抛物线圆综合
圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总
圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、圆椭圆双曲线抛物线的定义1. 圆：圆是平面上到定点距离相等的所有点的集合。
圆由圆心和半径唯一确定。
2. 椭圆：椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的所有点的集合。
椭圆由两个焦点和两个半轴唯一确定。
3. 双曲线：双曲线是平面上到两个定点的距离之差为常数的所有点的集合。
双曲线由两个焦点和两个实轴唯一确定。
4. 抛物线：抛物线是平面上到定点距离等于到定直线的距离的所有点的集合。
抛物线由焦点和直线唯一确定。
二、圆椭圆双曲线抛物线的方程1. 圆：圆的标准方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中圆心为(a, b)，半径为r。
2. 椭圆：椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1，其中a和b分别为x轴和y轴上的半轴长。
3. 双曲线：双曲线的标准方程为x²/a² - y²/b² = 1或者y²/a² - x²/b² = 1，取决于焦点的位置。
4. 抛物线：抛物线的标准方程为y² = 4ax或者x² = 4ay，取决于抛物线开口的方向。
三、圆椭圆双曲线抛物线的性质1. 圆：圆的直径是圆上任意两点之间的最大距离，且所有直径相等。
2. 椭圆：椭圆的离心率介于0和1之间，离心率越接近0，椭圆越接近于圆。
3. 双曲线：双曲线分为两支，每一支的焦点到定点的距离之差相等。
4. 抛物线：抛物线的焦点在抛物线上方，开口方向取决于系数a的正负号。
四、圆椭圆双曲线抛物线的应用1. 圆：在几何中常常与角度和三角函数结合，用于描述正弦和余弦函数的周期性。
2. 椭圆：在天体力学中用于描述行星轨道的形状，以及通信中的极化椭圆。
3. 双曲线：在光学和电磁学中用于描述折射和反射现象。
4. 抛物线：在物理学中用于描述自由落体运动和抛物线运动。
圆与抛物线相切问题
圆与抛物线相切问题圆与抛物线相切是一个经典的几何问题，涉及到圆和抛物线的性质以及它们相切的条件。
首先，我们来看一下圆和抛物线的基本性质。
圆是一个闭合的曲线，所有点到圆心的距离都相等。
圆的方程通常表示为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)是圆心的坐标，r是半径。
抛物线是一种二次曲线，其图像呈现出类似抛物体运动的形状。
抛物线的一般方程是y = ax² + bx + c，其中a、b、c是常数且a不等于0。
抛物线开口的方向取决于a的正负。
当圆与抛物线相切时，它们满足以下几个条件：1. 相切点处的切线相切于圆和抛物线，且切线垂直于相切点处的切线。
2. 相切点处的切线是圆和抛物线的公共切线。
为了找到圆与抛物线的相切点，我们需要解决一个联立方程组。
假设圆的方程是(x-a)² + (y-b)² = r²，抛物线的方程是y =ax² + bx + c。
我们可以通过联立这两个方程组成的方程组，解出相切点的坐标。
另外，我们还可以利用切线的性质来解决这个问题。
在相切点处，圆和抛物线的切线斜率相等。
我们可以求出圆和抛物线在相切点处的切线方程，然后比较它们的斜率是否相等来判断它们是否相切。
总之，圆与抛物线相切是一个涉及到几何、代数和微积分知识的问题，需要综合运用这些知识来解决。
通过分析圆和抛物线的性质，以及切线的性质，我们可以找到它们相切的条件和相切点的坐标。
希望这个回答能够帮助你更好地理解圆与抛物线相切的问题。
抛物线与圆专题讲解
抛物线与圆专题讲解抛物线与圆综合探究题，综合性强，难度较大，通常都作为“压轴题”，解此类题通常需要熟练掌握抛物线与圆相关的基本知识和基本技能（切线的性质与判定、切线长定理、圆与点、线、圆的位置关系等），求解时注意运用有关性质，进行综合、分析、探究解题思路。
在解答中常渗透6大数学思想：数形结合思想、分类思想、化归与转化思想、函数与方程思想、整体思想、建模思想。
你想快速进步请注意：独立思考，与他人合作，题后析题总结。
1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝OC ，tan∠ACO＝31．（1）求这个二次函数的表达式．（2）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度．2、已知：如图，抛物线m x x y +-=332312与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，∠ACB ＝90°， ⑴求m 的值及抛物线顶点坐标； ⑵过A 、B 、C 的三点的⊙M 交y 轴于另一点D ，连结DM 并延长交⊙M 于点E ，过E 点的⊙M 的切线分别交x 轴、y 轴于点F 、G ，求直线FG 的解析式； ⑶在条件⑵下，设P 为上的动点（P 不与C 、D 重合），连结PA 交y 轴于点H ，问是否存在一个常数k ，始终满足AH ·AP ＝k ，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由.3、如图3已知抛物线2y ax bx c=++，经过点A(0，5)和点B（3 ，2）(1)求抛物线的解析式：(2)现有一半径为l，圆心P在抛物线上运动的动圆，问⊙P在运动过程中，是否存在⊙P与坐标轴相切的情况？若存在，请求出圆心P的坐标：若不存在，请说明理由；(3)若⊙Q的半径为r，点Q 在抛物线上、⊙Q与两坐轴都相切时求半径r的值课后巩固：1、已知：如图，抛物线233y x x =--+x 轴分别交于A B ，两点，与y轴交于C 点，经过原点O 及点A C ，，点D 是劣弧⋂OA 上一动点（D 点与A O ，不重合）．（1）求抛物线的顶点E 的坐标； （2）求的面积；（3）连CD 交AO 于点F ，延长CD 至G ，使2FG =，试探究当点D 运动到何处时，直线GA 与⊙M 相切，并请说明理由．2、如图，在平面直角坐标系中，已知点(B -，(0)A m，(0)m <<，以AB 为边在x 轴下方作正方形ABCD ，点E 是线段OD 与正方形ABCD 的外接圆除点D 以外的另一个交点，连结BE 与AD 相交于点F ． （1）求证：BF DO =；（2）设直线l 是BDO △的边BO 的垂直平分线，且与BE 相交于点G ．若G 是BDO △的外心，试求经过BF O ，，三点的抛物线的解析表达式；3、如图1，直线y ＝43x －1与抛物线y ＝－41x 2交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求线段AB 的长；（2）若以AB 为直径的圆与直线x ＝m 有公共点，求m 的取值范围；（3）如图2，把抛物线向右平移2个单位，再向上平移n 个单位（n ＞0），抛物线与x 轴交于P ，Q 两点，过C ，P ，Q 三点的圆的面积是否存在最小值的情况？若存在，请求出这个最小值和此时n 的值，若不存在，请说明理由．图2图1。
抛物线与圆综合题
抛物线与圆综合题徐州王黎之1．（2016赤峰）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），C（3，5）．（1）求过点 A，C 的直线解析式和过点 A，B，C 的抛物线的解析式；（2）求过点 A，B 及抛物线的顶点 D 的⊙P的圆心 P 的坐标；（3）在抛物线上是否存在点 Q，使 AQ 与⊙P相切，若存在请求出 Q 点坐标．2.（2015 • 陕西）如图，在直角坐标系中，⊙ C 过原点 O，交 x 轴于点 A（2，0），交y 轴于点 B（0，2 √3）．（1）求圆心的坐标；（2）抛物线 y=ax 2 +bx+c 过 O、A 两点，且顶点在正3．（2016 宿迁）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，将二次函数 y=x2﹣1 的图象 M 沿 x 轴翻折，把所得到的图象向右平移 2 个单位长度后再向上平移 8 个单位长度，得到二次函数图象N．（1）求 N 的函数表达式；（2）设点 P（m，n）是以点 C（1，4）为圆心、1 为半径的圆上一动点，二次函数的图象 M 与x 轴相交于两点 A、B，求PA2+PB2 的最大值；（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求 M 与N 所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数．比例函数y=- x 的图象上，求抛物线的解析式；3（3）过圆心 C 作平行于 x 轴的直线 DE ，交⊙C 于 D、E 两点，试判断 D、E 两点是否在（2）中的抛物线上；（4）若（2）中的抛物线上存在点 P（x0 ，y），满足∠ APB 为钝角，求 x0 的取值范围．34、已知抛物线 y ＝ ax２＋bx ＋３ ( a ≠０ )经过 A ( ３ , ０ ), B ( ４ , １ )两点,且与 y 轴交于点 C ．(１ )求抛物线 y ＝ ax２＋bx ＋３( a ≠０ )的函数关系式及点 C 的坐标;(２ )如图１ ,连接 AB ,在题( １ )中的抛物线上是否存在点 P ,使△ PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形? 若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由;(３ )如图２ ,连接 AC , E 为线段 AC 上任意一点(不与A , C 重合),经过 A , E , O 三点的圆交直线 AB 于点 F , 当△ OEF的面积取得最小值时,求点 E 的坐标．5.抛物线 y=ax2+bx+c 交x 轴于A、B 两点，交 y 轴于点 C，已知抛物线的对称轴为 x=1，B（3，0），C（0，-3），（1）求二次函数 y=ax2+bx+c 的解析式；（2）在抛物线对称轴上是否存在一点 P，使点 P 到 B、C 两点距离之差最大？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于 x 轴的一条直线交抛物线于 M、N 两点，若以 M N 为直径的圆恰好与 x 轴相切，求此圆的半径。
抛物线知识点归纳总结与经典习题
抛物线一、抛物线的定义及其应用例1、设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．例2、设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )A．(0,2) B．[0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)二、抛物线的标准方程和几何性质例3、抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，经过F的直线与抛物线交于A、B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AK⊥l，垂足为K，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则△AKF的面积是 ( )A．4 B．3 3 C．4 3 D．8例4、过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3则此抛物线的方程为 ( )A．y2＝32x B．y2＝9x C．y2＝92x D．y2＝3x三、抛物线的综合问题例5、已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求AD·EB的最小值练习题1．已知抛物线x2＝ay的焦点恰好为双曲线y2－x2＝2的上焦点，则a等于( ）A．1 B．4 C．8 D．162．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 ( )A．－1716B．－1516C.716D.15163．已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为 ( )A.34B．