冯西桥弹性力学07平面问题B

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弹性力学第二章平面问题的基本理论 ppt课件

4
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应力问题
♢ 工程实例
平板坝的平板支墩
深梁
5
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应变问题
♢ 几何特征无限长的柱形体，横截面不沿长度变化 ♢ 面力与约束作用于柱面，平行横截面，不沿柱体长度方向变化； ♢ 体力作用于柱体内，平行横截面，不沿柱体长度方向变化；
6
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应变问题
♢ 简化分析
截面、外力、约束沿z不变，外力、约束平行 xy面，柱体无限长
任何截面都是对称面
w=0， u、v ≠0
εz=0
τzx=0、 τzy=0
γzx=0、 γzy=0
εx 、εy 、γxy ≠ 0
★ 应变只存在平面应变，所以称为平面应变问题
·推导
(2) 坐标轴方向合力为0
方程两边同除dxdy 同理，ΣFy=0
平衡微分方程
12
·总结
§ 2-2 平衡微分方程
平衡微分方程
* 3个未知量，2个方程，还需另外方程 * 基于连续性、小变形假定 * 弹性体内任意区域都精确成立 * 平面应力和平面应变问题都适用
13
§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
tanα2 = -
τxy σ1 - σx
∴ tanα1·tanα2 = -1
∴ σ1⊥ σ2
20
§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
·最大最小正应力
O
x
σ2
由(2-4)式，得
σ1
σ1
y
σ2
τxy = 0 σx = σ1 σy = σ2
σn = l2 σx + m2 σy + 2lmτxy = l2 σ1 + m2 σ2 = l2 σ1 + (1 - l2) σ2 = l2 (σ1 – σ2) + σ2

《弹塑性力学》第七章弹性力学平面问题的极坐标系解答.ppt

x
应力：r, ,r= r 应变：r, ,r= r
P
y
位移：u r , u
2020/10/9
3
§7-1平面极坐标下的基本公式
直角坐标与极坐标之间关系:
x=rcos, y=rsin
r cos sin
x r x x
r r
r sin cos
y r y y
r
r
2 r
r )( f r
r
f 1
r
fr 0 0 f
fr ) r
2＝ 2 1 1 2
r 2 r r r 2 2
力的边界条件如前所列。
2020/10/9
14
§7-1平面极坐标下的基本公式
1.8 应力函数解法
当体力为零 fr=f=0时, 应力法基本方程中的应
力分量可以转为一个待求的未知函数 ( r, ) 表示,而应力函数 ( r, ) 所满足方程为
16
§7-2 轴对称问题
2.1 轴对称问题的特点
1.截面的几何形状为圆环、圆盘。
2.受力和约束对称于中心轴,因此，可知体积力分量 f=0 ；在边界上 r=r0 ：F 0， u （0 沿环向的受力和约束为零）。
3.导致物体应力、应变和位移分布也是轴对称的：
2020/10/9
17
§7-2 轴对称问题
上式代入平衡微分方程可得到用位移表示的平衡微分方程,即位移法的基本方程。
r
r
1 r r
( r
r
)
Kr
0
r
r
1 r
2 r
r
K
0
力的边界条件也同样可以用位移表示。
2020/10/9

弹性力学第七章平面问题的极坐标解

第七章平面问题的极坐标解知识点极坐标下的应力分量极坐标下的应变分量极坐标系的 Laplace 算符轴对称应力分量轴对称位移和应力表达式曲梁纯弯曲纯弯曲位移与平面假设带圆孔平板拉伸问题楔形体问题的应力函数楔形体应力楔形体受集中力偶作用、内容介绍在弹性力学问题的处理时，坐标系的选择从本质上讲并不影响问题的求解，但是坐标的选取直接影响边界条件的描述形式，从而关系到问题求解的难易程度。

对于圆形，楔形，扇形等工程构件，采用极坐标系统求解将比直角坐标系统要方便的多。

本章的任务就是推导极坐标表示的弹性力学平面问题基本方程，且求解一些典型问题。

极坐标平衡微分方程几何方程的极坐标表达应力函数轴对称位移厚壁圆筒作用均匀压力曲梁弯曲应力曲梁作用径向集中力孔口应力楔形体边界条件半无限平面作用集中力二、重点1、基本未知量和基本方程的极坐标形式；2、双调和方程的极坐标形式；3、轴对称应力与厚壁圆筒应力；4、曲梁纯弯曲、楔形体和圆孔等典型问题§7.1平面问题极坐标解的基本方程学习思路：选取极坐标系处理弹性力学平面问题，首先必须将弹性力学的基本方程以及边界条件通过极坐标形式描述和表达。

