初中数学竞赛专题：方程组

初中数学竞赛专题：方程组 §4．1方程组的解法4．1．1★已知关x 、y 的方程组()21,221 3.ax y a x a y +=+⎧⎪⎨+-=⎪⎩①② 分别求出当a 为何值时,方程组有唯一一组解；无解；有无穷多组解,解析与一元一次方程一样,含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论,一般是通过消元,归结为一元一次方程ax b =的形式进行讨论,但必须特别注意,消元时,若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时,这个式子的值不能等于零． 由①式得()21y a ax =+-,③将③代入②得()()()()122a a x a a -2+=-+．④当()210a a -+≠（）,即2a ≠且1a ≠-时,方程④有唯一解21a x a +=+,将此x 值代入③有 ()121y a =+, 因而原方程组有唯一一组解．当()()210a a -+=,且()()220a a -+≠时,即1a =-时,方程④无解,因此原方程组无解． 当()()210a a -+=且()()210a a -+=时,即2a =时,方程④有无穷多个解,因此原方程组有 无穷多组解．评注对于二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩,（1a 、2a 、1b 、2b 为已知数,且1a 与1b ,2a 与2b 中都至少有一个不为零）． （1）当1122a b a b ≠时,方程组有唯一的解 2112122112211221b c b c x a b a b a c a c y a b a b -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩（2）当111222a b c a b c ==时,原方程组有无穷多组解． （3）当111222a b c a b c =≠时,原方程组无解． 4．1．2★对k 、m 的哪些值,方程组()214y kx my k x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩至少有一组解？解析由原方程可得()214kx m k x +=-+．即()14k x m -=-．（1）当1≠k 时,方程有唯一解41m x k -=-,从而原方程组有唯一解． （2）当1k -,4m =时,方程有无穷多个解,从而原方程组也有无穷多组解． 综上所述,当1k ≠且m 为任意数,或1k =且4m =时,方程组至少有一组解． 4．1．3★已知关于x 、y 的二元一次方程()()12520a x a y a -+++-=．当a 每取一个值时,就有一个方程,而这些方程有一个公共解,试求出这个公共解． 解析1根据题意,可分别令1a =,2a =-代入原方程得到一个方程组：330,390.y x +=⎧⎨-+=⎩解之得3,1.x y =⎧⎨=-⎩将3x =,1y =-代入原方程得()()()1321520a a a -⋅++⋅-+-=．所以对任何a 值3,1x y =⎧⎨=-⎩都是原方程的解．评注取1a =为的是使方程中()10a x -=,方程无x 项,可直接求出y 值；取2a =-的道理类似． 解析2可将原方程变形为()(2)250a x y x y +----=．由于公共解与a 无关,故有20,250.x y x y +-=⎧⎨--=⎩解之得公共解为3,1.x y =⎧⎨=-⎩4．1．4★★已知0xyz ≠,且20x y z ++=,5440x y z +-=,求22222610345x y z x yz z+--+的值． 解析已知代数式中含有x 、y 、z 三个字母,而等式只有2个,在一般情况下是不可能求出x 、y 、z 的具体值来的．因此,可以把已知条件中的z 视为常数,得到关于x 、y 的方程组,从而找出x 、y与z 的关系,由此可求出其值．把已知等式视作关于x 、y 的方程,z 视作常数,得关于x 、y 的方程组20,5440.x y z x y z ++=⎧⎨+-=⎩解得2,3.2x z y z =⎧⎪⎨=-⎪⎩因为0xyz ≠,所以0z ≠,于是()()32222222222326106102334532452z z z x y z x yz z z z z⎛⎫+-- ⎪+-⎝⎭=-+⎛⎫⋅--+ ⎪⎝⎭22222227410152126546z z z z z z +-==++． 4．1．5★若x 、y 的值满足方程组3234571103,177543897,x y x y +=⎧⎨+=⎩①② 求422445x x y y ++的值．解析由①+②得50010002000x y +=,即24x y +=．③由③得：42x y =-．④ 把④代入①得：()323424571103y y -+=．解得1y =,把1y =代人④得：2x =,所以方程组解为2,1.x y =⎧⎨=⎩原式422424215137=+⨯⨯+⨯=．4．1．6★★当a 取何值时,关于x 、y 的方程组5,232x y a x y a +=+⎧⎨-=-⎩有正整数解． 