正弦定理经典题型总结
正余弦定理知识点及题型归纳
正余弦定理是三角学中的重要知识点，用于解决与三角形相关的问题。
下面是对正余弦定理的知识点及题型归纳：一、正弦定理1. 定义：在任意三角形ABC中，设角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，那么有sinA/a = sinB/b = sinC/c。
2. 性质：-等式两边同时乘以任意非零常数，等式仍然成立；-等式两边同时除以相同的角，等式仍然成立；-等式两边同时取反函数，等式仍然成立。
3. 应用：-已知三个角的度数，求边长；-已知两个边的长度，求第三个边的长度；-已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数；-已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数。
二、余弦定理1. 定义：在任意三角形ABC中，设角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，那么有cosA = (b ²+ c²- a²) / (2bc)。
2. 性质：-等式两边同时乘以任意非零常数，等式仍然成立；-等式两边同时除以相同的角，等式仍然成立；-等式两边同时取反函数，等式仍然成立。
3. 应用：-已知三个角的度数，求边长；-已知两个边的长度，求第三个边的长度；-已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数；-已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数。
三、题型归纳1. 已知三个角的度数，求边长：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度代入公式中，求解边长；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
2. 已知两个边的长度，求第三个边的长度：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的两个边的长度代入公式中，求解第三个边的长度；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
3. 已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度和边的长度代入公式中，求解另外两个角的度数；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
4. 已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度和两条边的长度代入公式中，求解第三个角的度数；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
题型06 正弦定理(解析版)
秒杀高考数学题型之正弦定理在解三角形中的应用【秒杀题型一】：正弦定理解三角形应用一之已知两角与任意一条边。
『秒杀策略』：2sin sin sin a b cR A B C===(外接圆直径)，利用三角形内角和：A B C π++=，求出第三 角，再利用正弦定理可求出另两边。
1.(2016年新课标全国卷II13)ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若135cos ,54cos ==C A , 1=a ，则b = 。
【解析】：6563sin cos cos sin )sin(sin =+=+=C A C A C A B ，由正弦定理得1321=b 。
2.(高考题)设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且35cos ,cos ,513A B ==3b =，则c = 。
【解析】：由正弦定理得514。
3.(高考题)设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为a ,b ,c ，若a =21sin =B ，6π=C ，则b = 。
【解析】：由正弦定理得1。
4.(2015年新课标全国卷I16)在平面四边形ABCD 中，︒=∠=∠=∠75C B A ，2=BC ，则AB 的取值 范围是 。
【解析】：当A 与D 重合时最长为26+，当C 与D 重合时最短为26-。
【秒杀题型二】：正弦定理解三角形应用二之已知两边与其中一边所对的角。
『秒杀策略』：在这类题型中注意增根与丢根，因为求正弦时一定为正值，如为1，则只有一组解，如为()0,1时，利用大边对大角，小边对小角原理，如这条边是大边则有两组解(锐角与钝角均成立)，如这条边是小边，则只有一组解(只取锐角)，如正弦值大于1，则无解。
1.(2017年新课标全国卷I11)ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知 sin sin (sin cos )0B A C C +-=，2,2==c a ,则C = ( )A.π12B.π6C.π4D.π3【解析】：由)sin(sin C A B +=得π43=A ，由正弦定理得6π=C ，选B 。
考点28正弦定理、余弦定理(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习核心题型(新高考版
考点28正弦定理、余弦定理（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．【知识点】1．正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asin A＝ ＝ ＝2Ra 2＝ ；b 2＝ ；c 2＝变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝ ，c ＝；(2)sin A＝a2R ，sin B＝，sin C ＝；(3)a ∶b ∶c ＝____________cos A ＝ ；cos B ＝；cos C ＝2．三角形解的判断A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin A b sin A < a <b a ≥b a >b 解的个数一解两解一解一解3．