1 C.54D.744．已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( ) A．相离B．相交 C．相切D．不确定5．已知F为抛物线y2＝8x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，则||FA|－|FB||的值等于 ( ) A．4 2 B．8C． 8 2 D．166．在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是 ( ) A．(－2,1) B．(1,2) C．(2,1) D．(－1,2)7．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝ ( )A．4 3 B．8 C．8 3 D．168．抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，抛物线的方程（）A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x9以抛物线x2＝16y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为______．10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q(－3，m)到焦点的距离是5，则抛物线的方程为________．11．已知抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0相交于A、B两点，抛物线的焦点为F，那么|FA| ＋|FB| ＝________.12．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2， y2)两点，若x1＋x2＝6，那么 |AB|等于________13．根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线 16x2－9y2＝144的左顶点；(2)过点P(2，－4)．14已知点M(1，y)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，M点到抛物线C的焦点F的距离为2，直线l：y＝－12x＋b与抛物线C交于A，B两点．(1)求抛物线C的方程；(2)若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程．一、抛物线的定义及其应用例1、(1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1.由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离． 于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连结AF 交曲线于P 点，则所求的最小值为|AF |，即为 5.(2)如图，自点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.即|PB |＋|PF |的最小值为4.例2、解析：圆心到抛物线准线的距离为p ，即p ＝4，根据已 知只要|FM |>4即可．根据抛物线定|FM |＝y 0＋2由y 0＋2>4，解得y 0>2，故y 0的取值范围是(2，＋∞)．二、抛物线的标准方程和几何性质例3、设点A (x 1，y 1)，其中y 1>0.由点B 作抛物线的准线的垂线，垂足为B 1.则有 |BF |＝|BB 1|；又|CB |＝2|FB |，因此有|CB |＝2|BB 1|，cos ∠CBB 1＝|BB 1||BC |＝12，∠CBB 1＝π3.即直线AB 与x 轴的夹角为π3.又|AF |＝|AK |＝x 1＋p2＝4，因此y 1＝4sin π3＝23，因此△AKF 的面积等于12|AK |·y 1＝12×4×23＝4 3.例4．分别过点A 、B 作AA 1、BB 1垂直于l ，且垂足分别为A 1、B 1，由已知条件|BC |＝2|BF |得|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°，又|AA 1|＝|AF |＝3，∴|AC |＝2|AA 1|＝6，∴|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3，∴F 为线段AC 的中点．故点F 到准线的距离为p ＝12|AA 1|＝32，故抛物线的方程为y 2＝3x .三、抛物线的综合问题例5、 (1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有x －12＋y 2－|x |＝1.化简得y 2＝2x ＋2|x |. 当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x <0)． (2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎨⎧y ＝k x －1y 2＝4x，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. (7分)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k2，x 1x 2＝1. (8分)因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k. 设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1. ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)·(x 4＋1)＝ x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1 (11分) ＝1＋(2＋4k 2)＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1＝8＋4(k 2＋1k2)≥8＋4×2k 2·1k2＝16.当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时， AD ·EB 取最小值16.练习题：1．解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，a4)，双曲线的上焦点为(0,2)，依题意则有a4＝2解得a ＝8.2．解析：抛物线方程可化为x 2＝－y 4，其准线方程为y ＝116.设M (x 0，y 0)，则由抛物线的定义，可知116－y 0＝1⇒y 0＝－1516.3．解析：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为：12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54. 4．解析：设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |＝半径，故相切． 5．解析：依题意F (2,0)，所以直线方程为y ＝x －2由⎩⎨⎧y ＝x －2，y 2＝8x ，消去y得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则||FA |－|FB ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝144－16＝8 2.6．解析：如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2的准线，F 为其焦点，PN ⊥l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |，∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋|PN |≥|AN 1|，当且仅当A 、P 、N 三点共线时取等号．∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1，则可排除A 、C 、D.答案：B7．解析：设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝ ( ) A ．4 3 B ．8 C ．8 3 D ．168．解析：由准线方程x ＝－2，可知抛物线为焦点在x 轴正 ，半轴上的标准方程，同时得p ＝4，所以标准方程为 y 2＝2px ＝8x9．解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8. 所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64.10．解析：设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)，则准线为y ＝－a4.∵Q (－3，m )在抛物线上，∴9＝am .而点Q 到焦点的距离等于点Q 到准线的距离，∴|m －(－a4)|＝5.将m ＝9a 代入，得|9a ＋a4|＝5，解得，a ＝±2，或a ＝±18，∴所求抛物线的方程为x 2＝±2y ，或x 2＝±18y .11．解析：由⎩⎨⎧y 2＝4x 2x ＋y －4＝0，消去y ，得x 2－5x ＋4＝0(*)，方程(*)的两根为A 、B 两点的横坐标，故x 1＋x 2＝5，因为抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，所以| FA | ＋| FB | ＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝712．解析：因线段AB 过焦点F ，则|AB |＝|AF |＋|BF |.又由抛物线的定义知|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8.13．解析：双曲线方程化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)，由题设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则－p2＝－3，∴p ＝6，∴抛物线方程为y 2＝－12x .(2)由于P (2，－4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴，可设抛物线方程为y 2＝mx 或x 2＝ny ，代入P 点坐标求得m ＝8，n ＝－1， ∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或x 2＝－y .14． (1)抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，由抛物线定义和已知条件可知|MF |＝1－(－p 2)＝1＋p2＝2，解得p ＝2, 故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)联立⎩⎨⎧y ＝－12x ＋b ，y 2＝4x消去x 并化简整理得y 2＋8y －8b ＝0.依题意应有Δ＝64＋32b >0，解得b >－2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－8，y 1y 2＝－8b ，设圆心Q (x 0，y 0)，则应用x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22＝－4.因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，所以圆的半径为r ＝|y 0|＝4. 又|AB |＝x 1－x 22y 1－y 22＝1＋4y 1－y 22＝ 5[y 1＋y 22－4y 1y 2]＝564＋32b所以|AB|＝2r＝564＋32b＝8，解得b＝－8 5 .所以x1＋x2＝2b－2y1＋2b－2y2＝4b＋16＝485，则圆心Q的坐标为(245，－4)．故所求圆的方程为(x－245)2＋(y＋4)2＝16.。
