初中数学竞赛专题培训(22)：面积问题与面积方法 (1)
竞赛讲座 07面积问题和面积方法
竞赛讲座07--面积问题和面积方法基础知识1．面积公式由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形，故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式．它形式多样，应在不同场合下选择最佳形式使用．设△ABC ，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，a h 为a 的高，R 、r 分别为△ABC 外接圆、内切圆的半径，)(21c b a p ++=．则△ABC 的面积有如下公式： （1）a ABC ah S 21=∆； （2）A bc S ABC sin 21=∆ （3）))()((c p b p a p p S ABC ---=∆ （4）pr c b a r S ABC =++=∆)(21 （5）Rabc S ABC 4=∆ （6）C B A R S ABC sin sin sin 22=∆（7）)sin(2sin sin 2C B C B a S ABC +=∆ （8）)(21a c b r S a ABC -+=∆ （9）)2sin 2sin 2(sin 212C B A R S ABC ++=∆ 2．面积定理（1）一个图形的面积等于它的各部分面积这和；（2）两个全等形的面积相等；（3）等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底和相等）的面积相等；（4）等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高（或底）的比；（5）两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方；（6）共边比例定理：若△PAB 和△QAB 的公共边AB 所在直线与直线PQ 交于M ，则QM PM S S QAB PAB ::=∆∆；（7）共角比例定理：在△ABC 和△C B A '''中，若A A '∠=∠或︒='∠+∠180A A ，则CA B A AC AB S S C B A ABC ''⋅''⋅='''∆∆． 3．张角定理：如图，由P 点出发的三条射线PC PB PA ,,，设α=∠APC ，β=∠CPB ，︒<+=∠180βαAPB ，则C B A ,,三点共线的充要条件是：PCPA PB )sin(sin sin βαβα+=+． 例题分析例1．梯形ABCD 的对角线BD AC ,相交于O ，且m S AOB =∆，n S COD =∆，求ABCD S 例2．在凸五边形ABCDE 中，设1=====∆∆∆∆∆EAB DEA CDE BCD ABC S S S S S ，求此五边形的面积．例3．G 是△ABC 内一点，连结CG BG AG ,,并延长与AB CA BC ,,分别交于F E D ,,，△AGF 、△BGF 、△BGD 的面积分别为40，30，35，求△ABC 的面积．例4．R Q P ,,分别是△ABC 的边BC AB ,和CA 上的点，且1====RC QR PQ BP ，求△ABC 的面积的最大值．例5．过△ABC 内一点引三边的平行线DE ∥BC ，FG ∥CA ，HI ∥AB ，点I H G F E D ,,,,,都在△ABC 的边上，1S 表示六边形DGHEFI 的面积，2S 表示 △ABC 的面积．求证：2132S S ≥． 例6．在直角△ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，过△ABD 的内心与△ACD 的内心的直线分别交边AB 和AC 于K 和L ，△ABC 和△AKL 的面积分别记为S 和T ．求证：T S 2≥．例7．锐角三角形ABC 中，角A 等分线与三角形的外接圆交于一点1A ，点1B 、1C 与此类似，直线1AA 与B 、C 两角的外角平分线将于一点0A ，点0B 、0C 与此类似．求证：（1）三角形000C B A 的面积是六边形111CB BA AC 的面积的二倍；（2）三角形000C B A 的面积至少是三角形ABC 的四倍．例8．