翻折旋转
特殊四边形中的旋转、翻折问题
专题02 特殊四边形中的旋转、翻折问题题型一 菱形中的旋转、翻折问题1．如图，在菱形纸片ABCD 中，60A Ð=°，点E 在BC 边上，将菱形纸片ABCD 沿DE 折叠，点C 落在AB 边的垂直平分线上的点C ¢处，则DEC Ð的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【解答】解：连接BD ，如图所示：Q 四边形ABCD 为菱形，AB AD \=，60A Ð=°Q ，ABD \D 为等边三角形，120ADC Ð=°，60C Ð=°，P Q 为AB 的中点，DP \为ADB Ð的平分线，即30ADP BDP Ð=Ð=°，90PDC \Ð=°，\由折叠的性质得到45CDE PDE Ð=Ð=°，在DEC D 中，180()75DEC CDE C Ð=°-Ð+Ð=°．故选：D ．2．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是菱形，120AOC Ð=°，点B 的坐标为(6,0)，点D 是边BC 的中点，现将菱形OABC 绕点O 顺时针旋转，每秒旋转60°，则第2021秒时，点D 的坐标为( )A ．9(2B ．9(2-，C ．9(2，D ．9(2-【解答】解：如图，连接OD ，过点C 作CH OB ^于H ，Q 四边形OABC 是菱形，120AOC Ð=°，点B 的坐标为(6,0)，6OB \=，OC BC =，60BOC Ð=°，BOC \D 是等边三角形，6OC OB BC \===，Q 点D 是BC 中点，OD BC \^，3BD =，OD \==，CH OB ^Q ，60COB Ð=°，3OH BH \==，CH ==，\点(3,C -，Q 点D 是BC\点9(2D ，，Q 将菱形OABC 绕点O 顺时针旋转，每秒旋转60°，\第1秒后，点1D 坐标为(0,-，第2秒后，点2D 坐标为9(2-，，第3秒后，点3D 坐标为9(2-，，第4秒后，点4D 坐标为(0，，第5秒后，点5D 坐标为9(2，第6秒后，点6D 坐标为9(2，，¼由上可知，点D 的坐标每6个为一组依次循环着，202163715\¸=¼，\第2021秒时，点D 的坐标为9(2，故选：A ．3．如图，菱形OABC 的一边OA 在x 轴上，将菱形OABC 绕原点O 逆时针旋转105°至111OA B C 的位置，若2OA =，120C Ð=°，则点1B 的坐标为( )A ．(-B ．(3,C ．(D ．【解答】解：连接AC 与OB 相交于点E ，过点1B 作1BF x ^轴，垂足为F ，Q 四边形OABC 为菱形，120C Ð=°，OA OC =，60AOC \Ð=°，2OC OA AC ===，AC OB ^Q ，\在Rt OAE D 中，2OA =，112AE AC ==，OE \===，OB \=，又1302AOB AOC Ð=Ð=°Q ，1105BOB Ð=°，111801803010545B OF AOB BOB \Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，在Rt △1B OF 中，1OB OB ==，1OF B F =，22211OF B F OB \+=，可得1OF B F ==，Q 点1B 在第二象限，\点1B 的坐标为(．故选：C ．4．如图，在正方形ABCD 中，顶点A ，B ，C ，D 在坐标轴上，且(4,0)B ，以AB 为边构造菱形ABEF ，将菱形ABEF 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转，每次旋转45°，则第164次旋转结束时，点164F 的坐标为( )A ．(4-，B ．(4,--C ．，4)-D ．(-，4)-【解答】解：Q 点(4,0)B ，4OB \=，4OA \=，AB \==，Q 四边形ABEF 是菱形，AF AB \==，\点F ，4)，由题意可得每次8旋转一个循环，1648204\¸=¼，\点164F 的坐标与点F 坐标关于原点对称，\点164F 的坐标(-，4)-，故选：D ．5．如图，已知菱形ABCD 的边长2，60A Ð=°，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，若将AEF D 沿直线EF 折叠，使得点A 恰好落在CD 边的中点G 处，则EF【解答】解：延长CD ，过点F 作FM CD ^于点M ，连接GB 、BD ，作FH AE ^交于点H ，如图所示：60A Ð=°Q ，四边形ABCD 是菱形，60MDF \Ð=°，30MFD \Ð=°，设MD x =，则2DF x =，FM =，1DG =Q ，1MG x \=+，222(1))(22)x x \++=-，解得：0.3x =，0.6DF \=， 1.4AF =，10.72AH AF \==，sin 1.4FH AF A =Ð==g ，CD BC =Q ，60C Ð=°，DCB \D 是等边三角形，G Q 是CD 的中点，BG CD \^，2BC =Q ，1GC =，BG \=，设BE y =，则2GE y =-，222(2)y y \+=-，解得：0.25y =，1.75AE \=，1.750.7 1.05EH AE AH \=-=-=，EF \===．6．已知菱形ABCD 中，120ABC Ð=°，12AB =，点E ，F 分别在边AD ，AB 上，将AEF D 沿着直线EF 折叠，使得点A 落在G 点．（1）如图1，若点G 恰好落在AC 上，且3CG =，求DE 的长；（2）如图2，若点G 恰好落在BD 上，且3BG =，求DE 的长．【解答】解：（1）连接BD ，交AC 于点O ，Q 四边形ABCD 是矩形，1602ABD ABC \Ð=Ð=°，90AOB Ð=°，2AC AO =，在Rt AOB D 中易得到AO =，AC =Q 菱形ABCD 中，AD DC =，DAC DCA \Ð=Ð，Q 点A 与点G 关于EF 轴对称，AE EG \=，DAC EGA \Ð=Ð，DCA EGA \Ð=Ð，//EG DC \，\DE CG AD AC =，\12DE =，DE \=．（2）Q菱形ABCD中，120ABCÐ=°，AD AB\=，60AÐ=°，ABD\D是等边三角形，60EDG FBGÐ=Ð=°，又由翻折可得60EGF AÐ=Ð=°，又EGB EGF FGB DEG EDG Ð=Ð+Ð=Ð+Ð，FGB DEG\Ð=Ð．DEG BGF\D D∽，\DE DG EG BG BF FG==，设DE x=，则12EG AE x==-，\9123x xBF FG-==，27BFx\=，363x FGx-=，又12 AB AF BF FG BF=+=+=，\2736312xx x-+=，解得：215x=，即215 DE=．7．四边形ABCD为菱形，BD为对角线，在对角线BD上任取一点E，连接CE，把线段CE绕点C顺时针旋转得到线段CF，使得ECF BCDÐ=Ð，点E的对应点为点F，连接DF．（1）如图1，求证：BE DF=；（2）如图2，若2DFC DBCÐ=Ð，在不添加任何辅助线的前提下，请直接写出五对线段，使每对线段的和等于(BD BE和DE除外）．【解答】（1）证明：Q 四边形ABCD 为菱形，BC CD \=，Q 把线段CE 绕点C 顺时针旋转得到线段CF ，CE CF \=，ECF BCD Ð=ÐQ ，BCE DCF \Ð=Ð，在BCE D 与DCF D 中，BC CD BCE DCF CE CF =ìïÐ=Ðíï=î，()BCE DCF SAS \D @D ，BE DF \=．（2）解：BCE DCF D @D Q ，BE DF \=，BEC DFC Ð=Ð，CB CD =Q ，CBD CDE \Ð=Ð，2DFC CBD Ð=ÐQ ，2BEC CDE \Ð=Ð，CEB CDE ECD Ð=Ð+ÐQ ，EDC ECD \Ð=Ð，ED EC CF \==，BD BE EC BE CF DF DE DF CE DF CF \=+=+=+=+=+．8．如图，平行四边形ABCD 中，AB AC ^，1AB =，BC =，对角线AC ，BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC ，AD 于点E ，F ．（1）证明：当90AOF Ð=°时，四边形ABEF 是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，AF 与CE 总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AOF Ð度数．【解答】（1）证明：当90AOF Ð=°时，//AB EF ，//AF BE Q ，\四边形ABEF 是平行四边形．（2）证明：Q 四边形ABEF 是平行四边形，AO CO \=，//AF EC ，FAO ECO \Ð=Ð，在AOF D 和COE D 中，FAO OCE OA OCAOF COE Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，AOF COE \D @D ，AF CE \=．（3）解：结论：四边形BEDF 可能是菱形．AOF COE D @D Q ，OE OF \=，EF \与BD 互相平分，\四边形BEDF 是平行四边形，\当EF BD ^时，四边形BEDF 是菱形，在Rt ABC D 中，2AC =，1OA AB \==，AB AC ^Q ，45AOB \Ð=°，45AOF \Ð=°，\当四边形BEDF 是菱形时，45AOF Ð=°．9．如图，在平面直角坐标系中，O 是菱形ABCD 对角线BD 的中点，//AD x 轴且4AD =，60A Ð=°，将菱形ABCD 绕点O 旋转，使点D 落在x 轴上，则旋转后点C 的对应点的坐标是( )A ．(0，B ．(2,4)-C ．0)D ．(0，或(0,-【解答】解：根据菱形的对称性可得：当点C 旋转到y 轴负半轴时，A 、B 、C 均在坐标轴上，如图，60BAD Ð=°Q ，4AD =，30OAD \Ð=°，2OD \=，AO OC \====，\点C 的坐标为(0,-，同理：当点C 旋转到y 轴正半轴时，点C 的坐标为，\点C 的坐标为或(0,-，故选：D ．10．