(整理)几个重要的特殊数列
整理几个重要的特殊数列
几个重要的特殊数列 基础知识 1．斐波那契数列 莱昂纳多斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。
在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即： 假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。
年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？ 这就是非常著名的斐波那契数列问题。
其实这个问题的解决并不是很困难，可以用表示第个月初时免房里的免子的对数，则有，第个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子，共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子，共有对，于是有。
现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。
特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。
（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定； （2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定。
（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出） 因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其特征根为： ，所以可设其通项公式为，利用初始条件得，解得 所以。
这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如： 它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。
斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。
为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明） （1）斐波那契数列的前项和； （2）； （3）（）； （4）（）； （5）（）； 2．分群数列 将给定的一个数列{}：按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列。
发散数列的经典例子
发散数列的经典例子发散数列，也被称为无穷数列，是指一个由无数个数字组成的数列，其中每个数字都比前一个数字大。
发散数列是数学中的一个重要概念，在数学、物理、化学等领域都有着广泛的应用。
下面就来介绍几个经典的发散数列。
I. 等比数列等比数列是指一个数列中每个数字都是前一个数字乘以一个常数，即a1, a2, a3, …, an, …的公比为r，即a(n+1)=r*an。
如果r>1，那么这个数列就是一个发散数列。
例如，2, 4, 8, 16, 32, … 这个数列的公比为2，无穷项趋于正无穷。
II. 斐波那契数列斐波那契数列是指一个数列中，从第3项开始，每一项都等于前两项之和，即a(1)=1, a(2)=1, a(n+1)=a(n)+a(n-1)。
这个数列的性质非常特殊，如下：1. 斐波那契数列是递增的；2. 斐波那契数列的比值随着项数的增加越来越接近黄金分割（约1.618）；3. 斐波那契数列是一个发散数列。
III. 调和级数调和级数是指一个数列中，每一项都是其前一项的倒数加1，即1,1+1/2, 1+1/2+1/3, …, 其通项公式为an = 1 + 1/2 + … + 1/n。
显然，调和级数是一个发散数列，但是其发散速度非常缓慢。
例如，调和级数前1000项的和约为7.48，而前100万项的和已经接近21。
IV. 稀疏数列稀疏数列是指一个数列中，每一项都是前一项的平方根，即a(n+1)=sqrt(an)。
这个数列的性质非常有趣，如下：1. 稀疏数列最初的几项增长迅速，但是随着项数的增加越来越慢；2. 稀疏数列是收敛数列，即其无穷项的极限存在，且为1。
V. 射线数列射线数列是指一个数列中，每一项都比前一项多2n个正整数，其中n 为项数减1，即a(1)=1, a(n+1)=a(n)+2n。
这个数列的性质如下：1. 射线数列是一个发散数列；2. 射线数列的无穷项是完全平方数，即a(n)=n^2。
总的来说，发散数列是数学中非常重要却也十分神秘的概念之一，这些经典发散数列不仅有着自己独特的性质和规律，而且在科学和工程中都有着广泛的应用。
高考数列必考知识点
高考数列必考知识点数列作为高中数学中的重要知识点之一，在高考中占据着重要的位置。
掌握数列的概念、性质以及常见的数列类型是高考数学取得好成绩的必备知识。
本文将为同学们总结归纳高考数列必考的知识点。
一、数列的概念和性质1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的由数字组成的序列。
2. 数列的通项公式：数列的通项公式表示数列中第n个数的一般项，常用符号有an或者Un。
3. 数列的首项和公差：对于等差数列，首项表示数列的第一个数，常用符号是a1；公差表示相邻两项之间的差值，常用符号是d。
