2.5一元二次方程的应用(一)演示文稿
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北师大版九年级上册2.6应用一元二次方程(1)课件(共22张PPT)
x +(21−x) =15 ， 解:设乔治得到x元，则少的一笔钱为(20−x)元.
2 S△ABC= ×AC⋅BC= ×26×8=24，2
面积的一半，由题意得： 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．
解得x =9,x =12. 解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC
2
2
EF AB BF AB BE 300 2x
三、典例分析
(3)求相遇时补给船航行了多少海里？
解：设运动x秒时,它们相距15cm,则CP=xcm,CQ=(21−x)cm，依题意有
解： AB BC, AB / / DF , 解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC
北 如图，某海军基地位于A处，其正南方向200海里处有一个重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C.
四、随堂练习
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90∘，AC=8cm，BC=6cm.点P，Q同时从A，B 两点出发，分别沿AC，BC向终点C移动，它们的速度都是1cm/s，且当其 中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使
△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半?
解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC
中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使
△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半?
即： 1×(8−x)×(6−x)= 1 ×24，
2
2
x2−14x+24=0，
(x−2)(x−12)=0，
x1=12(舍去),x2=2. 答：点P，Q出发2秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.
二、探究新知
2 S△ABC= ×AC⋅BC= ×26×8=24，2
面积的一半，由题意得： 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．
解得x =9,x =12. 解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC
2
2
EF AB BF AB BE 300 2x
三、典例分析
(3)求相遇时补给船航行了多少海里？
解：设运动x秒时,它们相距15cm,则CP=xcm,CQ=(21−x)cm，依题意有
解： AB BC, AB / / DF , 解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC
北 如图，某海军基地位于A处，其正南方向200海里处有一个重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C.
四、随堂练习
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90∘，AC=8cm，BC=6cm.点P，Q同时从A，B 两点出发，分别沿AC，BC向终点C移动，它们的速度都是1cm/s，且当其 中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使
△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半?
解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC
中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使
△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半?
即： 1×(8−x)×(6−x)= 1 ×24，
2
2
x2−14x+24=0，
(x−2)(x−12)=0，
x1=12(舍去),x2=2. 答：点P，Q出发2秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.
二、探究新知
二次函数与一元二次方程(第1课时)PPT课件
(1) h和t的关系式是什么？
解 :1 .h 5 t24t.0
(2) 小球经过多少秒后落地?你 有几种求解方法?与同伴进行交
流. ①图象法
②解方程 -5t2+40t=0
议一议 二次函数与一元二次方程
画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
(1).每个图象与x轴有几个交点？
(1)2.个,1个,0个程
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
(2) 一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验 证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?
2.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在x
轴下方的条件是（ D ）
（A）a＜0 b2-4ac≤0（B）a＜0 b2-4ac＞0 （C）a＞0 b2-4ac＞0 (D）a＜0 b2-4ac＜0
小结 拓展 我思考，我进步
一个关系：二次函数图象与一元二次
我 方程根的关系:
们
函数
方程
的 收
y=ax2+bx+c(a≠0)
9
想一想 二次函数与一元二次方程
思考在本节一开始的小球上抛问题中,
何时小球离地面的高度是60m?你是如 何知道的? 能否达到80米？100米呢？
结论3 当y取定值时，二次函数可转
化为一元二次方程。
解 :1 .h 5 t24t.0
(2) 小球经过多少秒后落地?你 有几种求解方法?与同伴进行交
流. ①图象法
②解方程 -5t2+40t=0
议一议 二次函数与一元二次方程
画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
(1).每个图象与x轴有几个交点？
(1)2.个,1个,0个程
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
(2) 一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验 证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?
2.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在x
轴下方的条件是（ D ）
（A）a＜0 b2-4ac≤0（B）a＜0 b2-4ac＞0 （C）a＞0 b2-4ac＞0 (D）a＜0 b2-4ac＜0
小结 拓展 我思考，我进步
一个关系：二次函数图象与一元二次
我 方程根的关系:
们
函数
方程
的 收
y=ax2+bx+c(a≠0)
9
想一想 二次函数与一元二次方程
思考在本节一开始的小球上抛问题中,
何时小球离地面的高度是60m?你是如 何知道的? 能否达到80米？100米呢？
结论3 当y取定值时，二次函数可转
化为一元二次方程。
湘教版九年级数学 2.5 一元二次方程的应用(学习、上课课件)
感悟新知
知1－练
(1)平均每周的销售量y(顶)与降价 x(元)之间的函数关 系式是y_＝__1_0_0_＋__2_0_x；
(2)若该商店希望平均每周获得 4 000 元的销售利润， 则每顶头盔应降价多少？
感悟新知
解：根据题意，得
知1－练
(68－x－40)(100＋20x)＝4 000，
整理得x2－23x＋60＝0，解得x1＝3，x2＝20， 当x＝3时，68－x＝68－3＝65＞58，不符合题意，舍去；
感悟新知
表格图例：
知1－练
人数 平均每人费用
合计
不超 20 人 20
280
5 600
超过 20 人 x 280－8( x－20) [280－8( x－20)]x
感悟新知
1-1. [ 模拟·长沙岳麓 区 ] 平安路 上，多 “盔”有你知，1－练 在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头 盔，进价为每顶 40 元，售价为每顶68 元，平均每 周可售出100 顶．商店计划将头盔降价销售，每顶 售价不高于 58 元，经调查发现：每降价 2 元，平 均每周可多售出 40 顶．设每顶头盔降价 x 元，平 均每周的销售量为 y 顶 .