8.3椭圆、双曲线、抛物线与圆相结合问题
2017届高三数学跨越一本线精品问题三：椭圆、双曲线、抛物线与圆相结合问题通过近几年各地高考试题能够发觉,对圆的考查在慢慢加深,并与圆锥曲线相结合在一路命题,成为一个新的动向.与圆相关几何性质、最值问题、轨迹问题等都能与椭圆、双曲线和抛物线想结合能够呈现别具一格的新颖试题,为此,为了深切明确命题动向,本文总结如下. 一、圆与椭圆的结合点 圆的几何性质与椭圆相联系【例1】【2017届湖南师大附中高三上学期月考四】已知椭圆C 的中心在原点,离心率为22,其右核心是圆E ：22(1)1x y -+=的圆心．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图,过椭圆C 上且位于y 轴左侧的一点P 作圆E 的两条切线,别离交y 轴于点M 、N ．试推断是不是存在点P ,使14||MN =,求出点P 的坐标；假设不存在,请说明理由．【分析】(1)由已知条件别离求出,a c 的值,而222b ac =-,代入求出椭圆的方程；(2)假设存在点P 知足题意,设点00(,)P x y （00x <）,(0,)M m ,(0,)N n ,利用条件求出直线PM 方程,依照圆心(1,0)E 到直线PM 的距离为,求出m 与点P 坐标之间的关系,同理求出与点P 坐标之间的关系,利用韦达定理求出,m n mn +的表达式,算出MN ,求出P 点坐标.【解析】（1）设椭圆方程22221(0)x y a b a b+=>>,半焦距为,因为椭圆的右核心是圆E 的圆心,那么1c =,因为椭圆的离心率为22,那么22c a =,即22a c ==,从而2221b a c =-=,故椭圆C 的方程为2212x y +=．由此可知,m ,为方程2000(2)20x x y x x -+-=的两个实根,因此0022y m n x +=--,002x mn x =--, 2||||()4MN m n m n mn =-=+-20020044(2)2y x x x =+--220002044(2)x y x x +-=-．因为点00(,)P x y 在椭圆C 上,那么220012x y +=,即220012x y =-, 则2200022002842(2)4||(2)(2)x x x MN x x -+--==--2042(2)x =--, 204142(2)x -=-则20(2)9x -=,因为00x <,那么01x =-,220012x y =-12=,即022y =±, 故存在点2(1,)2P -±知足题设条件． 【点评】(1)处置直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径组成直角三角形．(2)圆的切线问题的处置要抓住圆心到直线的距离等于半径,从而成立关系解决问题．【小试牛刀】【2017届江西吉安一中高三上学期段考二】已知椭圆()2222:10x y W a b a b+=>>的离心率为32,其左极点A 在圆22:16O x y +=上. （Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）假设点P 为椭圆W 上不同于点A 的点,直线AP 与圆O 的另一个交点为Q ,是不是存在点P ,使得3PQ AP=？假设存在,求出点P 的坐标；假设不存在,说明理由.【答案】（I ）221164x y +=；（II ）不存在,理由观点析. （II ）设点()11,P x y ,()22,Q x y ,设直线AP 的方程为()4y k x =+,与椭圆方程联立得()2241164y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,化简取得()2222143264160k x k x k +++-=,因为-4为方程的一个根,因此()21232414k x k -+-=+,因此21241614k x k-=+ 因此228114k AP k+=+ 因为圆心到直线AP 的距离为2414kd k=+, 因此222168216211AQ d k k=-==++. 因为1PQ AQ AP AQ APAPAP-==-,代入取得222222228143311*********PQ k k k AP k k kk k ++=-=-==-+++++, 显然23331k -≠+,因此不存在直线AP ,使得3PQ AP=.利用椭圆的性质判定直线与圆的位置关系 【例2】已知椭圆C ：2224x y +=.（1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点,假设点A 在椭圆C 上,点B 在直线2y =上,且OA OB ⊥,试判定直线AB 与圆222x y +=的位置关系,并证明你的结论.【分析】（1）把椭圆C ：2224x y +=化为标准方程,确信2a ,2b ,利用ace =求得离心率；（2）设点),(00y x A ,)2,(t B ,其中00≠x ,由OB OA ⊥,即0=•OB OA ,用0x 、0y 表示,当t x =0或t x ≠0别离依照点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,与圆的半径比较,从而判定直线AB 与圆222x y +=的位置关系.【解析】（1）由题意椭圆C 的标准方程为12422=+y x ,因此42=a ,22=b ,从而224222=-=-=b a c ,因此22==a c e . （2）直线AB 与圆222=+y x 相切,证明如下：设点),(00y x A ,)2,(t B ,其中00≠x ,因为OB OA ⊥,因此0=•OB OA ,即0200=+y tx ,解得02x y t -=, 当t x =0时,220t y -=,代入椭圆C 的方程得2±=t ,现在直线AB 与圆222=+y x 相切.当t x ≠0时,直线AB 的方程为)(2200t x tx y y ---=-,即02)()2(0000=-+---ty x y t x x y , 圆心到直线AB 的距离为202000)()2(|2|t x y ty x d -+--=,又422020=+y x ,02x y t -=, 故22168|4|4|22|20204002020202020020=+++=++-=x x x x x x y y x x y x d .故此直线AB 与圆222=+y x 相切.【小试牛刀】【2021福建高考理18】已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>过点()0,2,且离心率22e =．(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线():1l x my m =-∈R 交椭圆E 于A ,B 两点,判定点94G ⎛⎫- ⎪⎝⎭,0与以线段AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由．【解析】解法一：（1）由已知得222222b caa b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩,解得222a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩因此椭圆E 的方程为22142x y +=．故()22201252514216AB GH my m y y -=+++=()()()22222231525172021622162m m m m m m ++-+=>+++,因此2AB GH >． 故点9,04G ⎛⎫-⎪⎝⎭在以AB 为直径的圆外． 解法二：（1）同解法一．（2）设点()11,A x y ,()22,B x y ,那么119,4GA x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭,229,4GB x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,得()222230m y my +--=,因此12222m y y m +=+,12232y y m =-+,从而12129944GA GB x x y y ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12125544my my y y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()212125251416m y y m y y ++++=()22225312522216m m m m -+++=++()221720162m m +>+,因此cos ,0GA GB >．又GA ,GB 不共线,因此AGB ∠为锐角．故点9,04G ⎛⎫-⎪⎝⎭在以AB 为直径的圆外． 二、圆与双曲线的结合点利用圆的性质解决双曲线的相关问题由于双曲线具有渐近线,故渐近线与圆的位置关系便成为命题的常考点.圆本身所具有的几何性质在探讨等量关系也常常考查,进而求解双曲线的几何性质,如离心率的求解.【例3】已知点(,0)(0)F c c ->是双曲线22221x y a b-=的左核心,离心率为e ,过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆222x y c +=交于点P ,且点P 在抛物线24y cx =上,那么e 2 =（ ）A ．352+ B ．5 C ．512- D ．152+ 【答案】D【点评】此题将双曲线的渐近线与圆的位置关系联系到一路,从而确信点P 的坐标,进而成立等量关系求解双曲线的离心率.【小试牛刀】【2017届河北武邑中学高三上学期调研四】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b==>>的右极点为A ,O 为坐标原点,以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P ,Q ．假设60PAQ ∠=︒,且3OQ OP =,那么双曲线C 的离心率为＿＿＿＿．【解析】因为60PAQ ∠=︒且3OQ OP =,因此QAP 为等边三角形,设2AQ R =,那么OP R =,渐近线方程为by xa =,0A a （，）,取PQ 的中点M ,那么AM =由勾股定理可得2222R R -=（）,因此22223ab R a b =+（）（）①,在OQA中,()()2223212322R R a R R+-=⋅⋅,因此227R a =②,①②结合222c a b =+,可得c e a =＝．故答案. 圆的切线与双曲线相联系【例4】已知双曲线12222=-by a x 的左右核心别离为12F F 、,O 为双曲线的中心,P 是双曲线右支上的点,21F PF ∆的内切圆的圆心为,且圆与轴相切于点A ,过2F 作直线PI 的垂线,垂足为B ,假设为双曲线的离心率,那么( )A. ||||OA e OB =B. ||||OB e OA =C. ||||OA OB =D. ||OA 与||OB 关系不确信 【答案】C【解析】设内切圆在1PF 上的切点为N ,2PF 上的切点为M ,12F F 上的切点为A ,A 的坐标为(m,0),∴12112(DM MF)AF m (c m)2a PF PF PN NF AF c -=+-+=-=+--=,即OA a =,延长2BF 交1PF 于S ,∵PB 是角平分线和垂线,∴B 是2SF 的中点,O 是12F F 的中点,BO 是中位线,11211(PF PF )a 22BO F S ==-=,∴OA OB a ==,∴||||OA OB =. 【小试牛刀】已知点1F 、2F 为双曲线C ：()01222>=-b by x 的左、右核心,过2F 作垂直于轴的直线,在轴上方交双曲线C 于点M ,且︒=∠3021F MF ．圆O 的方程是222b y x =+． （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足别离为1P 、2P ,求21PP PP ⋅的值；（3）过圆O 上任意一点()00y ,x Q 作圆O 的切线交双曲线C 于A 、B 两点,AB 中点为M ,求证：2AB OM =．