1959年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案
1959年全国统一高考数学试卷
1959年全国统一高考数学试卷参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，共100分）1．已知lg2=0.3010，lg7=0.8451，求lg35．考点：对数的运算性质。
247830专题：计算题。
分析：观察已知条件，化简lg35，用lg7、lg2和lg10表示，然后求出结果．解答：解：原式==0.8451+1﹣0.3010=1.5441．点评：本题考查对数的运算性质，考查学生计算能力，是基础题．2．求的值．考点：复数代数形式的混合运算。
247830分析：复数的运算，化简分子，然后求解．解答：解：故答案为：﹣2．点评：复数的基本运算，是基础题．3．解不等式2x2﹣5x＜3．考点：一元二次不等式的解法。
247830专题：计算题。
分析：直接求解一元二次不等式即可．解答：解：原式移项得2x2﹣5x﹣3＜0，对应方程2x2﹣5x﹣3=0的根是：，函数y=2x2﹣5x﹣3的开口向上，∴原不等式的解为．不等式的解集、{x|}点评：本题考查一元二次不等式的解法，是基础题．4．求cos165°的值．考点：两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值。
247830专题：常规题型。
分析：先通过诱导公式得cos165°=﹣cos15°，再让15°=45°﹣30°，利用两角和公式进而求得答案．解答：解：cos165°=cos（180°﹣15°）=﹣cos15°=﹣cos（45°﹣30°）=﹣（cos45°cos30°+sin45°sin30°）=．点评：本题主要考查了三角函数中两角和公式．把已知角转化为特殊角是关键．5．不在同一平面的三条直线a，b，c互相平行，A、B为b上两定点，求证：另两顶点分别在a及c上的四面体体积为定值．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积。
247830专题：证明题。
1949-1961年普通高等学校招生全国统一考试数学试题
1949年北大清华联合招生数学试题 一、（5分）有连续三自然数，其平方和为50，求此三数．二、（5分）解方程：6640x +=． 三、（15分）求适合sin 2cos 2x x +x =的根（02x π≤≤）． 四、（15分）,,PA PB PC 为过圆周上P 点之三弦，PT 为圆周之切线．设一直线平行于PT ，交,,PA PB PC 于,,A B C '''之三点，证明：PA PA PB PB PC PC '''⋅=⋅=⋅． 五、（10分）已知A ∠及角内部一点P ，求作通过P 点的直线，使其在A ∠之内部分被点P 所平分． 六、（5分）用数学归纳法证明：3333221123(1)4n n n ++++=+． 七、（10分）某人在高处望见正东海面上一船只，其俯角为30︒．当该船向正南航行a 里后，其船只的俯角为15︒．求此人视点高出海平面若干垂足 八、（15分）自ABC ∆之顶点A 至对边作垂线AD ，自垂足D 作边,AB AC 之垂线， 其垂足为,E F ．求证：,,,B E F C 在同一圆上． 九、（10分）一平面内有10点，除其中4点在同一直线上外，其余各点无3点在一直线上．问连接各点之所有直线共若干条． 十、（10分）下列做法对吗？不对的请改正．16==对吗？为什么？2．(sin cos )sin cos ni n i n θθθθ+=+对吗？为什么？3．log log 1a b b a ⋅=对吗？为什么？1950年全国统一高考数学试题 一、（5分）k 为何值时，二次方程22(1)520x k x k --+-=有等根，并求其根． 二、（20分）有等长两竹杆直立在地上，皆被风吹折．折处距地面两者不同，其差为3尺．顶着地之处与竹杆足相距一个为8尺，另一个为16尺．求竹杆之长． 三、（10分）绳长40丈，围一矩形之地．问其面积最大时，其边长若干？ 四、（5分）求国旗上五角星每一角之度数． 五、（10分）过梯形上底一点作直线，分梯形为两个等面积梯形． 六、（20分）从塔之正南面一点A ，测得塔顶仰角为45︒，又从塔之正东面一点B 测得塔的仰角为30︒．若AB =100尺，求塔高． 七、（10分）试证： 1．22cos()cos()cos sin A B A B A B +-==-． 2．22sin()sin()sin sin A B A B A B +-=-． 八、（20分）分别指出下列正误，并加以改正：1．011,1a a ==．2．,mnmnmnm na a a a a a+⋅=+=．3==． 4．lg11,lg00=-=．5．lg()lg lg ,lg lg lg a b a b ab a b +=+=． 6．11sin sinsin()x y x y --+=+．7．在ABC ∆及A B C '''∆中，若,,AB A B BC B C A A '''''==∠=∠，则两三角形全等．8．若,,,A B C D 在同一个圆上，则恒有ACB ADB ∠=∠．1950年华北高考数学试题甲组 第一部分一、将下列各题正确的答案填入括号内： 1．322240x x x --+=的一个根为2，其他两根为A ．两个0B ．一个0，一个实数C ．两个实数D ．一个实数根，一个虚数根E ．两个虚数根2．已知lgsin 26201.6470'︒=，lgsin 26301.6495'︒=．若 lgsin 1.6486x =，则x 的近似值为A ．2623'︒B ．2624'︒C ．2625'︒D ．2626'︒E ．2627'︒3．若(,)ρθ为一点之极坐标，则20cos ρθ=的图形为A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线E ．二平行直线4．22220x xy y x y ++++-=之图形为 A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 E ．二平行直线5．展开二项式17()a b +，其第15项为 A ．152238a b B ．314680a bC ．143736a bD ．15()a b +E ．87a b二、将下列各题正确的答案填在虚线上： 1．二直线40x y ++=及5210x y -=相交之锐角之正切为 ．2．设,x y 都是实数，且()(84)x yi i +-+()(1)x yi i =++，则x = ．3．555ad a dbe b e cfc f++=+ ． 4．已知x 在第四象限内，而21sin 9x =，则tan x 之值至第二位小数为 ． 5．参数方程12,(1)x t y t t =+⎧⎨=+⎩之直角坐标方程为 ．甲组 第二部分 1．证明21sin (tan sec )1sin xx x x+=+-．2．设t 及s 为实数，已知方程3250x x tx s -++=之一根为23i -，求t及s 之值．3．用数学归纳法证明：122334(1)n n ⨯+⨯+⨯+++1(1)(2)3n n n =++． 4．设1P 及222(,)P x y 为二定点，过1P 作直线交y 轴于B （如图），过2P 作直线与过1P 之直线垂直，并交轴x 于A ，求AB 中点Q 之轨迹．5．如图，N 第一部分．a c e c eb d f d f +++=+++ ．ac ebd f= 内，若1:2;3:4，则︒︒︒ ︒a = ．