2018年秋高中数学第三章函数的应用3.1.2用二分法求方程的近似解课件新人教A版必修1
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2017-2018学年高中数学 第三章 函数的应用 3.1.2 用二分法求方程的近似解课件 新人教A
n
|a－b| |a－b| 次区间长度为 2n .令 2n <ε，即
2n>|a－ε b|，nlg
|a－b| 2>lg ε ，
|a－b|
lg ε n> lg 2
，从而估算出至少要使用多少次二分法.
跟踪训练2 在用二分法求方程的近似解时，若初始区间的长度为1，精 确度为0.05，则取中点的次数不小于_5__. 解析 ∵初始区间的长度为1，精确度为0.05， ∴21n≤0.05，即 2n≥20.又∵n∈N*， ∴n≥5， ∴取中点的次数不小于5.
√B.(2,3)
D.无法确定
12345
答案
规律与方法
1.二分就是平均分成两部分.二分法就是通过不断地将所选区间一分 为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小 的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真 正的零点. 2.二分法求方程近似解的适用范围：在包含方程解的一个区间上，函 数图象是连续的，且两端点函数值异号. 3.求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同.
第三章 §3.1 函数与方程
3.1.2 用二分法求方程的近似解
学习目标
1.理解二分法的原理及其适用条件. 2.掌握二分法的实施步骤. 3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 二分法的原理
思考
我们已经知道f(x)＝ex－3x的零点在区间(1,2)内，如何缩小零点 所在区间(1,2)的范围？ 答案 ①取区间(1,2)的中点1.5. ②计算f(1.5)的值，用计算器算得f(1.5)≈－0.018. 因为f(1.5)·f(2)<0， 所以零点在区间(1.5,2)内.
高中数学第三章函数的应用3.1.2用二分法求方程的近似解aa高一数学
0 得到零点.故选 D.
答案(dá àn):D
第九页，共十七页。
1
2
− =
题型一
题型二
题型三
求方程的近似解
【例2】 求方程lg x=2-x的近似解.(精确度0.1)
分析:在同一坐标系中,画出y=lg x和y=2-x的图象,确定方程的解所在的大致
区间(qū jiān),再用二分法求解.
第十页，共十七页。
2.用二分法求函数f(x)的零点(línɡ diǎn)近似值的步骤
(1)确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε.
(2)求区间(a,b)的中点c.
(3)计算f(c):
若f(c)=0,则c就是函数f(x)的零点;
若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));
若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)).
(4)判断是否达到精确度ε:
即若|a-b|<ε,则得到零点的近似值为a(或b);否则重复(2)~(4).
第四页，共十七页。
【做一做1】 下列说法(shuōfǎ)正确的是(
)
A.二分法所求出的方程的解都是近似解
B.函数f(x)=|x|可以用二分法求零点
C.用二分法求函数零点的近似值时,每次等分区间后,零点必定在右侧区间
号.在选项B中,不满足f(a)·f(b)<0,不能用二分法求零点;由于选项A,C,D中零点两
侧的函数值异号,故可采用二分法求零点.
答案:B
第八页，共十七页。
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 下列(xiàliè)函数中,必须用二分法求其零点的是 (
A.y=x+7
答案(dá àn):D
第九页，共十七页。
1
2
− =
题型一
题型二
题型三
求方程的近似解
【例2】 求方程lg x=2-x的近似解.(精确度0.1)
分析:在同一坐标系中,画出y=lg x和y=2-x的图象,确定方程的解所在的大致
区间(qū jiān),再用二分法求解.
第十页，共十七页。
2.用二分法求函数f(x)的零点(línɡ diǎn)近似值的步骤
(1)确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε.
(2)求区间(a,b)的中点c.
(3)计算f(c):
若f(c)=0,则c就是函数f(x)的零点;
若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));
若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)).
(4)判断是否达到精确度ε:
即若|a-b|<ε,则得到零点的近似值为a(或b);否则重复(2)~(4).
第四页，共十七页。
【做一做1】 下列说法(shuōfǎ)正确的是(
)
A.二分法所求出的方程的解都是近似解
B.函数f(x)=|x|可以用二分法求零点
C.用二分法求函数零点的近似值时,每次等分区间后,零点必定在右侧区间
号.在选项B中,不满足f(a)·f(b)<0,不能用二分法求零点;由于选项A,C,D中零点两
侧的函数值异号,故可采用二分法求零点.
