常微分方程第1章教案
常微分方程第一章
2．微分方程的解
微分方程的解是一个函数，函数就有定义域，设为区 间I . 定义2 设函数 y ( x)在区间 I 上连续，且有直到 n 阶导 ( n) y, y ' ,, y后， ( x), ( x),, ( n ) ( x) 数,若用 分别代替方程(1.8)中的 使(1.8)在 内为关于x的恒等式，即 I
称(1.16)是初值问题
y '' g ' y (0) y0 , y (0) v0
(1.17)
的解，初值问题又叫柯西问题. 由以上简单实例可以看出： 1． 微分方程的求解，与一定的积分运算相联系，因此也常把求解微分方 程的过程称为积分一个微分方程，而把微分方程的解称为这个微分方 程的一个积分.由于每进行一次不定积分运算，会产生一个任意常数， 因此仅从微分方程本身求解（不考虑定解条件），则 n 阶微分方程的 n 个任意常数. 解应该包含 2．微分方程所描述的是物体运动变化的瞬时规律，求解微分方程，就是 从这种瞬时规律出发，去获得运动的全过程.为此，需要给定这一运动 的一个初始状态（即初始条件），并以此为基点去推断这一运动的未 来，同时也可以追朔它的过去. 3． 一般对 n 阶微分方程的初值问题的提法是：
在(1.12)两侧对 t 积分一次，得
y' (t ) gt C1
(1.13) (1.14)
其中 C1 是一个任意常数，再把(1.13)对 t 积分一次，就得
1 y (t ) gt 2 C1t C2 2
其中 C2 是另一个任意常数.可知(1.14)是微分方程(1.12)的通解. 通解(1.14)就表示自由落体的运动规律，在(1.14)中含有两个任意 常数.这说明微分方程(1.12)有无穷多个解. 为了要得到特定的物体运动规律，还必须考虑当运动开始时落体是在什 么地方，且以什么样的速度运动的，即下面的初值条件： (1.15) y(0) y0 ，y' (0) v
常微分方程第一章课件
第一章一阶微分方程1.1学习目标：1. 理解微分方程有关的基本概念, 如微分方程、方程阶数、解、通解、初始条件、初值问题等的定义和提法. 掌握处理微分方程的三种主要方法: 解析方法, 定性方法和数值方法.2. 掌握变量分离法，用变量替换将某些方程转化为变量分离方程, 掌握一阶线性方程的猜测检验法, 常数变易法和积分因子法, 灵活运用这些方法求解相应方程, 理解和掌握一阶线性方程的通解结构和性质.3. 能够大致描述给定一阶微分方程的斜率场, 通过给定的斜率场描述方程解的定性性质; 理解和掌握欧拉方法, 能够利用欧拉方法做简单的近似计算.4. 理解和掌握一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理, 能够利用存在唯一性定理判别方程解的存在性与唯一性并解决与之相关的问题, 了解解对初值的连续相依性和解对初值的连续性定理, 理解适定性的概念.5. 理解自治方程平衡点, 平衡解, 相线的概念, 能够画出给定自治方程的相线, 判断平衡点类型进而定性分析满足不同初始条件解的渐近行为.6. 理解和掌握一阶单参数微分方程族的分歧概念, 掌握发生分歧的条件, 理解和掌握各种分歧类型和相应的分歧图解, 能够画出给定单参数微分方程族的分歧图解, 利用分歧图解分析解的渐近行为随参数变化的状况.7. 掌握在给定的假设条件下, 建立与实际问题相应的常微分方程模型, 并能够灵活运用本章知识进行模型的各种分析.1.2基本知识： (一) 基本概念1. 什么是微分方程:联系着自变量、未知函数及它们的导数（或微分）间的关系式（一般是 指等式），称之为微分方程. 2. 常微分方程和偏微分方程:(1) 如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，则称这种微分方程为常微分方程,例如 )(22t f cy dt dyb dt y d =++, 0)(2=++y dt dy t dt dy . (2) 如果在微分方程中，自变量的个数为两个或两个以上，则称这种微分方程为偏微分方程. 例如 0222222=∂∂+∂∂+∂∂zTy T x T , t T x T ∂∂=∂∂422. 本书在不特别指明的情况下, 所说的方程或微分方程均指常微分方程. 3. 微分方程的阶数: 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数. 例如，)(22t f cy dt dyb dty d =++ 是二阶常微分方程； 0222222=∂∂+∂∂+∂∂zTy T x T 与t T x T ∂∂=∂∂422是二阶偏微分方程. 4. n 阶常微分方程的一般形式：(,,,...,)0n n dy d yF t y dt dt=,这里(,,,...,)n n dy d y F t y dt dt 是,,,...,n n dy d y t y dt dt 的已知函数，而且一定含有n n d ydt的项；y 是未知函数，t 是自变量. 5. 线性与非线性：（1） 如果方程(,,,...,)0n n dy d y F t y dt dt =的左端是y 及,...,n n dy d ydt dt的一次有理式，则称(,,,...,)0n n dy d yF t y dt dt=为n 阶线性微分方程. （2） 一般n 阶线性微分方程具有形式：1111()...()()()n n n n n n d y d y dy a t a t a t y f t dt dt dt---++++= 这里1()a t ,…, ()n a t ,()f t 是t 的已知函数.（3）不是线性方程的方程称为非线性方程. （4） 举例：方程)(22t f cy dt dyb dt y d =++是二阶线性微分方程； 方程0sin 22=+φφl gdtd 是二阶非线性微分方程；方程0)(2=++y dtdy t dt dy 是一阶非线性微分方程. 6. 解和隐式解：如果将函数()y t ϕ=代入方程(,,,...,)0n n dy d yF t y dt dt=后，能使它变为恒等式，则称函数()y t ϕ=为方程的解. 如果关系式,0t yΦ=（）决定的隐函数()y t ϕ=是方程的解，则称,0t y Φ=（）为方程的隐式解. 7. 通解与特解：把含有n 个独立的任意常数n c c c ,...,,21的解 12(,,,...,)n y t c c c ϕ=称为n 阶方程(,,,...,)0n n dy d yF t y dt dt =的通解. 其中解对常数的独立性是指，对ϕ及其 1n -阶导数11,...,n n d d dt dtϕϕ--关于n 个常数 n c c c ,...,,21的雅可比行列式不为0, 即 1212(1)(1)(1)120n n n n n nc c c c c c c c c ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ---∂∂∂∂∂∂'''∂∂∂∂∂∂≠∂∂∂∂∂∂.为了确定微分方程一个特定的解，通常给出这个解所必须满足的条件，称为定解条件.常见的定解条件是初始条件, n 阶微分方程(,,,...,)0n n dy d yF t y dt dt =的初始条件是指如下的n 个条件： 1(1)(1)00001,,...,n n n dy d y t t y y y y dt dt---====，，这里(1)(1)0000,,,...,n t y y y -是给定的n+1个常数. 求微分方程满足定解条件的解，就是所谓定解问题. 当定解条件为初始条件时，相应的定解问题称为初值问题. 把满足初始条件的解称为微分方程的特解. 初始条件不同，对应的特解也不同.(二) 解析方法1．变量分离方程 形如()()dyf t y dtϕ=的方程为变量分离方程，其中(),()f t y ϕ分别为,t y 的连续函数.方程解法如下：若()0y ϕ≠，则()()()()dyf t dt y dyf t dt cy ϕϕ==+⎰⎰上式确定方程的隐式通解. 