在△ABC 中，R Q P ,,将其周长三等分，且Q P ,在边AB 上，求证：92>∆∆ABC PQRS S ． 例9．在锐角△ABC 的边BC 边上有两点E 、F ，满足CAF BAE ∠=∠，作AB FM ⊥，AC FM ⊥（N M ,是垂足），延长AE 交△ABC 的外接圆于点D ，证明四边形AMDN 与△ABC 的面积相等．三．面积的等积变换等积变换是处理有关面积问题的重要方法之一，它的特点是利用间面积相等而进行相互转换证（解）题．例10．凸六边形ABCDEF 内接于⊙O ，且13+===DC BC AB ，1===FA EF DE ，求此六边形的面积．例11．已知ABC ∆的三边c b a >>，现在AC 上取AB B A ='，在BA 延长线上截取BC C B ='，在CB 上截取CA A C ='，求证：C B A ABC S S '''∆∆>．例12．C B A '''∆在ABC ∆内，且ABC ∆∽C B A '''∆，求征：ABC AB C CA B BC A S S S S ∆'∆'∆'∆=++ 例13．在ABC ∆的三边AB CA BC ,,上分别取点F E D ,,，使EA CE DC BD 3,3==，FB AF 3=，连CF BE AD ,,相交得三角形PQR ，已知三角形ABC 的面积为13，求三角形PQR 的面积．例14．E 为圆内接四边形ABCD 的AB 边的中点，AD EF ⊥于F ，BC EH ⊥于H ，CD EG ⊥于G ，求证：EF 平分FH ．例15．已知边长为,,,c b a 的ABC ∆，过其内心I 任作一直线分别交AC AB ,于N M ,点，求证：bc a IN MI +≤． 例16．正△PQR ≅正△R Q P '''，1a AB =，1b BC =，2a CD =，2b DE =， 3a EF =，3b FA =．求证：232221232221b b b a a a ++=++．例17．在正ABC ∆内任取一点O ，设O 点关于三边AB CA BC ,,的对称点分别为C B A ''',,，则C C B B A A ''',,相交于一点P ．例18．已知CE AC ,是正六边形ABCDEF 的两条对角线，点N M ,分别内分ACCE ，且使k CECN AC AM ==，如果N M B ,,三点共线，试求k 的值． 例19．设在凸四边形ABCD 中，直线CD 以AB 为直径的圆相切，求证：当且仅当BC ∥AD 时，直线AB 与以CD 为直径的圆相切． 训练题1．设A B C ∆的面积为102cm ，F E D ,,分别是CA BC AB ,,边上的点，且,3,2cm DB cm AD ==若DBEF ABE S S =∆，求ABE ∆的面积．2．过ABC ∆内一点作三条平行于三边的直线，这三条直线将ABC ∆分成六部份，其中，三部份为三角形，其面积为321,,S S S ，求三角形ABC ∆的面积．3．在ABC ∆的三边CA BC AB ,,上分别取不与端点重合的三点L K M ,,，求证：AML ∆，CLK BKM ∆∆,中至少有一个的面积不大于ABC ∆的面积的41． 4．锐角ABC ∆的顶角A 的平分线交BC 边于L ，又交三角形的外接圆于N ，过L 作AB 和AC 边的垂线LK 和LM ,垂足是M K ,，求证：四边形AKNM 的面积等于ABC ∆的 面积． 5．在等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上取一点D ，使BC DC 31=，作AD BE ⊥交AC 于E ，求证：EC AE =．6．三条直线n m l ,,互相平行，n l ,在m 的两侧，且m l ,间的距离为2，n m ,间的距离为1，若正ABC ∆的三个顶点分别在n m l ,,上，求正ABC ∆的边长．7．已知321P P P ∆及其内任一点P ，直线P P i 分别交对边于i Q （3,2,1=i ），证明：在332211,,PQ P P PQ P P PQ P P 这三个值中，至少有一个不大于2，并且至少有一个不小于2． 8．点D 和E 分别在ABC ∆的边AB 和BC 上，点K 和M 将线段DE 分为三等分，直线BK 和BM 分别与边AC 相交于点T 和P ，证明：AC TP 31≤． 9．