与三角形有关的角(三角形的外角)课件
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人教版八年级数学上册第11.2.2三角形的外角 教学课件(共28张PPT)
外角
归纳：
1、每一个三角形都有_6___个外角; 2、每一个顶点相对应的外角都有_2__个。 3、这6个外角中有_3____对外角相等。
4、一个三角形的每一个外角对应一个
_相___邻__的___内__角__和两个__不___相__邻___的__内__.角
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。21.8.1021.8.10T uesday, August 10, 2021
底角为_3_0__或__7_5_°_.
5.如图所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则 ∠BDC=_1__2_0_外围走一圈，在每一个拐弯 的地方都转了一个角度（∠ 1， ∠ 2，∠ 3）， 那么回到原来位置时，一共转了几度？
∠1＋∠2 ＋∠3 ＝ ?
∠1= 90º ∠1= 85º ∠1= 95º
2. 如图所示, ∠A=37°, ∠CBE=155°,
求∠1, ∠2, ∠3的度数.
D
C 3
2
A 37°
155°
1B
E
∠1=25°, ∠2=62°, ∠3=118°
3.图中∠1与 ∠A、 ∠B 、∠C度 数有什么关系？
课堂巩固:
1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这
•
5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
《三角形的外角》优秀ppt课件
所以 ∠1﹥∠EDC
因为∠1是△CED的外角
所以∠EDC﹥∠B
因为∠EDC是△ABD的外角
例 1
A
B
C
1
2
3
填空：与三角形的每个内角相邻的外角分别有 个，这两个外角是 ，他们的大小 。
∠1+∠2+∠3 就是△ABC的外角和。
A
B
C
1
2
3
4
5
6
两
对顶角
相等
∠1+∠2+∠3= 度
探索与思考
∠3+ ∠BCA =180°，
∠1+∠BAC=180°，
∠2+∠ABC=180°
∠1+∠2+∠3= 度
A
B
C
1
2
3
数学说理：
三角形的外角和为360度。
360
猜一猜
三式相加可得：
∠1+ ∠2 + ∠3+ ∠BAC+∠ABC+ ∠BCA =540°
又因为∠A+ ∠B+ ∠ACB=180°
所以 ∠A+ ∠B=∠ACD
解：
A
B
C
所以∠ACD =180 °－∠ACB
所以∠A+∠B =180 °－∠ACB
（邻补角的定义）
(三角形内角和180 °)
(等量代换)
如何说明∠ACD= ∠B+ ∠ A
思考
1
（CE//BA）
A
E
擅长画平行线的小明用另一种方法解释了这个性质，看动画，你知道他是怎么解释的吗？
A
B
D
E
F
三角形的外角PPT授课课件
外角中，最多有1个锐角．
12．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝70°，AD是 △ABC的角平分线，点E在BD上，点F在CA的延长线上， EF∥AD.求：
(1)∠BAF的度数；
解：∵∠BAF＝∠B＋∠C，∠B＝40°，∠C＝70°， ∴∠BAF＝110°.
(2)∠F的度数．
解：∵∠BAF＝110°，
习题链接
1 熔化；吸收
提示：点击 进入习题
7C
答案呈现
2 等于
8 熔点；吸收
3 不变；吸热；晶体
9 吸热；0
4B
10 熔化；海波
5B
11 晶体；固液共存；增加
6 0；固液共存；吸收 12 熔化；钨
基础巩固练 4．铺设柏油马路时，需要把沥青由固态熔化成液态，下
列图像能正确表示这一过程的是( B )
【点拨】∵CO是△ABC的角平分线，∴∠DCB＝∠DCA. ∵BD∥AC，∠A＝45°， ∴∠DBA＝∠A＝45°，∠D＝∠ACD＝∠DCB. ∵∠AOD＝∠D＋∠DBA， ∴∠D＝∠AOD－∠DBA＝80°－45°＝35°. ∴∠DCB＝35°. ∴∠DBC＝110°. 故选B. 【答案】B
9．在三角形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的度数 和(称为三角形的外角和)是__3_6_0_°___．
(3)根据(1)(2)的结论，请直接写出∠E与∠A之间的数量关 系． 解：∠E＝12∠A.