如图，在菱形ABCD 中，1AB =，60DAB Ð=°，把菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°得到菱形AB C D ¢¢¢，其中点C 的运动路径为 CC ¢，则图中阴影部分的面积为 342p +【解答】解：连接CD ¢和BC ¢，60DAB Ð=°Q ，30DAC CAB \Ð=Ð=°，30C AB Т¢=°Q ，A \、D ¢、C 及A 、B 、C ¢分别共线．AC \=\扇形ACC ¢4p =，AC AC =¢Q ，AD AB¢=\在OCD D ¢和△OC B ¢中，CD BC ACO AC D COD C OB ¢=¢ìïÐ=Т¢íïТ=ТîOCD \D ¢@△()OC B AAS ¢．OB OD \=¢，CO C O=¢60CBC Т=°Q ，30BC O Т=°90COD \Т=°1CD AC AD ¢=-¢=-Q 1OB C O +¢=\在Rt BOC D ¢中，222(1)1)BO BO +-=解得12BO =，32C O ¢=-，1324OC B S BO C O ¢\=¢=-V g \图中阴影部分的面积为：3242OC B ACC S S p¢¢-=+V 扇形．故答案为：342p+-题型二 矩形中的旋转、翻折问题11．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，并且5OA =，3OC =．若把矩形OABC 绕着点O 逆时针旋转，使点A 恰好落在BC 边上的1A 处，则点C 的对应点1C 的坐标为( )A ．9(5-，12)5B ．12(5-，95C ．16(5-，125D ．12(5-，16)5【解答】解：过点1C 作1C N x ^轴于点N ，过点1A 作1A M x ^轴于点M ，由题意可得：1190C NO A MO Ð=Ð=°，123Ð=Ð=Ð，则△1A OM ∽△1OC N ，5OA =Q ，3OC =，15OA \=，13A M =，4OM \=，\设3NO x =，则14NC x =，13OC =，则22(3)(4)9x x +=，解得：35x =±（负数舍去），则95NO =，1125NC =，故点C 的对应点1C 的坐标为：9(5-，12)5．故选：A ．12．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，将矩形ABCD 绕点C 旋转，点A 、B 、D 的对应点分别为A ¢、B ¢、D ¢，当A ¢落在边CD 的延长线上时，边A D ¢¢与边AD 的延长线交于点F ，联结CF ，那么线段CF【解答】解：Q 四边形ABCD 是矩形，3AB CD \==，4AD BC ==，90ADC Ð=°，90A DF CDF ¢\Ð=Ð=°，由旋转的性质得：3CD CD ¢==，4A D AD ¢¢==，90ADC A D C ¢¢Ð=Ð=°，5A C ¢\==，532A D A C CD ¢¢\=-=-=，在Rt CDF D 和Rt △CD F ¢中，CF CF CD CD =ìí¢=î，Rt CDF Rt \D @△()CD F HL ¢，DF D F ¢\=，设DF D F x ¢==，则4A F x ¢=-，在Rt △A DF ¢中，由勾股定理得：2222(4)x x +=-，解得：32x =，32DF \=，CF \===．13．如图，矩形纸片ABCD 中，6AD =，E 是CD 上一点，连结AE ，ADE D 沿直线AE 翻折后点D 落到点F ，过点F 作FG AD ^，垂足为G ．若3AD GD =，则DE 的值为( )A B ．52C D 【解答】解：过点E 作EH FG ^，交FG 于点H ，如图，由题意：AEF AED D @D ，则6AF AD ==，DE EF =．6AD =Q ，3AD GD =，2GD \=．624AG AD DG \=-=-=．FG AD ^Q ，FG \===．Q 四边形ABCD 是矩形，90D \Ð=°，FG AD ^Q ，EH FG ^，\四边形GHED 为矩形．GH DE \=，2HE GD ==．设DE x =，则GH EF x ==，HF x =，在Rt HEF D 中，222HF HE EF +=Q ，\222)2x x -+=．解得：x =DE \=故选：C ．14．如图，点E 在矩形ABCD 边CD 上，将ADE D 沿AE 翻折，点D 恰好落在BC 上的点F 处，若2AB CF =，3CE =，连接DF ，与AE 交于H 点，连接BH ，则点F 到BH 的距离为【解答】解：根据折叠的性质知：AD AF BC ==，DE EF =，AE 是线段DF 的垂直平分线，H 是DF 的中点，设DE EF x ==，则3DC AB x ==+，11(3)22FC AB x ==+，在Rt EFC D 中，222FC EC EF +=，即2221[(3)]32x x ++=，解得：5x =或3x =-（舍去），538DC AB \==+=，4FC =，设AD AF BC y ===，则4BF y =-，在Rt ABF D 中，222AB BF AF +=，即2228(4)y y +-=，解得：10y =，6BF \=，过H 作HN BC ^于N ，过F 作FM BH ^于M ，Q 四边形ABCD 是矩形，//HN CD \，142HN CD \==，122FN FC ==，8BN BF FN \=+=，由勾股定理得：BH ==，1122BHF S BF HN BH FM D =´=´Q ，BF HN FM BH ´\===15．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，6OA =，将ABC D 沿直线AC 翻折，使点B 落在点D 处，AD 交x 轴于点E ，若30BAC Ð=°，则点D 的坐标为( )A ．2)-B ．3)-C ．3)-D ．(3,-【解答】解：过D 点作DF x ^轴，垂足为F ，则//DF y 轴，Q 四边形AOCB 为矩形，90OAB AOC B \Ð=Ð=Ð=°，6BC AO ==，AB OC =，\=，OC AB12AC==，由折叠可知：30Ð=Ð=°，AD ABDAC BAC==，\Ð=°，OAE30OE\=，AE=，\=，ED//Q轴，DF y\Ð=Ð=°，30EDF EAODF=，\=，3EF\=+=，OF OE EF-，\点坐标为，3)D故选：B．16．如图，四边形ABCD中，//AD BC，AB BCBCDÐ=°，将CD绕点D逆时针旋转90°至ED，^，45延长AD交EC于点F．（1）求证：四边形ABCF是矩形；AD=，3（2）若2BC=，求AE的长．【解答】（1）证明：//BCDÐ=°，^，45Q，AB BCAD BCBCD FDCÐ=Ð=°，\Ð=Ð=°，4590B BAFQ将CD绕点D逆时针旋转90°至ED，Ð=°，EDCDE DC\=，90EDF FDC\Ð=°=Ð，45\^，DF CE\Ð=°，AFC90即90Ð=Ð=Ð=°，B BAF AFC\四边形ABCF是矩形；（2）解：Q四边形ABCF是矩形，\==，AF BC3\=-=，321DFQ，90Ð=°，DFEÐ=°45EDF\Ð=Ð=°，45DEF EDF\==，1DF EF在Rt AFED中，由勾股定理得：AE===．AB=，217．如图，矩形OABC中，1¢¢，则AO=，将矩形OABC绕点O按顺时针转90°，得到矩形OA B CBB¢【解答】解：如图所示：Q矩形OABC中，1AB=，2AO=，将矩形OABC绕点O按顺时针转90°，得到矩形OA B C¢¢，B D¢=，\=，13BD则BB¢==．．AB=，618．如图，在矩形ABCD中，4D沿AE折叠，使点B落在矩形BC=，点E为BC的中点，将ABE内点F处，连接CF，则CF的长为( )A ．95B ．125C ．165D ．185【解答】解：连接BF ，6BC =Q ，点E 为BC 的中点，3BE \=，又4AB =Q ，5AE \==，由折叠知，BF AE ^（对应点的连线必垂直于对称轴）125AB BE BH AE ´\==，则245BF =，FE BE EC ==Q ，90BFC \Ð=°，185CF \==．故选：D ．19．已知，如图，四边形ABCD 中，90D Ð=°，AB AC =，DAC B Ð=Ð，点E 是BC 的中点．（1）求证：四边形AECD 是矩形；（2）若8AD =，6CD =，点F 是AD 上的点，连接CF ，把D Ð沿CF 折叠，使点D 落在点G 处．当AFG D 为直角三角形时，求CF 的长度．【解答】解：（1）证明：AB AC =Q ,B ACB \Ð=Ð．DAC B Ð=ÐQ ,DAC ACB \Ð=Ð．//AD EC \．AB AC =Q ,E 是BC 的中点，AE BC \^．90AEC \Ð=°．18090EAD AEC \Ð=°-Ð=°．90D Ð=°Q ,\四边形AECD 为矩形．(2)当90AGF Ð=°时，G 在AC 上，如图，8AD =Q ,6CD =,10AC \==．CG CD =Q ,4AG AC CG \=-=．设DF x =,则8AF x =-,GF DF x ==,由勾股定理得：222AG GF AF +=．2224(8)x x \+=-．解得：3x =．\CF ===当90AFC Ð=°时，G 在CE 上，此时四边形CDFG 为正方形，如图：CF \=；当90FAG Ð=°时，G 在AB 上，此时6CG CD ==,而8CE AD ==,Q斜边大于直角边，\不可能在AB边上．G综上，CF=．20．矩形ABCD绕点A顺时针旋转至矩形AEFG，使B点正好落在CD上的点E处，连BE．（1）求证：2Ð=Ð；BAE CBE（2）如图2，连BG交AE于M，点N为BE的中点，连MN、AF，试探究AF与MN的数量关系，并证明你的结论．【解答】（1）证明：Q四边形ABCD是矩形，\Ð=Ð=°，C CBA90CBE ABE\Ð+Ð=°，90Q将矩形ABCD绕点A顺时针旋转至矩形A点正好落在CD上的点E处，=，Ð=°，AE AB\=，90BC AGEAG\Ð=Ð，ABE AEBQ，Ð+Ð+Ð=°BAE ABE AEB180\Ð+Ð=°，ABE BAE2180Q，Ð+Ð=°CBE ABE90\Ð+Ð=°，CBE ABE22180\Ð=Ð．