（2）由条件可知：两条渐近线别离为1220;20l x y l x y -=+= 设双曲线C 上的点00(,)Q x y ,设两渐近线的夹角为θ,那么那么点Q 到两条渐近线的距离别离为00001222|||33x y x y PP PP -+==因为00(,)Q x y 在双曲线C ：2212y x -=上,因此220022x y -= 又1cos 3θ=,因此220000002221233933x y x y x y θ-+-==⋅=（3）由题意,即证：OA OB ⊥.设1122(,),(,)A x y B x y ,切线的方程为：002x x y y += ①当00y ≠时,切线的方程代入双曲线C 中,化简得：22220000(2)4(24)0y x x x x y -+-+=因此：2001212222200004(24),(2)(2)x y x x x x y x y x ++=-=--- 又22010201201201222200000(2)(2)82142()2x x x x x y y x x x x x x y y y y x ---⎡⎤=⋅=-++=⎣⎦- 因此②当00y =时,易知上述结论也成立． 因此综上,OA OB ⊥,三、圆与抛物线的结合点 3. 1圆的性质与抛物线相结合【例5】一个酒杯的轴截面是开口向上的抛物线的一段弧,它的口宽是的410杯深20,在杯内放一玻璃球,当玻璃球的半径r 最大取 时,才能使玻璃球触及杯底． 【答案】1【解析】成立如下图的直角坐标系,酒杯所在抛物线的方程设为22(0)x py p =>,因为过点(210,20),因此2(210)220,1p p =⨯=,即22(020)x y y =≤≤.玻璃球触及杯底,确实是小球的截面圆222()x y r r +-=与抛物线22x y =有且仅有一个交点,即原点.由222()x y r r +-=与22x y =消去得：0y =或2 2.y r =-因为有且仅有一个交点,即原点,因此220,1,r r -≤≤即半径r最大取1.【小试牛刀】【2017吉林长春五县上学期期末】已知点A 是抛物线()2:20C x px p =>上一点,O 为坐标原点,假设,A B 是以点()0,10M 为圆心,OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点,且ABO ∆为等边三角形,那么p 的值是 ．【答案】56抛物线的性质与圆的相联系【例6】【2017届重庆市第一中学高三12月月考】已知椭圆()2212210x y C a b a b+=>>：离心率6焦距为22抛物线()22:20C x py p =>的核心F 是椭圆1C 的极点. （Ⅰ）求1C 与2C 的标准方程；（Ⅱ）设过点F 的直线交2C 于,P Q 两点,假设1C 的右极点A 在以PQ 为直径的圆内,求直线的斜率的取值范围.【分析】（Ⅰ）椭圆1C 的焦距为222=c ,36=a c ,得椭圆的标准方程,取得抛物线核心,可得抛物线方程；（Ⅱ）联立直线与抛物线的方程结合韦达定理得k x x 421=+,421-=⋅x x ,A 在以PQ 为直径的圆内⇔0<⋅AQ AP ,得结果.（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：1y kx =+,设点()11,P x y ,()22,Q x y ,联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx --=,由韦达定理得124x x k +=,124x x =-.A 在以PQ 为直径的圆内)1212120330AP AQ x x x x y y ⇔<⇔+++<)2212121216163480x x x x x x ⇔-+++<641634481600k k --++<⇒>.【小试牛刀】已知抛物线C ：22(0)y px p =>的核心为F ,直线4y =与y 轴的交点为P ,与C 的交点为Q ,且5||||4QF PQ =. （I ）求C 的方程；（II ）过F 的直线与C 相交于A ,B 两点,假设AB 的垂直平分线与C 相较于M ,N 两点,且A ,M ,B ,N 四点在同一圆上,求的方程. 【解析】（I ）设0,4Q x ,代入22y px ,得0888,,.22p p x PQQF x pp p．由题设得85824p pp,解得2p （舍去）或2p ,∴C 的方程为24y x ；（II ）由题设知与坐标轴不垂直,故可设的方程为10x my m,代入24y x 得2440y my．设1122,,,,A x y B x y 则124,y y m124y y ．故AB 的中点为2221221,2,141D m m AB m y y m ．又的斜率为,m l 的方程为2123xy m m．将上式代入24y x ,并整理得2244230y y m m．设3344,,,,M x y B x y 则234344,423y y y y m m．故MN 的中点为22234222412122123,,1m m E mMN y y mmm m ．由于MN 垂直平分线AB ,故,,,A M B N 四点在同一圆上等价于12AEBEMN ,从而22211,44AB DEMN 即2222222244121224122m m m mmm m,化简得210m ,解得1m 或1m ．所求直线的方程为10x y 或10xy ．【迁移运用】1．【2017河北定州市上学期期中】过双曲线22115y x -=的右支上一点P ,别离向圆1C ：22(+4)+4x y =和圆2C ：22(4)1x y -+=作切线,切点别离为M ,N ,那么22||||PM PN -的最小值为（ ）A ．10B ．13C ．16D ．19 【答案】B【解析】由题可知,)1|(|)4|(|||||222122---=-PC PC PN PM ,因此=--=-3||||||||222122PC PC PN PM 121212(||||)2(||||)32||3PC PC PC PC C C -=+-≥-13=.应选B ．2．【2017届四川双流中学高三上学期必得分训练】已知P 为抛物线x y 42=上一个动点,Q 为圆1)4(22=-+y x 上一个动点,当点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和最小时,点P 的横坐标为（ ）A ．8179- B ．89C ．817D ．17【答案】A【解析】设P 到抛物线准线的距离为d ,抛物线的核心为F ,圆心为C ,则()()min min 1PQ d PQ PF CF r +=+=-=,应选A.3．【2017届湖南长沙一中高三月考五】已知双曲线22221(a 0,b 0)x y a b-=>>的左、右核心别离为1F 、2F ,过1F 作圆222x y a +=的切线别离交双曲线的左、右两支于点B 、C ,假设2|BC ||CF |=,那么双曲线的渐近线方程为（ ）A.3y x =±B.22y x =±C.(31)y x =±+D.(31)y x =±- 【答案】C4．【2016届河南省郑州市一中高三上学期联考】如图,已知椭圆111:221=+y x C ,双曲线)0,0(1:22222>>=-b a by a x C ,假设以1C 的长轴为直径的圆与2C 的一条渐近线交于A 、B 两点,且1C 与该渐近线的两交点将线段AB 三等分,那么2C 的离心率为（ ）A ．5B ．5C ．17D ．7142【答案】A【解析】设椭圆与双曲线的渐近线相交于1122(,),(,)M x y N x y 两点（设M 在轴上方）和33(,)A x y ,那么由题意知,3OA OM =,即313x x =．于是联立方程组2211x y b y xa ⎧+=⎪⎨=⎪⎩可得,2232211a x a b =+；联立方程组22111x y b y x a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得,221221111a x a b =+；即2222119()a b a b +=+,因此224b a =,即225c a =,因此5e =．故应选A ．5．【2016届河南省郑州市一中高三上学期联考】已知抛物线28y x =,点Q 是圆22:28130C x y x y ++-+=上任意一点,记抛物线上任意一点到直线2x =-的距离为d ,那么PQ d +的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2 【答案】C6.过双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的左核心F 作圆222x y a +=的两条切线,切点别离为A 、B ,双曲线左极点为M ,假设0120AMB ∠=,那么该双曲线的离心率为 （ ） A 2 B ． 3 C ． D ．【答案】D【解析】OA 即为双曲线的渐近线,OAM ∆为等边三角形,直线OA 的倾斜角为60,因此3ba=2222342b a c a e =⇒=⇒=.选D.7．【2017届湖南师大附中高三上学期月考三】如图,抛物线21:8C y x =与双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>有公共核心2F ,点A 是曲线12,C C 在第一象限的交点,且25AF =.（Ⅰ）求双曲线2C 的方程；（Ⅱ）以1F 为圆心的圆M 与双曲线的一条渐近线相切,圆()22:21N x y -+=.已知点(3P ,过点P 作相互垂直且别离与圆M 、圆N 相交的直线和,设被圆M 截得的弦长为,被圆N 截得的弦长为.试探讨ts是不是为定值？请说明理由.【答案】（Ⅰ）2213y x -=；（Ⅱ）s t 3【解析】（Ⅰ）抛物线21:8C y x =的核心为()22,0F ,∴双曲线2C 的核心为()()122,02,0F F -、. 设()00,A x y 在抛物线21:8C y x =上,且25AF =.由抛物线的概念得,025x +=,∴03x =.∴2083y =⨯,∴026y =±()()22132267AF =++±=又∵点A 在双曲线上,由双曲线概念得,2752a =-=,∴1a =.∴双曲线的方程为：2213y x -=. （Ⅱ）s t为定值.下面给出说明：设圆M 的方程为：()2222x y r ++=,双曲线的渐近线方程为：y =.∵圆M与渐近线y =相切,∴圆M的半径为r ==故圆()22:23M x y ++=.依题意12l l 、的斜率存在且均不为零,因此设的方程为()1y k x =-,即0kx y k -=,设的方程为()11y x k=--,即10x ky +-=, ∴点M到直线的距离为1d =,点N到直线的距离为2d =,∴直线被圆M截得的弦长s ==直线被圆N截得的弦长t ==∴s t===故st7．【2017学年吉林长春五县高二上学期期末】已知()222210x y a b a b+=>>的左、右核心别离为12F F 、,12F F =点P 在椭圆上,21tan 2PF F ∠=,且12PF F ∆的面积为4. （1）求椭圆的方程；（2）点M 是椭圆上任意一点,12A A 、别离是椭圆的左、右极点,直线12MA MA ，与直线x =,E F 两点,试证：以EF 为直径的圆交轴于定点,并求该定点的坐标. 【答案】（1）22194x y +=；（2）证明观点析,1,0⎫+⎪⎪⎝⎭或1,0⎫-⎪⎪⎝⎭. 【解析】（1）因为21tan 2PF F ∠=,因此21sin 5PF F∠=,21cos 5PF F ∠=.由题意得((22221221255425225PF PF PF PF ⎧⨯⨯=⎪⎪⎨⎪=+-⨯⨯⎪⎩,解得1242PF PF ⎧=⎪⎨=⎪⎩.从而1224263a PF PF a =+=+=⇒=,结合2c =得24b =,故椭圆的方程为22194x y +=. （2）由（1）得()13,0A-,()23,0A ,设()00,M x y,那么直线1MA 的方程为()0033y y x x =++, 它与直线x =003232y E x⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,直线2MA 的方程为()0033y y x x =--,它与直线2x =的交点的坐标为0033y F x ⎫⎫-⎪⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭,再设以EF 为直径的圆交轴于点(),0Q m ,那么QE QF ⊥,从而1QE QF k k =-,即033y x ⎫+⎪+0 0331 35y x⎫-⎪-⎝=--,即222949ymx⎫=⎪⎪-⎝⎭,解得1m=.