几个重要的特殊数列
探索数列规律
探索数列规律数列是数学中的一个重要概念，它是由一系列数字按照一定规律排列而成的。
探索数列规律是数学学习中的常见问题，通过分析数列的规律可以帮助我们理解数学问题，进而解决实际问题。
本文将从四个不同的角度探索数列规律，分别是等差数列、等比数列、斐波那契数列以及其他特殊数列。
一、等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之间的差值保持恒定。
一般用字母a表示首项，d表示公差。
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d。
例如，1，3，5，7，9就是一个公差为2的等差数列。
对于等差数列，我们可以通过求差、观察数列中的规律，或者利用通项公式来确定数列的规律。
二、等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之间的比值保持恒定。
一般用字母a表示首项，r表示公比。
等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)。
例如，2，4，8，16，32就是一个公比为2的等比数列。
对于等比数列，我们可以通过求比、观察数列中的规律，或者利用通项公式来确定数列的规律。
三、斐波那契数列斐波那契数列是一个非常特殊的数列，它的前两项是1，以后的每一项都是前两项之和。
即F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(1)=1，F(2)=1。
斐波那契数列的前几项为1，1，2，3，5，8，13，21，34……对于斐波那契数列，我们可以通过递推关系和初始条件来确定数列的规律。
四、其他特殊数列除了等差数列、等比数列和斐波那契数列之外，还存在许多特殊的数列，如平方数列、立方数列、阶乘数列等。
平方数列是指数列中的每一项都是某个自然数的平方；立方数列是指数列中的每一项都是某个自然数的立方；阶乘数列是指数列中的每一项都是某个自然数的阶乘。
这些数列都有自己独特的规律和特点，通过观察和分析可以找到它们的规律。
综上所述，探索数列规律是数学学习中的重要内容。
通过对等差数列、等比数列、斐波那契数列以及其他特殊数列的探索，我们可以培养自己的数学思维能力，提高数学问题的解决能力。
当我们遇到数列问题时，不妨从以上四个不同的角度进行思考和分析，相信能够发现数列中隐藏的规律，从而更好地解决问题。
费波纳奇数列
费波纳奇数列费波纳奇数列，又称黄金分割数列，是一种非常特殊的数列。
这个数列的每一项都是前两项之和，从而形成了1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233……这样的一组数字。
这个数列的特殊之处在于，它的每一项都是前一项和前两项的和，这样的组合关系使得它具有非常神奇的性质。
这个数列的特殊性质之一，便是它的比值趋近于黄金分割比例。
黄金分割比例是一种非常美学的比例，它是指一条线段分成两段时，较长的一段与整条线段的比值等于较短一段与较长一段的比值。
这个比例的数学表达式为（a+b）/a=a/b，其中a和b分别为较长和较短的线段长度。
费波纳奇数列的比值趋近于黄金分割比例，是因为当n趋近于无穷大时，Fn+1/Fn趋近于黄金分割比例1.6180339887……。
除了黄金分割比例，费波纳奇数列还有其他非常有趣的性质。
例如，这个数列中每个数的个位数字都是以5为周期循环的。
更特别的是，它还具有非常神奇的几何性质，被称为“费波那契螺旋”。
这个螺旋是通过在一个正方形内不断绘制正方形来构建的。
每个正方形的边长都是前一个正方形的边长。
当这个螺旋不断绘制下去时，它所构成的线条和形状非常美妙，被认为是一种非常优美的图形。
费波纳奇数列的应用非常广泛。
例如，在金融领域中，费波纳奇数列被用来预测股价和市场走势。
在自然界中，很多的植物和动物都具有费波纳奇数列的特性。
例如，一些植物的叶子排列和一些动物的身体构造都具有这个数列的性质。
费波纳奇数列是一种非常特殊的数列，它具有非常神奇的性质。
这个数列的比值趋近于黄金分割比例，它的每个数的个位数字都是以5为周期循环的，它还具有非常神奇的几何性质。
费波纳奇数列的应用非常广泛，它被用来预测股价和市场走势，在自然界中，很多的植物和动物都具有这个数列的性质。
整理几个重要的特殊数列
几个重要的特殊数列 基础知识 1．斐波那契数列 莱昂纳多斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。
在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即： 假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。
