第二讲 直线与圆的位置关系 知识归纳 课件(人教A选修4-1)
合集下载
人教A版数学【选修4-1】ppt课件：2-2第二讲-直线与圆的位置关系
任意平行四边形的四个顶点在同一个圆上
平行四边形的四个顶点不一定在同一个圆上，因为
它的对角相等，但不一定互补．当互补时，共圆． 思考探究2 在我们学过的特殊四边形中，有哪些四边形
的四个顶点共圆？ 提示 有矩形、正方形、等腰梯形，因为它们的四个内角
中相对的两个内角互补.Fra bibliotek名师点拨 1.判定四点共圆的方法 (1)如果四个点与一定点的距离相等，那么这四个点共 圆．
【证明】 O.
由A，B，D三点可以确定一个圆，设该圆为⊙
(1)如果点C在⊙O的外部(如图①)，连接BC，与圆相交于 点E. ∵∠1＝∠AEB，∠1＝∠2， ∴∠2＝∠AEB. 而∠AEB>∠2，矛盾，故点C不可能在圆外．
(2)如果点C在⊙O的内部(如图②)． 延长BC与圆相交于点E，连接AE， 则∠1＝∠AEB，而∠1＝∠2， ∴∠2＝∠AEB，与∠2>∠AEB矛盾． ∴点C不可能在圆内． 由(1)、(2)知，点C只能在圆上． ∴A，B，C，D四点共圆．
规律技巧
本例的证明应用了分类讨论的思想和反证法．
变式2
已知：如图，在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于点 F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于点G，求证： (1)D，E，F，G四点共圆； (2)G，B，C，F四点共圆．
证明 GEF＝90° .
(1)连接GF，由DF⊥AB，EG⊥AC，知∠GDF＝∠
规律技巧
本题除了运用圆内接四边形的性质定理，还运
用了垂径定理及圆周角定理的推论2解决问题．
变式1
如图所示，已知⊙O的内接四边形ABCD，AB和DC的延长 线交于点P，AD和BC的延长线交于点Q.如果∠A＝50° ，∠P＝ 30° ，求∠Q的度数．
2019版数学人教A版选修4-1课件：第二讲 直线与圆的位置关系 本讲整合
-19-
第十九页，编辑于星期日：点 四十六分。
本讲整合
1
2
3
知识建构
4
5
6
7
综合应用
真题放送
8
解:(1)由于△ABC是等腰三角形,AD⊥BC,所以AD是∠CAB的平分线.
又因为☉O分别与AB,AC相切于点E,F,
所以AE=AF,故AD⊥EF.
从而EF∥BC.
(2)由(1)知,AE=AF,AD⊥EF,
-4-
本讲整合
专题一
知识建构
综合应用
真题放送
专题二
应用2如图,已知D,E分别是△ABC的BC,AC边上的点,且∠ADB=∠AEB.
求证:∠CED=∠ABC.
提示:要证明∠CED=∠ABC,容易想到圆内接四边形的性质,需证明
A,B,D,E四点共圆.用圆内接四边形的判定定理不易找到条件,故采用分
类讨论来解决.
本讲整合
第一页，编辑于星期日：点 四十六分。
-1-
本讲整合
知识建构
综合应用
真题放送
第二页，编辑于星期日：点 四十六分。
-2-
本讲整合
专题一
知识建构
综合应用
真题放送
专题二
专题一 与圆有关的角的计算与证明
圆中的角有四类:圆心角、圆周角、弦切角和弧所对的角,与圆有关的
角的计算与证明通常涉及这四类角,因此圆周角定理、圆心角定理
15
.
2
在 Rt△DCP 中,DC2=(DM+PM)2+CP2,②
联立 ①②可求得 DM=6,所以 OD=8.
答案:8
-16-
第十六页，编辑于星期日：点 四十六分。
第二讲 直线与圆的位置关系 知识归纳 课件(人教A选修4-1)
[解]
(1)证明：如图，连接OB.
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.
∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA. ∴∠OAB＋∠PAB＝ ∠OBA＋∠PBA， 即∠PAO＝∠PBO.
又∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°.
∴∠PBO＝90°.∴OB⊥PB. 又OB是⊙O半径，∴PB是⊙O的切线．
(2)连接OP，交AB于点D.如图． ∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上． ∵OA＝OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上． ∴OP垂直平分线段AB. ∴∠PAO＝∠PDA＝90° . 又∵∠APO＝∠OPA，∴△APO∽△DPA. AP PO ∴DP＝ PA .∴AP2＝PO· DP. 1 1 又∵OD＝ BC＝ ，∴PO(PO－OD)＝AP2. 2 2 1 2 即PO － PO＝( 3)2，解得PO＝2. 2 在Rt△APO中，OA＝ PO2－PA2＝1， 即⊙O的半径为1.
两点在一条线段的同侧时，可证明这两点对该线段的张角相等；
③证明凸四边形的内对角互补(或外角等于它的内对角)等．
1．(2012· 天津高考)如图，已知AB和AC 是圆的两条弦，过点B作圆的切线与 AC的延长线相交于点D.过点C作BD的 平行线与圆相交于点E，与AB相交于 3 点F，AF＝3，FB＝1，EF＝ ， 2 则线段CD的长为________．
又AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD. 则∠CAD＝∠ODA，OD∥AC. ∵DM是⊙O切线，∴OD⊥DM. 则DM⊥AC，DC2＝AC· CM.
点击下图进入阶段质量检测
直线与圆有三种位置关系，即相交、相切、相离； 其中直线与圆相切的位置关系非常重要，结合此知识点
所设计的有关切线的判定与性质、弦切角的性质等问题
高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 一 圆周角定理课件 新人教A版选修41
因为∠AOB＝120°，所以A︵EB的度数为 120°， A︵CB的度数为 240°.
所以∠AEB＝12×240°＝120°. 所以此弦所对的圆周角为 60°或 120°.
规律方法 弦所对的圆周角有两个，易 丢掉120°导致错误，另外求圆周角时易 应用到解三角形的知识.
跟踪演练 1 如图，已知：△ABC 内接于⊙O，D，E 在 BC 边上，且 BD＝CE，∠1＝∠2. 求证：AB＝AC. 证明 延长 AD，AE，分别交⊙O 于 F，G，
要点三 直径上的圆周角 例 3 如图所示，已知 AB 为⊙O 的直径，AC
为弦，OD∥BC，交 AC 于 D，BC＝4 cm. (1)试判断 OD 与 AC 的位置关系； (2)求 OD 的长； (3)若 2sin A－1＝0，求⊙O 的直径.
解 (1)OD⊥AC.理由如下： ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. ∵OD∥BC，∴∠ADO＝∠ACB＝90°，∴OD⊥AC. (2)∵△AOD∽△ABC，∴OBCD＝AAOB＝12， ∴OD＝12BC＝2(cm). (3)∵2sin A－1＝0，∴sin A＝12.又∵sin A＝BACB， ∴AB＝2BC＝8 cm，即⊙O 的直径为 8 cm.
3.关于圆周角定理推论的理解 (1)在推论1中，注意：“同弧或等弧”改为“同弦或等弦” 的话结论就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两种可 能，在一般情况下是不相等的. (2)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是“圆 心角等于它所对的弧”. (3)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同 圆或等圆中”. (4)在同圆或等圆中，由弦相等⇒弧相等时，这里的弧要求 同是优弧或同是劣弧，一般选劣弧.
所以B︵C＝A︵E.
规律方法 证明弧相等只需证明弧所对 的圆心角相等，通常用圆周角定理或平 行来转化.
所以∠AEB＝12×240°＝120°. 所以此弦所对的圆周角为 60°或 120°.
规律方法 弦所对的圆周角有两个，易 丢掉120°导致错误，另外求圆周角时易 应用到解三角形的知识.