如果存在0y ，使得()00y ϕ=，则0y y =也是方程的解. 2. 可化为变量分离方程的方程(1) 齐次方程形如 ()dy yg dt t=的方程为齐次方程，()g u 为u 的连续函数. 解法如下：做变量替换y u t =，即y ut =，有dy dut u dt dt=+，从而原方程变为 ()du t u g u dt +=，整理有()du g u u dt t-=，此为变量分离方程，可求解. (2) 形如111222a tb yc dy dt a t b y c ++=++的方程, 其中121212,,,,a a b b c c , 为常数. ●111222a b c k a b c ===的情形. 此时方程化为,dyk dt=可解得y kt c =+. ●11220,a b a b =即1122a b k a b ==的情形: 令 22,u a t b y =+ 则有 122222ku c du dya b a b dt dt u c +=+=++ 此为变量分离方程. ●11220a b a b ≠的情形对120c c ==的情况, 直接做变量替换yu t=. 当12,c c 不全为零, 求 11122200a t b y c a t b y c ++=⎧⎨++=⎩的解为t y αβ=⎧⎨=⎩. 令 T t Y y αβ=-⎧⎨=-⎩, 则方程组化为112200a T bY a T b Y +=⎧⎨+=⎩. 原方程化为12()a T bY dY Yg dT a T bY T+==+的齐次方程可求解. 3．一阶线性微分方程(1) 一般形式：()()()0dya tb t yc t dt++=，若()0a t ≠，则可写成()()dyP t y Q t dt=+的形式. (2) 一阶齐次线性微分方程：()dyP t y dt =，通解为(),P t dt ce c ⎰ 为任意常数. (3) 一阶非齐次线性微分方程：()()dyP t y Q t dt=+，()0Q t ≠. (4) 齐次线性微分方程的性质性质1 必有零解 0y =;性质2 通解等于任意常数c 与一个特解的乘积; 性质3 任意两个解的线性组合也是该微分方程的解. (5) 非齐次线性微分方程的性质性质1 没有零解;性质2 非齐次方程的解加上对应齐次方程的解仍为非齐次方程的解; 性质3 任意两个非齐次方程的解的差是相应齐次方程的解. (6) 一阶非齐次线性微分方程的解法：(i) 猜测-检验法对于常系数的情形，即 ()P t 为常数, 此时方程为()dyay Q t dt=+, a 为常数. 对应齐次方程的通解为atce , 只需再求一个特解, 这时根据()Q t 为特定的函数,可猜测不同的形式特解. 事实上, 当()BtQ t Ae =, ,A B 为给定常数, 且B a ≠时可设待定特解为Bt Ce , 而当B a =时, 可设特解形式为BtCte , 后代入方程可确定待定常数C . 当()Q t 为cos ,sin At At 或它们的线性组合时, 其中A 为给定常数. 这时可设待定特解为cos sin B At C At +代入方程后确定,B C 的值. 当()Q t 具有多项式形式1011n n n n a t a t a t a --++++, 其中01,,n a a a 为给定常数且00a ≠, 这时可设待定特解为1011nn n n b t bt b t b --++++代入方程可求得,0,1,,i b i n = 的值. 对于()Q t 有上述几种线性组合的形式, 则可设待定特解是上述形式特解的线性组合. (ii) 常数变易法: 令()()P t dty c t e ⎰=，代入方程，求出()c t 后可求得通解为()()(())P t dtP t dty e Q t e dt c -⎰⎰=+⎰.(iii) 积分因子法: 方程改写为()()dyP t y Q t dt-=, 将()P t dt e μ-⎰=, 乘方程两端得 ()()()()()P t dt P t dtP t dt dy e e P t y Q t e dt---⎰⎰⎰-= 即 ()()()()P t dtP t dt d ye Q t e dt --⎰⎰=, 从而通解为 ()()()P t dt P t dt ye Q t e dt c --⎰⎰ =+⎰，即 ()()(())P t d t P t d ty e Q t ed t c-⎰⎰= +⎰. 注意, 非齐次线性微分方程通解的结构是: 非齐次线性微分方程的通解等于其对应的齐次线性微分方程的通解加上非齐次线性微分方程的一个特解.4. 伯努利(Bernoulli)方程. 形如()()n dyP t y Q t y dt=+的方程, 其中 n 是常数且0,1,(),()n P t Q t ≠ 是连续函数, 称为伯努利方程. 伯努利方程可通过变量替换 1n z y -=化为(1)()(1)()dyn P t z n Q t dt=-+-, 这是关于未知函数z 的线性方程, 可求其通解.(三) 定性方法与数值方法：1. 斜率场：一阶微分方程(,)dyf t y dt =的解()y t ϕ=代表ty 平面上的一条曲线，称之为微分方程的积分曲线. 微分方程(,)dyf t y dt=的通解()y t ϕ=，c 对应于ty 平面上的一族曲线，称之为微分方程的积分曲线族. 满足初始条件00()y t y =的特解就是通过点00(,)t y 的一条积分曲线. 方程(,)dy f t y dt =的积分曲线上的每一点(,)t y 处的切线斜率dydt刚好等于函数(,)f t y 在这点的值. 也就是，积分曲线的每一点(,)t y 以及这点上的切线斜率dydt恒满足方程；反之，如果在一条曲线每点上其切线斜率刚好等于函数(,)f t y 在这点的值，则这一条曲线就是方程的积分曲线. 这样，可以用(,)f t y 在ty 平面的某个区域D 内定义过各点的小线段，其斜率为(,)f t y ，一般称这样的小线段为斜率标记. 而对ty 平面上D 内任一点(,)t y , 有这样一个小线段与之对应, 这样在D 内形成一个方向场, 称为斜率场. 斜率场是几何直观上描述解的常用方法2. 欧拉方法：求微分方程初值问题00(,)()dyf t y dty t y⎧=⎪⎨⎪=⎩ 的解，可以从初始条件00()y t y =出发，按照一定的步长t ∆ 依照某种方法逐步计算微分方程的近似解()n n y y t =, 这里0n t t n t =+∆这样求出的解称为数值解. 利用欧拉公式10(,),n n n n n y y f t y t t t n t +=+∆ =+∆,可求初值问题的近似解，这种方法称为欧拉方法.欧拉方法具有一阶误差精度 .如果我们先用欧拉公式求出近似解,再利用梯形公式进行校正, 得到的近似解将具有2阶误差精度, 具体为 预测: 1(,)n n n n y y f t y t +=+∆, 校正: 11,11[(,)()]2n n n n n n y y f t y f t y t ++ +=++∆, 这种方法称为改进的欧拉方法.(四) 解的存在性、唯一性及解对初值的连续相依性1. 利普希茨（lipschitz ）条件: 函数(,)f t y 称为在区域2D ⊆R 内关于y 满足利普希茨条件，是指如果存在常数0L >，使得不等式1212(,)(,)f t y f t y L y y -≤-对于所有的12(,),(,)t y t y D ∈都成立, 其中L 称为利普希茨常数. 2. 基本定理(1) 解的存在性定理: 设(,)f t y 在矩形区域2{(,):,}D t y a t b c y d =∈ << <<R 内连续.如果00(,)t y D ∈, 那么，存在0ε> 和函数()y t , 定义于区间00(,)t t εε-+内，是初值问题00(,)()dyf t y dt y t y⎧=⎪⎨⎪=⎩ 的解. (2) 解的唯一性定理: 设(,)f t y 在矩形区域2{(,):,}D t y a t b c y d =∈ << <<R 内连续且关于y 满足利普希茨条件. 