全国名校高考数学经典复习题汇编(附详解)专题：椭圆的方程综合问题
【精品】2019-2020年度最新人教版最新高中数学高考总复习椭圆习题及详解及参考答案
教学资料参考范本【精品】2019-2020年度最新人教版最新高中数学高考总复习椭圆习题及详解及参考答案撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________一、选择题1．设0≤α<2π，若方程x2sin α－y2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.∪B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，3π4 C.D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，3π2[答案] C[解析] 化为＋＝1， ∴－>>0，故选C.2．(文)(2010·瑞安中学)已知双曲线C 的焦点、顶点分别恰好是椭圆＋＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x±3y＝0B ．3x±4y＝0C ．4x±5y＝0D ．5x±4y＝0[答案] A[解析] 由题意知双曲线C 的焦点(±5,0)，顶点(±3，0)，∴a ＝3，c ＝5，∴b＝＝4，∴渐近线方程为y ＝±x ，即4x ±3y ＝0.(理)(2010·广东中山)若椭圆＋＝1过抛物线y2＝8x 的焦点，且与双曲线x2－y2＝1，有相同的焦点，则该椭圆的方程是( )A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D ．x2＋＝1[答案] A[解析] 抛物线y2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，∴a＝2，c ＝，∵c2＝a2－b2，∴b2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.3．分别过椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点F1、F2作两条互相垂直的直线l1、l2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22C.D.⎝⎛⎦⎥⎤0，22 [答案] B[解析] 依题意，结合图形可知以F1F2为直径的圆在椭圆的内部，∴c<b，从而c2<b2＝a2－c2，a2>2c2，即e2＝<，又∵e>0，∴0<e<，故选B.4．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，椭圆上的点P 满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是( )A. B. C.D.643[答案] A[解析] 由余弦定理：|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝|F1F2|2.又|PF1|＋|PF2|＝20，代入化简得|PF1|·|PF2|＝，。
2020高考冲刺数学总复习压轴解答：椭圆相关的综合问题(附答案及解析)
专题三压轴解答题第二关椭圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第(1) 问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第( 2)问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等•这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.【考点方向标】方向一中点问题典例 1 . (2020 •山东高三期末)已知椭圆2 _- 1a \ 2的右焦点为F , P是椭圆C上一点, 2PF x轴, PF(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线I与椭圆C交于A、B两点, 线段AB的中点为M , O为坐标原点，且OM2，求AOB 面积的最大值•【举一反三】(2020•河南南阳中学高三月考) 已知椭圆2 _b21(a b 0)的一个焦点与抛物线y243x的焦点重合，且椭圆C的离心率为(1)求椭圆C的标准方程;(2)直线I交椭圆C于A、B两点，线段AB的中点为M (1,t)，直线m是线段AB的垂直平分线，求证: 直线m过定点，并求出该定点的坐标.方向二垂直问题（2）如图，过椭圆 C 的右焦点F 作两条相互垂直的直线uuuv 1 uuv uuuv 1 uuvAM —AB ，DN —DE ，求 MNF 面积的最大值.2 2【举一反三】2 2（2020 吉林东北师大附中高三月考）已知椭圆C :务占1（ a b 0）的左焦点为F , P 是C 上一a b1点，且PF 与x 轴垂直，A , B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，且 AB POP ，且 POB 的面积是-，其2中0是坐标原点• （1） 求椭圆C 的方程•（2） 若过点F 的直线h , 12互相垂直，且分别与椭圆 C 交于点M , N , S , T 四点，求四边形 MSNT 的 面积S 的最小值•方向三面积问题线与椭圆相交于 M , N 两点，点P 为线段MN 的中点，点0为坐标原点•当直线MN 的斜率为1时，直线1 0P 的斜率为2（1）求椭圆C 的标准方程；典例2. （2020 •安徽期末）已知椭圆2x ~2 a2721(b 0）的离心率e 2，且过点（丄2,上3） •2 2 2AB, DE 交椭圆分别于A, B,D, E ，且满足典例3. （2020 •安徽高三月考）已知椭圆 2 2E:十 1 a b 0的左焦点为Fa b1,0，经过点F 的直（1）求椭圆C 的方程;(ii )直线I 与y 轴交于点G ,记△ PFG 的面积为S 1,△ PDM 的面积为S ，求S1S 2的最大值及取得最大2 2(2020 •重庆高三月考)已知椭圆C :^- -y - 1 (aa b0)的离心率e—，且圆x 22y 1经过椭圆C(2)若点A 为椭圆的左顶点，点 B 为椭圆的右顶点，过 F 的动直线交该椭圆于 C , D 两点，记 ACD 的2 2r —C ：a b2 ia b 0的离心率e二，且椭圆过点习(1) 求椭圆C 的标准方程；(2)设直线|与C 交于 M 、N 两点，点D 在椭圆C 上，O 是坐标原点，若OM 1 ON COD ，判定四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由【举一反三】面积为S i ,BCD 的面积为S 2，求S 2 S i 的最大值.典例4. (2020河南高三月考)已知椭圆 (2020 •全国高三专题练习)平面直角坐标系2 2xOy 中，椭圆C :与笃 a b1 a > b >0 的离心率是-11，抛物2 线E : x 2 2y 的焦点F 是C 的一个顶点. (I)求椭圆C 的方程；(I)设P 是E 上的动点，且位于第一象限,E 在点P 处的切线|与C 交与不同的两点 A , B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点 M .(i )求证：点M 在定直线上 值时点P 的坐标.的上、下顶点 (1)求椭圆C 的方程;值(O 为坐标原点)方向四范围与定值问题过椭圆C 的上，下顶点 (1)求椭圆C 的方程.1(2)若直线|的斜率为1，且直线I 交椭圆C 于P 、Q 两点，点P 关于点的对称点为 E ,点A 2,1是椭2圆C 上一点，判断直线 AE 与AQ 的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理.2典例6. (2020全国高三专题练习)已知顶点为原点的抛物线C 的焦点与椭圆 岂 x 2 1的上焦点重合,a 2且过点(2「2,1). (1)求椭圆的标准方程;1(2)若抛物线上不同两点 A , B 作抛物线的切线，两切线的斜率k 1,若记AB 的中点的横坐标为 m ,k 2AB 的弦长g(m)，并求g(m)的取值范围【举一反三】2 2(2020全国高三专题练习(理))已知椭圆C :笃占 1 a b 0的长轴长是离心率的两倍，直线l :a 2b 214x 4y 30 交C 于A , B 两点，且AB 的中点横坐标为 一.2(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线I 与椭圆C 相切，且与椭圆C 14a 24b 21相交于M , N 两点，证明: VOMN 的面积为定典例5. (2020 内蒙古高三期末)已知椭圆C :b21a b 0的离心率e于，且圆x2 y2平方之积是定值.为互2(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设不过原点O 的直线I 与椭圆C 交于两点M 、N ，且直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列, 求I OMN 面积的取值范围•【压轴选编】2 21. (2020全国高三专题练习)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C : A 占 1 ( a b 0)的离心a b率e . 2且椭圆C 上的点到点Q 0,2的距离的最大值为 3. (I)求椭圆C 的方程；(I)在椭圆C 上，是否存在点 M m,n ，使得直线I : mx ny 1与圆O : x 2 y 2 1相交于不同的两 点A 、B ，且OAB 的面积最大？若存在，求出点 M 的坐标及对应的 OAB 的面积；若不存在，请说明 理由.?? ??2.【福建省龙岩市 2019届高三第一学期期末教学质量检查】已知椭圆 +歹=1(??> ??> 0)的左、右焦 点分别为??,??,过点？?的直线与椭圆？交于？?,??两点，？?？???的周长为8,直线？?= ?被椭圆？截得的线段长*4用为〒(1 )求椭圆?的方程;(2)设？???是椭圆上两动点，线段???的中点为?????????的斜率分别为？？,？？(？?为坐标原点)，且4???? = -3 , 求|???的取值范围(2)若M , N 是椭圆C 上的点,O 为坐标原点，且满足 2OM2ON-，求证：OM , ON 斜率的4(2020 •四川石室中学高三月考(文)2 2)已知椭圆C:%厶 1(aa 2b 2b 0)的长轴长是短轴长的两倍，焦距2(1) 求椭圆方程；(2) 过点P 0,2的直线与椭圆交于 M 、N 两个不同的点，求线段 MN 的垂直平分线在 x 轴截距的范围.?? ??4.【湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测】已知点??(^3,0)是椭圆？?钩+羽=1(??> ??> 0)的一1个焦点，点？？( V 3,2)在椭圆？上. (1) 求椭圆？?勺方程；1(2) 若直线？与椭圆？交于不同的？？？?两点，且?????+ ?????= - - ( ?为坐标原点)，求直线？斜率的取值范围椭圆？?交于不同的两点???? (I )求椭圆？?的离心率；(i )当？?= 2时，求？????的面积；(I )设直线???与椭圆？?的另一个交点为？？当？为???中点时，求？的值?? ?? ,36.【宁夏六盘山高级中学 2019届高三上学期期末考试】 已知椭圆???2 + ?? = 1(??> 0,??> 0)的离心率为三,长轴长为4，直线？?= ??????与椭圆？交于？??两点且/????为直角，？为坐标原点. (I)求椭圆？？勺方程； (I)求？??长度的最大值.7. ( 2020河南鹤壁高中高三月考)2 2已知椭圆E:笃占1(a b 0)的左右焦点分别为F 1,F 2 , P 是椭圆a b短轴的一个顶点，并且 PF 1F 2是面积为1的等腰直角三角形.(1) 求椭圆E 的方程；3.【2019湖北省重点中学联考】已知椭圆2 2 xy 2,2ab1(a b 0)的离心率e 2，且经过点25.【北京市海淀区 2019届高三上学期期末考试】已知点?? ????(0,-2)和椭圆？？二 + y = 1.直线？???= ???? 1 与3(2)设直线11 : x my 1与椭圆E相交于M,N两点，过M作与y轴垂直的直线12，已知点H(—,0)，问2(2)求VPF 1M 面积的最大值直线NH 与12的交点的横坐标是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由2x8. ( 2020江西高三)已知椭圆 C : -Tab 21(a b 0)过点( .3, 1)，且它的焦距是短轴长的 (1)求椭圆C 的方程.(2)若A , B 是椭圆C 上的两个动点 A , B 两点不关于x 轴对称)，O 为坐标原点，OA , OB 的斜率分别为k i , k 2，问是否存在非零常数 ，使当kk时，AOB 的面积S 为定值？若存在，求的值;若不存在，请说明理由x 29.(2020甘肃省岷县第一中学期末) 已知椭圆C :二a0(0,0) , OAB 的面积为1. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：| AN | |BM |为 定值•古(a b 0)的离心率为于，A(a,0),B(0,b),2 210. (2020江苏高三期末)已知椭圆 C :务每 1(a b 0)的左右焦点分别为F i,F2，焦距为4,且椭 a b5圆过点(2,—)，过点F 2且不平行于坐标轴的直线I 交椭圆与P,Q 两点，点Q 关于x 轴的对称点为R ，直线3PR 交x 轴于点M •(1 )求VPFQ 的周长;直的射线与椭圆 C 分别交于M ，N 两点. (2)若椭圆C 的焦距为2,是否存在定圆与直线 MN 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明 理由.椭圆上异于A, B 的任意-一点，直线TA,TB 的斜率之积为 (1)求椭圆C 的方程；2 2 _14. (2020河北高三期末)设椭圆 C:% % 1 (a b 0)的一个焦点为 C'2,0)，四条直线x a , a by b 所围成的区域面积为(1 )求C 的方程；_ _ 1(2)设过D(0,3)的直线l 与C 交于不同的两点 代B ,设弦AB 的中点为M ，且|OM I ? I AB I ( O 为原11. (2020河南高三期末)已知椭圆x y a 2 b 23b 0过点1,-，过坐标原点O 作两条互相垂(1)证明：当a 2 9b 2取得最小值时，椭圆C 的离心率为2x12. (2020四川高三月考)已知椭圆 C:-rab 0的短轴顶点分别为 AB ,且短轴长为2,T 为2⑵设O 为坐标原点，圆O : x3的切线I 与椭圆 4C 相交于P,Q 两点，求△ POQ 面积的最大值.13. (2020内蒙古高三)已知椭圆b 0的离心率为丄6,以原点O 为圆心，椭圆C 的3长半轴长为半径的圆与直线 2x J2y0相切.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)已知点A , B 为动直线y0与椭圆C 的两个交点，问：在 x 轴上是否存在定点 E ,使得 Euu 2 E A A B 为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值；若不存在，请说明理由点分别为A .(1)求椭圆E 的标准方程;1 )为椭圆E 上一点，点B 关于x 轴的对称点为C ，直线AB , AC点),求直线I 的方程•15. (2020山东高三期末)已知椭圆1 ( a b 0)的短轴长和焦距相等，左、右焦点分别为F i 、满足:2a •已知直线I 与椭圆C 相交于A , B 两点.(1)求椭圆C 的标准方程;ujur (2)若直线I 过点F 2，且AF 2 unn2F 2B ，求直线I 的方程;(3)若直线I 与曲线y In x 相切于点T t,l nt (t 0)，且AB 中点的横坐标等于2―，证明：符合题意3的点T 有两个，并任求出其中一个的坐标1(a b 0)过点M (1,1)离心率为求菱形ABCD 面积的最小值•17. (2020福建省福州第一中学高三开学考试)已知2 2O 为坐标原点，椭圆E :卑占 1 a a bb 0的焦距为2.3，直线y x 截圆O : x 2y 22a 与椭圆E 所得的弦长之比为-10，椭圆E 与y 轴正半轴的交2(2)设点 B x 0,y 0 ( y ° 0 且 y °QF i2 2(2)如图，若菱形 ABCD 内接于椭圆 ，分别交x 轴于点M , N •试判断OM ON 是否为定值？