已知P 是ABC ∆内一点，延长CP BP AP ,,分别交对边于C B A ''',,，其中x AP =，w C P B P A P z CP y BP ='='='==,,，且3,23==++w z y x ，求xyz 之值．10．过点P 作四条射线与直线l l ',分别交于D C B A ,,,和D C B A '''',,,，求证：C BD A D C B A BC AD CD AB ''⋅''''⋅''=⋅⋅． 11．四边形ABCD 的两对对边的延长线分别交L K ,，过L K ,作直线与对角线BD AC ,的延长线分别F G ,，求证：KGLG KF LF =． 12．G 为ABC ∆的重心，过G 作直线交AC AB ,于F E ,，求证：GF EG 2≤．。
面积问题与面积方法
面积问题与面积方法
面积是指物体表面积积的大小，是一个重要的数学概念。
它可以用来衡量物体的大小，也
可以用来衡量物体的形状。
面积的计算是一个重要的数学问题，有许多不同的方法可以用
来计算面积。
首先，最常用的方法是直接测量法。
这种方法可以用来测量任何形状的物体的面积，只要
有一个可以测量的基准尺寸，就可以用来计算物体的面积。
例如，可以用一张纸来测量一
个正方形的面积，只要知道纸的长宽，就可以计算出正方形的面积。
其次，可以使用几何公式来计算面积。
几何公式是一种特殊的数学公式，可以用来计算特
定形状的物体的面积。
例如，可以使用三角形面积公式来计算三角形的面积，只要知道三
角形的三条边，就可以计算出三角形的面积。
最后，还可以使用数学积分来计算面积。
数学积分是一种特殊的数学方法，可以用来计算
任意形状的物体的面积。
例如，可以使用数学积分来计算圆形的面积，只要知道圆的半径，就可以计算出圆形的面积。
总之，面积是一个重要的数学概念，有许多不同的方法可以用来计算面积。
最常用的方法是直接测量法，也可以使用几何公式和数学积分来计算面积。
九年级培优专题：面积问题与面积方法
九年级面积问题与面积方法积表示有关的几何量；其次把几何量之间的关系转化为面积关系，然后通过面积变形，得到原问题的解决方法。
面积方法解题有时更具有直观性、通用性和简洁性，因此在国内外数学竞赛试题中经常出现面积问题。
1.三角形的面积公式（1）12a S ah =； （2）S =pr （p 为三角形半周长，r 为内切圆半径）；（3）4abc S R=（R 为外接圆半径）； （4）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===；（5）S =p 为半周长）（海仑公式）。
2.四边形的面积公式设四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的夹角为θ，则1sin .2ABCD S AC BD θ=3.多边形的面积（1）设P 为多边形内一点，则122312n PA A PA A A A A S S S ∆∆=++多边形1.n PA A S ∆+（2）设多边形有内切圆，半径为r ，则12n A AA S pr =多边形（p 为半周长）。
4.等积变换的基本定理共高模型；共边模型；燕尾模型；共角模型；相似比与面积比等等例1：如图五边形ABCDE 中，∠ABC =∠AED =90°，AB =CD =AE = BC ＋DE =1，求五边形A BCDE 的面积。
例2：如图，将△ABC 的三个顶点与一个内点连结起来，所得三条连线把△ABC 分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图上标明，试求ABC S ∆．例3：如图，在△ABC 中，P 为BC 边上任意一点，PE ∥BA ，PF ∥CA .若1ABC S ∆=，证明：BPF S ∆，PCE S ∆，和PEAF S 中至少有一个不小于4.9例4：如图，已知△PQR 与△P'Q'R'是两个全等的正三角形，六边形ABCDEF 的边长分别记为：AB ＝1a ，BC ＝1b ，CD ＝2a ，DE =2b ，EF ＝3a ，FA ＝3b ，求证：222222123123a a a b b b ++=++例5：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，并且AB >AC ，在斜边BC 上取一点D ，使BD =AB ，过D 作直线平分△ABC 的面积，且与AB 的交点为E ，求证：BE 、DE 都等于BC 的一半。