如果00(,)t y D ∈并且12(),()y t y t 是初值问题00(,)()dyf t y dty t y⎧=⎪⎨⎪=⎩在区间00(,)t t εε-+内的两个解，那么对任意的00(,)t t t εε∈-+,12()()y t y t =,即解是唯一的.注记1: 存在性定理和唯一性定理结合在一起称为初值问题解的存在唯一性定理，叙述如下：设(,)f t y 在矩形区域2{(,):,}D t y a t b c y d =∈ << <<R 内连续且关于y 满足利普希茨条件. 如果00(,)t y D ∈, 那么，存在0ε> 和函数()y t , 定义于区间00(,)t t εε-+内，是初值问题00(,)()dyf t y dty t y⎧=⎪⎨⎪=⎩ 的唯一解. 因而当我们判断初值问题解的存在唯一性时，要检查(,)f t y 需要满足的条件.注记2: 由于利普希茨条件较难检验，常用(,)f t y 在2{(,):,}D t y a t b c y d =∈ ≤≤ ≤≤R上对y 有连续偏导数来代替. 事实上，如果在D 上y f ∂∂存在且连续，则yf∂∂在D 上有界. 设在D 上L yf≤∂∂, 这时 2121212(,())(,)(,)f t y y y f t y f t y y y yθ∂+--=-∂21y y L -≤, 其中 12(,),(,),01t y t y D θ∈ <<. 但反过来满足利普希茨条件的函数(,)f t y 不一定有偏导数存在. 例如(,)||f t y y = 在任何区域内都满足利普希茨条件，但它在0y =处没有导数.(3) 解对初值的连续相依性定理设(,)f t y 在矩形区域2{(,):,}D t y a t b c y d =∈ << <<R 内连续且关于y 满足利普希茨条件. 如果00(,)t y D ∈，00(,,)y t t y ϕ=是初值问题00(,)()dyf t y dt y t y⎧=⎪⎨⎪=⎩在区间00(,)t h t h -+内的解，其中 0h >,那么，对任意给定的0>ε，必能找到正数(,)0h δδε=>，使得 当2220000t t y y δ-+-<（）（）时，初值问题00(,)()dyf t y dty t y⎧=⎪⎨⎪=⎩的解00(,,)y t t y ϕ=在区间00(,)t h t h -+内也有定义，并且0000|(,,),,|,t t y x t y ϕϕε-<（） 00(,)t t h t h ∈-+. (4) 解对初值的连续性定理设(,)f t y 在矩形区域2{(,):,}D t y a t b c y d =∈ << <<R 内连续且关于y 满足利普希茨条件. 如果00(,)t y D ∈，00(,,)y t t y ϕ=是初值问题00(,)()dyf t y dt y t y⎧=⎪⎨⎪=⎩的解, 那么00(,,)t t y ϕ作为00,,t t y 的三元函数在它存在的范围内是连续的.3. 初值问题的适定性当一个微分方程初值问题的解存在, 唯一并且解连续的依赖于初始条件时, 我们称该问题是适定的. 那么, 对于常微分方程初值问题00(,)()dyf t y dt y t y⎧=⎪⎨⎪=⎩, 只要在00(,)t y 所在的区域内,(,)f t y 连续并且关于y 满足利普希茨条件, 则该初值问题是适定的.(五) 自治方程的平衡点与相线1. 自治方程 当一阶微分方程(,)dy f t y dt =的右端项只是y 的函数而与自变量t 无关, 即()dy f y dt=时, 称为自治方程.2. 平衡解与平衡点 对自治方程()dyf y dt=而言, 若()0f y =有解0y y =, 则称 0()y t y ≡ 是方程的平衡解, 而点0y 称为方程的一个平衡点. 3. 相线相线是仅仅对自治方程()dyf y dt=而言的一种简化的斜率场. 自治方程的斜率场在水平直线上的斜率标记是一样的, 这样只要知道一条竖直直线上的斜率标记, 我们就可以知道整个斜率场. 因而, 在一个竖直的直线上, 我们用向上的箭头表示正的导数, 用向下的箭头表示负的导数. 对于导数为零的点, 用实心圆点来标记它, 则形成该自治方程的相线. 4. 画相线的基本步骤 (1) 画出y -线(竖直线),(2) 找到并在y -线上标记平衡点,不连续点或定义域外的点 (3) 找到()0f y >的区间, 在这些区间上画上向上的箭头, (4) 找到()0f y < 的区间, 在这些区间上画上向下的箭头.5. 初值问题0(),(0)dyf y y y dt= =解的渐近行为 (1) 趋向于平衡点, 如01()(1),2f y y y y =- =;(2) 在无限时间内趋于无穷, 如0(),1f y y y = =; (3) 在有限时间内趋于无穷(爆破), 如20(),1f y y y = =; (4) 在有限时间内停止(导数趋于无穷), 如 01(),1f y y y=- =. 6. 平衡点的分类对于自治方程()dyf y dt=, 如果()f y 在(,)-∞+∞ 内连续, 那么它的解当t 增加时要么(在有限或无限时间里)趋于+∞或-∞, 要么渐近趋于平衡点. 因而,平衡点在自治方程的研究中起着重要的作用. (1) 汇对于初值接近0y 的解, 当t 增加时, 都渐近趋于0y . 对于这样的平衡点0y , 我们称之为汇, 它是稳定的. (2) 源对于初值接近0y 的解, 当t 增加时, 都远离0y . 对于这样的平衡点0y , 我们称之为源,它是不稳定的. (3) 结点既不是源也不是汇的平衡点, 我们称之为结点,它也是不稳定的. 7. 判断平衡点类型的线性化方法 1. 如果0y 是自治方程()dyf y dt=的一个平衡点, 即0()0f y =, 那么 (1) 0y 是源当且仅当()f y 在0y 附近严格单调增加; (2) 0y 是汇当且仅当()f y 在0y 附近严格单调递减. 2. (线性化定理) 如果0y 是自治方程()dyf y dt=的一个平衡点, 即0()0f y =, 并且()f y 是连续可微的, 那么 (1) 若0()0f y '> 则0y 是源; (2) 若0()0f y '<, 则0y 是汇;(3) 若0()0f y '=, 则需要进一步的信息决定其类型.(六) 分歧一阶微分方程解的渐近行为随参数变化发生了类型的变化, 我们称之为分歧现象(或分支, 分叉).1. 分歧发生的条件 对于单参数微分方程族()(,)dy f y f y dtμμ==, 0μμ=是一个分歧值的必要条件是: 存在平衡点0y , 使得 0000(,)(,)0f f y y yμμ∂==∂. 这样我们要找分歧点可以通过求解方程组 (,)0(,)0f y f y y μμ=⎧⎪∂⎨=⎪∂⎩, 得到解 00(,)y μ,0μ为可能的分歧值, 而0y 是可能发生分歧的平衡点. 2. 分歧图解与分歧类型分歧图解是y μ 平面上方程在分歧值附近的所有相线的图, 用以强调当参数经过分歧值时相线所经历的变化.(1) 鞍结点分歧在分歧图解(图1-1)中, 当μ从左到右经过分歧值0μ时, 方程的平衡点从两个变为一个再变为不存在, 这种分歧一般称之为鞍结点分歧. 这类分歧图解在分歧值附近是抛物线的形状(2) 在分歧图解(图1-2)中,当μ从右到左经过分歧值0μ=时, 方程的平衡点由三个变为一个, 这种分歧一般称之为音叉分歧.图 1-1 鞍结点分歧 图 1-2 音叉分歧图 1-3 跨越分歧 图 1-4 复合分歧(3) 在分歧图解(图1-3)中, 当0μ= 时, 方程有一个平衡点; 当0μ≠ 时, 方程有两个平衡点. 0μ=是一个分歧值. 虽然在分歧值的两侧方程都有两个平衡点，但平衡点的稳定性会改变. 当0μ> 时, 0y =是一个汇,它是稳定的; 当0μ<时, 0y =是一个源,它 是不稳定的. 这类分歧一般称为跨越分歧.(4) 在分歧图解(图1-4)中, 当 μ从左到右变化时,相应的方程平衡点依次由一个变为两个,三个,两个再变回一个, 这种分歧一般称之为复合分歧.