：你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？（出示课件5）学生讨论后拼出下图：教师问7：这个大正方形的面积可以怎么求？学生回答：（a+b）2=a2+2ab+b2教师问8：将上面的等式倒过来看，能得到什么呢？学生回答：a2+2ab+b2=（a+b）2（出示课件6）教师问：观察这两个多项式：a2+2ab+b2；a2–2ab+b2，请回答下列各题：（出示课件7）(1)每个多项式有几项？学生回答：三项(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征？学生回答：这两项都是数或式的平方，并且符号相同.(3)中间项和第一项，第三项有什么关系？学生回答：是第一项和第三项底数的积的±2倍.教师讲解：我们把a²+2ab+b²和a²–2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.教师问9：把下列各式分解因式：(1)a2＋2ab＋b2；(2)a2－2ab＋b2.学生回答：(1)a2＋2ab＋b2=（a+b）2；(2)a2－2ab＋b2=（a-b）2.教师问10：将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式.同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式.能不能用语言叙述呢？学生回答后，师生共同讨论后解答如下：两个数的平方和，加上(或减去)这两数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.即a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.教师问11：下列各式是不是完全平方式？如果是，请分解因式.(1)a2－4a＋4；(2)x2＋4x＋4y2；(3)4a2＋2ab＋14b2；(4)a2－ab＋b2；(5)x2－6x－9；(6)a2＋a＋0.25.学生讨论后回答如下：(1)a2－4a＋4；是，原式=（a-2）2 (2)x2＋4x＋4y2；不是(3)4a2＋2ab＋14b2；是，原式=（2a+12b）2(4)a2－ab＋b2；不是(5)x2－6x－9；不是(6)a2＋a＋0.25.是，原式=（a+0.5）2教师问12：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？学生讨论后回答，师生共同归纳如下：①三项式；②两项为两个数的平方和的形式；③第三项为加(或减)这两个数的积的2倍.总结点拨：（出示课件8）完全平方式: a²±2ab+b²完全平方式的特点：1.必须是三项式(或可以看成三项的)；2.有两个同号的数或式的平方；3.中间有两底数之积的±2倍.简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.（出示课件9）凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.例1：分解因式：（出示课件12）(1)16x2+24x+9；(2)–x2+4xy–4y2.师生共同解答如下：（1）分析：(1)中，16x2=(4x)2，9=3²，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2 + 24x +9= (4x)2+2·4x·3+ 32.解：(1)16x2+ 24x +9= (4x)2 + 2·4x·3 + 32= (4x + 3)2；(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为–(x2–4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.(2)–x2+ 4xy–4y2=–(x2–4xy+4y2)=–(x–2y)2.例2：如果x2–6x+N是一个完全平方式，那么N是( )（出示课件15）A . 11 B. 9 C. –11 D. –9师生共同解答如下：解析：根据完全平方式的特征，中间项–6x=2x×(–3)，故可知N=(–3)2=9.答案：B总结点拨：（出示课件16）本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．例3：把下列各式分解因式：（出示课件18）(1)3ax2+6axy+3ay2 ；(2)(a+b)2–12(a+b)+36.师生共同解答如下：分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；(2)中将a+b 看成一个整体，设a+b=m，则原式化为m2–12m+36.解: (1)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2；(2)原式=(a+b)2–2·(a+b) ·6+62=(a+b–6)2.总结点拨：利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式，完全平方式等)的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.（出示课件19）例4：把下列完全平方式分解因式：（出示课件21）(1)1002–2×100×99+99²；(2)342＋34×32＋162.师生共同解答如下：解：(1)原式=(100–99)²=1(2)原式＝(34＋16)2＝2500.总结点拨：本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算.例5：已知:a 2+b 2+2a –4b+5=0，求2a 2+4b –3的值.（出示课件23） 师生共同解答如下：分析：从已知条件可以看出，a 2+b 2+2a –4b+5与完全平方式有很大的相似性(颜色相同的项)，因此可通过“凑”成完全平方式的方法，将已知条件转化成非负数之和等于0的形式，从而利用非负数的性质来求解.（出示课件24）解：由已知可得(a 2+2a+1)+(b 2–4b+4)=0即(a+1)2+(b –2)2=0∴ 2a 2+4b –3=2×(–1)2+4×2–3=7总结点拨：遇到多项式的值等于0、求另一个多项式的值，常常通过变形为完全平方公式和(非负数的和)的形式，然后利用非负数性质来解答．（三）课堂练习（出示课件27-31）1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )A ．a 2＋1B ．a 2–6a ＋9C ．x 2＋5yD ．x 2–5y2.把多项式4x 2y –4xy 2–x 3分解因式的结果是( )A ．4xy(x –y)–x 3B ．–x(x –2y)21020a b +=⎧∴⎨-=⎩12a b =-⎧∴⎨=⎩C．