中考数学二次函数精讲精练

中考数学二次函数◆知识讲解①一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．②当b=c=0时，二次函数y=ax 2是最简单的二次函数．③二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax 2+bx+c ，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a （x －h ）2+k ，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a （x －x 1）（x －x 2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2才能求出此解析式；对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（－2b a ，244ac b a -）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（h ，k ），•由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．④二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=－2b a ，最值为244ac b a -，（k>0时为最小值，k<0时为最大值）．由此可知y=ax 2的顶点在坐标原点上，且y 轴为对称轴即x=0．⑤抛物线的平移主要是移动顶点的位置，将y=ax 2沿着y 轴（上“＋”，下“－”）平移k （k>0）个单位得到函数y=ax 2±k ，将y=ax 2沿着x 轴（右“－”，左“＋”）平移h （h>0）个单位得到y=a （x ±h ）2．•在平移之前先将函数解析式化为顶点式，再来平移，若沿y•轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减（上加下减），若沿x 轴平移则直接在含x 的括号内进行加减（右减左加）．⑥在画二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点．⑦抛物线y=ax 2+bx+c 的图像位置及性质与a ，b ，c 的作用：a 的正负决定了开口方向，当a>0时，开口向上，在对称轴x=－2b a 的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴x=－2b a的右侧，y 随x 的增大而增大，此时y 有最小值为y=244ac b a -，顶点（－2b a ，244ac b a -）为最低点；当a<0时，开口向下，在对称轴x=－2b a的左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴x=－2b a的右侧，y 随x 的增大而增大，此时y 有最大值为y=244ac b a -，顶点（－，244ac b a-）为最高点．│a │的大小决定了开口的宽窄，│a │越大，开口越小，图像两边越靠近y 轴，│a │越小，开口越大，•图像两边越靠近x 轴；a ，b 的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y 轴，当a ，b 同号时，对称轴x=－2b a <0，即对称轴在y 轴左侧，垂直于x 轴负半轴，当a ，b•异号时，对称轴x=－2b a>0，即对称轴在y 轴右侧，垂直于x 轴正半轴；c•的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与y 轴交于正半轴；c<0时，与y•轴交于负半轴，以上a ，b ，c 的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出．◆例题解析例1 已知：二次函数为y=x 2－x+m ，（1）写出它的图像的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）m 为何值时，顶点在x 轴上方，（3）若抛物线与y 轴交于A ，过A 作AB ∥x 轴交抛物线于另一点B ，当S △AOB =4时，求此二次函数的解析式．【分析】（1）用配方法可以达到目的；（2）顶点在x 轴的上方，•即顶点的纵坐标为正；（3）AB ∥x 轴，A ，B 两点的纵坐标是相等的，从而可求出m 的值．【解答】（1）∵由已知y=x 2－x+m 中，二次项系数a=1>0，∴开口向上，又∵y=x 2－x+m=[x 2－x+（12）2]－ 14+m=（x －12）2+414m - ∴对称轴是直线x=12，顶点坐标为（12，414m -）． （2）∵顶点在x 轴上方，∴顶点的纵坐标大于0，即414m ->0 ∴m>14∴m>14时，顶点在x 轴上方． （3）令x=0，则y=m ．即抛物线y=x 2－x+m 与y 轴交点的坐标是A （0，m ）．∵AB ∥x 轴∴B点的纵坐标为m．当x2－x+m=m时，解得x1=0，x2=1．∴A（0，m），B（1，m）在Rt△BAO中，AB=1，OA=│m│．∵S△AOB =12OA·AB=4．∴12│m│·1=4，∴m=±8故所求二次函数的解析式为y=x2－x+8或y=x2－x－8．