若是求出该定值，若不是定值，请说明理由23 1b21（a b 0）过点P1,2，且离心率为2（1）求椭圆C 的方程;3（2）已知点Q 1, 2是椭圆上的点，A，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，当A,B 运动时，满足APQBPQ ，试问直线 AB 的斜率是否为定值？请说明理由 •弦长为2 2 •（1） 求椭圆C 的方程；（2） 已知点M （1,「2），斜率为 2的直线I 与椭圆C 交于不同的两点 A , B ，当△ MAB 的面积最大时,求直线I 的方程•2 2C : X y 与 1(a b 0) , F 为椭圆C 的右焦点， a b（1） 求椭圆C 的标准方程；| PF |（2） 斜率为k 的直线l 过点F 交椭圆C 于M , N 两点，线段MN 的中垂线交x 轴于点P ，试探究是| MN |18. （2020江西高三期末）已知椭圆19. （2020甘肃高三期末）设椭圆0）的离心率是—2，直线x21被椭圆C 截得的D 1,丄6为椭圆220. （2020江西高三期末）已知椭圆否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由离为2，(1 )试求椭圆M 的方程；1 3 (2)若斜率为一的直线|与椭圆M 交于C 、D 两点，点P(1, —)为椭圆M 上一点，记直线PC 的斜率为K ，22直线PD 的斜率为k 2，试问：k 1 k 2是否为定值？请证明你的结论22. (2020四川高三期末)在平面直角坐标系中，已知点A( 2,0) , B(2,0)，动点P(x,y)满足直线AP 与BP 的斜率之积为3.记点P 的轨迹为曲线C .4(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；1⑵若M , N 是曲线C 上的动点，且直线 MN 过点D 0,，问在y 轴上是否存在定点 Q ，使得MQO NQO ?若存在，请求出定点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由2 22,0 ,F 2 2,0是椭圆 C ：a b1a b椭圆C 上一点，当MF 1 F 1F 2时，有MF 2 3MF 1 . (1)求椭圆C 的标准方程;使得 ATF 2 BTF 2恒成立？若存在，求出定点 T 的坐标，若不存在，请说明理由专题三压轴解答题21. (2020青海高三期末)已知椭圆a 2b 21(a b 0)的离心率为短轴的一个端点到右焦点的距23. (2020山西高三期末)已知 F 10的两个焦点,(2 )设过椭圆右焦点 F 2的动直线I 与椭圆交于A,B 两点，试问在x 铀上是否存在与 F 2不重合的定点T ,第二关椭圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、 导数相交汇，每个题一般设置了两个问， 第（1） 问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（ 2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等•这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知 识的密切联系.【考点方向标】 方向一中点问题面积的最大值【答案】 2(1)x82y1；(2)22.【解析】（1）设椭圆C 的焦距为 2c c 0，由题知，点P c,2，b 2，则有c 2豆22 2c, ~1a3「 22 2 2，又 a b c 2 c , 42a 8 , c 26 ,2a22 2因此，椭圆C 的标准方程为 —1 ；8 2（2）当AB x 轴时，M 位于x 轴上，且OM AB ,典例1. （2020 •山东高三期末）已知椭圆1 a .2的右焦点为F , P 是椭圆C 上一点,PF x 轴, PF(1) 求椭圆 C 的标准方程;(2) 若直线 I 与椭圆C 交于A 、 B 两点, 线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点，且OM J 2，求AOBOM 屉可得AB 逅，此时S AOB OM AB 灵;AB不垂直x轴时, 设直线AB 的方程为kx t，与椭圆交于 A x i,y i ,B X2, y2 ,x2 2y2kx 1，得 1 4k2 28ktx 4t 0.X i X28kt2，1 4k2x1x24t28，从而1 4k24 kt4k2'1t4k2已知OM .2，可得t22 1 4k2 21 16k2Q AB k2 2 4x1x2k28kt4k24t284k216 8k2t2 2224k2设O到直线AB的距离为d，则d2t2 1 k2S2AOB 16 8k2t221 4k2 2t2k2.将t22 1 4k216k2 16k2当且仅当P22—代入化简得S2AOB P，则S2AOB3时取等号,综上：AOB的面积最大,【举一反三】192k24k2 116k2 22 2192k 4k 12 21 16k12 p 1 P4-2P4.此时AOB的面积最大,最大值为2.(2020 •河南南阳中学高三月考) 已知椭圆2XC： Ta最大值为2.2& 1(a b 0)的一个焦点与抛物线 4.3x的焦点重合，且椭圆C的离心率为(1)求椭圆C的标准方程;(2)直线|交椭圆C于A、B两点，线段AB的中点为M (1,t)，直线m是线段AB的垂直平分线，求证:直线m 过定点，并求出该定点的坐标.3综上所述，直线 m 过定点 ,0 .4方法二：显然点 M(1,t)在椭圆C 内部，故—3 t2当直线l 的斜率存在且不为0时，设A(X 1,yJ ， B(X 2,y 2)，2 2则有 M y 121，x2 y 21，44两式相减得―一空 (y 1 y 2)( y 1 y 2) 0.42【答案】(1)1 y 241 ；( 2)直线m 过定点3,0，详见解析•4【解析】(1)抛物线y4、,3X 的焦点为c.3,0)，则ca%2 ,3.椭圆C 的离心率eCa3，则 a 2,b 2a 22c 21.故椭圆C 的标准方程为 2x 2彳xr y1.(2)方法一：显然点 M (1,t)在椭圆C 内部，故■J 2 t 3，且直线 2I 的斜率不为0.当直线I 的斜率存在且不为 0时，易知t 0，设直线I 的方程为y k(x 1) t ，代入椭圆方程并化简得(12 2 2 2 24k 2 )x 2 (8 kt 8k 2)x 4k 28 kt 4t 20.设 Ag%)，B(X 2,y 2)，2nt[8kt 8k则 x 1 x 21 4k 22，解得k丄4t因为直线m 是线段AB 的垂直平分线，故直线 m: y t4t(x 1)，即 y t(4x 3).3令4x 3 0，此时x ,y40,于是直线m 过定点当直线I 的斜率不存在时，易知t 0，此时直线m:3，故直线m过定点訐.3，且直线l 的斜率不为0 .2由线段AB 的中点为M(1,t)，则x , x 22,y y 2 2t ,因为直线m 是线段AB 的垂直平分线，故直线 m: y t3 ,y 0，于是直线m 过定点43，故直线m 过定点 ,0 .4综上所述，直线 m 过定点 ,0 .4方向二垂直问题【答案】(1)且直线AB, DE 斜率均存在且不为0,现设点A x-], y 1 , B x 2, y 2 ,故直线l 的斜率k 生丄x 1 x 24t 4t(x 1)，即 y t(4x 3).令4x 30 ,此时x当直线l 的斜率不存在时, 易知 t 0，此时直线m : y2書1(abb 0)的离心率e 辽，且过点2f)-(2)如图，过椭圆C 的右焦点F 作两条相互垂直的直线 AB, DE 交椭圆分别于 代B,D, E ,且满足uuuv 1 uuv AM -AB ,2uuu v DN1 uuu/ -DE , 2MNF 面积的最大值.【解析】(1) 根据条件有uuuu 1 uuu (2)根据 AM AB ,2a 21 2a 2uur CN 2b 2 32 4b，解得a 211 uuuCD 可知, 2 22x 2,b1，所以椭圆C ：—M ,N 分别为AB,DE 的中点, y 2 1 •典例2. (2020 安徽期末)已知椭圆(1)求椭圆C 的方程;直线AB 的方程为x my 1，不妨设m 0 ,联立椭圆C 有m 2 2 2my 1 0,根据韦达定理得：y 1 y 22m齐，为x 2 m…2 m m 2 2,m 2 2MF竺m 一1，同理可得NF2所以 MNF 面积SMNF!|MF 2NF1 m -m, 1 ' m - m一，现令2那么 SMNF t 4F4t 1 ~~2 t 所以当t 2, m1时, MNF 的面积取得最大值 【举一反三】 (2020 •吉林东北师大附中高三月考)已知椭圆 C : 2 x _2 a点，且PF 与x 轴垂直, A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，且中0是坐标原点• (1)求椭圆C 的方程. (2)若过点F 的直线l 1, 12互相垂直，且分别与椭圆 C 交于点M面积S 的最小值. 2 I 答案】(1) f y2 1; (2)垃 9 b 2【解析】(1)依题意画出下图可设 P( c, —) , A(a,0) , B(0,b),a211 m 22AB POP 的左焦点为F ，P 是C 上一一1，且 POB 的面积是丄，其2T 四点，求四边形MSNT 的k ABb 2 ac则有: SPOBb 2c 2 1bc22abaa 、2，解得 b 1c 1 2 i 椭圆c 的标准方程为x 2 y 2 1； (2) i 当 11 x , J//X 时, S MSNT 2g2ag2^ 2b2 2； i 当11 ,I 2斜率存在时，设l i : x ky I 2: x 1y 1，分别联立椭圆方程 k y 2 1,联立 x 2 x2ky 1 得k 21 2 y 2 2ky i y 1y 2 2k 2，y 』21 ~2~ k2 21 MN ■■ k2 1 \ y 1 2y 24 y 1 y 22k k 2 24 k 2 22 2 k 2 k 2同理ST 2-2 丄 1 ___ k 2 丄 7 2.2 1 k 1 2k 2i S 1MNgST 2 28 k 21 2 1 2g k 2 2 2k 2 1 224 k 21 k2 2 2k 2 1212 2k 2 2k1)224 k 22 2 24(k 1) 9 k 2 1 2当且仅当k 2 2 2k 2 1 即 k 21 即 k 1时等号成立,故四边形MSNT 的面积S 的最小值S min16 912方向三面积问题2典例3. (2020 •安徽高三月考)已知椭圆 E ：仔aa b 0的左焦点为F 1,0，经过点F 的直线与椭圆相交于 M , N 两点，点p 为线段MN 的中点, 点0为坐标原点.当直线MN 的斜率为1时，直线1OP 的斜率为2(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若点A 为椭圆的左顶点，点 B 为椭圆的右顶点，过F 的动直线交该椭圆于 C ，D 两点，记 ACD 的面积为3 , BCD 的面积为S 2，求S 23的最大值.2 所以椭圆E 的标准方程为—22【答案】(1)- 2y 21 (2)2【解析】(1 )设M x,y i , NX 2,y 2，则点PX , X 2 2宁，由条件知直线MN 的斜率为y i y 2 , 1,XX直线OP 的斜率为y , y 2X X 22X而a2 22X Lb 2y b 2，两式作差得，2 Xi2a2 X22 y 2b 2b 2所以二a 2X L 2 Xi2 y2 2 X2y 1 y 2 X-i X 2 又左焦点为1,0， 所以c 2y 1 y 2 X i-，即22b 2,b 2 2 22b b b 2(2)设直线CD 的方程为xmy 1 ，记C ， D 过标为 X 1,y 1 ， X 2,y 2 ，则 S , L |AF2y 1 y 2 y 1 y 2，y 1 y 2y i y 2，所以S 2 Sy 1 y 2.2 2【答案】（1） — — 1 ； （ 2）是定值，其定值为•' 6 •42ca22c c 0，由题意可得2 a2 a22 1 -2 1 ,解得 a 24，b 2 2，b b 2c 22 2因此，椭圆C 的标准方程为— 1 ；42（2）当直线|的斜率不存在时，直线 MN 的方程为x 1或x 1.联立方程,x 2 2y 22，消去x ，得 m 2 所以 y iy 2y iy 28 m 2 12所以 S 2 S 1典例 (1) (2) my2m m 2 28t t 1 2y 1 y 2y”24y i y 22 y 22my 1 0,1 m2 2 8 m 2122、、2，即 S4. （2020河南高三月考）已知椭圆求椭圆C 的标准方程;设直线I 与C 交于M 、N 两点,，令t2，当且仅当t2x c r a点D 在椭圆 C 上, 形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值; 1，则t i ，且1时等号成立,b 0的离心率O 是坐标原点，若 如果不是， 请说明理由e 2，且椭圆过点2,12uuu vOMONV ODV ，判定四边【解析】（1）设椭圆C 的焦距为12x 1x 1若直线I的方程为x1，联立x2y2，可得V6，一—1y4 22此时，MN晶，四边形OMDN的面积为丄苗2恵，2同理，当直线I 的方程为x 1时，可求得四边形 OMDN 的面积也为,6 ;当直线 I 的斜率存在时，设直线I 方程是y kx m , 代人到 2k 2 x 2 4kmx 2m 2 4 X i X 24 km 2， 1 2k x 1x 2 2m 2 4 1 2k 2 ' 2 8 4k 2 2y i y 2 k x i x 2 加半, 1 k 2 MN .i k 2 X i X 2 、i k 2 、 x i2x 24x 1x 22、〔2 一 4k 2 2 m 21 2k 2'点O 到直线MN 的距离d .1 k 2 ' 丄 uuun umr由 OM 0C OD ，得 XD X i X 2 4 km2k 2 1 y D y i y 22 ?2k Q 点D 在椭圆 C 上，所以有 4 km 1 2k 2 4 2m 1 2k 2，整理得2k 2c 22m ,由题意知，四边形 OMDN 为平行四边形, 平行四边形OMDN的面积为 S OMDN 2S OMN 2丄|MN2d 、i k 22.2 4k 2 2 m 2i 2k 2,i k 22 2 2 8k 4 2m 2 2k 2 1 8k 2 4 2k 21i 2k 2 2k 2 i 2k 2 1 -2 6 . 2k 1故四边形OMDN 的面积是定值，其定值为 【举一反三】 （2020 •全国高三专题练习）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :£ i a > b >。
高三数学椭圆试题答案及解析
高三数学椭圆试题答案及解析1.椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当的面积为时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）直线方程为：或.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由于椭圆过点A，将A点坐标代入得到a和b的关系式，再利用椭圆的离心率得到a与c的关系式，从而求出a和b，得到椭圆的标准方程；第二问，过的直线有特殊情况，即当直线的倾斜角为时，先讨论，再讨论斜率不不为的情况，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到和，代入到三角形面积公式中，解出k的值，从而得到直线方程.试题解析：（1）因为椭圆过点，所以①，又因为离心率为，所以，所以②，解①②得.所以椭圆的方程为：（4分）（2）①当直线的倾斜角为时，,，不适合题意。