故以EF为直径的圆交轴于定点,该定点的坐标为1,0⎫+⎪⎪⎝⎭或1,0⎫⎪⎪⎝⎭.8．【2017届广西陆川县中学高三上学期二模】已知椭圆D：()222101yx bb+=<<的左核心为F,其左、右极点为A、C ,椭圆与y轴正半轴的交点为B,FBC的外接圆的圆心(),P m n在直线x y+=上.（I）求椭圆D的方程；（II ）已知直线：x=N是椭圆D上的动点,NM l⊥,垂足为M,是不是存在点N,使得FMN为等腰三角形？假设存在,求出点N的坐标,假设不存在,请说明理由.【答案】(I)2221x y+=；(II)N36⎛-±⎝⎭或0,2⎛⎫±⎪⎪⎝⎭.【解析】（I）由题意知,圆心P既在FC的垂直平分线上,也在BC的垂直平分线上,设F的坐标为()(),00c c->,则FC的垂直平分线方程为12cx-=…①因为BC的中点坐标为1,22b⎛⎫⎪⎝⎭,BC的斜率为b-因此BC的垂直平分线的方程为1122by xb⎛⎫-=-⎪⎝⎭…②联立①②解得:12cx-=,22b cyb-=即12cm-=,22b cnb-=因为(),P m n 在直线0x y +=上,因此21022c b cb--+=………（4分） 即()()10b b c +-= 因为()10b +>,因此b c =再由221b c =-求得2212b c ==因此椭圆D 的方程为2221x y +=………（7分）9．【2017届湖南长沙雅礼中学高三月考四】已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右核心为)0,1(2F ,点)3102,2(H 在椭圆上. （1）求椭圆的方程；（2）点M 在圆222b y x =+上,且M 在第一象限,过M 作222b y x =+的切线交椭圆于Q P ,两点,问：Q PF 2∆的周长是不是为定值？假设是,求出定值；假设不是,说明理由.【答案】（1）18922=+y x ；（2）．【解析】（1）由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=+==-19404122222b ac b a ,∴⎪⎩⎪⎨⎧==9922b a ,∴椭圆的方程为18922=+y x . （2）由题意,设PQ 的方程为)0,0(><+=m k m kx y ,∵PQ 与圆822=+y x 相切,∴221||2=+k m ,即2122k m +=,⎪⎩⎪⎨⎧=++=18922y x mkx y 得072918)98(222=-+++m kmx x k , 设),(),,(2211y x Q y x P ,那么222122198729,9818k m x x k km x x +-=+-=+,∴222222212212212986987294)9818(14)(1||1||k km k m k km kx x x x kx x k PQ +-=+--+-+=-++=-+=又212121212122)9(91)91(8)1()1(||-=-+-=+-=x x x y x PF ,∴112313)9(31||x x PF -=-=,同理222313)9(31||x x QF -=-=,∴22129866)(316||||k kmx x QF PF ++=+-=+, ∴69869866||||||222=+-++=++k kmk km PQ QF PF （定值）.10．【2017山东菏泽一中宏志部月考三】已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的焦距为2,左、右极点别离为B A ,,P 是椭圆上一点,记直线PB PA ,的斜率为21,k k ,且有2121-=k k . （1）求椭圆C 的方程；（2）假设直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆C 交于N M ,两点,以N M ,为直径的圆通过原点,且线段MN 的垂直平分线在y 轴上的截距为21-,求直线的方程. 【答案】（1）2212x y +=；（2）1y x =+．（2）设()()1122,,M x y N x y 、,MN 的中点为()00,Q x y ,联立2212y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩取得()222124220k x kmx m +++-=,()22221621021k m m k ∆=-+>⇒<+ ①122412km x x k +=-+,21222212m x x k-=+,12022212x x km x k +==-+,00212my kx m k =+=+ ② 因为以MN 为直径的圆通过原点,因此0OM ON =,12120x x y y +=,()()12120x x kx m kx m +++=,()()22121210k x xkm x x m++++=,()()2222222122401212k m k m m k k+--+=++, 化简得22322m k =+ ③将②式代入取得223121m k -=+代入①式取得212m >, 由于线段MN 的垂直平分线通过点1(0,)2-,00112y x k+∴=-,将②代入取得2122k m += ④联立③④得13m =-或1,因为212m >,因此1m =,22k =±. 因此直线的方程为212y x =±+. 11．【2016-2017学年河北枣强中学高二12月月考】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>,过(2,2)M 、(6,1)N 两点,O 为坐标原点．（1）求椭圆E 的方程；（2）假设直线4(0)y kx k =+>与圆2283x y +=相切,而且与椭圆E 相交于两点A 、B ,求证：OA OB ⊥．【答案】（1）22184x y +=；（2）证明观点析．（2）设11(,)A x y ,22(,)B x y ,由题意得2261d k ==+, 因此5k =联立直线与椭圆方程得211240x ++=,有12x x +=122411x x =,因此121212126)160x x y y x x x x +=+++=,因此OA OB ⊥．12．【2017届甘肃肃南裕固族自治县一中高三12月月考】已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率2e =,过椭圆的左核心F 且倾斜角为30°的直线与圆222x y b +=相交所得弦的长度为1.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）假设动直线交椭圆E 于不同两点()()2211,,,y x N y x M ,设()()1122,,,OP bx ay OQ bx ay ==,O 为坐标原点.当以线段PQ 为直径的圆恰好于点O 时,求证：MON ∆的面积为定值,并求出该定值.【答案】(I)2214x y +=；(II)证明观点析,. 【解析】（Ⅰ）由题意知23=e 得23=a c ,即c a 23=. ① 因为直线过左核心()0,c F -且倾斜角为30°可得直线方程为()c x y +=33又因为直线()c x y +=33与圆222b y x =+相交弦长为1, 因此圆心到直线距离2323933c c c d ==+=, 再由勾股定理得：41422=-c b ②由①②联立222222144cc b a b c=⎪-=⎨⎪⎪=+⎩可知222413a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩即椭圆方程为2214x y += （Ⅱ）（ⅰ）当直线MN 的斜率不存在时,2121,y y x x -==,因为以线段PQ 为直径的圆过原点,因此OP OQ ⊥,即0OP OQ ⋅=,因此22121212120,40b x x a y y x x y y +=+=, 即221140x y -=,③又因为点()11,M x y 在椭圆上,因此221114x y +=,④把③代入④得：2112,x y ==,因此11211122OMN S x y y ∆=-==. （ⅱ）当直线MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程为y kx t =+,()2222214844014y kx tk x ktx t x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩, 因为交于不同两点,因此0∆>,()()22226414440k t k t ∆=-4+->,即22410k t ∆=-+>,由韦达定理得：2121222844,1414kt t x x x x k k --+==++,由题意知0OP OQ ⋅=即121240x x y y +=,又1122,y kx t y kx t =+=+,因此()2212121240x x k x x kt x x t ⎡⎤+⋅+++=⎣⎦,∴()()22121214440k x x kt x x t ++++=,代入整理得22214t k =+.⑤又()22121214MN kx x x x =++-22222844141414kt t k k k --⎛⎫=+-⋅ ⎪++⎝⎭2222414114k t k k+-=+⋅+ 点O 到直线y kx t =+的距离21kt d +=,因此2222211414122141MONt k t S d MN k kk ∆+-=⨯=⨯⨯+⋅++ 2221414214k t t k+-=⨯+,⑥ 将⑤代入⑥得241122MON t S t t∆=⨯=, 13.如下图,已知A 、B 、C 是长轴长为的椭圆E 上的三点,点A 是长轴的一个端点,BC 过椭圆中心O ,且0AC BC ⋅=,2BC AC =．（1）求椭圆E 的方程；（2）在椭圆E 上是不是存点Q ,使得222QB QA -=？假设存在,有几个（没必要求出Q 点的坐标）,假设不存在,请说明理由；（3）过椭圆E 上异于其极点的任一点P ,作圆224:3O x y +=的两条线,切点别离为M 、N ,假设直线MN 在轴、y 轴上的截距别离为m 、,证明：22113m n +为定值. 【解析】（1）依题意知：椭圆的长半轴长2a =,那么()2,0A ,设椭圆E 的方程为22214x y b+=,由椭圆的对称性知OC OB = 又0AC BC ⋅=,2BC AC =,AC BC ∴⊥,OC AC =,AOC ∴∆为等腰直角三角形,∴点C 的坐标为()1,1,点B 的坐标为()1,1--,将C 的坐标()1,1代入椭圆方程得243b =, ∴所求的椭圆E 的方程为223144x y +=. （2）解法一：设在椭圆E 上存在点Q ,使得222QB QA -=,设()00,Q x y ,那么()()()2222220000001126222QB QA x y x y x y -=+++---=+-=,即点Q 在直线320x y +-=上,∴点Q 即直线320x y +-=与椭圆E 的交点,直线320x y +-=过点2,03⎛⎫⎪⎝⎭,而点椭圆2,03⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 的内部, ∴知足条件的点Q 存在,且有两个；解法二：设在椭圆E 上存在点Q ,使得222QB QA -=,设()00,Q x y ,那么()()()2222220000001126222QB QA x y x y x y -=+++---=+-=,即00320x y +-=,①又点Q 在椭圆E 上,2200340x y ∴+-=,②由①式得0023y x =-代入②式并整理得：2007920x x -+=,③方程③的根判别式8156250∆=-=>,∴方程③有两个不相等的实数根,即知足条件的点Q 存在,且有两个；（3）解法一：设点()11,P x y ,由M 、N 是圆O 的切点知,OM MP ⊥,ON NP ⊥,O ∴、M 、P 、N 四点在同一圆上,且圆的直径为OP ,那么圆心为11,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭, 其方程为22221111224x y x y x y +⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 即22110x y x x y y +--=,④即点M 、N 知足方程④,又点M 、N 都在圆O 上,M ∴、N 坐标也知足圆O 的方程2243x y +=,⑤ ⑤④得直线MN 的方程为1143x x y y +=, 令0y =,得143m x =,令0x =得143n y =, 143x m ∴=,143y n =,又点P 在椭圆E 上,22443433m n ⎛⎫⎛⎫∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即2211334m n +=（定值）；14 【2021山东高考理20】平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心,左、右核心别离是12F F ，. 