【强烈推荐】常见特殊数列求和
数列求和公式大全
数列求和公式大全数列求和是数学中的一个重要概念，它在高中数学和大学数学中都有着广泛的应用。
数列求和的公式种类繁多，不同类型的数列有着不同的求和公式。
在本文中，我们将为大家总结数列求和的各种公式，希望能够帮助大家更好地理解和应用数列求和的知识。
一、等差数列求和公式。
等差数列是最为基础的数列之一，其求和公式为，Sn=n/2(a+l)，其中n为项数，a为首项，l为末项。
这个公式的推导过程可以通过多种方法来完成，比如利用数学归纳法、差分数列等方法，都可以得到这一公式。
等差数列求和公式在数学中有着广泛的应用，比如在数学证明、物理问题中都能够看到它的身影。
二、等比数列求和公式。
与等差数列类似，等比数列也有着自己的求和公式。
等比数列的求和公式为，Sn=a(1-q^n)/(1-q)，其中a为首项，q为公比，n为项数。
等比数列求和公式在数学中同样有着重要的作用，比如在金融领域的复利计算中就能够看到等比数列求和公式的应用。
三、调和数列求和公式。
调和数列是指数列的倒数数列，其求和公式为，Sn=Hn，其中Hn为调和级数。
调和数列求和公式在数学中有着独特的地位，它在数学分析、数学物理等领域都有着广泛的应用。
四、斐波那契数列求和公式。
斐波那契数列是数学中的一个经典数列，其求和公式为，Sn=F(n+2)-1，其中F(n)为斐波那契数列的第n项。
斐波那契数列求和公式在数学中有着重要的地位，它在数论、组合数学等领域都有着广泛的应用。
五、其他常见数列求和公式。
除了上述几种常见的数列求和公式外，数学中还有着许多其他类型的数列求和公式，比如等差-等比数列混合求和公式、多项式数列求和公式等。
这些求和公式在数学研究和实际问题中都有着重要的作用，它们为数学家们解决各种实际问题提供了重要的数学工具。
总结。
数列求和是数学中的一个重要概念，它在数学理论研究和实际问题中都有着广泛的应用。
本文总结了数列求和的各种常见公式，希望能够帮助大家更好地理解和应用数列求和的知识。
特殊数列求和
n 1 (2n 1)3 3 ∴S n ＝ . 4 4
④
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2an-2n,
(1)求证:数列{an+2}为等比数列； (2)若数列{bn}满足bn=log2(an+2),Tn为数列
1 bn { }的前n项和,求证:Tn≥ . 2 an +2
2 2 2 2
对某些前后具有对称性的数列，可运 用倒序相加法求其前n项和.
即：如果一个数列的前n项中，距首末两项“等 距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法 求数列的前n项和.
1 练习：已知函数f x x , 点P1 x1 , y1 , P2 x2 , y2 是函 4 2 1 数f x 图象上任意两点，且线段P1 P2 的中点横坐标为 ， 2 求证： 1 点P 的纵坐标为定值. 1 2 2 在数列an 中，若a1 f , a2 f , , m m am 1 m 1 m * f , a f , m N , 求数列an m m m
数列求和的方法之四:裂项相消法 裂项相消法求和：将数列的通项分解 成两项之差，从而在求和时产生相消 为零的项的求和方法.