数学竞赛中的面积问题与面积方法（一）
数学竞赛中的面积问题与面积方法（一）
四川泸州朱勇
数学中高考与竞赛试题中常常会出现三角形面积问题，本文将给大家介绍一些面积问题的处理方式。
便于解题，考生应掌握如下三角形面积公式：
下面来看几个面积问题
这个试题抓等底（或等高)的两个三角形的面积比等于其上高（或是底）的长的比，我们再来看一个试题
方法1
方法2
这些处理方式可固化为经典“模型”，我们再来看看下边这个试题。
方法1
方法2
古人云：“道不远人”，道理、真理往往是最基础、最朴素的！。
初中数学竞赛专题培训(22)：面积问题与面积方法
word格式-可编辑-感谢下载支持初中数学竞赛专题培训第二十二讲面积问题与面积方法几何学的产生，源于人们测量土地面积的需要．面积不仅是几何学研究的一个重要内容，而且也是用来研究几何学的一个有力工具．下面，我们把常用的一些面积公式和定理列举如下．(1)三角形的面积(i)三角形的面积公式b＋c)是半周长，r是△ABC的内切圆半径．(ii)等底等高的两个三角形面积相等．(iii)两个等底三角形的面积之比等于高之比；两个等高三角形的面积之比等于底边之比；两个三角形面积之比等于底、高乘积之比．(iv)相似三角形的面积之比等于相似比的平方．(2)梯形的面积梯形的面积等于上、下底之和与高的乘积的一半．(3)扇形面积其中r为半径，l为弧长，θ为弧l所对的圆心角的度数，α是弧度数．1．有关图形面积的计算和证明解因为CD⊥AB，AC=CB，且△ABD内接于半圆，由此可得所以，阴影部分AEFBDA的面积是例2已知凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为S1=5，S2=10，S3=6．求△ABO 的面积(图2-128)．解首先，我们证明△ABC与△ACD的面积比等于BO与DO的比．过B，D分别作AC的垂线，垂足为E，F．于是Rt△BEO由题设设S△AOB=S，则所以例3 如图2-129，AD，BE，CF交于△ABC内的一点P，并将△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出．求△ABC的面积．分析如果能把未知的两个小三角形的面积求出，那么△ABC 的面积即可得知．根据例1，这两个面积是不难求出的．解设未知的两个小三角形的面积为x和y，则即又即①÷②得再由②得x=56．因此S△ABC＝84＋70＋56＋35＋40＋30=315．例4 如图2-130，通过△ABC内部一点Q引平行于三角形三边的直线，这些直线分三角形为六个部分，已知三个平形四边形部分的面积为S1，S2，S3，求△ABC的面积．解为方便起见，设S△QDG=S′1，S△QIE=S′2，S△QFH=S′3，则所以同理可得从①，②，③中可以解得所以word格式-可编辑-感谢下载支持例5在一个面积为1的正方形中构造一个如图2-131所示的正方形：将单位正方形的每一条边n等分，然后将每个顶点和它相对的顶点最接近的分点连接起来．如果小正方形(图中阴影部分)的面积恰解如图2-131，过F作BC的平行线交BG于H，则∠GHF=∠CED，∠FGH=∠DCE=90°，故n2-n-90=0，所以n=10．2．利用面积解题有的平面几何问题，虽然没有直接涉及到面积，然而若灵活地运用面积知识去解答，往往会出奇制胜，事半功倍．例6 在△ABC内部或边界上任取一点P，记P到三边a，b，c 的距离依次为x，y，z．求证：ax+by+cz是一个常数．证如图2-132，连结PA， PB，PC，把△ABC分成三个小三角形，则S△ABC＝S△PAB＋S△PCB＋S△PCA所以 ax＋by＋cz=2S△ABC，即ax＋by＋cz为常数．说明若△ABC为等边三角形，则此即正三角形内一点到三边的距离和为常数，此常数是正三角形的高．例7如图2-133，设P是△ABC内任一点，AD，BE，CF是过点P且分别交边BC，CA，AB于D，E，F．求证：证首先，同例2类似，容易证明说明本例的结论很重要，在处理三角形内三条线交于一点的问题时，常常可以用这一结论去解决．例8如图2-134，已知D，E，F分别是锐角三角形ABC的三边BC，CA，AB上的点，且AD，BE，CF相交于点P，AP=BP=CP=6，设PD=x，PE=y，PF=z，若xy＋yz+zx=28，求xyz的值．