2018北京市朝阳区高三年级数学理科第一次综合练习 - 副本
2018年高三最新 北京市朝阳区2018年综合练习(一)高三
2018年北京市朝阳区综合练习（一）高三数学综合练习（理科）第I 卷（选择题共40分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率kn k k n n )P 1(P C )k (P --= 球的表面积公式2R 4S π=其中R 是表示球的半径 球的体积公式3R 34V π=其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设全集为R ，}3x 3|x {B }5x 3x |x {A <<-=><=，或，则（ ） A.R B A R C =B. R B A R C =C. R B A R R C C =D. R B A =（2）已知m 是平面α外的一条直线，直线α⊂n ，那么m//n 是α//m 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 （3）已知向量a ＝（2，3），b ＝（1，2），且)()(b a b a -⊥+λ，则λ等于（ ） A.35B. 35-C. －3D. 3（4）已知函数x x f ωsin )(=在]40[π，上单调递增且在这个区间上的最大值为23，则实数ω的一个值可以是（ ）A.32 B.38 C.34 D.310 （5）从10种不同的作物种子中选出6种，放入分别标有1号至6号的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入1号瓶内，那么不同的放法共有（ ）A. 48210A C 种B. 5919A C 种C. 5818A C 种D. 5918A C 种（6）如下图，正方形ABCD 的顶点A （0，22），B （22，0），顶点C 、D 位于第一象限，直线)20(≤≤=t t x l ：将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为f(t)，则函数)(t f S =的图象大致是（ ）（7）过双曲线)00(12222>>=-b a b ya x ，的一个焦点F 引它的一条渐近线的垂线FM ，垂足为M ，并且交y 轴于E ，若M 为EF 的中点，则该双曲线的离心率为（ ）A. 2B.3C. 3D.2（8）设函数f(x)在定义域D 上满足0)(1)21(≠-=x f f ，，且当D y x ∈，时，)1()()(xy y x f y f x f ++=+，若数列}{n x 中，*)(1221211N n D x x xx x n nn ∈∈+==+，，，则数列)}({n x f 的通项公式为（ ）A. 12)(+-=n n x fB. 12)(--=n n x fC. 13)(--=n n x fD. 13)(+=n n x f第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2018-2019朝阳区一模数学理科试题与答案(K12教育文档)
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北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学 (理）2019．3本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答 无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|1}A x x =>，集合2{|4}B x x =<，则A B =A ．{|2}x x >-B ．{|12}x x <<C ．{|12}x x ≤<D ．R 2．在复平面内,复数12iiz +=对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．41()x x-的展开式中的常数项为A ．12-B ．6-C ．6D ． 12 4．若函数22,1,()log ,1x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩,则函数()f x 的值域是A ．(,2)-∞B ．(,2]-∞C ．[0,)+∞D ．(,0)(0,2)-∞5．如图，函数()f x 的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则()f x 的解析式可以是A ．()sin(2)3f x x π=+B ．()sin(4)6f x x π=+C ．()cos(2)3f x x π=+D ．()cos(4)6f x x π=+12π1-1O 3π xy712π6．记不等式组0,3,yy xy kx≥⎧⎪≤+⎨⎪≤⎩所表示的平面区域为D．“点(1,1)D-∈”是“1k≤-"的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1）,则该三棱锥的体积为A．4B．2C．83D．438．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14,10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是A．5 B．6 C．7 D．8第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分,共30分．把答案填在答题卡上．9．双曲线2214xy-=的右焦点到其一条渐近线的距离是．10．执行如图所示的程序框图，则输出的x 正（主）视图俯视图侧（左）视图11．在极坐标系中，直线cos1ρθ=与圆4cosρθ=相交于,A B 两点，则AB=___．12．能说明“函数()f x的图象在区间[]0,2上是一条连续不断的曲线．若(0)(2)0f f⋅>，则()f x在(0,2)内无零点”为假命题的一个函数是．13．天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石(如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是．14．在平面内，点A是定点，动点CB,满足||||1AB AC==，0AB AC⋅=，则集合{=+,12}|P AP AB ACλλ≤≤所表示的区域的面积是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．(本小题满分13分）在ABC△中，21a=，120A∠=︒，ABC△的面积等于3,且b c<．（Ⅰ)求b的值；（Ⅱ）求cos2B的值．图1 图216．（本小题满分13分）某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟)．将统计数据按[5,10),[10,15),[15,20),,[35,40]分组，制成频率分布直方图:时间（分钟）乙站甲站时间（分钟）假设乘客乘车等待时间相互独立．(Ⅰ）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为A;从乙站的乘客中随机抽取1人，记为B.用频率估计概率，求“乘客A，B乘车等待时间都小于20分钟”的概率;（Ⅱ）从上班高峰时段,从乙站乘车的乘客中随机抽取3人，X表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率,求随机变量X的分布列与数学期望.17．（本小题满分14分)如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD．四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且//AD BC，90BAD∠=︒，1AB AD==，3BC=．（Ⅰ)求证:AF CD⊥;(Ⅱ）求直线BF与平面CDE所成角的正弦值；(Ⅲ)线段BD上是否存在点M,使得直线//CE平面AFM？若存在，求BMBD的值;若不存在，请说明理由．18．(本小题满分13分)EDC BAF已知函数ln()()ax f x x= (R a ∈且0)a ≠.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； (Ⅱ）当1a =-时,求证:()1f x x ≥+； （Ⅲ）讨论函数()f x 的极值．19．（本小题满分14分)已知点00(,)M x y 为椭圆22:12x C y +=上任意一点，直线00:22l x x y y +=与圆22(1)6x y -+=交于,A B 两点，点F 为椭圆C 的左焦点． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率及左焦点F 的坐标； （Ⅱ）求证:直线l 与椭圆C 相切；（Ⅲ）判断AFB ∠是否为定值,并说明理由．20．（本小题满分13分）在无穷数列{}n a 中，12,a a 是给定的正整数，21n n n a a a ++=-，N n ∈*．（Ⅰ）若123,1a a ==，写出910100,,a a a 的值； （Ⅱ）证明：数列{}n a 中存在值为0的项;（Ⅲ）证明:若12,a a 互质,则数列{}n a 中必有无穷多项为1．北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学（理)答案2019．3一、选择题：（本题满分40分）二、填空题:（本题满分30分）三、解答题：（本题满分80分） 15． （本小题满分13分)解:（Ⅰ）由已知得2221=sin 2=2cos120.S bc A b c bc ⎧⎪⎨⎪+-︒⎩整理得22=4,=17.bc b c ⎧⎨+⎩解得=1,=4b c ⎧⎨⎩，或=4,=1.b c ⎧⎨⎩因为b c <，所以1b =．………………………………………………….8分（Ⅱ)由正弦定理sin sin a bA B=，即sin 14B =．所以2213cos 2=12sin 114B B -=-= ……………………………….13分16．(本小题满分13分）解:（Ⅰ)设M 表示事件“乘客A 乘车等待时间小于20分钟”，N 表示事件“乘客B 乘车等待时间小于20分钟”,C 表示事件“乘客A,B 乘车等待时间都小于20分钟”．由题意知,乘客A 乘车等待时间小于20分钟的频率为0.0120.0400.048)50.5(++⨯=，故()P M 的估计值为0.5．乘客B 乘车等待时间小于20分钟的频率为0.0160.0280.036)50.4(++⨯=，故()P N 的估计值为0.4．又121()()()()255P C P MN P M P N ==⋅=⨯=.故事件C 的概率为15． (6)（Ⅱ)由（Ⅰ）可知，乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为0.4，所以乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的概率为25。
