高考数学(文)一轮总复习(人教新课标·广东专用)课后作业：第六章 第三节 基本不等式
2013届高考数学一轮复习课时检测 第六章 第三节 基本不等式 理
第六章 第三节 基本不等式一、选择题1．已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )，若a ⊥b ，则9x ＋3y 的最小值为 ( )A ．2 2B ．4C ．12D ．6解析：由a ⊥b 得a ·b ＝0，即(x －1,2)·(4，y )＝0. ∴2x ＋y ＝2.则9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ·3y ＝232x ＋y ＝29＝6. 当且仅当32x ＝3y 即x ＝12，y ＝1时取得等号．答案：D2．(2011·重庆高考)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是 ( )A.72 B ．4 C.92D ．5解析：依题意得1a ＋4b ＝121a ＋4b )(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥12(5＋2b a ×4a b )＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2b a ＝4a b a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92.答案：C3．函数y ＝log 2x ＋log x (2x )的值域是 ( ) A ．(－∞，－1] B ．[3，＋∞)C ．[－1,3]D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)解析：y ＝log 2x ＋log x (2x )＝1＋(log 2x ＋log x 2)． 如果x >1，则log 2x ＋log x 2≥2， 如果0<x <1，则log 2x ＋log x 2≤－2， ∴函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 答案：D4．(2012·温州模拟)已知x >0，y >0，z >0，x －y ＋2z ＝0，则xzy 2的 ( )A ．最小值为8B ．最大值为8C ．最小值为18D ．最大值为18解析：xz y 2＝xz x ＋2z 2＝xz x 2＋4xz ＋4z 2＝1x z ＋4z x＋4≤18. 当且仅当x z ＝4zx，x ＝2z 时取等号． 答案：D5．已知x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2<m <4D ．－4<m <2解析：∵x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，∴x ＋2y ＝(x ＋2y )(2x ＋1y)＝4＋4y x ＋xy ≥4＋24yx·x y＝8，当且仅当4y x＝xy，即4y 2＝x 2， x ＝2y 时取等号，又2x ＋1y＝1，此时x ＝4，y ＝2，∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立，即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2.答案：D6．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于 ( )A ．0B ．4C ．－4D ．－2解析：由1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0得k ≥－a ＋b 2ab，而a ＋b 2ab＝b a ＋a b＋2≥4(a ＝b 时取等号)，所以－a ＋b 2ab≤－4，因此要使k ≥－a ＋b 2ab恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.答案：C 二、填空题7．(2011·湖南高考)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则(x 2＋1y 2)(1x2＋4y 2)·的最小值为________．解析：(x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)＝1＋4＋4x 2y 2＋1x 2y2≥1＋4＋24x 2y 2·1x 2y2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y2时等号成立，则|xy |＝22时等号成立． 答案：98．(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数ƒ(x )＝2x的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是____．解析：由题意知：P 、Q 两点关于原点O 对称，不妨设P (m ，n )为第一象限中的点，则m＞0，n ＞0，n ＝2m ，所以|PQ |2＝4|OP |2＝4(m 2＋n 2)＝4(m 2＋4m 2)≥16(当且仅当m 2＝4m2，即m ＝2时，取等号)，故线段PQ 长的最小值是4. 答案：49．