解由上题知去分母整理得3(xy+yz＋zx)＋36(x+y＋z)＋324=xyz+6(xy＋yz＋zx)+36(x+y＋z)＋216，所以 xyz=108-3(xy＋yz＋zx)=24．练习二十二1．填空：________．(2)一个三角形的三边长都是整数，周长为8，则这个三角形的面积是________．(3)四边形ABCD中，∠A=30°，∠B=∠D=90°，AB=AD，AC=1，则四边形ABCD的面积是______．(4)梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于O．若S△ABO=p2，S△CDO=q2，则S ABCD=____．△ABC=40．若BE，CD相交于F，则S△DEF=______．2．E，F分别在矩形ABCD的边BC和CD上，若△CEF，△ABE，△ADF的面积分别是3，4，5，求△AEF的面积．3．已知点P，Q，R分别在△ABC的边AB，BC，CA上，且BP=PQ=QR=RC=1，求△ABC的面积的最大值．4．在凸五边形ABCDE中，S△ABC=S△BCD=S△CDE=S△DEA=S△EAB=1，CE与AD相交于F，求S△CFD．5．在直角三角形ABC中，∠A=90°，AD，AE分别是高和角平分线，且△ABE，△AED的面积分别为S1=30，S2=6，求△ADC的面积S．6．设P是△ABC内一点，AD，BE，CF过点P并且交边BC，CA，AB于点D，E，F．求证：7．已知△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，AM为BC 边上的中线，与DE相交于N，求证：DN=NE．。
面积方法在初中数学竞赛中的应用
面积方法在初中数学竞赛中的应用
在初中数学竞赛中，求面积是一个比较重要的题型，也是一个要掌握的重要数学知识点。
求面积的目的在于了解形状多面体的内部信息，因此在某些场合可能会对初中生的竞赛课
程有重大影响。
下面来看看求面积在初中数学竞赛中的应用。
首先，在初中数学竞赛中，求面积主要包括求圆形，椭圆形，三角形，四边形和其他形状
面积的知识，学生根据给出的边长和其他角度信息，利用面积的相关公式进行求解。
如果
用给出的变量代入四边形的面积公式，从而获得面积。
此外，初中生在求解面积时，有些复杂三角形求面积时，可以利用勾股定理转换后求出其
三个直角边，然后利用海伦公式求面积，还可以应用比例关系和分类讨论求出某形状面积。
同时，在求解复杂形状面积时可以利用分类讨论技巧，重新把复杂几何图形分成多个简单
的几何图形，分别求出每个的面积，然后根据设定的关系将每个小图形的面积加起来就可
以得出复杂图形的总面积。
最后，还可以利用比例关系转换法求解面积，先按照一定比例将某形状多面体放大或缩小
形成容易求面积的简单多边形，然后求出简单多边形的面积，再将面积根据给定的比例放
大或缩小的方式得到原始图形的面积。
通过以上介绍，可以看出求面积在初中数学竞赛中的应用十分重要，要想得到好的成绩，
初中生不仅要掌握相应的面积计算公式，还要灵活运用比例关系和分类讨论等方法，为初
中数学竞赛打下良好基础。
八年级数学竞赛例题专题讲解：面积法
八年级数学竞赛例题专题讲解：面积法阅读与思考平面几何学的产生源于人们测量土地面积的需要，面积关联着几何图形的重要元素边与角．所谓面积法是指借助面积有关的知识来解决一些直接或间接与面积问题有关的数学问题的一种方法．有许多数学问题，虽然题目中没有直接涉及面积，但由于面积联系着几何图形的重要元素，所以借助于有关面积的知识求解，常常简捷明快．用面积法解题的基本思路是：对某一平面图形面积，采用不同方法或从不同角度去计算，就可得到一个含边或角的关系式，化简这个面积关系式就可得到求解或求证的结果．下列情况可以考虑用面积法：（1）涉及三角形的高、垂线等问题；（2）涉及角平分线的问题．例题与求解【例1】如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的边长为______________．(全国初中数学联赛试题) 解题思路：从寻求三条垂线段与等边三角形的高的关系入手．等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高，那么等边三角形呢？