1.求和：
1 1 1 1 (1) + 1 3 2 4 3 5 n n 2 1 1 1 1 (2) + 1 4 4 7 7 10 (3n - 2) 3n 1
练习:求下列各数列前n项的和Sn： 1 1 1 1 (1) 1 , 2 , 3 , 4 ， 2 4 8 16
(2) 1, 1 2, 1 2 4, , 1 2 4 2 ,
数列求和公式七个方法
数列求和公式七个方法数列求和是数学中的一个重要概念，常用于计算数列中各项之和。
数列求和公式有多种方法，下面将介绍七种常见的求和公式方法。
方法一：等差数列求和公式等差数列是指数列中每一项与前一项之差都相等的数列。
等差数列求和公式是通过将数列项数n代入公式中，计算数列中各项之和Sn。
等差数列求和公式为Sn=n(a1+an)/2，其中Sn表示数列的和，a1表示首项，an表示末项，n表示项数。
方法二：等比数列求和公式等比数列是指数列中每一项与前一项之比都相等的数列。
等比数列求和公式是通过将数列项数n代入公式中，计算数列中各项之和Sn。
等比数列求和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，其中Sn表示数列的和，a1表示首项，q表示公比，n表示项数。
方法三：斐波那契数列求和公式斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和的数列。
斐波那契数列求和公式是通过将数列项数n代入公式中，计算数列中各项之和Sn。
斐波那契数列求和公式为Sn=f(n+2)-1，其中Sn表示数列的和，f表示斐波那契数列。
方法四：调和数列求和公式调和数列是指数列中每一项的倒数是一个调和级数的一项。
调和数列求和公式是通过将数列项数n代入公式中，计算数列中各项之和Sn。
调和数列求和公式为Sn=1+1/2+1/3+...+1/n，即Sn=Hn，其中Hn表示调和级数的n项和。
方法五：等差数列求和差分公式通过差分公式，我们可以得到等差数列的求和公式。
差分公式是指数列中相邻两项之差等于同一个常数d。
等差数列求和差分公式为Sn=[(a1+an)/2]n，其中Sn表示数列的和，a1表示首项，an表示末项，n表示项数。
方法六：等比数列求和差分公式通过差分公式，我们可以得到等比数列的求和公式。
差分公式是指数列中相邻两项之比等于同一个常数q。
等比数列求和差分公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，其中Sn表示数列的和，a1表示首项，q表示公比，n表示项数。
方法七：等差数列求和公式（倍差法）倍差法是一种基于等差数列的求和方法。
数列求和的8种常用方法
数列求和的8种常用方法数列求和是数学中非常常见的问题，它的解法有很多种。
下面我将介绍8种常用的方法来求解数列的和，让我们一起来看看吧。
一、等差数列求和公式对于等差数列$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_n$表示第n个数，$a_1$表示第一个数，d表示公差，我们可以利用等差数列求和公式求解：$S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$其中S表示数列的和，n表示数列的项数。
二、等比数列求和公式对于等比数列$a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}$，其中$a_n$表示第n个数，$a_1$表示第一个数，q表示公比，我们可以利用等比数列求和公式求解：$S = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$，其中q≠1或者当q=1时，$S=a_1n$其中S表示数列的和，n表示数列的项数。
三、几何级数求和公式对于几何级数$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_1$表示第一个数，q表示公比，我们可以利用几何级数求和公式求解：$S = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$，其中q≠1四、等差数列-等比数列混合求和公式对于等差数列-等比数列混合数列$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_n = a_1 + (n-1)d$，$a_1$表示第一个数，d表示公差，我们可以利用等差数列-等比数列混合求和公式求解：$S = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1} + \frac{n(n-1)d}{2}q^{(n-2)}$，其中q≠1五、反比例数列求和公式对于反比例数列$s_n = \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}$，其中$a_1$表示第一个数，我们可以利用反比例数列求和公式求解：$S = \frac{n}{a_1}$六、算术-几何级数求和公式对于算术-几何级数$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_n = a_1 + (n-1)d$，$a_1$表示第一个数，d表示公差$S = \frac{a_1}{1-q} + \frac{d}{(1-q)^2}$，其中q≠1七、差分数列求和公式对于差分数列$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_n = a_1+ (n-1)d$，$a_1$表示第一个数，d表示公差，我们可以利用差分数列求和公式求解：$S = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$其中S表示数列的和，n表示数列的项数。
