常微分方程第一章第二节
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常微分方程----第一章-绪论PPT课件
2u x2
2u y2
2u z2
0
注：我们不特别声明，就称常微分方程为微分方程或方程。
方程的阶数：一个微分方程中，未知函数最高阶导 数的阶数，称为方程的阶数。
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一般的n阶微分方程的形式为：
F(x,y.ddyx,L,ddxnny）＝0
其中：F(x,y.ddyx,L,ddxnny）＝0是变量
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在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程 完全不同的问题。比如：某个物体在重力作用下 自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律； 火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行 的轨道等，研究这些问题所建立的数学方程不仅 与未知函数有关，而且与未知函数的导数有关， 这就是我们要研究的微分方程。
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n 阶方程的通解：把含有 n 个相互独立的任意常数
c1，c2，L ，c n 的解 y＝ （ x1 ， c1 ， L， cn）
称为n 阶方程的通解。
若存在 (x,c1,,cn) 的一个邻域，使得
,
, ,
c1
c2
cn
, c1
, c2
,
cn 0
(n1) ,
(n1) ,
,
(n1)
c1
c2
cn
则称 y(x,c1,,cn) 含有n个相互独立的常数。
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例：yc1cox sc2sixn是 yy0的通解。 因为 y c1sixn c2co x而s
cosx sinx 10
sinx cosx
特解：在通解中确立了一组任意常数后所得的解称 为特解。
x,
y,
,
常微分方程
(3). 对于非全微分方程,有时可以找到函数 (x, y) , 使得
(x, y)P(x, y)dx (x, y)Q(x, y)dy 0 积分因子
(4). 观察法往往很实用.
全微分方程
例: ( y2 x)dx 2y(x y)dy 0
解法一:
因为
P 2 y Q
y
x
全微分方程
取 x0 0, y0 0,
d (xy) x2 y2 ( dx dy ) 0 xy
1 则 x2 y2 是积分因子,
d(xy) dx dy x2y2 x y 0
1 ln | x | C. xy y
注意:其他类型的微分方程往往可以化成上述类型
例:
y
1
x cos y sin 2y
视 x 为 y 函数,可化成线性方程
u x du u2 dx u 1
(1 1)du 1 dx
u
x
u y x
y
y Ce x
*可化为齐次方程的方程
方程
dy dx
ax by c a1x b1 y c1
，c
0或c1
0
解法：若
ab 0
a1 b1
则先令
ax by c 0, a1x b1 y c1 0,
求出解 x0 , y0 , 再作变量代换
ex
x3.
2.设f (t)在[0,)上连续且满足
f (t) e4t2
f (1 x2 y2 )dxdy,求f (t)
x2 y2 4t2
2
f (t) e4t2
2
d
2t f ( 1 r)rdr＝e4t2 2
2t f ( 1 r)rdr，
0
02
常微分方程讲解
常微分方程讲解常微分方程第一章绪论在初等数学中，我们已经学过一些代数方程（如元个一次联立方程），并且用它们解决了一些有趣的应用问题，使我们初步体会到方程论（主要是设未知量、列方程和求解方程的方法）对于解决实际问题的重要性。
在解析几何与微积分中，我们又碰到一类不同的方程——方程的个数少于未知量的个数，也就是通常所说的函数方程。
例如，1） (设是自变量，则是未知函数)；2），（设是自变量，则和是两个未知函数）。
这类函数方程与开头所说的代数方程相比，在概念上进了一步——确定自变量与因变量之间的函数关系。
利用这类方程可以解决一类新的问题，例如某些轨迹问题和极值问题等。
本课程所要讲述的方程与刚才说的那种函数方程又不一样，它们除了自变量和未知函数外，还包含了未知函数的导数(即微商)。
例如:1）（是自变量，是未知函数，是未知函数对的导数。
）2）（是自变量，是未知函数，是未知函数对的导数等等）。
这种联系着自变量、未知函数以及未知函数的导数（或微分）的关系式,数学上称之为微分方程。
其中未知函数的导数或微分是不可缺少的。
下面我们通过几个具体的例子，粗略地介绍常微分方程的一些物理背景和方程的建立问题，并讲述一些最基本的概念。
