Lagrange中值定理几种证法2
拉格朗日中值定理
实用标准拉格朗日中值定理引言众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数. 实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法. 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述. 1罗尔()Rolle 中值定理如果函数()x f 满足条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；（3）()()b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点ζ ,使得()0'=ζf罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线()x f y =在点B A ,处的纵坐标相等，那么，在弧 ⋂AB 上至少有一点()(),Cf ζζ ，曲线在C 点的切线平行于x 轴，如图1，注意 定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于()b a ,的ζ，使得()0'=ζf . 这就是说定理的条件是充分的，但非必要的.2拉格朗日()lagrange 中值定理若函数()x f 满足如下条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；则在()b a ,内至少存在一点ζ，使()()()ab a f b f f--=ζ'拉格朗日中值定理的几何意义：函数()x f y =在区间[]b a ,上的图形是连续光滑曲线弧⋂AB 上至少有一点C ，曲线在C 点的切线平行于弦AB . 如图2，从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若()x f 在闭区间[]b a ,两端点的函数值相等，即()()b f a f =，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函数()x f 作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理. 3 证明拉格朗日中值定理3.1 教材证法证明 作辅助函数 ()()()()f b f a F x f x x b a-=--显然，函数()x F 满足在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，而且()()F a F b =．于是由罗尔中值定理知道，至少存在一点ζ()b a <<ζ，使()()()()0''=---=ab a f b f f F ζζ.即()()()ab a f b f f --=ζ'.3.2 用作差法引入辅助函数法证明 作辅助函数 ()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-=a x a b a f b f a f x f x ϕ 显然，函数()x ϕ在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，()()0==b a ϕϕ，因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点()b a ,∈ζ，使得()()()()0''=---=ab a f b f f ζζϕ，即 ()()()ab a f b f f --=ζ'推广1 如图3过原点O 作OT ∥AB ，由()x f 与直线OT 对应的函数之差构成辅助函数()x ϕ，因为直线OT 的斜率与直线AB 的斜率相同，即有：()()ab a f b f K K AB OT --==，OT 的直线方程为：()()x ab a f b f y --=，于是引入的辅助函数为：()()()()x ab a f b f x f x ---=ϕ. （证明略）推广2 如图4过点()O a ,作直线''B A ∥AB ，直线''B A 的方程为：()()()a x ab a f b f y ---=，由()x f 与直线函''B A 数之差构成辅助函数()x ϕ，于是有：()()()()()a x ab a f b f x f x ----=ϕ. （证明略） 推广3 如图5过点作()O b ,直线''B A ∥AB ，直''B A 线的方程为()()()b x ab a f b f y ---=，由()x f 与直线A B ''函数之差构成辅助函数()x ϕ，于是有：()()()()()b x ab a f b f x f x ----=ϕ. 