1n R-．1n R+lg 2.190.3404=，ABA ．0.5770B ．1.1038C ．6.1038D ．264.06 E．416.745．2sin tan 5AA A ===，1sin tan 2B B B ===，则t a n ()A B +=A ．112-B ．34C ．18-D ．98E ．18二、将下列各题正确的答案填在虚线上： 1．sin 330︒之值为 ． 2．32452x x x -+-的因子是 ． 3．书一本，定价元p ．因为有折扣，实价较定价少d 元，则该书实价是定价的百分之 ．4．若一个多边形之每一外角各为45︒，则此多边形有 边． 5．a 年前，弟年龄是兄年龄的1n，今年弟年龄是兄年龄的1m，兄今年 岁． 乙、丙组 第二部分1．设AB 是一圆的直径，过,A B 作AC 及BD 二弦相交于E ，则2AE AC BE BD AB ⋅+⋅=．2．若,,A B C 为ABC ∆之内角，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=．3．分解因式：（1）32221x x x +++．（2）22282143x xy y x y +-++-． （3）444222222222x y z x y y z z x ++---．4．设s 为ABC ∆三边和的一半，r 为内切圆半径，又tan2A=求证：r =5．设一调和级数第p 项为a ，第q 项为b ，第r 项为c ，则()()()0q r bc r p ca p q ab -+-+-=．γC /B /A /βαC B A 1951年普通高等学校招生全国统一考试数学 第一部分1．设有方程组8,27x y x y +=-=，求,x y .2．若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？3．当太阳的仰角是600时，若旗杆影长为1丈，则旗杆长为若干丈？4．若x y z a b b c c a ==---，而,,a b c 各不相等，则?x y z ++=5．试题10道，选答8道，则选法有几种？ 6．若一点P 的极坐标是(,)x θ，则它的直角坐标如何？7．若方程220x x k ++=的两根相等，则k =？8．列举两种证明两个三角形相似的方法9．当(1)(2)0x x +-<时，x 的值的范围如何？10．若一直线通过原点且垂直于直线0ax by c ++=，求直线的方程．11．61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项如何？12．02cos =θ的通解是什么？13．系数是实数的一元三次方程，最少有几个根是实数，最多有几个根是实数？14．245505543--=？15．2241x y -=的渐近线的方程如何？16．三平行平面与一直线交于,,A B C 三点，又与另一直线交于,,A B C '''三点，已知3,7AB BC ==及9A B ''=，求A C '17．有同底同高的圆柱及圆锥，已知圆柱的体积为18立方尺，求圆锥的体积18．已知lg2=0.3010,求lg5.19．二抛物线212y x =与223x y =的公共弦的长度是多少？20．国旗上的正五角星的每一个顶角是多少度？第二部分1． ,,P Q R 顺次为△ABC 中BC ，CA ，AB 三边的中点，求证圆ABC 在A 点的切线与圆PQR 在P 点的切线平行．2．设ABC ∆的三边4BC pq =，223CA p q =+，2232AB p pq q =+-,求B ∠，并证明B ∠为A ∠及C ∠的等差中项．3．（1）求证，若方程320x ax bx c +++=的三根可排成等比数列，则33a cb =.（2）已知方程32721270x x x +--=的三根可以排成等比数列，求三根．4．过抛物线顶点任做互相垂直的两弦，交此抛物线于两点，求证此两点联线的中点的轨迹仍为一抛物线．1952年普通高等学校招生全国统一考试数学 第一部分 1.因式分解44x y -=？2.若lg(2)21lg x x =，问x =？3.若方程320x bx cx d +++=的三根为1,-1,21,则c =？4.40=，求x ．5. 123450?321=6.两个圆的半径都是4寸,并且一个圆过另一个圆的圆心，则此两圆的公共弦长是多少寸？7.三角形ABC 的面积是60平方寸，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点，△AMN 的面积是多少？9.祖冲之的圆周率π=？10.球的面积等于大圆面积的多少倍？11.直圆锥之底半径为3尺，斜高为5尺，则其体积为多少立方尺？12.正多面体有几种？其名称是什么？13.已知 1sin 3θ=,求cos 2θ=？14.方程21tg x =的通解x =？15.太阳的仰角为300时，塔影长为5丈，求塔高是多少？ 16．△ABC 的b 边为3寸，c 边为4寸，A 角为300，问△ABC 的面积为多少平方寸？17.已知一直线经过(2,3)，其斜率为-1，则此直线方程如何？18.若原点在一圆上，而此圆的圆心为(3,4)，则此圆的方程如何？19.原点至3410x y ++=的距离是什么？20.抛物线286170y x y -++=的顶点坐标是什么？第二部分 1.解方程432578120x x x x +---=．2.△ABC 中，∠A 的外角平分线与此三角形外接圆相交于P ，求证：BP CP =．3.设三角形的边长为4,5,6a b c ===，其对角依次为,,A B C ，求cos C ，sin C ，sin B ，sin A ．问,,A B C 三角为锐角或钝角？4.一椭圆通过(2,3)及(1,4)-两点，中心为原点，长短轴重合于坐标轴，试求其长轴，短轴及焦点．1953年普通高等学校招生全国统一考试数学1.甲、解1110113x x x x +-+=-+.乙、23120x kx ++=的两根相等，求k 值.丙、求311246?705-=丁、求300700lg lg lg173++.戊、求tg870︒=？已、若1cos2x 2=，求x 之值.庚、三角形相似的条件为何？（把你知道的都写出来）辛、长方体之长、宽、高各为12寸、3寸、4寸，求对角线的长.壬、垂直三棱柱之高为6寸，底面三边之长为3寸、4寸、5寸，求体积.2.解方程组2222239, (1)45630.(2)x xy y x xy y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩3..乙、求123)12(xx +之展开式中的常数项.4.锐角△ABC ∆的三高线为AD ，BE ，CF ，垂心为H ，求证HD 平分EDF ∠.5.已知△ABC ∆的两个角为450，600，而其夹边之长为1尺，求最小边的长及三角形的面积.1954年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、化简131121373222[()()()]a b ab b ---． 乙、解c b a x lg lg 2lg 31lg 61++=．丙、用二项式定理计算43.02，使误差小于千分之一．丁、试证直角三角形弦上的半圆的面积，等于勾上半圆的面积与股上半圆的面积的总和． 戊、已知球的半径等于r ，试求内接正方形的体积．己、已知a 是三角形的一边，β及γ是这边的两邻角，试求另一边b 的计算公式．2.描绘2371y x x =--的图象，并按下列条件分别求x 的值所在的范围：①0y >； ②0y <．