第七章常微分方程
高等数学-第七章-微分方程
在工程领域中，微分方程组被广泛应用于控制论、信号处理、流体力学等方面。通过求解微分方程组，可以优化工程 设计、提高系统性能等。
经济应用
在经济学中，微分方程组被用来描述经济系统的动态行为，如经济增长模型、金融市场模型等。通过求 解这些微分方程组，可以分析经济现象的发展趋势和内在机制。
05 微分方程的数值解法
常数变易法
对于某些特殊形式的高阶微分方程组，可以通过常 数变易的方法，将其转化为易于求解的方程或方程 组。
幂级数解法
对于某些高阶线性微分方程组，可以通过幂 级数展开的方法，将其转化为无穷级数进行 求解。
微分方程组的应用
物理应用
在物理学中，许多现象可以用微分方程组来描述，如力学中的运动方程、电磁学中的麦克斯韦方程等。通过求解这些 微分方程组，可以揭示物理现象的本质和规律。
非线性微分方程
不满足线性条件的微分方程，称为非线性微分方 程。
微分方程解的性质
唯一性定理 在一定条件下，微分方程的解是 唯一的。
边值问题 给定边界条件的微分方程求解问 题，称为边值问题。边值问题的 解可能不唯一，也可能不存在。
叠加原理
对于线性微分方程，若$y_1$和 $y_2$分别是方程的两个解，则 它们的线性组合 $c_1y_1+c_2y_2$（其中$c_1$ 和$c_2$是任意常数）也是方程 的解。
首次积分法
利用首次积分的方法，将一阶微 分方程组转化为可分离变量的方 程或可降阶的方程，然后求解得 到原方程组的解。
特征线法
对于一阶偏微分方程组，可以通 过引入特征线的概念，将偏微分 方程转化为常微分方程进行求解 。
高阶微分方程组法
变量代换法
通过适当的变量代换，将高阶微分方程组转 化为一阶微分方程组或可降阶的方程，然后 求解得到原方程组的解。
第七章 常微分方程
15
例 7 求方程 (y - 2xy) dx + x2dy = 0 满足初始
条件 y|x=1 = e 的特解.
解 将所给方程化为如下形式：
dy 1 2x
dx
x2
y 0,
这是一个线性齐次方程，
且
P(
x)
1
2 x2
x
,
则
P( x)dx
2 x
其中 y1 与 Q(x) 均为已知函数，所以可以通过积分 求得
C
(
x)
Q( x)dx y1
C
,
代入 y = C (x)y1 中，得 y Cy1 y1
Q( x) dx.
y1
容易验证，上式给出的函数满足线性非齐次方程
y P( x) y Q( x),
18
且含有一个任意常数，所以它是一阶线性非齐次方程
12
若 Q (x) 0，则方程成为
y P( x) y 0,
②
称为一阶线性齐次微分方程，简称线性齐次方程， 若 Q (x) 0，则称方程 ① 为一阶线性非齐次微分 方程，简称线性非齐次方程. 通常方程 ② 称为方 程 ① 所对应的线性齐次方程.
13
1.一阶线性齐次方程的解法
一阶线性齐次方程
y P(x) y 0
称为微分方程的阶. 例如，方程 (1) - (3) 为一阶微 分方程，方程 (4) - (5) 为二阶微分方程. 通常，n 阶微分方程的一般形式为
F(x, y, y, , y(n)) = 0，
其中 x 是自变量， y 是未知函数，F(x, y, y, , y(n)) 是已知函数，而且一定含有 y(n).
高等数学 上册 第7章 微分方程
形如
dny dxn
a1
(
x)
d n1 y dxn1
an1
(
x)
dy dx
an (x) y
f (x)
的微分方程称为n阶线性微分方程．否则，就称为 n阶非线性微分方程.
