初中数学竞赛专题中位线
九年级数学中位线知识点
九年级数学中位线知识点中位线是数学中一个重要的概念，它在统计学和几何学中都有广泛的应用。
本文将详细介绍九年级数学中位线的相关知识点，包括定义、性质和求解方法等方面。
一、定义中位线是指一条线段，它连接平面上一个三角形的一个顶点和对边中点的线段。
具体来说，对于三角形ABC，若D是边AB的中点，则CD被称为三角形ABC的中位线。
二、性质1. 中位线的长度：中位线的长度等于对边的一半。
即，在三角形ABC中，若D为边AB的中点，则CD = 1/2 AB。
2. 中位线的位置：三角形ABC的三条中位线所交于一点，我们称之为重心（G）。
重心是三角形的一个重要特殊点，它将三角形分成六个小三角形，每个小三角形的面积相等。
3. 中位线的关系：在三角形中，任意两条中位线的交点都在第三条中位线上。
这个交点将每条中位线分成两个部分，其中一个部分是另一条中位线的2倍。
三、求解方法1. 已知三角形的顶点坐标：若已知三角形的顶点坐标A（x1, y1）、B（x2, y2）、C（x3, y3），求中位线CD的方法如下：a) 计算边AB的中点坐标D，D的坐标为（(x1+x2)/2,(y1+y2)/2）；b) 通过点D和顶点C的坐标，可以得到中位线CD的方程；c) 求解中位线CD的相关参数，如长度、斜率等。
2. 已知三角形的边长：若已知三角形的边长a、b、c，求中位线CD的方法如下：a) 根据已知边长，利用海伦公式计算三角形的面积S；b) 根据面积S和三角形的高公式，计算三角形的高h；c) 通过三角形高的性质，计算出中位线CD的长度。
四、例题解析为了更好地理解中位线的概念和求解方法，我们将通过例题来进行解析：例题1：已知三角形ABC的坐标为A（2, 4）、B（6, 8）、C （8, 2），求中位线CD的长度。
解析：首先计算边AB的中点坐标D，D的坐标为（(2+6)/2, (4+8)/2）= (4, 6)。
然后根据两点间的距离公式，计算出CD的长度：CD = √[(8-4)^2 + (2-6)^2] = √[(4^2) + (-4)^2] = √(16+16) = √32 = 4√2例题2：已知三角形的边长分别为a = 5 cm，b = 12 cm，c = 13 cm，求中位线CD的长度。
初三中位线的练习题
初三中位线的练习题练习题1：某班级共有40名学生参加英语考试，成绩如下（按照从小到大排列）：56, 58, 60, 62, 63, 65, 65, 67, 68, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 73, 75, 75, 76, 77, 77, 78, 78, 79, 80, 81, 82, 82, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 89, 90, 91, 95求该班级的中位线（中值）。
解答：首先，我们需要将成绩从小到大排列，得到数列：56, 58, 60, 62, 63, 65, 65, 67, 68, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 73, 75, 75, 76, 77, 77, 78, 78, 79, 80, 81, 82, 82, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 89, 90, 91, 95现在我们来计算中位线。
根据统计学的知识，中位数是将数据按照从小到大排列后的中间数值。
对于偶数个数据，中位数是中间两个数的平均值。
由于该班级有40名学生，是偶数个，因此中位数是中间两个数的平均值。
找到第20个数和第21个数：第20个数为76，第21个数为77。
计算平均值：(76 + 77) / 2 = 76.5所以，该班级的中位线（中值）为76.5。
练习题2：某班级共有35名学生参加数学考试，成绩如下（按照从小到大排列）：53, 55, 56, 58, 58, 60, 61, 62, 63, 65, 67, 69, 70, 72, 73, 73, 74, 75, 76, 78, 78, 79, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 92, 94, 95求该班级的中位线（中值）。
解答：首先，我们需要将成绩从小到大排列，得到数列：53, 55, 56, 58, 58, 60, 61, 62, 63, 65, 67, 69, 70, 72, 73, 73, 74, 75, 76, 78, 78, 79, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 92, 94, 95现在我们来计算中位线。
数学初中中位线题型
数学初中中位线题型中位线是指一个平面图形的任意两个顶点之间的中垂线的交点。
在初中数学中，中位线是一个重要的概念，也是一种常见的考试题型。
以下是一些常见的中位线题型：1. 求三角形中位线长度三角形ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB中点，求中位线AD 的长度。
解法：连接AE，将三角形ABC分成两个三角形，分别为三角形ABE和三角形ACE。
根据中位线的性质可知，AD是三角形ABE的中位线，因此AD=BE/2。
同理，AD也是三角形ACE的中位线，因此AD=CE/2。
由此可得：AD=(BE+CE)/2=BC/2。
2. 求四边形中位线长度四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点，求对角线AC的中位线EF的长度。
解法：连接EH、FG，可将四边形ABCD分成两个三角形AEH和CFG。
根据中位线的性质可知，EF是三角形AEH和CFG的中位线，因此EF=1/2(EH+FG)。
根据四边形中位线定理可知，EH=1/2(AC+BD)、FG=1/2(AC-BD)，代入公式可得：EF=1/2(AC+BD-AC+BD)=BD。