第一节微分方程：某些物理过程的数学模型在这一节中列举几个简单的实际例子，说明怎样从实际问题列成微分方程的问题。
例子虽然简单，但是从中能够简明地诱导出微分方程的一些基本概念，成为进一步探讨其他较复杂问题的借鉴。
掌握好这些例子，会有助于增进我们分析问题的能力。
例1 物体冷却过程的数学模型将某物体放置于空气中，在时刻时，测量得它的温度为，10分钟后测得温度为。
我们要求决定此物体的温度和时间的关系，并计算20分钟后物体的温度。
这里我们假定空气的温度保持为。
解为了解决上述问题，需要了解有关热力学的一些基本规律。
例如，热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；在一定的温度范围内（其中包括了上述问题的温度在内），一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和其所在介质温度的差值成比例。
常微分方程及其应用全文
件y x x0
y0
的特解这样一个问题，称为一阶微
分方程的初值问题。
记为
F x, y, y 0
y x x0
y0
例1 验证函数 x C1 cos kt C2 sin kt
是微分方程
d2x dt 2
k2x
0(k
0)
的通解。
例2 求例1中 满足初始条件
x A ，dx t 0
0 的特解。
dt t 0
直到t=T 时， F T 。若0 开始时质点位于原点，且
初速度为0，求这质点的运动规律。
F(t)
F
F0
0
x
Tt
y f x, y
设
y
p
,则 y
dp dx
p
方程可化为 p f x, p
通解为 p x,C1
得到微分方程
dy dx
x, C1
分离变量或者直接积分得到通解
y x,C1 dx C2
判断下列方程是否为微分方程：
x2 xy y2 0 否
x y 0 是
3y c 是
二、微分方程的阶
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导 数的阶数。
dy 2x
一阶
dx
x2 y xy 4 y 3x 三阶
y4 2 y 12 y 5y sin 2x 三阶
三、微分方程的一般形式
1、一阶微分方程
y f y, y 设 y p ，则
y dp dp dy p dp dx dy dx dy
原方程化为 又得微分方程 dy
dx
分离变量，得通解
y,C1
dy
y,C1
x
C2
例 求方程 y 3 y 满足 y x0 1 的特解。
教学大纲_常微分方程
《常微分方程》教学大纲课程编号：121013A课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课□专业必修课□专业选修课□√学科基础课总学时：48 讲课学时：32 实验（上机）学时：16学分：3适用对象：数学与应用数学（金融方向）先修课程：微积分、线性代数毕业要求：1.掌握数学、统计及计算机的基本理论和方法2.建立数学、统计等模型解决金融实际问题3.具备国际视野，能够与同行及社会公众进行有效沟通和交流一、课程的教学目标《常微分方程》是本科生二年级的基础课。
常微分方程有着悠久的发展历史和极其丰富的内容，一种基本的数学工具，常微分方程在数学学科与其他学科领域，诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、运筹学、控制论、系统工程等学科都有广泛的应用，甚至在经济管理中，常微分方程的理论和方法也起着十分重要的作用。
现代科学技术的发展，特别是计算机技术的发展，为常微分方程的应用开辟了更广阔的前景，因此，学习和(掌握)常微分方程的基本理论和方法，对于学生运用数学方法解决经济问题具有极大帮助。
二、教学基本要求本课程系统介绍求解各类微分方程的方法、常微分方程的基本理论与方法等；采用“少而精”的原则，通过循序渐进的方法，使学生对常微分方程的基本理论与方法具有较为系统的概略认识；贯彻理论与实际相结合的原则，培养学生分析问题和解决问题的能力。
本课程以教师讲授为主，辅以课堂讨论，课后学生自主学习、推荐参考教材及参考书目。
重视师生的互动，做到课上课下有交流，注意培养学生的自主性学习能力和创造性思维。
课程讲授一学期，周课时为3学时，共51学时。
期末考试采用闭卷形式。
平时成绩（包括作业和课堂讨论、答问情况）、出勤率占总评成绩的百分之二十；期末考试成绩占总评成绩的百分之八十。
三、各教学环节学时分配以表格方式表现各章节的学时分配，表格如下：教学课时分配四、教学内容第一章绪论微分方程与解 (1) 微分方程、阶、解。
(掌握)(2) 隐式解、通解与特解。
1_1基本概念 常微分简明教程
2 x 2x
3. y Ce , y 2 y y 0, (C是任意常数)
x
4. y x 1, y y ( x 1) y 2 x;
2 2 2
通解 —与方程的阶数相同个数的独立的任意常数联系 起来的解族 特解 — 满足特定条件的个解