年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？ 这就是非常著名的斐波那契数列问题。
其实这个问题的解决并不是很困难，可以用表示第个月初时免房里的免子的对数，则有，第个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子，共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子，共有对，于是有。
现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。
特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。
（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定； （2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定。
（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出） 因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其特征根为： ，所以可设其通项公式为，利用初始条件得，解得 所以。
这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如： 它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。
斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。
为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明） （1）斐波那契数列的前项和； （2）； （3）（）； （4）（）； （5）（）； 2．分群数列 将给定的一个数列{}：按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列。
发散数列的经典例子
发散数列的经典例子发散数列，也被称为无穷数列，是指一个由无数个数字组成的数列，其中每个数字都比前一个数字大。
发散数列是数学中的一个重要概念，在数学、物理、化学等领域都有着广泛的应用。
下面就来介绍几个经典的发散数列。
I. 等比数列等比数列是指一个数列中每个数字都是前一个数字乘以一个常数，即a1, a2, a3, …, an, …的公比为r，即a(n+1)=r*an。
如果r>1，那么这个数列就是一个发散数列。
例如，2, 4, 8, 16, 32, … 这个数列的公比为2，无穷项趋于正无穷。
II. 斐波那契数列斐波那契数列是指一个数列中，从第3项开始，每一项都等于前两项之和，即a(1)=1, a(2)=1, a(n+1)=a(n)+a(n-1)。
这个数列的性质非常特殊，如下：1. 斐波那契数列是递增的；2. 斐波那契数列的比值随着项数的增加越来越接近黄金分割（约1.618）；3. 斐波那契数列是一个发散数列。
III. 调和级数调和级数是指一个数列中，每一项都是其前一项的倒数加1，即1,1+1/2, 1+1/2+1/3, …, 其通项公式为an = 1 + 1/2 + … + 1/n。
显然，调和级数是一个发散数列，但是其发散速度非常缓慢。
例如，调和级数前1000项的和约为7.48，而前100万项的和已经接近21。
IV. 稀疏数列稀疏数列是指一个数列中，每一项都是前一项的平方根，即a(n+1)=sqrt(an)。
这个数列的性质非常有趣，如下：1. 稀疏数列最初的几项增长迅速，但是随着项数的增加越来越慢；2. 稀疏数列是收敛数列，即其无穷项的极限存在，且为1。
V. 射线数列射线数列是指一个数列中，每一项都比前一项多2n个正整数，其中n 为项数减1，即a(1)=1, a(n+1)=a(n)+2n。
这个数列的性质如下：1. 射线数列是一个发散数列；2. 射线数列的无穷项是完全平方数，即a(n)=n^2。
总的来说，发散数列是数学中非常重要却也十分神秘的概念之一，这些经典发散数列不仅有着自己独特的性质和规律，而且在科学和工程中都有着广泛的应用。
几个特殊的数列
几个重要的特殊数列基础知识1．斐波那契数列莱昂纳多斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。
在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。
年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？这就是非常著名的斐波那契数列问题。