北京市朝阳区2018届高三3月综合练习(一模)数学(理)试题(解析版)
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集为实数集，集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】根据题中条件可求得，所以，故选C.2.复数满足,则在复平面内复数所对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】由得,在复平面内对应的点为,在第一象限,故选.3.直线的参数方程为（为参数），则直线的倾斜角大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】将直线的参数方程化成普通方程可得，所以直线的斜率，从而得到其倾斜角为，故选C.4.已知,为非零向量，则“”是“与夹角为锐角”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据向量数量积的定义式可知，若，则与夹角为锐角或零角，若与夹角为锐角，则一定有，所以“”是“与夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.5.某单位安排甲、乙、丙、丁名工作人员从周一到周五值班,每天有且只有人值班每人至少安排一天且甲连续两天值班,则不同的安排方法种数为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】甲连续天上班,共有（周一，周二）,（周二,周三）,（周三,周四）,（周四,周五）四种情况,剩下三个人进行全排列,有种排法因此共有种排法,故选.6.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于( )A. B. C. D.【答案】D【解析】在长方体中抠点,1.由正视图可知:上没有点;2.由侧视图可知:上没有点;3.由俯视图可知:上没有点;4.由正（俯）视图可知:处有点,由虚线可知处有点,点排除.由上述可还原出四棱锥,如右图所示,,,故选.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响7.庙会是我国古老的传统民俗文化活动,又称“庙市”或“节场”.庙会大多在春节、元宵节等节日举行.庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动,如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋,如果有奖品,则“中奖”）.今年春节期间,某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会,每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前,甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测,预测结果如下:甲说:“我或乙能中奖”；乙说:“丁能中奖”；丙说:“我或乙能中奖”；丁说:“甲不能中奖”.游戏结束后,这四位同学中只有一位同学中奖,且只有一位同学的预测结果是正确的,则中奖的同学是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】A【解析】由四人的预测可得下表:1.若甲中奖,仅有甲预测正确,符合题意;2.若乙中奖,甲、丙、丁预测正确,不符合题意;3.若丙中奖,丙、丁预测正确,不符合题意;4.若丁中奖,乙、丁预测正确,不符合题意;故只有当甲中奖时,仅有甲一人预测正确,选.8.在平面直角坐标系中,已知点,,动点满足,其中,则所有点构成的图形面积为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】设,则,,,所有点构成图形如图所示（阴影部分）,,故选.【方法点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及线性规划的应用及数学的转化与划归思想.属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题中，把向量问题转化为线性规划问题解答是解题的关键.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为________．【答案】【解析】第四次时,,所以输出.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10.若三个点中恰有两个点在双曲线上,则双曲线的渐近线方程为__________．【答案】【解析】由于双曲线关于原点对称,故在双曲线上,代入方程解得,又因为,所以渐近线方程为.11.函数（）的部分图象如图所示，则__________；函数在区间上的零点为_________．【答案】(1). 2(2).【解析】从图中可以发现，相邻的两个最高点和最低点的横坐标分别为，从而求得函数的周期为，根据可求得，在结合题中的条件可以求得函数的解析式为，令，解得，结合所给的区间，整理得出.方法点睛：该题属于利用所给的函数图像，抓住其中的关键点，确定出函数的解析式，利用最高点和最低点的纵坐标求得A，利用相邻的两个最高点和最低点的横坐标的差求得其周期，从而求得的值，再利用最高点求得，最后确定出函数的解析式，最后利用函数的性质，求得其满足条件的零点.12.已知点若点是圆上的动点,则面积的最小值为__________．【答案】【解析】将圆化简成标准方程,圆心,半径,因为,所以,要求面积最小值,即要使圆上的动点到直线的距离最小,而圆心到直线的距离为,所以的最小值为,故答案为 . 13.等比数列满足如下条件:①②数列的前项和.试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式__________．【答案】【解析】例如,则，故答案为.14.已知，函数当时，函数的最大值是_____；若函数的图象上有且只有两对点关于轴对称，则的取值范围是______．【答案】(1). (2).【解析】当时，，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，而当时，，此时，分母取最小值，分子取最大值，从而得到该式子取得最大值，故最大值为；函数的图像上有且仅有两对点关于轴对称，等价于作轴左边的图像关于轴的对称图形，与轴右侧的图像有两个不同的交点，即方程有两个正根，即函数有两个零点，利用导数研究函数图像的走向，从而确定出所求的参数的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.在中，已知，，（Ⅰ）若ac=5，求的面积；（Ⅱ）若为锐角，求的值．【答案】（Ⅰ）2;（Ⅱ）．【解析】试题分析：第一问该题是有关解三角形问题，第一问根据题中的条件，结合同角正余弦平方和等于，从而求得，利用正弦定理，结合题中的条件，求得，利用三角形的面积公式求得结果；第二问由第一问中的结果，结合题中的条件为锐角，利用同角正余弦平方和等于，可得，最后根据三角形内角和为，利用诱导公式转化，利用和角公式求得结果.（Ⅰ）由，得，因为，所以.因为，所以．故的面积．（Ⅱ）因为，且为锐角，所以.所以．方法点睛：该题考查的是有关解三角形问题，在解题的过程中，一定要抓住题的条件，死咬同角的正余弦平方和等于1，以及灵活应用正弦定理，熟练应用诱导公式以及正弦和角公式，从而能够正确得出结果. 16.如图,在矩形中,,为的中点,为的中点.将沿折起到,使得平面平面（如图）.图1 图2（Ⅰ）求证:；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在点,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据等腰三角形的性质可得,由平面平面可得平面,从而可得；（Ⅱ）取中点为,连结，由矩形性质,,可知，由（Ⅰ）可知,，以为原点,为轴,为轴,为轴建立坐标系，求出平面的一个法向量及直线的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果；（Ⅲ）假设在线段上存在点,满足平面，设，利用直线与平面的法向量垂直，数量积为零，列方程求解即可..试题解析：（Ⅰ）如图,在矩形中, ,为中点,,为的中点,由题意可知,, 平面平面图1 图2平面平面,平面，平面，平面,，（Ⅱ）取中点为,连结，由矩形性质,,可知，由（Ⅰ）可知,，以为原点,为轴,为轴,为轴建立坐标系，在中,由,则,所以,,设平面的一个法向量为，则,令,则，所以，设直线与平面所成角为，，所以直线与平面所成角的正弦值为. （Ⅲ）假设在线段上存在点,满足平面设，由,,所以，,，若平面,则，所以,解得，所以.【方法点晴】本题主要考查面面垂直的性质以及利用空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 17.某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？（Ⅱ）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的．从选考方案确定的8位男生中随机选出1人，从选考方案确定的10位女生中随机选出1人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率；（Ⅲ）从选考方案确定的8名男生中随机选出2名，设随机变量求的分布列及数学期望．【答案】（Ⅰ）140人．（Ⅱ）．（Ⅲ）见解析.