小学奥数 5-3-2 质数与合数(二).教师版
奥数 六年竞赛 质数 合数.教师版word
1. 利用质数、合数的性质解题．2. 灵活掌握质数、合数的拆分方法．本讲主要是对质数、合数的性质的灵活运用，并对质数2、5的特殊性深刻理解，同时对一些质数、合数的拆分规律进行归纳总结．1． 质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.2． 判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于P 的质数p (均为整数)，使得p 能够整除P ，那么P 就不是质数，所以我们只要拿所有小于P 的质数去除P 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的P ，我们可以先找一个大于且接近P 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除P ，如没有能够除尽的那么P 就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数. 第6讲质数、合数3． 若干个整数的和已知，求这些整数的积最大的方法拆分原则：多拆3，最多拆两个2，不拆1――拆分后乘积最大4． 找n 个连续合数的方法方法一：(1)!2n ++，(1)!3n ++，(1)!4n ++，…，(1)!(1)n n +++这n 个数分别能被2、3、4、…、(n +1)整除，它们是连续的n 个合数．其中!n 表示从1一直乘到n 的积，即1⨯2⨯3⨯…⨯n ．方法二：[2,3,4,5,,,(1)]2n n ++L ，[2,3,4,5,,,(1)]3n n ++L ，[2,3,4,5,,,(1)]4n n ++L ，L ，[2,3,4,5,,,(1)]n n n ++L ，()[2,3,4,5,,,(1)]1n n n +++L (其中[2,3,4,5,,,(1)]n n +L 表示2，3，4，L ，n ，1n +的最小公倍数)【例 1】 已知P 是质数，21P +也是质数，求51997P +是多少？ 【分析】 P 是质数，2P 必定是合数，而且大于1．又由于21P +是质数，2P 大于1，21P +一定是奇质数，则2P 一定是偶数．所以P 必定是偶质数，即2P =．55199721997P +=+321997=+2029=［巩固］ (第五届“华杯赛”口试第15题)图中圆圈内依次写出了前25个质数；甲顺次计算相邻二质数之和填在上行方格中；乙顺次计算相邻二质数之积填在下行方格中．质数列乙填“积数”甲填“和数”978913117532351561285.................................问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同?为什么?［分析］ 质数中只有一个偶数2，其余的质数均为奇数．所以甲填的“和数”中除第一个是奇数5外，其余的均为不小于8的偶数．乙填的“积数”中除第一个是偶数6外，其余所填的全是不小于15的奇数．所以甲填的数与乙填的数都不相同．【例 2】 (2008年南京市青少年“科学小博士”思维训练)炎黄骄子 菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学家．华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖．我们知道正整数中有无穷多个质数(素数)，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对利用质数、合数性质解题任何正整数k ，存在无穷多组含有k 个等间隔质数(素数)的数组．例如，3k =时，3，5，7是间隔为2的3个质数；5，11，17是间隔为6的3个质数：而 ， ， 是间隔为12的3个质数(由小到大排列，只写一组3个质数即可)．【分析】 最小的质数从2开始，现要求每两个质数间隔12，所以2不能在所要求的数组中．而且由于个位是5的质数只有一个5，所以个位是3的质数不能作为第一个质数和第二个质数，可参照下表：［巩固］ (全国小学数学奥林匹克)从1～9中选出8个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数．排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可以读到的最大的数是 ． ［分析］ 由于质数除了2以外都是奇数，所以数字在顺时针排列时应是奇偶相间排列．切开后的数仍然具有“相邻两数之和是质数”，并且最高位与最低位之和也是质数，考虑到“最大”的限制条件，最高位选9，第二位选8，第三位最大可以选7，但7与8之和不是质数，再改选5，8与5之和是质数，符合要求．第四位可选剩余的最大数字6，如此类推……十位可选3，个位选2．所以，可以读到的最大数是98567432．数字排列如图．【例 3】 三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数．【分析】 设这三个质数分别是a 、b 、c ，满足11()abc a b c =++，则可知a 、b 、c 中必有一个为11，不妨记为a ，那么11bc b c =++，整理得(1)(1)12b c --=，又121122634=⨯=⨯=⨯，对应的b =2、c =13或b =3、c =7或b =4、c =5(舍去)，所以这三个质数可能是2，11，13或3，7，11．［拓展］ (俄罗斯数学奥林匹克)万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同．如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？［分析］ 因为是质数所以个位数不可能为偶数0，2，4，6，8也不可能是奇数5．如果末位数字是3或9，那么数字和就将是3或9的两倍，因而能被它们整除，这就不是质数了．