3.假设两圆互相外切，求证用连心线做直径的圆，必与前两圆的外公切线相切4．试由11sin 21tgxx tgx+=+-，试求x 的通值．5．有一直圆锥，另外有一与它同底同高的直圆柱，假设a 是圆锥的全面积，a '是圆柱的全面积，试求圆锥的高与母线的比值．1955年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、以二次方程2310x x --=的两根的平方为两根，作一个二次方程．乙、等腰三角形的一腰的长是底边的4倍，求这三角形各角的余弦．丙、已知正四棱锥底边的长为a ，侧棱与底面的交角为450，求这棱锥的高．丁、写出二面角的平面角的定义．2．求,,b c d 的值，使多项式32x bx cx d +++适合于下列三条件： （1）被1x -整除， （2）被3x -除时余2，（3）被2x +除时与被2x -除时的余数相等．3．由直角△ABC 勾上一点D 作弦AB 的垂线交弦于E ，交股的延长线于F ，交外接圆于G 求证：EG 为EA 和EB 的比例中项，又为ED 和EF 的比例中项． 4．解方程x x x sin cos 2cos +=,求x 的通值．5．一个三角形三边长成等差数列，其周长为12尺，面积为6平方尺，求证这个三角形为一个直角三角形．B C F B C EM A B C DD //1956年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、利用对数性质计算2lg 5lg5lg50+⋅.乙、设m 是实数，求证方程222(41)0x m x m m ----=的两根必定都是实数． 丙、设M 是ABC ∆的边AC 的中点，过M 作直线交AB 于E ，过B 作直线平行于ME 交AC 于F AEF ∆的面积等于ABC ∆的面积的一半．丁、一个三角形三边长分别为3尺，4尺及37尺，求这个三角形的最大角的度数．戊、设tan ,tan αβ是方程2670x x ++=的两根求证：)cos()sin(β+α=β+α．2．解方程组12,(1)136.(2)x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩ 3．设P 为等边ABC ∆外接圆的点，求证：22PA AB PB PC =+⋅．4．有一个四棱柱，底面是菱形ABCD ，A AB A AD ''∠=∠A ACC''垂直于底面ABCD ．5．若三角形的三个角成等差级数，则其中有一个角一定是600;若这样的三角形的三边又成等比级数，则三个角都是600，试证明之．1957年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、化简1223271020.12927--⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．乙、求适合不等式22<+x x 的实数x 的范围.丙、求证cot 22301'︒=丁、在四面体A B C D 中，AC BD =，,,,P Q R S 依次为棱,,,AB BC CD DA 的中点，求证：PQRS 为一个菱形.戊、设b a ,为异面直线，EF 为b a ,的公垂线，α为过EF 的中点且与b a ,平行的平面，M 为a 上任一点，N 为b 上任一点求证线段MN 被平面α二等分.2．解方程组⎩⎨⎧⋅==-++)2(101010)1(1)2lg()12lg( yx xy y x3．设ABC ∆的内切圆半径为r ，求证BC边上的高.2sin2cos 2cos2A C B r AD ⋅⋅=4．设ABC ∆为锐角三角形，以BC 为直径作圆，并从A 作此圆的切线AD 与圆切于D 点，由在AB 边上取AE AD =，并过E 作AB 的垂线与AC 边的延长线交于F ，求证：（1）AE :AB =AC :AF . （2）ABC ∆的面积=AEF ∆的面积.5．求证：方程0)2()12(23=+-++-Q x Q x x 的一个根是1.设这个方程的三个根是ABC ∆的三个内角的正弦,sin ,sin ,sin C B A 求,,A B C 的度数以及Q 的值.AC AB1958年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、求二项式5)21(x +展开式中3x 的系数．乙、求证.sin 88sin 4cos 2cos cos xxx x x =⋅⋅丙、设AB ，AC 为一个圆的两弦，D 为 的中点，E 为 的中点，作直线DE 交AB 于M ，交AC 于N ，求证： AM AN =．丁、求证:正四面体ABCD 中相对的两棱（即异面的两棱）互相垂直．戊、求解.cos 3sin x x =2．解方程组4,(1)1229. (2)x y y =⎪++=⎪⎩3．设有二同心圆，半径为,()R r R r >，今由圆心O 作半径交大圆于A ，交小圆于A '，由A 作直线AD 垂直大圆的直径BC ，并交BC 于D ;由A '作直线A E '垂直AD ，并交AD 于E ，已知OAD α∠=，求OE 的长 4．已知三角形ABC ，求作圆经过A 及AB 中点M ，并与BC 直线相切．5．已知直角三角形的斜边为2，斜边上的高为23，求证此直角三角形的两个锐角是下列三角方程的根043sin 231sin 2=++-x x ．321O G F ED C BA cb a A B CDαO 1959年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、已知lg 20.3010,lg 70.8451==,求lg35乙、求ii +-1)1(3的值.丙、解不等式.3522<-x x丁、求︒165cos 的值 戊、不在同一平面的三条直线c b a ,,互相平行，,A B 为b 上两定点，求证另两顶点分别在c a 及上的四面体体积为定值己、圆台上底面积为225cm π，下底直径为cm 20，母线为cm 10，求圆台的侧面积2．已知△ABC 中，∠B =600，4AC =，面积为3，求,AB BC .3．已知三个数成等差数列，第一第二两数的和的3倍等于第三个数的2倍，如果第二个数减去2，则成等比数列，求这三个数．4．已知圆O 的两弦AB 和CD 延长相交于E ，过E 点引EF ∥BC 交AD 的延长线于F ，过F 点作圆O 的切线FG ，求证：EF =FG .5．已知,,A B C 为直线l 上三点，且A B B C a ==;P 为l 外一点，且90,APB ∠=︒45BPC ∠=︒，求 （1）PBA ∠的正弦、余弦、正切; （2）PB 的长;（3）P 点到l 的距离.O DC B A 1960年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、解方程.075522=---x x （限定在实数范围内）乙、有5组蓝球队，每组6队，首先每组中各队进行单循环赛（每两队赛一次），然后各组冠军再进行单循环赛，问先后比赛多少场？.丙、求证等比数列各项的对数组成等差数列（等比数列各项均为正数）.丁、求使等式2cos 2sin12xx =-成立的x 值的范围（x 是00~7200的角）.戊、如图，用钢球测量机体上一小孔的直径，所用钢球的中心是O ，直径是12mm,钢球放在小孔上测得钢球上端与机件平面的距离CD 是9mm ，求这小孔的直径AB 的长.己、四棱锥P ABCD -的底面是一个正方形，PA 与底面垂直，已知3PA =cm ，P 到BC 的距离是5cm ，求PC 的长.2．