(2012·徐州模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R)的值域为[0，＋∞)， 则c ＋2a ＋a ＋2c的最小值为________． 解析：由值域可知该二次函数的图象开口向上，且函数的最小值为0， 因此有4ac －14a ＝0，从而c ＝14a>0， ∴c ＋2a ＋a ＋2c ＝(2a ＋8a )＋(14a2＋4a 2)≥2×4＋2＝10， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝8a ，14a 2＝4a 2，，即a ＝12时取等号．故所求的最小值为10.答案：10 三、解答题10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0， 求(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值． 解：(1)∵x >0，y >0， ∴xy ＝2x ＋8y ≥216xy 即xy ≥8xy ，∴xy ≥8， 即xy ≥64. 当且仅当2x ＝8y即x ＝16，y ＝4时，“＝”成立． ∴xy 的最小值为64.(2)∵x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0， ∴2x ＋8y ＝xy ，即2y ＋8x＝1.∴x ＋y ＝(x ＋y )·(2y ＋8x )＝10＋2x y ＋8yx ≥10＋22xy·8yx＝18当且仅当2x y ＝8yx，即x ＝2y ＝12时“＝”成立．∴x ＋y 的最小值为18.11．已知a ，b >0，求证：a b 2＋b a 2≥4a ＋b证明：∵a b 2＋b a 2≥2a b 2·b a 2＝21ab >0，a ＋b ≥2ab >0，∴(a b2＋b a2)(a ＋b )≥21ab·2ab ＝4.∴a b 2＋b a 2≥4a ＋b. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a b 2＝b a2a ＝b，取等号．即a ＝b 时，不等式等号成立．12．某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)将2012年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数． (2)该企业2012年的促销费投入多少万元时， 企业的年利润最大？(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用) 解：(1)由题意可设3－x ＝k t ＋1，将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2.∴x ＝3－2t ＋1. 当年生产x 万件时，∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，∴年生产成本为32x ＋3＝32(3－2t ＋1＋3. 当销售x (万件)时，年销售收入为 150%[32(3－2t ＋1)＋3]＋12t . 由题意，生产x 万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，得年利润y ＝－t 2＋98t ＋352t ＋1t ≥0)．(2)y ＝－t 2＋98t ＋352t ＋1＝50－(t ＋12＋32t ＋1)≤50－2t ＋12×32t ＋1＝50－216＝42(万元)， 当且仅当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，y max ＝42， ∴当促销费定在7万元时，年利润最大。
新教材高考数学一轮复习第六章6-3等比数列课件新人教A版
q= ,则
=q = ,故选
2
1 + 2
4
A.
3.(2020全国2,理6)数列{an}中,a1=2,am+n=aman.若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,
则k=(
A.2
)
B.3
C.4
D.5
答案 C
解析 ∵am+n=am·
an,令 m=1,又 a1=2,∴an+1=a1·
2
1
3 + 4
2 1
q= ,则
=q = ,故选
2
1 + 2
4
A.
2.已知数列{an}是等比数列,其前 n 项和为
1
A.
4
1
B.
2
C.2
3 + 4
Sn,S2=3a2,则 + =(
1
2
)
D.4
答案 A
解析
1
由题意得,S2=a2+a1=3a2,a2= a1,公比
2
1
3 + 4
2×[1-( ) ]
1 n-1 4
∴an=2×(2) =2 ,Sn=
1
=4(1-2 ),∴
a1=2,
1
=
4(1- )
2
4
2
=2n-1.
解题心得解决等比数列有关问题的常见思想方法
(1)方程思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列
解析 (1)已知数列{an}是等比数列,且
1 = 2,
=
1 5
《课堂新坐标》2022高考数学(文)一轮总复习(人教新课标·广东专用)课后作业：4-4第一节坐标系