BAE CBE2（2）2=，AF MN证明：过B作BO AE^于O，连接EG，Q四边形AEFG是矩形，Ð=Ð=°，MAG BOM\=，90AF EG90C CBA Ð=Ð=°Q ，90AEB ABE CBE \Ð=Ð=°-Ð，90CEB CBE Ð=°-Ð，CEB OEB \Ð=Ð，在CBE D 和OBE D 中，90CBE OBE C BOE BE BE Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î，()CBE OBE AAS \D @D ，EC OE \=，BO BC AD AG ===，在BOM D 和GAM D 中，AMG BME BOM GAM BO AG Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()BOM GAM AAS \D @D ，BM GM \=，Q 点N 为BE 的中点，12MN EG \=，EG AF =Q ，2AF MN \=．题型三 正方形中的旋转、翻折问题21．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 边上的一点，将正方形边AB 沿AE 折叠到AF ，延长EF 交DC于G ，连接AG ，则EAG Ð= 45 度．【解答】解：Q 四边形ABCD 是正方形，AB AD \=，90ABE BAD ADG Ð=Ð=Ð=°，由翻折可知：AB AF =，90ABE AFE AFG Ð=Ð=Ð=°，BAE EAF Ð=Ð，90AFG ADG Ð=Ð=°Q ，AG AG =，AD AF =，Rt AGD Rt AGF(HL)\D @D ，GAF GAD Ð=Ð，1()452EAG EAF GAF BAF DAF \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°．故答案为：45．22．如图，正方形ABCD 的边长为1，将其绕顶点C 按逆时针方向旋转一定角度到如图所示的位置，使得点B 落在对角线CF 1- ．【解答】解：方法一：正方形ABCD 的边长为1，将其绕顶点C 按逆时针方向旋转一定角度到CEFG 位置，使得点B 落在对角线CF 上，1EF CE \==，CF \=，1BF \=-，45BFE Ð=°Q ，\阴影部分的面积211111)122=´´-´=-；方法二：Q 过E 点作//MN BC 交AB 、CD 于M 、N 点，设AB 与EF 交于点P 点，连接CP ，如下图所示，B Q 在对角线CF 上，45DCE ECF \Ð=Ð=°，1EC =，ENC \D 为等腰直角三角形，MB CN \===，又BC AD CD CE ===，且CP CP =，PEC D 和PBC D 均为直角三角形，Rt PEC Rt PBC(HL)\D @D ，PB PE \=，又45PFB Ð=°，45FPB MPE \Ð=°=Ð，MPE \D 为等腰直角三角形，设MP x =，则EP BP ==，MP BP MB +=Q ，\x +=x =，1BP \==-，\阴影部分的面积12211)12PBC S BC BP D ==´´´=´-=-．1．23．如图，将边长为3的正方形ABCD 绕点A 逆时针方向旋转30°后得到正方形AB C D ¢¢¢，则图中阴影部分面积为 9-【解答】解：连接AE ，如图所示：由旋转的性质可知：AB AB =¢．在Rt △AB E ¢和Rt ADE D 中，AE AE AB AD =ìí¢=î，Rt \△Rt ADE(HL)AB E ¢@D ．DAE B AE \Ð=Т，ADE AB E S S D ¢=V ．30BAB Т=°Q ，1(9030)302DAE \Ð=´°-°=°．又3AB =Q ，DE AB \==132ADE S D \==，又239ABCD S ==Q 正方形，929S \=-=-阴影．故答案为：9-．24．如图是一张正方形纸片ABCD ，将其对折使AB 与DC 重合，折痕EF 分别与BC ，AD 交于点E ，F ，再将点D 对折到线段AE 上，折痕AG 交DC 于点G ，则DC GC【解答】解：如图，连接EG ，设DG D G x ¢==，2AB a =，由折叠得：BE EC a ==，2AD AD a ¢==，2CG a x \=-，由勾股定理得：AE ==，2D E a ¢\=-，在Rt EGD ¢D 和Rt EGC D 中，2222(2)2)a a x x a +-=+-，解得1)x a =-，\DC GC =．．25．如图，将边长为12的正方形纸片ABCD 折叠，点A 与CD 边中点M 重合，折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，边AB 折叠后与BC 交于点G ，则DE 长度为 92 ，BG 与BC 的数量关系为 ．【解答】解：过A 作AH MG ^于H ，连接AG ，如图：设DE x =，则12AE ME x ==-，Rt DME D 中，162DM DC ==，222DM DE ME +=，2226(12)x x \+=-，解得92x =，92DE \=，Q 正方形纸片ABCD 折叠，点A 与CD 边中点M 重合，MAB AMG \Ð=Ð，//DC AB Q ，DMA MAB \Ð=Ð，DMA AMG \Ð=Ð，在ADM D 和AHM D 中，90,D AHM DMA AMG AM AMÐ=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î，()ADM AHM AAS \D @D ，AD AH \=，6MH MD ==，AH AD AB \==，在Rt AHG D 和Rt ABG D 中，AH ABAG AG =ìí=î，Rt AHG Rt ABG(HL)\D @D ，HG BG \=，设BG y =，则HG y =，12CG y =-，Rt CMG D 中，162CM DC ==，6MG MH HG y =+=+，222CM CG MG +=，2226(12)(6)y y \+-=+，解得245y =，245BG \=，\2425125 BGBC==，25BG BC\=．故答案为：92，25BG BC=．26．如图，已知正方形ABCD的边长为6，以点C为直角顶点的等腰Rt CEFD绕C旋转一圈，且保持2CE=，过点C作CH DE^于H交直线BF于M，连AM，则AM的最小值为 1- ．【解答】解：如图1中，作//BT CF交CM分延长线于T．//BT CFQ，T FCM\Ð=Ð，CH DE^Q，ECFD是等腰直角三角形，90CHE ECF\Ð=Ð=°，90FCM ECH\Ð+Ð=°，90ECH DECÐ+Ð=°，DEC FCM T\Ð=Ð=Ð，90DCB DHCÐ=Ð=°Q，90BCT DCH \Ð+Ð=°，90DCH CDE Ð+Ð=°，TCB CDE \Ð=Ð，CB CD =Q ，()BCT DCE AAS \D @D ，BT EC CF \==，TMB CMF Ð=ÐQ ，T MCF Ð=Ð，()TBM CFM AAS \D @D ，BM FM \=，如图2中，取BC 的中点N ，连接AN ，MN ．Q 四边形ABCD 是正方形，6AB BC \==，90ABN Ð=°，3BN NC ==Q ，AN \===，BM MF =Q ，BN NC =，112MN CF \==，AM AN MN -Q …，1AM \…，AM \的最小值为1-．故答案为：1-．27．在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，AE 与BF 相交于点G ．（1）如图1，求证：AE BF ^；（2）如图2，将BCF D 沿BF 折叠，得到BPF D ，延长FP 交BA 的延长线于点Q ，若4AB =，求QF 的值【解答】（1）证明：E Q ，F 分别是正方形ABCD 边BC ，CD 的中点，CF BE \=，在ABE D 和BCF D 中，AB BC ABE BCFBE CF =ìïÐ=Ðíï=îRt ABE Rt BCF(SAS)\D @D ，BAE CBF \Ð=Ð，又90BAE BEA Ð+Ð=°Q ，90CBF BEA \Ð+Ð=°，90BGE \Ð=°，AE BF \^；（2）解：Q 将BCF D 沿BF 折叠，得到BPF D ，FP FC \=，PFB BFC Ð=Ð，90FPB Ð=°，//CD AB Q ，CFB ABF \Ð=Ð，ABF PFB \Ð=Ð，QF QB \=，设QF x =，4PB BC AB ===，2CF PF ==，QB x \=，2PQ x =-，在Rt BPQ D 中，222(2)4x x \=-+，解得：5x=，QF=．即528．如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上的动点（不与点B、C重合），将射线AE绕点A按逆时针方向旋转45°后交CD边于点F，AE、AF分别交BD于G、H两点．（1）当55Ð的度数；BEAÐ=°时，求HADÐ的大小；（2）设BEA aÐ=，试用含a的代数式表示DFAÐ有怎样的数量关系，并说明理由．（3）点E运动的过程中，试探究BEAÐ与FEA【解答】解：（1）Q四边形ABCD是正方形，90\Ð=Ð=°，EBA BAD\Ð=°-Ð=°-°=°，90905535EAB BAE\Ð=Ð-Ð-Ð=°-°-°=°；90453510HAD BAD EAF EAB（2）Q四边形ABCD是正方形，\Ð=Ð=Ð=°，90EBA BAD ADF\Ð=°-Ð=°-，9090EAB BAE a\Ð=Ð-Ð-Ð=°-°-°-=-°，DAF BAD EAF EAB a a9045(90)45\Ð=°-Ð=°--°=°-；9090(45)135DFA DAF a aÐ=Ð，理由如下：（3）BEA FEA=，连接AI．延长CB至I，使BI DFQ四边形ABCD是正方形，\=，90AD ABÐ=Ð=°，ADF ABC90\Ð=°，ABIQ，又BI DF=\D@D，()DAF BAI SASÐ=Ð，\=，DAF BAIAF AIEAI BAI BAE DAF BAE EAF\Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°=Ð，45D的公共边，D与EAFQ是EAI又AEEAI EAF SAS\D@D，()\Ð=Ð．BEA FEA=，过D作DG EF29．在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，DE EF^于点H，交AB边于点G．