所以个位数只能是7．这个三位质数可以是167，257，347，527或617中间的任一个．【例 4】 (我爱数学少年数学夏令营)用0，1，2，…，9这10个数字组成6个质数，每个数字至多用1次，每个质数都不大于500，那么共有 种不同的组成6个质数的方法．请将所有方法都列出来．【分析】 除了2以外，质数都是奇数，因为0～9中只有5个奇数，所以如果想组成6个质数，则其中一定有2．又尾数为5的数中只有5是质数，所以5只能单独作为6个质数中的一个数．另4个质34765892数分别以1，3，7，9为个位数，从而列举如下：{2，3，5，7，41，89}，{2，3，5，7，61，89}，{2，3，5，7，89，401}，{2，3，5，7，89，461}，{2，3，5，7，61，409}，{2，3，5，47，61，89}，{2，3，5，41，67，89}，{2，3，5，67，89，401}，{2，5，7，43，61，89}，{2，5，7，61，83，409}．即共有10种不同的方法．［拓展］ (2003年“祖冲之杯”邀请赛)大约1500年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出π的值在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把π的值精确到7位小数的人．现代人利用计算机已经将π的值计算到了小数点后515亿位以上．这些数排列既无序又无规律．但是细心的同学发现：由左起的第一位3是质数，31也是质数，但314不是质数，那么在3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927中，质数是 ．［分析］ 注意到3141，31415，3141592，31415926，31415927依次能被3，5，2，2，31整除，所以，质数是314159．【例 5】 (保良局亚洲区城市小学数学邀请赛)用L 表示所有被3除余1的全体正整数．如果L 中的数(1不算)除1及它本身以外，不能被L 的任何数整除，称此数为“L —质数”．问：第8个“L —质数”是什么？【分析】 “L 数”为1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，…．“L —质数”应为上列数中去掉1，16，28，…，即为4，7，10，13，19，22，25，31，34，…．所以，第8个“L —质数”是31．【例 6】 有一个四位数，它的个位数字与千位数字之和为10，且个位数既是偶数又是质数，去掉首位和末位得到一个两位数是质数，又知这个四位数是72的倍数，求这个四位数．【分析】 设这个四位数为abcd ，由题目可知，10a d +=，2d =，所以8a =，四位数是82bc根据：“去掉首位和末位得到一个两位数是质数”，“这个四位数是72的倍数”可得72|82bc ，9|82bc ，即9|(82)b c +++．可以得到9|(1)b c ++．所以b c +的结果有两种可能：8b c +=，17b c +=．bc 可能是80，71，17，62，26，53，35，44，98，89．其中80，62，26，35，44，98为合数．只有71，17，53，89是质数． 又因8|2,2100102(968)(422)bc bc b c b c b c =++=++++所以8|422b c ++(968b c +是8的倍数)．把17，53，89代入上式：不能满足8|422b c ++，只有71可以满足上式：8|47212⨯+⨯+【例 7】 如果一个数，将它的数字倒排后所得的数仍是这个数，我们称这个数为回文数．如年份数1991，具有如下两个性质：①1991是一个回文数．②1991可以分解成一个两位质数回文数和一个三位质数回文数的积．在1000年到2000年之间的一千年中，除了1991外，具有性质①和②的年份数，还有．【分析】这一千年间回文数年份共有10个，除去1991外，还有1001，1111，1221，1331，1441，1551，1661，1771，1881．符合条件②的两位质数只能是11，所以符合条件②的只有三个，即11⨯101=1111，11⨯131=1441，11⨯15l=1661．［铺垫］(2005年武汉“明星奥数挑战赛”)小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数．同时，她感到这个号码很容易记住，因为它的形式为abba，其中a b≠，而且ab和ba都是质数(a和b是两个数字)．具有这种形式的数共有个．［分析］若两位数ab、ba均为质数，则a、b均为奇数且不为5，故有1331，3113，1771，7117，7337，3773，9779，7997共8个数．［拓展］如果某整数同时具备性质：⑴这个数与1的差是质数；⑵这个数除以2所得的商也是质数；⑶这个数除以9所得的余数是5．我们称这个整数为幸运数，那么在两位数中，最大的幸运数是．［分析］条件⑴也就是这个数与1的差是2或奇数，这个数只能是3或者是偶数，再根据条件⑶，除以9余5，在两位的偶数中只有14，32，50，68，86这五个数满足条件．其中86与50不符合⑴，32与68不符合⑵，三个条件都符合的只有14．这个数是14．【例 8】一个等差数列的连续5项都是质数，那么这个等差数列的公差最小是多少？【分析】显然公差应该是一个偶数，如果是奇数的话，那任意相邻的两项就必然是一个奇数一个偶数了．同样的道理，公差如果不是3的倍数，那任意相邻的三项中必然有一个是3的倍数，如果第一项是3, 则第4项也是3的倍数，不能是质数了；综合分析得，公差应该是2和3的倍数，所以公差至少是6.如果公差是5的倍数，则公差至少是30；如果公差不是5的倍数，因为连续项中至少有一个是5的倍数，所以只能是第1个是5,取6为公差，那剩下的就分别是11、17、23、29,恰好满足要求，所以公差最小是6．［拓展］有9个连续自然数，它们都大于80，那么其中质数最多有多少个？