《课堂新坐标》2022高考数学（文）一轮总复习（人教新课标·广东专用）课后作业：4-4第一节坐标系1．(2021·阳江质检)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是________．2．在极坐标系中，点(2，π3)到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为________．3．在极坐标系中，点(1，0)到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝2的距离为________．4．(2021·西安模拟)在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________． 5．(2021·东莞模拟)极坐标系下，直线ρcos(θ－π4)＝2与圆ρ＝2的公共点个数是________． 6．已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________．7．(2021·湛江模拟)在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，过极点的一条直线l 与圆相交于O ，A 两点，且∠AOx ＝45°，则|OA|＝________． 8．(2021·广州模拟)设点A 的极坐标为(2，π6)，直线l 过点A 且与极轴所成的角为π3，则直线l 的极坐标方程为________．9．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，则实数a 的值是________．10．(2021·中山质检)点M ，N 分别是曲线ρsin θ＝2和ρ＝2cos θ上的动点，则|MN|的最小值是________．11．从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM ·OP ＝12.(1)则点P 的轨迹方程为________；(2)设R 为l 上的任意一点，则|RP|的最小值为________．解析及答案1．【解析】 圆的方程可化为ρ2＝－2ρsin θ， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得x2＋y2＝－2y ， 即x2＋(y ＋1)2＝1，圆心(0，－1)， 化为极坐标为(1，－π2)． 【答案】 (1，－π2) 2．【解析】 点(2，π3)在平面直角坐标系中的坐标为(1，3)．圆ρ＝2cos θ化为平面直角坐标系中的一样方程为x2＋y2＝2x ，即(x －1)2＋y2＝1.其圆心为(1，0)． ∴所求两点间的距离为（1－1）2＋（3－0）2＝ 3.【答案】3 3．【解析】 直线ρ(cos θ＋sin θ)＝2的直角坐标方程为x ＋y －2＝0，极坐标(1，0)的直角坐标为(1，0)，点(1，0)到该直线的距离为d ＝|1＋0－2|2＝22. 【答案】 22 4．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ.得⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝cos θ，y －4＝sin θ. ∴曲线C1：(x －3)2＋(y －4)2＝1，其圆心为(3，4)，半径为r1＝1. 由C2：ρ＝1，且ρ＝x2＋y2，得曲线C2：x2＋y2＝1，其圆心为(0，0)，半径r2＝1，因此两圆的圆心距|C1C2|＝5，又A ∈曲线C1，B ∈曲线C2，∴|AB|min ＝|C1C2|－r1－r2＝5－2＝3.【答案】 35．【解析】 将已知直线和圆的极坐标方程分别化为一般方程为x ＋y ＝2，x2＋y2＝4，由于圆心到直线的距离d ＝2＜2，故直线与圆相交，即公共点个数共有2个．【答案】 2 6．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α，得x2＋(y －1)2＝1，① 方程ρsin θ＝1化为y ＝1，② 由①、②联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1， ∴直线l 与圆C 的交点坐标为(1，1)或(－1，1)．【答案】 (1，1)或(－1，1)7．【解析】 由已知知圆C 的直角坐标方程为x2＋(y －1)2＝1，直线l 的直角坐标方程为y ＝x ，故圆心C(0，1)到直线l ：y ＝x 的距离为22，则弦长|OA|＝ 2.【答案】 28．【解析】 ∵点A 的极坐标为(2，π6)，∴点A 的平面直角坐标为(3，1)， 又∵直线l 过点A 且与极轴所成的角为π3， ∴直线l 的方程为y －1＝(x －3)tan π3.即3x －y －2＝0.∴直线l 的极坐标方程为3ρcos θ－ρsin θ－2＝0，可整理为ρcos(θ＋π6)＝1或ρsin(π6－θ)＝1或ρsin(θ－4π3)＝1. 【答案】 ρcos(θ＋π6)＝1或ρsin(π3－θ)＝1或ρsin(θ－4π3)＝1 9．【解析】 ρ＝2cos θ化为直角坐标方程x2＋y2－2x ＝0， 则(x －1)2＋y2＝1，圆心(1，0)，半径r ＝1.直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0化为3x ＋4y ＋a ＝0.又∵直线与圆相切， ∴|3×1＋4×0＋a|32＋42＝1，则|3＋a|＝5， ∴a ＝2或a ＝－8.【答案】 2或－810．【解析】 将ρsin θ＝2化为y ＝2，曲线ρ＝2cos θ化为一般方程(x －1)2＋y2＝1，知圆心ρ(1，0)，半径r ＝1，∴圆心ρ(1，0)到直线y ＝2的距离d ＝2，因此|MN|的最小值为d －r ＝1.