等腰梯形呢？【例2】如图，△AOB中，∠O＝，OA＝OB，正方形CDEF的顶点C在DA上，点D在OB上，点F在AB上，如果正方形CDEF的面积是△AOB的面积的，则OC：OD等于( )A．3：1 B．2：1C．3：2 D．5：3解题思路：由面积关系，可能想到边、角之间的关系，这时通过设元，即可把几何问题代数化来解决．【例3】如图，在□ABCD中，E为AD上一点，F为AB上一点，且BE＝DF，BE与DF交于G，求证：∠BGC＝∠DGC.（长春市竞赛试题）解题思路：要证∠BGC＝∠DGC，即证CG为∠BGD的平分线，不妨用面积法寻找证题的突破口．【例4】如图，设P为△ABC内任意一点，直线AP，BP，CP交BC，CA，AB于点D、E、F.求证：（1）；（2）.（南京市竞赛试题）解题思路：过P点作平行线，产生比例线段.【例5】如图，在△ABC中，E，F，P分别在BC，CA，AB上，已知AE，BF，CP相交于一点D，且，求的值.解题思路：利用上例的结论，通过代数恒等变形求值.（黄冈市竞赛试题）【例6】如图，设点E，F，G，H分别在面积为1的四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，且（是正数），求四边形EFGH的面积．（河北省竞赛试题）解题思路：连对角线，把四边形分割成三角形，将线段的比转化为三角形的面积比．线段比与面积比的相互转化，是解面积问题的常用技巧．转化的基本知识有：(1) 等高三角形面积比，等于它们的底之比；(2) 等底三角形面积比，等于它们的高之比；(3) 相似三角形面积比，等于它们相似比的平方．能力训练1．如图，正方形ABCD的边长为4cm，E是AD的中点，BM⊥EC，垂足为M，则BM＝______.（福建省中考试题）2．如图，矩形ABCD中，P为AB上一点，AP＝2BP，CE⊥DP于E，AD＝，AB＝，则CE＝__________.（南宁市中考试题）第1题图第2题图第3题图3．如图，已知八边形ABCDEFGH中四个正方形的面积分别为25，48，121，114，PR＝13，则该八边形的面积为____________.（江苏省竞赛试题） 4. 在△ABC中，三边长为，，，表示边上的高的长，，的意义类似，则(＋＋)的值为____________. （上海市竞赛试题）5．如图，△ABC的边AB＝2，AC＝3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ分别表示以AB，BC，CA为边的正方形，则图中三个阴影部分的面积之和的最大值是__________.（全国竞赛试题） 6．如图，过等边△ABC内一点P向三边作垂线，PQ＝6，PR＝8，PS＝10，则△ABC的面积是 ( )．A. B.C.D.（湖北省黄冈市竞赛试题）第5题图第6题图第7题图7．如图，点D是△ABC的边BC上一点，若∠CAD＝∠DAB＝，AC＝3，AB＝6，则AD的长是( )．A．2 B. C.3 D.8．如图，在四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，AN，BN，DM，CM划分四边形所成的7个区域的面积分别为，，，，，，，那么恒成立的关系式是( )．A.+=B.+=C.+= D．+=9．已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB，AC，BC的距离分别为，，，△ABC的高为．若点P在一边BC上（如图1），此时，可得结论：＋＋＝.请直接用上述信息解决下列问题：当点P在△ABC内（如图2）、点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立．请给予证明；若不成立，，，与之间又有怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明．（黑龙江省中考试题）10.如图，已知D，E，F分别是锐角△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且AD、BE、CF相交于P点，AP＝BP＝CP＝6，设PD＝，PE＝，PF＝，若，求的值．（“希望杯”邀请赛试题）11.如图，在凸五边形ABCDE中，已知AB∥CE，BC∥AD，BE∥CD，DE∥AC，求证：AE∥BD.