跟踪演练 1 如图，已知：△ABC 内接于⊙O，D，E 在 BC 边上，且 BD＝CE，∠1＝∠2. 求证：AB＝AC. 证明 延长 AD，AE，分别交⊙O 于 F，G，
要点三 直径上的圆周角 例 3 如图所示，已知 AB 为⊙O 的直径，AC
为弦，OD∥BC，交 AC 于 D，BC＝4 cm. (1)试判断 OD 与 AC 的位置关系； (2)求 OD 的长； (3)若 2sin A－1＝0，求⊙O 的直径.
解 (1)OD⊥AC.理由如下： ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. ∵OD∥BC，∴∠ADO＝∠ACB＝90°，∴OD⊥AC. (2)∵△AOD∽△ABC，∴OBCD＝AAOB＝12， ∴OD＝12BC＝2(cm). (3)∵2sin A－1＝0，∴sin A＝12.又∵sin A＝BACB， ∴AB＝2BC＝8 cm，即⊙O 的直径为 8 cm.
3.关于圆周角定理推论的理解 (1)在推论1中，注意：“同弧或等弧”改为“同弦或等弦” 的话结论就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两种可 能，在一般情况下是不相等的. (2)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是“圆 心角等于它所对的弧”. (3)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同 圆或等圆中”. (4)在同圆或等圆中，由弦相等⇒弧相等时，这里的弧要求 同是优弧或同是劣弧，一般选劣弧.
所以B︵C＝A︵E.
规律方法 证明弧相等只需证明弧所对 的圆心角相等，通常用圆周角定理或平 行来转化.
选修4-1第二讲直线与圆的位置关系圆内接四边形的性质与判定定理课件人教新课标1
(1)证明:B,D,H,E四点共圆; A (2)证明:CE平分∠DEF.
F E
H
B
D
C
【本节收获】
性质定理1 圆内接四边形的对角互补.
性质定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角. 圆内接四边形判定定理 ：
如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.
推论 ： 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么
返回
课后作业
1.AD,BE是△ABC的两条高， 求证：∠CED=∠ABC.
A
C E
D
B
2.如图，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相
交于E,EG平分∠E,且与BC,AD分别相交于F,G.
求证： ∠CFG=∠DGF. A
B
F
E
G
C D
返回
再见
A
BE
（2）
性质定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.
1.【圆内接四边形的性质】
性质定理1 圆内接四边形的对角互补
性质定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.
思考3
上述定理的逆命题是什么？它们成立吗？
应该怎样来证明呢？
性质定理1的逆命题： 如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.
它的四个顶点共圆.
思想方法
(1)圆内接四边形性质定理为几何论证中角的相等或 互补提供了一个理论根据，因而也为论证角边关系提供 了一种新的途径．
(2)在解有关圆内接四边形的几何问题时，既要注意 性质定理的运用，也要注意判定定理的运用，又要注意 两者的综合运用．(3)构造全等或类似三角形，以到达证 明线段相等、角相等或线段成比例等目的．
∠B+∠E=180° ∵∠B+∠ADC=180°
F E
H
B
D
C
【本节收获】
性质定理1 圆内接四边形的对角互补.
性质定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角. 圆内接四边形判定定理 ：
如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.
推论 ： 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么
返回
课后作业
1.AD,BE是△ABC的两条高， 求证：∠CED=∠ABC.
A
C E
D
B
2.如图，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相
交于E,EG平分∠E,且与BC,AD分别相交于F,G.
求证： ∠CFG=∠DGF. A
B
F
E
G
C D
返回
再见
A
BE
（2）
性质定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.
1.【圆内接四边形的性质】
性质定理1 圆内接四边形的对角互补
性质定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.
思考3
上述定理的逆命题是什么？它们成立吗？
应该怎样来证明呢？
性质定理1的逆命题： 如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.
它的四个顶点共圆.