x(4xy–4y2–x2) D．–x(–4xy＋4y2＋x2)3.若m＝2n＋1，则m2–4mn＋4n2的值是________．4.若关于x的多项式x2–8x＋m2是完全平方式，则m的值为_________ ．5. 把下列多项式因式分解.(1)x2–12x+36; (2)4(2a+b)2–4(2a+b)+1;(3) y2+2y+1–x2;6. 计算：(1) 38.92–2×38.9×48.9＋48.92.（2）20142-2014×4026+201327. 分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)1x2–2x＋3.3小聪和小明的解答过程如下：小聪: 小明:他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.8. (1)已知a–b＝3，求a(a–2b)＋b2的值；(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．参考答案：1.B2.B3.14. ±45. 解：(1)原式=x2–2·x·6+62=(x–6)2;(2)原式=[2(2a+b)]²–2·2(2a+b)·1+1²=(4a+2b–1)2;(3)原式=(y+1)²–x²=(y+1+x)(y+1–x).6. 解：(1)原式＝(38.9–48.9)2＝100.(2)原式=20142-2×2014×2013+20132=（2014-2013）2=17. 解: (1)原式＝(2x)2＋2•2x•1＋1＝(2x+1)2(2)原式＝13(x2–6x＋9)＝13(x–3)28. 解：(1)原式＝a2–2ab＋b2＝(a–b)2.当a–b＝3时，原式＝32＝9.(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2. 当ab＝2，a＋b＝5时，原式＝2×52＝50.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:a2±2ab＋b2＝(a±b)2一提，二看，三检查。
人教版数学八年级上册教学课件 14.3.2第2课时 运用完全平方公式因式分解
人教版数学八年级上册教学课件 第2课时 运用完全平方公式因式分解教学目标1．理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点．(重点)2．掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式．(难点)教学过程一、情境导入1．分解因式：(1)x 2－4y 2； (2)3x 2－3y 2；(3)x 4－1； (4)(x ＋3y )2－(x －3y )2.2．根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，你能将形如“a 2＋2ab ＋b 2、a 2－2ab ＋b 2”的式子分解因式吗？二、合作探究探究点：运用完全平方公式分解因式【类型一】 判断能否用完全平方公式分解因式下列多项式能用完全平方公式分解因式的有( )(1)a 2＋ab ＋b 2；(2)a 2－a ＋14；(3)9a 2－24ab ＋4b 2；(4)－a 2＋8a －16. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：(1)a 2＋ab ＋b 2，乘积项不是两数积的2倍，不能运用完全平方公式；(2)a 2－a ＋14＝(a －12)2；(3)9a 2－24ab ＋4b 2，乘积项是这两数积的4倍，不能用完全平方公式；(4)－a 2＋8a －16＝－(a 2－8a ＋16)＝－(a －4)2.所以(2)(4)能用完全平方公式分解．故选B.方法总结：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍．【类型二】 运用完全平方公式分解因式因式分解：(1)－3a 2x 2＋24a 2x －48a 2；(2)(a2＋4)2－16a2.解析：(1)有公因式，因此要先提取公因式－3a2，再把另一个因式(x2－8x＋16)用完全平方公式分解；(2)先用平方差公式，再用完全平方公式分解．解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2；(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)＝(a＋2)2(a－2)2.方法总结：分解因式的步骤是一提、二用、三查，即有公因式的首先提公因式，没有公因式的用公式，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．【类型三】利用完全平方公式求值已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．解析：首先配方，借助非负数的性质求出x、y的值，问题即可解决．解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，∴x －2＝0，y－5＝0，∴x＝2，y＝5，∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2＝112＝121.方法总结：几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0.【类型四】运用因式分解进行简便运算利用因式分解计算：(1)342＋34×32＋162；(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.解析：利用完全平方公式转化为(a±b)2的形式后计算即可．解：(1)342＋34×32＋162＝(34＋16)2＝2500；(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝(38.9－48.9)2＝100.方法总结：此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式是解题关键．【类型五】利用因式分解判定三角形的形状已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC 的形状，并说明理由．解析：首先利用完全平方公式分组进行因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即可．解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形．方法总结：通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答，这是解决此类问题一般的思路．