广西2017届高三5月份考前模拟适应性联合考试数学理试题Word版含答案

2017年广西高三5月份考前模拟适应性联合考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数3+4ii 2+的实部与虚部分别为（ ） A ．2，1 B ．2，i C ．11，2- D ．11，2i - 2．已知集合{}2310A x x x =+<，{}1B x x =>，则AB 等于（ ）A ．{}12x x << B ．{}51x x -<< C ．{}1x x > D ．{}5x x >- 3．圆M ：()2216x y ++=与直线30x y ++=相交于A 、B 两点，则AB 等于（ ） A ．2 B ．4 C ．2 D ．224．612x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为（ ）A ．52 B ．160 C ．52- D ．160- 5．若n ∏为等比数列{}n a 的前n 项积，则“212a >”是“31∏>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．已知变量x，y满足约束条件24,4312,1,yx yy-+≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2z x y=+的最小值为（）A．12- B．1 C．2- D．1128．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为()modN n m≡，例如()102mod4≡.如图所示程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的i等于（）A．4 B．8 C．16 D．329．已知等差数列{}n a的前n项和为n S，8430S S=-≠，则412SS的值为（）A．13- B．112- C．112D．1310．已知函数()()sinf x A xωϕ=+（0ω>，0πϕ-<<）的部分图象如图所示，则下列判断错误的是（）A．函数()f x的最小正周期为2B．函数()f x的值域为[]4,4-C．函数()f x的图象关于10,03⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．函数()f x 的图象向左平移3π个单位后得到sin y A x ω=的图象 11．函数()()2244log x x f x x -=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左顶点为A ，点153B b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.若线段AB 的垂直平分线过右焦点F ，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 B ．22 C ．3 D ．23第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若正方体的外接球的表面积为6π，则该正方体的表面积为 ． 14．设向量()2log 3,a m =，()3log 4,1b =-，且a b ⊥，则m 的值为 ． 15．若()()sin 603cos 90θθ+︒=︒-，则tan θ= ．16．已知函数()32f x x ax =-与()2g x ax ax b =-+在(]0,2上存在相同的零点，则b 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin 6sin a C c B =. （1）求ab的值； （2）若1b =，26c =cos C 及ABC 的面积.18．如图，在各棱长均为4的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，E 为棱1BB 上一点，且13BE EB =.（1）求证：平面ACE ⊥平面11BDD B ；（2）求二面角1C AE D --的正弦值.19．宝宝的健康成长是妈妈们最关心的问题，父母亲为婴儿选择什么品牌的奶粉一直以为都是育婴中的一个重要话题.为了解国产奶粉的知名度和消费者的信任度，某调查小组特别调查记录了某大型连锁超市2015年与2016年这两年销量前5名的五个品牌奶粉的销量（单位：罐），绘制出如下的管状图：（1）根据给出的这两年销量的管状图，对该超市这两年品牌奶粉销量的前五强进行排名； （2）分别计算这5个品牌奶粉2016年所占总销量（仅指这5个品牌奶粉的总销量）的百分比（百分数精确到个位），并将数据填入如下饼状图中的括号内；（3）试以（2）中的百分比作为概率，若随机选取2名购买这5个品牌中任意1个品牌的消费者进行采访，记X 为被采访中购买飞鹤奶粉的人数，求X 的分布列及数学期望.20．设椭圆W ：22221x y a b+=（0a b >>）的四个顶点围成的菱形的面积为4，且点()0,1M -为椭圆上一点.抛物线N ：22y px =（0p >）的焦点F 与点M 关于直线y x =-对称. （1）求椭圆W 及抛物线N 的方程；（2）过原点O 的直线l 与椭圆交于A 、B ，与抛物线N 交于D （异于原点），若55AB OD =，求ABF 的面积. 21．已知函数()()ln 1f x k x x =++⎡⎤⎣⎦()ln 1x k +++. （1）若函数()f x 在[)0,+∞上不单调，求实数k 的取值范围；（2）若曲线()y f x =在点()()e 1,e 1f --处的切线与直线30x y +=垂直，且()f x mx >对()0,x ∈+∞恒成立.已知()00ln 11x x +=-，00x >，求证：01m x <+.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为cos 224πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求曲线1C 的参数方程为曲线2C 的直角坐标方程； （2）记曲线1C 与曲线2C 交于M ，N 两点，求OM ON ⋅. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()121f x x x =--+. （1）解不等式()4f x ≥；（2）若关于x 的不等式22a a ++()1x f x +>恒成立，求实数a 的取值范围.2017年广西高三5月份考前模拟适应性联合考试数学试卷参考答案（理科）一、选择题1-5:ADBAB 6-10:CCCBD 11、12：AA二、填空题13．