（6分）②当直线的倾斜角不为时，设直线方程，代入得：（7分）设，则,,，所以直线方程为：或（12分）【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式.2.如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点.的最大值是，的最小值是，满足.(1) 求该椭圆的离心率；(2) 设线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点.记的面积为，的面积为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的离心率、椭圆与直线相交问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，设出F点坐标，数形结合，根据椭圆的性质，得到代入已知中，得到，计算出椭圆的离心率；第二问，根据题意，设出椭圆方程和直线方程，两方程联立，消参，利用韦达定理，得到和，利用三角形相似得到所求的比例值，最后求范围.试题解析：(1) 设，则根据椭圆性质得而，所以有，即，，因此椭圆的离心率为. （4分）(2) 由(1)可知，，椭圆的方程为.根据条件直线的斜率一定存在且不为零，设直线的方程为，并设则由消去并整理得从而有，（6分）所以.因为，所以，.由与相似，所以. （10分）令，则，从而，即的取值范围是. （12分）【考点】椭圆的标准方程、椭圆的离心率、椭圆与直线相交问题.3.椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为．(1) 求椭圆的标准方程；(2) 若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）；（2）证明详见解析，.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆相交问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用椭圆的离心率和左焦点到点P 的距离列出方程组，解出基本量a，b，c，从而得到椭圆的标准方程；第二问，用直线与椭圆联立，消参得到关于x的方程，利用韦达定理得到和，由于AB为直径的圆过椭圆右顶点A2(2,0) ，所以，利用向量的数量积的运算公式，将前面的式子都代入，得到或 m = －2k，经验证都符合题意，则分别求出定点坐标，再验证，最终得到结论.试题解析：（1）由题：①左焦点 (－c,0) 到点 P(2,1) 的距离为：② 2分由①②可解得c =" 1" ， a =" 2" ， b 2 = a 2－c 2 = 3． 3分∴所求椭圆 C 的方程为． 4分（2）设 A(x1,y1)、B(x2,y2)，将 y =" kx" + m代入椭圆方程得(4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2－12 = 0．∴，， 6分且y1 = kx1+ m，y2= kx2+ m．∵AB为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ，所以． 7分所以 (x1－2,y1)·(x2－2,y2) = (x1－2) (x2－2) + y1y2= (x1－2) (x2－2) + (kx1+ m) (kx2+ m)= (k 2 + 1) x1x2+ (km－2) (x1+ x2) + m 2 + 4= (k 2 + 1)·－(km－2)·+ m 2 + 4 =" 0" ． 10分整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0．∴或 m = －2k 都满足△ > 0． 12分若 m = －2k 时，直线 l 为 y = kx－2k =" k" (x－2) ，恒过定点 A2(2,0)，不合题意舍去； 13分若时，直线 l 为，恒过定点． 14分【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆相交问题.4.已知△ABC的周长为12，顶点A，B的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，C为动点．(1)求动点C的轨迹E的方程；(2)过原点作两条关于y轴对称的直线(不与坐标轴重合)，使它们分别与曲线E交于两点，求四点所对应的四边形的面积的最大值．【答案】（1）＋＝1(x≠±4)（2）16【解析】(1)由题意知|CA|＋|CB|＝12－4＝8>|AB|，所以C的轨迹E为椭圆的一部分．由a＝4，c＝2，可得b2＝12．故曲线E的方程为＋＝1(x≠±4)．(2)设两直线的方程为y＝kx与y＝－kx(k>0)．记y＝kx与曲线E在第一象限内的交点为(x0，y)，由，可得x2＝．结合图形的对称性可知：四交点对应的四边形为矩形，且其面积S＝2x0·2y＝4kx2＝．因为k>0，所以S＝≤＝16 (当且仅当k＝时取等号)．故四边形面积的最大值为16．5.椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，两焦点F1，F2之间的距离为2，椭圆上第一象限内的点P满足PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为1．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若椭圆C的右顶点为A，直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M，N，且满足AM⊥AN．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）＋y2＝1 （2）见解析【解析】(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，因为|F1F2|＝2，所以c＝，由S△PF1F2＝1，得|PF1||PF2|＝2，又由PF1⊥PF2，得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝12，即(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝12，即4a2－4＝12，a2＝4，b2＝a2－3＝1，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1．(2)由方程组，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)>0，整理得4k2－m2＋1>0．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝．由AM⊥AN且椭圆的右顶点为A(2,0)，得(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，因为y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，所以(1＋k2)x1x2＋(km－2)(x1＋x2)＋m2＋4＝0，即(1＋k2)·＋(km－2)·＋m2＋4＝0，整理得：5m2＋16mk＋12k2＝0，解得m＝－2k或m＝－，均满足4k2－m2＋1>0．当m＝－2k时，直线的l方程为y＝kx－2k，过定点(2,0)，与题意矛盾，舍去；当m＝－时，直线l的方程为y＝k(x－)，过定点(，0)，符合题意．故直线l过定点，且定点的坐标为(，0)．6.已知P是圆M：x2+y2+4x+4-4m2=0(m>0且m≠2)上任意一点，点N的坐标为(2，0)，线段NP的垂直平分线交直线MP于点Q，当点P在圆M上运动时，点Q的轨迹为C.（1）求出轨迹C的方程，并讨论曲线C的形状；（2）当m=时，在x轴上是否存在一定点E，使得对曲线C的任意一条过E的弦AB，为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）当m>2，，轨迹是以、为焦点的椭圆，其方程为；当m<2，轨迹是以、为焦点的双曲线，其方程为；（2）定点，定值为6.【解析】（1）利用线段的垂直平分线交直线于点，当时，根据椭圆的定义，即可求出轨迹的方程；当时，根据双曲线的定义，即可求出轨迹的方程；（2）当时，轨迹必为椭圆方程，设，分别过E取两垂直与坐标轴的两条弦CD，，根据求出E若存在必为定值为6.再进行证明．存在性问题，先猜后证是关键.再设设过点E的直线方程，代入椭圆方程，消去，设，，利用一元二次方程的根与系数的关系，求得为定值6.（1）由题意，，所以，所以轨迹是以、为焦点，以为长轴的椭圆，当m>2，，轨迹是以、为焦点的椭圆，其方程为；当m<2，轨迹是以、为焦点的双曲线，其方程为（4分）（2）由（1）当时，曲线C为，设，分别过E取两垂直于坐标轴的两条弦CD，，则，即解得，∴E若存在必为定值为6.（6分）下证满足题意.设过点E的直线方程为，代入C中得:，设、，则，，（8分）.同理可得E也满足题意.综上得定点为E，定值为（13分）【考点】直线和圆的方程的应用，圆锥曲线的定义、性质与方程，轨迹方程的问题.7.已知椭圆的焦点为，点是椭圆上的一点，与轴的交点恰为的中点， .（1）求椭圆的方程；（2）若点为椭圆的右顶点，过焦点的直线与椭圆交于不同的两点,求面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据已知分析可得点横坐标为1，纵坐标为,，即点。
2024全国高考真题数学汇编：椭圆(1)精选全文完整版
2024全国高考真题数学汇编椭圆一、单选题1．（2024全国高考真题）已知曲线C ：2216x y （0y ），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ，P 为垂足，则线段PP 的中点M 的轨迹方程为（）A ．221164x y（0y ）B ．221168x y （0y ）C ．221164y x （0y ）D ．221168y x （0y ）二、解答题2．（2024天津高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b椭圆的离心率12e ．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △(1)求椭圆方程．(2)过点30,2的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．3．（2024北京高考真题）已知椭圆E ： 222210x y a b a b，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点 0,t t 且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和 0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．4．（2024全国高考真题）已知(0,3)A 和33,2P 为椭圆2222:1(0)x yC a b a b上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．5．（2024全国高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b的右焦点为F ，点31,2M 在C 上，且MF x 轴．(1)求C 的方程；(2)过点 4,0P 的直线交C 于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y 轴．参考答案1．A【分析】设点(,)M x y ，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ，代入圆的方程即可求解.【详解】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x ，因为M 为PP 的中点，所以02y y ，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y 上，所以22416(0)x y y ，即221(0)164x y y ，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y .故选：A2．(1)221129x y (2)存在 30,32T t t，使得0TP TQ 恒成立.【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.（2）设该直线方程为：32y kx， 1122,,,,0,P x y Q x y T t ，联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t 表示TP TQ，再根据0TP TQ 可求t 的范围.【详解】（1）因为椭圆的离心率为12e，故2a c，b ，其中c 为半焦距，所以2,0,0,,0,2A c B C，故122ABC S c △故ca ，3b ，故椭圆方程为：221129x y .（2）若过点30,2的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：32y kx ，设 1122,,,,0,P x y Q x y T t ，由22343632x y y kx可得223412270k x kx ，故 222Δ144108343245760k k k 且1212221227,,3434k x x x x k k而 1122,,,TP x y t TQ x y t，故121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t22121233122kx x k t x x t22222731231342342k k k t t kk2222222327271812332234k k k t t t k k22223321245327234t t k t k，因为0TP TQ 恒成立，故 223212450332702t t t，解得332t .若过点30,2的动直线的斜率不存在，则 0,3,0,3P Q 或 0,3,0,3P Q ，此时需33t ，两者结合可得332t.综上，存在 30,32T t t，使得0TP TQ 恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.3．(1)221,422x y e(2)2t 【分析】（1）由题意得b c a ，由此即可得解；（2）设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立椭圆方程，由韦达定理有2121222424,1221kt t x x x x k k ，而 121112:y y AD y x x y x x ，令0x ，即可得解.【详解】（1）由题意b c，从而2a ，所以椭圆方程为22142x y，离心率为e；（2）直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立22142x y y kx t，化简并整理得222124240k x ktx t ，由题意 222222Δ1682128420k t k t k t ，即,k t 应满足22420k t ，所以2121222424,1221kt t x x x x k k ，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设 22,D x y ，所以 121112:y y AD y x x y x x，在直线AD 方程中令0x ，得 2122112121221121212422214C k t x kx t x kx t kx x t x x x y x y y t x x x x x x kt ，所以2t ，此时k 应满足222424200k t k k，即k应满足2k或2k ，综上所述，2t满足题意，此时2k或2k .4．(1)12(2)直线l 的方程为3260x y 或20x y .【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设 00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx ，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3:(3)2PB y k x，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【详解】（1）由题意得2239941b a b，解得22912b a ，所以12e .