饱和粘弹性土层中端承桩纵向振动的轴对称解析解

文章编号:1000-0887(2010)02-0180-11 应用数学和力学编委会,ISSN 1000-0887饱和粘弹性土层中端承桩纵向振动的轴对称解析解*杨 骁, 潘 元(上海大学土木工程系,上海200072)(程昌钧推荐)摘要: 基于弹性和饱和多孔介质理论,将桩和饱和土层分别视为单相弹性介质和饱和粘弹性介质,利用H e l m ho ltz 分解和变量分离法,在频率域研究了饱和粘弹性土层中端承桩纵向振动的动力特性,给出了饱和粘弹性土层中桩纵向振动时动力响应的轴对称解析解及桩头复刚度的解析表达式.通过数值计算,给出了桩头动刚度因子和等效阻尼随激励频率的响应,考察了饱和土物性参数、桩土模量比、桩长径比、桩Po isson 比等参数对桩头刚度因子和阻尼的影响.研究表明:由于考虑了桩的径向变形效应以及饱和粘弹性土层对桩的径向力作用,轴对称精确解的桩头动刚度因子和阻尼分别与经典Euler -Be rnou lli 杆模型桩的桩头动刚度因子和阻尼有较大的区别,特别是在若干激励频率处.因此,经典Euler -Be rnou lli 杆模型桩的适用性具有一定的局限,更加精确的分析应采用三维精确模型.关 键 词: 饱和多孔介质; 桩-土动力相互作用; 轴对称解析解; 纵向振动; 参数研究中图分类号: O 343.2;O 321 文献标志码: A DO :I 10.3879/.j issn .1000-0887.2010.02.007引 言作为工程结构的一种重要基础形式,桩基础应用已有数百年的历史[1],然而,由于土介质的复杂力学性能、桩-土相互作用的复杂性以及桩基应用领域的不断扩大,桩-土相互作用的研究,尤其是动力相互作用的研究至今仍是土木工程等相关领域的重要课题.由于桩基础的力学性能直接决定着上部结构的力学响应,因此,建立合理的物理数学模型以刻画桩-土相互动力作用不仅具有重要的学术价值,而且对实际工程具有重要的指导意义[2-3].桩-土相互的连续介质模型将土介质视为连续体,在一定的简化假定下,可较精确地揭示桩-土间的相互作用机理.基于弹性理论,忽略桩的径向运动,将桩等效为Euler -Bernou lli 杆,Novak [4],Noga m i 和No -vak [5]首先建立了桩-土作用的二维和三维连续介质模型,研究了单相弹性土(干土)中桩纵向振动的动力特性,并为实验所验证.随后,众多学者对单相土体中桩及群桩的动静力学行为进行了广泛而深入的研究,取得丰富的研究成果.饱和土中桩动力学行为的研究只是在最近十几180应用数学和力学,第31卷第2期2010年2月15日出版A ppli ed M at hema ti cs andM echan i cs V o.l 31,N o.2,F eb .15,2010*收稿日期: 2009-11-04;修订日期: 2009-12-18基金项目: 国家自然科学基金资助项目(10872124)作者简介: 杨骁(1965 ),男,山西运城人,教授,博士生导师(联系人.T e l/F ax:+86-21-56331519;E -m a i:l xyang @shu .edu .cn)年才开始的,以饱和土的B i o t 模型为基础,Noga m i 等[6]研究了超孔隙水压力对桩力学特性的影响.利用虚拟桩的概念和积分方程法,Zeng 和R ajapakse [7]首先在频率域中研究了饱和弹性土中垂直受载单桩的动力特性.将桩等效为Eu ler -Ber nou lli 杆,李强等[8-9]给出了饱和弹性土层中桩纵向振动的复阻抗及动力响应的解析解.考虑桩的径向惯性效应,将桩等效为R ay leigh -Love 杆,李强等[10]研究了饱和弹性土层中端承桩的阻抗因子、导纳等,计算分析了桩头的速度响应.近年来,基于连续介质混合物公理和体积分数概念的多孔介质理论[11-12]已成功地应用于流体饱和多孔介质力学行为的研究分析中[13-15],多孔介质理论的数学模型符合连续介质力学公理,避免了混合物理论中由于平均过程而导致的繁杂公式,并且饱和多孔材料的若干微观性质可直接通过宏观性质来描述.在饱和土中桩动力学研究方面,忽略土层水平径向应力和孔隙水压力对桩的作用,将桩分别等效为Euler -Bernou lli 杆和Ray leigh -Love 杆,刘林超、杨骁[16]和杨骁、蔡雪琼 基于多孔介质理论,研究了饱和土层中端承桩的纵向振动特性,给出了桩头复刚度随激励频率的响应,考察了饱和土物性参数、桩土模量比、桩长径比、桩横向变形惯性效应等对桩头刚度和阻尼的影响.众所周知,无论是Euler -Bernoulli 杆模型,还是Ray le i g h-Love 杆模型,在研究桩-土相互作用时,均忽略了桩-土相互作用的水平径向力.