以1F 为圆心以为半径的圆与以2F 为圆心以为半径 的圆相交,且交点在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2） 设椭圆2222:144x y E a b+=,P 为椭圆C 上任意一点. 过点P 的直线y kx m =+交椭圆E于A B ，两点,射线PO 交椭圆E 于点Q .（i ）求OQ OP的值；（ii ）求△ABQ 面积的最大值.【解析】（1）由题意知24a =,那么2a =．又2c a =,222a c b -=,可得1b =, 因此椭圆C 的方程为2214x y +=． （2）由（1）知椭圆E 的方程为221164x y +=． （ⅰ）设()00,P x y ,OQOPλ=,由题意知()00,Q x y λλ--．因为2214x y +=,又()()22001164x y λλ--+=,即222144x y λ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,因此2λ=,即2OQ OP =． （ⅱ）设()11,A x y ,()22,B x y ．将y kx m =+代入椭圆E 的方程,可得()2221484160k x kmx m +++-=,由0∆>,可得22416m k <+ ①那么有122814km x x k +=-+,212241614m x x k -=+,因此12x x -= 因为直线y kx m =+与y 轴的交点坐标为()0,m ,因此AOB △的面积1212S m x x =-===． 设2214m t k=+．将y kx m =+代入椭圆C 的方程, 可得()222148440k x kmx m +++-=, 由0∆,可得 2214m k + ②由①②可知01t <,因此S ==故23S ,当且仅当1t =,即2214m k=+时取得最大值由（ⅰ）知,ABQ △面积为3S ,因此ABQ △面积的最大值为。
2020年中考数学压轴题训练-圆的综合(学案)
第03讲中考压轴题-圆的综合考点梳理一．近5年中考双压轴之圆的综合考点归纳二．题型概述几何综合题是中考必考固定题型，考察知识点多，条件隐秘，要求学生有较强的理解能力，分析问题和解决问题的能力，对数学知识，数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力。
它常用相似图形与圆的知识为考察重点，并贯彻其他几何，代数，三角函数等知识，多以证明，计算等题型出现。
三．解题策略1.要点：解几何综合题应注意观察，分析图形，把复杂的图形分解为几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形，掌握常规的证题方法和思路，运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程思想解决几何计算问题（还要灵活运用数学思想方法，数行结合，分类讨论）2.一般策略：①认真分析题意，从已知条件出发逐步推理分析到结论的演绎推理法；②也可由结论逆向分析获得问题突破的逆向分析法；③还可以是双向的综合分析策略。
年份知识点2015考察圆切线的性质求边长，相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识2016考察圆的切线证明，翻折变换的性质，垂径定理，勾股定理及逆定理，，相似三角形的判定与性质．2017考察圆垂径定理求半径、勾股定理、相似三角形的判定和性质、相交弦定理、锐角三角函数等知识2018考察圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质2019考察圆的切线证明，三角函数，相似三角形，二次函数最值问题3.中考试题中与圆有关的证明及计算，都与圆的切线有关，属于中档题，只要熟悉切线的性质与判定，特别是掌握如何判定切线很重要，需要指出的是，与圆有关的证明题，往往是以圆为载体，考查时往往还涉及特殊三角形的识别或构造，这些识别策略，构造策略靠的是对圆中常用的辅助线的熟悉，比如连半径，作垂直于弦的垂线段等，根据具体情况来决定。
感悟实践1、（2015年深圳中考第22题）如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，AB=BC=6cm，OD=3cm，开始的时候BD=1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动．（1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；（2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD；（3）如图3，当AB和DE重合时，求证：CF2=CG•CE．2、（2016年深圳中考第22题）如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP=OA，连接PC（1）求CD的长；（2）求证：PC是⊙O的切线；（3）点G为的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交于点F（F与B、C不重合）．问GE•GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．3、（2017年深圳中考第22题）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是上任意一点，AH=2，CH=4．（1）求⊙O的半径r的长度；（2）求sin∠CMD；（3）直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连接BN交CE于点F，求HE•HF的值．上的动点，且cos∠4、（2018年深圳中考第22题）如图，△ABC内接于⊙O，BC＝2，AB＝AC，点D为 晦ABC（1）求AB的长度；（2）在点D的运动过程中，弦AD的延长线交BC延长线于点E，问AD•AE的值是否变化？若不变，请求出AD•AE的值；若变化，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：BH＝CD+DH．5、（2019年深圳中考第22题）闯关练习1．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；①求此抛物线的表达式与点D的坐标；②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．2．如图，A（﹣5，0），B（﹣3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB．∠CDA=90°．点P 从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒．（1）求点C的坐标；（2）当∠BCP=15°时，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．3．如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=3，MN=2．（1）求∠COB的度数；（2）求⊙O的半径R；（3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．4．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；（3）若BC=6，tan∠F=，求cos∠ACB的值和线段PE的长．5．己知：如图．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD．（1）求证：∠DAC=∠DBA；（2）求证：P是线段AF的中点；（3）若⊙O的半径为5，AF=，求tan∠ABF的值．考场直播1．如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？（3）在（2）的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．2．如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．（1）求弦AB的长；（2）判断∠ACB是否为定值？若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；（3）记△ABC的面积为S，若=4，求△ABC的周长．能力平台1．如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）求sin∠E的值．2．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）试猜想BC，BD，BE三者之间的等量关系，并加以证明；（3）若tan∠CED=，⊙O的半径为3，求OA的长．3．如图①，②，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，0），以点A为圆心，4为半径的圆与x轴交于O，B两点，OC为弦，∠AOC=60°，P是x轴上的一动点，连接CP．（1）求∠OAC的度数；（2）如图①，当CP与⊙A相切时，求PO的长；（3）如图②，当点P在直径OB上时，CP的延长线与⊙A相交于点Q，问PO为何值时，△OCQ是等腰三角形？4．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D 两点，且C为的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为（﹣2，0），AE=8．（1）求点C的坐标；（2）连接MG、BC，求证：MG∥BC；（3）如图2，过点D作⊙M的切线，交x轴于点P．动点F在⊙M的圆周上运动时，的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．5．如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙O直径BD=6，连接CD、AO．（1）求证：CD∥AO；（2）设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）若AO+CD=11，求AB的长．6.如图，在平面直角坐标系中，⊙M过原点O，与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，3），点C为劣弧AO的中点，连接AC并延长到D，使DC=4CA，连接BD．（1）求⊙M的半径；（2）证明：BD为⊙M的切线；（3）在直线MC上找一点P，使|DP﹣AP|最大．7.如图1，过点A（0，4）的圆的圆心坐标为C（2，0），B是第一象限圆弧上的一点，且BC⊥AC，抛物线y=x2+bx+c经过C、B两点，与x轴的另一交点为D．（1）点B的坐标为（，），抛物线的表达式为；（2）如图2，求证：BD∥AC；（3）如图3，点Q为线段BC上一点，且AQ=5，直线AQ交⊙C于点P，求AP的长．8.如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）的位置随b的不同取值而变化．（1）已知⊙M的圆心坐标为（4，2），半径为2．当b=时，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）经过圆心M；当b=时，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）与⊙M相切；（2）若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A（2，0）、B（6，0）、C（6，2）．设直线l扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式．21。