【解析】试题分析：第一问根据题中所给的统计表，可以得出选考方案确定的有18人，这18人中，选考生物的有10人，所占比例是，在这30人中，选考方案确定的人所占比例是，该校高一年级共420人，所以可以得出学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有人；第二问从表中可以得出所选男生选考方案含有历史学科的概率为，所选女生选考方案含有历史学科的概率为，根据相互独立事件同时发生的概率公式求得结果；第三问根据统计表写出所选的两名男生所选的科目，找出对应的的取值为，分析取每个值时对应的概率，从而得出分布列，利用离散型随机变量的分布列的期望公式求得结果. （Ⅰ）由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有4人，选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有6人，该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有人．（Ⅱ）由数据可知，选考方案确定的8位男生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为；选考方案确定的10位女生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为．所以该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率为．（Ⅲ）由数据可知，选考方案确定的男生中有4人选择物理、化学和生物；有2人选择物理、化学和历史；有1人选择物理、化学和地理；有1人选择物理、化学和政治．由已知得的取值为．，，或.所以的分布列为所以．18.已知函数.（Ⅰ）当时,（i）求曲线在点处的切线方程;（ii）求函数的单调区间；（Ⅱ）若,求证:.【答案】（Ⅰ）（i），（ii）递增区间是,递减区间是；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）（i）求出,求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（ii）分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）先利用导数证明,则，再利用二次函数的性质证明，则，从而可得结论.试题解析：（Ⅰ）当时,,定义域为（i）所以切点坐标为,切线斜率为所以切线方程为（ii）令,所以在上单调递减,且所以当时,即所以当时,即综上所述,的单调递增区间是,单调递减区间是. (Ⅱ)方法一:,即设设所以在小于零恒成立即在上单调递减因为所以,所以在上必存在一个使得即所以当时,,单调递增当时,,单调递减所以因为所以令得因为,所以,因为,所以恒成立即恒成立综上所述,当时,方法二:定义域为了证明,即只需证明,即令则令,得令,得所以在上单调递增,在上单调递减所以即,则令因为,所以所以恒成立即所以综上所述,即当时,.【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与极值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.19.已知椭圆的离心率为,且过点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于两点,直线过坐标原点且与直线的斜率互为相反数.若直线与椭圆交于两点且均不与点重合,设直线与轴所成的锐角为,直线与轴所成的锐角为,判断与的大小关系并加以证明.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率为,且过点，结合性质，列出关于、、的方程组，求出、、，即可得椭圆的方程；（Ⅱ）与的大小关系只需看两直线斜率之间的关系，设设，联立,消去得,利用斜率公式以及韦达定理，化简可得，直线的倾斜角互补,可得.试题解析：（Ⅰ）由题可得,解得.所以椭圆的方程为.（Ⅱ）结论:,理由如下:由题知直线斜率存在,设.联立,消去得,由题易知恒成立,由韦达定理得,因为与斜率相反且过原点,设,,联立消去得,由题易知恒成立,由韦达定理得,因为两点不与重合,所以直线存在斜率,则所以直线的倾斜角互补,所以.20.已知集合是集合的一个含有个元素的子集. （Ⅰ）当时,设（i）写出方程的解；（ii）若方程至少有三组不同的解,写出的所有可能取值.（Ⅱ）证明:对任意一个,存在正整数使得方程至少有三组不同的解.【答案】（Ⅰ）（）,（）；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）（）利用列举法可得方程的解有:；（）列出集合的从小到大个数中相邻两数的差，中间隔一数的两数差，中间相隔二数的两数差，…中间隔一数的两数差,可发现只有出现次,出现次,其余都不超过次,从而可得结果；（Ⅱ）不妨设记,,共个差数，假设不存在满足条件的，根据的取值范围可推出矛盾，假设不成立，从而可得结论.假设不存在满足条件的,则这个数中至多两个、两个、两个、两个、两个、两个,.试题解析：（Ⅰ）（）方程的解有:（）以下规定两数的差均为正,则:列出集合的从小到大个数中相邻两数的差:;中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和）:4,5,6,6,5,4;中间相隔二数的两数差:;中间相隔三数的两数差:;中间相隔四数的两数差:;中间相隔五数的两数差:;中间隔一数的两数差:.这个差数中,只有出现次,出现次,其余都不超过次,所以的可能取值有.（Ⅱ）证明:不妨设记,,共个差数.假设不存在满足条件的,则这个数中至多两个、两个、两个、两个、两个、两个,从而又这与矛盾,所以结论成立.。
2018-2019朝阳区一模数学理科答案
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学（理）答案2019．3二、填空题：（本题满分30分）三、解答题：（本题满分80分） 15． (本小题满分13分)解：（Ⅰ）由已知得2221=sin 2=2cos120.S bc A b c bc ⎧⎪⎨⎪+-︒⎩整理得22=4,=17.bc b c ⎧⎨+⎩解得=1,=4b c ⎧⎨⎩，或=4,=1.b c ⎧⎨⎩ 因为b c <，所以1b =．………………………………………………….8分（Ⅱ）由正弦定理sin sin a bA B=， 即sin 14B =．所以2213cos 2=12sin 114B B -=-= ……………………………….13分16．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）设M 表示事件“乘客A 乘车等待时间小于20分钟”，N 表示事件“乘客B 乘车等待时间小于20分钟”，C 表示事件“乘客A,B 乘车等待时间都小于20分钟”．由题意知，乘客A 乘车等待时间小于20分钟的频率为0.0120.0400.048)50.5(++⨯=，故()P M 的估计值为0.5．乘客B 乘车等待时间小于20分钟的频率为0.0160.0280.036)50.4(++⨯=，故()P N 的估计值为0.4．又121()()()()255P C P MN P M P N ==⋅=⨯=. 故事件C 的概率为15．………………………………………………………….6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为0.4，所以乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的概率为25. 显然，X 的可能取值为0,1,2,3且2(3,)5~X B .所以033327(0)()5125P X C ===；1232354(1)()55125P X C ==⋅=； 2232336(2)()55125P X C ==⋅=；33328(3)()5125P X C ===.故随机变量X 的分布列为2355EX =⨯= .……………….13分 17．(本小题满分14分)解：（Ⅰ）证明：因为ADEF 为正方形，所以AF AD ⊥．又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF I 平面ABCD AD =， 所以AF ⊥平面ABCD ． 所以AF CD ⊥．………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AF ⊥平面ABCD ，所以AF AD ⊥，AF AB ⊥． 因为90BAD ∠=︒，所以,,AB AD AF 两两垂直．分别以,,AB AD AF 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）． 因为1AB AD ==，3BC =，所以(0,0,0),(1,0,0),(1,3,0),(0,1,0),(0,1,1),(0,0,1)A B C D E F ，所以(1,0,1),(1,2,0),(0,0,1)BF DC DE =-==u u u r u u u r u u u r．设平面CDE 的一个法向量为(,,x y =n 则0,0.DC DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n 即20,0. x y z +=⎧⎨=⎩ 令2x =，则1y =-， 所以(2,1,0)=-n ．设直线BF 与平面CDE 所成角为θ，则sin |cos ,|5BF θ=〈〉==u u u r n ．……………….9分 （Ⅲ）设( (01])BMBDλλ=∈，， 设()111,,M x y z ，则()1111,,(1,1,0)x y z λ-=-， 所以1111,,0x y z λλ=-==，所以()1,,0M λλ-，所以()1,,0AM λλ=-u u u u r．设平面AFM 的一个法向量为000(,,)x y z =m ，则0,0.AM AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u rm m 因为()0,0,1AF =u u u r ，所以000(1)0,0.x y z λλ-+=⎧⎨=⎩令0x λ=，则01y λ=-，所以(,1,0)λλ=-m ．在线段BD 上存在点M ，使得//CE 平面AFM 等价于存在[0,1]λ∈，使得0CE ⋅=u u u rm ． 因为()1,2,1CE =--u u u r，由0CE ⋅=u u u r m ，所以2(1)0λλ---=， 解得2[0,1]3λ=∈， 所以线段BD 上存在点M ，使得//CE 平面AFM ，且23BM BD =．