14．探究：正五角星形的每个角均相等，小明为了计算每个角 的度数，画出了如图①所示的正五角星形，每个角均相等， 并写出了如下不完整的计算过程，请你将过程补充完整． 解：∵∠AFG＝∠C＋∠E，∠AGF＝∠B＋∠D， ∴∠AFG＋∠AGF＝∠C＋∠E＋∠B＋∠D. ∵∠A＋∠AFG＋∠AGF＝__1_8_0____°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝___1_8_0___°. ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝___3_6____°.
《三角形的外角》PPT课件
利用外角证明线段相等或平行
通过三角形外角性质，证明两线段相等
若两线段分别与三角形的两边平行，且它们所截得的线段相等，则这两线段相等。
利用外角证明两直线平行
若一直线与三角形的一边平行，且它们所截得的线段相等，则这直线与三角形的另 一边也平行。
利用外角解决角度问题
通过三角形外角性质计算角度
一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，利用这一性质可以计算三 角形中的角度。
THANKS
感谢观看
REPORTING
题目一
题目三
已知三角形ABC中，∠A = 50°，∠B = 60°，求∠C的外角大小。
已知等边三角形ABC中，D、E分别是 AB、AC上的点，且BD = CE，BE与 CD相交于点F，求∠BFC的度数。
题目二
在三角形ABC中，D是BC边上一点， ∠ADB = 120°，∠BAD = 30°，求∠C 的大小。
案例分析：典型计算题目解析
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
案例一
已知三角形ABC中，∠A 的外角为120°，求∠B 和∠C的度数。
解析
根据三角形外角定理， ∠A的外角等于∠B+∠C， 即∠B+∠C=120°。再结 合三角形内角和为180°， 可求得∠B和∠C的度数。
案例二
已知四边形ABCD中， ∠A的外角为60°，求四 边形ABCD的内角和。
建筑设计中角度调整与优化
01
02
03
角度调整
在建筑设计中，利用三角 形的外角性质可以灵活调 整建筑物的角度，使其更 加符合审美和实用要求。
结构优化
通过合理设置三角形的外 角，可以优化建筑结构的 稳定性和承重能力。
三角形的外角PPT课件
通过三角形的内角和来证明
利用三角形的内角和为180度，将三角形的三个内角相加， 再减去一个内角，即可得到外角等于两不相邻内角之和。
9
典型例题解析
例题1
已知三角形ABC中，角A=50度， 角B=60度，求角C的外角度数。
2024/1 得角C=180度-50度-60度=70度 。再根据外角定理，角C的外角 =180度-70度=110度。
三角形的外角PPT课 件
2024/1/28
1
目录
CONTENTS
• 三角形外角基本概念 • 三角形外角定理及其证明 • 三角形外角在几何问题中应用 • 三角形外角在现实生活中的应用 • 拓展：三角形内外角综合问题探
讨
2024/1/28
2
01
三角形外角基本概
念
2024/1/28
3
定义与性质
2024/1/28
2024/1/28
6
02
三角形外角定理及
其证明
2024/1/28
7
外角定理内容
2024/1/28
01
三角形的一个外角等于与它不相 邻的两个内角的和。
02
三角形的一个外角大于任何一个 与它不相邻的内角。
8
证明方法
2024/1/28
通过平行线的性质来证明
过三角形的一个顶点作一条与三角形的一边平行的直线，利 用平行线的性质来证明外角等于两不相邻内角之和。
在一些几何证明题中，可以通过利用平行线与三角形外角 关系来证明线段相等或平行。
2024/1/28
13
多边形外角和计算
多边形的外角和为360°
多边形可以被划分成若干个三角形，每个三角形的外角和为180°，因此多边形的外角 和为360°。
利用三角形的内角和为180度，将三角形的三个内角相加， 再减去一个内角，即可得到外角等于两不相邻内角之和。
9
典型例题解析
例题1
已知三角形ABC中，角A=50度， 角B=60度，求角C的外角度数。
2024/1 得角C=180度-50度-60度=70度 。再根据外角定理，角C的外角 =180度-70度=110度。
三角形的外角PPT课 件
2024/1/28
1
目录
CONTENTS
• 三角形外角基本概念 • 三角形外角定理及其证明 • 三角形外角在几何问题中应用 • 三角形外角在现实生活中的应用 • 拓展：三角形内外角综合问题探
讨
2024/1/28
2
01
三角形外角基本概
念
2024/1/28
3
定义与性质
2024/1/28
2024/1/28
6
02
三角形外角定理及
其证明
2024/1/28
7
外角定理内容
2024/1/28
01
三角形的一个外角等于与它不相 邻的两个内角的和。
02
三角形的一个外角大于任何一个 与它不相邻的内角。
8
证明方法
2024/1/28
通过平行线的性质来证明
过三角形的一个顶点作一条与三角形的一边平行的直线，利 用平行线的性质来证明外角等于两不相邻内角之和。
在一些几何证明题中，可以通过利用平行线与三角形外角 关系来证明线段相等或平行。
2024/1/28
13
多边形外角和计算
多边形的外角和为360°
多边形可以被划分成若干个三角形，每个三角形的外角和为180°，因此多边形的外角 和为360°。
人教版八年级数学上册 第11章 第2节 与三角形有关的角 课件(共50张PPT)
三角形的外角和是360°
理论研讨 ∠1＋∠2 ＋∠3 ＝ ?