例如
y 2 y 的通解为 y Ce ,
2x
y y 0 的通解为 y C1 cos x C2 sin x
gt C1t C2 ,
2
d y dt
2
2
g 的通解为 y
2
1 2
例如
( x) x 10 是方程
( x) e
x
y
y x 10
的一解
是方程
y y 的一解
1 ( x) sin x, 2 ( x) cos x 是方程 y y
深入观察
的解
( x) C ( x 10) 是方程 y
( x) Ce 是方程
2
( x 1) y xy y 0
d y dx
2
2
k y A sin x
2
例. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分, 则y(x)求所满足的方程就是一个微分方程 . 解: 如图所示, 点 P(x, y) 处的法线方程为
x
y x 10
的解
y y 的解
1 ( x) C1 sin x, 2 ( x) C2 cos x, ( x) C1 sin x C2 cos x
均是方程 y y 的解 ，其中C，C1，C2 表示任意常数
机动
3. y Ce , y 2 y y 0, (C是任意常数)
x
4. y x 1, y y ( x 1) y 2 x;
2 2 2
通解 —与方程的阶数相同个数的独立的任意常数联系 起来的解族 特解 — 满足特定条件的个解
例如
y 2 y 的通解为 y Ce ,
2x
y y 0 的通解为 y C1 cos x C2 sin x
gt C1t C2 ,
2
d y dt
2
2
g 的通解为 y
2
1 2
例如
( x) x 10 是方程
( x) e
x
y
y x 10
的一解
是方程
y y 的一解
1 ( x) sin x, 2 ( x) cos x 是方程 y y
深入观察
的解
( x) C ( x 10) 是方程 y
( x) Ce 是方程
2
( x 1) y xy y 0
d y dx
2
2
k y A sin x
2
例. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分, 则y(x)求所满足的方程就是一个微分方程 . 解: 如图所示, 点 P(x, y) 处的法线方程为
x
y x 10
的解
y y 的解
1 ( x) C1 sin x, 2 ( x) C2 cos x, ( x) C1 sin x C2 cos x
均是方程 y y 的解 ，其中C，C1，C2 表示任意常数
机动
第一章_常微分方程
作业
1. 求方程y2y3y=0的通解。
2. 求方程y2yy0满足初始条件y|x04、 y| x02的特解。
3. 求方程y2y5y 0的通解。
1.2 常系数非齐次线性微分方程
方程
y+py+qy = f(x) (3) 称为二阶常系数非齐次线性微分方程，其
中p、q均为常数，f (x)为非齐次项
一、常数变易法
将方程(3)的特解记为 y(x) c1(x) y1(x) c2(x) y2 (x)
其中y1(x)和 y2 (x)为对应齐次方程的一对线性无关 解。将上述特解带入方程(3)可求解 c1(x)和c2 (x)。
由于 y c1y1 c2 y2 c1 y1 c2 y2 ，若令
c1 y1 c2 y2 0 则 y c1 y1 c2 y2 ，
齐次方程，有
2a1 3a0 3a1x 3x 1 由同幂次系数相等求解得
a1
1
a0
1 3
则非齐次方程的一个特解为
y* x 1 3
B.特殊情况
➢ 如果方程(3)的非齐次项 f(x)正好是对应齐次 方程的解，即各个非齐次项对应的指数
i 0 i
是原方程对应齐次方程的m重特征根，则方 程(3)的特解在原表达式上乘以xm 。
A.基本解法
【例 1.2.2】 求非齐次方程 y 2 y y 3e2x 的通解。 解：假设方程的一个特解为 y*(x) Ae2x ，代入非齐
次方程，有 4Ae2x 2Ae2x Ae2x 3e2x
求得 A 1。因此，方程的一个特解为 y* (x) e2x
又对应齐次方程的通解为 y(x) (c0 +c1x)ex ，因此 非齐次方程的通解为
是方程(1)的两个线性无关的解，方程的通解为
常微分方程 ppt课件
量，x是未知函数，是未知函数对t导数. 现
在，我们还不会求解方程(1.1)，但是，如果
考虑k=0的情形，即自由落体运动，此时方程
(1.1)可化为
d2x dt 2
g
(1.2)
将上式对t积分两次得
x(mt)xk12xgt2mgc1t c2
(1.3) (1.1)
ppt课件
11
一般说来，微分方程就是联系自变量、 未知函数以及未知函数的某些导数之间的关 系式. 如果其中的未知函数只是一个自变量 的函数，则称为常微分方程；如果未知函数 是两个或两个以上自变量的函数，并且在方 程中出现偏导数，则称为偏微分方程. 本书 所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分 方程或方程.