有一直圆柱高是20cm ，底面半径是5cm,它的一个内接长方体的体积是80cm 3，求这长方体底面的长与宽.3．从一船上看到在它的南300东的海面上有一灯塔，船以30里/小时的速度向东南方向航行，半小时后，看到这个灯塔在船的正西，问这时船与灯塔的距离（精确到0.1里）4．要在墙上开一个矩形的玻璃窗，周长限定为６米.（1）求以矩形的一边长x 表示窗户的面积y 的函数;（2）求这函数图像的顶点坐标及对称轴方程;（3）画出这函数的图像，并求出x 的允许值范围.5．甲、已知方程0cos 3sin 422=θ+θ⋅-x x 的两个根相等，且θ为锐角，求θ和这个方程的两个根．乙、a 为何值时，下列方程组的解是正数？⎩⎨⎧=+=+8442y x ay x ．O CBA 1961年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、求二项式10)2(x -展开式里含7x 项的系数.乙、解方程2lg lg(12)x x =+.丙、求函数51--=x x y 的自变量x 的允许值. 丁、求125sin 12sinπ⋅π的值.戊、一个水平放着的圆柱形水管，内半径是12cm ，排水管的圆截面上被水淹没部分的弧含1500（如图），求这个截面上有水部分的面积（取14.3=π）.己、已知△ABC 的一边BC 在平面M 内，从A 作平面M 的垂线，垂足是1A .设 △ABC 的面积是S ，它与平面M 组成的二面角等于)900(︒<α<︒α，求证：1cos A BC S S α∆=.2．一机器制造厂的三年生产计划每年比上一年增产的机器台数相同，如果第三年比原计划多生产1000台，那么每年比上一年增长的百分率相同，而且第三年生产的台数恰等于原计划三年生产总台数的一半，原计划每年生产机器多少台？ 3．有一块环形铁皮，它的内半径是45厘米，外半径是75厘米，用它的五分之一（如图中阴影部分）作圆台形水桶的侧面.求这水4．在平地上有,A B 两点，A 在山的正东，B 在山的东南，且在A 的650南300米的地方，在A 测得山顶的仰角是300，求山高（精确到10米，94.070sin =︒）.5．两题任选一题.甲、k 是什么实数时，方程22(23)310x k x k -+++=有实数根？乙、设方程28(8sin )2cos2x x αα-++0=的两个根相等，求α.。
高考理科数学普通高等学校招生全国统一考试 附答案501
高考理科数学普通高等学校招生全国统一考试（附答案）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()(1)18.下图是某地区2000年至环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折现图。
高考模拟复习试卷试题模拟卷一．基础题组1.（北京市房山区高三第一次模拟考试理2）双曲线221x my -=的实轴长是虚轴长的2倍，则m =（ ） A ．4B ．2 C ．12 D ．14【答案】A考点：双曲线的性质2.（北京市丰台区度第二学期统一练习（一）理3）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是3y x =，它的一个焦点坐标为（2,0），则双曲线的方程为（ ）A ．22126x y -=B ．22162x y -=C ．2213y x -=D ．2213x y -= 【答案】C 【解析】试题分析：双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程是b y x a =±，故可知3ba=又∵焦点坐标为（2,0），∴222c a b +=，解得,13a b ==. 考点：双曲线的几何性质.3.（北京市海淀区高三下学期期中练习（一模）理2）抛物线2=4x y 上的点到其焦点的最短距离为（ ） A.4 B.2 C.1 D.12【答案】C 【解析】试题分析：由已知焦点为)1,0(，故抛物线上的点到焦点的距离为12)1(222++=-+=y y y x d11)1(2≥+=+y y ，当然也可作图，利用抛物线的定义考点：抛物线4.（北京市顺义区高三第一次统一练习（一模）理6）若双曲线22221x y a b-=的离心率为52，则其渐近线方程为（ ）.2A y x =±.4B y x =±1.2C y x =±1.4D x ±【答案】C考点：双曲线的性质．5.（北京市海淀区101中学高三上学期期中模拟考试理3）椭圆124322=+y x 的离心率为. 【答案】21【解析】试题分析：因为124322=+y x ，所以13422=+y x ，所以1,3,2===c b a 所以椭圆的离心率21=e . 考点：椭圆的性质.6.（北京市西城区高三一模考试理10）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点是抛物线28y x =的焦点，且双曲线 C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为____.【答案】2213y x -=【解析】试题分析：抛物线28y x =的焦点为(2,0)，所以2c =，又双曲线 C 的离心率为2，所以1,3a b ==，因此双曲线C 的方程为2213y x -=考点：双曲线方程7.（北京市东城区高三5月综合练习（二）理12）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>截抛物线24y x =的准线所得线段长为b ，则a =． 【答案】255考点：1.抛物线的定义;2.双曲线的标准方程.8.（北京市朝阳区高三第二次综合练习理18）已知点M 为椭圆的右顶点，点A ，B 是椭圆C 上不同的两点（均异于点M ），且满足直线MA 与直线MB 斜率之积为14． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率及焦点坐标；（Ⅱ）试判断直线AB 是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由． 【答案】（Ⅰ）12e =;12(1,0),(1,0)F F -;（Ⅱ）过定点(4,0)-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）将椭圆方程化为标准方程，求出,,a b c 即可； （Ⅱ）设出直线AB 的方程y kx m =+与椭圆方程联立，由斜率这积为14得到,k m 的关系式，可验证直线是否过定点.试题解析：（Ⅰ）椭圆C 的方程可化为22143x y +=，则2,3,1a b c ===．故离心率为12，焦点坐标为12(1,0),(1,0)F F -． （Ⅱ）由题意，直线AB 的斜率存在，可设直线AB 的方程为y kx m =+，1122(,),(,)A x y B x y ，则所以()()22222412841424403434m kmk km m k k---+++-=++， 化简得22280m km k --=，即4m k =或2m k =-．当4m k =时，直线AB 方程为(4)y k x =+，过定点(4,0)-．4m k =-代入判别式大于零中，解得1122x -<<．当2m k =-时，直线AB 的方程为(2)y k x =-，过定点(2,0)M ，不符合题意． 故直线AB 过定点(4,0)-．考点：1.椭圆的几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.9.