解析解方程组得223,12.3a x a y a -⎧=+⎪⎪⎨+⎪=++⎪⎩所以,a 是被3除余2的整数． 由221,31213a a a -⎧+⎪⎪⎨+⎪++⎪⎩≥≥得15a -≤≤．所以1a =-,2,5．4．1．7★k 为何值时,方程组1,3316kx y y x⎧-=-⎪⎨⎪=-⎩ （1）当163k -≠,即2k ≠-时,原方程组有唯一解0,1;3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ （2）当113631k --==,即2k =-时,原方程组无穷多组解；（3）由于1331--1=,故方程组不可能无解．4．1．8★若方程组344,12322x y m x y m +=-⎧⎪⎨-=+⎪⎩的解满足0x y +=,求m 的值．解析将x y =-代入原方程组,得4,,5332y m y m =-⎧⎪⎨-=+⎪⎩ 所以,5312302m m -++=,192m =． 4．1．9★甲、乙二人同时求7ax by -=的整数解．甲求出一组解为3,4,x y =⎧⎨=⎩而乙把7ax by -=中的7错看成1,求得一组解为1,2,x y =⎧⎨=⎩求a 、b 的值． 解析 把3x =,4y =代入7ax by -=,得347a b -=． 把1x =,2y =代入1ax by -=,得21a b ==． 解方程组347,21,a b a b -=⎧⎨-=⎩得5,2.a b =⎧⎨=⎩4．1．10★甲、乙两人解方程组513,4 2.ax y x by +=⎧⎨-=-⎩①② 由于甲看错了方程①中的以而得到方程组的解为3,1;x y =-⎧⎨=-⎩乙看错了方程②中的b 而得到的解为5,4.x y =⎧⎨=⎩假如按正确的a 、b 计算,求出原方程组的解． 解析因为甲只看错了方程①中的a ,所以甲所得到的解3,1x y =-⎧⎨=-⎩应满足无a 的正确的方程②,即 ()()4312b ⨯--⨯-=-．②同理,5,4x y =⎧⎨=⎩应满足正确的方程①,即 55413a ⨯+⨯=．④解由③、④联立的方程组得7,510.a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所以原方程组应为7513,5410 2.x y x y ⎧-+=⎪⎨⎪-=-⎩ 解之得20,8.2.x y =⎧⎨=⎩4．1．11★★已知方程组35,4x my x ny +=⎧⎨+=⎩无解,m 、n 是绝对值小于10的整数,求m 、n 的值．解析因为方程组1112220,0a xb yc a x b y c ++=⎧⎨++=⎩无解的条件是111222a b ca b c =≠参照这个条件问题便可解决．原方程组可化为350,40.x my x ny +-=⎧⎨+-=⎩因为方程组无解,所以有3514m n =≠, 所以3m n =,且45m n ≠,因为310m n =<,所以,101033n -<<,又因为n 是整数,所以3n =-, 2-,1-,0,1,2,3,相应地9m =-,-6,-3,0,3,6,9．所以,当9,3,m n =-⎧⎨=-⎩6,2,m n =-⎧⎨=-⎩3,1,m n =-⎧⎨=-⎩0,0,m n =⎧⎨=⎩3,1,m n =⎧⎨=⎩6,2,m n =⎧⎨=⎩9,3m n =⎧⎨=⎩时,原方程组无解． 4．1．12★已知关于x 和y 的方程组()()345,569,8810,51029x y x y n m x y x m n y +=-⎧⎪+=-⎪⎨--=⎪⎪++=-⎩有解,求22m n +的值． 解析首先解方程组345,569,x y x y +=-⎧⎨+=-⎩得到3x =-,1y =,代入原方程组中后两个方程,得到86,5 3.m n m n -=⎧⎨+=⎩① 再解上面关于m 和n 的方程组,得到913m =,613n =-,22117916913m n +==． 4．4．13★已知2ab a b =+,5ac a c =+,4bcb c=+,求a b c ++的值． 解析根据题意有1,21,51.4a b ab a c ac b c bc +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩111,2111,51114a b a c b c ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪⎪⎩①②+=.③ （①+②+③）2÷,得1111940a b c ++=．④ ④-①得1140c =-,40c =-． ④-②得11140b = ,4011b =． ④-③得1940a =,409a =． 所以()404031604091199a b c ++=++-=-． 4．1．14★如果方程组,5311x y m x y +=⎧⎨+=⎩的解是正整数,求整数m 的值．解析解方程组得113,25112m x m -⎧=⎪⎪⎨-⎪⎪⎩①y =.② 因为x 、y 都是正整数,所以1131,2511 1.2mm -⎧⎪⎪⎨-⎪⎪⎩≥≥ 解得1335m ≤≤． 因为m 是整数,所以3m =．将3m =代入①和②式,x 、y 的值均为正整数． 故3m =．4．1．