感悟新知
知1－练
解题秘方：利用等量关系：(人均费用 - 超过 20 人的人数 ×8)× 人数 =5 888 建立 一元二次方程的模型为a 人时，人均费用为200 元，求 a 的 取值范围；
解：由题意可得 280－8(a－20) =200， 解得 a=30，故当 a ≥ 30 时，人均费用为 200 元 .
解
根据方程的特点 , 选择适当 一般不必写出解方
解法求出未知数的值 .
程的过程 .
检
检验未知数的值是否满足 所列方程 , 检验该值在实际 问题中是否有意义 .
一元二次方程的应用优秀课件
2
x( 20 x) 30 即 x2-10x+30=0. 2
这里a=1,b=－10,c=30,
b2 4ac (10)2 41 30 20 0,
∴此方程无解, ∴用20 cm长的铁丝不能折成面积为30 cm2的矩形.
典型例题
例2 某校为了美化校园,准备在一块长32 m,宽20 m的长方 形场地上修筑若干条同样宽的道路,余下部分作草坪,并请 全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如 图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是 多少时图(1),(2)的草坪面积为540m2?来自答:应围成一个边长为9米的正方形.
典型例题
例4 某林场计划修一条长750米，断面为等腰梯形的渠道， 断面面积为1.6平方米，上口宽比渠深多2米，渠底宽比渠 深多0.4米．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ （2）如果计划每天挖土48立方米，需要多少天才能把 这条渠道挖完？ 分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为x米， 则上口宽为（x+2）米， 渠底宽为（x+0.4）米，那么， 根据梯形的面积公式便可建模．
(1)
(2)
【解析】(1)如图，设道路的宽
为x m，则
(32 2x)(20 2x) 540
化简得， (1)
x2 26x 25 0,
(x 25)(x 1) 0, x1 25, x2 1,
其中的 x=25超出了原长方形场地的宽，应舍去. ∴图(1)中道路的宽为1 m.
(2)分析：此题的相等关系是长方 形面积减去道路面积,等于540m2.
所以正确的方程是 32 20 32x 20x x2 540,
化简得， x2 52x 100 0,
x1 2, x2 50,
x( 20 x) 30 即 x2-10x+30=0. 2
这里a=1,b=－10,c=30,
b2 4ac (10)2 41 30 20 0,
∴此方程无解, ∴用20 cm长的铁丝不能折成面积为30 cm2的矩形.
典型例题
例2 某校为了美化校园,准备在一块长32 m,宽20 m的长方 形场地上修筑若干条同样宽的道路,余下部分作草坪,并请 全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如 图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是 多少时图(1),(2)的草坪面积为540m2?来自答:应围成一个边长为9米的正方形.
典型例题
例4 某林场计划修一条长750米，断面为等腰梯形的渠道， 断面面积为1.6平方米，上口宽比渠深多2米，渠底宽比渠 深多0.4米．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ （2）如果计划每天挖土48立方米，需要多少天才能把 这条渠道挖完？ 分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为x米， 则上口宽为（x+2）米， 渠底宽为（x+0.4）米，那么， 根据梯形的面积公式便可建模．
(1)
(2)
【解析】(1)如图，设道路的宽
为x m，则
(32 2x)(20 2x) 540
化简得， (1)
x2 26x 25 0,
(x 25)(x 1) 0, x1 25, x2 1,
其中的 x=25超出了原长方形场地的宽，应舍去. ∴图(1)中道路的宽为1 m.
(2)分析：此题的相等关系是长方 形面积减去道路面积,等于540m2.