其实这个问题的解决并不是很困难，可以用表示第个月初时免房里的免子的对数，则有，第个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子，共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子，共有对，于是有。
现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。
特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。
（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定；（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定。
（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出）因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其特征根为：，所以可设其通项公式为，利用初始条件得，解得所以。
这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如：它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。
斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。
为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明）（1）斐波那契数列的前项和；（2）；（3）（）；（4）（）；（5）（）；2．分群数列将给定的一个数列{}：按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列。
如在上述数列中，我们将作为第一组，将作为第二组，将作为第三组，……依次类推，第组有个元素，即可得到以组为单位的序列：（），（），（），……我们通常称此数列为分群数列。
活跃在高考中的特殊数列
二 、 方 比数 列 等
【 ２ （０７ 湖北 ・ ６ 若数列． 满足 例 】２ ・ ０ 理 ） ｛｝ 。
＝Ｐ ｐ为正 常数 ， ∈Ｎ ， （ ｎ ） 则称 ｆ ｝ 等 Ⅱ 为“
Ⅱ
｛ １ Ｃ 是等 和 数列 ， ｎ － ， 和 为 ５ 那 么 。 ／ ， 且 ，２ 公 ， 。
的值 为 — — ， 个 数 列 的 前 ｎ项 这
【 １】 ２ ０ 北 京 ・ １ 定 义 “ 和 数 例 （ ０ ４・ 理 ４） 等
列 ”： 一 个 数 列 中 ， 果 每 一 项 与 它 的 后 一 项 在 如 的 和 都 为 同 一 个 常 数 ， 么 这 个 数 列 叫 做 等 和 那 数 列 ，这 个 常 数 叫 做 该 数 列 的 公 和 ．已知 数 列
７Ｏ
探险家被一个原始部落俘虏了， 部落首领打算处死他。首领称自己 是个非常讲逻辑的 他让探险家讲一句话。如果这句话是事 人，
实 ． 么 他 将 被 扔 下 悬 崖 ． 果 讲 的 不 符 合 事 实 ， 把 他 喂 狮 子 。沉 着 机 智 的 探 险 家 说 了 一 句话 ， 落 首 领 不 得 不 悻 悻 地 放 掉 了 探 险 寡 那 如 就 部
一
１
ａｎ
一
２ （≥３， —１ 凡 ）
比数 列 但 不 是 等 比 数 列 ， 以 上 分 析 说 明 甲
乙 ．
即 ａ 的值要么 比 ａ ｎ ｎ 至少 小 １ 一 ，要么 比 ａ一至少 ｎ
小 １ ．
综 上 可 知 ， 是 乙 的 必 要 条 件 但 不 是 充 分 甲
条 件 ． 选 Ｂ． 故 点 评 ： 新 知 识 产 生 认 知 失 调 ， 造 成 思 对 会
Ａ． 是 乙 的 充 分 条 件 但 不 是 必 要 条 件 甲 Ｂ． 是 乙 的 必 要 条 件 但 不 是 充 分 条 件 甲
常见数列知识点总结归纳
常见数列知识点总结归纳数列是数学中常见的概念，它由一系列按照一定规律排列的数所组成。
数列的研究在数学中具有广泛的应用，涉及到多个领域。
本文将对常见数列的相关知识点进行总结和归纳。
一、等差数列等差数列是最基础也是最常见的数列类型之一。
它的特点是数列中的每一项与前一项之间的差值都是相等的。
1. 通项公式等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an为第n项，a1为首项，d为公差。
2. 前n项和公式等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 * (a1 + an)，其中Sn为前n项的和。
3. 性质与运算等差数列具有多个性质和运算规则，例如：任意两项之和等于其间项数乘以公差、删除相同项后，剩下的数列仍然是等差数列等。
二、等比数列等比数列是另一种常见的数列类型，它的特点是数列中的每一项与前一项之比都是相等的。