【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a，b，c•的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处．例2 （2006，重庆市）已知：m，n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m<n，抛物线y=－x2+bx+c的图像经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积；（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC•把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．【分析】（1）解方程求出m，n的值．用待定系数法求出b，c的值．（2）过D作x轴的垂线交x轴于点M，可求出△DMC，梯形BDBO，△BOC的面积，•用割补法可求出△BCD的面积．（3）PH与BC的交点设为E点，则点E有两种可能：①EH=32EP，②EH=23EP．【解答】（1）解方程x2－6x+5=0，得x1=5，x2=1．由m<n，有m=1，n=5．所以点A，B的坐标分别为A（1，0），B（0，5）．将A（1，0），B（0，5）的坐标分别代入y=－x2+bx+c，得10,5b c c -++=⎧⎨=⎩ 解这个方程组，得4,5b c =-⎧⎨=⎩ 所以抛物线的解析式为y=－x 2－4x+5．（2）由y=－x 2－4x+5，令y=0，得－x 2－4x+5=0．解这个方程，得x 1=－5，x 2=1．所以点C 的坐标为（－5，0），由顶点坐标公式计算，得点D （－2，9）．过D 作x 轴的垂线交x 轴于M ，如图所示．则S △DMC =12×9×（5－2）=272． S 梯形MDBO =12×2×（9+5）=14， S △BDC =12×5×5=252． 所以S △BCD =S 梯形MDBO +S △DMC －S △BOC =14+272－252=15． （3）设P 点的坐标为（a ，0）因为线段BC 过B ，C 两点，所以BC 所在的直线方程为y=x+5．那么，PH 与直线BC 的交点坐标为E （a ，a+5），PH 与抛物线y=－x 2+4x+5•的交点坐标为H （a ，－a 2－4a+5）． 由题意，得①EH=32EP ，即 （－a 2－4a+5）－（a+5）=32（a+5）． 解这个方程，得a=－32或a=－5（舍去）． ②EH=23EP ，得 （－a 2－4a+5）－（a+5）=32（a+5）． 解这个方程，得a=－23或a=－5（舍去）． P 点的坐标为（－32，0）或（－23，0）． 例3 （2006，山东枣庄）已知关于x 的二次函数y=x 2－mx+212m +与y=x 2－mx －222m +，这两个二次函数的图像中的一条与x 轴交于A ，B 两个不同的点．（1）试判断哪个二次函数的图像经过A，B两点；（2）若A点坐标为（－1，0），试求B点坐标；（3）在（2）的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x•值的增大而减小？【解答】（1）对于关于x的二次函数y=x2－mx+21 2m+．由于b2－4ac=（－m）－4×1×212m+=－m2－2<0，所以此函数的图像与x轴没有交点．对于关于x的二次函数y=x2－mx－222m+．由于b2－4ac=（－m）2－4×1×222m+=3m2+4>0，所以此函数的图像与x轴有两个不同的交点．故图像经过A，B两点的二次函数为y=x2－mx－222m+．（2）将A（－1，0）代入y=x2－mx－222m+．得1+m－222m+=0．整理，得m2－2m=0．解得m=0或m=2．当m=0时，y=x2－1．令y=0，得x2－1=0．解这个方程，得x1=－1，x2=1．此时，点B的坐标是B（1，0）．当m=2时，y=x2－2x－3．令y=0，得x2－2x－3=0．解这个方程，得x1=1，x2=3．此时，点B的坐标是B（3，0）．（3）当m=0时，二次函数为y=x2－1，此函数的图像开口向上，对称轴为x=0，所以当x<0时，函数值y随x的增大而减小．当m=2时，二次函数为y=x2－2x－3=（x－1）2－4，此函数的图像开口向上，对称轴为x=1，所以当x<1时，函数值y随x的增大而减小．【点评】本题是一道关于二次函数与方程、不等式有关知识的综合题，但它仍然是反映函数图像上点的坐标与函数解析式间的关系，抓住问题的实质，灵活运用所学知识，这类综合题并不难解决．◆强化训练一、填空题1．（2006，大连）右图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像，•观察图像写出y2≥y1时，x的取值范围_______．2．（2005，山东省）已知抛物线y=a2+bx+c经过点A（－2，7），B（6，7），C（3，－8），•则该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标是_______．3．已知二次函数y=－x2+2x+c2的对称轴和x轴相交于点（m，0），则m的值为______．4．（2005，温州市）若二次函数y=x2－4x+c的图像与x轴没有交点，其中c为整数，•则c=_______（只要求写出一个）．