［分析］首先除了2以外的质数都是奇数，在任意9个连续自然数中，至多有5个数是奇数，这5个奇数中必然有一个5的倍数，所以质数最多有5-1=4个．构造过程如下：首先有4个偶数，所以这9个数中最大的和最小的都是奇数，中间的一个自然也是奇数；而且9个连续自然数有3个3的倍数，只能有1个奇数，有2个偶数，那么第2个数和第8个数是3的倍数的偶数，这样的话第5个数也就是中间的数必然是3的倍数，为了节省“合数”，所以我们应该让中间的一个数既是3的倍数，又是5的倍数，经试验105可以做中间数, 发现这9个数是101、102、103、104、105、106、107、108、109, 刚好有4个质数101、103、107、109．质数、合数的灵活拆分【例 9】把1988分成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，要使得到的乘积尽可能大，则这时乘积的所有不同质因数的和是．【分析】如果拆成的数中有1，则将1加入其它的数中将会使乘积更大，所以拆成的数中不能有1；如果拆成的数中有不小于5的数a，由于3(3)290->，所以将a再拆成3与a a a--=->，即3(3)a a3a-会使乘积更大，所以拆成的数中不能有不小于5的数；如果拆成的数中有4，由于42222=+=⨯，所以可以将4再拆成两个2，这样乘积不变所以；拆成的数应全为2和3．又因为22233++=+，22233⨯⨯<⨯，所以，如果出现3个以上的2，将3个2换成2个3会使乘积更大；所以，拆成的数中最多只能有2个2，其余的全为3．而198836622=⨯+，所以应将1988拆分成662个3和1个2，这时其乘积最大．而此时乘积只有3和2这两个不同的质因数，所以答案是325+=．总结拆分原则：多拆3，做多拆两个2，不拆1――拆分后乘积最大［巩固］若干个整数的和是2005，求这些整数的积最大是多少？［分析］2005÷3=6681L L，则拆成：6672⨯．32【例11】将30拆成若干个互不相同的自然数之和，要求这些自然数的乘积尽量大，应怎样拆？【分析】拆成2，3，4，6，7，8．1不应出现在拆成的数中．把从2开始的若干个连续自然数相加．如果n n++++-+L与a的差只L，则234(1)++++-<++++-+≥n aL，而234(1)234(1)n n a可能为0，1，2，…，1n-．①当差为0时，将a拆成234(1)a n nL=++++-+②当差为1时，将a拆成34(1)L=+++-+a n n③当差为2，3，…，n-1中的数时，就将该数从2，3，…，n-1，n中删除，其余数即为所拆之数．本题中234567835++++++=，比30大5，故将5去掉，30被拆成234678+++++［巩固］(2008年湖北“创新杯”)电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播．A．7天B．8天C．9天D．10天［分析］由于希望播出的天数要尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少．又123456728++++++=，如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出．由于已有过一天播出2集的情况，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子里播出．例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9等均可．所以最多可以播7天．【例11】写出10个连续自然数，它们个个都是合数．【分析】在寻找质数的过程中，我们可以看出100以内最多可以写出7个连续的合数：90，91，92，93，94，95，96．我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了．用筛选法可以求得在113与127之间共有13个都是合数的连续自然数：114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126．同学们可以在这里随意截取10个即为答案．可见本题的答案不唯一．老师可以把本题拓展为找更多个连续的合数：找200个连续的自然数它们个个都是合数．【分析】如果10个连续自然数中，第1个是2的倍数，第2个是3的倍数，第3个是4的倍数L L第10个是11的倍数，那么这10个数就都是合数．又2m+，m+3，L，m+11是11个连续整数，故只要m是2，3，L，11的公倍数，这10个连续整数就一定都是合数．设m为2，3，4，L，11这10个数的最小公倍数．m+2，m+3，m+4，L，m+11分别是2的倍数，3的倍数，4的倍数L L11的倍数，因此10个数都是合数．所以我们可以找出2，3，4L11的最小公倍数27720，分别加上2，3，4L11，得出十个连续自然数27722，27723，27724L27731，他们分别是2，3，4L11的倍数，均为合数．说明：我们还可以写出11!2,11!3,11!411!11L(其中n！=1⨯2⨯3⨯L⨯n)这10个连续合数++++来．同样，(m+1)!+2,(m+1)!+3,,(m+1)!+m+1L是m个连续的合数．那么200个连续的自然数可以是：201!2,201!3,,201!201L+++说明：构造法的应用可以很快得出符合条件的10个连续自然数，而且可以拓展到更多连续自然数的情况．【例12】有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有13种，那么所有这样的自然数中最小的一个是多少？【分析】在所有的质数中，从小到大第13个质数是41，因此在13种分解方法中，质数最大的那一组至少是41445=+=+=+=+=+ +=．按题目要求分拆45有如下12种方法：4534254073811341332 17281926232229163114378414=+=+=+=+=+=+=+按题目要求分拆46有如下7种方法：=+=+=+=+=+=+=+462447391135133319273115379按题目要求分拆47有如下14种方法：=+=+=+=+=+=+=+472453444435426417401037=+=+=+=+=+=+=+因此满足题意最小自然数是47．