（北京市东城区高三5月综合练习（二）理19）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为3C 上的点到两个焦点的距离之和为4． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设A 为椭圆C 的左顶点，过点A 的直线l 与椭圆交于点M ，与y 轴交于点N ，过原点与l 平行的直线与椭圆交于点P ．证明：2||||2||AM AN OP ⋅=．【答案】（Ⅰ）2214xy+=；（Ⅱ）证明见解析.所以椭圆C的标准方程为2214xy+=．……………………………5分（Ⅱ）设直线AM的方程为：(2)y k x=+，则(0,2)N k．由22(2)44,y k xx y=+⎧⎨+=⎩，得2222(1+4)161640k x k x k++-=（*）．设(2,0)A-，11(,)M x y，则2-，1x是方程（*）的两个根，所以2122814kxk-=+．所以222284(,)1414k kMk k-++．22222228284||()()1414k k kAMk k-++=+++2222161641(14)k kk++==+．22||4421AN k k=+=+．2222241218(1)||||1414k k kAM ANk k+⋅++==++．设直线OP 的方程为：y kx =．由 2244,y kx x y =⎧⎨+=⎩，得22(14)40k x +-=． 设00(,)P x y ，则202414x k =+，2202414k y k =+． 所以22244||14k OP k +=+，222882||14k OP k +=+． 所以2||||2||AM AN OP ⋅=． ……………13分考点：1.椭圆的标准方程;2.韦达定理.10.（北京市丰台区度第二学期统一练习（一）理19）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，右顶点A 是抛物线28y x =的焦点．直线l ：(1)y k x =-与椭圆C 相交于P ，Q 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如果AM AP AQ =+，点M 关于直线l 的对称点N 在y 轴上，求k 的值．【答案】（Ⅰ）2214x y +=（Ⅱ）22k =±得2122282224141k x x k k -+-=-=++，121222(2)4+1ky y k x x k -+=+-=， 即2222(,)4141k M k k --++．设3(0,)N y ，则MN 中点坐标为3221(,)41412y kk k --+++，∵M ，N 关于直线l 对称， ∴MN 的中点在直线l 上， ∴3221(1)41241k y k k k --+=-++，解得32y k =-，即(0,2)N k -． 由于M ，N 关于直线l 对称，所以M ，N 所在直线与直线l 垂直，∴222(2)4112041kk k k k ---+⋅=---+，解得2k =±． ……………………14分 考点：椭圆和抛物线的标准方程、直线与椭圆的位置关系、韦达定理.11.（北京市海淀区101中学高三上学期期中模拟考试理16）在直角坐标系中，O 为坐标原点，设直线l 经过点)2,3(P ，且与x 轴交于点F （2，0）。
1962年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案
普通高等学校招生全国统一考试数学1．某工厂第三年产量比第一年增长21%，问平均每年比上一年增长百分之几？又第一年的产量是第三年的产量的百分之几？（精确到1%）解：设平均每年增长%x ，则得.10%,211%)1(2=+=+x x又%,83121100%2111≈=+=第二年产量第一年产量故该工厂平均每年比上一年增长10%，第一年的产量是第三年的产量的83%2．求5)21(i -的实部解：显然，5)21(i -的实部是由包含i 的零次方及包含i 的偶次方的各项所组成，故所求之实部为.41)2()2(44522505=-+-+i C i C C3．解方程).92lg(2lg 2)3lg()5lg(-=-++-x x x 解：),92lg(4)3)(5(lg-=+-x x x .7,,092,05,3.7,3,02110,924)3)(5(2=<-<-====+--=+-x x x x x x x x x x x 原方程的解为故不是原方程的解无意义使时当4．求)54arcsin 2sin(的值解：设),900(54arcsin ︒<α<︒α=则.53)54(1sin 1cos ,54sin 22=-=α-=α=α.252453542cos sin 22sin 54arcsin 2sin(=⨯⨯=αα=α=∴5．求证：（1）圆内接平行四边形就是矩形;（2）圆外切平行四边形就是菱形证：（1）设ABCD 为圆的内接平行四弧相等， ∴AB=DC AD+AB ）=圆周， AD+AB=半圆周， ∠C=900， ∴ABCD 为矩形（2）设ABCD 为圆外切平行四边形（如图） 由于圆的外切四边形的每组对边的和相等，∴AD+BC=AB+DC但AD=BC ，AB=DC ， ∴2AD=2AB ，AD=AB 故ABCD 为菱形6．解方程组⎩⎨⎧+==+--a x y y x y 01242并讨论a 取哪些实数时，方程组BC B（1）有不同的两实数解; （2）有相同的两实数解; （3）没有实数解解：由②得 a y x -=③ 将③代入①得⎩⎨⎧--+=---=⎩⎨⎧-+=--+=--±=-±=+-±==+-=+---.223,223:223,223.223,2232)14(4366,0)14(6,012)((4221122a y a a x a y a a x a a x a a y a y y y a y y 即方程组的解为讨论：（1）当2,02<>-a a 即时，方程组有不同的两实数解;（2）当2,02==-a a 即时，方程组有相同的两实数解; （3）当2,02><-a a 即时，方程组没有实数解7．已知D 为△ABC 内的一点，AB=AC=1，∠BAC=630，∠BAD=270，求DC （精确到小数点后两位，4540.027sin =︒）解：∠ADB=1800-（330+270）=1200 根据正弦定理，得,327sin 2120sin 27sin ︒⋅=︒︒⋅=AB AD又∠CAD=630-330=300， 由余弦定理可得A330 D 270 B C.61.036668.0.3668.04540.0213)4540.0(423327sin 221327sin 430cos 22222≈=∴=⨯-+=⋅︒⋅-+︒=︒⋅⋅-+=DC AC AD AC AD DC8．已知ABCD ，A ＇B ＇C ＇D ＇都是正方形（如图），而A ＇、B ＇、C ＇、D ＇分别把AB 、BC 、CD 、DA 分为m:n ，设AB=1（1）求A ＇B ＇C ＇D ＇的面积; （2）求证A ＇B ＇C ＇D ＇的面积不小于.21解（1）：设AA ＇mt =，A ＇B nt = 又.1,1nm t nt mt +=∴=+ 在直角△D ＇AA ＇中，2222222222)(tn m t n t m A A A D A D +=+='+'=''而正方形A ＇B ＇C ＇D ＇的面积=.)