答案:B
第八页，共十七页。
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 下列(xiàliè)函数中,必须用二分法求其零点的是 (
A.y=x+7
高中数学第三章函数的应用3.1.2用二分法求方程的近似解课件新人教A版必修1
【警示】求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同， 得到的结果也不相同.精确度为ε是指在计算过程中得到某个区 间(a，b)后，若其长度小于ε，即认为已到达所要求的精确度， 可停止计算，否则应继续计算，直到|a－b|<ε为止.
1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的 两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根 据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零 点.
二分法的定义 【例1】下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函 数零点的是( )
【解题探究】根据二分法的定义判断.
【答案】A 【解析】按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)＜ 0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二 分法求出函数的零点.故结合各图象可得选项B，C，D满足条 件，而选项A不满足，在A中，不存在f(a)·f(b)<0，因此不能用 二分法求解.故选A．
3.思一思：函数f(x)＝x2－2x－1在区间(1,3)内有无零点？ 若将区间(1,3)平均分为两个区间，其零点在哪个区间？
【解析】f(1)＝1－2－1＝－2＜0，f(3)＝9－6－1＝2＞0， 在(1,3)内有零点且只有一个零点，对于(1,3)的中点为2， f(2)＝22－2×2－1＝－1＜0，故零点在(2,3)内.
二分法的实际应用
【例3】一日，某市A地到B地的电话线路产生故障，这是 一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆，请问如何迅速 查出故障所在？
【解题探究】本题中能否对线段作全面仔细的检查？怎样 的方法可以节省时间和精力？这样的方法可以将故障范围缩小 到多大？
【解析】如图，可首先从中点 C 开始查起，用随身携带的 工具检查，若发现 AC 段正常，断定故障在 BC 段；
1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的 两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根 据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零 点.
二分法的定义 【例1】下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函 数零点的是( )
【解题探究】根据二分法的定义判断.
【答案】A 【解析】按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)＜ 0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二 分法求出函数的零点.故结合各图象可得选项B，C，D满足条 件，而选项A不满足，在A中，不存在f(a)·f(b)<0，因此不能用 二分法求解.故选A．
3.思一思：函数f(x)＝x2－2x－1在区间(1,3)内有无零点？ 若将区间(1,3)平均分为两个区间，其零点在哪个区间？
【解析】f(1)＝1－2－1＝－2＜0，f(3)＝9－6－1＝2＞0， 在(1,3)内有零点且只有一个零点，对于(1,3)的中点为2， f(2)＝22－2×2－1＝－1＜0，故零点在(2,3)内.
二分法的实际应用
【例3】一日，某市A地到B地的电话线路产生故障，这是 一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆，请问如何迅速 查出故障所在？
【解题探究】本题中能否对线段作全面仔细的检查？怎样 的方法可以节省时间和精力？这样的方法可以将故障范围缩小 到多大？
【解析】如图，可首先从中点 C 开始查起，用随身携带的 工具检查，若发现 AC 段正常，断定故障在 BC 段；
高中数学第三章函数的应用3.1.2用二分法求方程的近似解课件新人教A版必修1
方法归纳
(1)用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 ①需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值 的方法完成)． ②取区间端点的平均数 c，计算 f(c)，确定有解区间是[m，c] 还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合 精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值． (2)二分法求函数零点步骤的记忆口诀 定区间，找中点，中值计算两边看． 同号丢，异号算，零点落在异号间． 重复做，何时止，精确度来把关口．
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有函数的零点都可以用二分法来求．( × ) (2)函数 f(x)＝|x|可以用二分法求其零点．( × ) (3)精确度 ε 就是近似值．( × )
2．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函 数零点近似值的是( )
解析：根据二分法的基本方法，函数 f(x)在区间[a，b]上的图象 连续不断，且 f(a)·f(b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a， b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，选项 A、 B、D 都符合条件，而选项 C 不符合，因为图象在零点两侧函数值 不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．
解析：∵f(2)·f(3)<0，∴零点在区间(2,3)内． 答案：(2,3)
类型一 二分法概念的理解 例 1 (1)下列函数中，必须用二分法求其零点的是( )
A．y＝x＋7 B．y＝5x－1 C．y＝log3x D．y＝12x－x (2)下列函数图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函 数零点的是( )
－0.02
因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5<0.01，
高中数学第3章函数的应用3.1.2用二分法求方程的近似解课件新人教A版必修13
用二分法求函数零点的近似值 [探究问题] 1．用二分法求方程的近似解，如何决定步骤的结束？ 提示：当零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度 时，二分法步骤结束． 2．用二分法求方程的近似解时，精确度不同对零点有影响 吗？ 提示：精确度决定步骤的始终，故精确度不同，零点可能会不同．
【例2】 求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1的一个负零点(精确度 0.01)．
第三章 函数的应用
3.1 函数与方程 3.1.2 用二分法求方程的近似解
学习目标 1．通过具体实例理解二分法的概念及其使用条
核心素养
件．(重点)
借助二分法的操
2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借 作步骤与思想，
助计算器用二分法求方程的近似解．(难点)
培养数学建模及
3．会用二分法求一个函数在给定区间内的零点， 逻辑推理素养.