1136133417301631182919282324［拓展］求1-100中不能表示成两个合数的乘积再加一个合数的最大数是多少？［分析］考虑最小的合数是4，先把表示方法简化为4⨯合数+合数而合数最简单的表现形式就是大于等于4的偶数因此该表示方法进一步表示为4⨯(2⨯n)＋合数即8n+合数(其中n＞1即可)当该数被8整除时， 该数可表示为4⨯(2n )+8 ，n ＞1,所以大于等于24的8的倍数都可表示 当该数被8除余1时，该数可表示为4⨯(2n )+9，n ＞1,所以大于等于25的被8除余1的都可表示当该数被8除余2时，该数可表示为4⨯(2n )+10，n ＞1,所以大于等于26的被8除余2的都可表示当该数被8除余3时，该数可表示为4⨯(2n )+27，n ＞1,所以大于等于43的被8除余3的都可表示当该数被8除余4时，该数可表示为4⨯(2n )+4，所以大于等于20的被8除余4的都可表示当该数被8除余5时，该数可表示为4⨯(2n )+21，所以大于等于37的被8除余5的都可表示 当该数被8除余6时，该数可表示为4⨯(2n )+6，所以大于等于22的被8除余6的都可表示当该数被8除余7时，该数可表示为4⨯(2n )+15，所以大于等于31的被8除余7的都可表示 综上所述，不能表示的最大的数是43835-=经检验，35的确无论如何也不能表示成合数×合数＋合数的形式，因此我们所求的最大的数就是351． P 是质数，10P +，14P +，210P +都是质数．求P 是多少？【分析】 由题意知P 是一个奇数，因为10331÷=L ，14342÷=L ，所以P 是3的倍数，所以3P =2． 三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数．【分析】 设这三个质数分别是a 、b 、c ，满足7()abc a b c =++，则可知a 、b 、c 中必有一个为7，不妨记为a ，那么7bc b c =++，整理得(1)(1)8b c --=，又81824=⨯=⨯，对应的b =2、c =9(舍去)或b =3、c =5，所以这三个质数可能是3，5，73． 用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数?（并写出所组成的质数）【分析】 要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，除了2以外，质数都是奇数，因为0～9中只有5个奇数，所以如果想组成6个质数，则其中一定有2．又尾数为5的数中只有5是质数，所以5只能单独作为6个质数中的一个数．另4个质数分别以1，3，7，9为个位数，从而列举如下：{2，3，5，7，89，461}、{2，3，5，7，89，641}(6252525=⨯.而且641都不能被2、3、5、7、11、13、17、19、23整除，所以641是质数){2，3，5，47，61，89}，{2，3，5，41，67，89}，{2，5，7，43，61，89}4． 有人说：“任何7个连续整数中一定有质数．”请你举一个例子，说明这句话是错的．【分析】 例如连续的7个整数：842、843、844、845、846、847、848分别能被2、3、4、5、6、7、8整除，它们都不是质数．【评注】我们注意到(1)!2n ++，(1)!3n ++，(1)!4n ++，…，(1)!(1)n n +++这n 个数分别能被2、3、4、…、(n +1)整除，它们是连续的n 个合数．其中!n 表示从1一直乘到n 的积，即1⨯2⨯3⨯…⨯n ．5． 若将17拆成若干个的质数之和，使得这些质数的乘积尽可能大，那么这个最大的乘积是多少？【分析】 根据整数拆分原则：多拆3，少拆2，不拆1――拆分后乘积最大．若要使17拆成的不同质数的乘积尽可能大，应该将17分解为5个3和1个2，所以最大乘积是3⨯3⨯3⨯3⨯3⨯2=486．6． (第五届“华杯赛”复赛第8题)把37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法?将每一种拆法中所拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小?【分析】 3735292572331123231319513197111925111925131771317271117=++=+++=++=+++=++=++=+++=+++=++=+++ 共10种不同拆法．其中3⨯5⨯29=435最小拒子入门子发是战国时期楚国的一位将军。
奥数-质数、合数、算术基本定理(二)
年 级五年级 学 科 奥数 版 本 通用版 课程标题质数 合数 算术基本定理（二） 编稿老师张任峰 一校 林卉 二校 黄楠 审核 张舒上一讲我们学习了质数、合数的概念、特征和判断方法，本节介绍算术基本定理。
首先回顾分解质因数的知识。
同学们已掌握如何用短除法将一个自然数分解质因数，比如23218⨯=。
正整数分解为质数乘积的方式是唯一的。
质因数：质数p 是某个整数的约数，那么质数p 是这个整数的质因数。
比如：2是18的质因数。
互质：两个整数没有相同的质因数，那么这两个整数互质。
比如：9、8两个数互质，相邻整数互质。
由上述定义可知，1和任何整数互质。
算术基本定理（唯一分解定理）：任何大于1的自然数都可以表示成有限个质数的乘积的形式，并且表示方法唯一。
23326⨯=⨯=视作同一种表示方法。
例1 把2、5、14、24、27、55、56、99分成乘积相等的两组。
分析与解：乘积的质因数来自乘数的质因数，所以先要将这8个数分解质因数，再对分解的结果加以分析。
两组乘积相等，质因数就要平均分配。
把这8个数分解质因数为1137211533272522333⨯⨯⨯⨯⨯、、、、、、、观察质因数3，得到：33与1133223⨯⨯、在不同组； 观察质因数11，得到：1131152⨯⨯、在不同组； 观察质因数7，得到：72723⨯⨯、在不同组。