本文将桩视为三维弹性体,基于三维弹性理论和饱和多孔介质理论,在频率域研究饱和粘弹性土层中端承圆柱桩纵向振动的动力特性.首先基于饱和多孔介质理论,给出饱和粘弹性土层在频率域中的动力控制方程,利用H el m ho ltz 分解和变量分离法,得到饱和粘弹性土层纵向振动的解析表达式.其次,根据三维弹性理论,求得自由桩纵向振动的轴对称解析通解,利用桩土接触面上严格的应力和位移连续性条件,得到粘弹性饱和土层中桩纵向振动的解析解,从而得到桩头复动力刚度的精确解析表达式.最后,通过数值计算,给出了桩头动刚度因子和等效阻尼随激励频率的响应,考察了饱和土物性参数、桩土模量比、桩长径比、Po isson 比等对桩刚度因子和阻尼的影响,并与桩-土相互作用的Eu l e r -Bernoulli 模型桩进行了比较,揭示了桩-土动力相互作用的水平径向力和孔隙水压力对桩性能的影响,为桩基抗震设计、动力检测等提供理论基础.1 饱和粘弹性土层的动力响应如图1所示,厚为H 的无限饱和粘弹性土层中有半径为R 的弹性端承圆柱桩,其弹性模量 图1 饱和粘弹性土层中的端承桩为E p ,Po isson 比为 p ,体密度为 p ,且桩顶(z =H )处承受频率为 的竖向简谐激振力P e i t(i 2=-1)的作用;饱和粘弹性土层的流相和土颗粒体积分数分别为n F和n S,土颗粒的剪切模量为G S,阻尼系数为 S,Po isson 比为 S .若土颗粒和孔隙水的真实体密度分别为 S 和 F ,则土颗粒和孔隙水的表观密度分别为 S=n SS 和 F=n FF .设桩-土耦合系统的振动为小变形,且振动过程中,桩-土之间紧密连接,即桩土接触面的位移、应力连续.假定土颗粒和孔隙水微观不可压,忽略孔隙水的粘性以及土颗粒和孔隙水的重力,由多孔181杨 骁 潘 元杨骁,蔡雪琼.考虑横向惯性效应的饱和粘弹性土层中端承桩的纵向振动[J].岩土力学,已录用.介质理论[11-12]可知,频率域中饱和粘弹性土体三维动力响应的控制方程为( S + S )g rad div u S + S div grad u S -g rad p - S u S - F u F =0,-n Fgrad p + Fu F-S v ( u F- u S)=0,d iv (n Su S+n Fu F )=0,(1)其中, S=2 SS/(1-2 S)和 S=G S(1+2 Si )为饱和粘弹性土体的表观复La m 常数,uS和u F 分别为饱和土颗粒和孔隙水的位移矢量,p 为孔隙流体压力,S v =(n F )2 FR /k F为表征流-固两相相互作用的系数,而 FR= F g 是流相的容重,k F为Darcy 渗流系数.在圆柱桩纵向简谐振动时,饱和粘弹性土层将发生轴对称简谐运动.于是,u S =u S r (r ,z ,t),0,u S z (r ,z ,t),u F =u F r (r ,z ,t),0,u Fz (r ,z ,t).(2)并且可引入柱坐标系下的势函数 S(r ,z ), S(r ,z )和 F(r ,z), F(r ,z ),使得u S r = S r + 2 S r z e i t ,u S z = S z -1r r rSre i t ,u F r = F r + 2 F r z e i t ,u F z = F z -1r r rFre i t ,(3)且p =p F e i t.引入如下无量纲变量和常数r =r H , z =z H , S = SH 2, S = SH 3, F = FH 2, F = FH 3, P F =pFS ,=HVS , =1+2 S i,V S=G S S , FS = FS , S v =H S v V SS ,r 0=RH .仍用r ,z , S , S , F , F ,p F , ,S v 记 r , z , S , S , F , F , P F, , S v ,则控制方程(1)可解耦为S + 2 S + FS 2F=0, FS 2F-i S v 1+2 Si(F- S)=0;(4)S+1-2 S2(1- S)(-p F + 2 S + FS 2 F)=0,-n F p F + FS 2 F-i S v1+2 Si( F - S)=0, (n SS+n FF)=0,(5)其中= 2r2+1r r +2z 2.