常微分方程(王高雄)第三版 1.1
常微分方程第一到四章知识
教材及参考资料
• 教 材： 常微分方程，(第三版）（07年精品教材）， 王高雄等 （中山大学), 高教出版社
• 参考书目： [1] 常微分方程, 东北师大数学系编，高教出版社 [2] 常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社 [3] 常微分方程及其应用，周义仓等编，科学出版社 [4] 微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。
"
证明: 对y sinx,由于
y y sin x sin x 0
"
y cosx,y sin x 故对x (, ), 有
' "
故y sinx是微分方程 y" y 0在(,)上的一个解 . 同理y cosx是微分方程 y" y 0在(,)上的一个解 .
y sinx,y cosx都是方程 y y 0的特解 .
"
可在通解y c1sinx c2cosx中分别取 c1 1, c2 0, 得到: y sinx, c1 0, c2 1, 得到: y cosx.
定解条件
为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实 际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件 求满足定解条件的求解问题称为定解问题 常见的定解条件是初始条件,n阶微分方程的初始 条件是指如下的n个条件:
课程的教学目的与任务
• 通过该课程的学习，使学生正确理解常微分 方程的基本概念，掌握其基本理论和主要方法， 具备良好的解题能力，为学习本学科近代发展理 论和后继课程打下基础。同时通过一些成功利用 微分方程解释实际现象问题的著名范例，培养学 生利用微分方程建立数学模型解决实际问题的能 力，认识到数学来源于实践，又服务于实践，从 而培养学生的数学实践观和加强数学实践能力。 该课程又是数学分析的继续和进一步学习泛函分 析、数理方程等必不可少的基础，对提高学生的 素质，使之更好地适应当前经济建设的需要提供 必备的知识基础。
王高雄《常微分方程》(第版)【章节题库】第1章~第4章【圣才出品】
由上式与曲线族可消去 a、b 得
9．求与方程为
曲线族满足的微分方程为
解之得
所以与曲线族
正交的
这就是所求曲线族方程．
10．求二次曲线族
（c 是参数）的微分方程，并以微分方程本身证明这
曲线族是自正交曲线族，即这曲线族中的任何两条曲线如果相交，则必正交．
图 1-1 （2）所求方向场及经过（0，0），（0，1）的积分曲线如图 1-4 所示
图 1-2 （3）所求方向场，及过点（1，0）的积分曲线如图 1-3 所示
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（4）所求的方向场及过点
图 1-3 的积分曲线如图 1-4 所示
解：对曲线
，两端关于 t 求导得
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消去 c 得
这就是所要求的方程． 若这曲线族中任何两条曲线相交于（t，x）处，由方程本身知道：该方程是关于 的
二次方程，且关于 的二根积等于－1，这说明了在（t，x）处，两切线斜率乘积等于－1， 因而这两曲线正交．
2．求下列两个微分方程的公共解：
解：两方程的公共解满足条件 即
所以
或
代入检验可知
不符合．所以两方程的公共解为
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3．利用等倾线作下列方程的方向场，并且描出经过指定点的积分曲线 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解：（1）所求方向场和经过（1，1）的积分曲线如图 1-1 所示
应满足什么条件？
的等倾线
常微分方程第三版答案(王高雄)
dx
2 2
y
1 2 = ln x − ln 1 + x + ln c (c ≠ 0), (1 + 2
y )(1 + x ) = c x
1+
y
2
(1 + x ) = c x
2
2
4 (1 + x) ydx + (1 − y ) xdy = 0 y=0 x=0 ln x + x + ln y − y = c, xy ≠ 0 ln xy + x − y = c, 1+ x 1− y dx = dy = 0 x y
按
dy 1 − 2 x y −1 dx 够 x 2 次0 个 dy 1 − 2 x y +1 dx 次- x 2 个
18.
x dy = = f ( xy ) y dx x dy 2 + x 2 y 2 = y dx 2 − x 2 y 2 xy = u, x
xy = u
1 . y (1 + x 2 y 2 )dx = xdy (2).
y+x
dy dy = , dx dx
x
dy du = −y dx dx
1 du du u 1 − 1 = f(u), = (f(u) + 1) = (uf(u) + u) y dx dx = y(f(u) + 1) x x x=0 y=0 du 1 3 = (2u + u ), dx x xy ≠ 0s du 2u + u
在个
次个e 次 ce
− sin t
+ sin t − 1 个个个
个
截
dy x − y = ex xn dx n 个个 个个个n
常微分方程第一章绪论
拉格朗日 (1736 – 1813)
法国数学家. 他在方程论, 解析函数论, 及数论方面都作出了重要的贡献, 近百 余年来, 数学中的许多成就都直接或间 接地溯源于他的工作, 他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一.