事实上，可过y 轴上任已知点()m O ,作//B A ∥AB 得直线为()()m x ab a f b f y +--=，从而利用()x f 与直线的''B A 函数之差构成满足罗尔中值定理的辅助函数()x ϕ都可以用来证明拉格朗日中值定理. 因m 是任意实数，显然，这样的辅助函数有无多个.3.3 用对称法引入辅助函数法在第二种方法中引入的无数个辅助函数中关于x 轴的对称函数也有无数个，显然这些函数也都可以用来证明拉格朗日中值定理.从几何意义上看，上面的辅助函数是用曲线函数()x f 减去直线函数，反过来，用直线函数减曲线函数()x f ，即可得与之对称的辅助函数如下：⑴ ()()()()()()x f a x a b a f b f a f x -⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+=ϕ ⑵ ()()()()x f x ab a f b f x ---=ϕ⑶ ()()()()()x f a x a b a f b f x ----=ϕ ⑷ ()()()()()x f b x ab a f b f x ----=ϕ 等等.这类能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数显然也有无数个. 这里仅以⑵为例给出拉格朗日中值定理的证明.证明 显然，函数()x ϕ满足条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；()3()()()()ab a bf b af b a --==ϕϕ.由罗尔中值定理知，至少存在一点()b a ,∈ζ，使得()()()()0''=---=ζζϕf a b a f b f ，从而有()()()ab a f b f f --=ζ'，显然可用其它辅助函数作类似的证明.3.4 转轴法由拉格朗日中值定理的几何图形可以看出，若把坐标系xoy 逆时针旋转适当的角度α，得新直角坐标系XOY ，若OX 平行于弦AB ，则在新的坐标系下()x f 满足罗尔中值定理，由此得拉格朗日中值定理的证明.证明 作转轴变换ααsin cos Y X x -=，ααcos sin Y X y +=，为求出α，解出Y X ,得()()x X x f x y x X =+=+=ααααsin cos sin cos ① ()()x Y x f x y x Y =+-=+-=ααααcos sin cos sin ② 由()()b Y a Y =得()()ααααcos sin cos sin b f b a f a +-=+-，从而()()ab a f b f --=αtan ，取α满足上式即可.由()x f 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，知()x Y 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，且()()b Y a Y =，因此，由罗尔中值定理知，至少存在一点()b a ,∈ζ，使得()()0cos s in '=+-=αζαζf Y ，即()()()ab a f b f f --==αζtan ' 3.5 用迭加法引入辅助函数法让()x f 迭加一个含待顶系数的一次函数m kx y +=，例如令()()()m kx x f x +-=ϕ或()()m kx x f x ++-=ϕ，通过使()()b a ϕϕ=，确定出m k ,，即可得到所需的辅助函数.例如由 ()()()m kx x f x +-=ϕ，令()()b a ϕϕ=得()()()()m kb b f m ka a f +-=+-，从而()()ab a f b f k --=，而m 可取任意实数，这样我们就得到了辅助函数()()()m x ab a f b f x ---=ϕ，由m 的任意性易知迭加法可构造出无数个辅助函数，这些函数都可用于证明拉格朗日中值定理.3.6 用行列式引入辅助函数法证明 构造一个含()x f 且满足罗尔中值定理的函数()x ϕ，关键是满足()()b a ϕϕ=.我们从行列式的性质想到行列式()()()111xf x af a b f b 的值在,x a x b ==时恰恰均为0，因此可设易证()()()()111xf x x af a bf b ϕ=，展开得 ()()()()()()()x f b x bf a af x af b f a x bf x ϕ=++---.因为()x f 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，所以()x ϕ在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，且()()0a b ϕϕ==，所以由罗尔中值定理知，至少存在一点()b a ,∈ζ，使得()0'=ζϕ. 