……………….14分18． (本小题满分13分) 解：（Ⅰ）当1a =时，ln ()x f x x =．所以21ln ()xf x x-'=． 因为(1)1,(1)0f f '==，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-．……………….3分（Ⅱ）当1a =-时，ln()()x f x x-=． 函数()f x 的定义域为(,0)-∞． 不等式()1f x x ≥+成立⇔ln()1x x x-≥+成立⇔2ln()0x x x ---≤成立. 设2()ln()g x x x x =---((,0))x ∈-∞，则2121(21)(1)()21x x x x g x x x x x--+-++'=--==．当x 变化时，()g x '，()g x 变化情况如下表：所以()(1)g x g ≤-．因为(1)0g -=，所以()0g x ≤，所以ln()1x x x-≥+．………………………………………………………………….8分 （Ⅲ）求导得21ln()()ax f x x -'=. 令()0f x '=，因为0a ≠可得ex a=． 当0a >时，()f x 的定义域为()0,+∞.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：此时()f x 有极大值e ()eaf a =，无极小值． 当0a <时，()f x 的定义域为(),0-∞，当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：此时()f x 有极小值e ()ef a =，无极大值．……………………………………………….13分19． (本小题满分14分)解：（Ⅰ）由题意a =1b =，1c =所以离心率c e a ==，左焦点(1,0)F -．………………………………………….4分（Ⅱ）当00y =时直线l 方程为x =x =l 与椭圆C 相切．当00y ≠时，由22001,222x y x x y y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得2222000(2)4440y x x x x y +-+-=， 由题知，220012x y +=，即220022x y +=， 所以 22220000(4)4(2)(44)x y x y ∆=-+- 220016[2(1)]x y =-- =22016(22)0x y +-=． 故直线l 与椭圆C 相切．………………………………………………………….8分（Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，当00y =时，12x x =，12y y =-，1x =2211(1)FA FB x y ⋅=+-u u u r u u u r 2211(1)6(1)x x =+-+-21240x =-=，所以FA FB ⊥u u u r u u u r，即90AFB ∠=o ．当00y ≠时，由2200(1)6,22x y x x y y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 得2222000(1)2(2)2100y x y x x y +-++-=， 则20012202(2)1y x x x y ++=+，21222101y x x y -=+， 2001212122220001()42x x y y x x x x y y y =-++200254422x x y --+=+． 因为1122(1,)(1,)FA FB x y x y ⋅=+⋅+u u u r u u u r1212121x x x x y y =++++2222000000220042084225442222y y x y x x y y -++++--+=+++ 220025(2)10022x y y -++==+． 所以FA FB ⊥u u u r u u u r，即90AFB ∠=o ．故AFB ∠为定值90o ． ………………………………………………………….14分20． (本小题满分13分)解：(I)9101000,1,1a a a ===．.………………………………………………………….3分 (II)反证法：假设i ∀,0.i a ≠由于21n n n a a a ++=-， 记1,2max{}M a a =.则12,a M a M ≤≤.则32101a a a M <=-≤-，43201a a a M <=-≤-,54302a a a M <=-≤-，65402a a a M <=-≤-，L ，依次递推，有76503a a a M <=-≤-，87603a a a M <=-≤-…，则由数学归纳法易得21,.k a M k k *+≤-∈N当k M >时，210,k a +<与210k a +>矛盾. 故存在i ，使=0.i a所以，数列{}n a 必在有限项后出现值为0的项．………………………………………….8分 (III)首先证明：数列{}n a 中必有“1”项．用反证法，假设数列{}n a 中没有“1”项，由(II)知，数列{}n a 中必有“0”项，设第一个“0”项是m a (3)m ≥，令1m a p -=，1,p p >∈N *，则必有2m a p -=，于是，由1233||||m m m m p a a a p a ----==-=-，则32m a p -=，因此p 是3m a -的因数， 由2344|||2|m m m m p a a a p a ----==-=-，则4m a p -=或3p ，因此p 是4m a -的因数. 依次递推，可得p 是12,a a 的因数，因为1p >，所以这与12,a a 互质矛盾．所以，数列{}n a 中必有“1”项．其次证明数列{}n a 中必有无穷多项为“1”.假设数列{}n a 中的第一个“1”项是k a ，令1k a q -=，1,q q >∈N *， 则111k k k a a a q +-=-=-，若1k a +=11q -=，则数列中的项从k a 开始，依次为“1，1，0”的无限循环， 故有无穷多项为1；若111k a q +=->，则213212,1k k k k k k a a a q a a a +++++=-=-=-=， 若221k a q +=-=，则进入“1，1，0”的无限循环，有无穷多项为1；若221k a q +=->，则从k a 开始的项依次为1,1,2,1,3,4,1q q q q ----，……， 必出现连续两个“1”项，从而进入“1，1，0”的无限循环，故必有无穷多项为1．……13分。
2018年高三北京市朝阳区2018届高三(一模)数学
理科数学 2018年高三北京市朝阳区2018届高三(一模)数学(理)试题解析单选题略略略略略略略略填空题略略略略略略略略略略略略单选题（本大题共8小题，每小题____分，共____分。
）1．已知全集为实数集，集合，，则A.B.C.D.2．复数满足，则在复平面内复数所对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3．直线的参数方程为（为参数），则的倾斜角大小为A.B.C.D.4．已知为非零向量，则“”是“与夹角为锐角”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5．某单位安排甲、乙、丙、丁4名工作人员从周一到周五值班，每天有且只有1人值班，每人至少安排一天且甲连续两天值班，则不同的安排方法种数为A.B.C.D.6．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于A.B.C.D.7．庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”．庙会大多在春节、元宵节等节日举行．庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）．今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会．游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”．游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁8．在平面直角坐标系xOy中，已知点,，动点满足,其中，则所有点构成的图形面积为A.B.C.D.填空题（本大题共12小题，每小题____分，共____分。
）9．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为________．10．若三个点中恰有两个点在双曲线上，则双曲线的渐近线方程为_____________．11．函数（）的部分图象如图所示，则____；函数在区间上的零点为____．12．已知点，若点是圆上的动点，则面积的最小值为____．13．等比数列满足如下条件：①；②数列的前项和．试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式____．14．已知，函数当时，函数的最大值是____；若函数的图象上有且只有两对点关于轴对称，则的取值范围是____．15． (本小题满分13分)在中，已知，．（Ⅰ）若，求的面积；（Ⅱ）若为锐角，求的值．16．(本小题满分14分)如图1，在矩形中，，，为的中点，为中点．将沿折起到，使得平面平面（如图2）．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．17．(本小题满分13分)某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？（Ⅱ）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的．从选考方案确定的8位男生中随机选出1人，从选考方案确定的10位女生中随机选出1人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率；（Ⅲ）从选考方案确定的8名男生中随机选出2名，设随机变量求的分布列及数学期望．18． (本小题满分13分)已知函数．（Ⅰ）当时，（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若，求证：．