24.1.2垂直于弦的直径

活动三
解：
练 习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm， 求⊙O的半径．
OE AB
A
4
E
B
1 1 AE AB 8 4 2 2
在Rt△AOE中，由勾股定理得
3
O
·
AO 2 OE 2 AE 2
AO OE 2 AE 2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
2、如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形． C OE AC OD AB AB AC 证明： ∠１＝ ∠２＝ ∠３＝９０° ∴四边形ADOE为矩形， 1 1 AE AC，AD AB 2 2
E
1 2 3
·
D B
O
A
又
∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形.
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2） AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？
C ⌒
⌒
⌒
⌒
推论
A
·
E B
O
如果一条直径平分一条不是直径的弦， D Ｃ 那么这条直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
解得 R≈3.9 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
OA AD OD , 即R2 3.62 ( R 2.4)2 .
2 2 2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OH ON 2 HN 2 3.92 1.52 3.6,
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OD OA2 AD2 3.92 3.62 1.5, DH OH OD 3.6 1.5 2.1 2.

⑴ d+h=r (2) r² = a² + d²a
⑵
2 2
h A a r d O
D
B
r d ( ) 2
2
课后小结 1. 垂径定理 2. 垂径定理的推论 3. 垂径定理的应用
连接OA，在Rt△AOE中，由勾股定理得 AO² =OE² +AE²
∴OE⊥AB
12
E
B
D
AO OE2 AE2 52 122 25144 169 13
答：⊙O的半径为13.
2已知：如图，在以O为圆心的两个 同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C， D两点。你认为AC和BD有什么关系？ 为什么？
⌒表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R．经 如图，用AB 过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根
AB
⌒
据前面的结论，D 是AB 的中点，C是AB的中点，CD 就是拱高． AB=37.4米，CD=7.2米 C
解：如图所示，根据题意得AB=37.4，CD=7.2， 设半径为x，则OD=OC－CD=x－7.2 1 1 AD AB 37 .4 18 .7, 2 2 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2 即 x2=18.72+（x－7.2）2 A 18.7 x 解题思路： 7.2 D x－7.2 O B
24.1.2 垂直于弦的直径
何海平数学名师工作室 QQ1322798146
问题情境
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代 建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结 晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长) 为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m. 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
即： 如果 CD是直径， CD⊥AB ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 那么AE=BE, AC=BC ，AD=BD
Ｏ
Ａ
Ｅ Ｄ
Ｂ
问题情境
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代 建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结 晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长) 为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m. 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
B A C
C A O E
.
.O
N
D B
D
B
总结:
解决有关弦的问题，经常是 过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的 直径，连结半径等辅助线，为应用垂 径定理创造条件。
船能过拱桥吗
• 2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶 高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并 高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这 座拱桥吗？
即： 如果 CD是直径， AE=BE ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 那么CD⊥AB ，AC=BC ，AD=BD
Ｏ Ａ Ｅ Ｄ Ｂ
练一练：如图，AB是⊙O的一条弦， CD是直径，且AE=BE
OE=5，AB=24，求⊙O的半径
C
解：∵CD是直径，AE=BE
·
5
A
O
1 1 AE AB 24 12 2 2
∴此货船能顺利通过这座拱桥.
垂径定理的应用
• 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后， 截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最 大深度.
A
O ┌ E
D
600
B
垂径定理的逆应用
• 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后， 截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最 大深度.
一、 实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？ 可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都 是它的对称轴．
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ C
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 ∴ AE－CE＝BE－DE 即 AC＝BD 注意：解决有关弦的问题，过圆心作 A 弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也 是一种常用辅助线的添法如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ， DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D， 求半径OC的长。
A
D O
E
C
B
6 已知：⊙O中弦 AB∥CD。 求证：AC＝BD
证明：作直径MN⊥AB。
⌒ ⌒
M C A
.O
N
D B
∵AB∥CD，∴MN⊥CD。
⌒ ⌒ ，CM＝DM 则AM＝BM
⌒
⌒
⌒ ⌒
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AM－CM＝BM－DM ⌒ ⌒ ⌒ ∴AC＝BD
M A
. O
• 相信自己能独 立完成解答.
AB AB 解:如图,用 表示桥拱 , 所在圆的圆心为O,半径为Rm, AB为垂足,与 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D 相交于点C. AB 根据垂径定理 ,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高. 1 1 1 由题设得 AB 7.2, CD 2.4, HN MN 1.5. AD AB 7.2 3.6, 2 2 2 OD OC DC R 2.4.
C A
E
F O
D B
1 1 CE AD 10 5 2 在Rt△2 OCE中，
1 1 AF AB 24 12 2 2
∵OC² =CE² +OE² ， 即x² =5²+（ x-1）² ． 解之得 X=13 ∴OC=OA=13（m）． 在Rt△OAF中，由勾股定理得 OF² =OA² -AF²
OF OA2 AF 2 132 122 169144 25 5
∴拱高GF=OG-OF=13-5=8（m）．
课后小结
• 1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决.
• 2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理， 并用方程的思想来解决问题.
3、对于一个圆中的弦长2a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形 高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外 C 两个量，如图有：
·
E A D B
O
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重
合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC与BC重
⌒ ⌒
合，AD与BD重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 因此 AE=BE AC=BC AD=BD ⌒ ⌒ 即 直径CD平分弦ＡＢ，并且平分AB及ACB
⌒
⌒
归纳
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦 Ｃ 所对的两条弧．
D
A
600
B
O ø650
C
赵州桥建于1400多年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性的桥梁， 桥拱是圆弧形（如图）．经测量，桥拱下的水面距拱顶1m时， 水面宽10m，已知桥拱跨度是26m，运用你所学的知识计算出赵 G 州桥的大致拱高．
解：如图所示，设圆弧所在圆的圆心为O， 半径为x，根据题意得AB=26m，CD=10m， GE=1m，OE=OG-1=x-1 ，
⌒
（1）利用垂径定理构造直角三角形 （2）利用勾股定理列出方程
x2=349.69+（x－7.2）× （x－7.2）
x2=349.69+（x² －7.2x－7.2x＋５１.８４） １４.４x=４０１.５３ x2=349.69+（x² －１４.４x＋５１.８４） x≈２８ x2=349.69+x² －１４.４x＋５１.８４ x2－x² +１４.４x=349.69＋５１.８４ 答：赵州桥主桥拱的半径大约是２８米
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
A E
O
D B
4:在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝ ， 求圆O的半径。