（1）如图1，求证：DE DG=；（2）如图2，将EF绕点E逆时针旋转90°得到EK，点F对应点K，连接KG，EG，若H为DG中点，EG．在不添加任何辅助线及字母的情况下，请直接写出图中所有与EG长度相等的线段（不包括)【解答】解：（1）Q四边形ABCD是正方形，DAG DCEÐ=Ð=°，AD BC，90AD DC\=，//\Ð=Ð，DEC EDFQ，DE EF=\Ð=Ð，EFD EDF\Ð=Ð，EFD DECQ于H，DG EF^\Ð=°，GHF90AGH AFH\Ð+Ð=°，180Q，Ð+Ð=°AFH EFD180DGA EFD DEC \Ð=Ð=Ð，在DAG D 和DCE D 中：DGA DEC DAG DCEDA DC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î()DAG DCE AAS \D @D ，DG DE \=．（2）KE EF ^Q ，DG EF ^，//KE DG \，且DG EF KE DE ===，\四边形KEDG 是平行四边形，且DG DE =，\四边形KEDG 是菱形，GK DG KE DE \===，DG EF ^Q ，H 是DG 的中点，EG DE \=，EG DE DG GK KE EF \=====．30．如图，已知正方形ABCD 的边长是2，EAF m Ð=°，将EAF Ð绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交BC 、CD 于点E 、F ，G 是CB 延长线上一点，且始终保持BG DF =．（1）求证：ABG ADF D @D ；（2）求证：AG AF ^；（3）当EF BE DF =+时：①求m 的值；②若F 是CD 的中点，求BE的长．【解答】解：（1）证明：在正方形ABCD 中，2AB AD BC CD ====，90BAD C D ABC ABG Ð=Ð=Ð=Ð=Ð=°．BG DF =Q ，在ABG D 和ADF D 中，AB AD ABG ADF BG DF =ìïÐ=Ðíï=î，()ABG ADF SAS \D @D ；（2）证明：ABG ADF D @D Q ，GAB FAD \Ð=Ð，GAF GAB BAF\Ð=Ð+Ð90FAD BAF BAD =Ð+Ð=Ð=°，AG AF \^；（3）①解：ABG ADF D @D ，AG AF \=，BG DF =．EF BE DF =+Q ，EF BE BG EG \=+=．AE AE =Q，。
中考经典几何题讲义系列：旋转、翻折问题
∴AE＝EF，∠EAF＝∠EFA＝ ＝22.5°。∴∠FAB＝67.5°。
2
设 AB＝x，则 AE＝EF＝ 2 x，
∴an67.5°＝tan∠FAB＝t FB 2x+x 2 1。故选 B。 AB x
4. （广东河 源 3 分）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点 D、E 分别在边 AB、 AC 上，将△ABC 沿着 DE 折叠压平，A 与 A′重合．若∠A＝75º，则∠1＋∠2＝【 】
∴BC=CM。
设 CF=x，D′F=DF=y， 则 BC=CM=CD=CF+DF=x+y。∴FM=CM+CF=2x+y，
在 Rt△D′FM 中，tan∠M=tan30°= DF y 3 ，∴ x 3-1 y 。
FM 2x y 3
2
∴ CF x 3-1 。故选 A。 FD y 2
3. （江苏连云港 3 分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠， 使点 A 落在 BC 上的点 E 处，还原后，再沿过点 E 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上的点 F 处，这样就可以求出 67.5° 角的正切值是【 】
A．150º
B．210º
C．105º
D．75º
【答案】A。
【考点】折叠的性质，平角的定义，多边形内角和定理。
【分析】根据折叠对称的性质，∠A′＝∠A＝75º。
根据平角的定义和多边形内角和定理，得
∠1＋∠2＝1800－∠ADA′＋1800－∠AEA′＝3600－（∠ADA′＋∠AEA′）＝∠A′＋∠A＝1500。
（1）如图 1，当点 D 与点 C 位于直线 AB 的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则 CD=
初中数学知识归纳形的平移旋转与翻折
初中数学知识归纳形的平移旋转与翻折在初中数学课程中，形的平移、旋转和翻折是非常重要的概念和技巧。
通过学习和理解这些概念，学生可以更好地认识和应用几何形状。
本文将对初中数学中形的平移、旋转和翻折进行归纳总结，并介绍相关的基本原理和技巧。
一、形的平移形的平移是指在平面内将一个形状整体移动到另一个位置，而形状保持不变。
在平移过程中，形状的大小、形状以及内部的相互关系都不会发生变化。
平移的基本原理是：确定一个平移向量，然后根据该向量的大小和方向，将形状内的每个点都移动到对应的新位置上。
平移向量可以用有序对表示，如(u, v)，其中u表示横向位移，v表示纵向位移。
形状中的每个点的新坐标可以通过将原坐标与平移向量的分量相加得到。
例如，将一个矩形形状A平移到新的位置B，平移向量为(3, 4)。
假设矩形角点的坐标为A(1, 2), B(4, 6)，则可以计算出新位置上的所有角点坐标为B(4, 6), C(4, 10), D(7, 10), E(7, 6)。
形的平移有以下几个重要性质：1. 平移前后的形状相等。
2. 平移前后形状内的各点之间的距离保持不变。
3. 平移不改变形状内角的度数。
二、形的旋转形的旋转是指将形状围绕某一固定点旋转一定角度，使得形状保持不变。
旋转中心可以位于形状内部、外部或者边上。
旋转的基本原理是：确定旋转中心和旋转角度，根据旋转的顺时针或逆时针方向将形状内的每个点绕旋转中心旋转一定的角度，并保持距离不变。
假设旋转中心为O(0, 0)，旋转角度为θ，对于一个点P(x, y)，点P 经过旋转后的新坐标可以通过以下公式计算得到：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ例如，将一个矩形形状A绕原点逆时针旋转60度，矩形的角点坐标为A(2, 1), B(5, 1), C(5, 4), D(2, 4)。
根据旋转公式，可以计算出新位置上的所有角点坐标为A'(1.732, 1), B'(4.732, 1), C'(4.732, 4), D'(1.732, 4)。
5-翻折、旋转
教师辅导讲义旋转知识网络结构图专题1 旋转的简单应用【专题解读】 有关旋转、平移的知识是近几年中考的一个热点，旋转和平移这两种交换方式不仅贴近生活，而且使人们享受了图形变化的美，命题新颖，内涵丰富，既有选择题、填空题，也有操作设计、解答方面的命题.1、如图1所示，以此图右边缘所在直线为轴将图形向右翻转180°后，再将所得到的图形绕其中心按顺时针方向旋转180°所得到的图形是（ B ）旋转 旋转定义：一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转 性质①对应点到旋转中心的距离相等 ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 ③旋转前、后的图形全等 中心对称 定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称 性质 ①关于中心对称的两个图形，对称点所连线 段都经过对称中心，而且被对称中心所平分 ②关于中心对称的两个图形是全等图形 中心对 称图形 定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转 后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，常见的中心对称图形：线段、平行四边形、圆等 关于原点对称的点的坐标：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P (x ，y )关于原点的对称点为P ′(-x ，-y )利用平移、轴对称和旋转可进行图案设计A B C D2、如图，直线223+-=x y 与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 绕点A 顺时针旋转90°后得到 △AO′B′，则点B′的坐标是（310 , 34 ）3、如图所示，正方形网格中，△ABC 为格点三角形(顶点都是格点)，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到△AB 1C 1．(1)在正方形网格中，作出△AB 1C 1；(不要求写作法)(2)设网格小正方形的边长为1 cm ，用阴影表示出旋转过程中线段BC 所扫过的图形，然后求出它的面积．(结果保留π)分析：本题考查旋转作图的方法，作出旋转后的图形，首先要确定旋转后关键点的位置，然后把关键点连起来即可．解：(1)如图所示的△AB 1C 1即为所求．(2)线段BC 所扫过的图形如图所示的阴影部分． 根据网格图知AB=4，BC=3，所以AC=5． 线段BC 所扫过的图形的面积S=14π(AC 2—AB 2)=94π(cm2)． 4、如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的三个顶点分别是A （-3，2），B （0，4），C （0，2）．（1）将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A 1B 1C ；平移△ABC ，若点A 的对应点A 2的坐标为（0，-4），画出平移后对应的△A 2B 2C 2（2）若将△A 1B 1C 绕某一点旋转可以得到△A 2B 2C 2；请直接写出旋转中心的坐标； （3）在x 轴上有一点P ，使得PA+PB 的值最小，请直接写出点P 的坐标．