因为()()()()()0''=---=ζζϕf b a b f a f即： ()()()ab a f b f f --=ζ'3.7 数形相结合法引理 在平面直角坐标系中，已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为()(),A a f a ，()(),B b f b ，()(),C c f c ，则ABC ∆面积为()()()1112ABCa f a Sb f b a cf c ∆=， 这一引理的证明在这里我们不做介绍，下面我们利用这一引理对拉格朗日中值定理作出一种新的证明. 这种方法是将数形相结合，考虑实际背景刻意构造函数使之满足罗尔中值定理的条件.如图， 设()(),c f c 是直线AB 与()y f x =从A 点开始的第一个交点，则构造()()()()211141af a x cf c xf x ϕ=， 易验证()x ϕ满足罗尔中值定理的条件：在闭区间[],a c 上连续，在开区间(),a c 内可导，而且()()b a ϕϕ=，则至少存在一点()b a ,∈ζ，使()/0ϕζ=，即：()()()()()()01111111'=ζζζf c f c a f a f c f ca f a但是()()()1101a f a cf c f ζζ≠，这是因为，如果 ()()()1101a f a c f c f ζζ=， 则()()()()f f c f c f a c c aζζ--=--，这样使得()(),f ζζ成为直线AB 与()y f x =从A 点的第一个交点，与已知矛盾）.故()()()0111=ζζf c f ca f a，即()()()()()ac a f c f a b a f b f f --=--=ζ'. 若只从满足罗尔中值定理的要求出发，我们可以摈弃许多限制条件，完全可以构造()()()()111af a x bf b xf x ϕ=来解决问题，从而使形式更简洁，而且启发我们做进一步的推广：可构造()()()()()()()111g a f a x g b f b g x f x ϕ=来证明柯西中值定理. 3.8 区间套定理证法证明 将区间[],I a b =二等分，设分点为1ζ，作直线1x ζ=，它与曲线()y f x = 相交于1M ，过1M 作直线11L M ∥弦b a M M . 此时，有如下两种可能:⑴ 若直线11M L 与曲线()y f x =仅有一个交点1M ，则曲线必在直线11M L 的一侧.否则，直线11M L 不平行于直线a bM M . 由于曲线()y f x =在点1M 处有切线，根据曲线上一点切线的定义，直线11M L 就是曲线()y f x =在点1M 处的切线，从而()()()ab a f b f f --=1ζ.由作法知，1ζ在区间(),a b 内部，取ζζ=1于是有 ()()()ab a f b f f --=ζ ⑵ 若直线11M L 与曲线()y f x =还有除1M 外的其他交点，设()111,N x y 为另外一个交点，这时选取以11,x ξ为端点的区间，记作[]111,I a b =，有1,112b al I b a -⊇-<, ()()()()1111f b f a f b f a b a b a--=--，把1I 作为新的“选用区间”，将1I 二等分，并进行与上面同样的讨论，则要么得到所要求的点ζ，要么又得到一个新“选用区间”2I .如此下去，有且只有如下两种情形中的一种发生:(a) 在逐次等分“选用区间”的过程中，遇到某一个分点k ζ，作直线k x ζ=它与曲线()y f x =交于k M ，过点k M 作直线k k L M ∥弦b MM , 它与曲线()y f x =只有一个交点k M ，此时取ζζ=k 即为所求.(b) 在逐次等分“选用区间”的过程中，遇不到上述那种点，则得一闭区间序列{n I }，满足:① 12I I I ⊇⊇⊇ []n n n b a I ,=② ()02n n n b ab a n --<→→∞ ③()()()()n n n n f b f a f b f a b a b a--=-- 由①②知，{n I }构成区间套，根据区间套定理，存在唯一的一点() 3,2,1=∈n I n ζ，此点ζ即为所求. 