例3 R－L－C电路问题。
如图所示，R－L－C电路是由电阻R、电感 L、电容C和电源E串联组成的电路。其中， R、L、C常数，电源电动势是时间t的已知 函数：E=e(t)。试建立当开关K合上后电流 I(t)应满足的微分方程。
例4 单摆运动问题 单摆是一根长为l的线段的上端固定而
下端系一质量为m的摆锤的简单机械装置。 开始时将单摆拉开一个小角度φ0，然后放 开，使其在摆锤的重力作用下在垂直平面 上摆动。试建立单摆的运动方程。
2u x2
2u y2
2u z2
0
1 ）如果微分方程中未知数只依赖于一个自变量，
称为常微分方程。例如：
xky0,
xx2 sint,
2 ）如果微分方程中未知数依赖于两个或更多的自 变量，称为偏微分方程。例如：
v v v, t s
2u x2
2u y2
2u z2
0
注：我们不特别声明，就称常微分方程为微分方程或方程。
若存在 (x,c1,,cn) 的一个邻域，使得
,
, ,
c1
c2
cn
, c1
, c2
,
cn 0
(n1) ,
(n1) ,
,
(n1)
c1
c2
cn
则称 y(x,c1,,cn) 含有n个相互独立的常数。
例：yc1cox sc2sixn是 yy0的通解。 因为 y c1sixn c2co x而s
§ 1.1 微分方程的概念
《常微分方程》(王高雄)第三版课后答案
e 8 : dy = −
y2 +3x
dx
y
解：变量分离，得 y dy = − 1 3x + c
e e y2
3
9 : x(ln x − ln y)dy − ydx = 0
解：方程可变为：− ln y • dy − y dx = 0
x
x
令u = y ,则有：1 dx = − ln u d ln u
x
x
1 + ln u
两 边 积 分 得 arctg
x(t)=x’(0)t+c 所以 x(t)=tg[x’(0)t+c] 当 t=0 时 x(0)=0 故 c=0 所以
x(t)=tg[x’(0)t]
02411 黄罕鳞（41） 甘代祥（42）
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11. dy = (x+ y)2 dx 解：令x + y = t,则 dy = dt + 1
dx dx 原方程可变为：dt = 1 + 1
dx t2
变量分离得： 1 dt = dx, 两边积分arctgt = x + c
t2 +1
代回变量得：arctg(x + y) = x + c
12． dy = 1
所以 x(0)=0. x’(t)= lim x(t + Δt) − x(t) = lim x(Δt)(1 + x2 (t)) = x'(0)(1 + x2 (t) )
Δt
Δt[1 − x(t)x(Δt)
dx(t) = x'(0)(1 + x2 (t)) dt
常微分方程课件1.1
北 设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t), 则电流
师 经过电感L, 电阻R和电容的电压降分别为 L dI , RI, Q , 其中Q 范 为电量,于是由Kirchhoff第二定律, 得到 dt C
大 学
e(t) L dI RI Q 0.
dt
C
数 因为 I dQ , 于是得到
河 1.曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形
北 的面积都等于常数 a 2 ,求该曲线所满足的微分方程.
师
范 解: 过点(x, y)的切线的横截距与纵截 距分别为 :
大 学
x
y y'
和y
xy'.
数 信 学
由题目条件有:
1 2
(x
y y'
)( y
xy' )
a2
院
2. 求平面上过点(1,3)且每点切线斜率为横坐第标一2章倍的曲 线所满足的微分方程.
信
dt
学 院
d 2I dt 2
R L
dI dt
I LC
1 L
de(t) . dt
这就是电流强度I与时间t所满足的数学关系式.
例4 传染病模型: 长期以来,建立传染病第的一数章学 模型来描述传染病的传播过程,一直是各国有关专 河 家和官员关注的课题.人们不能去做传染病传播的 北 试验以获取数据,所以通常主要是依据机理分析的 师 方法建立模型.
学模型的研究。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用 学 于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。
院
学习《常微分方程》的目的是用微积分的思想，第结一章合线性代
常微分方程教案（王高雄）ch1-绪论1
常微分方程教案（王高雄）ch1-绪论1常微分方程一、微分方程的概念方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。
这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后去求方程的解。
但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。
比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。
物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。
也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个未知的函数。
解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。
但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。
在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。
因此，凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。
微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。
牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。
后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。
常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。
数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。
常微分方程王高雄著课后习题答案
常微分方程(第三版)王高雄著课后习题答案.d o c(总86页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--习题1．dxdy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e特解：y=|)1(|ln 1+x c 3．dx dy =yx xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + yy 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为： yy -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +- 令xy =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg2x y . 6. x dxdy -y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令xy =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x 1dx arcsin xy =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c.(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dx dy =x y ln xy 令xy =u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdxdu =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln xy =cy. 10. dxdy =e y x - 解：原方程为：dx dy =e x e y - e y =ce x 11 dxdy =(x+y)2 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dxdu -1=u 2 211u+du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c 12. dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c 14: dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15:dxdy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy =（x+4y ）2+3 令x+4y=u 则dx dy =41dx du -41 41dx du -41=u 2+3 dxdu =4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1). 16:证明方程y x dx dy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2 y x 2y + 证明： 令xy=u,则xdx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u ，有： u x dx du =f(u)+1 )1)((1+u f u du=x 1dx 所以原方程可化为变量分离方程。
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u
t
Newton 冷却定律: 1. 热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导;
2. 在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一 物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比.