这样，从定义1.1可以直接验证：
F(x, y, y) 0
(1.8)
如果在(1.8)中能将 y 解出，则得到方程
y f (x, y)
(1.9)
或
M (x, y)dx N(x, y)dy 0
(1.10)
(1.8)称为一阶隐式方程,(1.9)称为一阶显式方程，(1.10)称为微 分形式的一阶方程.
ppt课件
14
n 阶隐式方程的一般形式为
常微分方程
ppt课件
1
常微分方程课程简介
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、 物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数 学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航 天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都 可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、 万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、 人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗
ppt课件
2
传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的 浮动、市场均衡价格的变化等，对这些 规律的描述、认识和分析就归结为对相 应的常微分方程描述的数学模型的研究.
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习惯将一般 n 阶常微分方程写成为解出高阶导数的形
式: z(n) g(t ; z, z,...z(n1) )
(1.48)
其中
z(n)
dnz dt n
, z
dz dt
,..., z(n1)
d n1z dt n1
作变换 y1 z，y2 z，...，yn z(n1) 则
本课程主要研究常微分方程. 同时把常微分方程简称为 微分方程或方程.
微分方程的阶数
微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数 称为微分方程的阶数.
(1) dy 2x dx
(2) xdy ydx 0
一阶微分方程； 一阶微分方程；
(3)
d2x dt 2
tx
dx dt
3
0
,初始条件通常取为:
y(x0 ) k0 , y(x0 ) k1, , y(n1) (x0 ) kn1,
其中 k0 , k1,
kn1,
为给定的常数.求F
x,
y,
dy dx
,
,
dny dxn
0的满足
初值条件的解的问题称为初值问题或Cauchy问题,记为:
为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实际问题 的需要给微分方程附加一定的条件(称为定解条件).求满足 定解条件的求解问题称为定解问题.因为 n 阶微分方程
F
x,
y,
dy dx
,
dny
,
dxn
0
的通解中含有 n
个相互独立的任意
常数, 所以为了确定这些常数就需要附加 n 个条件.如果这 n 个条件是在某一”瞬时” x x0 给出的,则这种条件称为初始 条件.
y,
dy dx
,
dny dxn
0
在
I上的一个解。
隐式解
如果关系式 (x, y) 0 确定的隐函数 y (x), x I 是微分方程
dy d n y
F
x,
y,
dx
,
,
dxn
0
的解，则称 (x, y) 0 为该方程的隐式解。
例如，一阶微分方程 dy x dx y
dy f ( y) ，方程组 f ( y) 0 的解 y y* 表示为相空间中 的d点t ，它满足微分方程组，称之为平衡解（驻定解、常数解）
，又称为奇点（平衡点）.
对于平面一阶驻定微分方程组
dx dt
f
(x,
y)
dy dt
g(x,
y)
其相空间 (x, y) 又称为相平面.驻定方程的积分曲线有如
有解 y 1 x2 和 y 1 x2 而关系式 x2 y2 1
是原方程的隐式解。 本课程将不区分解与隐式解，统称为微分方程的解。
通解与特解 如果微分方程的解中含有任意常数，且所含的相互独立
的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则称这样的解为 该微分方程的通解。
例如：y C1 sin x C2 cos x是方程 y y 0的通解. n 阶微分方程的通解的一般形式为:
一簇曲线，称为积分曲线簇。 满足初始条件 y0 (x0 )
的特解就是通过点 (x0 , y0 ) 的一条积分曲线。
积分曲线的每一点
(x, y) 上的切线斜率
dy dx
刚好等于函
数 f (x, y) 在这点的值，也就是说, 积分曲线的每一
点 (x, y) 及这点上的切线斜率 dy 恒满足方程 dy f (x, y) ；
在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为方程 的特解.