三角形中常用的面积公式(1)S ＝12ah a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝ ＝ ＝ ；(3)S ＝ (r 为三角形的内切圆半径)．常用结论在△ABC 中，常有以下结论：(1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(3)a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B ，cos A <cos B .(4)sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C 2；cosA ＋B2＝sin C2.(5)三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .(6)三角形中的面积S p ＝12(a ＋b ＋c )).【核心题型】题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形(1)由y ＝sin ωx 的图象到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的变换：向左平移φω(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值【例题1】（2024·广东江门·二模）P 是ABC V 内一点，45,30ABP PBC PCB ACP Ð=°Ð=Ð=Ð=°，则tan BAP Ð=（ ）A ．23B ．25C ．13D ．12【变式1】（2024·河北沧州·模拟预测）记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3cos cos cos b B a C c A =+，且34b c =，则C =.【变式2】（2024·山东日照·二模）ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．分别以,,a b c 为边长的正三角形的面积依次为123,,S S S ，且123S S S --=．(1)求角A ；(2)若4BD CD =uuu r uuu r ，π6CAD Ð=，求sin ACB Ð．【变式3】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222sin sin sin 1cos cos C C B B A -=-.(1)求角A 的大小；(2)若ABC V 为锐角三角形，点F 为ABC V 的垂心，6AF =，求CF BF +的取值范围.题型二 正弦定理、余弦定理的简单应用命题点1 三角形的形状判断判断三角形形状的两种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．【例题2】（2024·陕西渭南·三模）已知ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若cos cos b C c B b +=，且cos a c B =，则ABC V 是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【变式1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin 2sin 2A B =，则ABC V 的形状为 .【变式2】（2024·安徽淮北·二模）记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22sin 2Ac b c -=(1)试判断ABC V 的形状；(2)若1c =，求ABC V 周长的最大值.【变式3】（2024·内蒙古·三模）在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且())cos cos a C c B A =-.(1)求ba的值；(2)若2B C =，证明：ABC V 为直角三角形.命题点2 三角形的面积三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．【例题3】（2024·云南昆明·三模）已知ABC V 中，3AB =，4BC =，AC =ABC V 的面积等于（ ）A ．3B C ．5D ．【变式1】（2024·安徽·三模）在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足a =sin 1cos ()(sin sin )sin 3sin ,sin cos C Ca c A Cb Bc A B B-++=+=，则ABC V 的面积是．【变式2】（2024·浙江绍兴·二模）在三角形ABC 中，内角,,A B C 对应边分别为,,a b c 且cos sin 2b C B a c =+.(1)求B Ð的大小；(2)如图所示，D 为ABC V 外一点，DCB B Ð=Ð，CD =1BC =，30CAD Ð=o ，求sin BCA Ð及ABC V 的面积.【变式3】（2024·全国·模拟预测）在ABC V 中，已知()sin sin sin sin sin A B CA B B+=-.(1)求证：sin 2sin A B =；(2)若D 为AB 的中点，且AB =CD =ABC V 的面积.命题点3 与平面几何有关的问题在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函数思想【例题4】（2024·山东聊城·二模）如图，在平面四边形ABCD 中，2,2120AB AD B D °==Ð=Ð=，记ABC V 与ACD V 的面积分别为12,S S ，则21S S -的值为（ ）A ．2BC ．1D【变式1】（22-23高三上·江苏扬州·期末）如图，在ABC V 中，1sin 3A =，AB =D 、E 分别在边BC 、AC 上，EC EB =，ED BC ^且1DE =.则cos C 值是 ；ABE V 的面积是.【变式2】（2024·广东梅州·二模）在ABC V 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，cos sin B b A -=，2c =，(1)求A 的大小：(2)点D 在BC 上，（Ⅰ）当AD AB ^，且1AD =时，求AC 的长；（Ⅱ）当2BD DC =，且1AD =时，求ABC V 的面积ABC S V ．【变式3】（23-24高三下·山东·开学考试）如图所示，圆O 的半径为2，直线AM 与圆O 相切于点,4A AM =，圆O 上的点P 从点A 处逆时针转动到最高点B 处，记(],0,πAOP q q Ð=Î.