解: 设物体在时刻
du . 由Newton冷却定律, 得到 温度的变化速度为 dt
t 的温度为 u(t ). 根据导数的物理意义, 则
这里k 0, 是由于R(t )随时间的增加而减少 .
解之得 : R(t ) R0e kt
即镭元素的存量是指数规律衰减的.
例2 物理冷却过程的数学模型
将某物体放置于空气中, 在时刻 t 0 时, 测得它的温度为
u 100 C. 试决定此物 u0 150 C,10分钟后测量得温度为 1
型的研究。
§1.1
微分方程:
常微分方程模型
联系着自变量,未知函数及其导数的关系式. 为了定量地研究一些实际问题的变化规律,往往是 要对所研究的问题进行适当的简化和假设,建立数学 模型,当问题涉及变量的变化率时,该模型就是微分方 程,下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程模 型的过程.
例1 镭的衰变规律:
于是得到
d s a . 2 dt
2
d 2s g, 2 dt
1 2 s(t ) gt c1t c2 2
经计算，人民币经过双指的时间不超过 0.18秒 ，而
一般人的反应时间大于等于0.2秒，因此夹不住！
例4 传染病模型: 长期以来,建立传染病的数学 模型来描述传染病的传播过程,一直是各国有关专 家和官员关注的课题.人们不能去做传染病传播的 试验以获取数据,所以通常主要是依据机理分析的 方法建立模型. (艾滋病,SARS, H5N1,埃博拉等)
即
f ( x) 2 xdx C x 2 C.
又由条件: 曲线过(1,3), 即 于是得
f (1) 3,
C 2. 故所求的曲线方程为:
y x 2 2.
y ' x ' 和y xy . y 1 y ' 2 由题目条件有: ( x ' )( y xy ) a 2 y
2. 求平面上过点(1,3)且每点切线斜率为横坐标2倍的曲
线所满足的微分方程.
解: 设所求的曲线方程为
y f ( x). 由导数的几何意义, 应有
fห้องสมุดไป่ตู้' ( x) 2 x,
假设在疾病传播期内所 考察地区的总人数 N不变, 时间以天为计量单位 , 假设条件为:
(1) 在时刻t人群中健康人数和已感 染者 (病人) 分别为y(t ) 和x(t ).
(2)单位时间内一个病人能 传染的人数与当时 健康人数成正比（比例 系数k）
解: 根据题设,每个病人每天可使 dx kx(N x ) dt
常微分方程
第一章
• 始于十七世纪
绪论
• 牛顿、莱布尼茨、欧拉、 伯努利…
二体问题
海王星的发现
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象 运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理、 化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许 多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定 律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发 展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨 伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的 描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模
x(0) x 0
经典的SI模型（易感染者和已感染者模型）
(3)对无免疫性传染病如痢 疾、伤风等， 治愈后会再次被感染。 设单位时间治愈率为 dx kx(N x ) x dt
称为SIS模型
(4)对具有免疫性传染病如 水痘、麻疹等， 治愈后不会再次被感染 。 设在时刻t的愈后免疫人数为 r(t ),治愈率为常数 l
du k (u ua ), dt
其中 k 0 为比例系数. 此数学关系式就是物体冷却过程的数 学模型.
例3 100元钞票落地实验
能否夹住关键在于人的反应时间能 否小于人民币经过双指所耗费的时 间？ 实质：自由落体运动 牛顿第二定律：F=ma
解:
下落的位移s(t)是时间t的一元函数
F mg ,
设镭的衰变规律与该时刻现有的量成正比, 且已知t 0时, 镭元素的量为R0克, 试确定在 任意t时该时镭元素的量.
解: 设t时刻时镭元素的量为R(t ),
dR (t ) 由于镭元素的衰变律就 是R(t )对时间的变化律 , dt 依题目中给出镭元素的 衰变律可得:
dR dt kR , R(0) R0
dr 解: lx dt x(t ) y(t ) r(t ) N
消去r(t)，得到
dx kxy lx dt
dx kxy lx , x(0) x 0 dt 称为SIR模型 dy kxy , y(0) N x 0 dt
思考与练习
1.曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形 的面积都等于常数 a 2 ,求该曲线所满足的微分方程. 解: 过点 (x ,y ) 的切线的横截距与纵截 距分别为 :