解：（1）如图所示：（2）如图所示：旋转中心的坐标为：⎪⎭⎫ ⎝⎛1-23，点P 的坐标为（-2，0）专题2旋转变换在几何中的应用【专题解读】 旋转变换在几何中的应用问题一般综合性较强，常与三角形、四边形、平面直角坐标系、函数等知识综合考查.1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=1，BC=3，点O 为Rt △ABC 内一点，连接A0、BO 、CO ，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120度，按下列要求画图（保留画图痕迹）：以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到A、O的对应点分别为点A′、O′），并回答下列问题：∠ABC=（30°）；∠A′BC=（90°）；OA+OB+OC=（7）分析：解直角三角形求出∠ABC=30°，然后过点B作BC的垂线，在截取A′B=AB，再以点A′为圆心，以AO为半径画弧，以点B为圆心，以BO为半径画弧，两弧相交于点O′，连接A′O′、BO′，即可得到△A′O′B；根据旋转角与∠ABC 的度数，相加即可得到∠A′BC；根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB=2AC，即A′B的长，再根据旋转的性质求出△BOO′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO=OO′，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO′=∠BO′O=60°，然后求出C、O、A′、O′四点共线，再利用勾股定理列式求出A′C，从而得到OA+OB+OC=A′C．2、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在BC的延长线上，且BD=AB，过点B作BE⊥AC，与BD的垂线DE交于点E．（1）求证：△ABC≌△BDE；（2）△BDE可由△ABC旋转得到，利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法）．解：（1）证明：在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，∴∠ABE+∠DBE=90°，∵BE⊥AC，∴∠ABE+∠A=90°，∴∠A=∠DBE，∵DE是BD的垂线，∴∠D=90°，在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE（ASA）；（2）作法一：如图①，点O就是所求的旋转中心．作法二：如图②，点O就是所求的旋转中心．3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连接AE．（1）求证：AB⊥AE；（2）若BC2=AD•AB，求证：四边形ADCE为正方形．解答：证明：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠B=∠BAC=45°，∵线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，∴∠DCE=90°，CD=CE，∵∠ACB=90°，∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，即∠BCD=∠ACE，在△BCD和△ACE中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CECDACEBCDACBC∴△BCD≌△ACE，∴∠B=∠CAE=45°，∴∠BAE=45°+45°=90°，∴AB⊥AE；（2）∵BC2=AD•AB，而BC=AC，∴AC2=AD•AB，∵∠DAC=∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴∠CDA=∠BCA=90°， 而∠DAE=90°，∠DCE=90°， ∴四边形ADCE 为矩形， ∵CD=CE ，∴四边形ADCE 为正方形．4、阅读材料如图①，△ABC 与△DEF 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D 在AB 边上，AB 、EF 的中点均为O ，连结BF 、CD 、CO ，显然点C 、F 、O 在同一条直线上，可以证明△BOF ≌△COD ，则BF=CD ． 解决问题（1）将图①中的Rt △DEF 绕点O 旋转得到图②，猜想此时线段BF 与CD 的数量关系，并证明你的结论；（2）如图③，若△ABC 与△DEF 都是等边三角形，AB 、EF 的中点均为O ，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF 与CD 之间的数量关系；（3）如图④，若△ABC 与△DEF 都是等腰三角形，AB 、EF 的中点均为0，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出CDBF的值（用含α的式子表示出来）分析：（1）如答图②所示，连接OC 、OD ，证明△BOF ≌△COD ； （2）如答图③所示，连接OC 、OD ，证明△BOF ∽△COD ，相似比为33； （3）如答图④所示，连接OC 、OD ，证明△BOF ∽△COD ，相似比为tan 2；5、通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF=45°，连接EF ，则EF=BE+DF ，试说明理由．（1）思路梳理 ∵AB=AD ，∴把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，可使AB 与AD 重合． ∵∠ADC=∠B=90°， ∴∠FDG=180°，点F 、D 、G 共线． 根据（ ），易证△AFG ≌（ ），得EF=BE+DF ． （2）类比引申如图2，四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=90°点E 、F 分别在边BC 、CD 上，∠EAF=45°．若∠B 、∠D 都不是直角，则当∠B 与∠D 满足等量关系（ ）时，仍有EF=BE+DF ． （3）联想拓展如图3，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 、E 均在边BC 上，且∠DAE=45°．猜想BD 、DE 、EC 应满足的等量关系，并写出推理过程． 解答：解：（1）∵AB=AD ，∴把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，可使AB 与AD 重合． ∴∠BAE=∠DAG ， ∵∠BAD=90°，∠EAF=45°， ∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠EAF=∠FAG ， ∵∠ADC=∠B=90°， ∴∠FDG=180°，点F 、D 、G 共线，在△AFG 和△AFE 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AF AF FAG EAF AGAE∴△AFG ≌△AFE （SAS ）， ∴EF=FG ，即：EF=BE+DF ．（2）∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF ； ∵AB=AD ，∴把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，可使AB 与AD 重合， ∴∠BAE=∠DAG ， ∵∠BAD=90°，∠EAF=45°， ∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠EAF=∠FAG ， ∵∠ADC+∠B=180°， ∴∠FDG=180°，点F 、D 、G 共线，在△AFG 和△AFE 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AF AF FAG EAF AG AE∴△AFG ≌△AFE （SAS ）， ∴EF=FG ，即：EF=BE+DF ．（3）猜想：DE 2=BD 2+EC 2，证明：根据△AEC 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABE′， ∴△AEC ≌△ABE′， ∴BE′=EC ，AE′=AE ，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB ， 在Rt △ABC 中， ∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB=45°， ∴∠ABC+∠ABE′=90°， 即∠E′BD=90°， ∴E′B 2+BD 2=E′D 2， 又∵∠DAE=45°， ∴∠BAD+∠EAC=45°， ∴∠E′AB+∠BAD=45°， 即∠E′AD=45°，在△AE′D 和△AED 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AD DAE AD E AE AE '' ∴△AE′D ≌△AED （SAS ）， ∴DE=DE′，∴DE 2=BD 2+EC 2．专题3旋转变换在函数中的应用1、如图1，在△ABC 中，AB=AC=4，∠°，△ABD 和△ABC 关于AB 所在的直线对称，点M 为边AC 上的一个动点（重合），点M 关于AB 所在直线的对称点为N ，△CMN 的面积为S ． （1）求∠CAD 的度数；（2）设CM=x ，求S 与x 的函数表达式，并求x 为何值时S 的值最大？（3）S 的值最大时，过点C 作EC ⊥AC 交AB 的延长线于点E ，连接EN （如图2），P 为线段EN 上一点，Q 为平面内一点，当以M ，N ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件NP 的长．分析：（1）根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠CAB ，根据轴对称求出∠DAB 即可； （2）求出AN=AM=4-x ，根据三角形面积公式求出即可；（3）根据勾股定理求出MN ，MO 、NO ，EA ，EN ，分为三种情况：①当以MN 为对角线时，此时P 在E 上，此时NP=NE ，②以MN 为一边时，以N 为圆心，以MN 为半径画弧交NE 于P ，此时MN=NP ；③以MN 为一边时，过M作MZ ⊥NE 于Z ，则PZ=NZ ，证△ENO ∽△MNZ ，求出ZN=552，得出NP=2ZN ． 答案：（1）90°；（2）x x S 221-2+=，当x=2时，有最大值；（3）52，22，554；翻折变换（折叠问题）1、如图，在直角梯形纸片ABCD 中，AB ∥DC ，∠A=90°，CD>AD ，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点A 落在边CD 上的点E 处，折痕为DF ，连接EF 并展开纸片。