圆与抛物线的综合练习(专题)
专题三：圆与函数例1、（2011•潍坊）如图，y关于x的二次函数y=﹣（x+m）（x﹣3m）图象的顶点为M，图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点．以AB为直径作圆，圆心为C．定点E的坐标为（﹣3，0），连接ED．（m ＞0）（1）写出A、B、D三点的坐标；（2）当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线与圆的位置关系；（3）当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图．例2、（2011•德州）在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数（x＞0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由．（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：①求出点A，B，C的坐标．②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的．若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由．及时练习1、（2011•湖北荆州）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA 所在直线为x2、（2011•襄阳）如图，在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB=10，以AB为直径的⊙O'与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是⊙O'的切线，AD丄CD于点D，tan∠CAD=，抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点．（1）求证：∠CAD=∠CAB；（2）①求抛物线的解析式；②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形．若存在，直接写出点P的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
如图1，抛物线)0(4)4(2<+++=a x a ax y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，A （—a 2，0），M （0，2a ）。
（1）求抛物线解析式；（原抛物线可进行因式分解y=(ax+4)(x+1)，得出A 点坐标（—1，0） （2）延长MA 于N,使NM ＝BM ，连NC 并延长交抛物线于P ,求P 点坐标；（3）如图2，点E 在第四象限，且∠AEB=900，对称轴交x 轴于S ，直线y=x+1交抛物线对称轴于F ，连EF ，BK 平分∠ABE 交EF 于K,KG ⊥AB 于G ，求EFKGAS +的值是否发生变化，若不变，求其值，若变化，请说明理由。
∴EF KG AS +＝22不变连接AK ，作ＫＨ⊥ＢＥ，由题可知点E 必在以AB 为直径的圆上，又AS ＝FS ＝2.5（计算可得），即AEBF 四点共圆， ∵BK 平分∠ABE ，KG ⊥AB ∴KG=KH ，又弧AF=弧BF ， ∴∠AEF=∠BEF=450， ∴EK=2KH=2KG∵BK 平分∠ABE ，EF 平分∠AEB ，∴点K 为△ABE 的内心，即AK 平分∠BAE可得∠FAK ＝∠FKA （外角）∴AF ＝FK易得AF ＝2AS∴EF KG AS +＝22不变F过M作EF//AB，作NE⊥EF，BF⊥EF。
AO=1，OM=2，OB=4，易证△AOM∽△MOB，可得∠AMB=900，利用MN＝MB易证△MEN≌△BFM，可得N（—２，２）,求出直线NC解析式,与抛物线交点即为P点如图，点A1、A2、A3、A4…，An在射线OA上，点B1、B2、B3、…B n-1在射线OB上，且A1B1//A2B2//A3B3//A n B n-1…，△A1A2B1、△A2A3B2、…△A n-1A n B n-1为阴影三角形，若△A1B1B2、△A3B2B3的面积分别为1，4，则面积小于2015的阴影三角形共有个。
由题意得，易证：△A2B1B2∽△A3B2B3，∴=，=，又∵A1B1∥A2B2∥A3B3，∴===，==，∴OA1=A1A2，继而可得出规律：A1A2=A2A3=A3A4…；B1B2=B2B3=B3B4…又△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，∴S△A1B1A2=，S△A2B2A3=2，继而可推出S△A3B3A4=8，S△A，4B4A5=32，S△A5B5A6=128，S△A，6B6A7=512，S△A，7B7A8=2048，故可得小于2015的阴影三角形的有：△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，△A4B4A5，△A5B5A6，△A6B6A7，共6个．1.．（08•乌鲁木齐）如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．（1）求∠ACB的大小；（2）写出A，B两点的坐标；（3）试确定此抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．2．（15•徐州）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点．（1）∠OBA=°．（2）求抛物线的函数表达式．（3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？3．（14•宿迁）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；①求此抛物线的表达式与点D的坐标；②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．4.．（2015•杭州模拟）如图，在平面直角坐标系中，以点M（0，3）为圆心、5为半径的圆与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C、D（点C在点D的上方），经过B、C两点的抛物线的顶点E在第二象限．（1）求点A、B两点的坐标．（2）当抛物线的对称轴与⊙M相切时，求此时抛物线的解析式．（3）连结AE、AC、CE，若tan∠CAE=．①求点E坐标；②在直线BC上是否存在点P，使得以点B、M、P为顶点的三角形和△ACE相似？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5．（15•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为2a，2b，点A，D，G在y轴上，坐标原点O为AD的中点，抛物线y=mx2过C，F两点，连接FD并延长交抛物线于点M．（1）若a=1，求m和b的值；（2）求的值；（3）判断以FM为直径的圆与AB所在直线的位置关系，并说明理由．6．（2014•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点P 作PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）．（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F 运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．7．（2015•柳州）如图，已知抛物线y=﹣（x2﹣7x+6）的顶点坐标为M，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C．（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a≠0），并指出顶点M的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找点R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和点R的坐标；（3）以AB为直径作⊙N交抛物线于点P（点P在对称轴的左侧），求证：直线MP是⊙N的切线．8．（2015•江阴市模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是梯形，其中A（6，0），B（3，），C（1，），动点P从点O以每秒2个单位的速度向点A运动，动点Q也同时从点B沿B→C→O的线路运动，运动速度为每秒1个单位，当点P到达A点时，点Q也随之停止，设点P、Q运动的时间为t（秒）．（1）经过A、B、C三点的抛物线的解析式的对称轴为．（2）设经过A、B、C三点的抛物线的对称轴与直线OB的交点为M，线段PQ是否能经过点M？若能请求出t的值（或t的取值范围），若不能，请说明理由．（3）当Q在BC上运动时，以线段PQ为直径的圆能否与直线AB相切？若能请求出t的值，若不能，请说明理由．9．（2015•惠山区一模）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）图象的顶点为D，与x轴的两个交点分别为A、B（A在B左侧），与y轴交于点C（0，3），且OA=3OB，∠ACD=90°（1）求该二次函数的关系式；（2）若⊙M经过A、C、D三点，试求点B到⊙M的切线长．1..解：（1）作CH⊥x轴，H为垂足，∵CH=1，半径CB=2，∵∠BCH=60°，∴∠ACB=120°．（2）∵CH=1，半径CB=2 ∴HB=，故A（1﹣，0），B（1+，0）．（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3）设抛物线解析式y=a（x﹣1）2+3，把点B（1+，0）代入上式，解得a=﹣1；∴y=﹣x2+2x+2．（4）假设存在点D使线段OP与CD互相平分，则四边形OCPD是平行四边形∴PC∥OD且PC=OD．∵PC∥y轴，∴点D在y轴上．又∵PC=2，∴OD=2，即D（0，2）．又D（0，2）满足y=﹣x2+2x+2，∴点D在抛物线上∴存在D（0，2）使线段OP与CD互相平分．2.解：（1）∵OA是⊙O的直径，∴∠OBA=90°，故答案为：90；（2）连接OC，如图1所示，∵由（1）知OB⊥AC，又AB=BC，∴OB是AC的垂直平分线，∴OC=OA=10，在Rt△OCD中，OC=10，CD=8，∴OD=6，∴C（6，8），B（8，4）∴OB所在直线的函数关系为y=x，又∵E点的横坐标为6，∴E点纵坐标为3，即E（6，3），抛物线过O（0，0），E（6，3），A（10，0），∴设此抛物线的函数关系式为y=ax（x﹣10），把E点坐标代入得：3=6a（6﹣10），解得a=﹣．∴此抛物线的函数关系式为y=﹣x（x﹣10），即y=﹣x2+x；（3）设点P（p，﹣p2+p），①若点P在CD的左侧，延长OP交CD于Q，如右图2，OP所在直线函数关系式为：y=（﹣p+）x∴当x=6时，y=，即Q点纵坐标为，∴QE=﹣3=，S四边形POAE=S△OAE+S△OPE=S△OAE+S△OQE﹣S△PQE=•OA•DE+QE•OD﹣•QE•P x•=×10×3+×（﹣p+）×6﹣•（）•（6﹣p），=②若点P在CD的右侧，延长AP交CD于Q，如右图3，P（p，﹣p2+p），A（10，0）∴设AP所在直线方程为：y=kx+b，把P和A坐标代入得，，解得．