【步步高】2013-2014学年高中数学 第一章 §1.3.1第1课时函数的单调性课件 新人教A版必修1

2 ∴1－a<2a－1，即 a>3， ∴所求 a
2 的取值范围是3，＋∞.
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1．函数 f(x)的定义域为(a，b)，且对其内任意实数 x1，x2 均有 (x1－x2)(f(x1)－f(x2))<0，则 f(x)在(a，b)上是 A．增函数 C．不增不减函数
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2．如果 f(x)＝x2＋bx＋c 对任意实数 t 都有 f(3＋t)＝f(3－t)， 那么 A．f(3)<f(1)<f(6) C．f(3)<f(6)<f(1) B．f(1)<f(3)<f(6) D．f(6)<f(3)<f(1) ( A )
解析 由于 f(x)是二次函数，其函数图象为开口向上的抛物 线，f(3＋t)＝f(3－t)，
探究点三 函数单调性的应用
问题 1 如何利用函数的单调性比较两个函数值的大小？
答 先判断函数 f(x)在区间 D 上的单调性，如果函数 f(x)在 D
上是增函数，则当 x1<x2 时，f(x1)<f(x2)，如果 f(x)在 D 上是减函 数，结论则相反．
问题 2 已知函数的单调性，能利用函数值的大小关系得出对 应自变量的大小关系吗？
答 在给定区间上任取 x1，x2 且 x1<x2，则 f(x1)＜f(x2)．
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问题 4 当 x 增大时，f(x)的值随着增大，我们说 f(x)是增函数；当 x
增大时， f(x)的值减小， 我们说 f(x)是减函数． 如果给出函数 y＝f(x)， x∈I，你能给增函数和减函数下个定义吗？
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k 例 2 物理学中的玻意耳定律 p＝V(k 为正常数)告诉我们， 对于一 定量的气体，当其体积 V 减小时，压强 p 将增大．试用函数的 单调性证明之．
证明 根据单调性的定义，设 V1，V2 是定义域(0，＋∞)上的 任意两个实数，且 V1＜V2，则 V2－V1 k k p(V1)－p(V2)＝V －V ＝k× V V . 1 2 1 2
答 增函数的定义：一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果 对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1， x2， 当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数．
减函数的定义：如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自 变量的值 x1， x2， 当 x1＜x2 时， 都有 f(x1)＞f(x2)， 那么就说函数 f(x) 在区间 D 上是减函数． 小结 函数的单调性定义：如果函数 y＝f(x)在某个区间上是增函 数或是减函数，那么就说函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单 调性，区间 D 叫做 y＝f(x)的单调区间．
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3．熟悉常见的一些单调性结论，包括一次函数，二次函数，反 比例函数等． 4．若 f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则：①在定义域的 交集(非空)上，f(x)＋g(x)单调递增，f(x)－h(x)单调递增， 1 ②－f(x)单调递减，③ 单调递减(f(x)≠0)． fx 5．对于函数值恒正(或恒负)的函数 f(x)，证明单调性时，也可 fx1 以作商 与 1 比较. fx2
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问题 2 如何利用函数解析式 f(x)＝x2 来描述随着自变量 x 值的变化，
函数值 f(x)的变化情况？
答
在(－∞，0]上，随着自变量 x 值的增大，函数值 f(x)逐渐
减小；在(0，＋∞)上，随着自变量 x 值的增大，函数值 f(x)逐 渐增大．
问题 3 如何用 x 与 f(x)的变化来描述当 x 在给定区间从小到大取值时， 函数值依次增大？
解析Βιβλιοθήκη ( B )B．减函数 D．既增又减函数
x1－x2>0， 或 fx1－fx2<0.
x1－x2<0， ∵(x1－x2)(f(x1)－f(x2))<0⇔ fx1－fx2>0
即当 x1<x2 时，f(x1)>f(x2)或当 x1>x2 时，f(x1)<f(x2)． 不论哪种情况，都说明 f(x)在(a，b)上为减函数．
解 函数在[ －1,0] 上是减函数，在[0,2] 上是增函数，在[2,4] 上是 减函数，在[4,5] 上是增函数．
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探究点二 问题 1 增函数、减函数的证明或判断 判断函数单调性的方法有哪些？证明函数单调性的方
法有哪些？
答 定义法，图象法．证明函数单调性有定义法．
问题 2
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探究点一 增函数、减函数、单调性、单调区间等概念 问题 1 画出函数 f(x)＝x、f(x)＝x2 的图象，并指出 f(x)＝x、f(x)＝ x2 的图象的升降情况如何？
答 根据列表法的三个步骤：列表→描点→连线得两函数的图
象如下：
函数 f(x)＝x 的图象由左到右是上升的；函数 f(x)＝x2 在 y 轴左 侧是下降的，在 y 轴右侧是上升的．
由 V1，V2∈(0，＋∞)，得 V1V2>0.