事实上ζ==∞→∞→n n n n b a lim lim ，()fξ存在()()()ζf a b a f b f nn n n n =--∞→lim ，由③lim n →∞()()()()n n n n f b f a f b f a b a b a--=--，所以()()()a b a f b f f --=ζ，从“选用区间”的取法可知，ζ确在(),a b 的内部. 3.9 旋转变换法证明 引入坐标旋转变换A : cos sin x X Y αα=- ⑴ ααcos sin Y X y += ⑵因为 22cos sin cos sin 10sin cos αααααα-∆==+=≠所以A 有逆变换/A :()()cos sin cos sin X x y x f x X x αααα=+=+= ⑶()()sin cos sin cos Y x y x f x Y x αααα=-+=-+= ⑷ 由于()x f 满足条件: ()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导，因此⑷式中函数()Y x 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导.为使()Y x 满足罗尔中值定理的第三个条件，只要适当选取旋转角α，使()()Y a Y b =, 即()()sin cos sin cos a f a b f b αααα-+=-+，也即()()tan f b f a b aα-=-.这样，函数()Y x 就满足了罗尔中值定理的全部条件，从而至少存在一点()b a <<ζζ，使()()0cos si n =+=αζαζf Y 即()αζtan =f . 由于所选取旋转角α满足()()a b a f b f --=αt a n ，所以()()()ab a f b f f --=ζ.结论本论文仅是对拉格朗日中值定理的证明方法进行了一些归纳总结其中还有很多方法是我没有想到的，而且里面还有很多不足之处需要进一步的修改与补充. 通过这篇论文我只是想让人们明白数学并不是纯粹的数字游戏，里面包含了很多深奥的内容. 而且更重要的是我们应该学会去思考，学会凡是多问几个为什么，不要让自己仅仅局限于课本上的内容，要开动脑筋学会举一反三，不要单纯为了学习而学习，让自己做知识的主人！总之，数学的发展并非是无可置疑的，也并非是反驳的复杂过程，全面的思考问题有助于我们思维能力的提高，也有助于创新意识的培养.参考文献[1] 华东师范大学数学系. 数学分析（上册）（第二版）[M].北京：高等教育出版社.1991：153-161[2] 吉林大学数学系. 数学分析(上册)[M].北京：人民教育出版社.1979：194-196 [3] 同济大学应用数学系. 高等数学（第一册）[M].北京：高等教育出版社（第五版）.2004：143-153[4] 周性伟,刘立民. 数学分析[M].天津：南开大学出版社.1986：113-124 [5] 林源渠,方企勤. 数学分析解题指南[M].北京：北京大学出版社.2003：58-67 [6] 孙清华等. 数学分析内容、方法与技巧（上）[M].武汉：华中科技大学出版社.2003：98-106[7] 洪毅. 数学分析（上册）[M].广州：华南理工大学出版社.2001：111-113[8] 党宇飞. 促使思维教学进入数学课堂的几点作法[J].上海：数学通报.2001,1：15-18 [9] 王爱云. 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lagrange定理的两种证法
lagrange定理的两种证法Lagrange定理是理论计算机科学中一种重要的定理，它可以用于证明各种算法的正确性，用于开发高效算法。
Lagrange定理有两种证法，一种是求解方程组的方法，另一种是算术复合法。
本文将就两种证法进行详细探讨，以期对理论计算机科学家有所帮助。
Lagrange定理的第一种证法是求解方程组的方法，这种方法可以用来证明算法正确性，也可以用来确定算法的最优性，这种方法的基本步骤是，首先将问题转换为一个方程组；其次，使用Lagrange 定理，把一个定义在方程组中的函数的取值，给定到最优解处，当函数的取值达到最优解时，问题即已解决。
这种方法有一定的局限性，当多个变量的函数取值时，可能会遇到非常复杂的约束，所以求解方程组的方法不够完善。
Lagrange定理的第二种证法是算术复合法，这种方法考虑了多个变量函数取值时的复杂约束，可以把多个变量的函数取值作为一个整体来处理，而不是像求解方程组那样，一个一个的解决变量的问题。
算术复合法的基本原理是，利用Lagrange的定理，建立多个变量函数取值的约束，然后根据该约束，将多个变量函数求和，构建出一个复合函数，得到复合函数的最优解即可求得多个变量函数取值的最优解。
因此，算术复合法可以有效地解决多个变量函数取值时的复杂约束问题，可为理论计算机科学提供有效的帮助。
从上文可见，Lagrange定理有两种证法，一种是求解方程组的方法，另一种是算术复合法，它们都可以用来证明算法的正确性，并且算术复合法可以有效解决多个变量函数取值时的复杂约束问题。
Lagrange定理的正确使用，可以为理论计算机科学的发展带来卓越的贡献。
从理论计算机科学与实践应用的角度来看，Lagrange定理的运用非常重要，它可以有效地帮助研究者证明算法正确性，确定算法最优性，并且可以有效解决多个变量函数取值时的复杂约束问题。