所以正确的方程是 32 20 32x 20x x2 540,
化简得， x2 52x 100 0,
x1 2, x2 50,
湘教版九年级多媒体课堂教学课件第2章 2-5 一元二次方程的应用 第1课时
6．(素养提升题)在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千 克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一 天的销售量y(千克)与该天的售价x(元/千克)满足如下表所示的一次函数关系．
销售量y(千克) … 34.8 32 29.6 28 … 售价x(元/千克) … 22.6 24 25.2 26 … (1)某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量； (2)如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？
基础达标练
(打“√”或“×”)
1．单件利润＝单件进价—单件成本．( ×) 2．总利润＝单件利润×销售件数＝总售价－总成本．( √ ) 3．利润＝售价×利润率．(× ) 4．售价＝进价×(1－利润率).( ×)
知识点1 列一元二次方程解决增长率类问题 1．某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5，6
两个月营业额的月平均增长率为x，则下列方程中正确的是(C )
A．60(1＋2x)＝100 B．100(1＋x)2＝60 C．60(1＋x)2＝100 D．60＋60(1＋x)＋60(1＋x)2＝100
2．(2020·桂林中考)参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比
赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是( D )
每天盈利6 000元，每千克应涨价(D )
A．15元或20元 B．10元或15元
C．10元
D．5元或10元
3．(易错警示题)某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次) 的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但 一天产量减少5件．若生产的产品一天的总利润为1 120元，且同一天所生产的产
2.5 一元二次方程的应用
运用一元二次方程模型解决实际问题 的步骤有哪些？
实际问题
分析数量关系 建立一元二 设未知数 次方程模型
解一元二 次方程
实际问题的解
检验
一元二次 方程的根
课堂练习
1. 某校图书馆的藏书在两年内从５万册增加到7.2万 册，问平均每年藏书增长的百分率是多少？
解：设平均每年藏书增长的百分率为x
5（1+x）²= 7.2
解：根据等量关系得
(x-21)(350-10x)=400
整理，得 x2-56x+775=0
解得
x1=25，x2=31
又因为21×120%=25.2，即售价不能超过
25.2元，所以x=31不合题意，应当舍去，
故x=25，从而卖出350-10x=350-
10×25=100（件）
答：该商店需要卖出100件商品，且每件商 品的售价是25元。
解：设道路宽为x m，则新矩形的边长为(32-x)m， 宽为(20-x)m，根据等量关系列出方程。
(32-x)(20-x)=540
整理，得 x²-52x+100=0
解得 x1=2 , x2=50 x2=50＞32 ，不符合题意，舍去, 故 x=2.
答：道路的宽为2米.
例4 如图2-6所示，在△ABC中，
整理，得 (1+x)²=1.44
- 解得 x1=0.2=20% , x2= 2.2 (不符合题意，舍去)
答：平均每年藏书增长的百分率为20%。
2.某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装20件， 每件可盈利44元．若每件降价1元，则每天可多售出5 件．若要平均每天盈利1600元，则应降价多少元？
解：设应降价x元，则
解：(1)设 x 秒后，△PBQ 的面积等于 6 cm2，依题意得： 12(5－x)·2x＝6，解得：x1＝2，x2＝3.故 2 秒或 3 秒后， △PBQ 的面积等于 6 cm2；
《一元二次方程的应用》PPT精选教学课件
2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明
两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在
实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程
为
.
21．长沙市某楼盘准备以每平方米 5 000 元的均价对外销 售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观 望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调 后，决定以每平方米 4 050 元的均价开盘销售．
解得，x1＝2，x2＝50（不合题意，舍去）． （以下步骤同解法一）
20米
32米
小结 1．解法二和解法一相比更简单，它利用“图形 经过移动，它的面积大小不会改变”的道理， 把纵、横两条路移动一下，可以使列方程容易 些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍 可按原图的位置修路）．
2．有些同学在列方程解应用题时，往往看到正解 就保留，看到负解就舍去．其实，即使是正解也要 根据题设条件进行检验，该舍就舍．此题一定要注 意原矩形“宽为20 m、长为32 m”这个条件，从而 进行正确取舍．
解 : 设这个两位数的个位数字为x, 根据题意, 得
105 x x10x 5 x 736.
整理得x2 5x 6 0.
解得x1 2, x2 3. 5 x 5 2 3,或5 x 5 3 2. 答 : 这两个数为32或23.