由 V1<V2，得 V2－V1>0.又 k>0，于是 p(V1)－p(V2)>0， 即 p(V1)>p(V2)． k 所以，函数 p＝V，V∈(0，＋∞)是减函数，也就是说，当体积 V 减小时，压强 p 将增大．
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小结
运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义
，
解得 0<a<1.
①
又 f(x)在(－1,1)上是减函数， 且 f(1－a)<f(2a－1)，
2 ∴1－a>2a－1，即 a<3. 2 由①②可知，0<a<3， ②
2 即所求 a 的取值范围是 0<a<3.
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小结
不等式 f(1 － a)<f(2a － 1) 为抽象不等式，不能直接求
答 能．利用函数单调性，将函数值的大小关系转化为自变量
的大小关系，即脱去 f 符号，转化为自变量的大小关系．
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例 3 已知 y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且 f(1－a)<f(2a－1)， 求 a 的取值范围．
解
－1<1－a<1 由题意可知 －1<2a－1<1
小结
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区
间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间 之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在 单调区间 D 上函数要么是增函数， 要么是减函数， 不能二者兼有．
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跟踪训练 1 根据下图说出函数在每一单调区间上， 函数是增函 数还是减函数．
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例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数 y＝f(x)，根据图象说出函数 的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
解
y＝f(x)的单调区间有[－5， －2)， [－2,1)， [1,3)， [3,5]． 其中 y＝f(x)
在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数．
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问题情境：函数是描述事物运动变化规律的数学模型．如果 了解了函数的变化规律，那么也就把握了相应事物的变化规 律．因此研究函数的性质是非常重要的．日常生活中，我们 有过这样的体验：从阶梯教室前向后走，逐步上升，从阶梯 教室后向前走，逐步下降．很多函数也具有类似性质，这就 是我们要研究的函数的重要性质——函数的单调性．
1．3.1 单调性与最大(小)值 第 1 课时 函数的单调性
【学习要求】 1．理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念； 2．掌握增(减)函数的证明和判别，学会运用函数图象理解和研究 函数的性质，能利用函数图象划分函数的单调区间． 【学法指导】 通过观察一些函数图象的特征，形成增(减)函数的直观认识．再 通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大(减小) 的规律，在经历从直观到抽象，以图识数的过程中，得出增(减) 函数单调性的定义， 体验数学概念的形成过程的真谛，掌握用定 义证明函数单调性的步骤.
∴抛物线的对称轴为 x＝3，且[3，＋∞)为函数的增区间， 由 f(1)＝f(3－2)＝f(3＋2)＝f(5)，
又∵3<5<6，
∴f(3)<f(5)<f(6)，故选 A.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1．若 f(x)的定义域为 D，A⊆D，B⊆D，f(x)在 A 和 B 上都单 调递减，未必有 f(x)在 A∪B 上单调递减． 2．对增函数的判断，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)，也可以用一 个不等式来替代： fx1－fx2 (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 或 >0.对减函数的判断，当 x1－x2 x1<x2 时， 都有 f(x1)>f(x2)， 相应地也可用一个不等式来替代： fx1－fx2 (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 或 <0. x1－x2
填一填·知识要点、记下疑难点
(3)如果函数 y＝f(x)在区间 D 上是增函数 或 减函数 ，那 么就说函数 y＝f(x)在这一区间具有 (严格的)单调性 ， 区间 D 叫做 y＝f(x)的 单调区间 ． 2．a>0 时，二次函数 y＝ax2 的单调增区间为 [0，＋∞) ． 1 3．函数 y＝x的单调递减区间为 (－∞，0)和(0，＋∞) .
1 1 x2－x1 则 f(x1)－f(x2)＝x －x ＝ x x ， 1 2 1 2