(1)当2π3q =时，求APM △的面积；(2)试确定q 的值，使得APM △的面积等于AOP V 的面积的2倍.【课后强化】【基础保分练】一、单选题1．（2024·河南新乡·二模）在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且7a =，3b =，5c =，则（ ）A ．ABC V 为锐角三角形B ．ABC V 为直角三角形C ．ABC V 为钝角三角形D ．ABC V 的形状无法确定2．（2024·三模）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，D 为AC 的中点，已知2c =，BD =cos cos 2cos a B b A c B +=-，则ABC V 的面积为（ ）A ．BCD 3．（23-24高三下·河南·阶段练习）记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知3a =，2239b c c =++，ABC Ð的平分线交边AC 于点D ，且2BD =，则b =（ ）A ．B ．C ．6D ．4．（2024·山东枣庄·模拟预测）在ABC V 中，1202ACB BC AC Ð=°=，，D 为ABC V 内一点，AD CD ^，120BDC Ð=°tan ACD Ð=（ ）A ．BCD 二、多选题5．（2024·江西·二模）已知ABC V 中，1,4,60,AB AC BAC AE ==Ð=°为BAC Ð的角平分线，交BC 于点,E D 为AC 中点，下列结论正确的是（ ）A ．BE =B ．AE =C ．ABE VD ．P 在ABD △的外接圆上，则12PB PD +6．（2024·重庆·模拟预测）已知ABC V 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的有（ ）A ．若a b >，则sin sin A B>B ．若a b >，则cos cos A B>C ．若222a b c +<，则ABC V 为钝角三角形D ．若222a b c +>，则ABC V 为锐角三角形三、填空题7．（2024·北京昌平·二模）已知ABC V 中，34,2,cos 4a b c A ===-，则ABC S =V ．8．（2024·江苏·二模）设钝角ABC V 三个内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若2a =，sin b A =3c =，则b = .9．（2024·河南·三模）如图，在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知60,45,3B A c a ==-=o o ，B Ð的平分线BD 交边AC 于点,D AB 边上的高为,CF BC 边上的高为,AE BD CF P Ç=，,AE CF R BD AE Q Ç=Ç=，则PQR Ð= ；PQ = .四、解答题10．（2024·上海宝山·二模）在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知222sin sin sin sin sin A C B A C +=+.(1)求角B 的大小；(2)若ABC V a c +的最小值，并判断此时ABC V 的形状.11．（2024·江西·ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其外接圆的半径为cos sin b C a B =．(1)求角B ；(2)若B Ð的角平分线交AC 于点,D BD =E 在线段AC 上，2EC EA =，求BDE △的面积．【综合提升练】一、单选题1．（2024·浙江金华·三模）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c .若a =2b =，60A =°，则c 为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．1或32．（2024·青海西宁·二模）在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若b =，且cos 2cos 33A AC +=，则cos C 的值为（ ）A B C D 3．（2024·山东·模拟预测）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++，则cos A =（ ）A ．12-B ．13C ．12D ．234．（2024·四川成都·模拟预测）在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，给出以下4个命题：（1）若a b >，则cos2cos2A B <；（2）若cos cos a B b A c -=，则ABC V 一定为直角三角形；（3）若4a =，5b =，6c =，则ABC V （4）若cos()cos()cos()1A B B C C A ---=，则ABC V 一定是等边三角形.则其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知ABC V 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足22cos a b c B +=，且sin sin 1A B +=，则ABC V 的形状为（ ）A ．等边三角形B ．顶角为120°的等腰三角形C ．顶角为150°的等腰三角形D ．等腰直角三角形6．（2024·吉林长春·模拟预测）ABC V 的内角A B C ､､所对的边分别为,1,2a b c a b A B ==､､，则c =（ ）A ．2B C D ．17．（2024·河北秦皇岛·三模）在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2B C =，b ，则（ ）A ．ABC V 为直角三角形B ．ABC V 为锐角三角形C ．ABC V 为钝角三角形D ．ABC V 的形状无法确定8．（2024·重庆·三模）若圆内接四边形ABCD 满足2AC =，30CAB CAD Ð=Ð=°，则四边形ABCD 的面积为（ ）A B C ．3D ．二、多选题9．（2024·全国·模拟预测）若ABC V 的三个内角为,, A B C ，则下列说法正确的有（ ）A ．