因此，它已经成为理论计算机科学中一种比较重要的定理，也受到了越来越多研究者的重视。
罗尔中值定理的内容及证明方法
罗尔中值定理的内容及证明方法罗尔中值定理（Rolle’s theorem）是微积分中的一个基本定理，它是拉格朗日中值定理（Lagrange mean value theorem）的特殊情况之一、罗尔中值定理描述了在一些条件下，函数在区间两个端点对应的函数值相等时，在这个区间内必然存在至少一点使函数的导数为零。
定义：假设函数$$f(x)$$满足以下条件：1.在区间$$[a,b]$$内连续2.在开区间$$(a,b)$$内可导3.在区间端点点$$x=a$$和$$x=b$$处的函数值相等，即$$f(a)=f(b)$$。
则在区间$$(a,b)$$内至少存在一个点$$c$$，使得$$f'(c)=0$$。
下面我们来证明罗尔中值定理：首先，根据条件，函数$$f(x)$$在区间$$[a,b]$$上连续，且在开区间内可导。
根据罗尔中值定理的定义，我们需要找到一个点$$c$$，使得函数$$f'(c)=0$$，也就是找到这个点的横坐标。
我们可以进行以下思路：由于函数$$f(x)$$在开区间内可导，根据导数的定义，$$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$。
由于函数在区间端点处的函数值相等，即$$f(a)=f(b)$$，我们可以将$$x=a$$代入上式，得到$$f'(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$。
由于函数是在开区间可导的，所以$$f'(a)$$存在。
同样的，我们可以将$$x=b$$代入$$f'(x)$$的定义式，得到$$f'(b)=\lim_{h \to 0}\frac{f(b+h)-f(b)}{h}$$。
同样地，由于函数是在开区间可导的，所以$$f'(b)$$存在。
根据函数连续的性质，我们可以知道函数在区间$$[a,b]$$上连续，那么函数在开区间$$(a,b)$$内也连续。
Lagrange中值定理在贵州专升本数学证明题上的应用
Lagrange中值定理在贵州专升本数学证明题上的应用贵州省专升本考试是一个重要的教育选拔考试，数学是其中的一门必考科目。
在数学领域中，Lagrange中值定理是一个重要的定理，它在贵州省专升本数学证明题上有着重要的应用。
本文将从Lagrange中值定理的原理入手，探讨其在贵州专升本数学证明题上的应用，并给出具体的例子进行证明。
Lagrange中值定理是微积分学中一个非常基本的定理，它描述了在一个区间内的可导函数的平均增量与其在区间端点处的导数之积的关系。
具体来说，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导（a < b），那么在(a, b)内至少存在一点ξ，使得函数的导数在ξ处的值等于函数在区间端点处的增量的平均值，即f'(ξ) = (f(b) - f(a)) / (b - a)。
在贵州专升本数学证明题中，经常会涉及到函数在某个区间内的性质和变化趋势。
而Lagrange中值定理可以帮助我们证明一些关于函数在区间内的性质的问题。
下面我们将通过一个具体的例子来说明Lagrange中值定理在贵州专升本数学证明题上的应用。
假设有一个函数f(x)在闭区间[a, b]上连续且在开区间(a, b)内可导，我们需要证明在区间[a, b]上这个函数的导函数f'(x)恒大于等于零。
根据Lagrange中值定理，我们知道在区间(a, b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ) = (f(b) - f(a)) / (b - a)。
由于f(x)在闭区间[a, b]上连续，那么根据介值定理，f(x)在闭区间[a, b]上能取到最大值M和最小值m。
不妨设ξ取到最大值M，那么f(ξ) = M，而根据介值定理，函数f(x)在闭区间[a, b]上可以取到介于m和M之间的任意值。
因此f(b) - f(a) >= 0，而b - a > 0，那么根据Lagrange中值定理，必然有f'(ξ) >= 0。
证明lagrange定理
证明lagrange定理拉格朗日中值定理（Lagrange's mean value theorem）是微积分中的一个重要定理，它表述了一个可微函数在某个区间内必然存在一个点，使得该点的导数等于函数在区间两个端点处导数的差值比上区间长度。
具体表述如下：设函数f(x)在区间[a,b]内连续，在(a,b)内可导，那么在(a,b)内，至少存在一个点c，使得f′(c)=f(b)−f(a)b−a.现在我们用数学归纳法来证明拉格朗日中值定理。
首先，当区间宽度为0时，即a=b，定理成立。