利用变量分离法,可得方程(4)和(5)的通解分别可表为S(r ,z )=[C 1I 0( r )+D 1K 0( r)][A 1sin ( z)+B 1cos ( z )], F(r ,z)= 2[C 1I 0(r )+D 1K 0( r)][A 1sin ( z)+B 1cos ( z )];(6)S=C 3I 0( r)+D 3K 0( r)+C 25I 0( r )+ D 25K 0( r)[A 2sin ( z )+B 2co s ( z )],F=-nSnF [C 3I 0( r )+D 3K 0( r )]-n Sn F5+14[C 2I 0( r)+D 2K 0( r)] [A 2sin ( z)+B 2cos ( z )].(7)182饱和粘弹性土层中端承桩纵向振动的轴对称解析解p F= FS 2n F- S v i n F 1+2 S i F + S v i n F 1+2 SiS,(8)其中,I 0( )和K 0( )分别为第一类和第二类变形Bessel 函数,A i 和B i (i =1,2)以及C i 和D i (i =1,2,3)为待定系数, 为待定常数,且2= 2- 1, 2= 2- 5, 1= 2(1+ 2 FS),2=-S v i FS 1+2 S i -S v i , 3=1-2 S2(1- S ) 2- S v i n F 1+2 Si, 4=1-2 S 2(1- S ) S v i n F 1+2 Si-n S n F FS 2, 5= 3-nSn F 4.饱和粘弹性土层需满足如下边界条件:a)在无穷远处位移、应力为0,即r ¥时,有S rr (r ,z)= S zz (r ,z)= S rz (r ,z)=0,u S r (r ,z)=u Sz (r ,z )=0;b)假定土层底部刚性支撑,且不渗透,则z =0时,u Sz =0,u Fz =0;c)若土层表面自由且透水,则z =1时,土体有效应力 S Ezz (r ,z )=0,p F=0.由此可得A 2=B 1=0,C 1=C 2=C 3=0, n =2n -12(n =1,2, ).(9)于是,根据叠加原理可得S(r ,z )=¥n=1D 1n K 0( n r )sin ( n z ), F(r ,z)= 2 ¥n =1D 1n K 0( n r )sin ( n z ).(10)S =¥n =1D 3n K 0( n r )+D 2n5K 0( n r )cos ( n z ),F =¥n =1-nSnF D 3n K 0( n r )-n Sn F5+14K 0( n r)co s ( n z ),(11)p F=¥n =1[ 7D 3n K 0( n r )+ 8D 2n K 0( n r)]co s ( n z ).(12)且2n = 2n - 1, 2n = 2n - 5,6= FS 2n F -S v i n F 1+2 S i , 7=-S v i n F1+2 Si-nSn F 6, 8=-S v i 5n F 1+2 Si -n Sn F 5+14 6.利用变形Besse l 函数的性质,由公式(3)可得u Sr=H ei t ¥n =1- n D 3n K 1( n r)- n5D 2n K 1( n r )- n n D 1n K 1( n r)co s ( n z ),u Sz =H eit¥n =1- n D 3n K 0( n r)- n5D 2n K 0( n r)- 2n D 1n K 0( n r)sin ( n z);(13)183杨 骁 潘 元u F r=H e it¥n=1nSnF n D 3n K 1( n r)+ n Sn F5+14 n D 2n K 1( n r)- 2 n n D 1n K 1( n r )cos ( n z),u Fz =H e it¥n=1n SnF n D 3n K 0( n r )+n Sn F 5+1 4 n D 2n K 0( n r)- 22n D 1n K 1( n r )sin ( n z ).(14)饱和土本构关系为[12] S =-n Sp I + SE, F=-n Fp I ,S E=2 S S + S ( SI )I ,(15)其中, S为土体的应变张量,I 为单位张量.由此可得土体内的应力Srr=Seit¥n=121-2 S (1- S ) 2n K 0( n r)+1 n rK 1( n r )- S2n K 0( n r )+n2n rK 1(n r )- 7K 0( n r )D 3n +2 2n5K 0( n r)+1 n rK 1( n r)- 8K 0( n r )D 2n + 2 n 2n K 0( n r )+1 n r K 1( nr)D 1n cos ( n z ), Srz= S e i t¥n=12 n n D 3n K 1( n r )+2 2n5D 2n K 1( n r)+n ( 2n + 2n )D 1n K 1( n r)sin (n z ).