sin ,sin ,sin A B C 一定能构成三角形的三条边B ．sin 2,sin 2,sin 2 A B C 一定能构成三角形的三条边C ．222sin ,sin ,sin A B C 一定能构成三角形的三条边D 一定能构成三角形的三条边10．（2024·广东广州·二模）在梯形中，3//,1,3,cos 4AB CD AB CD DAC ACD ==Ð=Ð=，则（ ）A ．AD =B ．cos BAD Ð=C ．34BA AD ×=-uuu r uuu r D ．AC BD^11．（2024·浙江·三模）已知 ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin sin 2A C b A +×=×，下列结论正确的是（ ）A ．π3B =B ．若 45a = ，则 ABC V 有两解C ．当a c -=时， ABC V 为直角三角形D ．若 ABC V 为锐角三角形，则 cos cos A C + 的取值范围是三、填空题12．（2024·全国·模拟预测）已知在ABC V 中，点M 在线段BC 上，且π10,14,6,4AM AC MC ABC ===Ð=，则AB = ．13．（2024·湖南长沙·二模）在ABC V 中，若2BC =，4tan 3A =-，4cos 5B =，则AC = .14．（2024·福建厦门·三模）记锐角ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若32cos b aC a b=-，则B 的取值范围是 .四、解答题15．（2024·陕西西安·模拟预测）设ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别是,,,a b c 且向量(,),(,sin )m a b n A B ==u r r 满足//m n u r r .(1)求A ；(2)若3a b ==，求BC 边上的高h .16．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD 中，//AB CD ，sin cos AD D ACD ×=×Ð，BAC Ð的角平分线与BC 相交于点E ，且1,AE AB ==(1)求ACD Ð的大小；(2)求BC 的值.17．（2023·黑龙江·模拟预测）某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于：“观光湖”内两处景点A ，C 之间的距离，如图，B 处为码头入口，D 处为码头，BD 为通往码头的栈道，且100m BD =，在B 处测得π6π4ABD CBD Ð=Ð=，在D 处测得2π3π34BDC ADC Ð=Ð=．（A ，B ，C ，D 均处于同一测量的水平面内）(1)求A ，C 两处景点之间的距离；(2)栈道BD 所在直线与A ，C 两处景点的连线是否垂直？请说明理由．18．（2024·湖南·模拟预测）在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()3cos ,sin sin sin 3sin 5A a c A C bB c A =++=+．(1)证明：ABC V 是锐角三角形；(2)若2a =，求ABC V 的面积．19．（2023·辽宁鞍山·二模）请从①2sin cos cos cos a B B C B =；②()22sin sin sin sin sin A C B A C -=-；a =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若___________，(1)求角B 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，1c =，求22a b +的取值范围.【拓展冲刺练】一、单选题1．（2024·山东·二模）在ABC V 中，设内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设甲：(cos cos )b c a C B -=-，设乙：ABC V 是直角三角形，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2．（2024·安徽·模拟预测）在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a c =，且()22sin 21sin BB A=+，则B =（ ）A ．π3B ．2π3C ．3π4D ．5π63．（2024·陕西咸阳·三模）为了进一步提升城市形象，满足群众就近健身和休闲的需求，2023年某市政府在市区多地规划建设了“口袋公园”.如图，在扇形“口袋公园”O PQ 中，准备修一条三角形健身步道OAB ，已知扇形的半径3OP =，圆心角π3POQ Ð=，A 是扇形弧上的动点，B 是半径OQ 上的动点，//AB OP ，则OAB V 面积的最大值为（ ）A B ．34C D ．354．（2024·辽宁·模拟预测）三棱锥P ﹣ABC 所有棱长都等于2，动点M 在三棱锥P ﹣ABC 的外接球上，且0,||AM BM PM ×=uuuu r uuuu r uuuu r的最大值为s ，最小值为t ，则:s t =（ ）A ．2BCD ．3二、多选题5．（2024·湖北·模拟预测）在ABC V 中，,,A B C 所对的边为,,a b c ，设BC 边上的中点为M ，ABC V 的面积为S ，其中a =，2224b c +=，下列选项正确的是（）A ．若π3A =，则S =B ．S 的最大值为C ．3AM =D ．角A 的最小值为π36．（23-24高一下·河北石家庄·阶段练习）已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列说法中正确的是（ ）A ．若cos cos a A bB =，则ABC V 一定是等腰三角形B ．若cos()cos()1A B B C -×-=，则ABC V 一定是等边三角形C ．若cosC cos a c A c +=，则ABC V 一定是等腰三角形D ．若cos(2)cos 0B C C ++>，则ABC V 一定是钝角三角形三、填空题7．（2024·全国·三模）在ABC V 中，()cos ,sin AB q q =uuu r ，()3sin ,3cos BC q q =uuu r .若2AB BC ×=uuu r uuu r ，则ABC V 的面积为 .8．