【答案】 111．【解析】(1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，M 的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ即为所求的轨迹方程．(2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程，得x2＋y2＝3x ，即(x －32)2＋y2＝(32)2， 知P 的轨迹是以(32，0)为圆心，半径为32的圆．直线l 的直角坐标方程是x ＝4.结合图形易得|RP|的最小值为1.【答案】 (1)ρ＝3cos θ (2)1。
届数学一轮复习第六章数列第三节等比数列及其前n项和学案理含解析
第三节等比数列及其前n项和［最新考纲］［考情分析］［核心素养]1.理解等比数列的概念。
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系。
等比数列的基本运算,等比数列的判断与证明,等比数列的性质与应用仍是2021年高考考查的热点，三种题型都有可能出现，分值为5~12分.1.数学运算2.逻辑推理‖知识梳理‖1．等比数列的有关概念(1)定义①文字语言：从错误!第2项起，每一项与它的前一项的错误!比都等于错误!同一个常数．②符号语言：错误!错误!＝q（n∈N*，q为非零常数)．（2）等比中项：如果a，G,b成等比数列，那么错误!G叫做a 与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G26ab．2．等比数列的有关公式(1）通项公式：a n＝错误!a1q n－1．（2)前n项和公式3．等比数列的性质（1）通项公式的推广:a n＝a m·q n－m（m，n∈N＊）．（2）对任意的正整数m,n，p，q，若m＋n＝p＋q，则错误!a m·a n ＝错误a p·a q．特别地，若m＋n＝2p,则a m·a n＝a2p.(3）若等比数列前n项和为S n，则S m，S2m－S m,S3m－S2m仍成等比数列，即（S2m－S m)213S m（S3m－S2m）（m∈N＊，公比q≠1）．(4）数列｛a n｝是等比数列，则数列｛pa n}(p≠0，p是常数)也是错误!等比数列．(5)在等比数列{a n｝中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n，a n＋k,a n＋2k，a n＋3k，…为等比数列,公比为错误!q k．►常用结论1．若｛a n｝，｛b n}（项数相同)是等比数列，则{λa n｝（λ≠0),错误!，{a2，n}，{a n·b n｝,错误!仍是等比数列．2．一个等比数列各项的k次幂仍组成一个等比数列，新公比是原公比的k次幂．3．｛a n｝为等比数列，若a1·a2·…·a n＝T n，则T n，错误!，错误!，…成等比数列．4．当q≠0且q≠1时，S n＝k－k·q n（k≠0）是｛a n}成等比数列的充要条件，这时k＝错误!.5．有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等，特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）．（1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．（)（2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac。
高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第三节基本不等式及其应用课件理新人教A版03294185
思考2：已知x＞0，y＞0. ∵x＋y≥2 xy，1x＋2y≥2 x2y， ∴(x＋y) 1x＋2y ≥4 2 ，即(x＋y) 1x＋2y 的最小值为4 2 ，正确吗？ 说明理由．
提示：不正确，取等号的条件：x＝y且
1 x
＝
2 y
无解，故(x＋y)
1x＋2y
≥4 2等号不成立，即(x＋y)1x＋2y的最小值不是4 2.
正确的求法：(x＋y)
1x＋2y
＝1＋
2x y
＋
y x
＋2≥3＋2
2 .当且Leabharlann 当y＝2x时取等号，故(x＋y)1x＋2y的最小值为3＋2 2.
四基精演练
解析：选D.因为x＜0，所以－x＞0，－x＋
1 －x
≥2
1 ＝2，当且仅
当x＝－1时，等号成立，所以x＋1x≤－2.
3.(知识点1、2)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( C )
⇐ 源自必修五P99例1（2）
A．80
B．77
C．81
D．82
解析：选C.∵x＞0，y＞0，∴x＋2 y≥ xy，
命题点2
含有等式条件的最值
[例2] [一题多解]已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最
小值为( A )
A．8
B．4
C．2
D．0
解析：解法一：(构造目标不等式法)∵x＞0，y＞0，∴xy＝
1 2
(x·2y)≤12×x＋22y2，又x＋2y＝xy，∴x＋2y≤12×x＋22y2.由x＞0，y＞ 0知x＋2y＞0，所以x＋2y≥8，∴x＋2y的最小值为8.