【类型六】 整体代入求值已知a ＋b ＝5，ab ＝10，求12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3的值． 解析：将12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3分解为12ab 与(a ＋b )2的乘积，因此可以运用整体代入的数学思想来解答．解：12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3＝12ab (a 2＋2ab ＋b 2)＝12ab (a ＋b )2.当a ＋b ＝5，ab ＝10时，原式＝12×10×52＝125.方法总结：解答此类问题的关键是对原式进行变形，将原式转化为含已知代数式的形式，然后整体代入．三、板书设计运用完全平方公式因式分解1．完全平方公式：a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.2．完全平方公式的特点：(1)必须是三项式(或可以看成三项的)；(2)有两个同号的平方项；(3)有一个乘积项(等于平方项底数积的±2倍)．简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央．教学反思本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然，千万不可拔苗助长，为了后面多做几道练习而主观裁断时间安排．其实公式的探究活动本身既是对学生能力的培养，又是对公式的识记过程，而且还可以提高他们应用公式的本领．。
人教版八年级数学上册14.3.2 第2课时 运用完全平方公式因式分解(002)
课堂小结
公式
a2±2ab+b2=(a±b)2
完全平方
公式分解
因
式
特点
（1）要求多项式有三项. （2）其中两项同号，且都可以写 成某数或式的平方，另一项则是这 两数或式的乘积的2倍，符号可正 可负.
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.3.2 公式法
第2课时 运用完全平方公式因式分解
学习目标
1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．（重点） 2.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解
进行计算．（难点）
导入新课
复习引入
1.因式分解： 把一个多项式转化为几个整式的积的形式.
2.我们已经学过哪些因式分解的方法？ 1.提公因式法 2.平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方式: a 2 2ab b2
完全平方式的特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍.
简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式， 将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.
两个数的平方和加上
当堂练习
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( B )
A．a2＋1
B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( B ) A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是__1______． 4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的 值为____±__4_____ ．
人教版初中数学八年级上册14.3.2 第2课时 运用完全平方公式因式分解
人教版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！人教版初中数学和你一起共同进步学业有成！第2课时 运用完全平方公式因式分解学习目标：1、经历用完全平方公式法分解因式的探索过程，理解公式中字母的意2、会用完全平方公式法对多项式进行因式分解。
3、体会从正、逆两个方面认识和研究事物的方法。
学习重、难点：学习重点：用完全平方公式分解因式；学习难点：正确运用平方差公式进行因式分解.学习过程：一、创设情境、引入课题前面我们在学习整式乘法时用到了完全平方公式，其公式内容为 。
像用平方差公式逆过来用可以分解因式一样，若把完全平方公式逆过来，就得到a 2+2ab+b 2=(a+b)2, a 2-2ab+b 2=(a-b)2。
这样，我们就可以利用它们对多项式进行因式分解了二、一起探究，尝试解决例3 把下列各式分解因式：⑴t 2+22t+121； ⑵m 2+41n 2－mn.解：例4 把下列各式分解因式：⑴ax 2+2a 2x+a 3 ⑵(x+y)2-4(x+y)+4 ⑶(3m-1)2-4n 2我们看到，凡是可以写成a 2+2ab+b 2或a 2-2ab+b 2这样形式的多项式，都可以用完全平方公式分解因式，即可以把它们化为(a+b)2或(a-b)2的形式。
因此，我们把形如a 2+2ab+b 2或a 2-2ab+b 2的式子称为 。
三、随堂练习1.课后练习2. 1．23616x kx ++是一个完全平方式，则k 的值为（ ）A ．48B ．24C ．－48D ．±483．分解因式n n n +-2344＝ ．4．一次课堂练习，小明同学做了如下四道因式分解题，你认为小明做的不够完整的一题是（ ） A ，()123-=-x x x x B ．()2222y x y xy x -=+- C ．()y x xy xy y x -=-22 D ．()()y x y x y x -+=-225．当a ＝3，a －b ＝1时，a 2－ab 的值是 ．6．在多项式2a +1中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式为 ．7．分解因式：2mx 2+4mx +2m = 四、拓展练习用简便方法计算：（1）20012－4002+1(2) 9992 (3 ) 20022相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
14.3.2 第2课时 运用完全平方公式因式分解
9．(1)[2017·安顺]若代数式 x2＋kx＋25 能使用完全平方公式，则 k＝ ±10 . (2)若 x2＋8x＋k2 是一个完全平方式，则 k＝ ±4 . 10．(1)当 m＋n＝3 时，m2＋2mn＋n2＝ 9 ； (2)[2018·菏泽]若 a＋b＝2，ab＝－3，则 a3b＋2a2b2＋ab3＝ －12 .