（三）增长率问题
例1：平阳按“九五”国民经济发展规划要求，2003年 的社会总产值要比2001年增长21%，求平均每年增长的 百分率．（提示：基数为2001年的社会总产值，可视为 a） 分析：设每年增长率为x，2001年的总产值为a，则
（5）解：就是解方程，求出未知数的值；
ห้องสมุดไป่ตู้
（6）检验：列方程解应用题时，要对所求 出的未知数进行检验，检验的目的有两个： 其一，检验求出来的未知数的值是否满足方 程；其二，检验求出的未知数的值是不是满 足实际问题的要求，对于适合方程而不适合 实际问题的未知数的值应舍去；
一元二次不等式的应用PPT演示文稿
• • • •
[例1] m为何值时，关于x的方程： (m＋1)x2＋2(2m＋1)x＋(1－3m)＝0 (1)有两个异号实根； (2)有两个实根，且它们之和为非负数．
解析：(1)若有两个异号实根，则此问题等价于 m＋1≠0 x2<0， x1· Δ>0， m＋1≠0， 1－3m <0， 即 m ＋ 1 2 7m ＋6m>0 m≠－1， m<－1或m>1， 3 ⇔ 6 m>0或m<－ . 7
• 方法三：先在数轴上标出零点(如下图)
• 根标出来后，不是分区间进行验证讨论， 而是直接标出综合因式(x＋3)(x－2)(x－4) 的正负号，再根据题目要求，直接写出解 集为{x|－3<x<2或x>4}． • 注：这种方法常称为“数轴标根法”．这 种方法的本质是“列表讨论法”的简化及 提炼．这样的“线”也可看成是函数y＝(x ＋3)(x－2)(x－4)的图像草图．(y轴未
• 通过以上四种形式之一转化为一元一次不 等式或一元二次不等式或特殊高次不等式 求解.
• 二次函数是主体，一元二次方程和一元二 次不等式分别为二次函数值为零和不为零 的两种情况，一般讨论二次函数主要是将 问题转化为一元二次方程和一元二次不等 式的形式来研究，而讨论一元二次方程和 一元二次不等式又要将其与相应的二次函 数相联系，通过二次函数的图像及性质来 解决问题，关系如下：
• [变式训练1] 若0≤x≤1，y＝x2－2ax＋a2－ 1，求当a为何实数值时，恒有y>0. • 解析：解法1：二次函数y＝x2－2ax＋a2－ 1的二次项系数为1，所以它的图像开口向 上，如右图所示． • 令y＝0，可得图像与x轴交点横坐标x1＝a －1，x2＝a＋1且x1<x2.要使在0≤x≤1时， y>0.由图可知x1>1或x2<0，即a－1>1或a＋ 1<0，∴a>2或a<－1.
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选作题： 有一个两位数等于其数字之积的3倍，其 十位数字比个位数字小2，求这两位数。
设某产品原来的产值是a，平均每次增长的百分 率为x，则增长一次后的产值为a （1+ x ）， 增长两次后的产值为a （1+ x ）2，……增长 n次后的产值为a （1+ x ）n ．
2、面积问题
如图，现有长方形纸片一张，长19cm， 宽15cm，需要剪去边长是多少的小正方 形才能做成底面积为77cm2的无盖长方 体纸盒？
巩固练习：
在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同 样宽的三条道路，把耕地分成大小相等的六块作 试验田，要使试验田面积为570m2，问道路应为 宽？
3、平均增长（或降低）率问题 一商店1月份的利润是2500元，3月份的 利润达到3000元，这两个月的利润平均月 增长的百分率是多少（精确到0.1％）？
感悟与收获：
总结： 1、列方程解应用题的关键： 2、列方程解应用题的步骤： 3、通过本节课的学习，你能 解决生活中的哪些问题？
1、两个数的差等于4，积等于45，求这两个数。 2、一块长方形草地的长和宽分别为20m和15m， 在它四周外围环绕着宽度相等的小路，已知小路 的面积为246㎡，求小路的宽度。 3、甲公司前年交税40万元，今年缴税48.4万元， 该公司缴税的年平均增长率为多少？
巩固练习：
分别列出下面几个问题的方程． （1）某工厂用二年时间把总产值增加到原来的 b倍，求每年平均增长的百分率． （2）某工厂用两年时间把总产值由a万元增加 到b万元，求每年平均增长的百分数． （3）某工厂用两年时间把总产值增加了原来的 b倍，求每年增长的百分数．
练一练，巩固新知
1、在一块正方形的钢板上裁下宽为20cm的一 个长条，剩下的长方形钢板的面积为4800 cm2。 求原正方形钢板的面积。 2、某产品原来每件600元，由于连续两次降价， 现价为384元，如果两个降价的百分数相同，那么 每次降价百分之几？
第二章
一元二次方程
2.5 一元二次方程的应用 （一）
做一做，探索新知
1、数字问题
问题：有这样一道阿拉伯古算题：有两笔 钱，一多一少，其和等于20，积等于96， 多的一笔被许诺赏给赛义德，那么赛义德 得到多少钱？
巩固练习：
一块面积是600m2的长方形土地，它的 长比宽多10m，求长方形土地的长与宽。