(16)2 桩的纵向振动及其桩头动力刚度根据弹性理论,桩位移矢量u p=U p r (r ,z ,t),0,U pz (r ,z ,t)满足如下控制方程[17]:( p+L p)g rad d iv u p+L pd iv g rad u p-Q p&u p=0,(17)其中,桩的La m 常数为K p=M p E p /[(1+M p )(1-2M p )],L p=E p /[2(1+M p )].根据Sain-t V enan t 原理,桩的边界条件可表示为U pz =0,QQ A U pr sinH r d r dH =Q QA U pr cosH r d r dH =0,z =0,Q Q A R p zzr d r dH =P e iX t,QQ A S p rzsinH r d r dH =Q Q A S p rzcosHr d r dH =0,z =1.(18)引入无量纲量和参数P =P PR 2E p ,Q pS =Q p Q S ,G Sp =GSLp ,d 1=(1-2M p )2(1-M p )Q pS G Sp X 2(1+2N Si ),d 2=Q pS GSpX2(1+2N Si ).考虑到非齐次边界条件(18),引入如下势函数:U pr =H eiX t55p5r+527p5r5z,U p z =H eiX t 55p5z -1r 55r r 57p 5r+U p z (z ),(19)184饱和粘弹性土层中端承桩纵向振动的轴对称解析解其中U pz (z )=(1+M p )(1-2M p )(1-M p )sin (d 1z )d 1co s d 1P.于是,控制方程(17)可分解为$5p+d 215p=0,$7p+d 227p=0.(20)考虑到|5p|<¥,|7p|<¥(ry 0),此方程有解5p(r ,z )=C 4I 0(Cr)[A 4si n (Az )+B 4cos (Az )],7p(r ,z )=C 5I 0(Gr)[A 4sin (Az)+B 4cos (Az)],(21)其中,C 4和C 5为待定系数,且C 2=A 2-d 21,G 2=A 2-d 22.利用几何方程和本构方程,由边界条件(18)可得A 4=B 5=0,A n =2n -12P (n =1,2,,).(22)于是有5p(r ,z )=6¥n=1C 4n I 0(C n r )co s (A n z ),7p(r ,z )=6¥n =1C 5n I 0(G n r)si n (A n z),(23)其中 C 2n =A 2n -d 21,G 2n =A 2n -d 22.因此,桩的位移和应力分别为U p r =H e i X t 6¥n =1[C n C 4n I 1(C n r)+A n G n C 5n I 1(G n r)]cos (A n z ),U pz =H eiX t 6¥n=1[-A n C 4n I 0(C n r)-G 2nC 5n I 0(G n r)]sin (A n z )+U pz (z),(24)R p rr=L peiX t 6¥n=121-2M p (1-M p )C 2n I 0(C n r)-1C n r I 1(Cnr )- -M p A 2n I 0(C n r)-C nA 2nrI 1(C n r )C 4n +2A n G 2n I 0(G n r)-1G n rI 1(G n r )C 5n cos (A n z )+2M p (1+M p )1-M pP cos d 1cos (d 1z ),S p rz=L peiX t6¥n=1[-2A n C n C 4n I 1(C n r)-G n (A 2n +G 2n )C 5n I 1(G n r)]sin (A n z ).(25)由于饱和土层与桩完全连接,且接触面处不渗透,于是,桩土接触面的连续性条件为 u Fr =0,u Sr =U pr ,u Sz =U pz ,R Srr =R pr r ,S Sr z =S pr z , r =r 0.(26)利用Fourier 级数的正交性以及Q 10cos (d 1z)cos (A n z )d z =A n cos d 1sinA n A 2n -d 21,Q 1sin (d 1z )si n (A n z )d z =d 1co s d 1sinA nA 2n -d 21.(27)由连续性条件(26)可得确定待定系数的线性代数方程A n D n = P b n , n =1,2,3,,,(28)其中,A n 为5@5系数矩阵,b n 为常量矢量,且D n =D 1n ,D 2n ,D 3n ,C 4n ,C 5nT.