(七) 一阶微分方程的应用1. 增长和衰减问题设 ()S t 为正在增长或衰减的某研究对象的总量. 如果假设它随时间的变化率dS dt与当前数目成正比, 其比例系数为 k , 则有 dS kS dt =, 或 0dS kS dt-=. 设()S t 可微, 因而是连续函数. Malthus 人口模型满足上述微分方程, 虽然对人口问题, ()S t 是离散的, 只能取整数值, 但该模型系统在一定情况下提供了很好的近似对某一生物种群进行研究时, 该生物种群的增长往往受资源和环境的限制, 引进参量N , 称为最大承载量, 用以表示自然资源和环境条件所能容纳的最大数量, 并且假定 （1）当基数很小时，增长率与当前数成正比；（2）当基数很大，达到资源和环境不能承受的时候，数量开始减少，即增长率为负的. 此时方程可改写为(1)dS S k S dt N=-, 称为具有增长率k 和最大承载量N 的Logistic 模型，该模型最早由荷兰生物学家 Verhulst在1838年提出.2. 温度问题牛顿冷却定律(亦适应于加热的情况)说明物体的温度随时间的变化率与物体所处的周围环境的温差成正比, 设 T 是物体的温度, T 是所处环境的温度, 那么物体温度随时间的变化率为dT dt, 牛顿冷却定律可表示为 ()dT k T T dt=--, 其中k 是正的比例系数, 而负号表示在冷却过程中, 物体温度 T 大于周围环境温度T , 变化率0dT dt <. 在加热过程中0dT dt>, 此时T T <. 3. 稀释问题一容器最初容纳0V 升盐水溶液, 其中含盐 a 克. 每升含盐 b 克的盐水溶液以e 升/分的速度注入,同时, 搅拌均匀的溶液以f 升/分的速度流出, 问在任何时刻 t , 容器中的含盐量.设Q 为任何时刻容器中的含盐量. Q 的变化率dQ dt等于盐的注入率减去流出率. 盐的注入率是 be 克/分. 要决定流出率, 首先计算在时刻t , 容器中的溶液的体积, 它等于最初的体积0V 加上注入的体积 et 后减去流出的体积ft . 因此, 在任一时刻t , 盐水的体积是 0V et ft +-. 在任何时刻的浓度是 0Q V et ft +-, 由此得流出率为 0Qf V et ft+-/分. 于是得到微分方程 0dQ Qf be dt V et ft =-+-, 即 0dQ f Q be dt V et ft+=+-, 这是一个一阶线性方程.4. 电路一个简单的 RC 回路是包含有电阻R (欧姆), 电容C (法拉)和电源V (伏特),如图1-5.图1-5 RC 电路 图1-6 RL 电路由电路学知识，C 的电压()v t 与电阻R 的电压之和应为电源的电压()V t . 电路中的电流I (安培)为 ()dQ dCv t dv I C dt dt dt ===, 其中 Q 为电量从而R 处的电压为 dv RI RC dt=, 由此我们可以建立RC 电路的模型如下：()dv RC v V t dt +=, 即 ()dv V t v dt RC-=. 对于一个包含有电阻R (欧姆), 电感L (亨利)和电源V (伏特)的RL 回路,如图1-6. 电路中的电流应满足的基本方程为 dI R V I dt L L +=.(八) 种群生态学中的模型设()y t 表示一个生物种群的数量, t 为时间, 最简单的种群模型是 Malthus 模型dy ky dt=. Malthus 模型的解()(0)kt y t y e =预测了种群数量的指数增长.由于种群数量大的时候，对资源的竞争加剧，因此单位增长率会随种群数目增大而减小，因此更为合理的假设是()dy yf y dt= (*) 这里()f y 是单位增长率，因为dy dt 为增长率，y 是种群数量, 而()/dy f y y dt =. 当考虑种群数量的变化时.对()f y 而言, 其代数形式并不重要, 而关键是其单调性, 凸凹性, 这样我们可以对其进行大致分类:(1) 若()f y 在[0,)+∞上是递减的，称(*)为 Logistic 型；(2) 若()f y 在[0,)+∞上是先增后减的，称(*)为 Allee 效应型；(3) 若()f y 在[0,)+∞上是递减再递增最后递减的，称(*)为 Hysteresis 型.1.3典型例题：例1 考虑微分方程 3220dy y y y dt=--, 问 (1) y 为何值时, ()y t 将保持不变?(2) y 为何值时, ()y t 将增加?(3) y 为何值时, ()y t 将减少?解: 因为当0dy dt =时, ()y t 将保持不变; 当0dy dt >时, ()y t 将增加; 当0dy dt<时, ()y t 将减少. 由3220dy y y y dt=--知, (1) 当32200y y y --=, 即0,4,5y y y = =-=时, ()y t 将保持不变.(2) 当32200y y y -->, 即40y -<< 或5y > 时, ()y t 将增加.(3) 当32200y y y --<, 即4y <- 或05y << 时, ()y t 将减少.例2 假定在鄱阳湖中一种鱼类的数量()S t 随时间的变化按Logistic 模型增长, 增长率为k , 最大承载量为N , 即有 (1)dS S k S dt N=-. 如果每年要从湖中捕获一定量的鱼, 试按下述不同情形对模型做适当修改,(1) 每年捕获10吨?(2) 每年捕获总量的三分之一?(3) 捕获量与总量的平方根成正比?解: (1)(1)10dS S k S dt N=--. (2) 1(1)3dS S k S S dt N =--. (3) (1)dS S k S l S dt N =--, 其中 l 是捕获量与总量平方根的比例系数. 例3 求解方程dy t dt y=- 解：变量分离得 ydt tdy =-.两边积分 22222y t c =-+. 通解为 22t y c +=, c 为任意正常数.例4 求解方程231dy y dx xy x y+=+ 解：变量分离得221(1)ydy dx y x x =++, 两边积分 2221()1(1)1ydy dx x dx y x x x x ==-+++⎰⎰⎰.即 22111ln(1)ln ||ln(1)22y x x c +=-++, 1c 为任意常数, 整理得222(1)(1)y x cx ++=, 12c c e =为任意正的常数.例5 求解方程tan dy y xy dx x-=. 解: 将方程改写为 tan dy y y dx x x=+, 这是齐次方程, 做变量替换y u x =，即y ux =，有dy du x u dx dx=+，从而原方程变为 tan du x u u u dx +=+ 即tan du u dx x= 利用分离变量法求得 s i n u c x =, 代回原变量得通解为sin y cx x=, c 为任意常数 例6 求解方程22dy x y x y dx=+-. 解: 方程改写为2s g n 1()d y y y x d x x x =+⋅- 令u =y x ，则y u x =，从而2sgn 1du x u u x u dx+=+⋅- 当210u -≠时，2sgn 1dux dx xu =-, arcsin sgn ln u x x c =⋅+, 即 arcsin sgn ln y x x c x=⋅+, c 为任意常数．此外，还有解210u -=，即22y x =．例7 求解方程 13dy x y dx x y -+=+- 解: 解方程组 1030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩的解 为 12x y =⎧⎨=⎩. 令 12X x Y y =-⎧⎨=-⎩ , 则原方程化为 dY X Y dX X Y -=+.令 Y u X = ,则可化为变量分离方程 21,12dX u du X u u +=-- 解得 222Y XY X c --=, 代回原变量 有22262y xy x y x c +---=, c 为任意常数.