然后，我们假设当区间宽度为k时，定理成立，即对于任意函数f(x)，若f(x)在[a,a+k]内连续，在(a,a+k)内可导，则存在一个点c∈(a,a+k)，使得f′(c)=f(a+k)−f(a)k,我们需要证明当区间宽度为k+1时，定理也成立。
对于区间[a,a+k+1]，我们可以将其划分为两个子区间，[a,a+(k+1)/2]和[a+(k+1)/2,a+k+1]，它们之间有一个公共点a+(k+1)/2。
根据归纳假设，对于子区间[a,a+(k+1)/2]，存在一个点c1∈(a,a+(k+1)/2)，使得f′(c1)=f(a+(k+1)/2)−f(a)k+1/2.同理，对于子区间[a+(k+1)/2,a+k+1]，存在一个点c2∈(a+(k+1)/2,a+k+1)，使得f′(c2)=f(a+k+1)−f(a+(k+1)/2)k+1/2.我们可以观察到，c1和c2的值在(a,a+k+1)内变动，且c2-c1=k+1/2>0。
由于f(x)在(a,a+k+1)内可导，因此根据拉格朗日中值定理，存在一个点c∈(c1,c2)，使得f′(c)=f(c2)−f(c1)c2−c1.将c1和c2的表达式代入，得到f′(c)=f(a+k+1)−f(a)k+1.因此，当区间宽度为k+1时，定理也成立。
根据数学归纳法的原理，拉格朗日中值定理对任意区间宽度成立，证明完毕。
lagrange中值定理的证明
lagrange中值定理的证明1 定义我们知道，lagrange中值定理是罗尔中值定理的推广,如果，我们将罗尔中值定理中这个条件去掉，并且把结论改为,这样就将罗尔中值定理，推广到了lagrange中值定理。
定理（lagrange中值定理）.如果函数满足：•在闭区间上连续•在开区间上可导那么，使得。
介绍完了定义，我们来看看它的图像。
从图上，可以很明显地看出就是割线(图中的红线)的斜率。
这样lagrange中值定理的结论就是，在内至少存在一点 ,这一点的切线斜率，与割线的斜率，是相等的。
也就是至少有一点，它的切线与割线是平行的。
2 联系前面我们说过,lagrange中值定理是罗尔中值定理的推广，这在几何上就有所体现。
具体地，罗尔中值定理，可以看做lagrange中值定理旋转到特定角度后的结果。
在上面这组图中，可以看出罗尔中值定理lagrange中值定理左边的图右边的图这说明，lagrange中值定理确实是罗尔中值定理的推广。
3 证明定理（lagrange中值定理）.如果函数满足：•在闭区间上连续•在开区间上可导那么，使得。
证明.引进辅助函数：容易知道，满足：•在闭区间上连续•在开区间上可导•所以根据罗尔中值定理可知，使得，即：由此可得。
看懂上面这个证明并没有难度，但要自己写出来却不容易，其中的难点，就是构造出辅助函数。
那为什么在上面那个证明中，要构造出这个辅助函数呢，下面我们就来分析一下。
3.1 辅助函数构造首先对lagrange中值定理的结论进行变形结合罗尔定理，我们很自然联想(1)式左边是某个函数的导数就好了这样，可以假设很容易验证则满足罗尔中值定理，存在使得即(1)式成立，由此lagrange中值定理就证明出来了。
Lagrange中值定理的新证法
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5.期刊论文 黄德丽 用五种方法证明柯西中值定理 -湖州师范学院学报2003,25(z1)
从多角度全方面介绍了微分中值定理中柯西中值定理的五种证明方法,其中有利用构造辅助函数,根据罗尔定理证明;利用闭区间套定理证明;借 助引理,并应用反证法证明;用达布(Darboux)定理和反证法证明;利用坐标旋转变换证明等方法,使柯西中值定理更好的被认识、学习.
拉格朗日中值定理大全
几何解释: y
yf(x)
A
B
O
C
a
bx
实际上, C点处的切线与弦 AB 平行.
把上图做一旋转，得到下图：
y
yf(x)
B
A
C
a
bx
O
C点处的切线与弦线 AB 平行.
f()f(b)f(a)
ba
拉格朗日（Lagrange）中值定理
如果函数 f ( x)满足 （1） 在闭区间 [a, b]上连续； （2） 在开区间(a, b)内可导；
1)f(x)=ln(1+x)
2)f(x)=|x|
3)f(x)3 x
4)f(x)=arctanx
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二.函数单调性的判定法
y
B
yA
y=f(x)
y=f(x)
A
B
0a
bx
几何特征：
f '(x)>0
0a
bx
f '(x)<0
定理：设函数y=f(x)在[a、b]上连续,在（a、b)内可导.
1）若在(a、b)内f’(x)>0，则y=f(x)在[a、b]上单调增加。 2）若在(a、b)内f’(x)<0，则y=f(x)在[a、b]上单调减少。
下一页
(C)例4：求函f数 (x) x2 的单调 1x
解： 1）定义域为(-∞、-1)∪（-1、+∞).