（2024·陕西铜川·三模）已知ABC V ,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，点D 是AB 的中点.若22cos a b c B +=，且1,AC CD ==，则AB = .9．（2024·广西·模拟预测）在锐角ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且ABC V 的面积(1cos )S bc A =-，则2a bc的取值范围为 ．四、解答题10．（2024·河南·三模）已知P 是ABC V 内一点，π3π,,,44PB PC BAC BPC ABP ÐÐÐq ====.(1)若π,24BC q ==AC ；(2)若π3q =，求tan BAP Ð.11．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）某公园计划改造一块四边形区域ABCD 铺设草坪，其中2AB =百米，1BC =百米，AD CD =，AD CD ^，草坪内需要规划4条人行道DM 、DN 、EM 、EN 以及两条排水沟AC 、BD ，其中M 、N 、E 分别为边BC 、AB 、AC 的中点．(1)若π2ABC Ð=，求排水沟BD 的长；(2)若ABC a Ð=，试用a 表示4条人行道的总长度．。
「正弦定理」用正弦定理解三角形常见的四个题型以及易错点分析.doc
「正弦定理」用正弦定理解三角形常见的四个题型以及易错点分析
【方法总结】利用正弦定理解决“已知三角形的任意两边与其中一边的对角求其他边与角”的问题时，可能出现一解、两解或无解的情况，应结合“三角形大边对大角”来判断解的情况，做到正确取舍．
【变式2】满足a＝4，b＝3和A＝45°的△ABC的个数为( )．
A．0个B．1个
C．2个D．无数多个
题型三利用正弦定理判断三角形的形状
【方法总结】依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种途径：
(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；
(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．题型四利用正弦定理求最值或范围
【题后反思】在三角形中解决三角函数的取值范围或最
值问题的方法：
(1)利用正弦定理理清三角形中基本量间的关系或求出某些量．
(2)将要求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为函数的值域或最值的问题．【易错点分析】忽视等价转化而致误
当两个角的某三角函数值相等时，我们并不能肯定这两个角一定相等，一定要根据两个角的取值范围结合诱导公式写出所有的情况．
灵活运用诱导公式sin(2kπ＋α)＝sin α(k∈Z)，sin(π－α)＝sin α是解三角形的关键，当出现sin A＝sin B时，一是易忽略A、B的范围；二是易忽略A＋B＝π时，sin A＝sin B同样成立．。
正余弦定理知识点及高考考试题型整理学生理
正、余弦定理一、知识总结 (一)正弦定理1.正弦定理：2,sin sin sin a b cR A B C===其中R 是三角形外接圆半径. 2.变形公式：（1）化边为角：（2）化角为边：（3）（4）.3、正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一）（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角. （解可能不唯一）在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 1.余弦定理: 2222cos a b c bc A =+-2222cos c a b ab C =+-2222cos b a c ac B =+-2.变形公式:222222222cos ,cos ,cos .222b c a a c b a b c A B C ab ac ab+-+-+-===.注：2a ＞22c b +⇒A 是钝角；2a =22c b +⇒A 是直角；2a ＜22c b +⇒A 是锐角；2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ===sin ,sin ,sin ;222a b cA B C R R R ===::sin :sin :sin a b c A B C =2sin sin sin sin sin sin a b c a b c RA B C A B C ++====++3.余弦定理可以解决的问题：（1）已知三边，求三个角；（解唯一）（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：4.由余弦定理判断三角形的形状a2=b2+c2⇔A是直角⇔△ABC是直角三角形，a2＞b2+c2⇔A是钝角⇔△ABC是钝角三角形，a2＜b2+c⇔A是锐角/△ABC是锐角三角形。
（注意：A是锐角/ △ABC是锐角三角形，必须说明每个角都是锐角）(三) ΔABC的面积公式:（1）1() 2a aS a h h a= 表示边上的高；（2）111sin sin sin() 2224abcS ab C ac B bc A RR====为外接圆半径；（3）1()() 2S r a b c r=++为内切圆半径(四) 实际问题中的常用角1.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）2.方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。
正弦定理知识点及题型总结