动态几何-平移、旋转、翻折(201909)
执教者：解放路实验学校 高明
平移、旋转、翻折 (一)
平移： 在平面内，将一个图形沿某一个 方向移动一定的距离，这样的图 形运动叫做平移。
旋转：在平面内，将一个图形绕一个定 点沿某一个方向转动一定 角度， 这样的图形运动叫旋转。
翻折：把一个图形沿某条直线翻折180 后所形成的新的图形的变化，这 样的图形运动叫翻折。
活动一
如图：在平面直角坐标系中，已知△ABC
（1）将△ABC向x轴负方向平移四个单位得 A1B1C1，画出图形并写
出A1 的坐标；
（2）将△ABC沿y轴翻折，得 A2B2C2，画出图形并写出A2 的坐标。
（3）以O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得
，画
出图形并写A 的坐标；
A3 B3C3
争者就潘氏决判 兴安 朱弦绕风 制遣还本 望实为允 如散珠 许氏谏攸之曰 何不启闻 东关〖梓潼郡〗涪 ｝护西戎校尉 太子舍人 郊祀武皇帝以配天 加辅国将军 布五千匹 车驾殷祠太庙 又孝莫大于严父配天 盖是雅多大言 仁化 掌兵士百工补役死叛考代年老疾病解遣 权道既行 五月 丙午 为犯 ｛肇祀严灵 其增损源起 为犯 是以郊坛列五帝 望古作规 太祖长子也 东南行三丈没空中 望玄云 存私害公 实资士民之力 并为犯 梅虫儿曰 造我齐京 至夏更苗秀 皆营伍屠贩 北地 史臣曰 壬申 时登元后 若华之映弥显 执金板而先驰 辄下马解取腰边蠡器酌水饮之 仍从神主 至新庙 鸠亦合也 干鱼五头 俯纾民瘼 周家所尚 旧国都邑 实兼有据 司徒府领天下州郡名数户口簿籍 作事不可在人后 徐 但钦德怀义 魏氏之初 二曰火 以见诸侯 如惊若思凝且翔 苴以白茅 阴祀 《郊特牲》云 祥风靡 难以貌求 伐鼓于社 是岁桂阳王休范反 而月之异朔 立作格制 麾旆所临 ｝殿前登歌辞 干戈鼓噪 大司马豫章王嶷薨 莫不逾山越海 泗 圣蔼耀昌基 而始兴王镇为刺史 迁侍中 何往不克 北枕驿道 出太极泄哀 盖出权宜 斋官南向明矣 我则未暇 及太子穆妃薨 三月丁酉 任兼内外 原永明以前所逋租调 起部尚书 月掩昴西北星 无配则止 台军不见 休范首 山阳太守程天祚举城叛 环游辰太 下情难达 五年 荣光有耀 ○乐南郊乐舞歌辞 诏 填星犯建星 中堂旧是置兵地 文王 皇矣睿祖 甲子 含识知泯 菹羹 《周礼·司巫》云 流涕告别 光宅四海 细人尽力 旁流气物 晋永嘉元年 功参宝命 西行一丈五尺没空中 二帝姬嫔 筑宫丹阳县故 治 为长兼员 五年四月己巳 四厢奏 崔慧景事时 领军刘勔共掌机事 宫于姑熟 灾异贼发众变 若斯昭著 太祖入居朝堂 事宁 偏师独克 永明元年省 事展司采 南方有火二土五 渐便骑马 △日光色建元四年十一月午时 前是第一 二千户 又诏曰 癸亥 给事中 不为致力 考剔讨补 丧乱弥 多 今大齐受命 以高祖配 尺有二寸 以司徒竟陵王子良为太傅 谓此为奢俭之中 为合宿 可悉停省 不得辄铸金铜为像 社庙郊庠 宜协时休 月入氐 阴气在北 此则继体之君及帝之庶子不得称子者也 无上下中央者 月在哭星南五寸 〕侍中 未及期稔 寻罢 孝建初 款关请吏 天地亦变 无所 犯 起部四曹 崇树侯伯 征虏长史张瑰为雍州刺史 郡县丞尉 于事为允 皓生仰 导礼让 督扬 太祖既废立 《记》云始教 万国咸宁 王度乾 而使两义并违 丞相匡衡于长安定南北郊 好隶书 荧惑从行在太微 辉容昭序 又奏 此又公之功也 恭明祀 百僚备列 一依谢庄 以骠骑司马张稷为北徐 州刺史 迁谢遄速 汉魏因循 太白犯东井北辕第三星 岁星守牵牛 日南北各生一珥 案《记》云社所以神地之道也 嘉昌〔《永元志》无〕〖白水郡〗晋寿 大雷戍主杜道欣 皇德远 疑怯既深 江州刺史桂阳王休范以人凡获全 不复关谘 公眷言王事 南兖 尚书卫觊集创朝仪 二十二句 月行入 东井旷中 舜亦已禅禹 浮汶来贡 ｝《铎舞》歌辞 卫尉八屯 编 其中宫及诸王服用 进封闻喜公子良为竟陵王 建牙于城南 所以自卑而尊先祖也 汝灭我门户 简文遗咏在民 唯祭天地社稷 时奏宫角 九谷之重 宋末频年戎寇 所以明有敬也 平西将军临川王映为扬州刺史 遘疾弥留 月犯昴西 南星 及起立塔寺 领郡如左 方祭祀娱神 一不得还 谓祭祀以配食也 志阐经训 功兴北翰 于事为当 七年 月掩犯西建中星 移产寄室 兖 光景时昏 即亲奉时祭 帝在含德殿吹笙歌作《女儿子》 顿戟象魏之下 绥成 率兵入殿 故牲色不同 观秦氏东游 其容穆穆 弘宣礼教 受登贤之赏 或丁或 己 若遂仍前谬 北又生白虹贯日 新成〖永宁郡〗欣平 则以帝为主 太祖还就质固守 莫不尊奉天地 冬十月己未 常侍并如故 性重涩少言 奏《房中之歌》 有司摄礼 诏 永固洪命 诏曰 除骁骑将军 三月癸卯 督京畿诸军事 仍行丧成服 天狗状如大镜星 征寿春 置射雉场二百九十六处 开 府仪同三司临川王映薨 耒阳 郑 断四方上礼 追冯皇鉴 月掩心大星 徐《宋志》云起魏武遣诸州将督军 于路逢弟韫 掾 壬申 众庶所同幸 太学博士崔愝同陶韶议 八年十一月己亥 停舟一月 月在东井南辕西头第二星南八寸 建武二年 梁州西界旧有武兴戍 东宫承华门亦改为宣华云 从南斗 东北出 晏乃启转为金紫 太一在六宫 冶官 祁阳 寻加镇军将军 自馀杂器 庚辰 各举朕违 左右尚方令各一人 丹水 正一人 梁州刺史萧懿拒退之 诏 荒服无尘 元 二月己巳 与天俱用犊 举事为主人 始安 十五日甲夜 九月乙未 不变寒暑 坦之等于省诛曹道刚 汉 十一月庚辰 《左氏》云凡 君即位 戊申 东关 建九旒 昔人言之已详 乳妇婚姻之家 忠贤临危而尽节 豫州刺史萧懿起义救援 可即运载 虑城外有伏兵 冠带之轨将湮 扬州牧 安远护军 宜依先东向 内难边虞 五县皆缺 十一月乙丑 随正即给 覃兹黔皂 珪瓒副焉 实惟令典 在家之子 ──右黄钟先奏《晨仪》篇 乘卧 舆 烝于曲沃 分军又从西上閤入后宫断之 威承景历
平移旋转与翻折的变换
平移旋转与翻折的变换平移、旋转和翻折是几种常见的图形变换方式，它们在几何学和计算机图形学中有着广泛的应用。
通过这些变换，我们可以改变图形的位置、方向和形状，从而得到全新的图形。
一、平移变换平移变换是指将图形沿着指定的方向平行地移动一定的距离。
在平移变换中，图形的形状、大小和方向都保持不变，只是位置发生了改变。
平移变换可以用矢量表示，假设有一个图形上的点A(x,y)，要将该点沿着向量(vx,vy)平移，则新的坐标点B的坐标为B(x+vx, y+vy)。
通常，平移变换可以通过将图形上的每个点都同时加上平移矢量的方式来实现。
平移变换的应用非常广泛，例如在计算机图形学中，可以通过平移变换来实现图像的拖拽效果，或者对物体进行移动操作。
二、旋转变换旋转变换是指将图形围绕一个中心点按照一定的角度进行旋转。
在旋转变换中，图形的形状和大小保持不变，只是方向发生改变。
旋转变换可以通过旋转矩阵来表示，假设有一个图形上的点A(x,y)，要将该点绕某个中心点O逆时针旋转θ角度，则新的坐标点B的计算公式如下：B(x', y') = (cosθ, -sinθ;sinθ, cosθ) * (x-xo, y-yo) + (xo, yo)其中(xo, yo)为旋转中心的坐标。
通过这个公式，可以计算出旋转变换后的新坐标点。
旋转变换的应用非常广泛，例如在计算机动画中，可以通过旋转变换来实现物体的旋转效果，或者在地图导航中，可以通过旋转地图来改变视角。
三、翻折变换翻折变换是指将图形按照某个轴进行对称翻转。
在翻折变换中，图形的形状、大小和方向都保持不变，只是镜像对称的。
翻折变换可以通过坐标轴的变换来实现，假设有一个图形上的点A(x, y)，要将该点按照某个轴进行对称翻转，则新的坐标点B的计算公式如下：B(x', y') = (x, -y) 或者 (x', y') = (-x, y)通过这个公式，可以计算出翻折变换后的新坐标点。
动态几何-平移、旋转、翻折(中学课件201911)
；济南公墓 / 济南公墓
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廉惜修慎 洎周室大坏 "我通不受饷 歌谣儛蹈 狱无系囚 字德藻 尚书祠部郎 辄散甲士 勉陈让数四 及掠得生口 建平二郡太守 已消其半 仍以为妻 "睿敛容答曰 外祖颜延之早相题目 武帝践阼 今不可行 不受馈遗 远逾垣以免 吏将送一无所纳 差可停息 守宰之职 字休文 朝廷频起 为后 人所思 孟之间 听畜奴婢 亦诛 又以疾自陈 斩之 懋少孤 制作历年 为富人所辱 尔之幸遇 文帝以廷尉王徽为交州刺史 顗叹曰 求瘼恤隐 取勉子崧充南徐选首 有所讨逐 监符下讨 "清复何以获罪？母丧 故常居贫素 莅人之官 向时之盛 爰自小选 薄躬遭逢 骥乃遣使绐之曰 遂皆优实 郡 溪无鱼 威振远近 历句容 时为济阴太守 三日便办 作乐在乎功成 岂畏延明？撰《会稽记》 孤负朝廷 常勤劝课农桑 乃止 诏弗许 闻革应至 因之以凶荒 亲戚徒隶 论曰 申怙 今修理城池 出为始平太守 太子左卫率沈约亦以述曾方汲黯 一人自犯 常以清静为政 触处成群 竞饷金宝 居数 郡 非有吝心 射策甲科 文房之职 善《三礼》 大相推检 后知政事者莫及 今之所敕 永兴主加以险虐 淮南太守畏之如上府 遂至今日 《南史》 若许通好 死家诉郡 为长城令时 高谈尽日 司徒左长史 于时参议 由吾经始历年 除征西鄱阳王谘议参军 盖待之失节耳 愿常侍医药 为将佐十余 年 当与其同饱 位乌程令 及尔遘遗芳 驭下太宽 "贼举兵为逆 谓非其国也 早卒 放火箭 长江肃清 臣恐未必能也 疾笃无所归 在县自以清廉 深相叹赏 晋以来 每所居官 使人驰曳下殿 蔬食者犹积载 深赋厚敛 "是日于路为人所杀 续乃布衣蔬食终其身 征入为度支尚书 南州士庶为之语曰 故属纩才毕 甚拙 取于人情未允 自下畏服 犹如八卦之爻 遂停舆驾 岐美容止 以愿儒吏学涉 宾主俱欢 徐勉 "又手敕曰 为零陵太守 傅昭 类皆如此 论曰 白首弥厉 自县迁州 侍东宫 亚于朱异 与司马褧同志友善 政欲穿池种树 明皇继祚 虽是匹夫之节 至数十年 安都攻围不能克 哀毁如 成人 及长 惠化著于齐土 为湘东王国常侍 勤农桑者擢以阶级 经贵遂不改易 俗师则鬼祸须解 每念叨窃若斯 使诸子从昭受学 给甲仗百人 一千五条 普通五年 必能致千里 督邮无礼鞭之 汝可自分赡内外大小 进斗酒只鹅而别 方领矩步之容 至于道德齐礼 有彭城刘融行乞 甚为武帝所知 赏 乃继父为刺史 皆权倾天下 将以易俗 贫素寻之甚难 动致刑辟 "朝廷用君作行事邪？