19． (本小题满分14分)已知椭圆的离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于两点，直线过坐标原点且与直线的斜率互为相反数．若直线与椭圆交于两点且均不与点重合，设直线与轴所成的锐角为，直线与轴所成的锐角为，判断与大小关系并加以证明．20． (本小题满分13分)已知集合是集合的一个含有8个元素的子集．（Ⅰ）当时，设，（i）写出方程的解；（ii）若方程至少有三组不同的解，写出的所有可能取值；（Ⅱ）证明：对任意一个，存在正整数，使得方程至少有三组不同的解．答案单选题1. C2. A3. C4. B5. B6. D7. A8. C填空题9.410.11.12.213.14.15.（Ⅰ）由，得，因为，所以.因为，所以．故的面积．………………….7分（Ⅱ）因为，且为锐角，所以.所以．………….13分16.（Ⅰ）由已知，因为为中点，所以．因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面．又因为平面，所以．………….5分（Ⅱ）设为线段上靠近点的四等分点，为中点．由已知易得．由（Ⅰ）可知，平面，所以，.以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系（如图）．因为，，所以．设平面的一个法向量为，因为，所以即取，得．而.所以直线与平面所成角的正弦值……….10分（Ⅲ）在线段上存在点，使得平面.设，且，则，．因为，所以，所以，所以，．若平面，则.即.由（Ⅱ）可知，平面的一个法向量，即，解得，所以当时，平面．……….14分17.（Ⅰ）由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有4人，选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有6人，该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有人．……….3分（Ⅱ）由数据可知，选考方案确定的8位男生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为；选考方案确定的10位女生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为．所以该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率为．…….8分（Ⅲ）由数据可知，选考方案确定的男生中有4人选择物理、化学和生物；有2人选择物理、化学和历史；有1人选择物理、化学和地理；有1人选择物理、化学和政治．由已知得的取值为．，，或.所以的分布列为12所以．…….13分18.当时，..（ⅰ）可得，又，所以在点（）处的切线方程为. ….3分（ⅱ）在区间（）上，且，则.在区间（）上，且，则.所以的单调递增区间为（），单调递减区间为（）. ….8分（Ⅱ）由，，等价于，等价于. 设，只须证成立.因为，，由，得有异号两根.令其正根为，则.在上，在上.则的最小值为.又，，所以.则.因此，即.所以所以.….….13分19.Ⅰ）由题意得解得，，．故椭圆的方程为．….….5分（Ⅱ）．证明如下：由题意可设直线的方程为，直线的方程为，设点，，，．要证，即证直线与直线的斜率之和为零，即．因为．由得，所以，．由得，所以．所以．．所以．….….14分20.（Ⅰ）（ⅰ）方程的解有：．……2分（ii）以下规定两数的差均为正，则：列出集合的从小到大8个数中相邻两数的差：1，3，2，4，2，3，1；中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和）：4，5，6，6，5，4；中间相隔二数的两数差：6，9，8，9，6；中间相隔三数的两数差：10，11，11，10；中间相隔四数的两数差：12，14，12；中间相隔五数的两数差：15，15；中间相隔六数的两数差：16这28个差数中，只有4出现3次、6出现4次，其余都不超过2次，所以的可能取值有4，6．…………………………………………………………6分（Ⅱ）证明：不妨设，记，，共13个差数．假设不存在满足条件的，则这13个数中至多两个1、两个2、两个3、两个4、两个5、两个6，从而. …………①又，这与①矛盾！所以结论成立．……………………………………………………………………13分解析单选题略略略略略略略略填空题略略略略略略略略略略略略。
北京市朝阳区2018届高三上学期期末考试数学(理)试题含答案
北京市朝阳区2017—2018学年度第一学期期末质量检测数学试卷（理工类) 2018.1 (考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合|(2)0A x x x ，|ln 0Bx x ，则AB 是A.|12x xB.|02x xC 。
|0x xD 。
|2x x2。
已知i 为虚数单位,设复数z 满足i 3z +=，则z =A.3 B 。
4 C.10D 。
103。
在平面直角坐标系中,以下各点位于不等式(21)(3)0x y x y +--+>表示的平面区域内的是A 。
(00)，B.(20)-， C 。
(01)-， D 。
(02)，4.“2sin 2α=”是“cos 2=0α”的A 。
充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5。
某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A 。
4 B. 43C.D.6。
已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C .直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合,l 交圆C 于,A B 两点,点A 在点M ，B 之间.过M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是A 。
椭圆的一部分B 。
双曲线的一部分 C. 抛物线的一部分 D. 圆的一部分7. 已知函数()f x x x a =⋅-的图象与直线1y =-的公共点不少于两个,则实数a 的取值范围是A.2a <- B.2a ≤- C 。
20a -≤<D 。
2a >-8. 如图1,矩形ABCD 中,AD =点E 在AB 边上， CE DE ⊥且1AE =。
如图2，ADE △沿直线DE 向上折起成1A DE △．记二面角1A DE A --的平面角为θ，当θ()00180∈，时，① 存在某个位置，使1CE DA ⊥；② 存在某个位置，使1DE AC ⊥；③任意两个位置，直线DE 和直线1AC所成的角都不相等。
2018年高三北京市朝阳区2018届高三(一模)数学
理科数学 2018年高三北京市朝阳区2018届高三(一模)数学(理)试题解析单选题略略略略略略略略填空题略略略略略略略略略略略略单选题（本大题共8小题，每小题____分，共____分。
）1．已知全集为实数集，集合，，则A.B.C.D.2．复数满足，则在复平面内复数所对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3．直线的参数方程为（为参数），则的倾斜角大小为A.C.D.4．已知为非零向量，则“”是“与夹角为锐角”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5．某单位安排甲、乙、丙、丁4名工作人员从周一到周五值班，每天有且只有1人值班，每人至少安排一天且甲连续两天值班，则不同的安排方法种数为A.B.C.D.6．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于A.C.D.7．庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”．庙会大多在春节、元宵节等节日举行．庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）．今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会．游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”．游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁8．在平面直角坐标系xOy中，已知点,，动点满足,其中，则所有点构成的图形面积为A.B.C.D.填空题（本大题共12小题，每小题____分，共____分。
）9．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为________．10．若三个点中恰有两个点在双曲线上，则双曲线的渐近线方程为_____________．11．函数（）的部分图象如图所示，则____；函数在区间上的零点为____．12．已知点，若点是圆上的动点，则面积的最小值为____．13．等比数列满足如下条件：①；②数列的前项和．试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式____．14．已知，函数当时，函数的最大值是____；若函数的图象上有且只有两对点关于轴对称，则的取值范围是____．15． (本小题满分13分)在中，已知，．（Ⅰ）若，求的面积；（Ⅱ）若为锐角，求的值．16．(本小题满分14分)如图1，在矩形中，，，为的中点，为中点．将沿折起到，使得平面平面（如图2）．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．17．(本小题满分13分)某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人（Ⅱ）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的．从选考方案确定的8位男生中随机选出1人，从选考方案确定的10位女生中随机选出1人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率；（Ⅲ）从选考方案确定的8名男生中随机选出2名，设随机变量求的分布列及数学期望．18． (本小题满分13分)已知函数．（Ⅰ）当时，（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若，求证：．