4. 数列的递推公式：数列的递推公式表示数列中第n+1项与第n项的关系式。
二、等差数列1. 等差数列的定义：等差数列是指数列中相邻两项之差保持不变的数列。
2. 等差数列的通项公式：对于公差为d的等差数列，其通项公式为an = a1 + (n-1)d。
3. 等差数列前n项和：等差数列前n项和的公式为Sn = (a1 + an) *n / 2。
三、等比数列1. 等比数列的定义：等比数列是指数列中相邻两项之比保持不变的数列，且首项不能为0。
2. 等比数列的通项公式：对于公比为q的等比数列，其通项公式为an = a1 * q^(n-1)。
3. 等比数列前n项和：等比数列前n项和的公式为Sn = a1 * (1-q^n) / (1-q)。
四、特殊数列1. 斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和，首几项为0、1、1、2、3、5、8、13……2. 等差-等比混合数列：等差-等比混合数列是指数列中既存在等差关系又存在等比关系的数列。
五、数列求和问题1. 常用的数列求和方法：对于等差数列或者等比数列，可以通过数列求和公式或者特殊方法进行求和。
2. 数列求和的技巧：对于一些特殊的数列，可以利用数列的性质进行化简，从而简化求和的过程。
六、题目实战演练1. 高考数列选择题：通过对历年高考数学试卷中关于数列的选择题进行分类整理，帮助同学们熟悉数列的考点和解题思路。
几个特殊的数列
几个重要的特殊数列基础知识1．斐波那契数列莱昂纳多斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。
在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。
年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？这就是非常著名的斐波那契数列问题。
其实这个问题的解决并不是很困难，可以用表示第个月初时免房里的免子的对数，则有，第个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子，共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子，共有对，于是有。
现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。
特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。
（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定；（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定。
（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出）因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其特征根为：，所以可设其通项公式为，利用初始条件得，解得所以。
这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如：它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。
斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。
为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明）（1）斐波那契数列的前项和；（2）；（3）（）；（4）（）；（5）（）；2．分群数列将给定的一个数列{}：按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列。
如在上述数列中，我们将作为第一组，将作为第二组，将作为第三组，……依次类推，第组有个元素，即可得到以组为单位的序列：（），（），（），……我们通常称此数列为分群数列。
数学数列与数学归纳法考点整理
数学数列与数学归纳法考点整理数学数列和数学归纳法是数学中重要的概念和方法。
数列是一连串按照一定规律排列的数的集合，数学归纳法则是一种证明数学命题的方法。
本文将对这两个重要的数学考点进行整理。
一、数学数列数列是由一系列数字按照一定规律排列形成的集合。
数列可以分为等差数列、等比数列和其他特殊数列。
1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差都相等。
常见等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
例：求等差数列1，3，5，7，9的前n项和。
解：首先写出等差数列的通项公式an = 2n - 1，然后求前n项和Sn = (a1 + an) * n / 2。
带入公式得到Sn = (1 + 2n - 1) * n / 2 = n^2。
2. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比都相等。
常见等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
例：求等比数列1，2，4，8，16的前n项和。