从哪些途径探究这个结果
A 1
3 B
C 2
三角形的外角和360° 方法1 方法2
A 1
B 2
解： ∠1＋ ∠BAC=180°
∠2＋ ∠ABC=180°
3 ∠3＋ ∠ACB=180°
C
三个式子相加得到
∠1＋ ∠2＋ ∠3＋ ∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=540°
证法一 三角形的内角和等于1800.
延长BC到D， 在△ABC的外部，以CA为一边，
CE为另一边作∠1=∠A，
于是CE∥BA (内错角相等，两直线平行).
∴∠B=∠2
(两直线平行，同位角相等). A
∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
B
E
12
CD
证法二 三角形的内角和等于1800.
例题讲解2 已知△ABC中,∠ABC＝∠C=2∠A ,
A
BD是AC边上的高，求∠DBC的度数。
解：设∠A＝x0，则∠ABC＝∠C＝2x0
∴x＋2x＋2x＝180（三角形内角和定理）
解得x＝36 ∴∠C＝2×360＝720
D 在△BDC中，∵∠BDC＝900
?
(三角形高的定义）
B
C
∴∠DBC＝1800－900－720（三角形内角和定理）
A B
E
解：过C作CE平行于AB
2
1 ∴ ∠1= ∠B
C D （两直线平行，同位角相等）
∠2= ∠A
（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B
理论研讨 ∠1＋∠2 ＋∠3 ＝ ?
从哪些途径探究这个结果
A 1
3 B
C 2
三角形的外角和360° 方法1 方法2
A 1
B 2
解： ∠1＋ ∠BAC=180°
∠2＋ ∠ABC=180°
3 ∠3＋ ∠ACB=180°
C
三个式子相加得到
∠1＋ ∠2＋ ∠3＋ ∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=540°
证法一 三角形的内角和等于1800.
延长BC到D， 在△ABC的外部，以CA为一边，
CE为另一边作∠1=∠A，
于是CE∥BA (内错角相等，两直线平行).
∴∠B=∠2
(两直线平行，同位角相等). A
∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
B
E
12
CD
证法二 三角形的内角和等于1800.
例题讲解2 已知△ABC中,∠ABC＝∠C=2∠A ,
A
BD是AC边上的高，求∠DBC的度数。
解：设∠A＝x0，则∠ABC＝∠C＝2x0
∴x＋2x＋2x＝180（三角形内角和定理）
解得x＝36 ∴∠C＝2×360＝720
D 在△BDC中，∵∠BDC＝900
?