解析：因为ab＞0，所以
高考数学一轮第六章数列第三节等比数列及其前n项和人教A版
∴Sann＝41－4 21n＝2n－1. 2n
[名师微点]
等比数列基本量运算的解题策略 (1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问 题，等比数列中有五个量 a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三 求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解． (2)等比数列的前 n 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论， 当 q＝1 时，{an}的前 n 项和 Sn＝na1；当 q≠1 时，{an}的前 n 项和 Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq.
解析：设等比数列{an}的公比为 q，
∵aa12＋＋aa34＝＝5254，，
∴aa11＋q＋a1aq12q＝3＝52，54，
②
①
由①除以②可得1q＋＋qq23＝2，解得 q＝12，代入①得 a1＝2，
∴an＝2×21n－1＝24n，Sn＝2×11－－1212n＝41－21n，
等比数列的判定方法
[解题技法]
定义法 若aan＋n 1＝q(q 为非零常数，n∈N*)或aan－n1＝q(q 为 非零常数且 n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项公式法 若数列{an}中，an≠0 且 a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)， 则{an}是等比数列
通项公式法 若数列{an}的通项公式可写成 an＝c·qn－1(c，q 均 为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
[推荐学习]2018高考数学一轮复习第6章不等式及其证明第3节基本不等式教师用书
![[推荐学习]2018高考数学一轮复习第6章不等式及其证明第3节基本不等式教师用书](https://img.taocdn.com/s3/m/9b9cae612b160b4e767fcfea.png)
第三节 基本不等式1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号且不为零)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( )(3)x >0，y >0是x y ＋y x≥2的充要条件．( ) (4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b>2abD.b a ＋a b≥2D [∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误；对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误． 对于D ，∵ab >0，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2.] 3．(2016·绍兴二模)若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋4a b的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10C [∵a ，b 都是正数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b≥5＋2b a ·4ab＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号，故选C.]4．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3D ．4 C [当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2x －1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，选C.] 5．(教材改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m 2. 【导学号：51062190】25 [设矩形的一边为x m ，矩形场地的面积为y ， 则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，则y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋－x 22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.](1)若实数a ，b 满足a ＋b＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4(2)(2017·湖州二次质量预测)已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是__________．(1)C (2)3 [(1)由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.(2)由x 2＋2xy －3＝0得y ＝3－x 22x ＝32x －12x ，则2x ＋y ＝2x ＋32x －12x ＝3x 2＋32x≥23x 2·32x＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以2x ＋y 的最小值为3.] [规律方法] 1.利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．2．在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式．[变式训练1] (1)(2017·金华十校4月联考)已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，若不等式2a ＋1b≥m 恒成立，则m 的最大值等于( )A ．10B ．9C ．8D ．7(2)(2017·杭州学军中学一模)已知实数m ，n 满足m ·n >0，m ＋n ＝－1，则1m ＋1n的最大值为__________．(1)B (2)－4 [(1)∵2a ＋1b＝a ＋b a ＋2a ＋b b ＝4＋2b a ＋2a b ＋1＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋2×2b a ×a b ＝9，当且仅当a ＝b ＝13时取等号．又2a ＋1b≥m ，∴m ≤9，即m 的最大值等于9，故选B.(2)∵m ·n >0，m ＋n ＝－1，∴m <0，n <0， ∴1m ＋1n＝－(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n＝－⎝⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋mn ≤－2－2n m ·mn＝－4， 当且仅当m ＝n ＝－12时，1m ＋1n取得最大值－4.]已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab≥8；(2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. [证明] (1)1a ＋1b ＋1ab＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2＝4，4分∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立).7分 (2)法一：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理1＋1b ＝2＋a b，∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，12分∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立).14分法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab，由(1)知，1a ＋1b ＋1ab ≥8，12分故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab≥9.14分[规律方法] 1.