19． (本小题满分14分)已知椭圆的离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于两点，直线过坐标原点且与直线的斜率互为相反数．若直线与椭圆交于两点且均不与点重合，设直线与轴所成的锐角为，直线与轴所成的锐角为，判断与大小关系并加以证明．20． (本小题满分13分)已知集合是集合的一个含有8个元素的子集．（Ⅰ）当时，设，（i）写出方程的解；（ii）若方程至少有三组不同的解，写出的所有可能取值；（Ⅱ）证明：对任意一个，存在正整数，使得方程至少有三组不同的解．答案单选题1. C2. A3. C4. B5. B6. D7. A8. C 填空题9.410.11.12.213.14.15.（Ⅰ）由，得，因为，所以.因为，所以．故的面积．………………….7分（Ⅱ）因为，且为锐角，所以.所以．………….13分16.（Ⅰ）由已知，因为为中点，所以．因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面．又因为平面，所以．………….5分（Ⅱ）设为线段上靠近点的四等分点，为中点．由已知易得．由（Ⅰ）可知，平面，所以，.以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系（如图）．因为，，所以．设平面的一个法向量为，因为，所以即取，得．而.所以直线与平面所成角的正弦值……….10分（Ⅲ）在线段上存在点，使得平面.设，且，则，．因为，所以，所以，所以，．若平面，则.即.由（Ⅱ）可知，平面的一个法向量，即，解得，所以当时，平面．……….14分17.（Ⅰ）由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有4人，选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有6人，该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有人．……….3分（Ⅱ）由数据可知，选考方案确定的8位男生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为；选考方案确定的10位女生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为．所以该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率为．…….8分（Ⅲ）由数据可知，选考方案确定的男生中有4人选择物理、化学和生物；有2人选择物理、化学和历史；有1人选择物理、化学和地理；有1人选择物理、化学和政治．由已知得的取值为．，，或.所以的分布列为12所以．…….13分18.当时，..（ⅰ）可得，又，所以在点（）处的切线方程为. ….3分（ⅱ）在区间（）上，且，则.在区间（）上，且，则.所以的单调递增区间为（），单调递减区间为（）. ….8分（Ⅱ）由，，等价于，等价于. 设，只须证成立.因为，，由，得有异号两根.令其正根为，则.在上，在上.则的最小值为.又，，所以.则.因此，即.所以所以.….….13分19.Ⅰ）由题意得解得，，．故椭圆的方程为．….….5分（Ⅱ）．证明如下：由题意可设直线的方程为，直线的方程为，设点，，，．要证，即证直线与直线的斜率之和为零，即．因为．由得，所以，．由得，所以．所以．．所以．….….14分20.（Ⅰ）（ⅰ）方程的解有：． (2)分（ii）以下规定两数的差均为正，则：列出集合的从小到大8个数中相邻两数的差：1，3，2，4，2，3，1；中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和）：4，5，6，6，5，4；中间相隔二数的两数差：6，9，8，9，6；中间相隔三数的两数差：10，11，11，10；中间相隔四数的两数差：12，14，12；中间相隔五数的两数差：15，15；中间相隔六数的两数差：16这28个差数中，只有4出现3次、6出现4次，其余都不超过2次，所以的可能取值有4，6．…………………………………………………………6分（Ⅱ）证明：不妨设，记，，共13个差数．假设不存在满足条件的，则这13个数中至多两个1、两个2、两个3、两个4、两个5、两个6，从而. …………①又，这与①矛盾！所以结论成立．……………………………………………………………………13分解析单选题略略略略略略略略填空题略略略略略略略略略略略略。
朝阳区2018学年度高三年级第二学期统一考试(一)
朝阳区2018学年度高三年级第二学期统一考试（一）数学学科测试（理工类）第I 卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{3,4},{2,3,5}A B ==，那么集合()U A Bð等于（ ）A.{1,2,3,4,5}B.{3,4}C.{1,3,4}D.{2,3,4,5}2. 设i 是虚数单位，复数tan 45z =-o sin 60i ×o ，则2z 等于（ ）A.74-B.14-C.74D.14+ 3. 若数列{}n a 是公比为4的等比数列，且12a =，则数列2{log }n a 是（ ） A.公差为2的等差数列 B.公差为lg 2的等差数列 C.公比为2的等比数列 D.公比为lg 2的等比数列4. 设a 为常数，函数2()43f x x x =-+. 若()f x a +为偶函数，则a 等于（ ）A.-2B. 2C. -1D.1 5. 已知直线a 和平面a ，那么//a a 的一个充分条件是（ ）A.存在一条直线b ，//,a b b a ÌB.存在一条直线b ，,a b b a ^^C.存在一个平面,,//a ββαβ⊂ D.存在一个平面,,a ββαβ⊥⊥6. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰十角三角形。
若该几何体的体积为V ，并且可以用n 个这样的几何体拼成一个棱长为4的正方体，则V ，n 的值是 （ ） A ．2,32==n VB ．3,364==n V C ．6,332==n V D ．V=16，n=47．设 ,a b ÎR ，且(1)<0b a b ++，(1)<0b a b +-，则 ( )A.1a >B.1a <-C. 11a -<<D. ||1a > 8. 函数f (x )的定义域为D ，若对于任意12,x x D Î，当12x x <时，都有12()()f x f x £，则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数f (x )在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：○1(0)0f =； ○21()()32xf f x =； ○3(1)1()f x f x -=-. 则1()2010f 等于（ ） A.1128 B.1256 C. 1512 D.164第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间,绘成频率分布直方图（如图）.则这100名同学中学习时间在6~8小时内的人数为 _______.10．如图，AB 为O 的直径，且8AB = ，P 为OA 的中点，过P 作O 的弦CD ，且:3:4CP PD =，则弦CD 的长度为 .A B11．给定下列四个命题：①“6x π=”是“1sin 2x =”的充分不必要条件；②若“p q ∨”为真，则“p q ∧”为真； ③若a b <，则22am bm <； ④若集合A B A = ，则A B ⊆.其中为真命题的是 （填上所有正确命题的序号）.12．在二项式25()ax x -的展开式中，x 的系数是10-，则实数a 的值为 .13．已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,F F ，且它们在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形.若110PF =，双曲线的离心率的取值范围为(1,2).则该椭圆的离心率的取值范围是 .14．在平面直角坐标系中，点集22{(,)|1}A x y x y =+≤，{(,)|4,0,,340}B x y x y x y =≤≥-≥， 则（1）点集1111{(,)3,1,(,)}P x y x x y y x y A ==+=+∈所表示的区域的面积为_____； （2）点集12121122{(,),,(,),(,)}Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积为 .三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且34C π=，sin 5A =. （Ⅰ）求sinB 的值；（Ⅱ）若5c a -=，求ABC ∆的面积.(16) （本小题满分13分）在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮. 现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是13，12.两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮. 假设每人每次投篮命中与否均互不影响.（Ⅰ）求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；（Ⅱ）若投篮命中一次得1分，否则得0分. 用ξ表示甲的总得分，求ξ的分布列和数学期望．(17) （本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，每个侧面均为正方形，D 为底边AB 的中点，E 为侧棱1CC 的中点.（Ⅰ）求证：CD ∥平面1A EB ； （Ⅱ）求证：1AB ⊥平面1A EB ；（Ⅲ）求直线1B E 与平面11AAC C 所成角的正弦值.(18)（本小题满分13分）已知函数322()(1)3mx f x ax b x =++-，, , m a b ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的导函数()f x '；（Ⅱ）当1m =时，若函数()f x 是R 上的增函数，求z a b =+的最小值； （Ⅲ）当1a =，b =()f x 在(2, )+∞上存在单调递增区间，求m 的取值范围．