2）f'(x)x(1(xx)22) 令 f'( x ) 0 得 x 1 2 、 x 2 0
3)列表:
x (-∞、-2) -2 （-2、-1） （-1、0） 0 (0、+∞)
y’
+
0
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中值定理几种证法
摘要：我们在解决微积分的问题中，很多时候要用到Lagrange 中值定理，但对于Lagrange 中值定理的证明，书本上只给了一种方法，为了更好地摸清Lagrange 中值定理的“底”，特提供以下几种方法，仅供参考！
关键词：Lagrange 中值定理；辅助函数；坐标系转轴；闭区间套定理。
Lagrange 中值定理：
设函数f （x ）在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,上可微，至少存在一点ξ∈()b a ,，使a
b a f b f --=
)()()('f ξ
几种不同的证法是：
证法1，作辅助函数
)()()()()(x a x a
b a f b f a f x f ----
-=）（ϕ，x []b a ,∈ 由于函数f(x)在闭区间[]b a ,连续，在开区间()b a ,上可微，因此函数)(x ϕ也在闭区间[]b a ,连续，在开区间()b a ,上可微，并且有
0)()==b a ϕϕ（
于是由Rolle 定理，至少存在一点ξ∈()b a ,，使得0)('=ξϕ，对的表达式求导并令0)('=ξϕ，整理后得
a
b a f b f --=
)()()('f ξ
证法2，作辅助函数
-=)()(x f x ϕa
b a f b f --)()(f
x
由于函数f(x)在闭区间[]b a ,连续，在开区间()b a ,上可微，因此函数)(x ϕ也在闭区间[]b a ,连续，在开区间()b a ,上可微，并且有
0)()==b a ϕϕ（
于是由Rolle 定理，至少存在一点ξ∈()b a ,，使得0)('=ξϕ，对的表达式求导并令0)('=ξϕ，整理后得
a
b a f b f --=
)()()('f ξ
证法3，坐标系旋转
在高等代数第四章第一节中的引例中提到了坐标系旋转问题，在这里我们也可以把原来
标系进行逆时针旋转，新得到的X 轴与x 轴的夹角是θ，令tan θ=
a
b a f b f --)()(，
平面直角变换后的公式是 x=θθsiin y 'cos x'- y=θθcos 'sin x'y + 整理后得
θ
θcos sin 'x y x +=
θ
θcos sin 'y x y +-==g （x ）
由于函数f(x)在闭区间[]b a ,连续，在开区间()b a ,上可微，所以y'在闭区间[]b a ,连续，在开区间()b a ,上可微
()θθθθcos sin )((sin f(b)sin g a a f g b +=+)
所以存在一点)cos sin )(,cos sin )((θθθθηb b f a a f ++∈使0)('=ηg ，
0cos sin )('cos )('sin '
')('=++-=
=
θ
θθθηx f x f dx dy g
=
=θtan )('x f a
b a f b f --)()(
存在一点ξ∈()b a ,，使得
a
b a f b f --=
)()()('f ξ
证法4，利用闭区间套定理
设()b a x x ,21∈<
点 ()(,11x f x ),()(,22x f x )所构成的向量（)()(,1212x f x f x x --）与向量（)()(,a f b f a b --）是一对平行向量，由此得
a
b a f b f x x x f x f --=
--)()()
()(1
212
设（n n x x 212,-）⊂（2232,--n n x x x ）⊂（4252,--n n x x ）…………⊂（43,x x ）⊂（21,x x ）
根据闭区间套定理可知，存在唯一实数),212n n x x -∈
（ξ,使zn
n n n x x lim
lim 12∞
→-∞
→=（ξξ↓↑-n n x x 212且）
∴=
--=
--1
22122)
()()('f n n n n x x x f x f ξa
b a f b f x x x f x f --=
--)()()
()(1
212
至少存在一点ξ∈()b a ,，使得
a
b a f b f --=
)()()('f ξ
证法5，利用面积法
设
h(x)表示的三角形
ABC
的面积，A,B,C
的坐标分别是
（)(,a f a ）,( )(,b f b ),()(,x f x ) 线段AB 所在的直线方程l 是y=
)
())
()(a f a x a
b a f b f +---（
2
2))()(()(a f b f a b AB -+-=
点C 到直线l 的距离是d=
2
)
)()((
1)
()()()()(a
b a f b f a f a x a b a f b f x f --+-----
h(x)=AB d 2
1=
()a b a f a x a b a f b f x f ------
)()
()()()(2
1
h(a )=h(b) ∴由
Rolle 定理，至少存在一点ξ∈()b a ,，使得0)('=ξh ，对的表达式求导并令
0)('=ξh ，整理后得 a
b a f b f --=
)()()('f ξ
参考文献：
[]1 陈纪修，於崇华.数学分析[]M .北京：高等教育出版社,1999
[]2 北京大学数学系集合与代数教研室前代数小组.高等代数[]M .北京：北京高等教育出版
社,2003
[]3 黄光谷，邹亚清，谭代富，方永波.高等数学学习指导与习题解析[]M .武汉：华中科技
大学出版社,1999。