所以分组方式如下：33、115⨯、723⨯、2；323⨯、1132⨯、72⨯、5。
即2565527、、、一组；5149924、、、在另一组。
例2 两个连续两位数乘积的末尾最多有几个0？分析与解：整数末尾有几个0，即为最多是10的几次方的倍数，取决于质因数分解式中2、5的次数。
两个连续的两位数不可能都是5的倍数，所以质因数5来自其中一个两位数，最多有2个，那么乘积末尾最多有两个0。
只有3个两位数即25、50、75含2个5，计算含这些数的乘积：5700767555507574255051502450504965026256002524=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯ 乘积末尾最多有2个0。
苏教版小学数学五年级下学期精品课件-《质数和合数》(2课时)
质数
合数
23 29 31 37 43 47
21 25 27 33 35 49
4.填空
(1)质数只有( 2 )个因数，合数至少有( 3 )个因数。
(2)自然数中，最小的质数是( 2 )，最小的合数是( 4 )。
(3)比10小的数里，质数有( 4 )个，合数有( 4 )个。
质数和合数
苏教版五年级下册 数学
回顾旧知
（1）2、5、3的倍数有什么特征？ 2的倍数，个位上是0、2、4、6、8。 5的倍数，个位上是0或5。 3的倍数，它各位上数的和是3的倍数。
回顾旧知
（2）我们是怎样研究2、5、3的倍数的特征的？
我们研究2、5、3的倍数的特征时，是先写出几个 2、5、3的倍数，然后再来研究它们的共同特点，发 现规律。
28=4×7，4和7 是28的因数。
在1、5、4、7中， 5和7是质数。
5=1×5，1和5 是5的因数。
28＝4×7，4和7 是28的因数。
在1、5、4、7中， 5和7是质数。
如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。
上面的算式中，哪个数是哪个数的质因数？ 5是5的因数，又是质数，所以5是5的质因数。 7是28的因数，又是质数，所以7是28的质因数。
回顾旧知
（3）自然数按是不是2的倍数作为标准进行分类，可 以分为（奇）数和（偶 ）数。
研究方法： 对一些具体数的研究 发现共同特征
本节课的学习内容 自然数的分类 研究分类的标准 质数和合数
探究新知
例6 写出下面各数的所有因数。
2的因数：1、2
；3的因数：1、3
；
5的因数：1、5
小学数学奥数习题---质数和合数
专题二-----数论第三节质数与合数知识提要：质数与合数（1）一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数叫做质数（也叫做素数）。
（2）一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。
（3）要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。
（4）常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个：除了2其余的质数都是奇数除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9。
二、质因数与分解质因数（1）质因数：如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
（2）互质数：公因数只有1的两个自然数，叫做互质数。
（3）分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
（4）分解质因数的方法：短除法三、部分特殊数的分解111=3×37 1001=7X11X13; 11111=41×271; 10001=73X1371995=3×5×7×19; 1998=2×3×3×3×37: 2007=3×3×2232008=2×2X2×251: 2013=3X11X61 10101=3X7×13X37.例题1（1）在下面的方框中分别填入三个质数，使等式成立ロ＋ロ＋ロ＝52（2）已知长方形的长和宽都是质数，并且周长是36厘米。
这个长方形的面积最大是多少平方厘米？练习1(1)两个质数的和是49，求这两个质数的积是多少?(2)A、B、C为三个质数，A+B=16，B+C=24，且A<B<C，求这三个质数。
(3)三个质数的倒数之和为431／1547，这三个质数的和是多少?例题2已知P，Q都是质数，并且P×11-Q×93=2003，则P×Q等于多少?练习2如果a，b均为质数，且3a+7b=41，则a+b等于多少?例题3把下面的数分解质因数(1)360 (2)539 (3)2635 (4)373练习3请把下面的数分解质因数：(1)2328;(2)12660;(3)22425;(4)374;例题4(1)三个连续自然数的乘积等于39270，那么这三个连续自然数的和等于多少?(2)四个连续自然数的乘积为3024，求这四个数是多少?练习4(1)三个连续自然数的积是32736，求这三个数?(2)四个连续自然数的乘积为43680，求这四个数是多少?例题5(1)算式924×175×140×95的计算结果的末位有多少个连续的0?(2)要使975×935×972×( )这个乘积的最后四位数字都为“0”，则( )内填入的最小值是多少?练习5(1)算式1×2×3×…×29×30的计算结果的末尾有几个连续的0?(2)算式31×32×33×…×150的计算结果的末尾有几个连续的0?例题6张老师带领同学们去种树，学生的人数恰好等分成三组，已知老师和学生共种树312棵，老师与学生每人种的树一样多，并且不超过10棵。
小学奥数五年级上第3讲《质数与合数》教学课件
mathematics
(1)如果两个不同的质数相加等于26，那么这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出.