思想方法
(1)圆内接四边形性质定理为几何论证中角的相等或 互补提供了一个理论根据，因而也为论证角边关系提供 了一种新的途径．
(2)在解有关圆内接四边形的几何问题时，既要注意 性质定理的运用，也要注意判定定理的运用，又要注意 两者的综合运用．(3)构造全等或类似三角形，以到达证 明线段相等、角相等或线段成比例等目的．
∠B+∠E=180° ∵∠B+∠ADC=180°
高考数学总复习 第2讲 直线与圆的位置关系课件 理 新人教A版选修41
[审题视点] 本题条件中，直线CD为 圆的切线，故考虑利用切割定理建立(jiànlì)等量 关系，再化简证之．
第三十六页，共48页。
[解析] 在圆中，由相交弦定理：AF·FB＝EF·FC，
∴FC＝AFE·FFB＝2，由三角形相似，BFDC＝AABF，
∴BD＝FCA·FAB＝83.
由切割弦定理：DB2＝DC·DA，
[证明] (1)因为EC＝ED， 所以∠EDC＝∠ECD. 因为A、B、C、D四点在同一圆上， 所以∠EDC＝∠EBA. 故∠ECD＝∠EBA. 所以CD∥AB.
第二十三页，共48页。
(2)由(1)知，AE＝BE.因为(yīn wèi)EF＝EG， 故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC. 连接AF，BG，则△EFA≌△EGB， 故∠FAE＝∠GBE. 又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD， 所以∠FAB＝∠GBA. 所以∠AFG＋∠GBA＝180°. 故A，B，G，F四点共圆．
定义
判定定理 性质定理 性质定理
的推论
内容
如果一条直线与一个圆有唯一公共点，那么这条 直线叫做这个圆的________，公共点叫做 ________ 经过半径的________并且垂直于这条半径的直线 是圆的________ 圆的切线________经过切点的半径 经过圆心且垂直于切线的直线必经过________ 经过切点且垂直于切线的直线必经过________
(1)证明：A，P，O，M四点共圆； (2)求∠OAM＋∠APM的大小．
第二十六页，共48页。
解：(1)证明：连接OP，OM，因为AP与⊙O相切于点P， 所以OP⊥AP. 因为M是⊙O的弦BC的中点， 所以OM⊥BC. 于是∠OPA＋∠OMA＝180°， 由圆心(yuánxīn)O在∠PAC的内部， 可知四边形APOM的对角互补， 所以A，P，O，M四点共圆．
第三十六页，共48页。
[解析] 在圆中，由相交弦定理：AF·FB＝EF·FC，
∴FC＝AFE·FFB＝2，由三角形相似，BFDC＝AABF，
∴BD＝FCA·FAB＝83.
由切割弦定理：DB2＝DC·DA，
[证明] (1)因为EC＝ED， 所以∠EDC＝∠ECD. 因为A、B、C、D四点在同一圆上， 所以∠EDC＝∠EBA. 故∠ECD＝∠EBA. 所以CD∥AB.
第二十三页，共48页。
(2)由(1)知，AE＝BE.因为(yīn wèi)EF＝EG， 故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC. 连接AF，BG，则△EFA≌△EGB， 故∠FAE＝∠GBE. 又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD， 所以∠FAB＝∠GBA. 所以∠AFG＋∠GBA＝180°. 故A，B，G，F四点共圆．
定义
判定定理 性质定理 性质定理
的推论
内容
如果一条直线与一个圆有唯一公共点，那么这条 直线叫做这个圆的________，公共点叫做 ________ 经过半径的________并且垂直于这条半径的直线 是圆的________ 圆的切线________经过切点的半径 经过圆心且垂直于切线的直线必经过________ 经过切点且垂直于切线的直线必经过________
(1)证明：A，P，O，M四点共圆； (2)求∠OAM＋∠APM的大小．
第二十六页，共48页。
解：(1)证明：连接OP，OM，因为AP与⊙O相切于点P， 所以OP⊥AP. 因为M是⊙O的弦BC的中点， 所以OM⊥BC. 于是∠OPA＋∠OMA＝180°， 由圆心(yuánxīn)O在∠PAC的内部， 可知四边形APOM的对角互补， 所以A，P，O，M四点共圆．
2019_2020学年高中数学第二讲直线与圆的位置关系2.1圆周角定理课件新人教A版选修4_1
A.20° B.40° C.80° D.70° 解析因为∠AMB=40°,所以∠AOB=80°,从而劣弧 答案C
的���������度��� 数为80°.