由于篇幅所限,这里不给出A n 和b n 具体表达式.185杨 骁 潘 元方程(28)的解可表为D n = P D 1n , D 2n , D 3n , C 4n , C 5nT.这样,桩头纵向位移为U p(r)=U p z (r ,1)= PH e iX t6¥n =1[-A n C 4n I 0(C n r )-G 2n C 5n I 0(G n r )]sinA n +(1+M p )(1-2M p )(1-M p )d 1tan d 1.(29)而桩头平均位移为u p 0=1P r 2Q2P 0Q r 00U p0(r)r d r dH = PH eiX t (1+M p )(1-2M p )(1-M p )d 1tan d 1-2r 06¥n =1A n C nC 4n I 1(C n r 0)+G n C 5n I 1(G n r 0)sinAn .(30)桩纵向振动时桩头无量纲动力复刚度为 K d =1P RE p P e iX tu p 0=r 0(1+M p )(1-2M p )(1-M p )d 1tan d 1- 2r 06¥n =1A n C nC 4n I 1(C n r 0)+G n C 5n I 1(G n r 0)sinA n ,(31)其中, K d 的实部Re ( K d )和虚部I m ( K d )分别刻画了桩头的真实刚度和等效桩头阻尼.3 数值结果和讨论首先,考察桩头的静态刚度K 0,其值可由K 0=li m K y 0Re ( K d )得到.参考文献[9-10],取如下无量纲参数:n F=0.4,n S=0.6,M S=0.4,S v =1.0,M p =0.3,Q F S=0.5,Q p S=1.5.(32) 图2 饱和弹性土层中桩静态刚度K 0随桩长细比H /R 的变化图2给出了饱和土层中不同桩土模量比E p /G S下,桩头无量纲静态刚度K 0随桩长细比H /R 的变化,其中,实线为本文轴对称解析解的结果,而虚线为Eu ler -Ber nou lli 模型桩的结果[16].由图可知,无量纲静态刚度K 0随着模量比E p /G S的增加而增加,而随着桩长细比H /R 增加而减少.当H /R 增加到一定的值后,静态刚度K 0趋于某一极限值,表明桩长达到某一值后,增加桩长不能提高桩头刚度.同时,轴对称精确模型的结果大于Eu-l er -Bernou lli 模型桩的结果,并且,随着桩长细比H /R 的减小,两者相差逐渐增加.因此,对于大直径桩,应采用三维模型进行分析.为考察无量纲动力复刚度 K d 随无量纲频率K的变化,分别定义如下桩头动刚度因子K 和等效阻尼N :K =Re ( K d )K 0,N=I m ( K d )K.(33)取模量比E p /G S=500,图3和图4分别给出了饱和弹性土层(即N S=0)中不同长径比H /R 下桩的动刚度因子K 和等效阻尼N随无量纲频率K 的响应.可见,三维轴对称模型的结果与Euler -Bernoulli 模型桩的结果具有很大的差别.轴对称模型的动刚度因子K 和等效阻尼N随186饱和粘弹性土层中端承桩纵向振动的轴对称解析解激励频率K呈振动变化,具有明显的共振效应,并且,随着长径比H /R 的增大,动刚度因子K 的振动幅值逐渐减小,等效阻尼N的振动幅值逐渐增大,但振动周期变化不大.Euler -Bernoulli 模型桩的刚度因子K 仅对较小的长径比H /R 呈现振动变化,而对较大的长径比H /R,刚度因子K 随频率K变化很小,几乎等于1.由于在Euler -Bernou lli 模型桩的分析中,不仅忽略了桩的横向惯性效应,而且忽略了土层水平径向应力和孔隙水压力对桩的作用,而横向惯性效应仅影响刚度因子K 和等效阻尼N的数值,不改变其响应形态¹.因此,饱和土层水平径向应力和孔隙水压力对桩头刚度和等效阻尼具有本质的显著影响.(a)三维轴对称模型(b)Euler -Bernoulli 杆模型图3 饱和弹性土层(N S=0)中桩的刚度因子K 随无量纲频率K的响应(a)三维轴对称模型(b)Euler -Bernoulli 杆模型图4 饱和弹性土层(N S =0)中桩的等效阻尼N随无量纲频率K的响应图5 不同H /R 时饱和粘弹性土层中桩刚度因子K 和等效阻尼N随无量纲频率K 的响应图5给出了饱和粘弹性土层(N S=0.1)中不同长径比H /R 下桩的刚度因子K 和等效阻尼N随无量纲频率K 的响应.可见,饱和粘弹性土层中桩头动刚度因子K 和等效阻尼N随频率K 的响应与饱和弹性土层中的相同.对比图3和图5可以发现,土层粘性参数N S对刚度因子K187杨 骁 潘 元图6 不同S v 时饱和粘弹性土层中桩刚度因子K 和等效阻尼N随无量纲频率K的响应图7 不同模量比E p /G S 时饱和粘弹性土层中桩刚度因子K 和等效阻尼N 随无量纲频率K的响应图8 不同M p 时饱和粘弹性土层中桩刚度因子K 和等效阻尼N 随无量纲频率K 的响应的影响很小,而仅当频率K较小时,对等效阻尼N有较大的影响.