本节的主要工作是介绍基本物理量，包括位移、应力和应变的极坐标形式；并且将基本方程，包括平衡微分方程、几何方程和本构关系转化为极坐标形式。

由于仍然采用应力解法，因此应力函数的极坐标表达是必要的。

应该注意的是坐标系的选取与问题求解性质无关，因此弹性力学直角坐标解的基本概念仍然适用于极坐标。

学习要点:1、极坐标下的应力分量；2、极坐标平衡微分方程；3、极坐标下的应变分量；4、几何方程的极坐标表达；5、本构方程的极坐标表达；6极坐标系的LaPIaCe算符；7、应力函数。

1、极坐标下的应力分量为了表明极坐标系统中的应力分量，从考察的平面物体中分割出微分单元体ABCD ,其由两个相距茁的圆柱面和互成d「的两个径向面构成，如图所示在极坐标系中，用二表示径向正应力，用二表示环向正应力，「,和•二:分别表示圆柱面和径向面的切应力，根据切应力互等定理，.J=.二:。

《弹性力学》第七章平面问题的差分解

4 f 1 2 2 4 [4 f 0 2( f1 f 2 f 3 f 4 ) ( f 5 f 6 f 7 f8 )] x y h 0 4 f 4 y 1 4 [6 f 0 4( f 2 f 4 ) ( f10 f12 )] h 0
弹性力学的经典解法存在一定的局限性，当弹性体的边界条件和受载情况复杂一点，往往无法求得偏微分方程的边值问题的解析解。因此，各种数值解法便具有重要的实际意义。差分法就是数值解法的一种。所谓差分法，是把基本方程和边界条件（一般均为微分方程）近似地改用差分方程（代数方程）来表示，把求解微分方程的问题改换成为求解代数方程的问题。
T (T0 Te ) x 0
其中 Te 为边界以外的介质的已知温度。应用差分公式，可得：
T1 T3 (T0 Te ) 2h
解出 T1 ，代入（1）式，即得修正的差分方程：
2h 2h 4 T0 T2 2T3 T4 Te
第七章平面问题的差分解
§7-1 差分公式的推导 §7-2 稳定温度场的差分解 §7-3 不稳定温度场的差分解 §7-4 应力函数的差分解 §7-5 应力函数差分解的实例 §7-6 温度应力问题的应力函数差分解 §7-7 位移的差分解 §7-8 位移差分解的实例 §7-9 多连体问题的位移差分解习题课
2 2 2 T h T 2 T0 TA h 2 x A x A 2 1 T 2 2 T T3 TA (1 )h (1 ) h 2 x x A 2 A
§7-2
稳定温度场的差分解
本节以无热源的、平面的、稳定的温度场为例，说明差分法的应用。在无热源的平面稳定场中，t 0, z 微分方程简化为调和方程 2T 0 ，即：

弹塑性力学第7章—平面问题

2 2 2 ε γ xy ∂ ∂ ε ∂ y 应变协调方程： x + = 2 2 ∂y ∂x ∂y∂x
用应力表示应变，结合平衡方程，可得
⎛ ∂2 ∂2 ⎞ 1 ⎛ ∂Fbx ∂Fby ⎞ ⎜ ∂ 2 + ∂ 2 ⎟ (σ x + σ y ) = − − ⎜ ∂ + ∂ ⎟ x ⎠ 1 v⎝ x y ⎠ ⎝ y
本构方程：
7.1 平面问题的基本方程
7.1.1 平面应力问题
应变协调方程： ∂ ε x + 2 = 2 ∂y ∂x ∂y∂x
2
∂ 2ε y
∂ 2γ xy
用应力表示应变，结合平衡方程，可得
⎛ ∂2 ⎛ ∂Fbx ∂Fby ⎞ ∂2 ⎞ ⎜ ⎜ ∂x + ∂y ⎟ ⎟ ⎜ ∂y 2 + ∂x 2 ⎟ ⎟(σ x + σ y ) = −(1 + v )⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7.1 平面问题的基本方程
7.1.2 平面应力问题
本构方程：
1 ⎤=0 εz = ⎡ σ v σ σ − + 由 ( ) z x y ⎦ E⎣
可得
σ z = v (σ x + σ y )
代入一般情况下的广义胡克定律，得到
E v , v1 = 其中 E1 = 2 1− v 1− v
τ xy ⎫ 1 ε x = (σ x − v1σ y ) γ xy = ⎪ E1 G ⎪ ⎪ 1 ε y = (σ y − v1σ x ) γ yz = 0 ⎬ E1 ⎪ εz = 0 γ zx = 0 ⎪ ⎪ ⎭
f1 = C2 x3 + C3 x 2 + C4 x + C5
f 2 = C6 x3 + C7 x 2 + C8 x + C9

