2019年高考数学一轮总复习(文)专题27 平面向量的应用

【解析】画出不等式组表示的平面区 →· → ＝－x＋ 域(如图阴影部分)，又OA OM y， 取目标函数 z＝－x＋y， 即 y＝x＋z， 作斜率为 1 的一组平行线，当它经过点 C(1，1)时，z 有最小值，即 zmin＝－1 ＋1＝0；当它经过点 B(0，2)时，z 有最大值，即 zmax ＝－0＋2＝2. →· → 的取值范围是 ∴z 的取值范围是[0，2]，即OA OM [0，2]，故选 C.
【知识要点】 1．向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性 运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全 等、相似、长度、夹角等问题． (1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常 用共线向量定理：a∥b，且 b≠0⇔∃λ ∈R，使 a＝λb x1＝λx2 ⇔x1y2－x2y1＝0 或 ，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)； y1＝λy2 (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：a⊥b⇔ x1x2＋y1y2＝0 a· b＝0 ___________ ⇔______________________ ； (3)求夹角问题，利用夹角公式．
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2．平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们 的分解和合成与向量的加法和减法相似，可用向量的知 识来解决． (2)物理学中的功是一个标量， 是力 F 与位移 S 的数 量积，即 W＝F· S＝|F|· |S|· cos θ (θ 为 F 与 S 的夹角)．
一、向量背景下的三角函数问题 例1(1)已知函数 fx＝Asinπ x＋φ的部分图象如 图所示，点 B，C 是该图象与 x 轴的交点，过点 C 的 → → → → 直线与该图象交于 D，E 两点，则BD＋BE· BE－CE 的值为(
(2)①由已知，C 的焦点为 F(1，0)，直线 l 的斜率为 1，所以 l 的方程为 y＝x－1， 将 y＝x－1 代入方程 y2＝4x，化简整理得 x2－6x＋1 ＝0， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x1＋x2＝6，x1x2＝1， →· → ＝x1x2＋y1y2＝2x1x2－(x1＋x2)＋1＝－3. ∴OA OB → ＝λAF → 得(x2－1，y2)＝λ(1－x1，－y1)， ②由FB x2－1＝λ（1－x1）， ① 即 y2＝－λy1. ② 2 2 2 2 由 ② 得 y2 2＝λ y1，∵y1＝4x1，y2＝4x2， ∴x2＝λ2x1， ③ 联立①、③解得 x2＝λ，依题意有 λ＞0，
造问题的题设条件，因此依据向量知识转化为三角函 数问题是问题求解的切入点.
二、向量背景下的函数问题 例2(1)已知非零向量 a，b 满足|a|＝ 3|b|，若函数 1 3 f(x)＝ x ＋|a|x2＋2a· bx＋1 在 x∈R 上有极值， θ 为 a， 3 b 的夹角，则 θ 的取值范围是( D ) π π A.0， B.0， 6 3 π π π C. ， D. ，π 2 6 6
【解析】(1)由题意，F(－1，0)，设 P(x0，y0)，则 2 2 x x2 y 0 0 0 → ＝(x0＋1， ， 1 － 有 ＋ ＝1， 解得 y2 ＝ 3 因为 FP y0)， 0 4 4 3 2 → ＝(x0，y0)，所以OP →· → ＝x0(x0＋1)＋y2 OP FP ＝ x 0 0 ＋ x0 ＋ x2 x2 0 0 31－ 4 ＝ ＋x0＋3， 对应的抛物线的对称轴为 x0＝－ 4 →· → 取得最大 2，因为－2≤x0≤2，故当 x0＝2 时，OP FP 22 值 ＋2＋3＝6，故选 C. 4
【解析】设 d＝(x，y).因为 4a＝(4，－12)，4b－2c ＝(－6，20)，2(a－c)＝(4，－2)，依题意，有 4a＋(4b－ 2c)＋2(a－c)＋d＝0，解得 x＝－2，y＝－6.故选 D.
4.已知 O 是坐标原点，点 A(－1，1)，若点 M(x， x＋y≥2， →· → y)为平面区域x≤1， 上的一个动点，则OA OM y≤2 的取值范围是( C ) A.[－1，0] B.[0，1] C.[0，2] D.[－1，2]
【解析】∵a＝(1，sin θ)，b＝(1，cos θ)， ∴a－b＝(0，sin θ－cos θ)， a － b ∴ ＝ 02＋（sin θ－cos θ）2 ＝ 1－sin 2θ. ∴|a－b|的最大值为 2.故选 B.