数列求和公式七个方法
数列求和公式七个方法数列求和是数学中常见的问题之一、下面将介绍七种常用的数列求和方法，包括等差数列求和、等比数列求和、等差数列二次项求和、递归数列求和、斐波那契数列求和、等差数列部分项求和、正弦数列求和。
一、等差数列求和：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
从首项到第n项的和Sn可以通过以下公式计算：Sn = (n/2)(a1 + an)其中，n为项数，a1为首项，an为末项，Sn为和。
二、等比数列求和：等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。
从首项到第n项的和Sn可以通过以下公式计算：Sn=a1(q^n-1)/(q-1)其中，n为项数，a1为首项，q为公比，Sn为和。
三、等差数列二次项求和：对于等差数列的二次项和，可以通过对等差数列求和公式进行二次求和得到。
Sn=(n/6)*(2a1+(n-1)d)(a1+(n-1)d+d)其中，n为项数，a1为首项，d为公差，Sn为和。
四、递归数列求和：递归数列是一种特殊的数列，其中每一项都是前一项的函数。
递归数列的求和可以通过编写一个递归函数来实现。
例如，对于斐波那契数列：F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(1)=1，F(2)=1可以编写一个递归函数，将前两个项相加，并递归调用函数来求和。
五、斐波那契数列求和：斐波那契数列是一种特殊的递归数列，其中前两个项为1，从第三项开始每一项都是前两项的和。
斐波那契数列求和可以通过编写一个循环来实现，累加每一项的值。
六、等差数列部分项求和：对于等差数列的部分项求和，可以通过求解两个和的差来实现。
设Sn为从第m项到第n项的和，Sm为从第1项到第m-1项的和，Sn 可以通过以下公式计算：Sn = Sn - Sm = (n-m+1)(a1 + an) / 2其中，m和n为项数，a1为首项，an为末项。
七、正弦数列求和：正弦数列是一种特殊的数列，其中每一项的值由正弦函数确定。
特殊数列求和
特殊数列求和类型综述特殊数列前n 项求和是数列中一个知识重点和难点，属于考试中较常见的题型，因此是数列单元中的一个重要部分。
但不论是哪一类方法，都要求首先要认真观察数列的通项公式的特点，并且根据不同的特点采取不同的变形手段，采用不同的解题方法。
类型一：“拆项分组求和法”例1.求和 n S =7+77+777+…+77777个n 。
解：9999997个n n a ⨯==)110(97-n，∴n n n S nn nn 97)110(8170]1011010[97])101010[(97121--=---=-+++=+ 。
例2.求和)223233()2233()23(22122n n n n n S ++∙+∙++++∙+++=-- 。
解： n n n n n a 223233221++∙+∙+=--=111223]321)32(1[3])32()32(321[3+++-=--∙=++++n n n n n n )222()333(132132+++++-+++=∴n n n S2122322--=++n n 。
（注意：项数是n+1项,不是n 项）类型二：“裂项相消法” 例3.求和)2(1531421311+++⨯+⨯+⨯n n 。
分析：抓住通项公式特点，进行巧妙变形：)211(21)2(1+-=+=n nn n a n，从而 )2(1531421311+++⨯+⨯+⨯=n n Sn4523)2111211(21)211()1111()5131()4121()311(212++=+-+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++--++-+-+-=n nn n n n n n说明：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。
只剩下有限的几项。
另外，余下的项具有如下的特点：1.余下的项前后的位置前后是对称的；2.余下的项前后的正负性是相反的。
解决此类问题的关健仍然是要紧抓通项公式的特点进行变形。
6.4特殊数列的求和