弹性力学第七章

滚柱
(2) 外力特征
外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度 z 方向不变化。约束 —— 沿长度 z 方向不变化。
(3) 变形特征
厚壁圆筒
如图建立坐标系：以任一横截面为xy面，任一纵线为z 轴。设z方向为无限长，则 σ x , ε x， u , 沿z方向都不变化，仅为x，y 的函数。（任一横截面均可视为对称面）
§7.1
平面应变问题
本节所要研究的弹性体是工程中经常会出现的等截面柱形物体。取一个直角坐标系，使z轴和柱的母线平行，则柱体所占的空间区域 V可表示成
V = {( x, y, z ) ( x, y ) ∈ A, 0 ≤ z ≤ L}
其中A为二维区域，L为柱长。柱体所受的体积力和侧面所受的面力都平行于Oxy平面，且它们的分布沿z方向不变，在Oxy平面内构成平衡力系。暂时不管在z=0和z=L处两端面的边界条件。假定柱体内任一点的位移矢量和Oxy平面平行，且和z无关，即
(c)
由于物体的形状和外力等都关于Oxy平面对称，若不考虑刚体位移，则可取ｗ0=0，上式简化为
w = ε z ( x, y ) z
(7.15)
现在还有一个重要的问题没有解决，即按平面应力问题求解的结果是否就是本节开始所提问题的解？因为事先假定了应力状态满足条件(7.12)，故用胡克定律由这种应力求出的应变必须满足协调方程。在协调方程(3.34c)中，有两个自动满足，剩下的四个中，一个就是 (7.7)，只要位移和应变满足几何方程(7.2)，(7.7)也自动满足，另外三个是
平面应力问题
平面应变问题
非平面问题
从胡克定律(5.26b)可得εαβ和σαβ之间的关系如下
ε x = 1 (σ x −νσ y )

弹性力学7详细讲解

u
u
x,
y
,
v
x,
on t on u
– 位移假设
u u x, y,v x, y,0T
2020年11月25日
力学与工程科学系
2
平面应变问题的简化
• 应变场 • 应力场
x
u x
,y
v y
, xy
1
2
u y
v x
,
yz zx z 0
x x y 2 x , y x y 2 y , xy 2 xy
xy
1 2
xy
1 21
xy
E1
E 1
2
,1
1
,
1
E1 2(1 1 )
• 应力协调条件
2
x y
1
1
f x x
f y y
0,
2 2 2 x2 y2
2020年11月25日
力学与工程科学系
5
Airy应力函数
• 无体力
x,x xy, y 0 xy,x y,y 0
U x, y,
混合边界条件： xz yz 0,
z x y
w0
2020年11月25日
力学与工程科学系
4
协调条件
• 应变协调条件
2 x
y2
2 y
x2
2 2 xy
xy
• 应力应变关系
x
1 2
x
2
x y
1
E1
x 1 y
y
1 2
y
2
x y
1
E1
y 1 x
U
h2 3z2
61
2U
22U 0

弹性力学第二章平面问题的基本理论

圣维南定理
总结词
圣维南定理是弹性力学中的一个重要定理，它表明在弹性体的局部区域，改变内力的分布不会影响该区域以外的应力分布。
详细描述
圣维南定理指出，在一个弹性体上施加一个集中力或分布力，只会影响该力作用点附近的应力分布，而不会影响远离作用点的应力分布。这个定理在解决弹性力学问题时非常重要，因为它可以帮助我们忽略某些局部细节，从而简化问题。
04
弹性力学的基本方程
平衡方程
平衡方程描述了弹性体在受力作用下的平衡状态，其数学表达式为：$frac{partial sigma_{xx}}{partial x} + frac{partial sigma_{xy}}{partial y} = 0$，其中 $sigma_{xx}$和$sigma_{xy}$分别为应力分量。
几何方程反映了物体在变形过程中满足连续性和均匀性的条件，是解决弹性力学问题的重要基础。
本构方程
本构方程描述了应力与应变之间的关系，其数学表达式为： $sigma_{xx} = lambdaepsilon_{xx} + 2muepsilon_{xx}$，其中$lambda$和$mu$分别为拉梅常数，$epsilon_{xx}$为应变分量。
平面应变问题的应用场景
1 2 3
土木工程
在桥梁、建筑等土木工程结构中，常常需要考虑平面应变问题，以分析结构的稳定性、承载能力和抗震性能。
机械工程
在机械零件和设备的设计中，如板、壳等结构，也需要考虑平面应变问题，以确保其在使用过程中的安全性和稳定性。
地球科学
在地质工程、地震工程等领域，平面应变问题也是重要的研究内容，用于分析地壳的应力分布、地震波传播等。
弹性力学第二章平面问题的基本理论