(2)如果两个不同的质数相加等于25，那么这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出.
如果我们要判断2011是不是质数，只需要验算45以内的质数，因为45×45=2025比2011大；有了这
个方法，同学们以后判断一个大数是不是质数就非常方便了.
例题讲解
mathematics
例题1：下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗： 美少年华朋会友，幼长相亲同切磋 杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多 九天九霄志凌云，九七共庆手相握 聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌
练习3：请把下面的数分解质因数： (1)373；(2)12660. 答案： 373是质数； 126=22×3×5×211
例题讲解
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例题讲解
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例题4：算式1×2×3×…×100计算结果的末尾有多少个连续的0? 分析：乘积的末尾要出现一个0，只需要乘数中凑出一个10，那么能凑出来几个10，末尾
当的组合，凑出题目中的三个连续自然数，由于连续自然数相互之间比较接近，所以凑 的时候也必须尽量接近. 答案：102
极限挑战
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例题6：360与一个三位数的乘积是完全平方数,这个三位数最小是多少? 分析完全平方数是两个相同数的乘积,那么分解后它的每个质因数的指数都是偶数,而 360=23×32×5,它不是一个平方数.它最小再乘上多少,结果就是平方数了? 答案：160
小学奥数干货-5-3-1 质数与合数(一).教师版
5-3-1.质数与合数（一）知识框架1.掌握质数与合数的定义2.能够用特殊的偶质数2与质数5解题3.能够利用质数个位数的特点解题4.质数、合数综合运用知识点拨一、质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。
常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大K，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p就为质于且接近p的平方数2数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.例题精讲模块一、判断质数合数【例1】下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1—56号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．【考点】判断质数合数【难度】1星【题型】填空【解析】按要求编号排序，并画出质数号码：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；1234567891011121314杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；1516171819202122232425262728九天九霄志凌云，九七共庆手相握；2930313233343536373839404142聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．4344454647484950515253545556将质数对应的汉字依次写出就是：少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山．【答案】少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山【例2】著名的哥德巴赫猜想是：“任意一个大于4的偶数都可以表示为两个质数的和”。
小学五年级奥数第2课质数、合数和分解质因数试题附答案-精品
小学五年级上册数学奥数知识点讲解第2课《质数、合数和分解质因数》试题附答案一.基本慨念和知识L质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。
一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
要特别记住：1不是质数，也不是合数。
2.质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例：把30分解质因数。
解:30=2X3X5。
其中2、3、5叫做30的质因数。
又如12=2X2X3=22X3,2、3都叫做12的质因数。
二.例题例1三个连续自然数的乘积是210,求这三个数.例2两个质数的和是40,求这两个质数的乘积的最大值是多少?例3自然数123456789是质数，还是合数？为什么?例4连续九个自然数中至多有几个质数？为什么?例5把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。
例6有三个自然数，最大的比最小的大6,另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560.求这三个自然数。
例7有3个自然数a、b、&己知aXb=6,bX c=15,例8一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与这个平方数。
例9问36洪有多少个约数？例10求240的约数的个数。
答案二，例题例1三个连续自然数的乘积是210,求这三个数.7210=2X3X5X7・•・可知这三个数是5、6和7。
例2两个质数的和是40,求这两个质数的乘积的最大值是多少？解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式：40=17+23=11+29=3+37。
V17X23=391>11X29=319>3X37=111O，所求的最大值是391。
答：这两个质数的最大乘积是391。