解：首先写出等比数列的通项公式an = 2^(n-1)，然后求前n项和Sn = a1 * (r^n - 1) / (r - 1)。
带入公式得到Sn = 1 * (2^n - 1) / (2 - 1) = 2^n - 1。
3. 其他特殊数列数学中还存在其他一些特殊的数列，如斐波那契数列、调和数列等。
斐波那契数列的特点是每一项都是前两项的和，调和数列的特点是每一项是其前一项的倒数的和。
二、数学归纳法数学归纳法是一种证明数学命题的方法，通过证明当命题对于某个自然数成立时，它对于该自然数的下一个数也成立，从而得出命题对于所有自然数都成立的结论。
数学归纳法可以分为基本归纳法和强归纳法。
1. 基本归纳法基本归纳法的步骤如下：（1）证明当n = 1时，命题成立。
（2）假设当n = k时命题成立，即假设命题对于某个自然数k成立。
（3）证明当n = k + 1时，命题也成立。
特殊数列（长期项目）
特殊数列（长期项⽬）前排提醒： L A T E X 可能过多，请耐⼼等待加载斐波那契数列（Fibonacci ）可能不是很特殊，但是确是最为常见的，看名字就知道明显是个叫做斐波那契的⼈发现的，全名 莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci ）（意⼤利）。
定义： f 0=0,f 1=1,f n =f n −1+f n −2(n ≥2)⽣成函数 F (x )=11−x −x2通项公式： f n =1√5[(1+√52)n −(1−√52)n ]，推导⽅式有很多种，这⾥使⽤最简单的两种特征⽅程法：(都是⾃⼰盲猜的，有误请指正)数列中特征⽅程法本质上就是构造等⽐数列，只不过完全看不出来（瞎猜）f n =f n −1+f n −2⟺f n −f n −1−f n −2=0可以看出 f n 、f n −1、f n −2 形式⼀样，我们可以直接盲猜设其为 f n =aq n （虽然很假但是我想不到其他数列了），则aq n +2−aq n +1−aq n =0⟺aq n (q 2−q −1)=0⟺aq n (q −1+√52)(q −1+√52)=0有 f 1,n =a (1+√52)n ,f 2,n =a (1−√52)n 将特解线性组合得通解 f n =Af 1,n +Bf 2,n将 f 0=0,f 1=1 代⼊：Aa +Ba =0(1)Aa 1+√52+Ba 1−√52=1(2)解(1):a (A +B )=0∵再将两个结论代⼊原数列：\begin{aligned} f_n = \ &Aa(\dfrac{1+\sqrt5}{2})^n+Ba(\dfrac{1-\sqrt5}{2})^n \\ =\ & Aa[(\dfrac{1+\sqrt5}{2})^n-(\dfrac{1-\sqrt5}{2})^n] \\ =\ & \dfrac{1}{\sqrt5}\l eft[\left(\dfrac{1+\sqrt5}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt5}{2}\right)^n\right] \end{aligned}⽣成函数法：f_n 的普通型⽣成函数为 F(x)，则 F(x) = x+x^2+2x^3+3x^4+5x^5+...+f_n x^n+...利⽤⽆穷项的特性，显然有 F-Fx=Fx^2+x \iff F=\dfrac{x}{1-x-x^2}然后因式分解、裂项：\begin{aligned} F(x) &= \dfrac{x}{1-x-x^2} = \dfrac{x}{(1-\phi_1x)(1-\phi_2x)} ,解得 \phi_1=\dfrac{1+\sqrt5}{2}, \phi_2=\dfrac{1-\sqrt5}{2}\\ &=x(\dfrac{a}{1-\p hi_1x}+\dfrac{b}{1-\phi_2x})=x(\dfrac{a+b-x(a\phi_2+b\phi_1)}{(1-\phi_1x)(1-\phi_2x)}) \\ \iff &\begin{cases} a+b=1\\a\phi_2+b\phi_1=0\end{cases}, 解得\be gin{cases} a=\dfrac{5+\sqrt5}{10}=\dfrac{1}{\sqrt5}\cdot\dfrac{\sqrt5+1}{2}\\ b=\dfrac{5-\sqrt5}{10}=\dfrac{1}{\sqrt5}\cdot\dfrac{\sqrt5-1}{2} \end{cases} \\ \iff F(x) &=ax\dfrac{1}{1-\phi_1x}+bx\dfrac{1}{1-\phi_2x} \\ &=ax(1+\phi_1x+\phi_1^2x^2+...+\phi_1^nx^n+...)+bx(1+\phi_2x+\phi_2^2x^2+...+\phi_2^nx^n+...) \\&=\dfrac{1}{\sqrt5}(\dfrac{1+\sqrt5}{2}x+(\dfrac{1+\sqrt5}{2})^2x^2+...+(\dfrac{1+\sqrt5}{2})^nx^n+...) \\ &-\dfrac{1}{\sqrt5}(\dfrac{1-\sqrt5}{2}x+(\dfrac{1-\sqr t5}{2})^2x^2+...+(\dfrac{1-\sqrt5}{2})^nx^n+...) \end{aligned}据此，我们很容易看出 f_n = \dfrac{1}{\sqrt5}\left[\left(\dfrac{1+\sqrt5}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt5}{2}\right)^n\right]很好，这样最简单的通项公式就推导完了⼀些性质：与黄⾦分割⽐的关系：\large \lim_{n\rightarrow\infty} \dfrac{f_{n-1}}{f_{n}} = \dfrac{\sqrt5-1}{2}\rm{Proof:}f_n=f_{n-1}+f_{n-2} \iff \dfrac{f_n}{f_{n-1}}=1+\dfrac{f_{n-2}}{f_{n-1}}，设极限 \lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{f_n}{f_{n-1}}存在且为 x 。