“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形．2．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到．[变式训练2] 设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1b2＋ab ≥2 2.[证明] 由于a ，b 均为正实数， 所以1a 2＋1b 2≥21a2·1b 2＝2ab，4分当且仅当1a 2＝1b2，即a ＝b 时等号成立，又因为2ab ＋ab ≥22ab·ab ＝22，当且仅当2ab＝ab 时等号成立，所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2ab＋ab ≥22，12分当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝1b 2，2ab ＝ab ，即a ＝b ＝42时取等号.14分50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． [解] (1)设所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50,100].4分所以这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[]50，100. (或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[]50，100).6分(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥26 10，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810，等号成立.12分故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元.14分 [规律方法] 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． 2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． 3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．[变式训练3] 某化工企业2016年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用为y (单位：万元)．(1)用x 表示y ；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．[解] (1)由题意得，y ＝100＋0.5x ＋＋4＋6＋…＋2xx，即y ＝x ＋100x＋1.5(x ∈N *).6分 (2)由基本不等式得：y ＝x ＋100x＋1.5≥2x ·100x＋1.5＝21.5，12分当且仅当x ＝100x，即x ＝10时取等号．故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备.14分[思想与方法]1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．2．基本不等式的两个变形： (1)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)．(2)a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0，当且仅当a ＝b 时取等号)． [易错与防范]1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 2．“当且仅当a ＝b 时等号成立”的含义是“a ＝b ”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽视它往往会导致解题错误．3．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．课时分层训练(三十二) 基本不等式A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知x >－1，则函数y ＝x ＋1x ＋1的最小值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2C [由于x >－1，则x ＋1>0，所以y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1≥2x ＋1x ＋1－1＝1，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，由于x >－1，即当x ＝0时，上式取等号．] 2．设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [因为a ，b ∈R 时，都有a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，即a 2＋b 2≥2ab ，而a b ＋ba≥2⇔ab >0，所以“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2”的必要不充分条件．]3．(2017·金华十校联考)函数f (x )＝ax －1－2(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A在直线mx －ny －1＝0上，其中m >0，n >0，则1m ＋2n的最小值为( )A ．4B ．5C ．6D ．3＋2 2D [由题意知A (1，－1)，因为点A 在直线mx －ny －1＝0上，所以m ＋n ＝1，所以1m ＋2n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n (m ＋n )＝3＋n m ＋2m n，因为m >0，n >0，所以1m ＋2n ＝3＋n m ＋2mn≥3＋2n m ·2m n＝3＋2 2. 当且仅当n m ＝2mn时，取等号，故选D.] 4．(2017·湖州二模)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b，则1a ＋2b的最小值为( )【导学号：51062191】A ．4B ．2 2C ．8D ．16B [由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab，得ab ＝1， 则1a ＋2b≥21a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立．故选B.] 5．(2017·杭州二中月考)若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，则( )A ．R <P <QB ．Q <P <RC ．P <Q <RD ．P <R <QC [∵a >b >1，∴lg a >lg b >0， 12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ， 即Q >P .∵a ＋b2>ab ，∴lga ＋b2>lg ab ＝12(lg a ＋lg b )＝Q ，即R >Q ，∴P <Q <R .] 二、填空题6．(2017·浙江金华3月联考)若2x ＋4y＝4，则x ＋2y 的最大值是__________． 2 [因为4＝2x＋4y＝2x＋22y≥22x ×22y ＝22x ＋2y，所以2x ＋2y≤4＝22，即x ＋2y ≤2，当且仅当2x＝22y＝2，即x ＝2y ＝1时，x ＋2y 取得最大值2.] 7．已知函数f (x )＝x ＋px －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为__________．94 [由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，所以2p ＋1＝4，解得p ＝94.]8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝__________吨．20 [每次都购买x 吨，则需要购买400x次．∵运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元， ∴一年的总运费与总存储费用之和为4×400x＋4x 万元．∵4×400x ＋4x ≥160，当且仅当4x ＝4×400x时取等号，∴x ＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．] 