（2）法一：3312032APk，则直线AP 的方程为132y x ，即260x y ，AP 1）知22:1129x y C ，设点B 到直线AP 的距离为d，则d则将直线AP 沿着与AP 此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ，6C 或18C ，当6C 时，联立221129260x y x y，解得03x y 或332x y ，即 0,3B 或33,2，当 0,3B 时，此时32l k，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，当33,2B时，此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，当18C 时，联立2211292180x y x y得22271170y y ，227421172070 ，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP 的距离d设 00,B x y，则220012551129x y，解得00332x y 或0003x y ，即 0,3B 或33,2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP的距离d设,3sin B ，其中 0,2联立22cos sin 1，解得cos 21sin 2或cos 0sin 1，即 0,3B 或33,2，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时 0,3B ，16392PAB S ，符合题意，此时32l k ，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx ，联立椭圆方程有2231129y kx x y，则2243240k x kx ，其中AP k k ，即12k ，解得0x 或22443kx k，0k ，12k ，令22443k x k ，则2212943k y k ，则22224129,4343k k B k k同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP的距离d，解得32k =，此时33,2B，则得到此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A到PB 距离3d ，此时1933922ABP S 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x，令 1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y，消y 可得 22224324123636270k x k k x k k ，2222Δ24124433636270k kk k k ，且AP k k ，即12k ，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k，A 到直线PB距离192PAB d S，12k或32，均满足题意，1:2l y x 或332y x ，即3260x y 或20x y .法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A到PB 距离3d ，此时1933922ABP S 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(2l y k x，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x ，则30,32Q k，联立223323436y kx k x y，则有2223348336362702k x k k x k k ，2223348336362702k xk k x k k，其中22223Δ8343436362702k k k k k，且12k ，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k，则211312183922234P B k S AQ x x k k，解的12k 或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x或332y x ，即3260x y 或20x y .5．(1)22143x y (2)证明见解析【分析】（1）设 ,0F c ，根据M 的坐标及MF x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设:(4)AB y k x ， 11,A x y ， 22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y ，结合韦达定理化简前者可得10Q y y ，故可证AQ y 轴.【详解】（1）设 ,0F c ，由题设有1c 且232b a ，故2132a a ，故2a，故b ，故椭圆方程为22143x y .（2）直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x ， 11,A x y ， 22,B x y，由223412(4)x y y k x 可得 2222343264120k x k x k ，故 422Δ102443464120k k k ，故1122k ，又22121222326412,3434k k x x x x k k ，而5,02N，故直线225:522y BN y x x ，故22223325252Qy y y x x，所以 1222112225332525Q y x y y y y y x x12224253425k x x k x x222212122264123225825834342525k k x x x x k k k kx x2222212824160243234025k k k k k x ，故1Q y y ，即AQ y 轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为 1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意 的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x 、12x x （或12y y 、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.。
高三数学椭圆常考题型
高三数学椭圆常考题型一、椭圆的基本性质椭圆是一种常见的二次曲线，具有以下基本性质：1. 椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0)。
2. 椭圆的焦点距离为：c = sqrt(a^2 - b^2)。
3. 椭圆的离心率e = c/a，离心率的取值范围是[0,1]。
4. 椭圆的准线方程为：x = ±a^2/c。
二、常考题型及解析1. 椭圆的定义与标准方程【例1】已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为1/2，且椭圆C上一点到两焦点的距离之和为4。
(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 若AB是过椭圆C中心的弦，M是AB的中点，且|AB| = 4√5，求线段AB 的长。
【解析】(1) 根据题意，设椭圆C的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0)。
由离心率的定义，我们有e = c/a = 1/2。
再根据椭圆的定义，到两焦点的距离之和为4，所以2a = 4，即a = 2。
由离心率的定义和已知条件，我们可以得到b = sqrt(a^2 - c^2) = sqrt(4 - 1) = sqrt3。
所以椭圆C的标准方程为：x^2/4 + y^2/3 = 1。
(2) 设AB的方程为y = kx + t。
代入椭圆方程得到二次方程(3 + 4k^2)x^2 +8ktx + 4t^2 - 12 = 0。
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则有x1 + x2 = -8kt/(3 + 4k^2)，x1x2 = (4t^2 - 12)/(3 + 4k^2)。
由弦长公式得|AB| = sqrt((x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2) = sqrt((1 + k^2)(x1 - x2)^2) = sqrt((1 + k^2)[(x1 + x2)^2 - 4x1x2])。
将已知条件代入得到k 和t 的关系，进一步求出线段AB的长为8sqrt(3-k^2)。
高三数学椭圆试题答案及解析
高三数学椭圆试题答案及解析1.椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当的面积为时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）直线方程为：或.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由于椭圆过点A，将A点坐标代入得到a和b的关系式，再利用椭圆的离心率得到a与c的关系式，从而求出a和b，得到椭圆的标准方程；第二问，过的直线有特殊情况，即当直线的倾斜角为时，先讨论，再讨论斜率不不为的情况，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到和，代入到三角形面积公式中，解出k的值，从而得到直线方程.试题解析：（1）因为椭圆过点，所以①，又因为离心率为，所以，所以②，解①②得.所以椭圆的方程为：（4分）（2）①当直线的倾斜角为时，,，不适合题意。
（6分）②当直线的倾斜角不为时，设直线方程，代入得：（7分）设，则,,，所以直线方程为：或（12分）【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式.2.已知A、B是椭圆上的两点，且，其中F为椭圆的右焦点.（1）当时，求直线AB的方程;（2）设点，求证:当实数变化时，恒为定值.【答案】（1）；（2）见解析。
【解析】（1）利用A、F、B共线及其所在位置，找出λ满足的关系式，求出范围；（2）假设这样的M点存在，利用为定值寻求相应点的坐标.试题解析：（1）由已知条件知，直线过椭圆右焦点.又直线不与轴重合时，可设，代入椭圆方程，并整理得.设，由根与系数的关系得，.又由得，所以，.于是，解之得.故直线AB的方程为.（7分）（2）为定值.（经检验，当与轴重合时也成立）（13分）【考点】【考点】直线与椭圆的位置关系，平面向量3.设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A．－＝1B．＋＝1C．－＝1D．＋＝1【答案】D【解析】M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆，∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，∴椭圆的标准方程为＋＝1．4.已知椭圆C：（）的左焦点为，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设O为坐标原点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积.【答案】(1) ；（2）【解析】（1）由已知得：，，所以，再由可得，从而得椭圆的标准方程. ）椭圆方程化为.设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.面积，而，所以只要求出的值即可得面积.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.再结合韦达定理即可得的值.试题解析：（1）由已知得：，，所以又由，解得，所以椭圆的标准方程为：.（2）椭圆方程化为.设T点的坐标为，则直线TF的斜率.当时，直线PQ的斜率，直线PQ的方程是当时，直线PQ的方程是，也符合的形式.将代入椭圆方程得：.其判别式.设，则.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.所以，解得.此时四边形OPTQ的面积.【考点】1、直线及椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、三角形的面积.5.圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）.（1）求点P的坐标；（2）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线交于A，B两点，若的面积为2，求C的标准方程.【答案】（1）；（2）【解析】（1）首先设切点，由圆的切线的性质，根据半径的斜率可求切线斜率，进而可表示切线方程为，建立目标函数．故要求面积最小值，只需确定的最大值，由结合目标函数，易求；（2）设椭圆标准方程为，点在椭圆上，代入点得①，利用弦长公式表示，利用点到直线距离公式求高，进而表示的面积，与①联立，可确定，进而确定椭圆的标准方程．（1）设切点坐标为．则切线斜率为．切线方程为．即．此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积．由知当且仅当时，有最大值．即有最小值．因此点的坐标为．（2）设的标准方程为．点．由点在上知．并由得．又是方程的根，因此，由，，得．由点到直线的距离为及得．解得或．因此，（舍）或，．从而所求的方程为．【考点】1、直线方程；2、椭圆的标准方程；3、弦长公式和点到直线的距离公式．6.已知抛物线的准线与椭圆相切，且该切点与椭圆的两焦点构成的三角形面积为2,则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】抛物线的准线为又抛物线的准线与椭圆相切，所以，且切点为下顶点因为该切点与椭圆的两焦点构成的三角形面积为2，所以，即得由得所以故选【考点】抛物线和椭圆的简单几何性质；椭圆的离心率.7.已知双曲线的渐近线方程为，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．1【答案】A【解析】由题意知在双曲线中得，在椭圆中，所以离心率为.选．【考点】椭圆、双曲线的几何性质.8.已知椭圆C： (a>b>0)的离心率为，且椭圆C上一点与两个焦点F1，F2构成的三角形的周长为2+2．(1)求椭圆C的方程；(2)过右焦点F2作直线l 与椭圆C交于A，B两点，设，若，求的取值范围．【答案】(1) ； (2)【解析】(1)由题设知椭圆的标准方程为(2)因为当直线的斜率不存在时，，不适合题意，所以直线的斜率存在，设为，直线的方程为，它与椭圆的两交点坐标，则由得通过方程组，借助韦达定理，得到，结合得到与的关系式，并且可由得到的取值范围；另一方面，因为由前述的取值范围可使问题得到解决.试题解析：解：(1)由题意知：，且， 2分解得， 3分椭圆的方程为 . 4分(2)由题意得直线的斜率存在，右焦点，可设直线的方程为：由得由题意设，则 6分由得 7分9分令，在上单调递增，可得故，解得 2分= 13分即的取值范围是 14分【考点】1、椭圆的标准方程；2、平面向量的数乘运算与数量积；3、直线与椭圆的位置关系. 9.如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限的公共点．若|F1F2|＝|F1A|，则的离心率是（）．A．B．C．D．【答案】【解析】由题意知，的离心率是，故选【考点】椭圆、双曲线的几何性质.10.已知椭圆：（）的右焦点，右顶点,且．(1)求椭圆的标准方程；（2）若动直线：与椭圆有且只有一个交点，且与直线交于点,问：是否存在一个定点,使得.若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1);(2)详见解析.【解析】（1）根据椭圆的右焦点，右顶点，且，求出椭圆的几何量，即可求椭圆的标准方程；（2）直线：，代入椭圆方程，结合，求出的坐标(参数表示)，求出向量的坐标，利用，进行整理，如果为定值，那么不随的变化而变化，建立关于的方程，即可得出结论．此题属于中等题型，关键表示出P点坐标，转化为过定点恒成立的形式.试题解析：（1）由，，椭圆C的标准方程为. 4分得：， 6分.,,即P. 9分M.又Q，，，+=恒成立，故，即.存在点M（1,0）适合题意. 12分【考点】直线与圆锥的综合问题11.如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点，点A是长轴的一个端点，BC 过椭圆中心O，且，|BC|＝2|AC|．