1. 通项公式等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，r为公比。
2. 前n项和公式等比数列的前n项和公式为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn为前n项的和。
3. 性质与运算等比数列也有多个性质和运算规则，例如：相邻两项之商等于公比、删除相同项后，剩下的数列仍然是等比数列等。
三、斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，它的前两项为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列的通项公式为an = an-1 + an-2，其中an为第n项，an-1为第n-1项，an-2为第n-2项。
斐波那契数列具有独特的性质，例如：相邻两项之比逐渐接近黄金分割比、在数列中，某一项与它之后的项之商趋近于黄金分割比等。
四、几何数列几何数列是一种特殊的数列，它的前一项与后一项之比都是相等的。
几何数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，r为公比。
几何数列的前n项和公式为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn为前n项的和。
数学中的所有的数列
数学中的所有的数列数学是一门科学，也是一门艺术。
在数学中，数列是我们常见且很重要的概念之一。
无论是数学中的初等数学，还是高等数学，数列都是一个关键的组成部分。
本文将介绍数学中的所有的数列，包括等差数列、等比数列、斐波那契数列等等。
1. 等差数列等差数列是数列中最简单也是最常见的一种。
其定义是：数列中的每个数与它的前一个数之差等于同一个常数，这个常数被称为公差。
一般情况下，我们用字母d来代表公差。
设数列的首项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，aₙ表示数列的第n个项。
等差数列的求和公式为：Sₙ = (n/2)(a₁+aₙ)其中，Sₙ表示前n项和。
2. 等比数列等比数列也是数学中常见的一种数列。
其定义是：数列中的每个数与它的前一个数之比等于同一个常数，这个常数被称为公比。
一般情况下，我们用字母q来代表公比。
设数列的首项为a₁，公比为q，则等比数列的通项公式为：aₙ = a₁ × q^(n-1)等比数列的求和公式为：Sₙ = (a₁ × (1-qⁿ))/(1-q)需要注意的是，当公比q大于1时，等比数列的前n项和存在有限值；当公比q介于-1和1之间时，等比数列的前n项和趋近于零；当公比q小于-1或者等于1时，等比数列的前n项和无意义。
3. 斐波那契数列斐波那契数列是数学中一个非常经典的数列。
其定义是：数列的前两个数为1，之后的每个数都是前两个数之和。
斐波那契数列的通项公式可以用如下方式表示：f(n) = f(n-1) + f(n-2)其中，f(n)表示数列的第n个项。
斐波那契数列在数学和自然界中有着广泛的应用。
例如，在植物的分枝、蜂窝的结构以及金融市场中，都能够找到斐波那契数列的身影。
4. 等差-等比混合数列等差-等比混合数列是一种综合了等差数列和等比数列特点的数列。
在等差-等比混合数列中，数列中的每个数与它的前一个数之差的绝对值是一个等比数列。
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几个重要的特殊数列基础知识1．斐波那契数列莱昂纳多斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。
在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。
年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？这就是非常著名的斐波那契数列问题。
其实这个问题的解决并不是很困难，可以用表示第个月初时免房里的免子的对数，则有，第个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子，共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子，共有对，于是有。
现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。
特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。
（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定；（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定。