例3自然数123456789是质数，还是合数？为什么？解：123456789是合数。
因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3,所以它是一个合数。
人教版数学五下第二单元《质数和合数》教案
人教版数学五下第二单元《质数和合数》教案一、教学目标1.了解质数和合数的定义和性质。
2.掌握如何判断一个数是质数还是合数。
3.能够进行质数和合数的运算及应用。
二、教学重点1.质数和合数的概念和区别。
2.判断一个数是质数还是合数的方法。
3.质数和合数的运算。
三、教学内容1. 质数和合数的概念•质数：只能被1和自身整除的数。
•合数：除了1和自身外还能被其他数整除的数。
2. 区分质数和合数•判断质数的方法：除了1和本身外，不能被其他数整除即为质数。
•判断合数的方法：除了1和本身外，能被其他数整除即为合数。
3. 质数和合数的运算•质数与质数相乘得到质数。
•质数与合数相乘得到合数。
•合数与合数相乘得到合数。
四、教学过程1. 导入•通过举例引入质数和合数的概念，让学生感受到质数和合数的存在。
2. 学习质数和合数的定义及区分•介绍质数和合数的定义，引导学生通过实际例子判断一个数是质数还是合数。
3. 进行质数和合数的运算•给学生一些练习题，让他们通过计算加深对质数和合数运算规律的理解。
4. 总结•结合学生练习的结果，总结质数和合数的性质和运算规律，强化学生对知识点的掌握。
五、课堂练习1.判断下列数是质数还是合数：13、20、37、42。
2.计算以下数的乘积：5×7、11×10、15×25。
六、课后作业1.完成《质数和合数》一节的课后习题。
2.查阅资料，了解质数和合数的应用领域。
七、教学反馈•收集学生课后作业，及时纠正错误，巩固学生对质数和合数的理解。
以上就是本节课《质数和合数》的教学教案，请同学们认真学习，做到理论联系实际，提高数学运用能力。
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1.掌握质数与合数的定义 2.能够用特殊的偶质数2与质数5解题 3.能够利用质数个位数的特点解题 4. 质数、合数综合运用一、质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q (均为整数)，使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p ，如没有能够除尽的那么p 就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.。
模块一、偶质数2 【例 1】 如果,,a b c 都是质数，并且a b c -=，则c 的最小值是_________【考点】偶质数2 【难度】2星 【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，17题【解析】 本题考察的是最小的偶质数2，所以c 最小是2.【答案】2【例 2】 两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少.【考点】偶质数2 【难度】2星 【题型】解答 例题精讲知识点拨知识框架5-3-2.质数与合数（二）【解析】 因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是2，另一个是37，乘积为74.我们要善于抓住此类题的突破口。
【答案】74【巩固】 将1999表示为两年质数之和：l 999=口+口，在口中填入质数。
共有多少种表示法?【考点】偶质数2 【难度】2星 【题型】填空【关键词】华杯赛初赛第1题【解析】 因为两个奇数的和是偶数，所以将1999表示成两个质数的和，这两个质数中必有一个是偶数，因而也就是2，另一个是 1999－2＝1997即1999＝2十1997，只有一种填法(我们将2＋1997与1997＋2作为同一种)．【答案】一种【例 3】 A ，B ，C 为3个小于20的质数，30A B C ++=，求这三个质数.【考点】偶质数2 【难度】2星 【题型】解答【解析】 因为三个质数之和为偶数，所以这三个质数必为两奇一偶，其中偶数只能是2，另两个奇质数之和为28，又因为这三个数都要小于20，所以只能为11和17，所以这三个质数分别是2，11，17.【答案】2，11，17【巩固】 把100分拆成三个质数（只能被1和它本身整除且大于1的自然数叫做质数）的和，共有_____种方法。
【考点】偶质数2 【难度】2星 【题型】填空【关键词】走美杯，四年级，初赛，第6题【解析】 100是个偶数，拆成3个质数之和，而质数中除2以外，其他的都是奇数，3个奇数之和为奇数，所以其中必有2，现在知两个质数之和为98，则可拆成61+37、67+31、19+79。
所以共有3种方法。
【答案】3种【例 4】 已知3个不同质数的和是最小的合数的完全平方，求这3个质数的乘积是多少？【考点】偶质数2 【难度】2星 【题型】解答【解析】 最小的合数是4，其平方为16．我们知道奇数个奇数的和是奇数，所以这3个质数中必然有2，那么其余2个的和是14，只能一个是3一个是11，因此这3个质数的乘积是231166⨯⨯=．【答案】66【例 5】 7个连续质数从大到小排列是a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 已知它们的和是偶数，那么d 是多少？【考点】偶质数2 【难度】2星 【题型】解答【解析】 因为7个质数的和是偶数，所以这7个质数不可能都是奇数.我们知道是偶数的质数只有2，因此这7个质数中必有一个是2.又因为2是最小的质数，并且这7个连续质数是从大到小排列的，所以2g =.其他6个数从大到小依次是17、13、11、7、5、3.这样7d =.【答案】7【例 6】 如果a ，b 均为质数，且3741a b +=，则a b +=______.【考点】偶质数2 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，复赛，第8题，4分【解析】 根据题意a ,b 中必然有一个偶质数2，，当2a =时，5b =，当2b =时不符合题意，所以257a b +=+=. 【答案】7【巩固】如果a ，b 均为质数，且3d ＋7b ＝41，则a ＋b ＝________。