三、解答题9．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x4－2x 的最大值．[解] (1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32.2分当x <32时，有3－2x >0，∴3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x＝4，4分 当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.6分(2)∵0<x <2， ∴2－x >0， ∴y ＝x4－2x ＝2·x2－x≤2·x ＋2－x2＝2，10分当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， ∴当x ＝1时，函数y ＝x4－2x 的最大值为 2.15分10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值. 【导学号：51062192】 [解] (1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，2分又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.6分 (2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22x y·8yx＝18.10分当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， ∴x ＋y 的最小值为18.15分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元C [由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4xm ．又设总造价是y 元，则y ＝20×4＋10×⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋8x ≥80＋202x ·8x＝160.当且仅当2x ＝8x，即x ＝2时取得等号．]2．(2017·浙江名校(柯桥中学)交流卷三)设a >0，b >0，a ＋b －2a 2b 2－6＝0，则1a ＋1b的最小值是________，此时ab 的值为________．433 [∵a >0，b >0，a ＋b ＝2a 2b 2＋6，∴1a ＋1b＝6＋ab 2ab＝6ab＋2ab ≥43，当且仅当6ab ＝2ab ，即ab ＝3时，1a ＋1b取到最小值4 3.]3．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N *)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|.(1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N *)的函数关系式； (2)求该城市旅游日收益的最小值．[解] (1)W (t )＝f (t )g (t )＝⎝⎛⎭⎪⎫4＋1t (120－|t －20|)＝⎩⎪⎨⎪⎧401＋4t ＋100t ，1≤t ≤20，559＋140t－4t ，20<t ≤30.6分(2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t≥401＋24t ·100t＝441(t ＝5时取最小值).9分当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t－4t 递减，所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝44323，12分所以t ∈[1,30]时，W (t )的最小值为441万元.15分。
高三数学(文)一轮复习课件广东专用版第6章---第6节
么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )
A．a、b都能被5整除
B．a、b都不能被5整除
C．a、b不都能被5整除 D．a不能被5整除
【解析】 “至少有一个”的否定“没有一个”，故选B.
【答案】 B
新课标 ·数学（文）(广东专用)
2．(2012·佛山模拟)若 a＜b＜0，则下列不等式中成立的是( )
【答案】
b＋x b a＋x>a
新课标 ·数学（文）(广东专用)
对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足以下三条： ①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0， x1＋ x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．g(x)＝ 2x－1(x∈[0,1])是否为理想函数，如果是，请予证明；如果不是，请说 明理由． 【思路点拨】 根据理想函数的定义，证明g(x)满足理想函数的三个 条件即可．
新课标 ·数学（文）(广东专用)
【解题程序】 第一步：等价转化需证明的不等式(去分母)； 第二步：作差法证明大小关系； 第三步：设出logab＝x，logbc＝y，根据换底公式求出logca； 第四步：把要证明的不等式转化为(1)中已证明的不等式．
新课标 ·数学（文）(广东专用)
易错提示：(1)解答(1)时，没有去分母，等价转化不等式，导致作 差变形无法进行．
新课标 ·数学（文）(广东专用)
第六节 直接证明与间接证明
新课标 ·数学（文）(广东专用)
1．直接证明
新课标 ·数学（文）(广东专用)
新课标 ·数学（文）(广东专用)
2.间接证明 反证法：假设原命题 不成立 (即在原命题的条件下，结论不成 立)，经过正确的推理，最后得出 矛盾 ．因此说明假设错误，从 而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课后作业(三十七) 基本不等式一、选择题
1．若函数f(x)＝x＋1
x－2
(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝() A．1＋ 2 B．1＋ 3 C．3 D．4
2．下列不等式：①a2＋1＞2a；②a＋b
ab
≤2；③x2＋1
x2＋1
≥1，其中正确的个
数是()
A．0 B．1 C．2 D．3
3．(2019·潮州模拟)已知a＞0，b＞0，则1
a
＋1
b
＋2ab的最小值是()
A．2 B．2 2 C．4 D．5
4．(2019·湖北高考)设a，b，c均大于0，则“abc＝1”是“1
a
＋1
b
＋1
c
≤a＋b
＋c”的()
A．充分条件不必要条件
B．必要条件不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要的条件
5．已知a＞0，b＞0，且ab＝1，α＝a＋4
a
，β＝b＋4
b
，则α＋β的最小值为()
A．8 B．9 C．10 D．12
二、填空题
6．(2019·深圳调研)已知a，b∈R，且ab＝50，则|a＋2b|的最小值是________．7．若ab＝2且a＞0，b＞0，则3a＋32b的最小值为________．
8．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是________．
三、解答题
9．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．
10．已知a>0，b>0，c>0，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1
c ≥9. 11. 某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入1
6(x 2－600)万元
作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入1
5x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
解析及答案
一、 选择题
1．【解析】 ∵x ＞2，∴x －2＞0， ∴f(x)＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2
＋2≥2
（x －2）·1
x －2
＋2＝4，
当且仅当x －2＝1
x －2
(x ＞2)，即x ＝3时等号成立，
∴a ＝3. 【答案】 C
2．【解析】 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2
＋1)＋1x 2＋1
－1≥2－1＝1.