例8 求解方程 2()dy y b t dt-=, 其中 (1) 2()1b t t t =++,(2) 4()t b t e =(3) 2()3t b t e =(4) ()cos3b t t =(5) 422()3cos31t t b t e e t t t =+++++解: 对应齐次方程的通解为 2t y ce =, 下面用猜测-检验法求特解(1) 设 21y At Bt C =++ 代入 221dy y t t dt-=++, 有 2222()1At B At Bt C t t +-++=++解得 1,1,12A B C =- =- =-, 从而21112y t t =---, 原方程的通解为 22112ty ce t t =---, c 为任意常数. (2) 设 42t y Ae = 代入 42t dy y e dt -=, 有 44442t t t Ae Ae e -=解得 12A =, 从而4212t y e =, 原方程的通解为 2412t t y ce e =+, c 为任意常数. (3) 不能设2t Ae 形式的特解, 因为它是相应齐次方程的解,不可能是非齐次方程的解, 设 23t y Ate = 代入 22t dy y e dt-=, 有 2222223t t t t Ate Ae Ate e +-=解得 3A =, 从而233t y te =, 原方程的通解为2223(3)t t t y ce te c t e =+=+, c 为任意常数.(4) 设 4cos3sin3y A t B t =+ 代入 2cos3dy y t dt-=, 有 3sin33cos32(cos3sin3)cos3A t B t A t B t t -+-+=有 2310320A B A B -+-=⎧⎨ --=⎩, 解得 23,1313A B =- =, 从而423cos3sin 31313y t t =-+, 原方程的通解为 223cos3sin 31313t y ce t t =-+, c 为任意常数.(5) 根据叠加原理, 由前面4个小题知方程有特解422512313cos3sin 31213132t t y e te t t t t =+-+--- 原方程的通解为242212313cos3sin 31213132t t t y ce e te t t t t =++-+---,c 为任意常数. 例9 求方程22dy y dx x y =-的通解. 解: 将方程改写为222dx x y x y dy y y-==-. 求齐次线性微分方程 2dx x dy y=, 得通解为2x cy =. (常数变易法) 令 2()x c y y =代入原方程 得()1,()ln ||dc y c y y c dy y=- =-+, 从而可得原方程的通解为2(ln ||)x y y c =-+, c 为任意常数.例10 求方程26dy y ty dt t=-的通解. 解: 此为 2n =的伯努利方程. 令 1z y -=可得6dz z t dt t =-+，此为线性方程可求通解为 268c t z t =-+, 代回原变量得 2618c t y t =-+, 即 688t t c y -=, c 为任意常数. 此外, 原方程还有解0y =.例11 用积分因子法求解方程 32(1)1dy y t dt t =+++. 解: 方程改写为 32(1)1dy y t dt t -=++, 积分因子为 221()(1)dt t t e t μ- -+⎰==+, 乘方程两端得 23(1)2(1)1dy t t y t dt--+-+=+, 即 2(1)1d t y t dt-+=+, 有 421(1)(1)2y t c t =+++, c 为任意常数.例12 若()f t 连续且0()()10t f t f s ds t = , ≠⎰, 试求函数()f t 的一般表达式. 解: 设0()()tF t f s ds =⎰, 则()F t 可导且()()F t f t '=, 这样有1,dF FFdF dt dt = =, 得 2()2,()2F t t c F t t c =+ =±+, 又(0)0F =, 得0c =. 从而 ()2F t t =±, 进而 1()()2f t F t t'==±. 例13 求具有性质 ()()()1()()y t y s y t s y t y s ++=- 的函数 ()y t , 已知(0)y '存在. 解: 首先令 0s =, 由已知可得 ()(0)()1()(0)y t y y t y t y +=-, 化简有 2(0)(1())0y y t +=, 知 (0)0y =. 由函数的导数定义00202002()()()lim()()()1()()lim ()(1())lim (1()())()1()lim lim 1()()(0)(1())s s s s s y t s y t y t sy t y s y t y t y s sy s y t s y t y s y s y t s y t y s y y t →→→→→+-'=+-- =+ =-+ = -' = + 变形为 2(0)1()dy y dt y t '=+, 积分得 arctan ()(0)y t y t c ' = +, 由(0)0y =, 知 0c =, 所以满足条件的函数为 ()tan (0))y t y t '= (.例14 下面给定8个微分方程和4个斜率场, 请选出斜率场相应的微分方程, 并说明理由. (1) 2dy t dt =- (2) 24dy y dt =- (3) 2dy y t dt=- (4) 2dy t dt =- (5) 24dy y dt =- (6) 2dy y dt =- (7) dy yt t dt =+ (8) 2dy y t dt=+图1-7 图1-8图1-9 图1-10解: 图1-7对应于(4),图1-8对应于(3),图1-9对应于(2),图1-10对应于(7). 这是因为图1-7的斜率场竖直方向上的斜率标记一样, 知方程的右端项仅是自变量t 的函数()f t , 且当 2t >, ()0f t <, 当2t <时, ()0f t >, 只有(4)满足要求. 图1-8的斜率场知方程右端项为(,)f t y 是 ,t y 的函数, 且当 0y <时,(,)0f t y <, 只有(3)满足.图1-9的斜率场知方程为自治方程有平衡点 2,2y y ==-, 且在 22y -<<时,()0f y <, 知只有(2)满足要求.图1-10的斜率场知方程右端项为(,)f t y 是 ,t y 的函数, 且有平衡解 1y =-, 只有(7)满足要求.例15 利用欧拉方法和改进的欧拉方法, 对步长 0.1t ∆=, 在区间[0,1]上求初值问题21,(0)0dyy y dt=+ =的近似解. 解: 这里 200(,)1,0,0f t y y t y =+==. 利用欧拉公式10(,),n n n n n y y f t y t t t n t +=+∆ =+∆,和 改进的欧拉方法,预测: 1(,)n n n n y y f t y t +=+∆, 校正: 11,11[(,)()]2n n n n n n y y f t y f t y t ++ +=++∆,分别计算如下表:欧拉方法改进的欧拉方法n n tn y(,)n n f t y 预测的n y校正的n y 真 解tan y t =0 010 0 1 0.1 0.1000 1.0100 0.1000 0.1005 0.1003 2 0.2 0.2010 1.0404 0.2015 0.2030 0.2027 3 0.3 0.3050 1.0930 0.3072 0.3098 0.3093 4 0.4 0.4143 1.1716 0.4194 0.4234 0.4228 5 0.5 0.5315 1.2825 0.5413 0.5470 0.5463 6 0.6 0.6598 1.4353 0.6769 0.6849 0.6841 7 0.7 0.8033 1.6453 0.8318 0.8429 0.8423 8 0.8 0.9678 1.9366 1.0140 1.0299 1.0296 9 0.9 1.1615 2.34911.2360 1.2592 1.2602 10 11.39642.94991.51791.55371.5574例16 讨论微分方程 233dyy dt=在怎样的区域内满足存在唯一性定理的条件,并求通过点(0, 0) 的一切解.