()(2222222n m n m t n m A D ++=+=''证（2）：0)(2)()(2)()(221)(222222222≥+-=++-+=-++n m n m n m n m n m n m n m .21)(222≥++∴n m n m 9．由正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点A 作这正方体的对角线A 1C 的垂线，垂足为E ，证明A 1E:EC=1:2证：设正方体的棱长为1，连接AC ，则AC=2D C ＇ CD B ＇ A A ＇ B∵为直角△A 1AC 的斜边A 1C 上的高，∴A 1E ·A 1C=AA 12， EC ·A 1C=AC 2两式相除，得,21)2(122211===AC AA EC E A∴A 1E:EC=1:2.10．求证两两相交而不过同一点的四条直线必在同一个平面内证：第一种情形：四条直线一点，这时4321,,,l l l l 没有三条直线过同它们共有六个交点A 、B 、C 、D 、E 、F ，它于点A ，可决们各不相同因直线21,l l 相交定一平面α;因点B 、C 、D 、E 均在平面α内，所以直线43,l l 也在平面α内，故直线4321,,,l l l l 同在平面α内第二种情形：四条直线4321,,,l l l l 中有三条，例如,,,321l l l 过同一点A 线4l 不过点A ，故由点A 及直线4l 可决定一平面α因直线4l 与直线,,,321l l l 相交，设交点为B 、C 、D ，则点B 、C D 在直线4l 上，从而在平面α内，因此，直线,,,321l l l 各有两点在平面α内，即这三条直线在平面α内，故四直线4321,,,l l l l 在同一平内D 1 C 1 A 1 B 1E D C A Bα 1l 2l 3l α 1l 2l 3l。
1954-1955年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案
1954年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、化简.])()()[(317212131223b abb a ---解：原式=.)()(3231231272321223a b a b ba ba==--乙、解cb a x lg lg 2lg 31lg 61++=解略：x=a 2b 12c 6.丙、用二项式定理计算（3.02）4，使误差小于千分之一.,,,001.0)1002()1002(34)1002(36100234310023)02.3(:43223444千分之一其误差必小于计算可到第三项为止所以可知第四项之值已小于解+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=.182.830216.016.281)02.3(4=++=丁、试证直角三角形弦上的半圆的面积，等于勾上半圆的面积与股上半圆的面积的总和证：由c 2 =a 2+b 2∴弦上半圆的面积= 22222221221421221⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ba c ππππ=勾上半圆的面积+股上半圆的面积戊、已知球的半径等于r ，试求内接正方形的体积解：内接正方体的中心即该球的球心正方体过中心的对角线为该球的直径，故其长为2r a ，则有3a 2=4r 2，.398332.332333r r ar a =⎪⎭⎫ ⎝⎛==∴=内接正方体的体积己、已知a 是三角形的一边，β及γ是这边的两邻角，试求另一边b 的计算公式解：由正弦定理可知.)sin(sin )](180sin[sin ,sin )](180sin[γββγβββγβ+=--︒=∴=--︒a a b b a2.描绘y=3x 2-7x-1的图象，并按下列条件分别求x 的值所在的范围： 1）y ＞0， 2）y ＜0).1261(31)67(:2+=-y x 将原方程变形可得解).1261,67(,-抛物线顶点为于是)0,6617(,)0,6617(:+-N M x 轴的交点为与).,6617(),6617,(,0+∞+--∞>的值所在范围为时当x y ).6617,6617(,0+-<的值所在范围为时当x y3.假设两圆互相外切，求证用连心线做直径的圆，必与前两圆的外公切线相切证：设⊙O 1及⊙O 2为互相外切之二圆，其一外公切线为A 1A 2，切点为A 1及A 2令点O 为连心线O 1O 2的中点，过O 作OA ⊥A 1A 2∵OA=21（O 1A 1+O 2A 2）=21O 1O 2，∴以O 1O 2为直径，即以O 为圆心，OA 为半径的圆必与直线A 1A 2相切同理可证，此圆必切于⊙O 1及⊙O 2的另一条外公切线4．试由.,2sin 111通值求的x x tgxtgx +=-+)(0sin4,1,0sin cos ,0sin)sin (cos 20)sincos 1)(sin (cos )sin (cos sin cos sin cos :22222为整数或者即或者所以解k k x x k x tgx x x x x x x x x x x x xx x x π=∴=π-π=∴-==+=⋅+=+-++=-+由检验可知，均为其通解5．有一直圆锥，另外有一与它同底同高的直圆柱，假设a 是圆锥的全面积，a ＇是圆柱的全面积，试求圆锥的高与母线的比值解：设直圆锥的高为h ，底面半径为R ，母线长为L ，则,)(2)(2)(h R L R h R R L R R a a ++=++='ππ.2)2(),()(2,).()(222222222ah L a hL a a L hL a h h L a h L R L R a h R a -'=-'-+-'=+--=+'=+∴代入可得由,.21)2(,2等式两边平方可得两边同除以Lh aa L h a a L -'=⎪⎭⎫⎝⎛-'-.)2(4)2()2(22])2(4[2)2()2(44)48(2)2(164:,,0)2(16)4)(48(4)4(.0)4(4)48(,441)44(2222223322222222222222a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a L h a a a a a a a a a a a a Lh a a a L h a a L h a a a a L h a L h a a a L h a a a a '-+'-'-±'='-+'-'-±'='+'-'-±'=∴>'-='+''+'--'-=∆='+'+'-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅'-'=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-'+'-母线的比此二实根即圆锥的高与实根该一元二次方程有二个式的一元二次方程的判别这个关于1955年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、以二次方程x 2-3x-1=0的两根的平方为两根，作一个二次方程解：设原方程的两根为α，β，则由根与系数关系可得：α+β=3，αβ=-1， 又，α 2 +β2=(α+β)2-2αβ=11，α2β 2 =1，故所求的二次方程为 x 2-11x +1=0乙、等腰三角形的一腰的长是底边的4倍，求这三角形各角的余弦解：设AB=AC=4BC ，而AD 为底边上的高， 于是ACBC BC BC BC ACAB BCACABA ⋅⋅-+=⋅-+=4216162cos 222222.81cos ,81421cos ,3231323122======C AC BCAB BDB BCBC 同理AB D C丙、已知正四棱锥底边的长为a ，侧棱与底面的交角为450，求这棱锥的高解：设S-ABCD 为正四棱锥，SO 为它的高，底边长为a ，∠SAO=450AO=a22∴由△SOA 为等腰直角三角形， 故棱锥S-ABCD 的高SO=a22丁、写出二面角的平面角的定义 略2．