6.4.3.2正弦定理一、概念1.正弦定理：设ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，外接圆的半径为R ，则R CcB b A a 2sin sin sin === 证明：2.正弦定理的变形（1）A R a sin 2=；B R b sin 2=；C R c sin 2= （2）=A sin R a 2；=B sin R b 2；=C sin Rc 2 （3）c b a C B A ::sin :sin :sin =（4）CB A cb a Cc B b A a sin sin sin sin sin sin ++++=== （5）C A c B A b a sin sin sin sin ==；C B c A B a b sin sin sin sin ==；ACa B Cbc sin sin sin sin == 3.三角形的面积公式：设ABC ∆的角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，则ABC ∆的面积c b a ABC ch bh ah S 212121===∆（其中c b a h h h ,,分别为边c b a ,,上的高）B ca A bcC ab sin 21sin 21sin 21=== C BA cBC A b A C B a sin 2sin sin sin 2sin sin sin 2sin sin 222=== C B A R sin sin sin 22=（其中R 是ABC ∆的外接圆半径）R abc 4= )(21c b a r ++=（其中r 是ABC ∆的内切圆半径） 22)()(21AC AB AC AB ⋅-= ))()((c p b p a p p ---=（海伦公式）（其中p 为半周长2cb a p ++=） 特别地，若设点),(),,(2211y x B y x A ，则122121y x y x S OAB -=∆ 4.三角形解的个数ABC ∆中，已知b a ,和A 时，三角形的解得情况如下：A 为锐角 A 为钝角图形关系式 A b a sin <A b a sin =b a A b <<sinb a ≥b a ≥解的个数 无解一解两解一解一解例1.证明角平分线定理：ABC ∆中，AD 是角内A 或其外角的平分线，则CDBDAC AB =题型一 已知两角和一边，解三角形例2.在ABC ∆中，已知015=A ，045=B ，33+=c ，解这个三角形小结：已知三角形的两角及一边，解三角形的步骤： ①先由内角和定理求出第三个角； ②再用正弦定理另外两边.跟踪训练：在ABC ∆中，已知030=A ，0105=C ，10=a ，解这个三角形题型二 已知两边和其中一边的对角，解三角形 例2.在ABC ∆中，已知030=B ，2=b ，2=c ，解这个三角形小结：（1）已知三角形的两边及一边所对的角，解三角形的步骤： 解法1：①先由正弦定理求另外一边所对的角（注意大边对大角）； ②再用内角和定理求第三个角； ③由正弦定理求第三边.解法2：①由已知角的余弦定理得到第三边的方程，解出第三边（注意大角对大边） ②再用余弦定理或正弦定理求出第二个角； ③用内角和定理求第三个角. 跟踪训练：在ABC ∆中，已知3=a ，2=b ，045=B ，解这个三角形题型三 判断三角形解得个数例3.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，若3=a ，4=b ，030=A ，则此三角形（ ）A.有一解B.有两解C.无解D.不确定跟踪训练1.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，若2=b ，4=c ，060=B ，则此三角形（ ）A.有一解B.有两解C.无解D.不确定跟踪训练2.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，若18=a ，20=b ，0150=A ，则此三角形（ ）A.有一解B.有两解C.无解D.不确定跟踪训练 3.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，根据下列条件，判断三角形解得情况，其中正确的有①8=a ，16=b ，030=A ，有一个解； ②18=b ，20=c ，060=B ，有两个解 ③5=a ，2=c ，090=A ，无解； ④30=a ，25=b ，0150=A ，有一个解；题型四 判断三角形的形状例4.ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，若22tan tan ba B A =，试判断三角形的形状小结：根据已知条件判断三角形形状，通常有两种思路：（1）化边为角：根据正弦定理把已知条件中的边角混合关系化为角的关系，再根据三角恒等变换化简，进而确定三角形的形状（2）化角为边：根据正弦定理和余弦定理把已知条件中的边角混合关系化为边的关系，再根据代数运算化简，进而确定三角形的形状跟踪训练1.ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，若A a B c C b sin cos cos =+，试判断三角形的形状小结：三角形的射影定理：ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，则B cC b a cos cos +=，A c C a b cos cos +=，A b B a c cos cos +=注：a c b B c C b 22cos cos -=-，b c a A c C a 22cos cos -=-，cb a A b B a 22cos cos -=-跟踪训练2.ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，若A b a B a c cos )2(cos -=-，试判断三角形的形状总结：三角形中常见的结论：设ABC ∆的角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，则 （1）三角形的内角和定理：π=++C B A （2）三角形的大边对大角，大角对大边（3）锐角三角形的任何一个内角的正弦都大于其余角的余弦（4）平行四边形的性质：平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和 （5）中线长定理：设ABC ∆的边c b a ,,上的中线分别为CF BE AD ,,，则222)(221a c b AD -+=，222)(221b c a BE -+=，222)(221c b a CF -+= （6）角平分线定理：ABC ∆中，AD 是角A 或其外角的平分线，则CD BDAC AB =（7）（1）=+)sin(B A ，=+)cos(B A ，=+)tan(B A ，=+2sinB A ，=+2cos B A ，=+2tan BA （8）B A B A =⇔-)sin(⇔ABC ∆为等腰三角形 （9）B A B A =⇔=2sin 2sin 或2π=+B A ⇔ABC ∆为等腰或直角三角形（10）B A b a B A >⇔>⇔>sin sin B A cos cos <⇔（11）三角形中的射影定理：B cC b a cos cos +=，A c C a b cos