解: 由 23(,)3f t y y =, 知它在全平面内连续, 又由于13(,)2f t y y y-∂=∂, 在除去0y =的区域内连续, 从而在除去0y =的有界闭区域内有界, 进而满足利普希茨条件, 知方程满足初始条件00()0y t y =≠的解在充分小的邻域内存在并且唯一. 当 0y =时, 函数0y =是方程过 (0,0) 的解.当0y ≠时, 方程可变形为 2313y dy dt - =, 积分得 3()y t c =+, c 为任意常数.当0c =时, 得特解 3y t = 是过 (0,0) 的另一个解, 其实, 除零解外, 过(0,0)的所有解可以表示为3111(),0,t c t c y t c ⎧- <=⎨ ≥⎩,3222(),0,t c t c y t c ⎧- >=⎨ ≤⎩, 31132212(),(),0,t c t c y t c t c c t c ⎧- <⎪=- >⎨⎪≤≤⎩,其中12,c c 是满足10c ≤,20c ≥的任意常数, 这些解的定义区间为(,)-∞ +∞, 但本质上在充分小的邻域 (,)εε-内方程所确定的过(0,0)的解只有四个,即 函数30,y y t = =, 3,00,t t y t εε⎧ -<<=⎨ 0≤<⎩及30,0,t y t t εε -<<⎧=⎨ 0≤<⎩.例17 举例说明一阶微分方程初值问题00(,)()dyf t y dt y t y⎧=⎪⎨⎪=⎩解的存在唯一性定理中, 关于(,)f t y 在矩形区域2{(,):,}D t y a t b c y d =∈ << <<R 内连续,关于y 满足利普希茨条件是保证解的存在唯一的非必要条件.解: (1) 当连续条件不满足时, 解也可能是存在唯一的. 如方程1,(,)0,y t dyf t y y t dt =⎧==⎨≠⎩, 显然, (,)f t y 在以原点为心的任何矩形区域内不连续, 间断点为直线y t =, 但过原点的解存在唯一, 这个解就是y t =.(2) 当利普希茨条件不满足时, 解也可能是唯一的. 如ln ||,0(,)0,y y y dyf t y y t dt ≠⎧==⎨=⎩, 由于 11111|(,)(,0)||ln ||0||ln ||||0|f t y f t y y y y -=-=⋅-,当 110,ln ||y y → →-∞无界, 因而(,)f t y 在以原点为心的任何矩形领域内不满足利普希茨条件. 然而方程的所有解为 xce y e =±,c 为任意常数, 及 0y =.过原点(0,0)有唯一解 ()0y t =. 例18 对微分方程(2)(5)dyy y y dt=--而言, 利用存在唯一性定理, 说明满足下列初始条件的解是否存在, 如果存在你能否知道这个解或有关这个解的一些性质.(1) (0)6y =， (2) (0)5y =， (3) (0)1y =, (4) (0)1y =-.解: 由方程的右端项为 ()(2)(5)f y y y y =--仅为 y 的函数在全平面上连续可微,从而由存在唯一性定理, 给定初始条件的解是存在并且是唯一的. 首先由()(2)(5)f y y y y =--知方程有()0,()2,()5y t y t y t = = =三个平衡解.(1) 初始条件为 (0)6y =, 初值位于()5y t =的上方, 由唯一性, 满足这个初始。
常微分方程第一章课件
数值解法的稳定性
数值解法的稳定性是指数值解法对于离散化误差的敏感程度，如果数值 解法对于离散化误差敏感，则会导致数值解的精度下降甚至失去意义。
数值解法的稳定性可以分为条件稳定性和无条件稳定性，其中条件稳定 性是指数值解法在一定条件下是稳定的，无条件稳定性是指数值解法在
任何条件下都是稳定的。
对于不稳定的数值解法，可以采用一些改进的方法来提高其稳定性，例 如减小步长、增加迭代次数等。
04
微分方程的应用
物理中的应用
力学
描述物体的运动规律，如牛顿第二定律、万有引力定律等。
电磁学
解释电磁现象，如振荡电路、交流电等。
光学
研究光的传播规律，如波动光学中的干涉和衍射等。
经济中的应用
1 2
金融
预测股票价格、债券收益率等金融产品的动态变 化。
供需关系
分析商品价格与市场需求和供应之间的关系。
微分方程的几何意义
总结词
微分方程的几何意义是通过图形表示未知函数和其导数的变化规律，有助于直观理解方 程的性质和求解方法。
详细描述
通过作图，可以直观地表示微分方程的解，即未知函数的导数随自变量的变化规律。例 如，一阶常微分方程描述了一条曲线的斜率变化规律，二阶常微分方程描述了曲线的弯 曲程度等。通过观察图形，可以更好地理解微分方程的性质和求解方法，例如，通过观
察斜率的变化规律可以求解一阶常微分方程。
02
一阶常微分方程
一阶线性微分方程
定义
应用
形如y'=ay+b的微分方程，其中a和b 为常数，a≠0。
描述物理、工程等领域的线性现象。
解法
通过变量代换y=e^(at)，将其转化为 线性方程。
常微分方程----第一章-绪论PPT课件
2u x2
2u y2
2u z2
0
注：我们不特别声明，就称常微分方程为微分方程或方程。
方程的阶数：一个微分方程中，未知函数最高阶导 数的阶数，称为方程的阶数。
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一般的n阶微分方程的形式为：
F(x,y.ddyx,L,ddxnny）＝0
其中：F(x,y.ddyx,L,ddxnny）＝0是变量
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在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程 完全不同的问题。比如：某个物体在重力作用下 自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律； 火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行 的轨道等，研究这些问题所建立的数学方程不仅 与未知函数有关，而且与未知函数的导数有关， 这就是我们要研究的微分方程。
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n 阶方程的通解：把含有 n 个相互独立的任意常数
c1，c2，L ，c n 的解 y＝ （ x1 ， c1 ， L， cn）
称为n 阶方程的通解。
若存在 (x,c1,,cn) 的一个邻域，使得
,
, ,
c1
c2
cn
, c1
, c2
,
cn 0
(n1) ,
(n1) ,
,
(n1)
c1
c2
cn
则称 y(x,c1,,cn) 含有n个相互独立的常数。
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例：yc1cox sc2sixn是 yy0的通解。 因为 y c1sixn c2co x而s
cosx sinx 10
sinx cosx
特解：在通解中确立了一组任意常数后所得的解称 为特解。
x,
y,
,
常微分方程第一章绪论
拉格朗日 (1736 – 1813)
法国数学家. 他在方程论, 解析函数论, 及数论方面都作出了重要的贡献, 近百 余年来, 数学中的许多成就都直接或间 接地溯源于他的工作, 他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一.