例如，xy 2 y x2 y 0 是三阶线性微分方程．
dy dx
2
x
dy dx
y
cos
x
是一阶非线性微分方程．
y 2 y( y)2 2x 1 是二阶非线性微分方程.
可分离变量的微分方程 dy f (x)g( y) 的解法总结如下：
dx
① 分离变量： 1 dy f (x)dx
g( y)
②
两边积分：
1 g( y)
dy
f
(x)dx
二、可分离变量的微分方程
例1. 求微分方程
的通解.
解: 分离变量，得 d y 4x3 d x 说明: 在求解过程中
y
每一步不一定是同解
dx x
；
5、回代变量：将u回代成 .
一、齐次方程
例1. 求微分方程 x2 dy y2 xy 满足初值条件 y |x1 1 的特解 x2
①
假定方程①中的f(x),g(y)是连续的,且 g( y) 0，
设y＝(x)是方程①的解, 则有恒等式
1 (x) d x f (x) d x g( (x))
两边积分, 得
f (x)dx
设函数G(y)和F(x)依次为 则有
和f(x)的原函数, ② 这说明方程①的解满足等式②
二、可分离变量的微分方程
①
dx
y x1 3
②
由①得
( C为任意常数)
第七章 常微分方程习题课
7
x3
2
Cx3 .
7
20
例3 求 dy dx
x
y y2 cos
的通解 y
解：将原方程写成
dx 1 x y cos y dy y
x
e
1 y
dy
(
y cos
y
)e
1 y
dy
dy
C
y
(
y
cos
y)
1 y
dy
C
y(C sin y)
21
例4
求通解
2x
y2 3x2
dx
dy 0.
y3
y4
3
2、一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
形如 g( y)dy f ( x)dx
解法 g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
(2) 齐次方程 形如 dy f ( y) dx x
解法 作变量代换 u y x
4
(3) 可化为齐次的方程
形如 dy f ( ax by c )
通解：y Y y*
求特解的方法 待定系数法
(1) f ( x) ex Pm ( x) 型
0 不是根
设特解 y* xkexQm (x) k 1 是单根 ,
2 是重根
15
(2)
f
(
x)
ex
[
Pl
(1)
(
x)
cos
x
P(2) n
(
x)
sin
x]
型
设特解
y*
xkex[Rm(1) (x) cosx
由
2 解得
4b 0，
a 1，
8 b 0，
第七章常微分方程数值解法
h2 h3 y ( xi 1 ) y ( xi h) y ( xi ) hy '( xi ) y ''( xi ) y '''( xi ) 2! 3!
丢掉高阶项，有
y( xi 1 ) y( xi h) y( xi ) hy '( xi ) yi hf ( xi , yi )
| f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) | L | y1 y2 | ,
那么模型问题在 [ a, b] 存在唯一解。
Lipschitz 连续： | f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) | L | y1 y2 | .
(1) 比连续性强: y1 y2 可推出 f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) ; (2) 比连续的 1 阶导弱：具有连续的 1 阶导，则
f | f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) || ( ) || y1 y2 | L | y1 y2 | . y
常微分方程数值解法
目标：计算出解析解 y ( x) 在一系列节点 a x0 x1 xn1 xn b 处的近似值 yi y( xi ) ，即所谓的数值解。节点间距 hi xi 1 xi ，一般 取为等距节点。
常微分方程初值问题的数值解法一般分为两大类： (1)单步法：在计算 yn 1 时，只用到前一步的值，即用到 xn1 , xn , yn ，则给定初
值之后，就可逐步计算。例如 Euler 法、向后欧拉法、梯形公式、龙格-库塔法；
(2) 多步法： 这 类 方 法 在 计算 yn 1 时 ， 除 了 用 到 xn1 , xn , yn 外 ， 还 要 用到
高等数学-第七章-微分方程
制动时
常微分方程
偏微分方程
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 .
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程
(本章内容)
( n 阶显式微分方程)
微分方程的基本概念
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
的阶.