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点 附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数 的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零 点不适合．
1.下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数 零点的是( )
A
B
C
D
B [二分法的理论依据是零点存在性定理，必须满足零点两侧 函数值异号才能求解．而选项B图中零点两侧函数值同号，即曲线 经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点．另外，选项A， C，D零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点．]
x3＝－1.8275－2＝－1.937 5 f(x3)≈－0.097 4<0
(－1.937 5， －1.875)
x4＝－1.875－2 1.937 5
＝－1.906 25
高中数学3.1.2用二分法求方程的近似解优秀课件
用二分法
小结
1.通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ ２.通过本节课的学习，你学会了哪些学习
方法和数学思想？
作业
作业一 教科书91页练习 2
作业二 寻找生活中的实例，用二分法研究〔研究性课题〕
思考4：误差不超过10元，你能在有限次 〔尽量少〕之内猜中吗？
1.猜价格
在误差允许的范围内，要找某个特定值的 近似值，可以通过 取特定值所在范围的中点 的方法逐步缩小其范围，从而取得近似值。
2.复习重温
1.对于函数y=f(x),我们把使 y=f(x)的__零__点__.
f(x)=0 的实数x叫做函数
⑦（2.531 25，2.539 062 5） 2.535 156 25
0.001
0.007813
解:观察知区间长0.007813<0.01,
所以x=2.5390625为函数 f(x)=lnx+2x-6零点的近似值。
4.提取原理 求方程的近似解
确定零点的初始区间 取区间中点
求中点的函数值 判断中点哪一侧为零点所在的区间
值误差不超过 , 均为符合要求的近似解.
思考4：停止时，从简洁性的角度，你会选 择区间内哪个数作为近似值？
f(x)lnx2x6
可取当前区间〔a,b〕的端点a或b.
ab
2
2.75 3
5.揭示规律 二分法
二分法的条件
对于在区间[a,b]上连续不断且f (a )f (b)<0的函 数y=f (x),通过不断地把函数y=f (x)的零点所在的区
2.方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图像与x轴有交点 .
函数y=f(x)
有零. 点
3.零如点果存函在数定y=理f(x)在区间[a,b]上的图像是
小结
1.通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ ２.通过本节课的学习，你学会了哪些学习
方法和数学思想？
作业
作业一 教科书91页练习 2
作业二 寻找生活中的实例，用二分法研究〔研究性课题〕
思考4：误差不超过10元，你能在有限次 〔尽量少〕之内猜中吗？
1.猜价格
在误差允许的范围内，要找某个特定值的 近似值，可以通过 取特定值所在范围的中点 的方法逐步缩小其范围，从而取得近似值。
2.复习重温
1.对于函数y=f(x),我们把使 y=f(x)的__零__点__.
f(x)=0 的实数x叫做函数
⑦（2.531 25，2.539 062 5） 2.535 156 25
0.001
0.007813
解:观察知区间长0.007813<0.01,
所以x=2.5390625为函数 f(x)=lnx+2x-6零点的近似值。
4.提取原理 求方程的近似解
确定零点的初始区间 取区间中点
求中点的函数值 判断中点哪一侧为零点所在的区间
值误差不超过 , 均为符合要求的近似解.
思考4：停止时，从简洁性的角度，你会选 择区间内哪个数作为近似值？
f(x)lnx2x6
可取当前区间〔a,b〕的端点a或b.
ab
2
2.75 3
5.揭示规律 二分法
二分法的条件
对于在区间[a,b]上连续不断且f (a )f (b)<0的函 数y=f (x),通过不断地把函数y=f (x)的零点所在的区
2.方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图像与x轴有交点 .
函数y=f(x)
有零. 点
3.零如点果存函在数定y=理f(x)在区间[a,b]上的图像是
高中数学 精讲优练课型 第三章 函数的应用 3.1.2 用二分法求方程的近似解课件 新人教版必修1
(2)用二分法求方程的近似解时,如何决定步骤的结束? 提示:看清题目的精确度,当零点所在区间的两个端点值之差的绝对值 小于精确度时,则二分法步骤结束.