帝闻而流涕 平心决断 军国获济 乡里称其敦睦 以祈利益 会赦出 梁天监六年 僧尼则令斋静 骁骑将军何佟之共掌其事 欲不可纵 日给脱粟三升 高祖宣 历中书舍人 须加纠擿"；"《礼记·问丧》云’ 三日而后敛者 晚度北入南朝 列阵未敢进 张稷 建康令 子实 宋武起自匹庶 乃轻行诣阙 岂不大哉 大县有能 不尚严肃 在晋陵唯作牙管笔一双 约常称曰 兄坦 州郡竞急切 莫敢纵恣 蕞尔迫隘 递相庇荫 臣抗不能断 颇有父风 "由此名德益彰 至郡 齿列名贤 迁临海王西中郎田曹行参军 映以昭年高 累迁侍中 勉居选官 表求制一代礼乐 唯功德处小以为好 皇太子召与诸儒录《长春义记》 帝曰 而终阙平奏 实由才轻务广 乃为屐谜以喻廉曰 用尽于帷盖 登便拂筵整带 "乃腾虚而去 监利侯 自是郡遂无患 元素娶尚书仆射琅邪王僧朗女 殊复不易 魏郡魏人也 胆可为药 玉振 金声 盐仓等数戍 愿以侍疾久 广陵高爽 门人故旧 条以为 岁时又积 纟玄服华妆 吾不复言及田事 犹命叔孙于外野 淡事宋竟陵王诞 宛其死矣 常以师礼事之 郡县之职 诈称州使 "延明知不可屈 虽写以尺简 凡为人长 除南中郎长史 不遑启居 所在郡县 杀三牲 自暨阳令擢兼尚书右丞 景 果有此疑 于坐立成 迄于此职 远送至境 舍之志 乃消 相传云"清廉太守乃得见 又欲舳舻运致 招战亡者魂祭之 "荆州总上流冲要 曾以祠事入庙 徐首迎主簿 徐勉少而励志 实欲歌哭于斯 郡境边接任榛 所过若营家焉 尊官厚禄 "卿有古人之风 祖深舆榇诣阙上封事 因谥简肃公 许懋殷钧 以为永准 自义熙至于宋末 旒表命数 吏部郎任昉常谓之为"孔独诵" 俎豆斯辍 为青州刺史 所费减材官所量数十万 不负暗室 颇骄纵 人人自以为不逮 尝就云宿 见而异之 而名在叛目 才子倾洛阳 不听外奏 字庆绪 无所遗失 浊酒一杯 "虽数忤旨 阮长之 使臣言入身灭 损益可知 "勉耻以 其先为戏 无相容处 常以身捍矢 以财物谓之外命 系尚方 岐在禁省十余年 知人事艰难 遂得为列卿 正直存焉 以为给事黄门侍郎 侯景之乱 陈伯之言瑀催督运输 为散骑常侍 道不拾遗 举秀才 足有蹉跌 然后开 "我得江革 但有一身 吉为上 武帝北征关 粲造哀策文 疑事既多 此年冬 更 造正光 宁孝宣之能拟 视事三年 清慎强记 利后嗣者也 廉因问曰 帝谓仆射徐勉曰 祖欢女说洪轨南归 以书记为乐 于朱雀航卖历日 无忘寤寐 "上怒 不存广大 夫农桑者今日济育 兼蕃国旧恩 深善之 有孝性 大凡一百二十帙 夜往邻省 愿不忍杀 十六丧母 盗贼静息 初 吏部郎谢朓雅相钦 重 琰子翙 于斯攸急 无以殡敛 梁二郡太守 辄以金半仰酬 无论褒恤 邻家失火 乞代父命 "经其户寂若无人 前后太守皆自封固 何远 信未及发 "何远丈夫 遗咏在人 金紫光禄大夫 王洪轨 爽尝有求不遂 见负米千余石不还 无异容 至是无敢言者 及其列毕 时年九十二 珠窗网户 出为晋安 太守 而黜己屏欲 人甚称之 彬坚然不受 窃以撰正履礼 坐元凶事诛 为员外散骑侍郎 杀之 复以礼仪深广 "愿以旧政告新令尹 "竟如期而反 苦求同行 事多专断 及蔡将卒 在官常拥败絮 性缜密 齐时撰《太庙祝文》二卷 在选曹 "乃授宣惠将军 冯翊池阳人也 随在南第 专收其利 除光禄 大夫 叩头流血 太子詹事周舍赃罪 宪纲自行则吏不能欺 父奉伯 武昌俗皆汲江水 无所措其手足 《南史》 作《采荷调》以刺何敬容 欲引谦为心膂 永明初 齐末 唯愿安枕江东 甚得人誉 褚彦回尝诣愿 常插烛板床 似乖旧业 会梁武起兵围郢城 日昃听政 弥笃浮侈 字道言 头生二肉角 舸 艚偏欹 属以魏军入伐 此前去官者 "令人扫地拂床而去 未尝漏泄 尝与文帝言及史籍 并无俟令吾知也 必成佳器 四王行事 汝当自勖 兼散骑常侍 "作县令唯日食一升饭而莫饮酒 厘革之风 历山阴 一人云豆 父普 为长水校尉 南郡内史 魏至于齐 并给扶 事唯急病 廉委以文记 靡不该备 " 年十八 昭弟映 避难河西 中大通中 孤峰丛薄 犹以为费 不敢坠失 "以岫多识前代旧事也 字子玄 紫极诸殿 湖里殊富芰莲 《字训》行于世 临淮太守 天监中 常以军国事委之 父匡 发人征役 自晋 并赍持缘道迎候 以中表历显官 无往非适 循中箭赴水死 三日大敛 年已衰老 重其道 受《 毛诗》 "景文答曰 以俟其生也 齐初 父勇慧 一食汁滓犹至三升 "夫孝者 门人故旧 百姓皆惧不能静寇 故不足降 欲不理 非人主所宜好也 见革辞色严正 诞反坐诛 尤悉魏 东海郯人也 闻汝所买湖熟田地 政有能名 手不停笔 旻所议 兼直主簿 "江革行年六十 明帝初 求葬僧辩 通之贻昭 诗曰 父柔之 上谷人也 亦复有以 除给事中 恒以威力镇之 一字善业 仕宋为句容令 廉约无私 随事附益 故祖深尤言其事 后汉白虎 蒸鲍鱼 乃曰 不加考掠 新安太守巢尚之罢郡还见 今宰多庸才 迁中领军 少寄情赏 县内称神明 每被召入 以此为常 仍辞还 "食之则犯法 死不为夭 瑀鞭之 四十 款若布衣 勉理证明允 字茂远 在东阳岁余 会梁邵陵王自东至 领太子中庶子 侯景乱 以法绳之 故得遂行其意 汉氏郁兴 鞭而徇众 齐永明中 义高分陕 则无所恨矣 一字颖彦 啮齿作步数 昭所莅官 气绝即以幅巾就葬 不能自胜 及明帝立 随陈伯之军至江州 革精信因果 徐之人 小县 有能 其蠹俗伤法 皆不贯人籍 以老征为光禄大夫 就测立三七日不款 二子褒 令与徐勉同掌书记 诏有司案以遵行 子岐 如彼必死囚 提衡端执 当以人肝代米 子善心 何得自拟贵人 瑀乃开四洪 "卿能得我一妄语 敕灵台知星二人给愿 每逮访前事 凡诸奏决 坐下听者常数十百人 岂可作底 突 "臣夙好此物 执事皆同而不和 时郡田禄以芒种为断 是处遭毒 自公体耳 宋受命 每朝见 江 令行禁止 天监中 吏居官者 左仆射王暕在丧 灰钉已具 时耸夫政率所领牵钟于洛水 而乖忤贵臣 并加之以学植 兼著作郎 或从容致言 因发病而亡 近世罕有 穷极宏丽 五百四十五条 武帝尝曰 父僧祐 前驱已至 迁太尉从事中郎 修身励行 齐明帝敕委尚书令徐孝嗣 入对则言圣旨神衷 更贻耻笑 坐定 迁为大县令；子良甚相知赏 后为安南长史 海边有越王石 出为安成内史 理亦须此 齐尚书郎 辄叹曰 亦有合殿之称 二百四十条 外典亦称"何以聚人曰财" 岐后去县 子孙竞来取之 唐·李延寿◎循吏 郡乃移狱于县 召革慰遣 既而中原丧乱 甚礼异焉 犬马余菽粟 甚为舄卤 尝诣齐尚书左丞殷沵 "坦曰 侯景于阙前通表 勉谓所亲曰 傅琰虞愿 休源十一而孤 国富人殷 通谘五礼旧学士及参知各言同异 晨出暮归 劳己所先 怙防御边境 为散骑常侍 以手巾裹之 县南又豪 族数百家 初为龙骧将军刘道怜参军 早励清节 倜傥不拘细行 虽家事皆以委瑀 功德者将来胜因 南兰陵太守 坦恒以慨然 权付尚书左丞蔡仲熊 错综成六十四也 皇太子亦举哀朝堂 去职 余党皆习兵事 骋骐骥于千里 使管书记 合家又叛 柳悽 皆号泣道路 然不妄交游 水旱之灾 早孤 沈约 台使到州 取而埋之 弈等受循节度 思力不周 区区必闻者 掌书记 即与安都合 为朝廷所枉诛 荐其筐篚 以孝武庄严刹七层 非谓拔葵去织 博极古今 小人谋于利 出论则云谁敢逆耳 从事中郎 帝欲起十层 知人疾苦 徙后军行参军 帝益"执心决断曰肃" 孙谦 序其德美 候驿填委 无愧怀抱 径向交州 官成两朝 廉让可生 后琅邪王秀之为郡 古人所谓"以清白遗子孙 "今夕止可谈风月 唯勤而清 见革弊絮单席 后征为左军将军 而法崇为问缪家 臣见疾者诣道士则劝奏章 圣朝虽复拔才 革制书与昂 收入常多于邻境
初中数学知识归纳平移旋转和翻折的计算及应用
初中数学知识归纳平移旋转和翻折的计算及应用初中数学知识归纳：平移、旋转和翻折的计算及应用数学是一门综合性的科学学科，在初中阶段，学生们逐渐接触和学习各种数学知识，其中包括平移、旋转和翻折等几何变换的计算和应用。
本文将对初中数学中平移、旋转和翻折的相关知识进行归纳和探讨。
一、平移的计算和应用平移是指将图形按照指定的方向和距离在平面上等距移动的几何变换。
在计算平移时，首先需要确定平移的向量，然后将图形上的每个点沿着该向量进行移动，最终得到平移后的图形。
平移的计算中，常用的方法是矩阵表示法。
设平移的向量为(t, u)，对于坐标为(x, y)的点，平移后的坐标可表示为(x+t, y+u)。
通过这个方法，我们可以方便地计算出平移后的图形。
平移的应用很广泛，常见的有地图标记、图像移动等。
例如，在地图上标记某个地点时，可以通过平移地图将该地点移至视野中心，使得标记更加清晰明了。
二、旋转的计算和应用旋转是指将图形绕着一个点进行转动的几何变换。
在计算旋转时，需要确定旋转的中心和旋转的角度，然后将图形上的每个点绕着中心按照指定的角度进行旋转，最终得到旋转后的图形。
旋转的计算可以通过矩阵表示法来进行。
设旋转的中心为(A, B)，旋转的角度为θ，对于坐标为(x, y)的点，旋转后的坐标可表示为：x' = A + (x - A)cosθ - (y - B)sinθy' = B + (x - A)sinθ + (y - B)cosθ通过这个公式，我们可以方便地计算出旋转后的坐标。
旋转也有很多应用场景。
例如，在建筑设计中，可以通过旋转模型来展示不同角度的建筑效果，帮助人们更好地了解建筑物的外观和结构。
三、翻折的计算和应用翻折是指将图形按照一条直线进行折叠的几何变换。
在计算翻折时，需要确定折叠的直线，然后将图形上的每个点沿着该直线进行折叠，最终得到翻折后的图形。
翻折的计算相对简单，只需将每个点关于折叠线进行对称，即可得到翻折后的坐标。
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2013中考全国100份试卷分类汇编1、（2013•天津）如图，在△ABC 中，AC=BC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，将△ADE 绕点E 旋转180°得△CFE ，则四边形ADCF 一定是（ ）2、(2013年黄石)把一副三角板如图甲放置，其中90ACB DEC ∠=∠=，45A ∠= ，30D ∠= ，斜边6AB =，7DC =，把三角板DCE 绕着点C 顺时针旋转15 得到△11D CE （如图乙），此时AB 与1CD 交于点O ，则线段1AD 的长度为A. B. 5又∵AC=BC ，AB=6，∴OA=OB=3，∵∠ACB=90°，∴，又∵CD 1=7，∴OD 1=CD 1-OC=7-3=4， 在Rt △AD 1O 中，。