(1)求椭圆E的方程；(2)在椭圆E上是否存点Q，使得？若存在，有几个（不必求出Q点的坐标），若不存在，请说明理由．（3）过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作的两条切线，切点分别为M、N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：为定值．【答案】（1）；（2）满足条件的点Q存在，且有两个.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质，考查学生的转化思想和数形结合思想，考查分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，先由长轴长得到a的值，设出椭圆的标准方程，利用已知条件数形结合得到C点坐标，将C点坐标代入到椭圆中，得到b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，先设出Q点坐标，利用已知等式计算，可知点Q在直线上，点在直线上，而在椭圆内部，数形结合得存在点Q而且存在2个；法二：用和椭圆方程联立消参，得到关于x的方程，看方程的判别式，判别式大于0时，方程有2个根，则直线与椭圆有2个交点；第三问，设出点P的坐标，由切线的性质得四点共圆，此圆的圆心为，直径为OP，得到此圆的方程，M、N既在此圆上，又在圆O上，2个方程联立，解出直线MN的方程，得出截距的值，再转化出P点坐标代入到椭圆中即可；法二：设出点P、M、N的坐标，利用直线的垂直关系，利用斜率列出等式，转化成直线PM和直线PN的方程，从而得到直线MN的方程.试题解析：(1)依题意知：椭圆的长半轴长，则A(2，0)，设椭圆E的方程为 2分由椭圆的对称性知|OC|＝|OB|又∵，|BC|＝2|AC|∴AC⊥BC，|OC|＝|AC|∴△AOC为等腰直角三角形，∴点C的坐标为(1，1)，点B的坐标为(－1，－1)， 4分将C的坐标(1，1)代入椭圆方程得∴所求的椭圆E的方程为 5分（2）解法一：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则即点Q在直线上， 7分∴点Q即直线与椭圆E的交点，∵直线过点，而点椭圆在椭圆E的内部，∴满足条件的点Q存在，且有两个． 9分解法二：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则即，① -7分又∵点Q在椭圆E上，∴，②由①式得代入②式并整理得：， -③∵方程③的根判别式，∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q存在，且有两个． 9分（3）解法一：设点，由M、N是的切点知，,∴O、M、P、N四点在同一圆上， 10分且圆的直径为OP,则圆心为，其方程为， 11分即 -④即点M、N满足方程④，又点M、N都在上，∴M、N坐标也满足方程 -⑤⑤-④得直线MN的方程为， 12分令得，令得， 13分∴，又点P在椭圆E上，∴，即=定值. 14分解法二：设点则 10分直线PM的方程为化简得④同理可得直线PN的方程为 -⑤ 11分把P点的坐标代入④、⑤得∴直线MN的方程为， 12分令得，令得， 13分∴，又点P在椭圆E上，∴，即=定值． -14分【考点】1.椭圆的标准方程；2.四点共圆；3.圆的标准方程.12.已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(-2,0)，且长轴长与短轴长的比为，（1）求椭圆C的方程；（2）设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，设点P是椭圆上的任意一点，若当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据椭圆的中心在原点可以设出椭圆的标准方程，已知焦点坐标，故可求的c值，所以利用长轴长与短轴长之比和a,b,c的关系可以建立关于a,b的两个方程式联立消元即可求的a,b的值，得到椭圆的标准方差.（2）根据题意设点P的坐标，表示,利用点P在椭圆上，得到关于m和P点横坐标的表达式，利用二次函数最值问题，可以得到取得最小值时，m和P点横坐标之间的关系，再利用P横坐标的范围得到m的取值范围即可.试题解析：（1）设椭圆的方程为. 1分由题意有：， 3分解得. 5分故椭圆的方程为. 6分（2）设为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，故. 7分因为，所以10分因为当最小时，点恰好落在椭圆的右顶点，即当时，取得最小值．而，故有，解得． 12分又点在椭圆的长轴上，即． 13分故实数的取值范围是． 14分【考点】椭圆标准方程椭圆几何性质最值13.已知是椭圆上两点，点的坐标为.（1）当关于点对称时，求证：；（2）当直线经过点时，求证：不可能为等边三角形.【答案】（1）详见解析，（2）详见解析.【解析】（1）利用“点代法”求点的坐标关系，在求解过程中证明结论.因为关于点对称，所以，代入椭圆方程得，两式相减得，所以（2）本题实质为“弦中点”问题，设中点为，由“点差法”得又假设为等边三角形时，有所以这与弦中点在椭圆内部矛盾，所以假设不成立.试题解析：（1）证明：因为在椭圆上，所以 1分因为关于点对称，所以， 2分将代入②得③，由①和③消解得， 4分所以. 5分（2）当直线斜率不存在时，，可得，不是等边三角形. 6分当直线斜率存在时，显然斜率不为0.设直线：，中点为，联立消去得， 7分由，得到① 8分又,所以，所以 10分假设为等边三角形，则有，又因为，所以，即， 11分化简，解得或 12分这与①式矛盾，所以假设不成立.因此对于任意不能使得,故不能为等边三角形. 14分【考点】弦中点问题，点代法求点的坐标14.已知动点在椭圆上，为椭圆的右焦点，若点满足且，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得所以【考点】圆的切线长，椭圆定义15.如图，正方形CDEF内接于椭圆，且它的四条边与坐标轴平行，正方形GHPQ的顶点G,H在椭圆上，顶点P，Q在正方形的边EF上．且CD=2PQ=．(1)求椭圆的方程；(2)已知点M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m:≠0)，l交椭圆于A,B两个不同点，求证：直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形．【答案】（1）；（2）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆相交问题等数学知识，考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，由图形分析，利用CD和PQ的边长得出点E和点G的坐标，由于这2点都在椭圆上，联立方程得出和，从而得到椭圆的标准方程；第二问，通过对题意的分析，只需证明直线MA，MB的斜率之和为0即可，设出A，B点坐标，列出2条直线的斜率的表达式，直线与椭圆方程联立消参，得到关于x的方程，列出两根之和与两根之积，而通过转化可以将得到的两根之和与两根之积代入，只要最后化简结果为0即可.试题解析：(1)∵，∴点，又∵，∴点，则，解得，∴椭圆方程.（4分）(2)设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1＋k2＝0即可，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，，直线l方程为，代入椭圆方程消去y，得x2＋2mx＋2m2－4＝0可得x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.（9分）而，（12分）∴k1＋k2＝0，故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.（13分）【考点】1.椭圆的标准方程；2.韦达定理.16.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆＝1的右顶点，点D(1，0)，点P、B在椭圆上，＝.(1) 求直线BD的方程；(2) 求直线BD被过P、A、B三点的圆C截得的弦长；(3) 是否存在分别以PB、PA为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）x＋y－1＝0.（2）4（3）x2＋(y－3)2＝2，(x－2)2＋(y－1)2＝2【解析】1) 设P(x0，y)．因为＝，且D(1，0)，A(3，0)，点B、P在椭圆上，所以B(－x，y 0)，所以x＝1，将其代入椭圆，得y＝2，所以P(1，2)，B(－1，2)．所以直线BD的方程为x＋y－1＝0.(2) 线段BP的垂直平分线方程为x＝0，线段AP的垂直平分线方程为y＝x－1.解方程组得圆心C的坐标为(0，－1)．所以圆C的半径r＝CP＝.因为圆心C(0，－1)到直线BD的距离为d＝＝，所以直线BD被圆C截得的弦长为2 ＝4.(3) 这样的圆M与圆N存在．由题意得，点M一定在y轴上，点N一定在线段PC的垂直平分线y＝x－1上．当圆M与圆N是两个相外切的等圆时，一定有P、M、N在一条直线上，且PM＝PN.M(0，b)，则N(2，4－b)．因为点N(2，4－b)在直线y＝x－1上，所以4－b＝2－1，b＝3.所以这两个圆的半径为PM＝，方程分别为x2＋(y－3)2＝2，(x－2)2＋(y－1)2＝217.P为圆A：上的动点，点.线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为Γ.（1）求曲线Γ的方程；（2）当点P在第一象限，且时，求点M的坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查椭圆的定义和标准方程、圆的方程、直线的方程、直线与曲线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力. 第一问，根据圆的方程得到圆心A的坐标和半径的长，利用垂直平分线得到，而，所以，根据椭圆的定义，判断点M的轨迹为椭圆，得到椭圆的标准方程；根据已知条件先得出P点坐标，从而得到直线AP的方程，利用直线与椭圆相交解出M点坐标，过程中应注意方程根的取舍.试题解析：（1）圆的圆心为，半径等于．由已知，于是，故曲线Γ是以为焦点，以为长轴长的椭圆，，曲线Γ的方程为． 5分（2）由，，得． 8分于是直线方程为．由解得，，．由于点在线段上，所以点坐标为． 12分【考点】1.椭圆的定义及标准方程；2.直线与椭圆的位置关系.18.已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A、B两点,且=3,则C的方程为()(A) +y2=1 (B) +=1(C) +=1 (D) +=1【答案】C【解析】依题意设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),由条件可得A（1,）,B（1,-）,因|AB|= -（-）==3,即2b2=3a,所以解得所以椭圆C的方程为+=1.故选C.19.设直线l:2x+y-2=0与椭圆x2+=1的交点为A,B,点P是椭圆上的动点,则使得△PAB的面积为的点P的个数为.【答案】4【解析】【思路点拨】先求出弦长|AB|,进而求出点P到直线AB的距离,再求出与l平行且与椭圆相切的直线方程,最后数形结合求解.由题知直线l恰好经过椭圆的两个顶点(1,0),(0,2),故|AB|=,要使△PAB的面积为,即··h=,所以h=.联立y=-2x+m与椭圆方程x2+=1得8x2-4mx+m2-4=0,令Δ=0得m=±2,即平移直线l到y=-2x±2时与椭圆相切,它们与直线l的距离d=都大于,所以一共有4个点符合要求.20.已知椭圆C：＝1，过点M(2，0)且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．在x 轴上若存在定点P，使PM平分∠APB，则P的坐标为________．【答案】【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋2.将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得(4m2＋9)y2＋16my－20＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝.若PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以kPA ＋kPB＝0.设P(a，0)，则有＋＝0，将x1＝my1＋2，x2＝my2＋2代入上式，整理得＝0，所以2my1y2＋(2－a)(y1＋y2)＝0.将y1＋y2＝，y1y2＝代入上式，整理得(－2a＋9)·m＝0.由于上式对任意实数m都成立，所以a＝.综上，x轴上存在定点P，使PM平分∠APB.21.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为的直线过点.（1）求该椭圆的方程；（2）设椭圆的另一个焦点为，问抛物线上是否存在一点，使得与关于直线对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）抛物线上存在一点，使得与关于直线对称．【解析】（1）求椭圆的方程，可利用待定系数法求出的值即可，首先确定抛物线的焦点与准线方程为，利用椭圆焦点与抛物线的焦点重合，得，且截抛物线的准线所得弦长为，得交点为，建立方程，求出的值，即可求得椭圆的方程；（2）根据倾斜角为的直线过点，可得直线的方程，由（1）知椭圆的另一个焦点为，利用与关于直线对称，利用对称，可求得的坐标，由此可得结论．试题解析：（1）抛物线的焦点为，准线方程为，∴① 2分又椭圆截抛物线的准线所得弦长为，∴得上交点为，∴② 4分由①代入②得，解得或（舍去），从而∴该椭圆的方程为该椭圆的方程为 6分（2）∵倾斜角为的直线过点，∴直线的方程为，即， 7分由（1）知椭圆的另一个焦点为，设与关于直线对称，则得， 9分解得，即， 2分又满足，故点在抛物线上。