分类
或
— 使方程成为恒等式的函数.
通解
— 解中所含独立的任意常数的个数与方程
于是方程化为
(齐次方程)
顶到底的距离为 h ,
说明:
则将
这时旋转曲面方程为
若已知反射镜面的底面直径为 d ,
代入通解表达式得
一阶线性微分方程
第四节
一、一阶线性微分方程
*二、伯努利方程
第七章
一、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程标准形式:
若 Q(x) 0,
若 Q(x) 0,
称为非齐次方程 .
第七章
一、齐次方程
形如
的方程叫做齐次方程 .
令
代入原方程得
两边积分, 得
积分后再用
代替 u,
便得原方程的通解.
解法:
分离变量:
例1. 解微分方程
解:
代入原方程得
分离变量
两边积分
得
故原方程的通解为
( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
( C 为任意常数 )
此处
例2. 解微分方程
例4
例5
例6
思考与练习
求下列方程的通解 :
提示:
(1) 分离变量
(2) 方程变形为
作业
P 298 5(1); 6 P 304 1 (1) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 6
第七章 常微分方程
两边积分
1 1 1 2 2 ln( y 1 ) ln( x 1 ) ln c 2 2 2
通解为
( x2 1 ) ( y 2 1 ) c
⑶ x y dx
1 x dy 0 ;
1 x dy dx 2 y 1 x 1 dy y
2
习题解答：3
y y C1 sin x C2 cos x C1 sin x C2 cos x 0
又 y C1 sin x C2 cos x 中有两个独立的任意常数，且微分方
程 y y 0 是二阶的，所以 y C1 sin x C2 cos x 是该微分
方程的通解.
⒋ 初始条件
用来确定特解的条件称为初始条件。
例1 验证 y C1 sin x C2 cos x 是微分方程 y y 0 的通解。 解 ： y C1 cos x C2 sin x , y C1 sin x C2 cos x
把 y 和 y 代入微分方程左端得
工 程 数 学
常 微 分 方 程
广东水利电力职业技术学院 张静华
Tel：38490981
数学教学部
Email：zhangjh@
目 录
第一节 第二节
微分方程的基本概念 一阶微分方程
⒈ 可分离变量的一阶微分方程 ⒉ 齐次方程
⒊ 一阶线性微分方程
第三节 第四节
可降阶的高阶微分方程 二阶常系数线性微分方程
dy y 一般形式： ⑴ f( ) dx x y 解法：令 u , 则 y u x x dy du ux dx dx du f (u ) 代入方程 ⑴ 得 u x dx 1 1 分离变量得 du dx f (u ) u x y 两端分别积分后再用 代替 u x 便得到原方程的通解 .
第七章常微分方程练习题(含答案)
第7章 常微分方程一、单项选择题1．微分方程3245(''')3('')(')0y y y x -++=阶数是（ b ）A.4阶 B ．3阶 C ．2阶 D ．1阶2．微分方程222y x dxdy x +=是（ b ） A.一阶可分离变量方程 B.一阶齐次方程 C.一阶非齐次线性方程 D.一阶齐次线性方程3．下列方程中，是一阶线性微分方程的是（ c ）A.0'2)'(2=+-x yy y xB.0'2=-+x yy xyC.0'2=+y x xyD.0)()67(=++-dy y x dx y x4．方程x y xy =-'满足初始条件11==x y 的特解是（ a ）A.x x x y +=lnB.Cx x x y +=lnC.x x x y +=ln 2D.Cx x x y +=ln 25．微分方程y y x 2='的通解为（ c ）A ．2x y =B ． c x y +=2C ． 2cx y =D ．0=y6．微分方程y y x ='满足1)1(=y 的特解为 （ a ）A.x y =B. c x y +=C.cx y =D.0=y8．微分方程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是（ a ）A 一阶微分方程B 二阶微分方程C 可分离变量的微分方程D 一阶线性微分方程9．微分方程2y xy '=的通解为（ c ）A ．2x y e C =+B ． x y Ce =C ． 2x y Ce =D ．