B．x－122
C.12(x－1)2
D．2x－122
3．把 8a3－8a2＋2a 进行因式分解，结果正确的是( C )
A．2a(4a2－4a＋1)
B．8a2(a－1)
C．2a(2a－1)2
D．2a(2a＋1)2
4．分解因式： (1)[2018·淄博]2x3－6x2＋4x＝ 2x(x－2)(x－；1) (2)[2018·威海]－12a2＋2a－2＝ －12(a－2)2 ； (3)[2018·德阳]2xy2＋4xy＋2x＝ 2x(y＋1)2 ； (4)[2018·攀枝花]x3y－2x2y＋xy＝ xy(x－1)2 .
5．分解因式：(a－b)(a－4b)＋ab＝ (a－2b)2 .
6．把下列多项式因式分解： (1)－3x2－12＋12x； (2)4(x＋y)2－20(x＋y)＋25.
解：(1)－3x2－12＋12x ＝－3x2＋12x－12 ＝－3(x2－4x＋4) ＝－3(x－2)2. (2)4(x＋y)2－20(x＋y)＋25 ＝[2(x＋y)]2－2×2(x＋y)×5＋52 ＝[2(x＋y)－5]2 ＝(2x＋2y－5)2.
D．0 个
3．[2017·杭州模拟]因式分解 4－4a＋a2，正确的是( A )
A．(2－a)2
B．(2＋a)2
C．(2－a)(2＋a)
D．4(1－a)＋a2
人教版八年级数学上册14.3.2 第2课时 运用完全平方公式分解因式(共20张PPT)
a b2 a2 2ab b2 a b2 a2 2ab b2
a2+2ab+b2 =（a+b）2
a2 -2ab+b2 =（a-b）2 你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试概括 你的发现.
把整式的乘法公式——完全平方公式
（a b）2 =a2 2ab+b2
教学课件
数 学 八年级 上册
运用完全平方公式分解因式
探索完全平方公式
你能将多项式 a2 +2ab+b2 与多项式 a2 -2ab+b2分解 因式吗？
追问1 你能用提公因式法或平方差公式来分解因 式吗？
追问2 这两个多项式有什么共同的特点？ 追问3 你能利用整式的乘法公式——完全平方公 式（a b）2 =a2 2ab+b2 来解决这个问题吗？
＝(x＋2)(x＋4)＋(x＋2)(x－2) ＝(x＋2)[(x＋4)＋(x－2)] ＝(x＋2)(2x＋2) ＝2(x＋2)(x＋1)．
(2)18a2(a＋2b)＋12ab(a＋2b)＋2b2(a＋2b)；
解：(2)原式＝2(a＋2b)(9a2＋6ab＋b2) ＝2(a＋2b)(3a＋b)2.
【归纳总结】因式分解的步骤 一提：先考虑用提公因式法(公因式可以是单项式或多项式)； 二套：然后考虑用公式法(平方差公式或完全平方公式)，能连 续用公式分解的要继续分解； 三查：检查每个因式是否被分解彻底．
理解完全平方式
a2+2ab+b2 =（a+b）2 a2 -2ab+b2 =（a-b）2
（1）完全平方式的结构特征是什么？ （2）两个平方项的符号有什么特点？ （3）中间的一项是什么形式？
14.3.2.2运用完全平方公式因式分解(课件)八年级数学上册(人教版)
（2）20222-2022×4042+20212
= 3.142 + 2 × 3.14 × 6.86 + 6.862
=20222-2×2022×2021+20212
= 3.14 + 6.86
2
=（2022-2021）2
= 102
=12
= 100．
＝ + + ( + − )( − + )( − − )．
2
− 2
−
2
− 2
12.已知2 + 2 + 2 − 4+5=0, 求22 + 4 − 3 的值．
解：
∵ 2 + 2 + 2 − 4 + 5 = 0，
∴ 2 + 2 + 1 + 2 − 4 + 4 = 0，
∴△ABC 是等边三角形．
公式
a2±2ab + b2 = (a±b)2
完全平方
公式分解
（1）要求多项式有三项；
因
（2）其中两项是两个数或式的
式
特点
平方和，另一项则是这两数或式
的乘积的 2 倍，符号可正可负
1.下列式子为完全平方式的是(D)
A. a2+2a+b2
B. a2+2a+2
C. a2-2+b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2.
“首平方，尾平方，
积的 2 倍放中央.”