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(椭圆)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（椭圆）练习一. 基础小题练透篇1.已知定点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝8，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．直线 D ．线段2．[2023ꞏ山西省忻州市高三联考]“m >0”是“方程x 24 ＋y 2m ＝1表示椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.[2023ꞏ重庆市高三模拟]几何学中，把满足某些特定条件的曲线组成的集合叫做曲线族．点Q 是椭圆族T 上任意一点，如图所示，椭圆族T 的元素满足以下条件：①长轴长为4；②一个焦点为原点O ；③过定点P ()0，3 ，则||QP ＋||QO 的最大值是( )A ．5B ．7C ．9D ．114．[2023ꞏ四川省遂宁市模拟]已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12 ，则( ) A ．a 2＝2b 2 B ．3a 2＝4b 2 C ．a ＝2b D ．3a ＝4b5．[2023ꞏ甘肃省张掖市高三检测]已知椭圆x 2＋y 2b 2 ＝1(1>b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 是椭圆上一点，点A 是线段F 1F 2上一点，且∠F 1MF 2＝2∠F 1MA ＝2π3 ，|MA |＝32 ，则该椭圆的离心率为( )A ．3B ．12C ．223D ．36．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，3 )，B (0，－3 )，动点M 满足|MA |＋|MB |＝4，则MA → ꞏMB →的最大值为( )A ．－2B ．0C ．1D ．27．已知椭圆C 的焦点在x 轴上，过点(322 ，2)且离心率为13 ，则椭圆C 的焦距为________． 8．[2023ꞏ陕西省西安市模拟]椭圆x 29 ＋y 23 ＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，如果PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的________倍．二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ陕西省安康市高三联考]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 215 ＝1(a >15 )的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°.||PF 1 ＝5||PF 2 ，则C 的方程为( )A ．x 221 ＋y 215 ＝1B ．x 218 ＋y 215 ＝1C ．x 236 ＋y 215 ＝1 D ．x 242 ＋y 215 ＝12．[2023ꞏ广西贵港市高三联考]若2<m <8，椭圆C ：x 2m ＋y 22 ＝1与椭圆D ：x 2m ＋y 28 ＝1的离心率分别为e 1，e 2，则( )A ．e 1ꞏe 2的最小值为32B ．e 1ꞏe 2的最小值为12C ．e 1ꞏe 2的最大值为3D ．e 1ꞏe 2的最大值为123．[2023ꞏ江西名校联盟模拟]在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交PQ 于点M ，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为( )A.22 B ．12 C ．13 D ．144．[2023ꞏ陕西省西安市高三检测]设椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1()a >b >0 的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A ，B 关于原点对称，且满足F A → ꞏFB →＝0，||FB ≤||F A ≤2||FB ，则椭圆C 的离心率的最大值是( )A ．13B ．33C ．23D ．535．[2023ꞏ陕西省咸阳市摸底]已知椭圆C ：x 2m 2－1＋y 2m 2 ＝1(m ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一点，且△PF 1F 2面积的最大值为3 ，则椭圆C 的短轴长为________．6．[2023ꞏ福建省高三联考]抛物线C 1：y 2＝4x 的焦点F ，点P ()3，2 ，以点F ，P 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为________．三. 高考小题重现篇1.[2021ꞏ山东卷]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29 ＋y 24 ＝1的两个焦点，点M 在C 上，则||MF 1 ꞏ||MF 2 的最大值为( )A ．13 B. 12 C ．9 D. 62．[全国卷Ⅰ]已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 24 ＝1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．22 D ．2233．[2022ꞏ全国甲卷]已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的离心率为13 ，A 1，A 2分别为C的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA → 1ꞏBA →2＝－1，则C 的方程为( )A ．x 218 ＋y 216 ＝1B ．x 29 ＋y 28 ＝1C ．x 23 ＋y 22 ＝1 D ．x 22 ＋y 2＝14．[2022ꞏ全国甲卷]椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为()A．32B．22C．12D．135．[2019ꞏ全国卷Ⅲ]设F1，F2为椭圆C：x236＋y220＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．6．[2021ꞏ全国甲卷]已知F1，F2为椭圆C：x216＋y24＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．四. 经典大题强化篇1.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e＝5，直线l交椭圆于M，N两点．(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦|MN|的长；(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．2．[2022ꞏ湖北武汉调研]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为22，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为103时，求k的值．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：D答案解析：因为|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|，所以动点P 的轨迹是线段F 1F 2. 2．答案：B答案解析：当m >0时方程x 24 ＋y 2m ＝1不一定表示椭圆，如m ＝4时方程x 24 ＋y 24＝1，即x 2＋y 2＝4就表示一个圆，所以“m >0”不是“方程x 24 ＋y2m＝1表示椭圆”的充分条件；但是当方程x 24 ＋y 2m ＝1表示椭圆时，应有m >0，所以“m >0”是“方程x 24 ＋y 2m＝1表示椭圆”的必要条件，故选B. 3．答案：A答案解析：如图所示设点Q 所在椭圆的另一焦点为F ，则||QP ＋||QO ＝||QP ＋4－||QF ≤||PF ＋4＝4－||PO ＋4＝5. 故选A. 4．答案：B答案解析：椭圆的离心率e ＝c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，化简得3a 2＝4b 2，故选B.5．答案：B答案解析：设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2，则r 1＋r 2＝2a ＝2，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|cos 2π3，即4c 2＝r 21 ＋r 22 ＋r 1r 2＝（r 1＋r 2）2－r 1r 2＝4－r 1r 2，所以r 1r 2＝4－4c 2，因为S △F 1MF 2＝S △F 1MA ＋S △AMF 2，所以12 r 1r 2sin 23 π＝12 r 1·|MA |·sin π3 ＋12 r 2·|MA |·sin π3，整理得r 1r 2＝（r 1＋r 2）·|MA |，即4－4c 2＝2×32 ，整理得c 2＝14，所以c ＝12 ，a ＝1，e ＝c a ＝12.故选B. 6．答案：C答案解析：易知M 的轨迹为椭圆，其方程为y 24＋x 2＝1，设M （x ，y ），则x 2＝1－y 24，∴MA → ·MB → ＝（－x ，3 －y ）·（－x ，－3 －y ）＝x 2＋y 2－3＝y 2＋（1－y 24）－3＝3y24－2， 因为y ∈[－2，2]，所以34y 2∈[0，3]，即3y24 －2∈[－2，1]，∴（MA → ·MB →）max ＝1. 7．答案：2答案解析：设椭圆方程为x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1，由离心率为13 可得c a ＝13，由a 2＝b 2＋c 2可得b 2a 2＝89 ，又92a 2 ＋4b 2 ＝1，解得a 2＝9，b 2＝8，c ＝1，焦距为2. 8．答案：5答案解析：由题得c ＝6 ，由题得PF 2⊥x 轴，当x ＝6 时，69＋y 23 ＝1，所以y ＝±1，∴|PF 2|＝1，所以|PF 1|＝2×3－|PF 2|＝6－1＝5， 所以|PF 1|是|PF 2|的5倍．二 能力小题提升篇1．答案：C答案解析：在椭圆C ：x 2a 2 ＋y 215＝1（a >15 ）中，由椭圆的定义可得||PF 1 ＋||PF 2 ＝2a ，因为||PF 1 ＝5||PF 2 ，所以||PF 2 ＝a 3，||PF 1 ＝5a3，在△PF 1F 2中，||F 1F 2 ＝2c ，由余弦定理得||F 1F 2 2＝||PF 1 2＋||PF 2 2－2||PF 1 ||PF 2 cos ∠F 1PF 2，即4c 2＝25a 29 ＋a29－5a 29 ＝21a 29 ，所以c 2a 2 ＝2136 ，又b 2＝15.所以a 2＝36，所以椭圆C 的方程为x 236 ＋y 215 ＝1. 故选C. 2．答案：D答案解析：因为2<m <8，所以e 1＝ 1－2m ，e 2＝ 1－m8，所以e 1·e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 8 ＝1＋14－⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋m 8 ≤54－22m ·m 8 ＝12， 当且仅当m ＝4时，等号成立，故e 1·e 2的最大值为12，e 1·e 2无最小值．故选D.3．答案：C答案解析：不妨设点P 在x 轴上方，如图，连接BQ ，则由椭圆的对称性易得∠PBF ＝∠QBF ，∠EAB ＝∠EBA ，所以∠EAB ＝∠QBF ，所以ME ∥BQ ，所以|PE ||EB | ＝|PM ||MQ | .因为OE ∥PF ，所以|OF ||OB |＝|EP ||EB | ，从而有|PM ||MQ | ＝|OF ||OB | .又M 是线段PF 的中点，所以e ＝c a ＝|OF ||OB | ＝|PM ||MQ | ＝13 . 4．答案：D答案解析：如图所示：设椭圆的左焦点F ′，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF ′为平行四边形，又FA → ·FB →＝0，即FA ⊥FB ， 所以平行四边形AFBF ′为矩形，所以||AB ＝||FF ′ ＝2c ，设||AF ′ ＝|BF |＝n ，||AF ＝m, 在直角△ABF 中，m ＋n ＝2a ，m 2＋n 2＝4c 2，得mn ＝2b 2，所以m n＋n m ＝2c 2b 2 ，令m n ＝t ，得t ＋1t ＝2c2b 2 ，又由||FB ≤||FA ≤2||FB ，得m n ＝t ∈[1，2]，所以t ＋1t ＝2c 2b 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 ，所以c 2b 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，54 ，即b 2a 2 ＝11＋c 2b2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤49，12 ， 所以e ＝ca＝1－b 2a 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，53 ，所以离心率最大值为53 .故选D.5．答案：23答案解析：由椭圆的方程可知，椭圆的焦点F 1，F 2在y 轴上，且|F 1F 2|＝2m 2－（m 2－1） ＝2，由题意可知，当点P 为椭圆C 左右顶点时，△PF 1F 2的面积最大，且12 |F 1F 2|m 2－1 ＝3 ，解得m ＝2，所以椭圆C 的短轴长为2m 2－1 ＝23 .6．答案：22答案解析：抛物线C 1：y 2＝4x 的焦点F （1，0），根据题意2c ＝（3－1）2＋（2－0）2＝22 ，c ＝2 .设椭圆和抛物线的交点为Q ，Q 到抛物线准线x ＝－1的距离为d ，离心率最大，即a 最小，a ＝||QF ＋||QP 2 ＝d ＋||QP 2 ≥3－（－1）2＝2， 当PQ 与准线垂直时等号成立，此时e ＝ca ＝22. 三 高考小题重现篇1．答案：C答案解析：由题，a 2＝9，b 2＝4，则||MF 1 ＋||MF 2 ＝2a ＝6，所以||MF 1 ·||MF 2 ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫||MF 1＋||MF 22 2＝9（当且仅当||MF 1 ＝||MF 2 ＝3时，等号成立）.2．答案：C答案解析：由题意可知c ＝2，b 2＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝4＋22＝8，则a ＝22 ，∴e ＝c a ＝222 ＝22 . 3．答案：B答案解析：由椭圆C 的离心率为13 ，可得e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝13.化简，得8a 2＝9b 2.易知A 1（－a ，0），A 2（a ，0），B （0，b ），所以BA 1·BA 2＝（－a ，－b ）·（a ，－b ）＝－a 2＋b 2＝－1.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝9b 2，－a 2＋b 2＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝8. 所以C 的方程为x 29 ＋y 28 ＝1.故选B.4．答案：A答案解析：A ()－a ，0 ，设P ()x 1，y 1 ，则Q ()－x 1，y 1 ，则k AP ＝y 1x 1＋a ，k AQ ＝y 1－x 1＋a， 故k AP ·k AQ ＝y 1x 1＋a ·y 1－x 1＋a ＝y 21 －x 21 ＋a 2 ＝14， 又x 21 a2 ＋y 21 b2 ＝1，则y 21 ＝b 2()a 2－x 21 a 2， 所以b 2()a 2－x 21 a 2－x 21 ＋a2 ＝14 ，即b 2a 2 ＝14 ， 所以椭圆C 的离心率e ＝c a＝1－b 2a 2 ＝32 .故选A. 5．答案：（3，15 ）答案解析：不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20 ＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M （x ，y ），则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y220＝1，|F 1M |2＝（x ＋4）2＋y 2＝64，x >0，y >0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为（3，15 ）.6．答案：8答案解析：根据椭圆的对称性及|PQ |＝|F 1F 2|可以得到四边形PF 1QF 2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF 1QF 2为矩形．设|PF 1|＝m ，则|PF 2|＝2a －|PF 1|＝8－m ，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝m 2＋（8－m ）2＝2m 2＋64－16m ＝|F 1F 2|2＝4c 2＝4（a 2－b 2）＝48，得m （8－m ）＝8，所以四边形PF 1QF 2的面积为|PF 1|×|PF 2|＝m （8－m ）＝8.四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）由已知得b ＝4，且c a ＝55 ，即c 2a 2 ＝15，∴a 2－b 2a 2 ＝15，解得a 2＝20，∴椭圆方程为x 220 ＋y 216＝1. 则4x 2＋5y 2＝80与y ＝x －4联立，消去y 得9x 2－40x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝409，∴所求弦长|MN |＝1＋12|x 2－x 1|＝4029. （2）椭圆右焦点F 的坐标为（2，0），设线段MN 的中点为Q （x 0，y 0），由三角形重心的性质知BF → ＝2FQ →， 又B （0，4），∴（2，－4）＝2（x 0－2，y 0）， 故得x 0＝3，y 0＝－2， 即Q 的坐标为（3，－2）. 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4，且x 21 20 ＋y 21 16 ＝1，x 22 20 ＋y 2216＝1， 以上两式相减得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2 ＝－45 ·x 1＋x 2y 1＋y 2 ＝－45 ×6－4 ＝65，故直线MN 的方程为y ＋2＝65（x －3），即6x －5y －28＝0.2．答案解析：（1）由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，得b ＝2 ，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.（2）由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y22＝1， 得（1＋2k 2）x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.Δ＝24k 2＋16>0恒成立． 设点M ，N 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则y 1＝k （x 1－1），y 2＝k （x 2－1），x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2 ，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2 ，所以|MN |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝2（1＋k 2）（4＋6k 2）1＋2k 2. 又点A （2，0）到直线y ＝k （x －1）的距离d ＝|k |1＋k2 ，所以△AMN的面积S＝12|MN|·d＝|k|4＋6k21＋2k2，由|k|4＋6k21＋2k2＝103，得k＝±1.所以当△AMN的面积为103时，k＝±1.。