高等数列求解技巧
高等数列求解技巧高等数列是数学中的一个重要分支，它研究的是一系列数字的特定规律和性质。
在数学中，数列是按照一定顺序排列的一系列数字。
在高等数学中，数列分为等差数列、等比数列、等差数列、变差数列等等不同的类型。
为了解决高等数列问题，我们可以运用一些技巧和方法来求解。
在解决高等数列问题时，我们首先需要确定数列的类型。
下面是一些常见的高等数列类型及其求解技巧：1. 等差数列：等差数列的特点是每个数与其前一个数之差都相等。
求解等差数列的技巧主要包括：- 使用通项公式：等差数列中的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中an为数列的第n个元素，a1为数列的第一个元素，d为公差（即相邻两项之差）。
通过通项公式，我们可以求解数列中的任意一项。
- 判断公差：如果已知数列的前几项，但不知道公差，可以通过计算前两项的差值来确定公差。
2. 等比数列：等比数列的特点是每个数与其前一个数的比值都相等。
求解等比数列的技巧主要包括：- 使用通项公式：等比数列中的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中an为数列的第n个元素，a1为数列的第一个元素，r为公比（即相邻两项的比值）。
通过通项公式，我们可以求解数列中的任意一项。
- 判断公比：如果已知数列的前几项，但不知道公比，可以通过计算两项的比值来确定公比。
3. 等差数列的特殊性质：在解决等差数列问题时，还可以运用一些特殊性质来求解，例如：- 数列求和：等差数列中的所有元素之和可以通过数列的首项和末项以及项数来计算。
求和公式为S=n/2*(a1+an)，其中S为数列的和，n为项数。
- 递推公式：等差数列中的每个元素可以通过前一个元素和公差来计算。
递推公式为an=an-1+d，其中an为数列的第n个元素，an-1为前一个元素，d为公差。
4. 等比数列的特殊性质：与等差数列类似，等比数列也有一些特殊性质可以用来求解，例如：- 数列求和：等比数列中的所有元素之和可以通过数列的首项、公比和项数来计算。
数字推理重点标记
30天行测大冲刺-第1日数字推理简为教育一、几种基础数列（1）自然数数列:1，2，3，4，5，6，7，8，9，10（2）平方数列：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361（3）立方数列：1，8，27，64，125，216，343，512，729（4）幂次方数列：1，4，27，256，3125（5）质数列： 2，3，5，7，11，13，17 ,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97 n2+n+41 (n≤39)（6）合数列： 4，6，8，9，10，12，14，15，16请牢记以上数列，今后才能保持一定的数学敏感度。
二、几种思路（一）、先来看下面几道题：1、 2 , 12， 36， 80，（）A ．100B ．125C ．150D ．1751^2+1^3=22^2+2^3=123^2+3^3=364^2+4^3=805^2+5^3=150。
选择C2、（），4，18，48，100。
A -16B -8C -4D 02^3-2^2=43^3-3^2=184^3-4^2=485^3-5^2=100所以1^3-1^2=0.选择D3、0 , 2， 10， 30，（）A ．68B ．74C ．60D ．700^3+0=01^3+1=22^3+2=103^3+3=304^3+4=68.选A=======做完了以上三道题目，再来看这三个数列（1）1，2，3，4，5，6（2）1，4，9，16，25，36（3）1，8，27，64，125，216非常简单的3个数列，甚至可以说是我们平时直接忽略的数列，稍微经过演变，就可以生出很多种变化来。
（1）+（2）=2，6，12，20，30，42（1）+（3）=2，10，30，68，130，222（2）+（3）=2，12，36，80，150，252（3）-(2)=0，4，18，48，100，180（二）同样是几道题：1、 5， 13， 37， 109，（）A 136B 231C 325D 408答案：C分析：方法一5*3-2=1313*3-2=3737*3-2=109109*3-2=325方法二：求差得到一个新的数列。
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几个重要的特殊数列基础知识1．斐波那契数列莱昂纳多•斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。