（加拿大数学奥林匹克试题）12.如图，在锐角△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA边上的三等分点. P，Q，R分别是△ADF，△BDE，△CEF的三条中线的交点.(1) 求△DEF与△ABC的面积比；(2) 求△PDF与△ADF的面积比；(3) 求多边形PDQERF与△ABC的面积比.13．如图，依次延长四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，使，若，求的值．（上海市竞赛试题）14.如图，一直线截△ABC的边AB，AC及BC的延长线分别交于F，E，D三点，求证：．（梅涅劳斯定理）15．如图，在△ABC中，已知，求的值.（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）。
初一下培优(面积问题)
面积的计算和面积法一、计算图形的面积是几何问题中一种重要题型，计算图形的面积一定掌握以下与面积相关的重要知识：1.常有图形的面积公式；2.等积定理：等底等高的两个三角形面积相等；3.夹在平行线间的距离到处相等4.等比定理：(1)同底（或等底）的两个三角形面积之比等于等于对应高之比；同高（或等高）的两个三角形面积之比等于等于对应底之比.(2)相像三角形的面积之比等于对应线段之比的平方.熟习以下基本图形、基本结论：S1 S2S1 S3S2S1S4 3 S2S11 S3 SS S2 S2 S4S3二、用面积法解题的基本思路是：对某一平面图形面积，采纳不一样方法或从不一样角度去计算，便可获得一个含边或角的关系式，化简这个面积关系式便可获得求解或求证的结果．以下状况能够考虑用面积法：（1）波及三角形的高、垂线等问题；（2）波及角均分线的问题面积法：1、如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1， 3， 5，则这个等边三角形的高为______________．2、如图，在□ABCD中，E为AD上一点，F为AB上一点，且BE＝ DF， BE与 DF交于 G，求证：∠ BGC＝∠ DGC.（到角两边距离相等的点，在这个角的角均分线上）计算图形的面积3、如图，△ ABC 内三个三角形的面积分别为5，8，10，四边形 AEFD 的面积为x，则x＝________.AE F D5810B4、以下图，ABC 、 BCD 、CDA 的面积分别为49、27 和 14，则AOD的面积为多少？A5 ．以下图，在矩形 ABCD 中， E 是 AD 中点， F 是 CE 中点，S BDF的面积为多少？ABC例1 图CDOB6cm 2 , 则矩形ABCD E DFC6、如图，P为平行四边形ABCD内一点，且S PAB5 , S PAD 2 .则S PAC__________ .DCPA B7、如图，矩形ABCD中，点 E、 F、 G、 H、分别在边 AB、 BC、 CD、 DA 上。
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初中数学竞赛专题培训第二十二讲面积问题与面积方法
几何学的产生，源于人们测量土地面积的需要．面积不仅是几何学研究的一个重要内容，而且也是用来研究几何学的一个有力工具．
下面，我们把常用的一些面积公式和定理列举如下．
(1)三角形的面积
(i)三角形的面积公式
b＋c)是半周长，r是△ABC的内切圆半径．
(ii)等底等高的两个三角形面积相等．
(iii)两个等底三角形的面积之比等于高之比；两个等高三角形的面积之比等于底边之比；两个三角形面积之比等于底、高乘积之比．
(iv)相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
(2)梯形的面积
梯形的面积等于上、下底之和与高的乘积的一半．
(3)扇形面积
其中r为半径，l为弧长，θ为弧l所对的圆心角的度数，α是弧度数．
1．有关图形面积的计算和证明
解因为CD⊥AB，AC=CB，且△ABD内接于半圆，由此可得
所以，阴影部分AEFBDA的面积是
例2已知凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为S1=5，S2=10，S3=6．求△ABO 的面积(图2-128)．