3. 求平行四边形中位线长度平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点，求对角线AC的中位线EF的长度。
解法：由于平行四边形的对角线互相平分，因此AC的中位线EF也平分平行四边形的对角线BD，即EF=1/2BD。
4. 求梯形中位线长度梯形ABCD中，E、F分别是AB、CD中点，求中位线EF的长度。
解法：连接AC，将梯形ABCD分成两个三角形ABC和ADC。
根据中位线的性质可知，EF是三角形ABC和ADC的中位线，因此EF=1/2(BD)，其中BD为梯形的上底和下底之差。
5. 求三角形中位线交点的坐标三角形ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB中点，求中位线AD、BE、CF的交点的坐标。
解法：根据中位线的性质可知，三角形ABC的中位线AD、BE、CF交于一点G，且AG=2/3AF、BG=2/3BD、CG=2/3CE。
初中数学中位线的中考知识点整理
初中数学中位线的中考知识点整理
顾名思义。
中位线就是图形的中点的连线，包括三角形中位线和梯形中位线两种。
中位线
中位线概念
(1)三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
(2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
注意：
(1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。
三角形中线是连结一顶点和它对边的中点，而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段。
(2)梯形的中位线是连结两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段。
(3)两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时梯形的中位线就变成三角形的中位线。
(完整版)八年级奥数精讲与测试中位线及其应用(无答案)
例1．在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点，求证：DM=12 AB。
例2．如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为E，DF⊥BC于F，MN是梯形中位线，求证：DF=MN。
例3．如图，四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别为BC、AD的中点，BA及EF的延长线交于M，CD及EF的延长线交于N，求证：∠AME=∠DNE。
例4．如图，分别以△ABC的AC、BC边为腰，A、B为直角顶点，作等腰直角△ACE和等腰直角△BCD，M为DE中点，求证：AM⊥BM。
例5．在等腰三角形ABC的两腰AB、AC上分别取点E和F，使AE=CF。
已知BC=2，求证：EF≥1。
A卷一、填空题01．如果等腰梯形底角是45°，高等于上底的2倍，那么梯形中位线与高之比为_________。
02．已知梯形两对角线中点连线长5cm，梯形下底长20cm，则上底长为_________。
03．如图128，E是AC的中点，D在边BC上，且CD=2BD，AD与BE 相交于F。
已知△BDF的面积是1，那么△ABC的面积是_________。
04．如图129，梯形ABCD的面积是12，则以梯形四边中点为顶点的四边形EFMN的面积是_________。
05．已知梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC把中位线EF(E在AB上)分成1 : 3两部分，则S ADFE:S BCFE=_________。
06．如图130，在梯形ABCD中，AB∥CD，EF是中位线，EF与AC相交于G，且EF=16cm，EG−GF=4cm，则AB的长是_________cm。
07．如图131，已知△ABC中，AB=AC，延长AB至D，使BD=AB，E 是AB的中点，CD=4，则CE=_________。
08．如图132，在△ABC中，E、F分别为AB、AC上的点，且BE=CF，M、N分别为BF、CE的中点，过M、N的直线交AB于P，交AC于Q。
初中数学竞赛模型定理
初中数学竞赛模型定理包括但不限于以下几个：
1. 勾股定理：在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
即，如果a和b是直角三角形的两条直角边，c是斜边，那么a² + b² = c²。
2. 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
3. 圆的性质：在同一个圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，所对的圆心角也相等。
4. 平行线的性质：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。
5. 垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
这些定理在初中数学竞赛中经常出现，掌握这些定理可以更好地理解和解决数学问题。
同时，还需要注意这些定理的使用条件和限制，避免在解题过程中出现错误。
中位线及其应用
中位线及其应用知识定位中位线在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，它的有关知识是今后我们学习综合题目或者三角形综合的重要基础。
中位线的证明性质以及应用，必须熟练掌握。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中中位线相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、三角形中位线定义（1）三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线与三角形的中线区分：三角形中线是连接一顶点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。