科 目数学 年级 高三 备课人 高三数学组 第 课时 6.4特殊数列的求和考纲定位 熟练掌握等差、等比数列求和公式；熟练掌握数列求和的几种方法，如：倒序相加、错位相减、裂项相消以及分组求和等.【考点整合】1、等差数列前n 项和公式： ；等比数列前n 项和公式： .2、其他常用求和公式：（1）2222123...n ++++= ；（2）3333123...n ++++= .【典型例题】一、分组求和例1、在等比数列{}n a 中，11,2a q ==，若数列{}n b 满足2log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .变式训练：1、数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11234...(1)n n S n -=-+-++-∙，则15S =（ ）A.9B.8C.16D.152、数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知(1)(21)n n a n =--，则2014S = .3、（2012 福建）数列{}n a 的通项公式sin12n n a n π=+，前n 项和为n S ，则2012S = .小结：形如：(1)()n n a f n =-类型，常采用两项合并求和.此外如果数列{}n a 为周期函数时，也用分组求和.二、裂项相消求和例2、已知数列{}n a 的通项公式为3(21)(21)n a n n =+-，求数列{}n a 的前n 项和n S .变式训练：1、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(1)(2)n a n n =++，则8S =（ ） A.25 B.130 C.730 D.562、1111 (21321)n n +++++++-=（ ） A.1n - B.11n -- C.n D.11n +-小结：常见的拆项公式有：（1）1(1)n n += ； （2）1(21)(21)n n -+= ； （3）1(1)(2)n n n ++= ； （4）1a b+= ； （5）!(1)!!n n n n ∙=+-三、错位相减求和例3、已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且通项公式为=2n n a n ∙，求n S .小结：推广：已知数列{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列，设数列{}n c 满足n n n c a b =∙，求数列{}n c 的前n 项和n S .变式训练：1、已知数列{}n a 是各项都是正数的等比数列，且134,64a a ==，若2log n n n b a a =，求数列{}n b 前n 项和n S .【上本作业】（2013 四川）已知函数R x x x x f ∈-++=),43cos()47sin()(ππ (1)求)(x f 的最小正周期和最小值；(2)已知54)cos(,54)cos(-=+=-αβαβ，20πβα≤<<.求证：2)]([2=βf .【课后反思】6.4特殊数列的求和 参考答案【考点整合】1、略；2、（1）(1)(21)6n n n ++； （2）22(1)4n n +【典型例题】例1、略变式训练：1、B ； 2、2014； 3、3018；例2、略变式训练：1、A ； 2、C ；小结：（1）111(1)1n n n n =-++；（2）1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+ （3）1111()(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++；（4）11()a b a b a b =--+例3、略变式训练：略【上本作业】解析：（1）)4cos()4sin()43cos()47sin()(ππππ+--=-++=x x x x x f 4sin sin 4cos cos 4sin cos 4cossin ππππx x x x +--= )4sin(2cos 2sin 2π-=-=x x x 2)(,2min min -==∴x f T π（2）由54)cos(,54)cos(-=+=-αβαβ得： 54s i n s i n c o s c o s =+αβαβ，54sin sin cos cos -=-αβαβ，两式相加得： 0c o s c o s=αβ，又20πβα≤<<，所以0cos =β，2πβ=∴ 24s i n 2)42s i n (2)2()(==-==∴ππππβf f ，2)]([2=∴βf 。
特殊数列求和方法
2、设数列{a n }的前 项和 已知首项 、 的前n项和 项和.已知首项 a1 = 3 ,且 S n +1 + S n = 2 a n +1,试求此数 且 试求此数 列的通项公式及前n项和 项和. 列的通项公式及前 项和
作业：课本 页第3、 作业：课本P61页第 、4 页第
特殊数列的求和方法一 ：分组求和法 分组求和法 例：如何求数列
1 1 1 1 1 ， ,7 ， , (3n − 2 ) n 4 L 2 4 8 2
的各项之和？其和为多少？ 的各项之和？其和为多少？
思考：上述求和方法叫做分组求和法， 思考：上述求和方法叫做分组求和法， 分组求和法 一般地， 一般地，什么类型的数列可用分组求和 法求和？ 法求和？ 由几个等差、等比数列合成的数列. 由几个等差、等比数列合成的数列 练习 1 1 1 2 n (2).( x + ) + ( x + 2 ) + ⋅⋅⋅ + ( x + n ) y y y ( x ≠ 0, x ≠ 1, y ≠ 1)