5．（2005，黑龙江省）已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（1，2）与（－1，4），则a+c•的值是______．6．甲，乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一十分关键的球，出手点为P，羽毛球飞行的水平距离s（m）与其距地面高度h（m）之间的关系式为h=－112s2+23s+32．如下左图所示，•已知球网AB距原点5m，乙（用线段CD表示）扣球的最大高度为94m，设乙的起跳点C的横坐标为m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m•的取值范围是______．7．（2005，甘肃省）二次函数y=x2－2x－3与x轴两交点之间的距离为______．8．（2008，甘肃庆阳）兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，•房子的价格y （元/m2）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8），已知点（x，y）•都在一个二次函数的图像上（如上右图），则6楼房子的价格为_____元/m2．二、选择题9．（2008，长沙）二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，•则下列关系式不正确的是（）A．a<0 B．abc>0 C．a+b+c<0 D．b2－4ac>0(第9题) (第12题) (第15题) 10．（2008，威海）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（－2，y1），N（－1，y2），K（8，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图像上，则下列结论中正确的是（）A．y1<y2<y3B．y2<y1<y3C．y3<y1<y2D．y1<y3<y211．（2005，山西省）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=2，且经过点P（3，0），则a+b+c的值为（）A．－1 B．0 C．1 D．212．如图所示，抛物线的函数表达式是（）A．y=x2－x+2 B．y=－x2－x+2 C．y=x2+x+2 D．y=－x2+x+2 13．（2008，山西）抛物线y=－2x2－4x－5经过平移得到y=－2x2，平移方法是（）A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位14．（2005，包头市）已知二次函数y=x2+bx+3，当x=－1时，y取得最小值，则这个二次函数图像的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限15．（2006，诸暨）抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分图像如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是（）A．（12，0）B．（1，0）C．（2，0）D．（3，0）16．（2008，泰安）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=－mx2+2x+2（m是常数，•且m≠0）的图像可能是（）三、解答题17．（2006，浙江舟山）如图所示，已知抛物线y=ax2+4ax+t（a>0）交x轴A，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（－1，0）．（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能判断四边形ABCP•是什么四边形？并证明你的结论；（3）连接CA与抛物线的对称轴交于点D，当∠APD=∠ACP时，求抛物线的解析式．18．（2006，重庆）如图所示，m，n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m<n，•抛物线y=－x2+bx+c的图像经过点A（m，0），B（0，n）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积；（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于点H，若直线BC•把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出点P的坐标．19．（2006，太原市）某地计划开凿一条单向行驶（从正中通过）的隧道，•其截面是抛物线拱形ACB，而且能通过最宽3m，最高3.5m的厢式货车．按规定，•机动车通过隧道时车身距隧道壁的水平距离和铅直距离最小都是0.5m．•为设计这条能使上述厢式货车恰好完全通过的隧道，在图纸上以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，•建立如图所示的直角坐标系，求抛物线拱形的表达式，隧道的跨度AB和拱高OC．20．