15★★解方程组2347,423 2.32x y z x y y z+-=-⎧⎪-+⎨==⎪⎩ 解析因为423232x y y z -+==表示两个方程,即423x y -=和2322y z +=,或者42332x y y z-+=和423x y -=,或者42332x y y z -+=和2322y y+=,所以原方程组实际上是由三个方程组成的三元一次方程组,将原方程组改写为2347,42,323 2.2x y z x yy z⎧⎪+-=-⎪-⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩①②③ 由方程②得64x y =+,代入①化简得11419y z -=-．④由③得234y z +=．⑤ ④3⨯+⑤4⨯得3385716y y +=-+,所以,1y =-．将1y =-代入⑤,得2z =．将1y =-代入②, 得2x =．所以2,1,2x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩为原方程组的解．评注本题解法中,由①、②消去x 时,采用了代入消元法；解④、⑤组成的方程组时,若用代入法消元,无论消去y 还是消去z ,都会出现分数系数,计算较繁,而利用两个方程中z 的系数是一正一负,且系数的绝对值较小这一特征,采用加减消元法较简单． 4．1．16★已知1230,165x y zxy z⎧++=⎪⎪⎨⎪--⎪⎩①=0.②求x y z y x x++的值．解析①-②消去x 得880yz+=,即1y z =-．①3⨯+②消去y 得440x z +=,即1z x=-．①5⨯+②3⨯消去z 得880x y -=,即1x y =．所以,1111x y zy z x++=--=-即为所求． 4．1．17★解方程组5,1,15.x y z y x z x y --=⎧⎪--=⎨⎪--=-⎩①②z ③ 解析将①+②+③,得9x y z ++=．④由④+①得214x =,7x =． 由④+②得210y =,5y =． 由④+③得26z =-,3z =-． 所以,原方程组的解为7,5,3,x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩4．1．18★解方程组1,2,3,4,5.x y z y z u z u v u v x v x y ++=⎧⎪-+=⎪⎪-+=⎨⎪-+=⎪⎪-+=⎩①②③④⑤解析注意到各方程中同一未知数系数的关系,可以先得到下面四个二元方程： ①+②得3x u +=,⑥ ②+③得5y v +=,⑦ ③+④得7z x +=,⑧ ④+⑤得9u y +=．⑨ 又①+②+③+④+⑤得15x y z u v ++++=．⑩⑩一⑥一⑦得7z =,把7z =代入⑧得0x =,把0x =代入⑥得3u =,把3u =代入⑨得6y =,把6y =代入⑦得1v =-．所以0,6,7,3,1.x y z u v =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪=-⎪⎩ 为原方程组的解． 4．1．19★解方程组1124,11411125x y x x y x x y⎧+-=-⎪⎪⎪-⎨⎪⎪⎪⎩①+=,②+=.③ 解析①2⨯+②得313x y+=,④ 由③得125x y=-,⑤ 代入④得1125y=, 代入⑤得115x =． 再把115x =,1125y =代入①得13310z =,所以 5,5,121033x y z ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩为原方程组的解．解析2令1A x =,1B y =,1C z=,则原方程化为24,411,2 5.A B C A B C A B ++=-⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩解得15A =,125B =,3310C =,即5,5,121033x y z ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩为原方程组的解,评注解法1称为整体处理法,即从整体上进行加减消元或代人消元（此时的“元”是一个含有未知数的代数式,如1x 、1y等）；解法2称为换元法,也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”,从而简化方程组的求解过程．4．1．20★★解方程组()()()222392522782x y z x x y z x y y z x y z z ⎧+-=-⎪⎪+--⎨⎪+--⎪⎩,①=,②=.③解析原方程组可化为()()()395278.x x y z y x y z x y z ++⎧⎪++⎨⎪++⎩=,①=,②z =③④+⑤+⑥得()2169x y z ++=,故13x y z ++=±．⑦将⑦分别代入④、⑤、⑥,得原方程组的解为1113,4,6,x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩2223,4,6.x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩ 4．1．