（2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，则DE 为ABC ∆的中位线。
几何语言描述：因为D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，所以DE//BC,且DE=12BC提示 a ：“平行且等于第三边的一半”，具体应用时要根据题目的要求灵活进行选择，并 不一定要把两个结论都写出来。
b ：一个三角形有三条中位线。
c ：经过三角形一边的中点且与另一边平行的直线，必平分第三边，这是一种重要 的作辅助线的方法。
2、三角形中位线的性质（1）三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
（2）中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。
（3）运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。
（4）中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。
它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰补充：有关线段中点的其他定理还有：①直角三角形斜边中线等于斜边的一半②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合③对角线互相平分的四边形是平行四边形④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等因此如何发挥中点作用必须全面考虑。
初中中位线知识点总结
初中中位线知识点总结一、中位线的概念及作用1. 中位线是一条线段，它将一个几何图形分成两个面积相等的部分。
2. 在三角形和四边形中，中位线与其它中线交点的位置可以用于解决一些几何问题。
3. 中位线可用于解决实际问题，如计算房屋地面面积、农田面积等。
二、三角形中的中位线1. 三角形中位线定义：通过三角形的一个顶点，作对边中点连线。
2. 中位线的性质：三角形中位线相等，即三角形中的三条中位线相等。
这是因为三角形的三边相等。
3. 中位线的作用：在三角形中，中位线可以用来证明三角形的面积、证明三角形的角平分线等。
三、四边形中的中位线1. 四边形中位线定义：四边形的对角线中点连线。
2. 中位线的性质：四边形中的中位线相等，即四边形的两对对角线中的中位线相等。
3. 中位线的作用：中位线可以用来证明四边形的面积、证明四边形的性质。
四、中位线的应用1. 实际问题：中位线可用于计算几何图形的面积，如计算房屋地面面积、农田面积等。
2. 定理证明：中位线可用于证明几何定理，如证明三角形的角平分线，证明四边形的面积等。
3. 建筑设计：在建筑设计中，中位线可用于布局、规划和设计。
五、中位线的计算1. 中位线长度的计算：中位线的长度等于对角线中点间的距离。
2. 中位线的数学公式：中位线的长度等于两个对角线中点的距离的一半。
3. 计算实例：根据给定的对角线长度，可以计算四边形中位线的长度。
六、中位线与中心线的区别1. 中位线是一条几何图形中的线段，它具有等长性质。
2. 中心线是几何图形的中心轴线，它与图形的对称轴或对称中心有关。
七、中位线与平行四边形1. 中位线是平行四边形的对角线的中点连线，它将平行四边形分成两个面积相等的部分。
2. 中位线的性质：平行四边形的两条对角线中的中位线相等，即平行四边形中的两条中位线相等。
八、中位线与菱形1. 中位线是菱形的对角线的中点连线，它将菱形分成两个面积相等的部分。
2. 中位线的性质：菱形的两条对角线中的中位线相等，即菱形中的两条中位线相等。
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初中数学竞赛专题中位线
一、内容提要
1. 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
2. 中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计
算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。
3. 运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括
作出辅助线。
4. 中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。
它的逆定理就是平行线
截比例线段定理及推论，
①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等 ②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边 ③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰 5. 有关线段中点的其他定理还有： ①直角三角形斜边中线等于斜边的一半
②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合 ③对角线互相平分的四边形是平行四边形 ④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等 因此如何发挥中点作用必须全面考虑。
二、例题
例1. 已知：△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM
和CAN ，P 是BC 的中点。
求证：PM ＝PN
（1991年泉州市初二数学双基赛题）
证明：作ME ⊥AB ，NF ⊥AC ，垂足E ，F ∵△ABM 、△CAN 是等腰直角三角形