(三角形高的定义）
B
C
∴∠DBC＝1800－900－720（三角形内角和定理）
A B
E
解：过C作CE平行于AB
2
1 ∴ ∠1= ∠B
C D （两直线平行，同位角相等）
∠2= ∠A
（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B
《三角形的外角》课件
通过三角形的内角和来证明
首先，利用三角形的内角和为180°的性质，将三角形的一个外角转化为两个内 角的和。然后，通过比较这两个内角的大小关系，来证明三角形的一个外角大 于任何一个与它不相邻的内角。
定理应用举例
计算角度
在已知三角形两个内角的情况下 ，可以利用三角形外角定理来计
算与之相邻的外角的度数。
判断形状问题
利用三角形外角的性质，可以判断一个多边形是否可以划分成若干个三角形，从 而判断其形状。
通过比较三角形外角的大小关系，可以判断三角形的形状，如等边三角形、等腰 三角形等。
计算面积问题
在一些复杂的几何图形中，可以通过计算三角形外角所在三 角形的面积，进而求出整个图形的面积。
利用三角形外角的性质，可以将一些不规则图形的面积计算 问题转化为规则图形的面积计算问题。
多边形的外角和是指所有外角之和。对于任意多边形，其外角和等于360°。
推导过程：由于任意多边形的外角与其相邻的内角互补，即外角+内角=180°，因此多边形的所有外角之和等于其所有内角之 和的补角。由于多边形内角和为（n-2）×180°，所以多边形外角和为360°-（n-2）×180°=360°。
实例计算多边形外角和
等腰三角形一腰上的 外角等于另一腰与底 边的夹角。
等腰三角形顶角的外 角等于底角的两倍。
等边三角形外角性质
等边三角形的三个外角都相等 ，每个外角都是120°。
等边三角形任意一边上的外角 等于另外两边的夹角。
等边三角形的一个顶点处的外 角等于相邻两个内角的和。
直角三角形外角性质
直角三角形中，锐角的外角等于 Байду номын сангаас0°减去该锐角的度数。
以五边形为例，五边形可以被划分成三个三角形，因此五 边形的内角和为3×180°=540°。五边形的外角和为360°， 与内角和的补角相等。
首先，利用三角形的内角和为180°的性质，将三角形的一个外角转化为两个内 角的和。然后，通过比较这两个内角的大小关系，来证明三角形的一个外角大 于任何一个与它不相邻的内角。
定理应用举例
计算角度
在已知三角形两个内角的情况下 ，可以利用三角形外角定理来计
算与之相邻的外角的度数。
判断形状问题
利用三角形外角的性质，可以判断一个多边形是否可以划分成若干个三角形，从 而判断其形状。
通过比较三角形外角的大小关系，可以判断三角形的形状，如等边三角形、等腰 三角形等。
计算面积问题
在一些复杂的几何图形中，可以通过计算三角形外角所在三 角形的面积，进而求出整个图形的面积。
利用三角形外角的性质，可以将一些不规则图形的面积计算 问题转化为规则图形的面积计算问题。
多边形的外角和是指所有外角之和。对于任意多边形，其外角和等于360°。
推导过程：由于任意多边形的外角与其相邻的内角互补，即外角+内角=180°，因此多边形的所有外角之和等于其所有内角之 和的补角。由于多边形内角和为（n-2）×180°，所以多边形外角和为360°-（n-2）×180°=360°。
实例计算多边形外角和
等腰三角形一腰上的 外角等于另一腰与底 边的夹角。
等腰三角形顶角的外 角等于底角的两倍。
等边三角形外角性质
等边三角形的三个外角都相等 ，每个外角都是120°。
等边三角形任意一边上的外角 等于另外两边的夹角。
等边三角形的一个顶点处的外 角等于相邻两个内角的和。
直角三角形外角性质
直角三角形中，锐角的外角等于 Байду номын сангаас0°减去该锐角的度数。
以五边形为例，五边形可以被划分成三个三角形，因此五 边形的内角和为3×180°=540°。五边形的外角和为360°， 与内角和的补角相等。
11.2 与三角形有关的角课件(共3课时)
4 .如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD,
A
D
能力
拓展1 如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度 A 解：∵∠1是△FBE的 B G 2 1 F E
∴∠1=∠B+ ∠
同理∠2=∠A+
在△CFG中, ∠C+∠1+∠2=1
∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ = 180º . D
C
能力
∴∠2＞∠1.