22x y Ce =二、填空题1．微分方程34()"30y y y y '++=的阶数为__2____；2．微分方程0=+y dxdy 的通解是x y ce -=； 3．微分方程02=+'xy y 的通解是2x y ce -=；4．微分方程x y y e +'=的通解是()10,0x ye C e C ++=<； 5. 一阶线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()()P x dx P x dx P x dx y Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰； 6. n 阶微分方程的通解含有__n __个独立的任意常数。
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第七章常微分方程
1.微分方程0y 2y 3y =+'-''的通解y=（）
A.C 1e -x +C 2e 2x
B.C 1e -x +C 2e -2x
C.C 1e x +C 2e -2x
D.C 1e x +C 2e 2x
2.已知)()(x Q y x P y =+'的两个特解为y 1=2x 和y 2=cos x ,则该微分方程的通解是y =(
)
A.2C 1x +C 2cos x
B.2Cx +cos x
C.cos x +C (2x -cos x )
D.C (2x -cos x )3．下列方程中，是一阶级性非齐次微分方程的是（）A ．ydy =(x +y )dx
B ．xdy =(x 2+y )dx
C ．
9cos =-y x dx
dy
D ．
32+=xy dx
dy
4．以y =sin 3x 为特解的微分方程为（）
A ．0
=+''y y B ．0
=-''y y C ．09=+''y y D ．0
9=-''y y 5.微分方程x xe y y y =+'-''65的一个特解应设为y*=（）
A.axe x
B.x (ax +b )e x
C.(ax +b )e x
D.x 2(ax +b )e x
6.微分方程
2
2
y
x xy
dx dy +=是()
A.齐次微分方程
B.可分离变量的微分方程
C.一阶线性齐次微分方程
D.一阶线性非齐次微分方程7.微分方程2(1)(1)0xy dx x dy +-+=是（）
A.可分离变量的微分方程
B.齐次微分方程
C.一阶线性齐次微分方程
D.一阶线性非齐次微分方程
8.微分方程
d e d x y y
x x
=+是A.可分离变量的微分方程 B.齐次微分方程
C.一阶线性齐次微分方程
D.一阶线性非齐次微分方程
9.微分方程2x y y e -''+=的一个特解y *=______.
10.微分方程2x y y y e -'''+-=用待定系数法求特解*y 时，*y 的形式应设为______.11.微分方程y 〞+y =2e x 的一个特解是y *=_________.12.微分方程10y ''-=的通解y =_____________.13．微分方程x y y sin 3='+'''的阶数是__________.
14．微分方程122=+'+''y y y y ·的一个特解=*y ___________.
15.微分方程x y 2sin =''的通解为y=.
16.微分方程3y y 2y =+'+''的一个特解为y*=___________.17．求微分方程
dy y
dx y x
=
-的通解。
18．求微分方程440y y y '''-+=的通解。
19．求微分方程（1+x 2）dy+(1+y 2)dx=0的通解.
20.求微分方程034=+'-''y y y 满足初始条件()8)0(,40='=y y 的特解.21．求微分方程
y e dx
dy
x +=-的通解.22．求微分方程02=-+-dy e dx e y x y x 的通解.23.求微分方程
.2的通解y x e dx
dy
-=24.求微分方程x 2y 〞=2ln x 的通解.25.求微分方程
1
dx dy x y
=
-的通解.26．设曲线y =y (x )在其上点（x ,y ）处的切线斜率为x
y x -24，且曲线过点（1，1），求该曲线的方程.
27.设曲线()x y y =在其上点(x ,y )处的切线斜率为x +y ,且过点(-1,e -1),求该曲线方程.
28．设曲线y=y(x)在其上任意点（x,y ）处的切线斜率为y
x 1
+，且过点（-1，0），求曲线的方程.。