求b ，c ，d 的值，使多项式x 3+bx 2+cx+d 适合于下列三条件：（1）被x-1整除，（2）被x-3除时余2， （3）被x+2除时与被x-2除时的余数相等解：根据余数定理及题设条件可得f(1)=1+b+c+d =0…………………………………① f(3)=27+9b+3c+d=2………………………………② -8+4b-2c+d=8+4b+2c+d …………………………③ 化简③式可得 c=-4b+d=39b+d=-13 解得b=-2,d=5. 综上，b=-2,c=-4,d=5S C3．由直角△ABC 勾上一点D 作弦AB 的垂线交弦于E ，交股的延长线于F ，交外接圆于G EG 为EA 和EB 的比例中项，又为ED 和EF 的比例中项证：连接GA 、GB ，则△AGB 也是一个直角三角形因为EG 为直角△AGB 的斜边EG 为EA 和EB 的比例中项，即EG 2=EA ·EB ∵∠AFE=∠ABC ，∴直角△AEF ∽直角△DEB ，.EF ED EB EA EBED EFEA ⋅=⋅=即但是∵EG 2=EA ·EB ，∴EG 2=ED ·EF （等量代换）. 故 EG 也是ED 和EF 的比例中项4．解方程xx x sin cos2cos +=,求x 的通值解：x x x x sin cos sin cos 22+=-，)(.22,2,424,22)4cos(,22sin 22cos 22,1sin cos 01sin cos )(.4,1,010sin cos .0)1sin )(cos sin (cos ,0)sin (cos )sin )(cos sin (cos 为整数则得如果为整数则得如果k k k x k x x x x x x x x k k x tgx tgx x x x x x x x x x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧π-ππ=∴π±π=π+∴=π+∴=-∴=-=-+π-π=∴-==+=+=--+=+--+5．一个三角形三边长成等差数列，其周长为12尺，面积为6平方尺，求证这个三角形为一个直角三角形证：可设其长分别为x-d,x,x+d.F CB因为三角形的周长为12尺， ∴(x-d)+x+(x+d)=12,∴x=4（尺） 于是该三角形的三边又可表示为4-d,4,4+d.由该三角形的面积为6，三边长为4-d,4,4+d ，代入求面积的计算公式，得.1,1),2)(2(1236)]4(6)[46)](4(6[662±==-+=+----=d d d d d d由此可知，该三角形三边的长为3、4、5（或5、4、3）（尺），故它是一个直角三角形。
1955年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案
1955年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、以二次方程x 2-3x-1=0的两根的平方为两根，作一个二次方程解：设原方程的两根为α，β，则由根与系数关系可得：α+β=3，αβ=-1，又，α2 +β2 =(α+β)2-2αβ=11，α2β2 =1，故所求的二次方程为 x 2-11x +1=0乙、等腰三角形的一腰的长是底边的4倍，求这三角形各角的余弦解：设AB=AC=4BC ，而AD 为底边上的高， 于是ACBC BC BC BC AC AB BC AC AB A ⋅⋅−+=⋅−+=4216162cos 222222.81cos ,81421cos ,3231323122======C AC BCAB BD B BCBC 同理 AB D C丙、已知正四棱锥底边的长为a ，侧棱与底面的交角为450，求这棱锥的高解：设S-ABCD 为正四棱锥，SO 为它的高，底边长为a ，∠SAO=450∵AO=a 22 ∴由△SOA 为等腰直角三角形， 故棱锥S-ABCD 的高SO=a 22 丁、写出二面角的平面角的定义 略2．求b ，c ，d 的值，使多项式x 3+bx 2+cx+d 适合于下列三条件：（1）被x-1整除，（2）被x-3除时余2， （3）被x+2除时与被x-2除时的余数相等解：根据余数定理及题设条件可得f(1)=1+b+c+d =0…………………………………① f(3)=27+9b+3c+d=2………………………………② -8+4b-2c+d= 8+4b+2c+d …………………………③ 化简③式可得 c=-4将其分别代入①②可得b+d=39b+d=-13 解得b=-2,d=5. 综上，b=-2,c=-4,d=5 S3．由直角△ABC 勾上一点D 作弦AB 的垂线交弦于E ，交股的延长线于F ，交外接圆于G EG 为EA 和EB 的比例中项，又为ED 和EF 的比例中项证：连接GA 、GB ，则△AGB 也是一个直角三角形因为EG 为直角△AGB 的斜边EG 为EA 和EB 的比例中项，即EG 2=EA ·EB ∵∠AFE=∠ABC ，∴直角△AEF ∽直角△DEB ，.EF ED EB EA EBEDEF EA ⋅=⋅=即 但是∵EG 2=EA ·EB ，∴EG 2=ED ·EF （等量代换）. 故 EG 也是ED 和EF 的比例中项4．解方程x x x sin cos 2cos +=,求x 的通值解：x x x x sin cos sin cos 22+=−，)(.22,2,424,22)4cos(,22sin 22cos 22,1sin cos 01sin cos )(.4,1,010sin cos .0)1sin )(cos sin (cos ,0)sin (cos )sin )(cos sin (cos 为整数则得如果为整数则得如果k k k x k x x x x x x x x k k x tgx tgx x x x x x x x x x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧π−ππ=∴π±π=π+∴=π+∴=−∴=−=−+π−π=∴−==+=+=−−+=+−−+5．一个三角形三边长成等差数列，其周长为12尺，面积为6平方尺，求证这个三角形为一个直角三角形证：可设其长分别为x-d,x,x+d.F C B因为三角形的周长为12尺， ∴(x-d)+x+(x+d)=12,∴x=4（尺） 于是该三角形的三边又可表示为4-d,4,4+d.由该三角形的面积为6，三边长为4-d,4,4+d ，代入求面积的计算公式，得.1,1),2)(2(1236)]4(6)[46)](4(6[662±==−+=+−−−−=d d d d d d由此可知，该三角形三边的长为3、4、5（或5、4、3）（尺），故它是一个直角三角形。
普通高等学校招生全国统一考试数学练习卷及含答案 (2)