解首先，我们证明△ABC与△ACD的面积比等于BO与DO的比．过B，D分别作AC的垂线，垂足为E，F．于是Rt△
BEO
由题设
设S△AOB=S，则
所以
例3 如图2-129，AD，BE，CF交于△ABC内的一点P，并将△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出．求△ABC的面积．
分析如果能把未知的两个小三角形的面积求出，那么△ABC 的面积即可得知．根据例1，这两个面积是不难求出的．
解设未知的两个小三角形的面积为x和y，则
即
又
即
①÷②得
再由②得x=56．因此
S△ABC＝84＋70＋56＋35＋40＋30=315．
例4 如图2-130，通过△ABC内部一点Q引平行于三角形三边的直线，这些直线分三角形为六个部分，已知三个平形四边形部分的面积为S1，S2，S3，求△ABC的面积．
解为方便起见，设
S△QDG=S′1，S△QIE=S′2，S△QFH=S′3，则
所以
同理可得
从①，②，③中可以解得
所以
例5在一个面积为1的正方形中构造一个如图2-131所示的正方形：将单位正方形的每一条边n等分，然后将每个顶点和它相对的顶点最接近的分点连接起来．如果小正方形(图中阴影部分)
的面积恰
解如图2-131，过F作BC的平行线交BG于H，则∠GHF=∠CED，∠FGH=∠DCE=90°，故
n2-n-90=0，
所以n=10．
2．利用面积解题
有的平面几何问题，虽然没有直接涉及到面积，然而若灵活地运用面积知识去解答，往往会出奇制胜，事半功倍．
例6 在△ABC内部或边界上任取一点P，记P到三边a，b，c 的距离依次为x，y，z．求证：ax+by+cz是一个常数．
证如图2-132，连结PA， PB，PC，把△ABC分成三个小三角形，则
S△ABC＝S△PAB＋S△PCB＋S△PCA
所以 ax＋by＋cz=2S△ABC，
即ax＋by＋cz为常数．
说明若△ABC为等边三角形，则
此即正三角形内一点到三边的距离和为常数，此常数是正三角形的高．
例7如图2-133，设P是△ABC内任一点，AD，BE，CF是过点P且分别交边BC，CA，AB于D，E，F．求证：
证首先，同例2类似，容易证明
说明本例的结论很重要，在处理三角形内三条线交于一点的问题时，常常可以用这一结论去解决．
例8如图2-134，已知D，E，F分别是锐角三角形ABC的三边BC，CA，AB上的点，且AD，BE，CF相交于点P，AP=BP=CP=6，设PD=x，PE=y，PF=z，若xy＋yz+zx=28，求xyz的值．
解由上题知
去分母整理得
3(xy+yz＋zx)＋36(x+y＋z)＋324
=xyz+6(xy＋yz＋zx)+36(x+y＋z)＋216，
所以 xyz=108-3(xy＋yz＋zx)=24．
练习二十二
1．填空：
________．
(2)一个三角形的三边长都是整数，周长为8，则这个三角形的面积是________．
(3)四边形ABCD中，∠A=30°，∠B=∠D=90°，AB=AD，AC=1，则四边形ABCD的面积是______．
(4)梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于O．若S△ABO
=p2，S△CDO=q2，则S ABCD=____．
△ABC
=40．若BE，CD相交于F，则S△DEF=______．
2．E，F分别在矩形ABCD的边BC和CD上，若△CEF，△ABE，△ADF的面积分别是3，4，5，求△AEF的面积．
3．已知点P，Q，R分别在△ABC的边AB，BC，CA上，且
BP=PQ=QR=RC=1，求△ABC的面积的最大值．
4．在凸五边形ABCDE中，S△ABC=S△BCD=S△CDE=S△DEA=S△EAB=1，CE与AD相交于F，求S△CFD．
5．在直角三角形ABC中，∠A=90°，AD，AE分别是高和角平分线，且△ABE，△AED的面积分别为S1=30，S2=6，求△ADC的面积S．
6．设P是△ABC内一点，AD，BE，CF过点P并且交边BC，CA，AB于点D，E，F．求证：
7．已知△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，AM为BC 边上的中线，与DE相交于N，求证：DN=NE．。