例3 R－L－C电路问题。
如图所示，R－L－C电路是由电阻R、电感 L、电容C和电源E串联组成的电路。其中， R、L、C常数，电源电动势是时间t的已知 函数：E=e(t)。试建立当开关K合上后电流 I(t)应满足的微分方程。
例4 单摆运动问题 单摆是一根长为l的线段的上端固定而
下端系一质量为m的摆锤的简单机械装置。 开始时将单摆拉开一个小角度φ0，然后放 开，使其在摆锤的重力作用下在垂直平面 上摆动。试建立单摆的运动方程。
2u x2
2u y2
2u z2
0
1 ）如果微分方程中未知数只依赖于一个自变量，
称为常微分方程。例如：
xky0,
xx2 sint,
2 ）如果微分方程中未知数依赖于两个或更多的自 变量，称为偏微分方程。例如：
v v v, t s
2u x2
2u y2
2u z2
0
注：我们不特别声明，就称常微分方程为微分方程或方程。
若存在 (x,c1,,cn) 的一个邻域，使得
,
, ,
c1
c2
cn
, c1
, c2
,
cn 0
(n1) ,
(n1) ,
,
(n1)
c1
c2
cn
则称 y(x,c1,,cn) 含有n个相互独立的常数。
例：yc1cox sc2sixn是 yy0的通解。 因为 y c1sixn c2co x而s
§ 1.1 微分方程的概念
常微分方程课件1.1
第一章
将某物体放置于空气中, 在时刻 t 0 时, 测得它的温度为
150 C , 10分钟后测量得温度为 u 1 100 C . 试决定此物
体的温度 u 和时间 t 的关系.
1. 热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导;
2. 在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一 信 物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比.
即
f ( x)
2 xdx C x C .
2
又由条件: 曲线过(1,3), 即 于是得
f (1) 3 ,
C 2 . 故所求的曲线方程为:
y x
2教 材：常微分方程，(第三版）， 王高雄等编（中山大学), 高教出版社。 信 参考书目： 常微分方程,东北师大数学系编，高教出版社 学 常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社。 院 常微分方程及其应用，周义仓等编，科学出版社。 常微分方程稳定性理论，许松庆编上海科技出版社。 常微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。
学习《常微分方程》的目的是用微积分的思想，结合线性代 数，解析几何等的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出 河 现的若干最重要也是最基本的微分方程问题，使学生学会和掌 北 握常微分方程的基础理论和方法，为学习其它数学理论，如数 理方程、微分几何、泛函分析等后续课程打下基础；同时，通 师 过这门课本身的学习和训练，使学生学习数学建模的一些基本 范 方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题， 大 为他们将来从事相关领域的科学研究工作培养兴趣，做好准备。
假设在疾病传播期内所 时间以天为计量单位 考察地区的总人数 , 假设条件为 : N 不变 ,
《常微分方程》全套课件(完整版)
例1 物体下落问题 设质量为m的物体，在时间t=0时，在距
地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂直地面 下落，求ss此物体下落时距离与时间的关系.
有恒等式
因此，令
，则有
因此，所谓齐次方程，实际上就是方程(1.9)的右端函数 是一个关于变元x，y的零次齐次式.
如果我们把齐次方程称为第一类可化为变量分离的方程，那么我们 下面要介绍第二类这种方程.
1.3.2 第二类可化为变量可分离的方程 形如 (1.30) 的方程是第二类可化为变量可分离的方程.其中， 显然，方程(1.30)的右端函数，对于x，y并不
是方程(1.5)在区间（-1,+1）
上的解，其中C是任意常数.又方程(1.5)有两个明显
的常数解y =±１，这两个解不包含在上述解中.
3. 函数
是方程(1.6)在区间(-∞，
+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
4. 函数
是方程(１.７)在区间(-
∞，+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
这里，我们仅验证3，其余留给读者完成.事实上，
（1.13）
显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一阶非线性方程；方程 (1.6)是二阶线性方程；方程(1.7)是二阶非线性方程.
通解与特解
微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.
定义1.１ 设函数 在区间I上连续，且有直
到n阶的导数.如果把
代入方程(1.11)，得到在
区间I上关于x的恒等式，
第1章一阶常微分方程.ppt
UST UST y 0 （对应 u = 0） C 值得到
但对应 u = 1 的解为： y x，可以通过通解取
C 0 得到。
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王河
第一章 一阶常微分方程
UST UST 三 一阶线性常微分方程 一阶线性常微分方程的标准形式为
阶：导数的最高阶
UST dy P(x)y Q(x)
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第一章 一阶常微分方程
U U ln | y | nln | x 1| C1
ST y C(x 1)n
ST
常数变易
y u(x)(x 1)n
UST dy u '(x)(x 1)n nu(x)(x 1)n1
dx
UST UST 代入原方程 (x
1)
dy
ny
固定形式的变量代换，变成可以分离变量的方程？ 回答是肯定的。
U U 若二元函数 f (x, y)对任意 t R 有
STf (tx,t y) tn f (x, y)
ST
则称 f (x, y)为变量 x、y 的 n 次齐次函数。
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第一章 一阶常微分方程
UST UST 例如：f (x, y) x2 y 2xy2为 3 次齐次函数，
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第一章 一阶常微分方程
U U du(x, y) M (x, y)dx N(x, y)dy 0
ST 显然全微分方程的通解为
ST
u(x, y) C
UST u ( x, y ) 的全微分为 du(x, y) u dx u dy x y
U U ST u M (x, y) u N(Sx,Ty)
u
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第一章 绪论
定义：指含有未知量的等式. 代数方程：2210x x -+
=
1=，3121x x x
--=+ 超越方程：sin cos 1x x +=，221x e x x =+-
以上都是一元方程，一般形式可以写成()0F x =
二元方程2210x y +-=的一般形式可以写成(,)0F x y =，同理三元方程22210
x y z ++-=等等
根据对未知量施加的运算不同进行方程的分类，高等数学的运算主要是微分和积分运算
一、引例
例1：已知一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点(,)M x y 处的切线的斜率为2x ，求这曲线的方程.