.
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简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，
将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.
两个数的平方和加上
a2 ± 2ab
首2
+b2 =(a ± b)² (或减去)这两个数的积
的2倍，等于这两个数
±2× +尾2 首×尾
(首±尾)2
的和(或差)的平方.
对照 a² ±2ab+b² =(a±b)² ，填空： 1. x² +4x+4= ( x )² +2· ( x )· ( 2 )+( 2 )² =( x + 2 )² 2.m² -6m+9=( m )² - 2·(m ) · (3 )+( 3 )² =(m - 3 )²
2.我们已经学过哪些因式分解的方法？ 1.提公因式法
2.平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b)
讲授新课
一 用完全平方公式分解因式 你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼
成的图形的面积吗？
a a² a ab a ab a b
b
b² b b
同学们拼出图形为：
b a
ab a² a
b² ab
b
几个非负数的和为
0，则这几个非负 数都为0.
方法总结：此类问题一般情况是通过配方将原
式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数
性质解答问题．
例6 已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋
c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得
例3 把下列各式分解因式：
(1)3ax2+6axy+3ay2 ；(2)(a+b)2-12(a+b)+36.
分析：(1)中有公因式3a,应先提出公43;b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为
m2-12m+36. 解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2； (2)原式=(a+b)2-2· (a+b) · 6+62 =(a+b-6)2.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差
式，完全平方式等）的多项式分解因式，
这种分解因式的方法叫做公式法.
针对训练
因式分解： (1)－3a2x2＋24a2x－48a2； (2)(a2＋4)2－16a2. 解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)
有公因式要先 提公因式
要检查每一个多项
式的因式，看能否 继续分解．
3.a² +4ab+4b² =( a )² +2·( a ) · ( 2b )+( 2b )² =( a + 2b )²
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4;
是 不是
是
（2）1+4a² ; 不是
（3）4b2+4b-1;
（5）x2+x+0.25.
（4）a2+ab+b2; 不是
分析： （2）因为它只有两项； （ 3） 4b² 与-1的符号不统一； （4）因为ab不是a与b的积的2倍.
(2)原式＝(34＋16)2
＝2500.
例5 已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1 的值． 解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0， ∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.
∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，
∴x－2＝0，y－5＝0， ∴x＝2，y＝5， ∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2 ＝112＝121.
典例精析
例1 如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( B )
A . 11 B. 9 C. -11 D. -9
解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x×(-3),
故可知N=(-3)2=9. 变式训练 如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值
±8 为________.
解析：∵16=(±4)2，故-m=2×(±4)，m=±8.
这个大正方形的面积可以怎么求？ （ a +b ） 2 = a2+2ab+b2
将上面的等式倒过来看，能得到： a2+2ab+b2 = （ a +b ） 2
我们把a² +2ab+b² 和a² -2ab+b² 这样的式子叫作完全 平方式. a2+2ab+b2 观察这两个式子：
a2－2ab+b2 三项
（1）每个多项式有几项？
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.3.2 公式法
第2课时 运用完全平方公式因式分解
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．（重点） 2.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解
进行计算．（难点）
导入新课
复习引入
1.因式分解： 把一个多项式转化为几个整式的积的形式.
般先利用添括号法则， 将其变形为-(x2-4xy +4y2),然后再利用公式 分解因式.
a2
2ab
+b2
解： (1)16x2+ 24x +9 = (4x)2 + 2· 4x· 3 + (3)2 = (4x + 3)2； (2)-x2+ 4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2) =-(x-2y)2.
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特
征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已
知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程
中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．
例2 分解因式： （1）16x2+24x+9； 分析：(1)中， 16x2=(4x)2, 9=3² ,24x=2· 4x· 3, 所以16x2+24x +9是一个完全平方式，即16x2 + 24x +9= (4x)2+ 2· 4x· 3 + (3)2. （2）-x2+4xy-4y2. (2)中首项有负号，一
（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
这两项都是数或式的平方，并且符号相同
（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？ 是第一项和第三项底数的积的±2倍
完全平方式:
a 2ab b
2
2
完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍.
＝－3a2(x－4)2；
(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a) ＝(a＋2)2(a－2)2.
例4 把下列完全平方公式分解因式：
(1)1002－2×100×99+99² ；
本题利用完全平方公 式分解因式，可以简 化计算，
(2)342＋34×32＋162.
解：(1)原式=（100－99)² =1.