（2005，河南省）已知一个二次函数的图像过如图所示三点．（1）求抛物线的对称轴；（2）平行于x轴的直线L的解析式为y=254，抛物线与x轴交于A，B两点．•在抛物线的对称轴上找点P，使BP的长等于直线L与x轴间的距离．求点P的坐标．21．（2005，吉林省）如图5－76所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x•轴交于A，B两点，其中A点坐标为（－1，0），点C（0，5），D（1，8）在抛物线上，M 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB的面积．22．（2005，长春市）如图所示，过y轴上一点A（0，1）作AC平行于x轴，交抛物线y=x2（x≥0）于点B，交抛物线y=12x2（x≥0）于点C；过点C作CD平行于y轴，交抛物线y=x2于点D；过点D作DE平行于x轴，交抛物线y=14x2于点E．（1）求AB：BC；（2）判断O，B，E三点是否在同一直线上？如果在，写出直线解析式；如果不在，请说明理由．答案1．－2≤x ≤1 2．（1，－8） 3．1 4．答案不唯一（略） 5．36．7 7．4 8．2080 9．C 10．B 11．B 12．D 13．D14．B 15．B 16．D17．（1）对称轴是直线x=2，A 点坐标为（－3，0）（2）四边形ABCP 是平行四边形（3）∵△ADE ∽△CDP ，∴PE PD =12 ∵△ADE ∽△PAE ，∴12=3t ·t ，∴3 将B （－1，0）代入y=ax 2+4ax+t 得t=3a ，a=33 ∴抛物线解析式为32433． 18．（1）y=－x 2－4x+5 （2）C （－5，0），D （－2，9） S △BCD =15（3）设P （a ，0），∵BC 所在直线方程为y=x+5．∴PH 与直线BC 的交点坐标为E （a ，a+5）．PH 与抛物线y=－x 2－4x+5的交点坐标为H （a ，－a 2－4a+5）．①若EH=32EP ．则（－a 2－4a+5）－（a+5）=32（a+5），则a=－32或a=－5（舍） ②若EH=23EP ，则（－a 2－4a+5）－（a+5）=23（a+5），则a=－23或a=－5（舍）∴P（－32，0）或（－23，0）．19．如图所示，由条件可得抛物线上两点的坐标分别为M（32，4），N（2，72），设抛物线的表达式为y=ax2+c，则94, 47 4.2a ca c⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解这个方程组，得2,76514 ac⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴y=－27x2+6514，当x=0时，y=6514，∴C（0，6514），OC=6514．当y=0时，－27x2+6514=0，解得x=±652．∴A（－652，0），B（652，0），65所以，抛物线拱形的表达式为y=－27x2+6514．隧道的跨度AB65，拱高OC为6514m．20．（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c．根据题意，得321645ca b ca b c=-⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得163abc=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩即y=－x2+6x－3=－（x－3）2+6．∴抛物线的对称轴为直线x=3．（2）解得点B（6，0）．设点P的坐标为（3，y），如图，由勾股定理，得BP2=BC2+PC2，即BP2=（6－3）2+y2=y2+6．∵L与x轴的距离是254，∴y2+6=（254）2，解y=±234．∴所求点P为（3，234）或（3，－234）．21．（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，根据题意得58a b cca b c-+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得145abc=-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴所求抛物线的解析式为y=－x2+4x+5．（2）∵C点坐标为（0，5），∴OC=5，令y=0．则－x2+4x+5=0，解得x1=－1，x2=5．∴B点坐标为（5，0），∴OB=5．∵y=－x2+4x+5=－（x－2）2+9，∴顶点M的坐标为（2，9）．过点M作MN⊥AB于点N，则ON=2，MN=9．∴S△MCB=S梯形OCMN+S△BNM－S△OBC =12×（5+9）×2+12×9×（5－2）－12×5×5=15．22．（1）∵A（0，1）．∴B点纵坐标为1，1=x2，x≥0，x=1，B（1，1），AB=1．C点纵坐标为1，1=14x2，x2=4，x≥0，x=2．C（2，1），BC=1，∴AB：BC=1：1．（2）D点的横坐标为2，D在y=x2上，则D（2，4）．E点的纵坐标为4，E在y=14x2，则E（4，4）．过O（0，0），B（1，1）的直线解析式为y=x．E（4，4）在这条直线上，所以O，B，E三点在同一条直线上，并且直线解析式为y=x．。