全国名校高中数学题库--椭圆
椭圆标准方程典型例题例1 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2=c ，根据关系222c b a +=可求出m 的值．解：方程变形为12622=+my x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ． 又2=c ，所以2262=-m ，5=m 适合．故5=m ．例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a 和b （或2a 和2b ）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a by a x ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+ba ．又b a 3=，代入得12=b ，92=a ，故椭圆的方程为1922=+y x ． 当焦点在y 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a bx a y ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+ba ．又b a 3=，联立解得812=a ，92=b ，故椭圆的方程为198122=+x y ．例3 ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．分析：（1）由已知可得20=+GB GC ，再利用椭圆定义求解．（2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ． （2）设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ① 由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦点为1F 、2F ，且3541=PF ，3522=PF ．从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a ．从21PF PF >知2PF垂直焦点所在的对称轴，所以在12F PF Rt ∆中，21sin 1221==∠PF PF F PF ， 可求出621π=∠F PF ，3526cos21=⋅=πPF c ，从而310222=-=c a b ．∴所求椭圆方程为1103522=+y x 或1510322=+y x ． 例5 已知椭圆方程()012222>>=+b a by a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）．分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用C ab S sin 21=∆求面积． 解：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限．由余弦定理知： 221F F 2221PF PF +=12PF -·224cos c PF =α．①由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ②，则－①②2得 αcos 12221+=⋅b PF PF ． 故αsin 212121PF PF S PF F ⋅=∆ ααsin cos 12212+=b 2tan 2αb =．例6 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点， 即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径，即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程：171622=+y x ． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．例7 已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过()12，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ， 求线段PQ 中点M 的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④，③，②，①，y y y x x x y x y x 222222212122222121①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ． 由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ，将③④代入得022121=--+x x y y yx ．⑤（1）将21=x ，21=y 代入⑤，得212121-=--x x y y ，故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ⑥ 将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ，0416436>⨯⨯-=∆符合题意，0342=-+y x 为所求．（2）将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分） （3）将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x ．（椭圆内部分）（4）由①＋②得 ：()2222212221=+++y y x x ， ⑦， 将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+， ⑧， 212222124y y y y y -=+， ⑨将⑧⑨代入⑦得：()224424212212=-+-y y y x x x ， ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得： 221242212212=⎪⎭⎫⎝⎛--+-x x y x x x ， 即 12122=+y x ．此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．例8 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=．（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程． 解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ，即012522=-++m mx x ．()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2525≤≤-m ．（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5221m x x -=+，51221-=m x x ．根据弦长公式得 ：51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m ．方程为x y =．说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式∆；解决弦长问题，一般应用弦长公式．用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．例9 以椭圆131222=+y x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程．分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．解：如图所示，椭圆131222=+y x 的焦点为()031，-F ，()032，F ． 点1F 关于直线09=+-y x l ：的对称点F 的坐标为（－9，6），直线2FF 的方程为032=-+y x ．解方程组⎩⎨⎧=+-=-+09032y x y x 得交点M 的坐标为（－5，4）．此时21MF MF +最小．所求椭圆的长轴：562221==+=FF MF MF a ，∴53=a ，又3=c ， ∴()3635322222=-=-=c a b ．因此，所求椭圆的方程为1364522=+y x ．例10 已知方程13522-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ，且4≠k ．∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ，且4≠k ．说明：本题易出现如下错解：由⎩⎨⎧<-<-,03,05k k 得53<<k ，故k 的取值范围是53<<k ．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆．例11 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围．解：方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x ．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1cos 1>>-αα． 因此0sin >α且1tan -<α从而)43,2(ππα∈．说明：(1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α，0cos 1>-α，这是容易忽视的地方． (2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，αsin 12=b ． (3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件πα<≤0．例12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程．分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为122=+ny mx (0>m ，0>n )，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．解：设所求椭圆方程为122=+ny mx (0>m ，0>n )．由)2,3(-A 和)1,32(-B 两点在椭圆上可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+-⋅=-⋅+⋅,11)32(,1)2()3(2222n m n m 即⎩⎨⎧=+=+,112,143n m n m 所以151=m ，51=n ．故所求的椭圆方程为151522=+y x ．例13 知圆122=+y x ，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段，求线段中点M 的轨迹．分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题．这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹．解：设点M 的坐标为),(y x ，点P 的坐标为),(00y x ，则2x x =，0y y =． 因为),(00y x P 在圆122=+y x 上，所以12020=+y x ．将x x 20=，y y =0代入方程12020=+y x 得1422=+y x ．所以点M 的轨迹是一个椭圆1422=+y x ．说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为),(y x ，设已知轨迹上的点的坐标为),(00y x ，然后根据题目要求，使x ，y 与0x ，0y 建立等式关系，从而由这些等式关系求出0x 和0y 代入已知的轨迹方程，就可以求出关于x ，y 的方程， 化简后即我们所求的方程．这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握．例14 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长． 分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求． 解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．因为焦点在x 轴上，所以椭圆方程为193622=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ． 由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132=⨯++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以1337221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ， 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB ．(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为193622=+y x ，设m AF =1，n BF =1，则m AF -=122，n BF -=122．在21F AF ∆中，3cos22112212122πF F AF F F AF AF -+=，即21362336)12(22⋅⋅⋅-⋅+=-m m m ；所以346-=m ．同理在21F BF ∆中，用余弦定理得346+=n ，所以1348=+=n m AB ．(法3)利用焦半径求解．先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=⨯++x x 求出方程的两根1x ，2x ，它们分别是A ，B 的横坐标．再根据焦半径11ex a AF +=，21ex a BF +=，从而求出11BF AF AB +=．例15 椭圆192522=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为A ．4 B ．2 C ．8 D ．23说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆．(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即a MF MF 221=+，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离．例16 已知椭圆13422=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．分析：若设椭圆上A ，B 两点关于直线l 对称，则已知条件等价于：(1)直线l AB ⊥；(2)弦AB 的中点M 在l 上．利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围． 解：(法1)设椭圆上),(11y x A ，),(22y x B 两点关于直线l 对称，直线AB 与l 交于),(00y x M 点．∵l 的斜率4=l k ，∴设直线AB 的方程为n x y +-=41．由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,134,4122yx n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x ①。