12 14．2 153．44,27⎡⎤-⎢⎥⎣⎦三、解答题17．解：（1）sin 6sin a C c B =，6ac bc ∴=，6a b ∴=，6ab ∴=.（2）6ab=，1b =，6a ∴=.222cos 2a b c C ab +-∴==361261126112+-=⨯⨯，23sin C ∴=,1sin 2ABCS ab C ∴=23=18．解：（1）证明：底面ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥底面ABCD ，1BB AC ∴⊥.1BB BD B =，AC ∴⊥平面11BDD B ，又AC ⊂平面ACE ，∴平面ACE ⊥平面11BDD B .（2）设AC 与BD 交于点O ，11A C 与11B D 交于点1O ，以O 为原点，OA 、OB 、1OO 分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，则()23,0,0A ，()23,0,0C -，()0,2,3E ，()10,2,4D -，则()23,2,3AE =-，()43,0,0AC =-，()10,4,1ED =-. 设()111,,n x y z =为平面ACE 的法向量，则111123230,430AE n x y z AC n x ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 取12z =，则()0,3,2n =-.设()222,,m x y z=为平面1AED的法向量，则22212223230,40AE m x y zED m y z⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩取23y=，则()7,3,43m=.cos,n mn mn m⋅∴==5331310213=⨯，∴二面角1C AE D--的正弦值为713.19．解：（1）该超市这两年品牌奶粉销量的前五强排名分别为：飞鹤奶粉，伊利奶粉，贝因美奶粉，雅士利奶粉，完达山奶粉.（2）（3）由（2）知，购买飞鹤奶粉的概率为14，X的可能取值为0，1，2.则()0P X==2191416⎛⎫-=⎪⎝⎭，()12114P X C==⨯13148⎛⎫-=⎪⎝⎭，()2P X==211416⎛⎫=⎪⎝⎭.X的分布列为故()9301168E X =⨯+⨯112162+⨯=. 20．解：（1）由题可知1b =，又1442ab ⨯=，2ab ∴=，2a ∴=，∴椭圆W 的方程为2214x y +=. 由题可知()1,0F ，∴抛物线N 的方程为24y x =.（2）易知直线l 斜率存在，设直线l 的方程为y kx =，联立2214x y +=，得()22144k x +=， 214x k∴=+21AB k ∴=+214k+.联立24y kxy x=⎧⎨=⎩，得224k x x =，设()00,D x y ，则024x k =，201OD k x ∴=+2241k k=+. ∴由55AB =2514k =+， ()()225110k k ∴+-=，解得1k =±，故直线l 的方程为y x =±.()1,0F 到l 的距离为22，且425AB =1222ABFS ∴=⨯422555=. 21．解：（1）()()ln 1f x k x x =+++⎡⎤⎣⎦()()ln 11x k k x ++=+()()1ln 1x x +++，()()1ln 1f x k x '∴=+++，函数()f x 在[)0,+∞上不单调，且()1f x k '=++()ln 1x +在[)0,+∞上单调递增，()()min 0f x f ''∴=10k =+<，1k ∴<-，即k 的取值范围是(),1-∞-.（2）由（1）可知，()()1ln 1f x k x '=+++，∴切线的斜率为()e 12f k '-=+，()1213k ⎛⎫∴+⋅-=- ⎪⎝⎭，解得1k =，0x >，()f x mx ∴>对()0,x ∈+∞上恒成立等价于()()11ln 1x x x m x++++<对()0,x ∈+∞上恒成立.令()()()11ln 1x x x g x x ++++=，则()()2ln 11x x g x x-+-'=， 令()()ln 11h x x x =-+-（0x >），则()111h x x '=-+01xx =>+， ∴函数()h x 在()0,+∞上单调递增，()21ln30h =-<，()32ln 40h =->，∴存在()02,3x ∈，使得()00h x =，故当00x x <<时，()0h x <，即()0g x '<；当0x x >时，()0h x >，即()0g x '>.∴函数()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，()()0min g x g x ∴=，由()00h x x =-()0ln 110x +-=，得()00ln 11x x +=-，()()()000011ln 1x x g x x +++⎡⎤⎣⎦∴=()()000111x x x ++-=01x =+，()min m g x ∴<01x =+.22．解：（1）依题意，4cos ρθ=⇔24cos ρρθ=，故曲线1C 的直角坐标方程为2240x y x +-=，即()2224x y -+=，故曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）；因为cos 224πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故)2cos sin 22ρθρθ-= 即曲线2C 的直角坐标方程为40x y --=.（2）由2240,40x y x x y ⎧+-=⎨--=⎩解得4,0x y =⎧⎨=⎩或2,2.x y =⎧⎨=-⎩故42OM ON ⋅=⨯()028+⨯-=.23．解：（1）()4f x ≥可化为2114x x --+≥，即2114,1x x x -+++≥⎧⎨<-⎩或2114,112x x x -+--≥⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩或2114,12x x x ---≥⎧⎪⎨>⎪⎩ 解得2x ≤-或6x ≥，所以不等式()4f x ≥的解集为(],2-∞-[)6,+∞.（2）22a a ++()1x f x +>恒成立22a a ⇔+>()max1222x x --+，1222x x --+≤12223x x -++=（当1x ≤-时取等号）， ()max 12223x x ∴--+=；由223a a +>，解得3a <-或1a >，即a 的取值范围是(),3-∞-()1,+∞.。