首页
X D 新知导学 INZHIDAOXUE
答疑解惑
AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
123
3.圆周角定理的推论 (1)推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆 周角所对的弧也相等. (2)推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦 是直径.
探究二
首页
探究三
思维辨析
X D 新知导学 INZHIDAOXUE
答疑解惑
AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
解析(1)∵∠D=60°,∴∠B=∠D=60°,∴������������������的度数为 120°.
∵AD∥BC,∴∠EAF=∠B=60°,
∴������������的度数为 60°,故������������的度数为 60°.
探究二
首页
探究三
思维辨析
X D 新知导学 INZHIDAOXUE
答疑解惑
AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
首页
X D 新知导学 INZHIDAOXUE
答疑解惑
AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1 如图,点A,B,C是圆O上的点,且AB=4,∠ACB=30°,则 圆O的面积等于( )
应用
【例 3】如图,在 Rt△ABC 中,∠BCA=90°,以 BC 为直径的☉O 交 AB 于点 E,D 为 AC 的中点,连接 BD 交☉O 于点 F.求证:������������������������ = ������������������������.
第二讲 直线与圆的位置关系 知识归纳 课件(人教A选修4-1)
且不与△ABC的顶点重合．已知AE 的长为m，AC的长为n，AD，AB的 长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根． (1)证明：C，B，D，E四点共圆； (2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6， 求C，B，D，E所在圆的半径．
解：(1)证明：连接DE， 则在△ADE和△ACB中， AD×AB＝mn＝AE×AC， AD AE 即AC ＝AB. 又∠DAE＝∠CAB， 从而△ADE∽△ACB. 因此∠ADE＝∠ACB， 所以C，B，D，E四点共圆．
[解]
(1)证明：如图，连接OB.
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.
∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA. ∴∠OAB＋∠PAB＝ ∠OBA＋∠PBA， 即∠PAO＝∠PBO.
又∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°.
∴∠PBO＝90°.∴OB⊥PB. 又OB是⊙O半径，∴PB是⊙O的切线．
(2)连接OP，交AB于点D.如图． ∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上． ∵OA＝OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上． ∴OP垂直平分线段AB. ∴∠PAO＝∠PDA＝90° . 又∵∠APO＝∠OPA，∴△APO∽△DPA. AP PO ∴DP＝ PA .∴AP2＝PO· DP. 1 1 又∵OD＝ BC＝ ，∴PO(PO－OD)＝AP2. 2 2 1 2 即PO － PO＝( 3)2，解得PO＝2. 2 在Rt△APO中，OA＝ PO2－PA2＝1， 即⊙O的半径为1.
近两年高考中，主要考查圆的切线定理，切割线定理，相 交弦定理，圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等．题目
难度不大，以容易题为主．对于与圆有关的比例线段问题通常要
考虑利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、相似三角形的判 定和性质等；弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁，它在解决圆 内有关等角问题中可以大显身手；证明四点共圆也是常见的考查 题型，常见的证明方法有：①到某定点的距离都相等；②如果某
解：(1)证明：连接DE， 则在△ADE和△ACB中， AD×AB＝mn＝AE×AC， AD AE 即AC ＝AB. 又∠DAE＝∠CAB， 从而△ADE∽△ACB. 因此∠ADE＝∠ACB， 所以C，B，D，E四点共圆．
[解]
(1)证明：如图，连接OB.
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.
∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA. ∴∠OAB＋∠PAB＝ ∠OBA＋∠PBA， 即∠PAO＝∠PBO.
又∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°.