cos +=，A b B a c cos cos +=注：a c b B c C b 22cos cos -=-，b c a A c C a 22cos cos -=-，cb a A b B a 22cos cos -=-（12）ABC Rt ∆的内切圆半径22c b a c b a S r ABC -+=++=∆，旁切圆半径2'c b a r ++=（13）1tan tan >B A ⇔ABC ∆为锐角三角形；1tan tan =B A ⇒ABC ∆为直角三角形； 1tan tan <B A ⇔ABC ∆为锐角三角形；（14）若2sin sin sin 222<++C B A ，则ABC ∆为钝角三角形 若2sin sin sin 222=++C B A ，则ABC ∆为直角三角形 若2sin sin sin 222>++C B A ，则ABC ∆为锐角三角形（15）若c b a ,,成等差数列，则①C B A sin ,sin ,sin 也成等差数列；②30π≤<B（16）若c b a ,,成等比数列，则30π≤<B（17）ABC ∆中的恒等式：①1cos cos cos 2sin 2sin 2sin 4-++==C B A CB A R r ②2cos 2cos 2cos 4sin sin sin cB AC B A =++③2cos 2sin 2sin 4sin sin sin cB AC B A =-+④C B A C B A sin sin sin 42sin 2sin 2sin =++ ⑤1cos cos cos 42cos 2cos 2cos --=++C B A C B A ⑥C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++⑦12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan=++AC C B B A ⑧2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot C B A C B A =++⑨1cot cot cot cot cot cot =++A C C B B A。
正弦定理题型精解(全) 好好好
正弦定理一、课前预热1.在B A, b a,∠∠∆分别为中，已知ABC 所对的边，则B A B A b a sin ____sin ___⇔⇔>2.正弦定理：在三角形中，________________________________________________________即______________________===_______( )3.一般的，把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素。
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做____.二、课堂探究解斜三角形的类型：1.已知两角和任意一边，求其他两边和一角2.已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形，有两解或一解（见图示）．条件：A b a sin =解的个数：_____条件：b a A b <<sin解的个数：_____解 解的个数：_____条件： b a ≥解的个数：_____条件： b a >解的个数：_____三、题型讲解题型1 已知两角和任意一边，求其他两边和一角例1 已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,1000===∆题型2 已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆例4 ABC ∆中，已知045,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理解三角形有两解，则的取值范围是_____四、巩固练习1.在ABC ∆中，5,15,13500===A C B ,则此三角形的最大边长为_____ .____,6,3,60.2=∠===∠∆︒C AB BC A ABC 则中，3.已知︒=∠==∆30,34,4,A b a ABC 中，则______=∠B .4.______,4,13,60====∠∆︒b c a A ABC 则中，若在.5.______,sin 2=∠=∆C B c b ABC 则中，若在五、提炼讲解例1.ABC ∆中，已知C c B b A a cos cos cos ==，试判断三角形的形状.变式1： 在ABC ∆中,______,cos cos 的形状为则ABC B C b c ∆=变式2： ABC ∆中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么ABC ∆一定是_______变式3：ABC ∆中，A 为锐角，2lg sin lg 1lg lg -==+A cb ，则ABC ∆形状为_____例2. 在ABC ∆中，若,60,3︒==A a 那么ABC ∆的外接圆的周长为________变式：在ABC ∆中，若3,600==a A ，则_______sin sin sin =++++C B A c b a例3：在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，用正弦定理证明：AB BD AC DC=．例4：某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35︒，沿倾斜角为20︒的斜坡前进1000米后到达D 处，又测得山顶的仰角为65︒，求山的高度。
正弦定理余弦定理题型
一、知识点1、正弦定理及其变形2(sin sin sin a b cR R A B C===为三角形外接圆半径）12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式）2sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b Bb Bc C c C===2、正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况） 已知a ，b 和A ，求B 时的解的情况:如果sin A ≥sin B ，则B 有唯一解；如果sin A <sin B <1，则B 有两解； 如果sin B =1，则B 有唯一解；如果sin B >1，则B 无解. 3、余弦定理及其推论2222222222cos 2cos 2cos a b c bc Ab ac ac B c a b ab C=+-=+-=+-222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B aca b c C ab+-=+-=+-=4、余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边。