（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出）因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其特征根为：，所以可设其通项公式为，利用初始条件得，解得所以。
这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如：它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。
斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。
为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明）（1）斐波那契数列的前项和；（2）；（3）（）；（4）（）；（5）（）；2．分群数列将给定的一个数列{}：按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列。
如在上述数列中，我们将作为第一组，将作为第二组，将作为第三组，……依次类推，第组有个元素，即可得到以组为单位的序列：（），（），（），……我们通常称此数列为分群数列。
一般地，数列{}的分群数列用如下的形式表示：（），（），（），……，其中第1个括号称为第1群，第2个括号称为第2群，第3个括号称为第3群，……，第个括号称为第群，而数列{}称为这个分群数列的原数列。
如果某一个元素在分群数列的第个群中，且从第个括号的左端起是第个，则称这个元素为第群中的第个元素。
值得注意的是一个数列可以得到不同的分群数列。
如对数列{}分群，还可以得到下面的分群数列：第个群中有个元素的分群数列为：（），（），（）…；第个群中有个元素的分群数列为：（），（），（）…等等。
3．周期数列对于数列{}，如果存在一个常数，使得对任意的正整数恒有成立，则称数列{}是从第项起的周期为T的周期数列。
若，则称数列{}为纯周期数列，若，则称数列{}为混周期数列，T的最小值称为最小正周期，简称周期。
周期数列主要有以下性质：（1）周期数列是无穷数列，其值域是有限集；（2）周期数列必有最小正周期（这一点与周期函数不同）；（3）如果T是数列{}的周期，则对于任意的，也是数列{}的周期；（4）如果T是数列{}的最小正周期，M是数列{}的任一周期，则必有T|M，即M=（）；（5）已知数列{}满足（为常数），分别为{}的前项的和与积，若，则，；（6）设数列{}是整数数列，是某个取定大于1的自然数，若是除以后的余数，即，且，则称数列是{}关于的模数列，记作。
若模数列是周期的，则称{}是关于模的周期数列。
（7）任一阶齐次线性递归数列都是周期数列。
4．阶差数列对于一个给定的数列{}，把它的连续两项与的差－记为，得到一个新数列，把数列称为是原数列{}的一阶差数列；如果，则称数列是数列的一阶差数列，是{}的二阶差数列；依次类推，可以得到数列{}的阶差数列，其中。
如果某一数列的阶差数列是一非零常数列，则称该数列为阶等差数列。
其实一阶等差数列就是我们通常说的等差数列；高阶等差数列是二阶或二阶以上等差数列的统称。
高阶等差数列具有以下性质：（1）如果数列{}是阶等差数列，则它的一阶等差数列是阶差数列；（2）数列{}是阶等差数列的充要条件是：数列{}的通项是关于的次多项式；（3）如果数列{}是阶等差数列，则其前项之和是关于的次多项式。
高阶等差数列中最常见的问题是求通项公式以及前项和，更深层次的问题2是差分方程的求解。
解决问题的基本方法有：(1)逐差法：其出发点是；(2)待定系数法：在已知阶数的等差数列中，其通项与前n项和S n是确定次数的多项式(关于n的)，先设出多项式的系数，再代入已知条件解方程组即得(3)裂项相消法：其出发点是an能写成=f(n+1)－f(n)(4)化归法：把高阶等差数列的问题转化为易求的同阶等差数列或低阶等差数列的问题，达到简化的目的设数列{}不是等比数列：若它的一阶等差数列是公比不为1的等比数列，则称它是一阶等比数列；若它的一阶差数列不是等比数列，而二阶差数列是公比不为1的等比数列，则称这为二阶等比数列。
一般地说，如果某一个数列它的阶等差数列不是等比数列，而阶差数列是公比不为1的等比数列，则称这个数列为阶等比数列，其中。
0阶等比数列就是我们通常所说的等比数列，一阶及二阶以上的等比数列，统称为高阶等比数列。
典例分析例1．数列的通项公式为，．记，求所有的正整数，使得能被8整除．（2005年上海竞赛试题）解：记注意到，可得因此，Sn+2除以8的余数，完全由Sn+1、Sn除以8的余数确定，故由(*)式可以算出各项除以8的余数依次是1,3，0,5，7,0，1,3，……，它是一个以6为周期的数列，从而故当且仅当例２．设是下述自然数N的个数，N的各位数字之和为，且每位数字只能取1、3或4，求证：是完全平方数，这里分析：这道题目的证法很多，下面我们给出借助于斐波那契数列证明的两种方法。