∴AE ＝EB ＝ME ，AF ＝FC ＝NF ，
根据三角形中位线性质 PE ＝
21AC ＝NF ，PF ＝2
1
AB ＝ME
PE ∥AC ，PF ∥AB
∴∠PEB ＝∠BAC ＝∠PFC 即∠PEM ＝∠PFN
∴△PEM ≌△PFN ∴PM ＝PN
P
例2.已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝7，AD 是角平分线，CM ⊥AD 于M ，且N 是BC 的中点。
求MN 的长。
分析：N 是BC 的中点，若M 是另一边中点，
则可运用中位线的性质求MN 的长， 根据轴称性质作出△AMC 的全等三角形即可。
辅助线是：延长CM 交AB 于E （证明略）
例3.求证梯形对角线的中点连线平行于两底，且等于两底差的一半。
已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 分别是AC 、BD 的中点 求证：MN ∥AB ∥CD ，MN ＝
2
1
（AB －CD ）
分析一：∵M 是AC 中点，构造一个三角形，使N 为另一边中点，以便运用中位线的性质。
∴连结CN 并延长交AB 于E （如图1）证△BNE ≌△DNC 可得N 是CE 的中点。
（证明略）
分析二：图2与图1思路一样。
分析三：直接选择△ABC ，取BC 中点P 连结MP 和NP ，证明M ，N ，P 三点在同一直线上，方法也是运用中位线的性质。
例4. 如图已知：△ABC 中，AD 是角平分线，BE ＝CF ，M 、N 分别是
BC 和EF 的中点
求证：MN ∥AD 证明一：连结EC ，取EC 的中点P ，连结PM 、PN
MP ∥AB ，MP ＝
21AB ，NP ∥AC ，NP ＝2
1AC ∵BE ＝CF ，∴MP ＝NP
∴∠3=∠4=2
MPN
-180∠
∠MPN ＋∠BAC ＝180
（两边分平行的两个角相等或互补）
∴∠1=∠2=2
MPN
-180∠ ， ∠2=∠3
∴NP ∥AC ∴MN ∥AD
C N
证明二：连结并延长EM 到G ，使MG ＝ME 连结CG ，FG
则MN ∥FG ，△MCG ≌△MBE ∴CG ＝BE ＝CF ∠B ＝∠BCG
∴AB ∥CG ，∠BAC ＋∠FCG ＝180 ∠CAD ＝
2
1
（180 －∠FCG ） ∠CFG
＝2
1
（180 －∠FCG ）=∠CAD ∴ MN ∥AD
例5. 已知：△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是高，CE 是角平分线，EF ⊥BC
于F ，GE ⊥CE 交CB 的延长线于G
求证：FD ＝4
1
CG
证明要点是：延长GE 交AC 于H ， 可证E 是GH 的中点
过点E 作EM ∥GC 交HC 于M ，
则M 是HC 的中点，EM ∥GC ，EM ＝2
1
GC
由矩形EFDO 可得FD ＝EO ＝21EM ＝4
1
GC
三、练习 1.已知E 、F 、G 、H 是四边形ABCD 各边的中点 则①四边形EFGH 是＿＿＿＿＿形 ②当AC ＝BD 时，四边形EFGH 是＿＿＿形
③当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是＿＿形 ④当AC 和BD ＿＿＿＿＿＿＿＿时，四边形EFGH 是正方形形。
2.求证：梯形两底中点连线小于两边和的一半。
3.已知AD 是锐角三角形ABC 的高，E ，F ，G 分别是边BC ，CA ，AB 的中
点，证明顺次连结E ，F ，G ，H 所成的四边形是等腰梯形。
4. 已知：经过△ABC 顶点A 任作一直线a,过B ，C 两点作直线a 的垂线段
BB ，和CC ，
，设M 是BC 的中点，
求证：MB ，＝MC ，
5.如图已知△ABC 中，AD ＝BE ，DM ∥EN ∥BC
求证BC ＝DM ＋EN
6.如图已知：从平行四边形ABCD 的各顶点向形外任一直线a 作垂线段AE ，BF ，CG ，DH 。
求证AE ＋CG ＝BF ＋DH 7.如图已知D 是AB 的中点，F 是DE 的中点， 求证BC ＝2CE
8.平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是BC 、CD 的中点，求证AC 平分MN 9.已知△ABC 中，D 是边BC 上的任一点，M ，N ，P ，Q 分别是BC ，AD ，AC ，MN 的中点，求证直线PQ 平分BD 。
10.等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BC ，点O 是AC 和BD 的交点，∠AOB ＝60 ，P ，Q ，R 分别是AO ，BC ，DO 的中点，求证△PQR 是等边
三角形。
11.已知：△ABC 中，AD 是高，AE 是中线，且AD ，AE 三等分∠BAC ，求证：△ABC 是Rt △。
12.已知：在锐角三角形ABC 中，高AD 和中线BE 相交于O ，
∠BOD ＝60 ，求证AD ＝BE 13.如图 已知：四边形ABCD 中，AD ＝BC ，
点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，MN ⊥EF 求证：∠DMN ＝∠CNM
练习题参考答案
1. ①平行四边形②菱形③矩形④相等且互相垂直
E N
B C D a E B
2. 取一条对角线的中点，利用三角形两边差小于第三边
3. DG ＝EF ＝2
1AB 4. 过点M 作a 的垂线,必平分B ，
C ，
5. △ABC 的中位线也是梯形BCD ，
D 中位线 6. 同上，有公共中位线 7. 取BC 中点G ，连结DG
8. 连结BD 交AC 于O ，易证四边形MCNO 是平行四边形 9.
证四边形MPNS 是平行四边形
10. ∵△COD 是等边三角形，CR ⊥DO ，RQ ＝2
1
BC ，…… 11. 作EF ⊥AC ，EF ＝ED ＝
2
1EC ，∠C ＝30
，…… 12. 作EF ⊥BC 于F ，AD ，BE 都等于2EF
13. 过AC 的中点O 作MN 的平行线，则OE ＝OF ，……。