【考点】偶质数2 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，二试，第9题，4分【解析】 根据奇偶性我们可以知道a 、b 中必然有一个是2，若a =2，则b =7,满足题意；若b =2,则a =9，与题意不符。
所以a 为2、b 为7，则a +b =9。
【答案】9【例 7】 已知P ,Q 都是质数，并且11932003P Q ⨯-⨯=，则P Q ⨯=【考点】偶质数2 【难度】3星 【题型】填空【解析】 本题充分考察质数与数字奇偶性知识点的结合。
通过观察发现题目中有2个未知数，但是都是质数，从结果上看2003是一个奇数，那么前面2个乘积必须为1个奇数1个偶数，那么P 和Q 中必须有一个是2才可以。
由大小关系可以发现只能Q 是2，解出P =199,P ×Q =398。
【答案】398【例 8】 a b c 、、都是质数，如果()()342a b b c +⨯+=，那么b = 。
【考点】偶质数2 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，复赛，第5题，6分【解析】 由于342是2的倍数，不是4的倍数，所以a b +与b c +为一奇一偶，则a 或者c 为质数2，令2a =，而342=2×3×3×19，则9a b +=或者31957a b +=⨯=或者919171a b +=⨯=，对应的b 为7或者55或者169，只有7是质数，所以b =7。
【答案】7【例 9】 三个质数△、□、○，如果□>△>1，△+□=○，那么△是多少？【考点】偶质数2 【难度】3星 【题型】填空【解析】 除了2以外的质数都是奇数，这样的两个奇数相加必然得偶数不成立，所以△、□必有一个偶质数2，又因为□>△>1，所以△=2【答案】2【例 10】a ，b ，c 都是质数，并且33a b +=，44b c +=， 66cd +=，那么cd = ____ 。
【考点】偶质数2 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，初赛，第8题，5分【解析】 33a b +=为奇数，所以a=2，b=31，c=13，d=53，那么cd=13×53=689【答案】689【例 11】 已知P 是质数，21P +也是质数，求51997P +是多少？【考点】偶质数2 【难度】3星 【题型】解答【解析】 P 是质数，2P 必定是合数，而且大于1．又由于21P +是质数，2P 大于1，21P +一定是奇质数，则2P 一定是偶数．所以P 必定是偶质数，即2P =．55199721997P +=+321997=+2029=【答案】2029【巩固】 当p 和 3p +5都是质数时，5p +5= 。
【考点】偶质数2 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，初赛，第6题，6分【解析】 p 和p 3+5奇偶性不同，所以较小的p 一定是2，所以p 3+5=13，5p +5=37【答案】37【例 12】 P 是质数，10P +，14P +，210P +都是质数．求P 是多少？【考点】偶质数2 【难度】3星 【题型】解答【解析】 由题意知P 是一个奇数，因为10331÷=，14342÷=，所以P 是3的倍数，所以3P =【答案】3【例 13】 4只同样的瓶子内分别装有一定数量的油．每瓶和其他各瓶分别合称一次，记录千克数如下：8，9，10，11，12，13．已知4只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，求最重的两瓶内有多少油？【考点】偶质数2 【难度】3星 【题型】解答【解析】 由于每只瓶都称了三次，因此记录数据之和是4瓶油(连瓶)重量之和的3倍，即4瓶油(连瓶)共重(8910111213+++++)321÷=(千克)而油重之和及瓶重之和均为质数，所以它们必为一奇一偶，由于2是唯一的偶质数，只有两种可能：⑴ 油重之和为19千克，瓶重之和为2千克，每只瓶重12千克，最重的两瓶内的油为1132122-⨯=(千克)．⑵ 油重之和为2千克，瓶重之和为19千克，每只瓶重194千克，最重的两瓶内的油为19713242-⨯=(千克)，这与油重之和2千克矛盾．因此最重的两瓶内共有12千克油。
【答案】12【例 14】 三个数,1,3p p p ++都是质数，它们的倒数和的倒数是_______。
【考点】偶质数2 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，初赛，第12题，6分【解析】 P 与P+1和+2奇偶性不同，所以P 只能是2,另外两个是3和5，所以它们的倒数和的倒数是130********=++. 【答案】3031【例 15】 用0，1，2，…，9这10个数字组成6个质数，每个数字至多用1次，每个质数都不大于500，那么共有多少种不同的组成6个质数的方法．请将所有方法都列出来．【考点】偶质数2 【难度】3星 【题型】解答【关键词】小学数学夏令营【解析】 除了2以外，质数都是奇数，因为0～9中只有5个奇数，所以如果想组成6个质数，则其中一定有2．又尾数为5的数中只有5是质数，所以5只能单独作为6个质数中的一个数．另4个质数分别以1，3，7，9为个位数，从而列举如下：{2，3，5，7，41，89}，{2，3，5，7，61，89}，{2，3，5，7，89，401}，{2，3，5，7，89，461}，{2，3，5，7，61，409}，{2，3，5，47，61，89}，{2，3，5，41，67，89}，{2，3，5，67，89，401}，{2，5，7，43，61，89}，{2，5，7，61，83，409}．即共有10种不同的方法．【答案】10【例 16】 如果一些不同质数的平均数为21，那么它们中最大的一个数的最大可能值为 ．【考点】偶质数2 【难度】4星 【题型】填空【关键词】迎春杯，高年级，复赛，4题【解析】 对于任意一组数，其中大于平均数的超出部分之和一定等于小于平均数的不足部分之和，所以为了使这些质数中最大的数更大，应该尽可能多地取小于21的质数，由于大于21的所有质数都是奇数，所以大于平均数21的超出部分之和一定是偶数，相应的所取的小于21的质数与21的差之和也应该是偶数，所以唯一的偶质数2是不能取的，因为它与21的差为奇数．剩下7个数的和是75，21×8-75=93，小于93的最大的质数是89．当这些质数取3，5，7，11，13，19，89时符合条件．【答案】89模块二、质数5【例17】已知n，6n+都是质数，那么n=。