【答案】 B
3．【解析】 1a ＋1b ＋2ab ≥2
1
ab ＋2ab ≥441ab ·
ab ＝4.
当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，
1ab ＝ab ，即a ＝b ＝1时，等号成立，
因此1a ＋1
b ＋2ab 的最小值为4. 【答案】 C 4．【解析】
1a ＋1b ＋1
c ＝bc ＋ca ＋ab abc
， 当abc ＝1时， ∴
bc ＋ca ＋ab
abc
≤1
2[(b ＋c)＋(c ＋a)＋(a ＋b)]
＝a ＋b ＋c.
故abc ＝11a ＋1b ＋1
c
≤a ＋b ＋c. 反过来，取a ＝b ＝1，c ＝4有1a ＋1b ＋1
c
≤a ＋b ＋c ，但abc≠1，
∴“abc ＝1”是“1a ＋1b ＋1
c ≤a ＋b ＋c”的充分不必要条件．
【答案】 A
5．【解析】 α＋β＝(a ＋b)＋4a ＋4
b ＝(a ＋b)＋4（a ＋b ）ab
＝5(a ＋b)≥10ab ＝10，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．
【答案】 C 二、填空题
6．【解析】 因为|a ＋2b|＝（a ＋2b ）2＝a 2＋4b 2＋4ab ≥8ab ＝20，当且仅当a 2＝4b 2时取等号，所以|a ＋2b|的最小值是20.
【答案】 20
7．【解析】 3a ＋32b ≥2·3a ＋2b 2，且a ＋2b≥22ab ＝4， 上面两式当且仅当a ＝2b 时，等号同时取到， ∴3a ＋32b ≥2·3a ＋2b
2≥2·32＝18， 从而当a ＝2b 时，3a ＋32b 有最小值18. 【答案】 18
8．【解析】 设每次购买该种货物x 吨，则需要购买200
x 次，则一年的总运费为200x ×2＝400
x ，一年的总存储费用为x ，
所以一年的总运费与总存储费用为400x ＋x≥2400x ·x ＝40，当且仅当
400
x ＝x ，即x ＝20时等号成立．
故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨． 【答案】 20 三、解答题
9．【解】 ∵x ＞0，y ＞0，2x ＋8y －xy ＝0， (1)xy ＝2x ＋8y≥216xy ， ∴xy ≥8，∴xy≥64. 故xy 的最小值为64.
(2)由2x ＋8y ＝xy ，得：2y ＋8
x ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y)·1＝(x ＋y)(2y ＋8
x ) ＝10＋2x y ＋8y
x ≥10＋8＝18. 故x ＋y 的最小值为18.
10．【证明】 1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c
c ＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c
)
≥3＋2
b a ·a b ＋2
c a ·a
c ＋2 c b ·b
c
＝3＋2＋2＋2＝9，
当且仅当a ＝b ＝c ＝1
3时取等号， ∴1a ＋1b ＋1
c ≥9.
11. 【解】 (1)设每件定价为x 元，依题意得 (8－x －25
1×0.2)x≥25×8，
整理得x 2－65x ＋1 000≤0，解得25≤x≤40.
∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意，不等式ax≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋1
5x 有解， 等价于x ＞25时，a≥150x ＋16x ＋1
5有解， ∵150x ＋16x ≥2
150x ·16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)， ∴a ≥10.2.
∴当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．。