21★★解方程组53,53,53.x y z a y z x b z x y c -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩①②③解析①2⨯+②-③消去y 、z ,得142x a b c =+-,所以214a b c x +-=．由②2⨯+③-①,得214b c a y +-=． 由③2⨯+①-②,得214c a b z +-=． 所以,原方程组的解为2,142,142,14a b c x b c a y c a b z +-⎧=⎪⎪+-⎪=⎨⎪+-⎪=⎪⎩4．1．22★★解方程组25,28,211,2 6.x y y z z u u x +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ 解析有原方程得52,82,112,62.x y y z z u u x =-⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=-⎩①②③④ 所以()525282x x y z =--=--()114114112z u =-+=-+-()33833862u x =-=--1516x =-+,即1516x x =-+,解之得1x =,将1x =代入④得4u =.将4u =代入③得3z =.将3z =代入②得2y =．所以原方程组解为1,2,3,4.x y z u =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 4．1．23★★解方程组2111,3111.4x y z y z x z x y ⎪+⎪⎪+=⎨+⎪⎪+=⎪+⎩ 解析先把各方程左边通分,再对每个方程两边取倒数,并设x y z k ++=,则原方程可化为2,3,4.xy xz k yz yx k zx zy k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩①②③①+②+③,得92xy yz zx k ++=．④ 用④分别减去①、②、③,可得1,25,23.2xy k yz k zx k ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩显然0x ≠,0y ≠,0z ≠,0k ≠.由上面三式易得3515x y z =∶∶∶∶,又x y z k ++=,所以323x k =,523y k =,1523z k =． 则有35123232k k k ⎛⎫⎛⎫⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以22330k =． 所以,原方程组的解为（经检验）23,1023,623.2x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩4．1．24★★解方程组()()122,212 4.3x y xz x x z y z y z ⎪++⎪⎪+=⎨++⎪⎪++=⎪++⎩解析原方程可变形为111,12111,23111.124x y x z y z ⎧+=⎪+⎪⎪+=⎨+⎪⎪+=⎪++⎩解得1724x =,15124y =+,11224z =+． 所以,方程组的解为24,719,522.x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩4．1．25★★解方程组1,21,21.2x y zx y z xy z x yz ⎧++=⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩①②③ 解析①-③得0y zx z yz +--=, 则1y z y x=+-． 把式④代入①、②,整理分别得22232221y y x xy x y +++-=,⑤2223221y y x x xy ++-+=．⑥⑤-⑥得()()10y x xy x -+-=．若y x =,由式⑤得22410x x +-=,解得x将x y =代入式④,得z =． 若10xy x +-=,同理,10yz y +-=． 将11x y =-,1y z y-=代入式①得 3223320y y y --+=．分解因式得()()()21120y y y -+-=．故（x ,y ,z ）为（1-,2,12）、（2,12,1-）（12,1-,2）综上,共有5组解⎝⎭,⎝⎭,（1-,2,12）（2,12,1-） （12,1-,2）．4．1．26★解方程组2224220,3630.x xy x y x xy x y ⎧+--+=⎪⎨+-+=⎪⎩①② 解析②2⨯-①3⨯得4960x y +-=．解方程组24960,3630x y x xy x y +-=⎧⎨+-+=⎩得112,14;9x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩223,2.x y =-⎧⎨=⎩ 4．1．27★解方程组222224220,2240.x xy y x y x xy y x y ⎧-++-+=⎪⎨--+-+=⎪⎩①② 解析②()2⨯-+①得23360y y +-=,所以11y =,22y =-．