例如 方程 y y 0
通解 y C1 sin x C2 cos x 特解 y sin x C1 1,C2 0
y cos x C1 0,C2 1
对于
n
阶微分方程
F
x,
y,
dy dx
,
,
dny dxn
(3)
d2x dt 2
tx dx 3 dt
x
0
;
(2) xdy ydx 0 ;
(4)
d4x dt 4
5
d2x dt 2
3x
sin
t
;
如果自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏 微分方程，例如
(1) z z z ; x y
(2) 2u 2u x y uz 0 . x2 y2
y (x;C1, Cn )
其中 C1, Cn 为相互独立的任意常数.
附注2: 如果微分方程的隐式解中含有任意常数且任意常数的
个数与微分方程的阶数相同,则这样的解称为隐式通解,以 后我们也不区分通解和隐式通解,统称为微分方程的通解.
由于在通解中含有任意常数,因此它还不能完全确切 地反映实际问题的规律性.要确切地反映实际问题的规律 性,必须给通解中的任意常数赋予确切的值.
பைடு நூலகம்
dx
dx
反之，如果在一条曲线每点上其切线斜率刚好等于函
数 f (x, y) 在这点的值，则这一条曲线就是方程 dy f (x, y)
dx
的积分曲线。
设函数 f (x, y) 的定义域为D。在每一点 (x, y) D处
画上一个小线段，其斜率等于 dy 。我们把带有这种直线段 dx
的区域 D 称为由方程 dy f (x, y) 规定的方向场或线素场。 dx
§1.2 基本概念
常微分方程与偏微分方程 微分方程的阶 线性与非线性微分方程 微分方程的解 积分曲线和方向场 微分方程组 驻定与非驻定 动力系统 相空间，奇点和轨线
常微分方程与偏微分方程
如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这 样的微分方程称为常微分方程。例如
(1) dy 2x ; dx
设 I 是x 轴上的一个区间，如果函数y (x), x I
满足下列条件：
（1）(x) 是在 I 有定义且具有直到 n 阶连续的导数 (x), ,(n) (x),
（2）对任意的 x I , F (x,(x), ,(n) (x)) 0,
则称
y=
(x)为F
x,
fi (t ;
y1,..., yn ),
i 1, 2,..., n
或者用向量表示为:
dy
f (t ; y),
dt
y1
y
y2
,
yn
fi (t ; y1,..., yn )
f
(t
;
y)
fi
(t
;
y1,...,
yn
)
fi (t ; y1,..., yn )
驻定与非驻定，动力系统
如果方程组右端不含自变量 t ,即
dy f ( y), y D Rn dt
则称为驻定(自治)的,右端含 t 的方程组称为非驻定(非自治)的.
动力系统是一个映射,要满足恒同性和可加性.
相空间、奇点和轨线
不含自变量、仅由未知函数组成的空间称为相空间. 积分曲线在相空间中的投影称为轨线.对驻定微分方程组
F(x, y, y, , y(n)） 0
y(
x0
)
k0
,
y(
x0
)
k1,
, y(n1) (x0 ) kn1
积分曲线和方向场
一阶微分方程 dy f (x, y)
dx
的解 y (x) 代表 xy 平面上的
(x0 , y0 )
一条曲线，称为积分曲线。
通解 y (x,c) 对应 xy 平面上的
t
n阶线性微分方程的一般形式为：
.
dnx dxn
a1 ( x)
d n1 y dxn1
an (x) y f (x),
其中 a1(x), an (x), f (x)是已知函数。
不是线性方程的方程称为非线性微分方程.例如
d2 dt
x
2
tx
dx dt
3
x
0
微分方程的解
而满足g(x, y) 0 的曲线称为水平等倾斜线.
在方向场中，方向相同的点的几何轨迹称为等斜线。
微分方程 dy f (x, y) 的等斜线方程为 dx
f (x, y) k
其
中 k 是参数。给出参数 k 的一系列充分接近的值，就可得
足够密集的等斜线族，借此可以近似地作出积分曲线。
微分方程组
用两个及两个以上的关系式表示的微分方程称为微分方 程组。
x
0
(4)
d4x dt 4
5
d2x dt 2
3x
sin
t
二阶微分方程； 四阶微分方程.
一般的n阶常微分方程可以写成：
dy d n y
F
x,
y,
dx
,
,
dxn
0,
这里
F
x,
y,
dy dx
,
dny
,
dxn
是
x, y, dy , dx
dny
, dxn 的已知函数,
z(n) g(t ; z, z,...z(n1) )