(19)（本小题满分13分）已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点3(1, )2-，过点(2, 1)P 的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求直线l 的方程以及点M 的坐标；（Ⅲ）是否存在过点P 的直线1l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ，满足2PA PB PM ⋅= ？若存在，求直线1l 的方程；若不存在，请说明理由．（20）(本小题共13分)已知数列{}n a 中，11a =，21(0a a a =-≠且1)a ≠，其前n 项和为n S ，且当2n ≥时，1111n n n S a a +=-． （Ⅰ）求证：数列{}n S 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）若4a =，令19(3)(3)nn n n a b a a +=++，记数列{}n b 的前n 项和为n T ．设λ是整数，问是否存在正整数n ，使等式13758n n T a λ++=成立？若存在，求出n 和相应的λ值；若不存在，请说明理由．（考生务必将第Ⅱ卷所有题目的答案写在答题卡上，在试卷上作答无效）朝阳区2018学年度高三年级第二学期统一考试（一）数学测试（理工类）答案一、选择题:二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9．30 10．7 11．①，④12．1 13．12(,)3514．π；18π+.三、解答题:(15)解：（Ⅰ）因为34Cπ=，sin A=，所以cos A==由已知得4B Aπ=-.所以sin sin()sin cos cos sin444B A A Aπππ=-=-==.…………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知34Cπ=，所以sin C=且sin B=由正弦定理得sin Asin5ac C==.又因为5c a-=所以5c=，a=所以15sin522ABCS ac B∆===. …………………………13分(16) （Ⅰ）解：记 “3次投篮的人依次是甲、甲、乙” 为事件A .由题意， 得122()339P A =⨯=． 答：3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是29． …………………… 5分（Ⅱ）解：由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，则212125(0)323239P ξ==⨯+⨯⨯=，211121(1)323333P ξ==⨯⨯+⨯=，1122(2)33327P ξ==⨯⨯=，1111(3)33327P ξ==⨯⨯=．所以，x 的分布列为：x 的数学期望012393272727E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. …………… 13分(17) 解法一：证明：（Ⅰ）设11AB A B 和的交点为O ,连接EO ，连接OD .因为O 为1AB 的中点，D 为AB 的中点, 所以 OD ∥1BB 且112OD BB =.又E 是1CC所以 EC ∥1BB 且112EC BB =,所以 EC ∥OD 且EC OD =.所以，四边形ECOD 为平行四边形.所以EO ∥又CD ⊄平面1A BE ,EO ⊂平面1A BE ,则CD ∥平面1A BE . ………………5分 (Ⅱ) 因为三棱柱各侧面都是正方形，所以1BB AB ⊥，1BB BC ⊥. 所以1BB ⊥平面ABC .因为CD ⊂平面ABC ，所以1BB CD ⊥. 由已知得AB BC AC ==，所以CD AB ⊥, 所以CD ⊥平面11A ABB .由（Ⅰ）可知EO ∥CD ，所以EO ⊥平面11A ABB . 所以EO ⊥1AB .因为侧面是正方形，所以11AB A B ⊥.又1EO A B O = ，EO ⊂平面1A EB ，1A B ⊂平面1A EB ,所以1AB ⊥平面1A BE . ………………………………………10分（Ⅲ）解: 取11AC 中点F ，连接1, B F EF . 在三棱柱111ABC A B C -中，因为1BB ⊥平面ABC ，所以侧面11ACC A ⊥底面111A B C .因为底面111A B C 是正三角形，且F 是11AC 中点， 所以111B F AC ⊥，所以1B F ⊥侧面11ACC A .所以EF 是1B E 在平面11ACC A 上的射影. 所以1FEB ∠是1B E 与平面11AAC C 所成角.111sin B F BE F B E ∠==…………………………………………14分 解法二：如图所示，建立空间直角坐标系. 设边长为2，可求得(0,0,0)A ，(0,2,0)C 1(0,2,2)C ，1(0,0,2)A ，,0)B ，1B (0,2,1)E ，1,0)2D ，1,1)2O . （Ⅰ）易得，3,0)2CD =- ， 3(,,0)22EO =- . 所以CD EO = ， 所以EO ∥CD .又CD ⊄平面1A BE ,EO ⊂平面1A BE ,则CD ∥平面1A BE . ………………5分（Ⅱ）易得，1,2)AB =，1,2)A B =- ，1(0,2,1)A E =-所以11110, 0AB A B AB A E ⋅=⋅= .所以1111, .AB A B AB A E ⊥⊥又因为111A B A E =A ，111,A B A E A BE ⊂平面，所以1AB ⊥平面1A BE . …………………………………………… 10分 （Ⅲ）设侧面11AAC C 的法向量为(,,)x y z =n ,因为(0,0,0)A , (0,2,0)C ,1(0,2,2)C ，1(0,0,2)A ，所以1(0,2,0), (0,2,2)AC AC ==，1(,1)B E =-.由 10,0,AC AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0,0.y y z =⎧⎨+=⎩解得0,0.y z ì=ïïíï=ïî 不妨令(1,0,0)=n ，设直线1B E 与平面11AAC C 所成角为α．所以111sin cos ,B E B E B Eα⋅=<>===⋅ n n n . 所以直线1B E 与平面11AAC C． ………………………14分 (18)（Ⅰ）解：22()2(1)f x mx ax b '=++-． …………………………………3分 （Ⅱ）因为函数()f x 是R 上的增函数，所以()0f x '≥在R 上恒成立.则有2244(1)0a b ∆=--≤，即221a b +≤．设cos ,sin a r b r θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，01r ≤≤），则(cos sin )sin()4z a b r πθθθ=+=+=+.当sin()14πθ+=-，且1r =时，z a b =+取得最小值（可用圆面的几何意义解得z a b =+的最小值 ………………………8分（Ⅲ）①当0m >时，2()21f x mx x '=+-是开口向上的抛物线，显然()f x '在(2, )+∞上存在子区间使得()0f x '>，所以m 的取值范围是(0, )+∞．②当0m =时，显然成立．③当0m <时，2()21f x mx x '=+-是开口向下的抛物线，要使()f x '在(2, )+∞上存在子区间使()0f x '>，应满足 0, 12, 1()0,m m f m≥<-'-> 或0,12,(2)0. m m f <⎧⎪⎪-<⎨⎪'>⎪⎩解得102m -<≤，或3142m -<<-，所以m 的取值范围是3(, 0)4-． 则m 的取值范围是3(, )4-+∞． …………………………………………13分(19)解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意得22222191,41,2.a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎩解得24a =，23b =，故椭圆C 的方程为22143x y +=． ……………………4分 （Ⅱ）因为过点(2, 1)P 的直线l 与椭圆在第一象限相切，所以l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为(2)1y k x =-+．由221,43(2)1,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得222(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=． ① 因为直线l 与椭圆相切，所以222[8(21)]4(34)(16168)0k k k k k ∆=---+--=. 整理，得32(63)0k +=. 解得12k =-． 所以直线l 方程为11(2)1222y x x =--+=-+． 将12k =-代入①式，可以解得M 点横坐标为1，故切点M 坐标为3(1, )2．……9分 （Ⅲ）若存在直线1l 满足条件，设直线1l 的方程为1(2)1y k x =-+，代入椭圆C 的方程得22211111(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=．因为直线1l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ，设,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，所以222111111[8(21)]4(34)(16168)32(63)0k k k k k k ∆=---+--=+>． 所以112k >-． 又1112218(21)34k k x x k -+=+，21112211616834k k x x k --=+， 因为2PA PB PM ⋅= ，即12125(2)(2)(1)(1)4x x y y --+--=， 所以221215(2)(2)(1)||4x x k PM --+==． 即 2121215[2()4](1)4x x x x k -+++=， 所以222111111222111161688(21)445[24](1)3434344k k k k k k k k k ---+-++==+++，解得112k =±． 