解方程组221,2240y x xy y x y =⎧⎨--+-+=⎩与222,2240,y x xy y x y =-⎧⎨--+-+=⎩得原方程组的解111,2;x y =-⎧⎨=-⎩224,2.x y =-⎧⎨=-⎩ 4．1．28★解方程组22225,2320.x y x xy y ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩①②解析由②得()()220x y x y +-=,所以20x y +=或20x y -=．因此,原方程组可化为两个方程组225,20x y x y ⎧+=⎨+=⎩与225,20.x y x y ⎧+=⎨-=⎩解两个方程组得原方程组的解为111,2;x y =⎧⎨=-⎩221,2;x y =-⎧⎨=⎩332,1;x y =⎧⎨=⎩442,1.x y =-⎧⎨=-⎩ 评注方程组至少有一个方程可以分解为一次方程时,可用因式分解法解．4．1．29★解方程组222238, 4.x y x xy y ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩①② 解析由①-②2⨯得22230x xy y --=,即()()30x y x y +-=,所以0x y +=或30x y -=．所以0x y +=或30x y =-=．分别解下列两个方程组2238,0;x y x y ⎧-=⎨+=⎩2238,30,x y x y ⎧-=⎨-=⎩得原方程组的解为112,2;x y =⎧⎨=-⎩222,2;x y =-⎧⎨=⎩33x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩44x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩评注如果两个方程都没有一次项,可用加减消元法消去常数项,再用因式分解法求解．4．1．30★解方程组2226.x xu y x y ⎧++=+⎪⎨+=⎪⎩ 解析原方程组可变形为()()222 6.x y xy x y xy ⎧++=+⎪⎨+-=⎪⎩①②①2⨯+②得()()2210x y x y +++=+令u x y =+,则22100u u +--=,所以12u =+24u =-,即2x y +=4x y +=--当2x y +=,代入①得xy =2x y xy ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ 可得12x =,1y =2x =22y =．当4x y +=--,代入①得6xy =+而方程组46x y xy ⎧+=-⎪⎨=+⎪⎩无实数解．综上所述,方程组的解为112,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩222.x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 评注由于一般的二元对称式总可以用基本对称式x y +和xy 表示,因此在解二元对称方程组时,一定可以用x y +和xy 作为新的未知数,通过换元转化为基本对称方程组．4．1．31★★解方程组5,210.x y =+=⎩①②解析本题是一个对称方程组的形式,观察知它可转化为基本对称方程组的形式．由①得52=．③ 将②代入③,4=,所以16xy =．④由②、④可得基本对称方程组10,16.x y xy +=⎧⎨=⎩ 于是可得方程组的解为112,8;x y =⎧⎨=⎩228,2.x y =⎧⎨=⎩ 4．1．32★解方程组222100,2100.x xy x y xy y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩①②解析本题属于二元轮换对称方程组类型,通常可以把两个方程相减,因为这样总能得到一个方程 0x y -=,从而使方程降次化简．①-②,再因式分解得()()100x y x y -+-=,所以0x y -=或100x y +-=．解下列两个方程组20,2100;x y x xy x -=⎧⎨--=⎩2100,2100,x y x xy x +-=⎧⎨--=⎩得原方程组的四组解为112,0;x y =⎧⎨=⎩2210,310;3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩330,10;x y =⎧⎨=⎩4410,0.x y =⎧⎨=⎩ 4．1．33★★★解方程组6,6.①②解析1 用换元法．设45x A +=,45y B +=,则有54A x -=,54B y -=,4A B x y --=．6,6,即12,12.+==⎪⎩③④③-④并平方得594A B -++459A B =+-+,整理得4A B -=, 所以45959AB A AB B A B --+-化得())360A B-=, 360>,因此0A B -=．解方程组12,0,A B =-=⎪⎩得9,9.A B =⎧⎨=⎩经检验,9A B ==适合方程③、④,由此得原方程的解是1,1.x y =⎧⎨=⎩ 解析2①-②得-即=．所以1x -与1y -同号或同为零．由方程①得))330+=,0=, 所以1x -与1y -不能同正,也不能同负．从而10x -=,10y -=．