取H /R =20,N S=0.1,其它参数见表达式(32),图6示出了土颗粒与孔隙水相互作用系数S v 对桩刚度因子K 和等效阻尼N 的影响.可见,相互作用系数S v 对刚度因子和阻尼影响较小,仅对频率K较大的刚度因子K 和频率K较小的等效阻尼N有明显的影响.图7给出了H /R =20,N S=0.1时桩土模量比E p /GS对桩刚度因子K 和等效阻尼N的影响,可见,随着土模量比E p /G S 的增大,刚度因子K 幅值增加,而阻尼N幅值减少,且变化周期增大.图8给出了当H /R =20,N S=0.05,其它参数取表达式(32)时,桩Po isson 比M p 对刚度因子K 和等效阻尼N的影响.可见,随着Po isson 比M p 的增加,刚度因子K 和等效阻尼N的峰值增大,峰值对应的频率减小,并且,计算发现,随着桩长径比的增加,Po isson 比M p 对刚度因子K 和等效阻尼N的影响逐渐减弱.188饱和粘弹性土层中端承桩纵向振动的轴对称解析解4 结 论基于弹性和饱和多孔介质理论,本文从三维轴对称分析的角度研究了饱和粘弹性土层中端承桩的纵向振动特性,利用H el m holtz 分解和叠加原理,给出了在桩头简谐外载荷激励下土体和桩在频率域中动力响应的轴对称解析解.数值研究了桩头动刚度因子和等效阻尼随激励频率的变化特征,分析了桩土参数等的影响,结果表明:a)对于桩静态刚度,轴对称解析解的结果大于Euler -Bernoulli 模型桩的结果,且随着桩长细比H /R 的减小,两者相差增加.因此,对于大直径桩,应采用轴对称模型进行研究和分析;b)桩头静态刚度K 0随着模量比E p /G S的增加而增加,并且,当H /R 增加到一定的值后,静态刚度K 0趋于某一固定值;c)由于土层水平径向应力和孔隙水压力对桩头刚度和等效阻尼的影响,轴对称解析解的动刚度因子K 和等效阻尼N与Euler -Bernou lli 模型桩的结果差别显著.轴对称解析解的动刚度因子K 和等效阻尼N随激励频率K 呈振动变化,具有明显的共振效应;d)土层粘性参数N S对刚度因子K 的影响很小,而仅当频率K 较小时,对等效阻尼N有较大的影响.同时,对频率较大的刚度因子K 和频率较小的等效阻尼N ,相互作用系数S v 有一定的影响;e)随着土模量比E p /G S 的增大,刚度因子的K 幅值增加,而等效阻尼N幅值减少,且变化周期增大.参考文献:[1]P o ulo s H G,D av is E H .P i le F oun da tion An a l y sis an d D esign [M ].N ew Yo rk :Jo hn W il ey &So ns ,1980.[2]N o vak M.P iles unde r dyn a m ic lo ads[C ]//P r o ceed in gs of th e 2n d In tern a tion a l Con fer en ce on R ecen t A dvan ces in G eotechn ica l Ea r thqua ke En g in eer in g an d S o il D y nam ics.Vo l III .R o ll a,M isso ur:i U n i v e rsity o f M i sso ur-i Ro ll a,1991:2433-2457.[3] Z aa iji e r M B .F o unda tio n m o de lli ng to a sse ss dynam i c beh av iou r o f o ffsho re w ind tur bines [J].Applied O cea n R esea r ch,2006,28(1):45-57.[4] N o vak M.D y nam ic stiffn ess and dam p i ng o f pil e s [J].Ca n ad ian G eo techn ica l J ou rna l,1974,11(4):574-598.