∴∠PBO＝90°.∴OB⊥PB. 又OB是⊙O半径，∴PB是⊙O的切线．
(2)连接OP，交AB于点D.如图． ∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上． ∵OA＝OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上． ∴OP垂直平分线段AB. ∴∠PAO＝∠PDA＝90° . 又∵∠APO＝∠OPA，∴△APO∽△DPA. AP PO ∴DP＝ PA .∴AP2＝PO· DP. 1 1 又∵OD＝ BC＝ ，∴PO(PO－OD)＝AP2. 2 2 1 2 即PO － PO＝( 3)2，解得PO＝2. 2 在Rt△APO中，OA＝ PO2－PA2＝1， 即⊙O的半径为1.
近两年高考中，主要考查圆的切线定理，切割线定理，相 交弦定理，圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等．题目
难度不大，以容易题为主．对于与圆有关的比例线段问题通常要
考虑利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、相似三角形的判 定和性质等；弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁，它在解决圆 内有关等角问题中可以大显身手；证明四点共圆也是常见的考查 题型，常见的证明方法有：①到某定点的距离都相等；②如果某
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解析：逐个判断：由切线定理得CE＝CF，BD＝BF，所 以AD＋AE＝AB＋BD＋AC＋CE＝AB＋AC＋BC，即① 正确；由切割线定理得AF· AG＝AD2＝AD· AE，即②正确； 因为△ADF∽△AGD，所以③错误． 答案：A
3．(2011· 新课标全国卷)如图，D，E分
别为△ABC的边AB，AC上的点，
(2)m＝4，n＝6 时， 方程 x2－14x＋mn＝0 的两根为 x1＝2，x2＝12. 故 AD＝2，AB＝12. 取 CE 的中点 G，DB 的中点 F，分别过 G，F 作 AC，AB 的垂线，两垂线相交于 H 点，连接 DH. 因为 C，B，D，E 四点共圆， 所以 C，B，D，E 四点所在圆的圆心为 H，半径为 DH. 由于∠A＝90° ，故 GH∥AB，HF∥AC. 1 从而 HF＝AG＝5，DF＝ ×(12－2)＝5. 2 故 C，B，D，E 四点所在圆的半径为 5 2.
由切割线定理得：BC2＝BD· AB， 16 16 9 ∴BD＝ ，AD＝5－ ＝ . 5 5 5 BD 16 ∴DA＝ . 9
[答案] 16 9
[例5]
△ABC中，AB＝AC，以AB为
直径作圆，交BC于D，O是圆心，DM是
⊙O的切线交AC于M(如图)．
求证：DC2＝AC· CM. Nhomakorabea[证明] 连接AD、OD. ∵AB是直径，∴AD⊥BC. ∵OA＝OD， ∴∠BAD＝∠ODA.
3 解析：因为 AB 与 CE 相交于 F 点，且 AF＝3，EF＝ ，FB 2 AF· FB 3×1 ＝1， 所以 CF＝ EF ＝ ＝2， 因为 EC∥BD， 所以△ACF 3 2 AF CF AC AD－CD 3 ∽△ABD，所以 AB ＝ BD ＝ AD ＝ AD ＝ ，所以 BD＝ 4 CF· AB 2×4 8 AF ＝ 3 ＝3，且 AD＝4CD，又因为 BD 是圆的切线，所 4 2 2 以 BD ＝CD· AD＝4CD ，所以 CD＝ . 3
4 答案： 3
2．(2011· 北京高考)如图，AD，AE，BC分别与圆O切于 点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三 个结论： ①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；
②AF· AG＝AD· AE；
③△AFB∽△ADG. 其中正确结论的序号是 A．①② C．①③ B．②③ D．①②③ ( )
且不与△ABC的顶点重合．已知AE 的长为m，AC的长为n，AD，AB的 长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根． (1)证明：C，B，D，E四点共圆； (2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6， 求C，B，D，E所在圆的半径．
解：(1)证明：连接DE， 则在△ADE和△ACB中， AD×AB＝mn＝AE×AC， AD AE 即AC ＝AB. 又∠DAE＝∠CAB， 从而△ADE∽△ACB. 因此∠ADE＝∠ACB， 所以C，B，D，E四点共圆．
[解]
(1)证明：如图，连接OB.