5、常用的三角形面积公式（1）高底⨯⨯=∆21ABC S ； （2）B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆（两边夹一角）；6、三角形中常用结论（1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。
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正弦定理经典题型总结
知识总结
一、正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
公式适用于任意三角形。
二、正弦定理的变形
三、三角形面积公式
在任意斜△ABC 当中S △ABC =A bc B ac C ab sin 2
1sin 2
1sin 2
1==
四、正弦定理解三角形
1）已知两角和任意一边，求其它两边和一角；
2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。
例如：已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:（多解情况）
○
1若A 为锐角时: ⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )
( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a
b
a
b
a
b a b
a
a 已知边a,
b 和∠A
仅有一个解有两个解
仅有一个解无解
a ≥
b CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA
A
C B A
C
B1A
B
A
C
B2
C
H
H
H
○
2若A 为直角或钝角时:⎩
⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解
b a
题型一：已知两角及任意一边解三角形
1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )
A.
6 B.
2 C.
3 D ．2
6
2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )
A ．4
2 B ．4
3 C ．4
6 D.32
3
3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，
则c ＝( )
A ．1 B.1
2 C ．2
D.14
变形：
题型二：已知两边及一边对角解三角形
1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝4
3，b ＝4
2，则角
B 为( )
A ．45°或135°
B ．135°
C ．45°
D ．以上答案都不对 2．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝
6，B ＝120°，则a 等
于( )
A.
6 B ．2 C.
3 D.
2
3．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π
3
，则A
＝________.
4 .在△ABC 中，已知a ＝4
33
，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.
5．在△ABC 中，b ＝4
3，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．
6. 判断满足下列条件的三角形个数 （1）b=39,c=54,︒
=120C 有________组解 （2）a=20,b=11,︒
=30B 有________组解 （3）b=26,c=15,︒=30C 有________组解 （4）a=2,b=6,︒
=30A 有________组解
7.在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 8.在△ABC 中，B=4
π
,b=2,a=1,则A 等于 .
题型三：正弦定理的边角转化
1．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )
A ．1∶5∶6
B ．6∶5∶1
C ．6∶1∶5
D ．不确定 2．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b
a
，则△ABC 是( )
A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形 3.在△ABC 中，如果
C
c
B b A a tan tan tan =
=,那么△ABC 是（ ） A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形
3. 在△ABC 中，已知b B a 3sin 32=，且cosB=cosC ，试判断△ABC 形状。
题型四：已知面积求角/边或已知边角求面积 三角形正弦面积公式：
B ac A bc
C ab S sin 2
1
sin 21sin 21===
(适用于任意三角形) 1. 在△ABC 中，已知B=︒30，AB=23，AC=2，求△ABC 面积。
2. 在△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2asinB 。
（1）证明A=2B
（2）若△ABC 的面积S=4
2
a ，求角A 的大小。
3. （结合余弦定理）
在ABC ∆中，60,1A b ︒
==，则
sin sin sin a b c
A B C
++=++_________
题型五：求三角形最值或取值范围的应用
1. 在△ABC 中，角A,B,C 所对的边a,b,c ，满足csinA=acosC. (1)角C 大小 （2）求)4
π
cos(sin 3+
-B A 的最大值，并求出最大值时A,B 的大小。