∴AP所在直线方程为：y=x+，∴当x=6时，y=•6+=P，即Q点纵坐标为P，∴QE=P﹣3，∴S四边形POAE=S△OAE+S△APE=S△OAE+S△AQE﹣S△PQE=•OA•DE+•QE•DA﹣•QE•（P x﹣6）=×10×3+•QE•（DA﹣P x+6）=15+•（p﹣3）•（10﹣p）==，∴当P在CD右侧时，四边形POAE的面积最大值为16，此时点P的位置就一个，令=16，解得，p=3±，∴当P在CD左侧时，四边形POAE的面积等于16的对应P的位置有两个，综上所知，以P、O、A、E为顶点的四边形面积S等于16时，相应的点P有且只有3个．3.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣2，0），B（8，0），C（0，﹣4），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣4；∵OA=2，OB=8，OC=4，∴AB=10．如答图1，连接AC、BC．由勾股定理得：AC=，BC=．∵AC2+BC2=AB2=100，∴∠ACB=90°，∴AB为圆的直径．由垂径定理可知，点C、D关于直径AB对称，∴D（0，4）．（2）解法一：设直线BD 的解析式为y=kx+b ，∵B （8，0），D （0，4），∴，解得，∴直线BD 解析式为：y=﹣x+4．设M （x ，x 2﹣x ﹣4），如答图2﹣1，过点M 作ME ∥y 轴，交BD 于点E ，则E （x ，﹣x+4）． ∴ME=（﹣x+4）﹣（x 2﹣x ﹣4）=﹣x 2+x+8．∴S △BDM =S △MED +S △MEB =ME （x E ﹣x D ）+ME （x B ﹣x E ）=ME （x B ﹣x D ）=4ME ，∴S △BDM =4（﹣x 2+x+8）=﹣x 2+4x+32=﹣（x ﹣2）2+36．∴当x=2时，△BDM 的面积有最大值为36； 解法二：如答图2﹣2，过M 作MN ⊥y 轴于点N ．设M （m ，m 2﹣m ﹣4）， ∵S △OBD =OB •OD==16，S 梯形OBMN =（MN+OB ）•ON=（m+8）[﹣（m 2﹣m ﹣4）]=﹣m （m 2﹣m ﹣4）﹣4（m 2﹣m ﹣4），S △MND =MN •DN=m[4﹣（m 2﹣m ﹣4）]=2m ﹣m （m 2﹣m ﹣4）， ∴S △BDM =S △OBD +S 梯形OBMN ﹣S △MND=16﹣m （m 2﹣m ﹣4）﹣4（m 2﹣m ﹣4）﹣2m+m （m 2﹣m ﹣4） =16﹣4（m 2﹣m ﹣4）﹣2m=﹣m 2+4m+32=﹣（m ﹣2）2+36； ∴当m=2时，△BDM 的面积有最大值为36． （3）如答图3，连接AD 、BC ．由圆周角定理得：∠ADO=∠CBO ，∠DAO=∠BCO ，∴△AOD ∽△COB ，∴=，设A （x 1，0），B （x 2，0），∵已知抛物线y=x 2+bx+c （c ＜0），∵OC=﹣c ，x 1x 2=c ，∴=，∴OD==1，∴无论b ，c 取何值，点D 均为定点，该定点坐标D （0，1）．4.解；（1）如图1，连结MA ，由题意得：AM=5，OM=3，则OA=4，同理得OB=4， ∴点A 、点B 的坐标分别是（﹣4，0）、（4，0），（2）设经过B 、C 两点的抛物线解析式为y=ax 2+bx+c （a ≠0）， ∵MC=AM=5，M0=3， ∴c=8，∵B （4，0） ∴0=16a+4b+8， ∴b=﹣4a ﹣2；此时，y=ax 2+（﹣4a ﹣2）x+8（a ≠0）， 它的对称轴是直线：x==2+；又∵抛物线的顶点E 在第二象限且该抛物线的对称轴与⊙M 相切， 则2+=﹣5， ∴a=﹣，b=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣x+8；（3）①在Rt△AOC中tan∠ACO==，而tan∠CAE=，∴∠CAE=∠ACO，所以AE∥CO，即点A在抛物线的对称轴上；又∵y=ax2+（﹣4a﹣2）x+8，∴2+=﹣4，∴a=﹣；∴y=﹣x2﹣x+8=﹣6（x+4）2+，∴E（﹣4，），②在直线BC上存在点P，使得以点B、M、P为顶点的三角形和△ACE相似，根据B、C的坐标求得直线BC的解析式为y=﹣2x+8，连接BM，如图2，∵∠PBM=∠CAM，∠CAM=∠ACM=∠EAC，∴∠PBM=∠EAC，∴以点B、M、P为顶点的三角形和△ACE相似，∴=，或=，设P（m，﹣2m+8），∵A（﹣4，0），B（4，0），C（0，8），M（0，3），E（﹣4，），∴AE=，AC=4，BM=5，∴PB=或，∴解（m﹣4）2+（﹣2m+8）2=（）2得m1=，m2=＞4（不和题意舍去），解（m﹣4）2+（﹣2m+8）2=（）2，得m3=，m=＞4（不和题意舍去），∴点P的坐标为（，）或（，）．5.解：（1）∵a=1，∴正方形ABCD的边长为2，∵坐标原点O为AD的中点，∴C（2，1）．∵抛物线y=mx2过C点，∴1=4m，解得m=，∴抛物线解析式为y=x2，将F（2b，2b+1）代入y=x2，得2b+1=×（2b）2，b=1±（负值舍去）．故m=，b=1+；（2）∵正方形ABCD的边长为2a，坐标原点O为AD的中点，∴C（2a，a）．∵抛物线y=mx2过C点，∴a=m•4a2，解得m=，∴抛物线解析式为y=x2，将F（2b，2b+a）代入y=x2，得2b+a=×（2b）2，整理得b2﹣2ab﹣a2=0，解得b=（1±）a（负值舍去），∴=1+；（3）以FM为直径的圆与AB所在直线相切．理由如下：∵D（0，a），∴可设直线FD的解析式为y=kx+a，∵F（2b，2b+a），∴2b+a=k•2b+a，解得k=1，∴直线FD的解析式为y=x+a．将y=x+a代入y=x2，得x+a=x2，解得x=2a±2a（正值舍去），∴M点坐标为（2a﹣2a，3a﹣2a）．∵F（2b，2b+a），b=（1+）a，∴F（2a+2a，3a+2a），∴以FM为直径的圆的圆心O′的坐标为（2a，3a），∴O′到直线AB（y=﹣a）的距离d=3a﹣（﹣a）=4a，∵以FM为直径的圆的半径r=O′F==4a，∴d=r，∴以FM为直径的圆与AB所在直线相切．6.证明：（1）如图，连接PM，PN，∵⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN，∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，∵PE⊥PF，∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE，在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA），∴PE=PF；（2）解：分两种情况：①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，如图1，由（1）得△PMF≌△PNE，∴NE=MF=t，PM=PN=1，∴b=OF=OM+MF=1+t，a=NE﹣ON=t﹣1，∴b﹣a=1+t﹣（t﹣1）=2，∴b=2+a，②0＜t≤1时，如图2，点E在y轴的正半轴或原点上，同理可证△PMF≌△PNE，∴b=OF=OM+MF=1+t，a=OE=ON﹣NE=1﹣t，∴b+a=1+t+1﹣t=2，∴b=2﹣a．综上所述，当t＞1时，b=2+a；当0＜t≤1时，b=2﹣a；（3）存在；①如图3，当0＜t＜1时，∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，M的坐标为（1，0），∴F′（1﹣t，0）∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，∴Q（1﹣t，0）∴OQ=1﹣t，由（1）得△PMF≌△PNE ∴NE=MF=t，∴OE=1﹣t，当△OEQ∽△MPF∴=∴=，此时无解，当△OEQ∽△MFP时，∴=，=，解得，t=2﹣或t=2+（舍去）；②如图4，当1＜t＜2时，∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，M的坐标为（1，0），∴F′（1﹣t，0）∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，∴Q（1﹣t，0）∴OQ=1﹣t，由（1）得△PMF≌△PNE ∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1当△OEQ∽△MPF∴=∴=，解得，t=，当△OEQ∽△MFP时，∴=，=，解得，t=，③如图5，当t＞2时，∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，∴F′（1﹣t，0）∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，∴Q（1﹣t，0）∴OQ=t﹣1，由（1）得△PMF≌△PNE ∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1当△OEQ∽△MPF∴=∴=，无解，当△OEQ∽△MFP时，∴=，=，解得，t=2+，t=2﹣（舍去）7.（1）解：∵y=﹣（x2﹣7x+6）=﹣（x2﹣7x）﹣3=﹣（x﹣）2+，∴抛物线的解析式化为顶点式为：y=﹣（x﹣）2+，顶点M的坐标是（，）；（2）解：∵y=﹣（x2﹣7x+6），∴当y=0时，﹣（x2﹣7x+6）=0，解得x=1或6，∴A（1，0），B（6，0），∵x=0时，y=﹣3，∴C（0，﹣3）．连接BC，则BC与对称轴x=的交点为R，连接AR，则CR+AR=CR+BR=BC，根据两点之间线段最短可知此时CR+AR的值最小，最小值为BC==3．设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（6，0），C（0，﹣3），∴，解得，∴直线BC的解析式为：y=x﹣3，令x=，得y=×﹣3=﹣，∴R点坐标为（，﹣）；（3）证明：设点P坐标为（x，﹣x2+x﹣3）．∵A（1，0），B（6，0），∴N（，0），∴以AB为直径的⊙N的半径为AB=，∴NP=，即（x﹣）2+（﹣x2+x﹣3）2=（）2，化简整理得，x4﹣14x3+65x2﹣112x+60=0，（x﹣1）（x﹣2）（x﹣5）（x﹣6）=0，解得x1=1（与A重合，舍去），x2=2，x3=5（在对称轴的右侧，舍去），x4=6（与B重合，舍去），∴点P坐标为（2，2）．∵M（，），N（，0），∴PM2=（2﹣）2+（2﹣）2=，PN2=（2﹣）2+22==，MN2=（）2=，∴PM2+PN2=MN2，∴∠MPN=90°，∵点P在⊙N上，∴直线MP是⊙N的切线．8.解：（1）∵抛物线过点B（3，），C（1，），∴对称轴为直线x==2；（2）∵如图1，△BGM∽△OHM，G（2，），H（2，0），∴BG=1，OH=2，∴==，设PQ交OB于点N，又∵△BQN∽△OPN，QB=t，OP=2t，∴==，∴=，即点N与点M重合．此时0＜t＜2；（3）如图2，过圆心N作NE∥x轴，∵⊙N切AB于D，AB与x轴夹角为30°，∴△END为30°角的直角三角形，∴NE=2ND，∵PQ=2ND，∴NE=PQ，设P（2t，0），Q（3﹣t，），∴PQ2=[3（1﹣t）]2+（）2，∵NE为梯形ABQP的中位线，∴NE=（BQ+AP）=（6﹣t），∵NE=PQ，∴NE2=PQ2∴[（6﹣t）]2=[3（1﹣t）]2+（）2，解得：t=．9.解：（1）如图，过点D作DE⊥y轴于E，∵抛物线与y轴交于点C（0，3），∴c=3，∴y=ax2+bx+3，设点B（m，0）（m＞0），∵OA=3OB，∴A（﹣3m，0），∴y=a（x﹣m）（x+3m）=a（x2+2mx﹣3m2）=a（x+m）2﹣4am2，∴﹣3am2=3，D（﹣m，﹣4am2），∴DE=m，EC=﹣4am2﹣3=﹣am2，∵∠ACD=90°，∴∠ACO+∠DCE=90°，∵∠ACO+∠CAO=90°，∴∠DCE=∠CAO，又∵∠AOC=∠CED=90°，∴△DEC∽△COA，∴=，即=，解得a=﹣1，∴﹣3×（﹣1）m2=3，解得m=1，∴y=﹣x2﹣2x+3；（2）过点D作DF⊥轴于F，∵∠ACD=90°，∴AD的中点即为M，由（1）得，A（﹣3，0），D（﹣1，4），∴点M（﹣2，2），∴BM==，股定理得，AD==2，∴r=，∴点B到⊙M的切线长===2．。