解：设所求曲线的方程为()y f x =，由题意
1d 2(1)d 2(2)x y x x y =⎧=⎪⎨⎪=⎩
由（1）得2d y x x =⎰，即2y x C =+ （3）
把条件“1x =时，2y =，”代入上式（3）得221
C =+，1C ∴= 把1C =代入式（3），得所求曲线方程：21y x =+
例2：列车在平直道路上以20m/s （相当于72km/h ）的速度行驶，当制动时列车获得加速度20.4m /s -.问开始制动后需要多长时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？
解：设列车在开始制动后t s 时行驶了s m.根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数()s s t =应满足关系式
00
220d 0.4(4) d d 20(5)d 0*t t t s t
s v t s ===⎧=-⎪⎪⎪==⎨⎪⎪=⎪⎩（）
把式（4）两端积分一次，得1d 0.4d s v t C t =
=-+ （6）
把式（6）两端再积分一次，得2120.2s t C t C =-++（7）,这里12C C 、都是任意常数. 把条件020t v
==代入式（6）得120C =. 把条件00t s ==代入式（7）得20C =.把12,C C 的值代入式（6）及式（7）得
0.420v t =-+（8）
20.220s t t =-+（9）
在式（8）中令0v =，得到列车从开始制动到完全停住所需的时间20500.4t ==（s ） 再把50t =代入式（9），得到列车在制动阶段行驶的路程s =20.2502050-⨯+⨯ = 500 (m). 二、微分方程的基本概念
微分方程：联系自变量、未知函数以及它的导数的关系式.
例如d 2d y x x =，22d 0.4 d s t =-，224T T x t
∂∂=∂∂，222
2220T T T x y z ∂∂∂++=∂∂∂ 常微分方程： 只含一个自变量的微分方程. d 2d y x x =，22d 0.4 d s t =- 偏微分方程：自变量的个数为两个或两个以上的微分方程. 224T T x t
∂∂=∂∂，222222
0T T T x y z ∂∂∂++=∂∂∂ 微分方程的阶数：微分方程中出现的最高阶导数的阶数.
一阶常微分方程的一般形式为：
(,,)0F x y y '=称为一阶隐式方程
(,)y f x y '=称为一阶显式方程
(,)(,)0M x y dx N x y dy +=称为微分形式的一阶方程
n 阶隐式方程的一般形式为()(,,,,)0n F x y y y '=L （*）
n 阶显式方程的一般形式为 ()(1)(,,,,)n n y f x y y y -'=L
高阶微分方程：二阶及二阶以上的微分方程.
如果（*）的左端为(),,n y y y
'L 及的一次有理整式，则称（*）为n 阶线性微分方程，否则
是非线性微分方程. 例如：22d y dy y t dt dt
+= 是二阶非线性微分方程，而22d 0.4 d s t =-是一个二阶的线性微分方程.
微分方程的解：代入微分方程能使该方程成为恒等式的函数叫做该微分方程的解.确切地说，设函数()y x ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，
(),(),(),,()0n F x x 'x x ϕϕϕ⎡⎤=⎣⎦L ，
那么函数()y x ϕ=就叫做微分方程()(,,,,)0n F x y y'y =L 在区间I 上的解. 称(,)()0x y y x ϕΦ=-=为（*）的隐式解.
例如：2y x C =+叫做微分方程d 2d y x x
=的解，则2y x C -=或20y x C --=叫做微分方程d 2d y x x
=的隐式解 通解：把含有n 个独立的任意常数12,,,n c c c L 的解12(,,,,)n y x c c c ϕ=L 称为方程（*）的通解.（如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解.）
定解问题：求方程满足定解条件的求解问题.定解条件分为初始条件和边界条件，相应的定解问题分为初值问题和边值问题.
初始条件：用于确定通解中任意常数的条件，称为初始条件.
例如0x x =时，0y y =，0y'y'=.一般写成00x x y y ==，00
x x y y =''= 初值问题：求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.
例如求微分方程(,)y'f x y =满足初始条件00x x y y ==的特解的问题，记为0
0(,)x x y f x y y y ='=⎧⎪⎨=⎪⎩ 特解：确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解，即不含任意常数的解. 例如例1中21y x =+是式（1）的特解.
一般地，初值问题为
()(1)(1)(1)000000
(,,,,)0(),(),,()n n n F x y y y y x y y x y y x y --'⎧=⎪⎨'===⎪⎩L L 定义：一阶微分方程(,)dy f x y dx
=的解()y x ϕ=是Oxy 平面上的一条曲线，将它称为微分方程的积分曲线；而方程的通解(,)y x c ϕ=对应于Oxy 平面上的一族曲线，称为方程的积分曲线族；满足初始条件00()y x y =的特解就是通过点00(,)x y 的一条积分曲线.
定义：设函数(,)f x y 的定义域为D ，在D 内每一点(,)x y 处，画上一小线段，使其斜率恰好为(,)f x y ，将这种带有小线段的区域D 称为由方程所规定的方向场.在方向场中，方向
相同的点的几何轨迹称为等斜线.微分方程的等斜线方程为(,)f x y k =
例（P28习题7）：微分方程22234'x y y xy -=，证明其积分曲线关于坐标原点(0,0)成中心对称的曲线，也是微分方程的积分曲线.
证：设:(),[,]L y f x x a b =∈是微分方程的一条积分曲线，则满足22234['()]()(),[,]x f x f x xf x x a b -=∈ 而L 关于(0,0)成中心对称曲线'
:()(),[,],[,]L y f x F x x b a x a b =--=∈---∈， 所以有'()'()F x f x =-, [,]x b a ∈--
当[,]x b a ∈--,[,]x a b -∈,可知22234()['()]()()x f x f x xf x ----=--
即 22234['()]()()x F x F x xF x -=
所以()F x 满足微分方程，故()F x 为微分方程的积分曲线.并且相对于L 关于原点(0,0)成中心对称曲线.
三、微分方程的产生和发展
常微分方程有着深刻而生动的实际背景，它从生产实践与科学技术中产生，又成为现代科学技术分析问题与解决问题的强有力工具.该课程是与微积分一起成长起来的学科，是学习泛函分析、数理方程、微分几何的必要准备，本身也在工程力学、流体力学、天体力学、电路振荡分析、工业自动控制以及化学、生物、经济等领域有广泛的应用.
300多年前， Newton 与Leibniz 奠定微积分基本思想的同时,就正式提出了微分方程的概念. 1676年微分方程最早出现在Leibniz 写给Newton 的一封信中，常微分方程的发展主要分为三个阶段：
1.初期发展期
17世纪中期到18世纪末期，常微分方程研究的中心问题是如何求出通解的表达式. 代表人物莱布尼兹（德1646-1716）、牛顿（英1642-1727）
2.基本理论奠定期
19世纪初期到19世纪末期,主要研究解的定性理论与稳定性问题.
代表人柯西Cauchy （法1789-1857）、刘维尔Liouville （法1809-1882）
3.现代理论发展期
19世纪末期-现在，进入新的阶段,定性上升到理论,进一步发展分为解析法、几何方法、
数值方法.
代表人物庞加莱Poincare（法1854-1912）、李雅普诺夫Lyapunov（俄1857-1918）。