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.
∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA. ∴∠OAB＋∠PAB＝ ∠OBA＋∠PBA， 即∠PAO＝∠PBO.
又∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°.
∴∠PBO＝90°.∴OB⊥PB. 又OB是⊙O半径，∴PB是⊙O的切线．
(2)连接OP，交AB于点D.如图． ∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上． ∵OA＝OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上． ∴OP垂直平分线段AB. ∴∠PAO＝∠PDA＝90° . 又∵∠APO＝∠OPA，∴△APO∽△DPA. AP PO ∴DP＝ PA .∴AP2＝PO· DP. 1 1 又∵OD＝ BC＝ ，∴PO(PO－OD)＝AP2. 2 2 1 2 即PO － PO＝( 3)2，解得PO＝2. 2 在Rt△APO中，OA＝ PO2－PA2＝1， 即⊙O的半径为1.
两点在一条线段的同侧时，可证明这两点对该线段的张角相等；
③证明凸四边形的内对角互补(或外角等于它的内对角)等．
1．(2012· 天津高考)如图，已知AB和AC 是圆的两条弦，过点B作圆的切线与 AC的延长线相交于点D.过点C作BD的 平行线与圆相交于点E，与AB相交于 3 点F，AF＝3，FB＝1，EF＝ ， 2 则线段CD的长为________．
近两年高考中，主要考查圆的切线定理，切割线定理，相 交弦定理，圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等．题目
难度不大，以容易题为主．对于与圆有关的比例线段问题通常要
考虑利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、相似三角形的判 定和性质等；弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁，它在解决圆 内有关等角问题中可以大显身手；证明四点共圆也是常见的考查 题型，常见的证明方法有：①到某定点的距离都相等；②如果某
圆内接四边形是中学教学的主要研究问题之一， 近几年各地的高考选做题中常涉及圆内接四边形的判 定和性质． [例1] 已知四边形ABCD为平行四边形，过点A和
点B的圆与AD、BC分别交于E、F.
求证：C、D、E、F四点共圆．
[证明] 连接EF，
因为四边形ABCD为平行四边形， 所以∠B＋∠C＝180°. 因为四边形ABFE内接于圆， 所以∠B＋∠AEF＝180°.
直线与圆有三种位置关系，即相交、相切、相离； 其中直线与圆相切的位置关系非常重要，结合此知识点
所设计的有关切线的判定与性质、弦切角的性质等问题
是高考选做题热点之一，解题时要特别注意．
[例3]
如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，
∠ABC＝90° ，点P是圆外一点，PA切⊙O于点 A，且PA＝PB. (1)求证：PB是⊙O的切线； (2)已知PA＝ 3，BC＝1，求⊙O的半径．
圆的切线、割线、相交弦可以构成许多相似三角形， 结合相似三角形的性质，又可以得到一些比例式、乘积 式，在解题中，多联系这些知识，能够计算或证明角、 线段的有关结论．
[例 4]
(2010· 陕西高考)如图，已知 Rt△
ABC 的两条直角边 AC，BC 的长分别为 3 cm, BD 4 cm， AC 为直径的圆与 AB 交于点 D， DA 以 则 ＝________. [解析] 由题意得BC＝4，AC＝3，∴AB＝5.
所以∠AEF＝∠C.
所以C、D、E、F四点共圆．
[例2]
如图，ABCD是⊙O的内接四
边形，延长BC到E，已知∠BCD∶∠ECD ＝3∶2，那么∠BOD等于 A．120° C．144° ( )
B．136° D．150°
[解析] 由圆内接四边形性质知∠A＝∠DCE，
而∠BCD∶∠ECD＝3∶2， 且∠BCD＋∠ECD＝180°，∠ECD＝72°. 又由圆周角定理知∠BOD＝2∠A＝144°. [答案] C
又AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD. 则∠CAD＝∠ODA，OD∥AC. ∵DM是⊙O切线，∴OD⊥DM. 则DM⊥AC，DC2＝AC· CM.
点击下图进入阶段质量检测