∠3=∠2+∠
新课讲
3 三角形的外角和
例3
它们的和是多少？ 解：由三角形的一个外角等于与它不 相邻的两个内角的和，得
如图， ∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个
你还有其他 解法吗？
E A
∠BAE= ∠2+ ∠3，
∠CBF= ∠1+ ∠3, ∠ACD= ∠1+ ∠2. 又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， 所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD =2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °. F B 2
（两直线平行，内错 ∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠
知识
★三角形内角和定理的推论
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 ▼应用格式： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角 ∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
A
B
新课讲
练一练：说出下列图形中∠1和∠2的度数：
A
80 ° 60 ° 50 ° 2 1
A
1
2 32 °
新课讲
1 三角形的外角的概念
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，
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C
D
运用三角形的外角的性质
例 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD 是△ABC 的 三个外角，它们的和是多少？ 解法二： E 由∠1 + ∠2 + ∠3 =180°， A 得∠BAE + ∠CBF + ∠ACD 1 = 540°- 180° =360°. 3 B 2 C D F
课堂练习
练习
40º
如图，D是△ABC 的BC 边上一点，∠B =
理解三角形的外角的概念
问题1 在△ABC 中，∠A =75°，∠B =40°，∠C 等于多少度？
A
B
C
理解三角形的外角的概念
问题2 如图，把△ABC 的一边BC 延长，得到 ∠ACD．这个角还是三角形的内角吗？
概念： 三角形的一边与另一边的 延长线组成的角，叫做三角形 的外角．
A
B
C
D
探索与证明三角形的外角的性质
E A
1 2 3
C
D
运用三角形的外角的性质
例 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD 是△ABC 的 三个外角，它们的和是多少？ 解法一： = 2（∠1 +∠2 +∠3）． ∵ ∠1 +∠2 +∠3 =180°， ∴ ∠BAE +∠CBF +∠ACD = 2×180° =360°. F E A
1
B
2
3
问题3 如图，∠ACD 与∠ACB 的位置是怎样的？ ∠ACD 与∠ACB 有什么数量关系？
∠ACD（外角）+ ∠ACB（相邻的内角）=180°．
A
B
C
D
探索与证明三角形的外角的性质
问题4 如图，∠ACD 与∠A，∠B 的位置是怎样 的？∠ACD 与∠A，∠B 的大小有什么关系？你能证明 你的结论吗？
课堂练习
练习1 如图，口答： （1）∠1 = ∠C + ∠DAC ； （2）∠2 = ∠3 + ∠4 ． A
3Leabharlann B41 2
D
C
课堂练习
练习2 如图，说出图形中∠1 的度数．
1
（ 1）
30° 1
60°
（ 2）
35°
60°
1
（ 3）
45°
50°
（ 4）
30°
15°
1
图中∠1的度数依次为：90°，85°， 95°，45°．
∠BAD，∠ADC =80°,∠BAC =70°. 求：（1）∠B 的度数；（2）∠ C 的度数． 40º A
B
D
C
运用三角形的外角的性质
例 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD 是△ABC 的 三个外角，它们的和是多少？ 解法二： E 由∠1 +∠BAE =180°， A ∠2 +∠CBF =180°， 1 ∠3 +∠ACD =180°， 得∠1 +∠2 +∠3 + ∠BAE 3 B 2 +∠CBF +∠ACD = 540°． C D F
八年级
上册
11.2 与三角形有关的角 （第3课时）
课件说明
• 本节课内容是从三角形的内角的概念迁移到三角形 的外角的概念，进而研究三角形的外角的性质，再 通过例题进行巩固运用．
课件说明
• 学习目标： 1．理解三角形的外角的概念． 2．掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内 角的和． • 学习重点： 掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 的和．
如图， ∵ ∠ACD +∠ACB =180°， ∠A +∠B +∠ACB =180°， ∴ ∠ACD =∠A +∠B． B
A
C
D
探索与证明三角形的外角的性质
三角形内角和定理的推论： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的 和． 推论是由定理直接推出的结论，和定理一样，推 论可以作为进一步推理的依据．
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）怎样探索并证明“三角形的一个外角等于与它不 相邻的两个内角的和”？ （3）你用了哪几种方法解答例题？
布置作业
教科书习题11.2第6、8题．
课堂练习
练习3
80° 60°
如图，说出图形中∠1 和∠2 的度数：
2 1 1 40° 2 40°
1
2
30°
（ 1）
（ 2）
（ 3）
运用三角形的外角的性质
例 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD 是△ABC 的 三个外角，它们的和是多少？
解法一： ∵ ∠BAE =∠2 +∠3， ∠CBF =∠1 +∠3， ∠ACD =∠1 +∠2， ∴ ∠BAE +∠CBF +∠ACD B = （∠2 +∠3）+（∠1 +∠3） F + （∠1 +∠2）