[5] N o gam i T,N o vak M.So i-l pil e i n te rac tion in v e rtica l v ibra tion [J].Ea r th q u a ke En gin eer in g &Stru ctu r a l D yn am 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m and a sa tur ated v isco e last i c m ed i um,re spe c ti v e ly,the dyn a m ica l behav i o r o f ve rt i c a l v ibra tio n o f a n end-bea r i ng p il e in a sa tu ra ted v isco e la stic so il lay er w a s i nv est i g ated i n frequency dom a in w ith the H e l m ho ltz de com po siti o n and v a r i ab le sepa-ra ti o n m e tho d.T he ax isymm e tr ica l ana ly tica l so l u ti o ns fo r v er tica l v ibra tion s o f the p il e i n a sa tu ra ted v isco e last i c so il laye r w ere o b ta ined,and the an a l y tic a l ex pre ssion o f the dynam ica l com p l ex stiffne ss o f th e p ile to p w a s p resen te d.T he re spo nse s o f dynam ic stiffness fa cto r ande qu i v a lent dam p i ng of p ile to p ag a i n st the frequency a re sh ow ni n figur es by m e ans o f the nu-m er ica l m e th od,and the e ffec ts o f the sa tur a ted so il pa ram e ter s,m odu lus r at i o o f the p ile to so i,l slende rness ra t i o o f p il e and p il e.s P o isso n ra tio,e tc.o n the st iffness fac to r and dam p i nga re ex am ined.It i s show n th at,due to the e ffec t o f the transve rsa l de fo rm a ti o n o f the p ile andthe ac tion o f rad ia l fo rce o f the sa tu ra ted v isco e las ti c so il to th e p il e,the dynam ic stiffness fac-to r and the dam p ing der ived from the ax isymm e tr ica l so lution a re g rea tly d isti n ct from tho se de-r i ve d from the c lass i c a l Eu l e r-Be rno ulli ro d m o de,l espec ia ll y at som e spec if i c e x c ita tio n fre-quenc ies.T here fo re,there a re som e li m ita ti o ns fo r the app licab ility o f the Eu l e r-Be rno ulli ro d m o de l fo r ana l y s is o f the v er tica l v ibra tion o f the pil e,and the m o re acc ura te a na l y sis sho u ld be ba se d o n the thre e d i m ens i o na l m o de.lK e y w o r ds:sa tur ated po ro us m e diu m;p il e-so il dynam ica l intera c ti o n;ax isym m e tr i c a l ana l y t-i ca l so l u tion;ve r tica l v ibra tion;pa ram e ter study。