由此解得1,1.x y =⎧⎨=⎩经检验,1x =,1y =是方程组的解． 4．1．34★★★解方程组：2113221122,22,22,22.n n n n n x x x x x x x x x x x x -1-⎧=+⎪⎪⎪=+⎪⎪⎪⋯⋯⎨⎪⎪=+⎪⎪⎪=+⎪⎩解析 本例各方程中,未知数的出现是循环对称的．若用消元法求解将十分困难．故而采用不等式求解．显然方程组的解1x ,2x ,⋯,n x 都同号,且若1x ,2x ,⋯,n x 是方程组的解,则1x -,2x -,⋯,n x -也是方程组的解．故不妨先设()01i x i n >≤≤．因为122n x x x=+≥所以1x,2x ,⋯,n x ． 把方程组的所有方程相加,整理,得1212222n nx x x x x x ⋯⋯+++=+++．① 但12n x x x ⋯+++≥12222n n x x x ⋯+++=≤ 因此要等式①成立,只能12n x x x ⋯====容易检验,12n x x x ⋯====确实原方程组的解． 因此,原方程组有两组解,它们是12n x x x ⋯====4．1．35★★★解方程组：212212232221212122,12,12,12.1n n nn x x x x x x x x x x x x --⎧=⎪+⎪⎪=⎪+⎪⎪⋯⋯⎨⎪⎪=⎪+⎪⎪=⎪+⎩解析1首先有()01i x i n ≥≤≤．再由2211xx+≤（x 为实数）得21212121x x x x =+≤,32x x ≤,⋯,1n n x x -≤, 1n x x ≤；所以11321n n x x x x x x -⋯≤≤≤≤≤≤．只能12n x x x ⋯===．进而求得本题的两组解1270n x x x ⋯===或121n x x x ⋯====．解析2若1x ,2x ,⋯,n x 中有一个为零,则由方程组可推出其余1n -个未知数都是零,则120n x x x ⋯====是原方程组的解．下设()1i x i n ≤≤都不是零,则2122122232212122111,211,211,211;2n n n n nx x x x x x x x x x x x --⎧+=⎪⎪⎪+=⎪⎪⎪⋯⋯⎨⎪+⎪=⎪⎪+⎪=⎪⎩2212322121121,121,121,121;n n nx xx x x x x x -⎧+=⎪⎪⎪+=⎪⎪⎪⋯⋯⎨⎪⎪+=⎪⎪⎪+=⎪⎩ 将所有方程相加,并整理、配方,得222121111110n x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋯-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 因为2110i x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥,所以只能121111110n x x x ⋯-=-==-=, 121n x x x ⋯====．易知它确实原方程组的解．因此,原方程组的解由两组：120n x x x ⋯====,或121n x x x ⋯====． 4．1．36★★★★已知原方程组：1111221332112222333113223330,0,0.a x a x a x a x a x a x a x a x a x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 它的系数满足下列条件： （1）11a 、22a 、33a 都是正数； （2）所有其他系数都是负数； （3）每一方程中系数之和是正数．求证：1230x x x ===是已知方程组的唯一解．解析 本例是一个三元线性齐次方程组,1230x x x ===,显然是它的解,因而只要证明已知方程组不存在不全为零的解集即可．用反证法．若方程组有不全为零的解11x k =,22x k =,33x k =,由对称性不设防1k 、2k 、3k 中以1k 为最大,则10k >．于是由110a >,120a <,130a <,1112130a a a ++>,得1111221330a k a k a k =++111122133a k a k a k --≥ 111122133a k a k a k =-- 111121131a k a k a k --≥()11121310a a a k =++>．上面的不等式显然是矛盾的．故已知方程组只有唯一解：1230x x x ===．4．1．37★★解方程组22222228,2226,322231,2222,2328.a a b c d e b a b c d e c a b c d e d a b c d e e a b c d e ⎧=+-++-⎪=---++-⎪⎪=++++-⎨⎪=++++-⎪⎪=++++-⎩解析将这个5个方程相加,得2222642a a b b c c d -+-+-+ 2108550d e e -+-+=,所以()()()()()22222321540a b c d e -+-+-+-+-=, 故（a ,b ,c ,d ,e ）=（3,2,1,5,4）．经检验知,（a ,b ,c ,d ,e ）=（3,2,1,5,4）是方程组的解．。