在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。
年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？这就是非常著名的斐波那契数列问题。
其实这个问题的解决并不是很困难，可以用表示第个月初时免房里的免子的对数，则有，第个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子，共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子，共有对，于是有。
现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。
特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。
（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定；（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定。
（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出）因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其特征根为：，所以可设其通项公式为，利用初始条件得，解得所以。
这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如：它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。
斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。
为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明）（1）斐波那契数列的前项和；（2）；（3）（）；（4）（）；（5）（）；2．分群数列将给定的一个数列{}：按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列。
如在上述数列中，我们将作为第一组，将作为第二组，将作为第三组，……依次类推，第组有个元素，即可得到以组为单位的序列：（），（），（），……我们通常称此数列为分群数列。
一般地，数列{}的分群数列用如下的形式表示：（），（），（），……，其中第1个括号称为第1群，第2个括号称为第2群，第3个括号称为第3群，……，第个括号称为第群，而数列{}称为这个分群数列的原数列。
如果某一个元素在分群数列的第个群中，且从第个括号的左端起是第个，则称这个元素为第群中的第个元素。
值得注意的是一个数列可以得到不同的分群数列。
如对数列{}分群，还可以得到下面的分群数列：第个群中有个元素的分群数列为：（），（），（）…；第个群中有个元素的分群数列为：（），（），（）…等等。
3．周期数列对于数列{}，如果存在一个常数，使得对任意的正整数恒有成立，则称数列{}是从第项起的周期为T的周期数列。
若，则称数列{}为纯周期数列，若，则称数列{}为混周期数列，T的最小值称为最小正周期，简称周期。
周期数列主要有以下性质：（1）周期数列是无穷数列，其值域是有限集；（2）周期数列必有最小正周期（这一点与周期函数不同）；（3）如果T是数列{}的周期，则对于任意的，也是数列{}的周期；（4）如果T是数列{}的最小正周期，M是数列{}的任一周期，则必有T|M，即M=（）；（5）已知数列{}满足（为常数），分别为{}的前项的和与积，若，则，；（6）设数列{}是整数数列，是某个取定大于1的自然数，若是除以后的余数，即，且，则称数列是{}关于的模数列，记作。
若模数列是周期的，则称{}是关于模的周期数列。
（7）任一阶齐次线性递归数列都是周期数列。
4．阶差数列对于一个给定的数列{}，把它的连续两项与的差－记为，得到一个新数列，把数列称为是原数列{}的一阶差数列；如果，则称数列是数列的一阶差数列，是{}的二阶差数列；依次类推，可以得到数列{}的阶差数列，其中。
如果某一数列的阶差数列是一非零常数列，则称该数列为阶等差数列。
其实一阶等差数列就是我们通常说的等差数列；高阶等差数列是二阶或二阶以上等差数列的统称。
高阶等差数列具有以下性质：（1）如果数列{}是阶等差数列，则它的一阶等差数列是阶差数列；（2）数列{}是阶等差数列的充要条件是：数列{}的通项是关于的次多项式；（3）如果数列{}是阶等差数列，则其前项之和是关于的次多项式。
高阶等差数列中最常见的问题是求通项公式以及前项和，更深层次的问题2是差分方程的求解。
解决问题的基本方法有：(1)逐差法：其出发点是；(2)待定系数法：在已知阶数的等差数列中，其通项与前n项和S n是确定次数的多项式(关于n的)，先设出多项式的系数，再代入已知条件解方程组即得(3)裂项相消法：其出发点是an能写成=f(n+1)－f(n)(4)化归法：把高阶等差数列的问题转化为易求的同阶等差数列或低阶等差数列的问题，达到简化的目的设数列{}不是等比数列：若它的一阶等差数列是公比不为1的等比数列，则称它是一阶等比数列；若它的一阶差数列不是等比数列，而二阶差数列是公比不为1的等比数列，则称这为二阶等比数列。
一般地说，如果某一个数列它的阶等差数列不是等比数列，而阶差数列是公比不为1的等比数列，则称这个数列为阶等比数列，其中。