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果，但应注意选其中反映问题本质的那些变化规律
。
d) 灵活应用叠加原理。把几个能满足域内方程的解
叠加起来去共同满足边界条件。
•
第三步的关键是要正确地给定边界条件。在
主要边界上应逐点给定力或位移的边界条件；在放
松边界上则以积分形式给定合力和合力矩的边界条
件；在集中力作用处，应转化为附近球面上的积分
形式条件。
非轴对称问题
•q
1
•y •q
2
•x
•a
•q
•q2 •y
1
•=
•x
•a
•+
•＋
•y •q ’
•q
• •x
•a •q
’
’
•q’
•Chapter 7.7
•y •q
非轴对称问题
•q ’
’
• •x
•a •q
’
•关于 =45°的反对称问题的解
•q’
•周期函数
•Chapter 7.7
非轴对称问题
•q ’
•y •q ’
非轴对称问题
•+C03 (不引起应力
)
•+C13rcos (不引起应力) •+C’13rsin (不引起应力)
•Chapter 7.7
非轴对称问题
•几个典型问题
(1) 闭合圆环形域：边界： • r =常数的复连通域，周期
性 (2)曲梁：单连通域。边界： • r =常数（主要边），
• =常数（次要边）
•位移单值条件要求：B=0
•对于两端自由的轴对称问题，无论轴向有多长都属于平面应力问题。
•Chapter 7.6
轴对称问题
•对于圆域，为防止圆心r=0处出现无限大应力，必须令 A=0。于是：
•这是个均匀拉压应力状态。
•Chapter 7.6
轴对称问题
•对于无应力(A=B=C=0)状态, 位移分量表达式为：
冯西桥弹性力学07平面问题 B
•平面问题
平面问题及其分类平面问题的基本解法应力函数的性质直角坐标中的平面问题解平面问题的极坐标解轴对称问题非轴对称问题关于解和解法的讨论
•Chapter 7
平面问题的极坐标解
• 对于很多工程问题，采用极坐标进行求解更为方便：
• 例如：圆形（柱、轴、筒、盘、环）、楔形、扇形、带小圆孔的物体、一些半无限大问题，等等。
•Chapter 7
非轴对称问题
•当载荷分布与环向坐标有关时，应力函数可展成三角级数：
•其中第一项0是解的轴对称分量。
•对于环向不闭合的楔形域或扇形域，应力函数展开式中还将出现
因子的函数项
•Chapter 7.7
非轴对称问题
•J.H. Michell 给出极坐标通解 (1899)
•Chapter 7.7
• •x
•a •q
’
•q’
•y
•r
•o
•
•a
•x •b
•Chapter 7.7
非轴对称问题
•单向均匀拉伸0的孔板（Kirsch问题）
•q
•y
•0
•
•-
•30
0 •a
•x
•3 •
0
•Chapter 7.7
•平面问题
平面问题及其分类平面问题的基本解法应力函数的性质直角坐标中的平面问题解平面问题的极坐标解轴对称问题非轴对称问题关于解和解法的讨论
平面问题及其分类平面问题的基本解法应力函数的性质直角坐标中的平面问题解平面问题的极坐标解轴对称问题非轴对称问题关于解和解法的讨论
•Chapter 7
轴对称问题
•轴对称问题：几何形状与载荷分布都与环向坐标无
关•例1：厚壁筒受内压 pi , 外压 po
•Chapter 7.6
轴对称问题
•例2：旋转圆盘受
•离心力 fr = 2r
•
•例3：曲梁受纯弯曲:
•位移与有关，应力、应力函数与无关
•M
•
•x
• •r
•M •y
•Chapter 7.6
轴对称问题
•例4：圆盘受内、外均匀扭转 :
•应力函数与有关，应力、位移与
无关
•Mz •Mz
•r
•Chapter 7.6
轴对称问题
应力函数解法
•Chapter 7.6
轴对称问题
•协调方程简化为
•四阶欧拉型变系数常微分方程，系数均为实数。
•Chapter 7.6
轴对称问题
•求解应力函数的双重调和方程
•设解具有幂函数形式： •代入一般形式中消去公因子rk-n，得特征方程
•Chapter 7.6
轴对称问题