方法一：利用斐波那契数列作过渡证明。
设，其中且。
假设，删去时，则当依次取1，3，4时，分别等于，故当时，（1）作数列：且，现用数学归纳法证明下述两式成立：（2）（3）因为故当时（2）（3）两式成立。
假设当（）时，（2）（3）两式成立，由当时，由（1）式、的定义以及归纳假设，知这样（2）（3）两式对于成立。
故（2）（3）两式对于一切自然数成立。
，由（2）即可知是完全平方数。
方法二：由的递推关系式寻求的递推关系式，从这个递推关系式对求与斐波那契数列的关系。
设，其中且。
假设，删去时，则当依次取1，3，4时，分别等于，故当时，所以令，则当时，有因为，下用数学归纳法证明，其中是斐波那契数列：且，当时结论显然；设时结论成立，于是即当时命题成立。
从上述证明可知，对一切正整数，是完全平方数，从而也是完全平方数。
例3．将等差数列{}:中所有能被3或5整除的数删去后,剩下的数自小到大排成一个数列{},求的值.（2006年江西省竞赛试题）解:由于,故若是3或5的倍数,当且仅当是3或5的倍数.现将数轴正向分成一系列长为60的区间段:(0,+ )＝(0,60]∪(60,120]∪(120,180]∪…,注意第一个区间段中含有{}的项15个,即3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59.其中属于{}的项8个,为:,,,,,,,,于是每个区间段中恰有15个{}的项,8个{}的项,且有,k∈N,1≤r≤8.由于2006＝8×250+6,而,所以.例4．将正奇数集合从小到大按第组有个奇数进行分组：{1}，{3，5，7}，{9，11，13，15，17}，……问1991位于第几组？解：需要写出第n组的第1个数与最后一个数，1991介于其中，而第n组的最后一个数为。
第n组的第一个数即第n－1组的最后一个数后面的奇数，为[2(n－1)2－1]+2=2(n－1)2+1。
由题意知2(n－1)2+1，解得(n－1)2且，从而且，故，即1991位于第32级中。
例5．设等差数列的首项是，公差为，将按第组有个数的法则分组如下：，，，……，试问是第几组的第几个数？并求出所在那组的各项的和。
解：设位于第组，则前组共有3+6+9+…+3（k－1）=项，所以即解此方程组得：，因为且－（，所以。
因此，是第组的第个数，其中。
因为第组是以为首项，为公差的等差数列，所以其所有项的和等于，其中。
例６．设奇数数列：1，3，5，7，9……（1）按2，3，2，3……的个数分群如下：（1，3），（5，7，9），（11，13），（15，17，19）， (2)（I）试问数列（1）中的2007是分群数列（2）中的第几群中的第几个元素？（II）求第个群中的所有的元素之和。
解：（I）将数列（1）重新分群，按每个群含5个元素的方式分群：（1，3，5，7，9），（11，13，15，17，19）， (3)由于2007排在（1）中的第1004个，因此2007是分群数列（3）中的第201群中的第4个元素。
对照分群数列（2）与（3），容易知道（3）中的第201个群的第4个元素是数列（2）中的第402个群中的第2个元素，所以2007是分群数列（2）中第402群中的第2个元素。
（II）对分偶数和奇数两种情况进行讨论。
若为偶数，则，则数列（2）的第群的元素是数列（3）的第群的第3，4，5个元素，由于数列（3）的第群的5个元素之和是，所以数列（2）中的第群的元素之和为；若为奇数，设，则数列（2）的第群的元素是数列（3）的第群的第1，2个元素。
由于数列（3）的第群的5个元素之和是，所以数列（2）中的第群的元素之和为。
例7．数列：1，9，8，5，……，其中是的个位数字（），试证明：是4的倍数。
证明：数列中为奇或偶数时，分别记为1，0，则得数列：1，1，0，1，0，1，1，0，0，1，0，0，0，1，1，1；1，1，0，1，0，1，1，0，0，1，0，0，0，1，1，1；…且与的奇偶性相同。
由于数列，的定义及前面得到的新数列的一些项，可见是以15为周期的周期数列，即得，而，，……，，于是……即在1985到2000的这16项中，奇数、偶数各有8项，由于偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，由此命题得证。
例8．已知，，，试证：对于一切，所有的项都不是4的倍数。
证明：方法一：由题设中的递推关系，知的奇偶性只有三种情况：奇，偶，奇；偶，奇，奇；奇，奇，偶。
均不是4的倍数。
下面证明中的所有项都不是4的倍数。
假设存在是4的倍数的最小下标，则，且均为奇数，为偶数。
由于和，得所以是4的倍数，与所设的矛盾！因此命题得证。
方法二：由于该数列不是周期数列，但模4后得到的数列是周期数列，从开头的几项1，2，7，29，22，23，49，26，－17，……模4后得1，2，3，1，2，3，1，2，3，……发现这是一个周期为3的周期数列。