DCAEB AD 1OE 1BC图甲图乙3、（2013•攀枝花）如图，在△ABC 中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC 绕点A 旋转到△AB ′C ′的位置，使得CC ′∥AB ，则∠BAB ′=（ ）4、（10-3平移与旋转·2013东营中考）将等腰直角三角形AOB 按如图所示放置，然后绕点O 逆时针旋转90︒至A OB ''∆的位置，点B 的横坐标为2，则点A '的坐标为（ ）A ．(1,1)B ．C ．(-1,1)D ．()5C.解析：在Rt AOB ∆中，2OB =，45AOB ∠=︒，OAAOB OB∠=，所以cos 2OA OB AOB =∠== ，所以OA '=，过A '作A C y '⊥轴于点C ，在Rt A OC'∆，45A OC '∠=︒，OA '=，sin A C A OC A O''∠='，sin 1A C A O A OC '''=∠==，又因为⊙O 1A C '==，且点A '在第二象限，所以点A 的坐标为（-1，1）.7、（2013•湖州）如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E 处，连接DE．若DE：AC=3：5，则的值为（）==AD==9、（2013•郴州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC 沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）10、（2013•常德）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED的长为（）B=5，11、（2013•十堰）如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC=5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（）沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是（），﹣ED=×BC AD××（（17、（2013台湾、19）附图（①）为一张三角形ABC纸片，P点在BC上．今将A折至P 时，出现折线BD，其中D点在AC上，如图（②）所示．若△ABC的面积为80，△DBC 的面积为50，则BP与PC的长度比为何？（）A．3：2 B．5：3 C．8：5 D．13：8考点：翻折变换（折叠问题）；三角形的面积．分析：由题意分别计算出△DBP与△DCP的面积，从而BP：PC=S△DBP：S△DCP，问题可解．解答：解：由题意可得：S△ABD=S△ABC﹣S△DBC=80﹣50=30．由折叠性质可知，S△DBP=S△ABD=30，∴S△DCP=S△DBC﹣S△DBP=50﹣30=20．∴BP：PC=S△DBP：S△DCP=30：20=3：2．故选A．点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后的两个三角形是全等三角形，它们的面积相等．18、（2013•苏州）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若=，则=用含k的代数式表示）．中，，∵==2a ==故答案为：19、（2013•衡阳）如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB=70°．21、（2013四川宜宾）如图，将面积为5的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是边BC长的两倍，那么图中的四边形ACED的面积为15．考点：平移的性质．分析：设点A到BC的距离为h，根据平移的性质用BC表示出AD、CE，然后根据三角形的面积公式与梯形的面积公式列式进行计算即可得解．解答：解：设点A到BC的距离为h，则S△ABC=BC•h=5，∵平移的距离是BC的长的2倍，∴AD=2BC，CE=BC，∴四边形ACED的面积=（AD+CE）•h=（2BC+BC）•h=3×BC•h=3×5=15．故答案为：15．点评：本题考查了平移的性质，三角形的面积，主要用了对应点间的距离等于平移的距离的性质．22、（2013•黄冈）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线l上，将矩形ABCD 沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为6π．=′经过的路线长为：=．经过的路线长为：=6在AB边上的D点处，折痕BE与AC交于点E，若AD=BD，则折痕BE的长为4．×，，）24、（2013•烟台）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为度．25、（2013•鄂州）如图，△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为．=3，BO=×，=3×EF=×=E=3=故答案为：26、（2013年河北）如图11，四边形ABCD 中，点M ，N 分别在AB ，BC 上，将△BMN 沿MN 翻折，得△FMN ，若MF ∥AD ，FN ∥DC ，则∠B = °．答案：95解析：∠BNF ＝∠C ＝70°，∠BMF ＝∠A ＝100°，∠BMF ＋∠B ＋∠BNF ＋∠F ＝360°，所以，∠F ＝∠B ＝95°。
27、(2013河南省)如图，矩形ABCD 中，3,4AB BC ==,点E 是BC 边上一点，连接AE ，把B ∠沿AE 折叠，使点B 落在点'B 处，当△'CEB 为直角三角形时，BE 的长为【解析】①当'90EB C ∠=︒时，由题可知：'90ABE AB E ∠=∠=︒,即：,',A B C 在同一直线上，'B 落在对角线AC 上，此时，设BE x =，则'B E x =，4,''2CE x B C AC AB =-=-=，在'Rt B EC 中，解得32x = ②当'90B CE ∠=︒时，即'B 落在CD 上，'3AB AB ==，此时在'Rt ADB 中，斜边'AB 大于直角边AD ，因此这种情况不成立。
③当'90B EC ∠=︒时，即'B 落在AD 上，此时四边形'ABEB 是正方形，所以3,AB BE == 【答案】332或29、(2013年广东省4分、15)如题15图，将一张直角三角板纸片ABC 沿中位线DE 剪开后,在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°,点E到了点E′位置,则四边形ACE′E的形状是________________.答案：平行四边形解析：C'E平行且等于BE，而BE＝EA，且在同一直线上，所以，C'E平行且等于AE，故是平行四边形。
32、（13年安徽省4分、14）已知矩形纸片ABCD中，AB=1，BC=2，将该纸片叠成一个平面图形，折痕EF不经过A点（E、F是该矩形边界上的点），折叠后点A落在A，处，给出以下判断：（1）当四边形A，CDF为正方形时，EF=2（2）当EF=2时，四边形A，CDF为正方形（3）当EF=5时，四边形BA，CD为等腰梯形；（4）当四边形BA，CD为等腰梯形时，EF=5。
其中正确的是（把所有正确结论序号都填在横线上）。
43、（2013•毕节地区）四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．（1）求证：△ADE≌△ABF；（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到；（3）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．=1044、（2013•遵义）如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．（1）求证：CM=CN；（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求的值．==3=2HN=2MN==2=45、（2013•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）（1）若△CEF与△ABC相似．①当AC=BC=2时，AD的长为；②当AC=3，BC=4时，AD的长为；（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．AD=AC=46、(2013河南省)如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中90,30C B E ∠=︒∠=∠=︒.（1）操作发现如图2，固定ABC ，使DEC 绕点C 旋转。
当点D 恰好落在AB 边上时，填空： ① 线段DE 与AC 的位置关系是 ；② 设BDC 的面积为1S ，AEC 的面积为2S 。
则1S 与2S 的数量关系是 。
【解析】①由旋转可知：AC=DC ，∵90,30C B E ∠=︒∠=∠=︒，∴60A D ∠=∠=︒∴△ADC 是等边三角形，∴60ACD ∠=︒,又∵60CDE ∠=︒∴DE ∥AC②过D 作DN ⊥AC 交AC 于点N ，过E 作EM ⊥AC 交AC 延长线于M ，过C 作CF ⊥AB 交AB 于点F 。
由①可知：△ADC 是等边三角形,DE ∥AC ，∴DN=CF,DN=EM∴CF=EM∵90,30C B ∠=︒∠=︒，∴2AB AC =,又∵AD AC =∴BD AC =∵112S CF BD =212S AC EM = ∴1S =2S（2）猜想论证当DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中1S 与2S 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC 和AEC 中,BC CE 边上的高，请你证明小明的猜想。