2.已知|a|＝2|b|， 且|b|≠0， 函数 f(x)＝x2＋|a|x－a· b 只有一个零点，则向量 a 与 b 的夹角是( D ) π π π 2π A.－ B.－ C. D. 6 3 3 3
→· → ＝cbcos A，CA →· → ＝bacos C， (2)①∵AB AC CB ∴bccos A＝abcos C， 根据正弦定理，得 sin Ccos A＝sin Acos C， 即 sin Acos C－cos Asin C＝0，sin(A－C)＝0， ∴∠A＝∠C，即 a＝c. 则△ABC 为等腰三角形. ②由①知 a＝c，由余弦定理，得 2 2 2 2 b ＋ c － a b →· → ＝bccos A＝bc· AB AC ＝ . 2bc 2 2 b →· → ＝k＝2，即 ＝2，解得 b＝2. AB AC 2 【点评】三角函数与向量综合往往以向量运算构
【解析】由于 Δ＝|a|2＋4a· b＝0 且|a|＝2|b|， ∴4|b|2＋8|b|2cos θ＝0，θ为 a 与 b 的夹角，又 |b|≠0， 2π 1 ∴cos θ＝－ ，则 θ＝ .故选 D. 2 3
3.设向量 a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)， 若表示向量 4a，4b－2c，2(a－c)，d 的有向线段首尾相 接能构成四边形，则向量 d 为( D ) A.(2，6) B.(－2，6) C.(2，－6) D.(－2，－6)
→ ＝(x，y).由点 P 在直线 OM 上， 【解析】(1)设OP → 与OM → 共线. 可知OP → ＝(2，2)，所以 2x－2y＝0，即 x＝y，有OP → 而OM ＝(x，x). → ＝OA → －OP → ＝(－1－x，－3－x), 由PA → ＝OB → －OP → ＝(5－x，3－x)， PB →· → ＝(－1－x)(5－x)＋(－3－x)(3－x)， 所以PA PB →· → ＝2x2－4x－14. 即PA PB →· → ＝－16， 又PA PB 所以 2x2－4x－14＝－16.可得 x ＝1. → ＝(1，1). 所以OP
第四章
三角函数、平面向量与复数
第27讲
平面向量的应用
【学习目标】 1．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 2．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些 实际问题．
【基础检测】 1.已知向量 a＝(1，sin θ )，b＝(1，cos θ )，则 a－b的最大值为( B ) A.1 B. 2 C. 3 D.2
D
)
A.－1 1 C. 2
1 B.－ 2 D.2
(2)在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b， →· → ＝CA →· → ＝k(k∈R). c.若AB AC CB ①判断△ABC 的形状； ②若 k＝2，求 b 的值.
→＝ BC → → → → → → 【解析】 (1) BD＋BE· BE－CE＝BD＋BE· →· → ＝2|BC → |2， → |的长度为半个周期， 2BC BC 显然|BC 周期 T 2π → |＝1，所求值为 2，故选 D. ＝ ＝2，∴|BC π
【解析】(1)f(x)在 R 上有极值，∴f′(x)＝0 有不 等实根， ∵f′(x)＝x2＋2|a|x＋2a· b，∴x2＋2|a|x＋2a· b＝0 1 2 2 有不等实根，∴Δ＝4|a| －8a· b＞0，即 a· b＜ |a| ， 2 1 2 |a| 2 a· b 3 ∵cosθ＝ ， |a|＝ 3|b|， ∴cos θ＜ ＝ ， |a||b| |a||b| 2 π ∴ ＜θ≤π.故选 D. 6
→ ＝(－2，－4)，PB → ＝(4，2)， (2)由PA → |＝2 5，|PB → |＝2 5.又PA →· → ＝－16. 可得|PA PB →· → －16 PA PB 4 所以 cos∠APB＝ ＝ ＝－ . 5 → ||PB → | 2 5×2 5 |PA → ＋ tOP → ＝ ( － 1 ＋ t ， － 3 ＋ t) ， | OA → ＋ tOP → |＝ (3) OA → ＋ tOP →| 2t2－8t＋10 ＝ 2（t－2）2＋2 ≥ 2. 所以 | OA 的最小值是 2.
用方法.
1 (2)①∵a＝ 2，
三、向量背景下的解析几何问题 x2 y2 例3(1)若点 O 和点 F 分别为椭圆 ＋ ＝1 的中心 4 3 →· → 的最 和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 大值为( C ) A.2 B.3 C.6 D.8 (2)给定抛物线 C：y2＝4x，F 是 C 的焦点，过点 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点. →· → 的值； ①设 l 的斜率为 1，求OA OB → ＝λAF → ，若 λ∈[4，9]，求 l 在 y 轴上截距 ②设FB 的变化范围.
3 (2)已知 ，b＝( 3，－1)，若存在实数 2 1 2 k 和 t，使 x＝a＋(t ＋1)b，y＝－ka＋4b，且 x⊥y. ①试求函数关系式 k＝f(t)； ②若 f(t)－3mt＋1>f(a· b)对任意的 t∈(0，＋∞)恒 成立，求 m 的取值范围.
1 a＝ ， 2
【点评】向量的坐标运算可将几何问题用代数方 法处理，也可以将代数问题转化为几何问题来解决， 其中向量是桥梁，因此，在解此类题目的时候，一定 要重视转化与化归思想的运用.
四、向量与三角形中的三角函数问题综合 → ＝(－1，－3)，OB →＝ 例4设平面内的向量OA → ＝(2，2)，点 P 在直线 OM 上，且PA →· → (5，3)，OM PB ＝－16. → 的坐标； (1)求OP (2)求∠APB 的余弦值； → ＋tOP → |的最小值. (3)设 t∈R，求|OA