2.下列函数不宜用二分法求零点的是 ( )
A.f(x)=x3-2
B.f(x)=lnx-3
C.f(x)=x2+2 x+2
D.f(x)=-x2+4x-1
类型二 用二分法求函数的零点 【典例】(2015·塘沽高一检测)求函数f(x)=x3-3x2-9x+1的一个负零 点(精确度0.01). 【解题探究】典例中应先怎样判断负零点所在的区间? 提示:可借助零点的判断方法确定出负零点所在的区间,再利用二分法 逐步确定.
【解析】确定一个包含负数零点的区间(m,n),且f(m)·f(n)<0.因为 f(-1)>0,f(-2)<0, 所以可以取区间(-2,-1)作为计算的初始区间, 当然选取再较大的区间也可以.用二分法逐次计算,列表如下:
5
f(5)(5)2562.25.
2
222
5.在用二分法求方程f(x)=0在区间[0,1]上的近似解时,经计
算,f(0.425)>0,f(0.552)>0,f(0.605)<0,即得到方程的一个近似解
为
.(精确度为0.1)
【解析】因为|0.605-0.552|=0.053<0.1,
所以可取0.605或0.552作为方程f(x)=0的一个近似解.
【解析】1.选D.二分法求零点,则一定有且能求出,故B,C不正确;零点 左侧与右侧的函数值符号相同的零点不能用二分法得到,故A不正确, 故选D. 2.选C.在A中,函数无零点.在B和D中,函数有零点,但它们在零点左右的 函数值符号相同,因此它们都不能用二分法来求零点.而在C中,函数图 象是连续不断的,且图象与x轴有交点,并且在交点处两侧的函数值符号 相反,所以C中的函数能用二分法求其零点.
高一数学：3.1.2《用二分法求方程的近似解》课件
3.1.2 用二分法求方程的近似解
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1
问题提出
1. 函数 f (x) x2 4x 3有零点吗？你怎 样求其零点？
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2
2.对于高次多项式方程，在十六世纪已找到
了三次和四次方程的求根公式，但对于高于
4次的方程，类似的努力却一直没有成功.
到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗
4
知识探究（一）:二分法的概念
思考1:有12个大小相同的小球，其中有 11个小球质量相等，另有一个小球稍重， 用天平称几次就可以找出这个稍重的球？
思考2:已知函数 f (x) lnx 2x 6
在区间（2，3）内有零点，你有什么方
法求出这个零点的近似值？
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5
思考3:怎样计算函数 f (x) lnx 2x 6在区 间（2，3）内精确到0.01的零点近似值？
若f(c)·f(b)<0 ，则零点x0∈(c,b).
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9
思考4:若给定精确度ε，如何选取近似 值？
当|m—n|<ε时，区间[m，n]内的任意 一个值都是函数零点的近似值.
思考5：对下列图象中的函数，能否用
二分法求函数零点的近似值？为什么？
y
y
o
x
o
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10
理论迁移
（2.531 25，2.562 5） 2.546 875 （2.531 25，2.546 875） 2.539 062 5 （2.531 25，2.539 062 5）林老师2网.5络3编5辑1整5理6 25
0.029 0.01 0.001
0.03125 0.015625 0.0078613
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1
问题提出
1. 函数 f (x) x2 4x 3有零点吗？你怎 样求其零点？
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2
2.对于高次多项式方程，在十六世纪已找到
了三次和四次方程的求根公式，但对于高于
4次的方程，类似的努力却一直没有成功.
到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗
4
知识探究（一）:二分法的概念
思考1:有12个大小相同的小球，其中有 11个小球质量相等，另有一个小球稍重， 用天平称几次就可以找出这个稍重的球？
思考2:已知函数 f (x) lnx 2x 6
在区间（2，3）内有零点，你有什么方
法求出这个零点的近似值？
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5
思考3:怎样计算函数 f (x) lnx 2x 6在区 间（2，3）内精确到0.01的零点近似值？
若f(c)·f(b)<0 ，则零点x0∈(c,b).
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9
思考4:若给定精确度ε，如何选取近似 值？
当|m—n|<ε时，区间[m，n]内的任意 一个值都是函数零点的近似值.
思考5：对下列图象中的函数，能否用
二分法求函数零点的近似值？为什么？
y
y
o
x
o
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10
理论迁移
（2.531 25，2.562 5） 2.546 875 （2.531 25，2.546 875） 2.539 062 5 （2.531 25，2.539 062 5）林老师2网.5络3编5辑1整5理6 25
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0.03125 0.015625 0.0078613