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全国名校高考数学经典复习题汇编（附详解）专题：椭圆的方程综合问题1．(全国名校·绵阳二诊)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 在椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( ) A.214 B ．6 C ．8 D ．12答案 B解析 由题意得F(－1，0)，设P(x ，y)，则OP →·FP →＝(x ，y)·(x ＋1，y)＝x 2＋x ＋y 2，又点P 在椭圆上，故x 24＋y 23＝1，所以x 2＋x ＋3－34x 2＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，又－2≤x ≤2，所以当x ＝2时，14(x ＋2)2＋2取得最大值6，即OP →·FP →的最大值为6.2．(全国名校·四川成都七中模拟)若直线l 过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 交抛物线C 于A ，B 两点，则1|AF|＋1|BF|的取值范围为( )A ．{1}B ．(0，1]C ．[1，＋∞)D ．[12，1]答案 A解析 由题意知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，准线方程为x ＝－1.设过点F 的直线l 的斜率k 存在，则直线的方程为y ＝k(x －1)．代入抛物线方程，得k 2(x －1)2＝4x ，化简得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1x 2＝1.根据抛物线性质可知，|AF|＝x 1＋1，|BF|＝x 2＋1，∴1|AF|＋1|BF|＝1x 1＋1＋1x 2＋1＝x 1＋x 2＋2x 1＋x 2＋2＝1.当直线l 的斜率不存在时，直线的方程为x ＝1，把x ＝1代入y 2＝4x 得y ＝±2，∴1|AF|＋1|BF|＝1.故选A.3．(全国名校·云南曲靖一中月考)已知点P 为圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上的动点，点P 到某直线l 的最大距离为6.若在直线l 上任取一点A 作圆的切线AB ，切点为B ，则|AB|的最小值是________． 答案 2 3解析 由C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0，得(x －1)2＋(y －2)2＝4，由圆上动点P 到某直线l 的最大距离为6，可知圆心C(1，2)到直线l 的距离为4.若在直线l 上任取一点A 作圆的切线AB ，切点为B ，则要使|AB|最小，需AC ⊥l ，∴|AB|的最小值是42－22＝2 3.4．(全国名校·河南百校联盟质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的四个顶点组成的四边形的面积为22，且经过点(1，22)． (1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 的下顶点为P ，如图所示，点M 为直线x ＝2上的一个动点，过椭圆C 的右焦点F 的直线l 垂直于OM ，且与C 交于A ，B 两点，与OM 交于点N ，四边形AMBO 和△ONP 的面积分别为S 1，S 2.求S 1S 2的最大值． 答案 (1)x 22＋y 2＝1 (2)22解析 (1)∵(1，22)在椭圆C 上，∴1a 2＋12b2＝1，又∵椭圆四个顶点组成的四边形的面积为22，∴12×2a ×2b ＝22，ab ＝2，解得a 2＝2，b 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)可知F(1，0)，设M(2，t)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．则当t ≠0时，直线OM 的方程为y ＝t 2x.所以k AB ＝－2t ，直线AB 的方程为y ＝－2t (x －1)，即2x ＋ty －2＝0(t ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2t （x －1），x 2＋2y 2－2＝0，得(8＋t 2)x 2－16x ＋8－2t 2＝0.则Δ＝(－16)2－4(8＋t 2)(8－2t 2)＝8(t 4＋4t 2)>0， x 1＋x 2＝168＋t 2，x 1x 2＝8－2t 28＋t 2.|AB|＝1＋k AB 2·Δ8＋t 2＝1＋4t 2·22t 2（t 2＋4）8＋t 2＝22（t 2＋4）8＋t 2. 又|OM|＝t 2＋4，∴S 1＝12|OM|·|AB|＝12t 2＋4·22（t 2＋4）8＋t 2＝2（t 2＋4）t 2＋48＋t 2.由⎩⎨⎧y ＝－2t （x －1），y ＝t2x 得x N ＝4t 2＋4，∴S 2＝12×1×4t 2＋4＝2t 2＋4.∴S 1S 2＝2（t 2＋4）t 2＋48＋t 2·2t 2＋4＝22t 2＋48＋t 2＝22t 2＋4＋4t 2＋4<22. 当t ＝0时，直线l ：x ＝1，|AB|＝2，S 1＝12×2×2＝2，S 2＝12×1×1＝12，S 1S 2＝22.综上，S 1S 2的最大值为22. 5．(全国名校·山东潍坊期末)已知点F 1为圆(x ＋1)2＋y 2＝16的圆心，N 为圆F 1上一动点，F 2(1，0)，点M ，P 分别是线段F 1N ，F 2N 上的点，且满足MP →·F 2N →＝0，F 2N →＝2F 2P →. (1)求动点M 的轨迹E 的方程；(2)过点F 2的直线l(与x 轴不重合)与轨迹E 交于A ，C 两点，线段AC 的中点为G ，连接OG 并延长交轨迹E 于B 点(O 为坐标原点)，求四边形OABC 的面积S 的最小值． 答案 (1)x 24＋y 23＝1 (2)3解析 (1)由题意，MP 垂直平分F 2N ，∴|MF 1|＋|MF 2|＝4，∴动点M 的轨迹是以F 1(－1，0)，F 2(1，0)为焦点的椭圆，且长轴长为2a ＝4，焦距2c ＝2，所以a ＝2，c ＝1，b 2＝3. 轨迹E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)，G(x 0，y 0)，直线AC 的方程为x ＝my ＋1，与椭圆方程联立，可得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0，∴y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，y 1y 2＝－94＋3m 2.由弦长公式可得|AC|＝1＋m 2|y 1－y 2|＝12（1＋m 2）4＋3m 2，又y 0＝－3m 4＋3m 2，∴G(44＋3m 2，－3m4＋3m 2)． 直线OG 的方程为y ＝－3m 4x ，代入椭圆方程得x 2＝164＋3m 2， ∴B(44＋3m 2，－3m4＋3m 2)，B 到直线AC 的距离d 1＝4＋3m 2－11＋m 2，O 到直线AC 的距离d 2＝11＋m 2， ∴S OABC ＝12|AC|(d 1＋d 2)＝613－13（4＋3m 2）≥3，当m ＝0时取得最小值3. ∴四边形OABC 的面积的最小值为3.6．(全国名校·河南新乡一调)设O 为坐标原点，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，抛物线C 2：x 2＝－ay 的准线方程为y ＝12.(1)求椭圆C 1和抛物线C 2的方程；(2)设过定点M(0，2)的直线l 与椭圆C 1交于不同的两点P ，Q ，若O 在以PQ 为直径的圆的外部，求直线l 的斜率k 的取值范围．答案 (1)x 24＋y 2＝1 (2)k ∈(－2，－32)∪(32，2)解析 (1)由题意得a 4＝12，∴a ＝2，故抛物线C 2的方程为x 2＝－2y.又e ＝32，∴c ＝3，∴b ＝1，从而椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)显然直线x ＝0不满足条件，故可设直线l ：y ＝kx ＋2，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋2，得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0. ∵Δ＝(16k)2－4×12(1＋4k 2)>0， ∴k ∈(－∞，－32)∪(32，＋∞)， x 1＋x 2＝－16k 1＋4k 2，x 1x 2＝121＋4k 2， 根据题意，得0<∠POQ<π2⇔OP →·OQ →>0，∴OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k(x 1＋x 2)＋4＝12（1＋k 2）1＋4k 2＋2k ×－16k 1＋4k 2＋4＝16－4k 21＋4k 2>0，∴－2<k<2，综上得k ∈(－2，－32)∪(32，2)． 7．(全国名校·陕西咸阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，点A 在椭圆C 上，|AF 1|＝2，∠F 1AF 2＝60°，过F 2与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点． (1)求椭圆C 的方程；(2)若P ，Q 的中点为N ，在线段OF 2上是否存在点M(m ，0)，使得MN ⊥PQ ？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 答案 (1)x 24＋y 23＝1 (2)存在 理由略解析 (1)由e ＝12得a ＝2c.由|AF 1|＝2得|AF 2|＝2a －2.由余弦定理得|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|cos ∠F 1AF 2＝|F 1F 2|2，即a 2－3a ＋3＝c 2，解得c ＝1，a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)存在这样的点M 符合题意． 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，N(x 0，y 0)．由F 2(1，0)，设直线PQ 的方程为y ＝k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －1），得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 得x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，故x 0＝x 1＋x 22＝4k 24k 2＋3.又点N 在直线PQ 上，所以y 0＝－3k 4k 2＋3，所以N(4k 24k 2＋3，－3k 4k 2＋3)．因为MN ⊥PQ ，所以k MN ＝0－－3k 4k 2＋3m －4k 24k 2＋3＝－1k ，整理得m ＝k 24k 2＋3＝14＋3k 2∈(0，14)． 所以在线段OF 2上存在点M(m ，0)，使得MN ⊥PQ ，m 的取值范围为(0，14)．1．(全国名校·山西五校联考)设点F 为椭圆C ：x 24m ＋y 23m ＝1(m>0)的左焦点，直线y ＝x 被椭圆C 截得的弦长为4427.(1)求椭圆C 的方程；(2)圆P ：(x ＋437)2＋(y －337)2＝r 2(r>0)与椭圆C 交于A ，B 两点，M 为线段AB 上任意一点，直线FM 交椭圆C 于P ，Q 两点，AB 为圆P 的直径，且直线FM 的斜率大于1，求|PF|·|QF|的取值范围．答案 (1)x 24＋y 23＝1 (2)(94，125]解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 24m ＋y 23m ＝1，得x 2＝y 2＝12m7，故2x 2＋y 2＝224m 7＝4427，解得m ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－837，y 1＋y 2＝637.又⎩⎨⎧x 124＋y 123＝1，x 224＋y 223＝1，所以（x 1＋x 2）（x 1－x 2）4＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）3＝0，则(x 1－x 2)－(y 1－y 2)＝0，故k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1. 所以直线AB 的方程为y －337＝x ＋437，即y ＝x ＋3，代入椭圆C 的方程并整理得7x 2＋83x ＝0，则x 1＝0，x 2＝－837. 又F(－1，0)，直线FM 的斜率大于1，则直线FM 的斜率k ∈[3，＋∞)． 设FM ：y ＝k(x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，设P(x 3，y 3)，Q(x 4，y 4)，则有x 3＋x 4＝－8k 23＋4k 2，x 3x 4＝4k 2－123＋4k 2.又|PF|＝1＋k 2|x 3＋1|，|QF|＝1＋k 2|x 4＋1|， 所以|PF|·|QF|＝(1＋k 2)|x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1| ＝(1＋k 2)|4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1|＝(1＋k 2)·93＋4k 2＝94(1＋13＋4k 2)． 因为k ≥3，所以94<94(1＋13＋4k 2)≤125. 即|PF|·|QF|的取值范围是(94，125]．2.(全国名校·湖南师大附中月考)如图所示，已知F 1(0，－2)，F 2(0，2)，动点M 到点F 2的距离是4，线段MF 1的中垂线交MF 2于点P. (1)当点M 变化时，求动点P 的轨迹G 的方程；(2)若斜率为2的动直线l 与轨迹G 相交于A ，B 两点，Q(1，2)为定点，求△QAB 面积的最大值． 答案 (1)y 24＋x 22＝1 (2) 2解析 (1)如图，连接PF 1， ∵|MF 2|＝4，∴|PM|＋|PF 2|＝4. 又∵|PM|＝|PF 1|，∴|PF 1|＋|PF 2|＝4>|F 1F 2|＝22，由椭圆的定义可知，动点P 的轨迹G 是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其方程为y 24＋x 22＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ， 代入椭圆方程得(2x ＋m)2＋2x 2＝4， 即4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0.。