0阶等比数列就是我们通常所说的等比数列，一阶及二阶以上的等比数列，统称为高阶等比数列。
典例分析例1．数列的通项公式为，．记，求所有的正整数，使得能被8整除．（2005年上海竞赛试题）解：记注意到，可得因此，Sn+2除以8的余数，完全由Sn+1、Sn除以8的余数确定，故由(*)式可以算出各项除以8的余数依次是1,3，0,5，7,0，1,3，……，它是一个以6为周期的数列，从而故当且仅当例２．设是下述自然数N的个数，N的各位数字之和为，且每位数字只能取1、3或4，求证：是完全平方数，这里分析：这道题目的证法很多，下面我们给出借助于斐波那契数列证明的两种方法。
方法一：利用斐波那契数列作过渡证明。
设，其中且。
假设，删去时，则当依次取1，3，4时，分别等于，故当时，（1）作数列：且，现用数学归纳法证明下述两式成立：（2）（3）因为故当时（2）（3）两式成立。
假设当（）时，（2）（3）两式成立，由当时，由（1）式、的定义以及归纳假设，知这样（2）（3）两式对于成立。
故（2）（3）两式对于一切自然数成立。
，由（2）即可知是完全平方数。
方法二：由的递推关系式寻求的递推关系式，从这个递推关系式对求与斐波那契数列的关系。
设，其中且。
假设，删去时，则当依次取1，3，4时，分别等于，故当时，所以令，则当时，有因为，下用数学归纳法证明，其中是斐波那契数列：且，当时结论显然；设时结论成立，于是即当时命题成立。
从上述证明可知，对一切正整数，是完全平方数，从而也是完全平方数。
例3．将等差数列{}:中所有能被3或5整除的数删去后,剩下的数自小到大排成一个数列{},求的值.（2006年江西省竞赛试题）解:由于,故若是3或5的倍数,当且仅当是3或5的倍数.现将数轴正向分成一系列长为60的区间段:(0,+ )＝(0,60]∪(60,120]∪(120,180]∪…,注意第一个区间段中含有{}的项15个,即3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59.其中属于{}的项8个,为:,,,,,,,, 于是每个区间段中恰有15个{}的项,8个{}的项,且有,k∈N,1≤r≤8.由于2006＝8×250+6,而,所以.例4．将正奇数集合从小到大按第组有个奇数进行分组：{1}，{3，5，7}，{9，11，13，15，17}，……问1991位于第几组？解：需要写出第n组的第1个数与最后一个数，1991介于其中，而第n组的最后一个数为。
第n组的第一个数即第n－1组的最后一个数后面的奇数，为[2(n－1)2－1]+2=2(n－1)2+1。
由题意知2(n－1)2+1，解得(n－1)2且，从而且，故，即1991位于第32级中。
例5．设等差数列的首项是，公差为，将按第组有个数的法则分组如下：，，，……，试问是第几组的第几个数？并求出所在那组的各项的和。
解：设位于第组，则前组共有3+6+9+…+3（k－1）=项，所以即解此方程组得：，因为且－（，所以。
因此，是第组的第个数，其中。
因为第组是以为首项，为公差的等差数列，所以其所有项的和等于，其中。
例６．设奇数数列：1，3，5，7，9……（1）按2，3，2，3……的个数分群如下：（1，3），（5，7，9），（11，13），（15，17，19）， (2)（I）试问数列（1）中的2007是分群数列（2）中的第几群中的第几个元素？（II）求第个群中的所有的元素之和。
解：（I）将数列（1）重新分群，按每个群含5个元素的方式分群：（1，3，5，7，9），（11，13，15，17，19）， (3)由于2007排在（1）中的第1004个，因此2007是分群数列（3）中的第201群中的第4个元素。
对照分群数列（2）与（3），容易知道（3）中的第201个群的第4个元素是数列（2）中的第402个群中的第2个元素，所以2007是分群数列（2）中第402群中的第2个元素。
（II）对分偶数和奇数两种情况进行讨论。
若为偶数，则，则数列（2）的第群的元素是数列（3）的第群的第3，4，5个元素，由于数列（3）的第群的5个元素之和是，所以数列（2）中的第群的元素之和为；若为奇数，设，则数列（2）的第群的元素是数列（3）的第群的第1，2个元素。
由于数列（3）的第群的5个元素之和是，所以数列（2）中的第群的元素之和为。
例7．数列：1，9，8，5，……，其中是的个位数字（），试证明：是4的倍数。
证明：数列中为奇或偶数时，分别记为1，0，则得数列：1，1，0，1，0，1，1，0，0，1，0，0，0，1，1，1；1，1，0，1，0，1，1，0，0，1，0，0，0，1，1，1；…且与的奇偶性相同。
由于数列，的定义及前面得到的新数列的一些项，可见是以15为周期的周期数列，即得，而，，……，，于是……即在1985到2000的这16项中，奇数、偶数各有8项，由于偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，由此命题得证。
例8．已知，，，试证：对于一切，所有的项都不是4的倍数。
证明：方法一：由题设中的递推关系，知的奇偶性只有三种情况：奇，偶，奇；偶，奇，奇；奇，奇，偶。
均不是4的倍数。
下面证明中的所有项都不是4的倍数。
假设存在是4的倍数的最小下标，则，且均为奇数，为偶数。
由于和，得所以是4的倍数，与所设的矛盾！因此命题得证。
方法二：由于该数列不是周期数列，但模4后得到的数列是周期数列，从开头的几项1，2，7，29，22，23，49，26，－17，……模4后得1，2，3，1，2，3，1，2，3，……发现这是一个周期为3的周期数列。