•其特征根： •通解： •应力表示为：
非轴对称问题
•外圆边界r＝b上的应力边界
条件：
•q
•y •-q
•
•x
•a
•q
•-q
•Chapter 7.7
非轴对称问题
•在内孔处的边界条件为： •应设为： •代入协调方程得：
•y •q
•q
• •x
•a •q
•-q
•( 1)
•Chapter 7.7
非轴对称问题
•其特征方程为： •通解为：
•Chapter 7.7
•e r
r
•o
•x
•Chapter 7.5
平面问题的极坐标解
•当边界为坐标线时：
= 2: = p1, r = pr1, r = r1: r = -pr2, r = -p 2•pr1 •p1•y•p
•o
•
2
•pr2
• •r1
1
2
•x
•(n+1)连通域，位移单值性条件
•Chapter 7.5
•平面问题
•I和K分别是极坐标原点在x和y方向的刚体位移，而 H是绕z轴的刚体转动。
•Chapter 7.6
轴对称问题
•一般轴对称问题的位移是与有关的。如果限制原点的刚体位移
(I=K=0), 且考虑位移单值情况(B=0)，则位移与无关。如进一步限制刚体转动(H=0)，则只剩下径向位移：
•其中
•Chapter 7.6
• (3) 楔形体：单连通域。边界：
• =常数（主要边），
• r =常数（次要边）
•a •b
•o
•
•x
• •r
•y
•o •y
•
•r
•
•x
•Chapter 7.7
非轴对称问题
•例1 小孔应力集中
•y •-q
•应力集中系数：
•
•x
•q
•a
•q
•-q
•max 为最大局部应力；0 为名义应力
。
•Chapter 7.7
• 即应力第一不变量与坐标选择无关。
•Chapter 7.5
平面问题的极坐标解
• 位移：
•Chapter 7.5
平面问题的极坐标解
2. 二阶张量（应力、应变）
•Chapter 7.5
平面问题的极坐标解
• 或写成：
•Chapter 7.5
平面问题的极坐标解
边界条件
•p
•y •e •
•p
•r
•
③ 利用边界条件定出解中所含的待定常数。
• 第一步的判断带有一定的经验性，主要方法是： a) 根据几何形状和载荷分布的特点来判断物体内部
应力和应力函数的分布规律。 b) 把应力函数沿主要边界的分布规律推广到域内。
•Chapter 7.8
解和解法的讨论
c) 对有些问题可以参考材料力学或其他简化理论的结
•Chapter 7.5
平面问题的极坐标解
基本方程
•(1) 平衡方程
•(2) 几何方程
•Chapter 7.5
平面问题的极坐标解
基本方程
•(3) 本构方程
•平面应力
•Chapter 7.5
平面问题的极坐标解
➢ 平面应变：
• 轴向分量为：
•平面应力
•平面应变
•Chapter 7.5
平面问题的极坐标解
•Chapter 7.8
平面问题
•谢谢
！
•Chapter 7
•Chapter 7
解和解法的讨论
• 本章各解例的基本出发点是：假设问题的解由各项可以分离变量的函数组成，即令
• 然后按如下步骤求解： ① 设法判断应力函数沿主要边界的坐标方向上的函数
变化规律(例如fi(x)或gi())。
•Chapter 7.8
解和解法的讨论
② 代入应力函数解法基本方程，确定另一坐标方向上的函数变化规律(例如gi(y)或fi(r))
轴对称问题
位移解法
限制原点的刚体位移和转动，由对称性可设：
代入几何方程、本构方程、平衡方程，得位移表示的平衡方程：
•Chapter 7.6
轴对称问题
•该欧拉方程的通解为：
•Chapter 7.6
轴对称问题
•例1 厚壁筒的 Lamé解 •边界条件为：
•利用轴对称的应力公式
，得：
•Chapter 7.6
•Chapter 7.6
轴对称问题
•应变分量：
•Chapter 7.6
轴对称问题
•于是可得位移分量
•Chapter 7.6
轴对称问题
•利用：
•＝常数
•Chapter 7.6
轴对称问题
•于是，轴对称位移分量：
•六个积分常数由边界条件确定。 •位移单值条件要求：B=0