（a≠0） 的各项之和？其和为多少？ a≠0） 的各项之和？其和为多少？ 思考：上述求和方法叫做错位相减法， 思考：上述求和方法叫做错位相减法， 错位相减法 一般地， 一般地，什么类型的数列可用错位相减 法求和？ 法求和？ 由一个等差数列与一个等比数列对应项 的乘积组成的数列. 的乘积组成的数列
练习： 练习：（1）求数列
特殊数列的前n项和 ห้องสมุดไป่ตู้殊数列的前 项和
等比数列和的性质（一） 的前n项和 项和， 若 sn 是等比数列{an }的前 项和，则数列
sn , s2 n − sn , s3n − s2 n ,L
也构成等比数列。 也构成等比数列。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
常见特殊数列求和
徐州 伏建彬
前n 项和公式都是以正整数为自变量的函数，在熟练掌握等差、等比数列求和方法的基础上，还要会用其他方法求常见特殊数列的和。
一、分解法
有些特殊数列可以分解为基本的等差数列或等比数列，再分别求和。
例1：求数列211，412，813，…，n n 2
1的前n 项和n S 。
.解：这个数列可以分解成一个等差数列和一个等比数列之和。
n S =211+412+813+…+n n 21=（1+2+3+…+n ）+（21+41+…+n 21） =()21+n n +2
1121121-⎪⎭⎫ ⎝⎛-n =()21+n n +1-n 21 二、错位相减法
有些数列可以把原数列的前n 项分别乘以一个适当的因数作出一个辅助数列，它与原数列相减，从而得到n S 所满足的一个关系式，然后解出n S 。
例2：求数列21，222，323，…，n n 2的前n 项和n S 。
解：n S =21+222+323+…+121--n n +n n 2①
作辅助数列：上式两边同时乘以21
21n S =221+322+423+…+n n 21-+12+n n ②
于是①-②，得
n S -
21n S =21+（222-221）+（323-322）+…+（n n 2-n n 21-）-12+n n ∴21n S =21+221+321+421+…+n 21-12+n n =2
1121121-⎪⎭⎫ ⎝⎛-n -12+n n =1-n 21-12+n n ∴n S =2-121
-n -n
n 2 评注：设a 1，a 2，a 3，…，a n 组成等差数列，b 1，b 2，b 3，…，b n 组成等比数列，那么求
n S =+++332211b a b a b a …+n
n b a 或S ′=a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+…+a n b n 都可以考虑用错位相减法求和，一般是在原式两边同时乘以等比数列的公比，作辅助数列，然后两式错位相减。
这种方法主要来源于等比数列求和公式的推导。
三、裂项法
把数列的每一项都拆成两项的差，拆分后的相邻两项能够相消去，这样所得的结果只剩下首末两项，再化简就是数列的和。
例3：求数列211∙，321∙，431∙，…，()
11+∙n n 的前n 项和n S 。
解：∵a n = ()11+∙n n =n 1-1
1+n ∴n S =
211∙+321∙+431∙+…+()11+∙n n
=1-21+21-31+31-41+…+n 1-11+n =1-11+n =1+n n 评注：凡属k a a a m ∙⋅⋅⋅∙∙21，1
32+∙⋅⋅⋅∙∙k a a a m ，…，11-++∙⋅⋅⋅∙∙k n n n a a a m ，…（其中a 1，a 2，a 3，…，a n 组成等差数列）。
这种形式的数列，一般都可以用“裂项法”求解。
四、累加法
在推导自然数的n 次幂的和的公式时，常用累加法。
例4：求数列12，22，32，…，n 2的前n 项和n S 。
解：∵（n+1）3=n 3+3n 2+3n+1 ∴（n+1）3-n 3=3n 2+3n+1
∴23-13=3×12+3×1+1
33-23=3×22+3×2+1 43-33=3×32+3×3+1
……
（n+1）3-n 3=3n 2+3n+1 把上面各等式两边分别相加，得
（n+1）3-13=3（12+22+32+…+ n 2）+3（1+2+3+…+n ）+n
∴3（12+22+32+…+ n 2）=（n+1）3-13-3×()21+n n -n=()()12161++n n n ∴n S =()()1216
1++n n n 事实上，累加法和裂相法从思路上说都是利用交叉相消的方法求出这类数列的和。
特殊数列求和没有一般规律可循，除上面介绍的四种方法以外，还有一些数列求和的特殊技巧，举例如下：
例5：求n S =7+77+777+...+777 (7)
解：n S =
97（9+99+999+…+999…9） =9
7[（10-1）+（102-1）+（103-1）+…+（10n -1）] =97[(10+102+103+…+10n )-n]= 97()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡---n n
10110110 =()
n n 910108171--+ 求特殊数列前n 相的和，一般的做法是将原数列转化为若干个容易求和的数列。
特别要注意对数列通项进行分解分析，往往能给人以启示，便于找到解题思路。