因为,A B 为不同的两点，所以112k =. 于是存在直线1l 满足条件，其方程为12y x =． …………………………13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）当2n ≥时，11+111111n n n n n n nS a a S S S S +-=-=---， 化简得211(2)n n n S S S n -+=≥，又由1210,0S S a =≠=≠，可推知对一切正整数n 均有0n S ≠， ∴数列{}n S 是等比数列． ---------------- 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知等比数列{}n S 的首项为1，公比为a ，∴1n n S a -=．当2n ≥时，21(1)n n n n a S S a a --=-=-，又111a S ==，∴21,(1),(1),(2).n n n a a a n -=⎧=⎨-≥⎩----------8分 （Ⅲ）当4,2a n =≥时，234n n a -=⨯，此时 22119934(3)(3)(343)(343)n n n n n n n a b a a ---+⨯⨯==++⨯+⨯+ 221213411(41)(41)4141n n n n n -----⨯==-++++， 又111293(3)(3)8a b a a ==++， ∴213,(1)811,(2)4141n n n n b n --⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩++ 1138T b ==， 当2n ≥时，1222212131111()()841414141n n n n T b b b ----=+++=+-++-++++ 171841n -=-+． 若1n =，则等式13758n n T a λ++=为37858λ+=，52λ=不是整数，不符合题意． 若2n ≥，则等式13758n n T a λ++=为11717841548n n λ---+=+⨯，15541n λ-=-+ λ 是整数，∴141n -+是5的因数．∴当且仅当2n =时，1541n -+是整数， ∴4λ=综上所述，当且仅当4λ=时，存在正整数2n =，使等式13758n n T a λ++=成立。
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北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学学科测试 （理工类）
2018．3
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项．
1．已知全集为实数集R ，集合2
{30}A x x x =-<，{21}x B x =>，则R A B ()=ð
A ．(0][3,)，-∞+∞
B ．(0,1]
C ．[)3+∞，
D ．[1)，
+∞ 2．复数z 满足(1+i)i z =，则在复平面内复数z 所对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．直线l
的参数方程为=,
1+3x y t
ìïïí
ï=ïî（t 为参数），则l 的倾斜角大小为 A ．
6π B ． 3π C ． 32π D ．6
5π
4．已知a b ,为非零向量，则“0a b >⋅”是“a 与b 夹角为锐角”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．某单位安排甲、乙、丙、丁4名工作人员从周一到周五值班，每天有且只有1人值班，每人至少安排一天且甲连续两天值班，则不同的安排方法种数为
A ．18
B ．24
C ．48
D ．96 6．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于
A ．
3
4
B ．23
C ．1
2
D ．13
俯视图
正视图
侧视图
1
7．庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”．庙会大多在春节、元宵节等节日举行．庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）．今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会．游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下： 甲说：“我或乙能中奖”； 乙说：“丁能中奖”； 丙说：“我或乙能中奖”； 丁说：“甲不能中奖”．
游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
8．在平面直角坐标系xOy
中，已知点A ,(1,2)B ，动点P 满足OP OA OB λμ=+,其中,[0,1],[1,2]λμλμ∈+∈，则所有点P 构成的图形面积为
A ． 1
B ． 2
C ．
D ．
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．执行如图所示的程序框图，若输入5m =，则输出k 的值为________．
10．若三个点(2,1),(2,3--
-中恰有两个点在双曲线
2
2
2:
1(0)x C y a a
-=>上，则双曲线C 的渐近线方程为_____________．
11．函数()sin()f x A x ωϕ=+（0,0,2
A ωϕπ>><
）的部分图象如图所示，则=ω ；函数()f x 在区间[,3
π
π]上的零点为 ．
12．已知点(2,0),(0,2)A B -，若点M 是圆22220x y x y +-+=上的动点，则ABM ∆面积的最小值为 ．
13．等比数列{}n a 满足如下条件：①10a >；②数列{}n a 的前n 项和1n S <． 试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式 ．
14．已知R a ∈，函数211
(+1)0π()sin 2,0.22x x x a x x f x x --+⎧+<⎪⎪
=⎨⎪>⎪⎩+， ， 当0x >时，函数()f x 的最大值
是 ；若函数()f x 的图象上有且只有两对点关于y 轴对称，则a 的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15． (本小题满分13分)
在ABC ∆
中，已知sin 5
A =
，2cos b a A =． （Ⅰ）若5ac =，求ABC ∆的面积； （Ⅱ）若B 为锐角，求sin C 的值． 16．(本小题满分14分)
如图1，在矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，E 为AD 的中点，O 为BE 中点．将
ABE ∆沿BE 折起到A BE '，使得平面A BE '⊥平面BCDE （如图2）．
（Ⅰ）求证：A O CD '⊥；
（Ⅱ）求直线A C '与平面A DE '所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段A C '上是否存在点P ，使得//OP 平面A DE '? 若存在，求出
A P
A C
''的值；若不存在，请说明理由．
17．(本小题满分13分)
某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个
图1
E
A
B
C
D
O
A '
图2
C
D
E
O
科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．
某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：
（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？ （Ⅱ）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的．从选考方案确定的8位男生中随机
选出1人，从选考方案确定的10位女生中随机选出1人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率； （Ⅲ）从选考方案确定的8名男生中随机选出2名，
设随机变量221,
2,
ξ⎧=⎨
⎩名男生选考方案相同名男生选考方案不同，，
求ξ的分布列及数学期望E ξ．
18． (本小题满分13分)
已知函数ln 1
()x f x ax x
-=
-． （Ⅰ）当2a =时，（ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；
（ⅱ）求函数
)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）若12a <<，求证：
)(x f 1<-．
19． (本小题满分14分)
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>，且过点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过椭圆C 的左焦点的直线1l 与椭圆C 交于,A B 两点，直线2l 过坐标原点且与直线1l 的
斜率互为相反数．若直线2l 与椭圆交于,E F 两点且均不与点,A B 重合，设直线AE 与
x 轴所成的锐角为1θ，直线BF 与x 轴所成的锐角为2θ，判断1θ与2θ大小关系并加
以证明． 20． (本小题满分13分)
已知集合128{,,,}X x x x =是集合{2001,2002,2003,
,2016,2017}S =的一个含
有8个元素的子集．
（Ⅰ）当{2001,2002,2005,2007,2011,2013,2016,2017}X =时，
设,(1,8)i j x x X i j ∈≤≤，
（i ）写出方程2i j x x -=的解(,)i j x x ；
（ii ）若方程(0)i j x x k k -=>至少有三组不同的解，写出k 的所有可能取值； （Ⅱ）证明：对任意一个X ，存在正整数k ，使得方程(1,8)i j x x k i j -=≤≤至少有三组
不同的解．。