普通高等学校招生全国统一考试数学练习卷（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.“所有的函数都是连续的”的否命题是（）（A ）某些函数不是连续的（B ）所有的函数都不是连续的（C ）没有函数是连续的（D ）没有函数不是连续的2.正方体的全面积为24，球O 与正方体的各棱均相切，球O 的体积是（）（A ）43π（B ）π34（C ）3（D ）33.直线y m =与圆22(2)1x y +-=相切，则常数m 的值是（）A ．1B ．3C ．1或3D ．2或44.在ABC ∆中，“π3A =”是“sin 2A =”的（）A ．充分而不必要条件B ．充要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件5.在等差数列{}n a 中，1233a a a ++=，282930165a a a ++=，则此数列前30项的和等于：（）A ．810B ．840C ．870D ．9006.椭圆2219x y +=的两个焦点为1F 、2F ，且椭圆上的点P 满足112PF F F ⊥，则2||PF =____：（）A ．173B ．53C ．13D ．837.93x ⎛- ⎝的展开式中的常数项是（）A ．84B ．84-C ．36D ．36-8.如图，在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 是各边中点，O 是正方形中心，在A 、E 、B 、F 、C 、G 、D 、H 、O 这九个点中，以其中三个点为顶点作三角形，在这些三角形中，互不全等的三角形共有（）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个9.如图，正四面体ABCD 中，E 为AB 中点，F 为CD 的中点，则异面直线EF 与SA 所成的角为（）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°10.如图，正三棱柱111C B A ABC -中，AB ＝1AA ，则1AC 与平面C C BB 11所成的角的正弦值为（）A ．22B ．515C ．46D ．3611.抛物线)2(2)2(2+-=-m y x 的焦点在x 轴上，则实数m 的值为（）A ．0B ．23C ．2D ．312.已知椭圆22221a y x =+（a ＞0）与A （2，1），B （4，3）为端点的线段没有公共点，则a 的取值范围是（）A ．2230<<a B ．2230<<a 或282>a C ．223<a 或282>a D ．282223<<a 二、填空题（共4小题，每小题5分；共计20分）1.方程log2|x|=x2－2的实根的个数为______.2.1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家.C60是由60个C 原子组成的分子，它结构为简单多面体形状.这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分为五边形或六边形两种,则C60分子中形状为五边形的面有______个，形状为六边形的面有______个.3.在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，两球的球心距为13，若作一个平面与两个球都相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为______.4.定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x+1)=－f(x)，且在［－1，0］上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x=1对称；③f(x)在［0，1］上是增函数；④f(x)在［1，2］上是减函数；⑤f(2)=f(0),其中正确判断的序号为______(写出所有正确判断的序号).三、大题：(满分70分)1、在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯，{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n *==∈N令n n n n M A B C = .从集合Mn 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离.（1）当n=1时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数n （n ≥3），求概率P （X ≤n ）（用n 表示）.2、已知函数f(x)＝2x －12x ＋1.求f(f(0)＋4)的值；3.已知直线l 的参数方程为,sin cos 2⎩⎨⎧=+-=ααt y t x (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标系方程为θθρcos 2sin 2-=.(1)求曲线C 的参数方程;(2)当4πα=时,求直线l 与曲线C 的交点的极坐标.4.如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量，已知50AB m =，120BC m =，于A 处测得水深80AD m =，于B 处测得水深200BE m =，于C 处测得水深110CF m =，求∠DEF 的余弦值。
1956年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案
1956年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、利用对数性质计算lg 2 5+lg2·lg50.解：原式=lg 2 5+lg2(lg5+1)=lg5(lg5+lg2)+lg2=lg5+lg2=1. 乙、设m 是实数，求证方程2x 2-(4m-1)x-m 2-m=0的两根必定都是实数证：二次方程当其判别式不小于零时，它的两根为实数由.124)(24)]14([222+=--⋅⋅---=∆m m m m.0,02>∆∴≥m 故原方程的两根均为实数丙、设M 是△ABC 的边AC 的中点，过M 作直线交AB 于E ，过B 作直线平行于ME 交AC 于F 求证△AEF 的面积等于△ABC 的面积的一半证：连MB ，则△AEF 的面积=△AEM 的面积+△MEF 的面积=△AEM 的面积+△MEB 的面积=△ABM 的面积=21·△ABC 的面积（三角形的中线BM 二等分△ABC 的面积）丁、一个三角形三边长分别为3尺，4尺及37尺，求这个三角形的最大角的度数解：该三角形的最大边长为37，所以它所对的角最大，设此角为α，由余弦定理可得.1206018021432)37(43cos 222︒=︒-︒=α∴-=⋅⋅-+=αBE戊、设0762=++βαx x tg tg 是方程和的两根求证：)cos()sin(β+α=β+α 证：由根与系数关系可知：)cos()sin(11)(.7,6β+α=β+α∴⎩⎨⎧=βα-β+α=β+α=βα-=β+αtg tg tg tg tg tg tg tg tg 因 2．解方程组.0)4)(3(,0127)()1(:)2(136)1(12722=-+-+=++-+⎩⎨⎧=+=--+y x y x y x y x y x y x y x 式可得由解 ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+====+-=-+=±==--=-+-==+=-+-==+=-+.6,10;10,6;21919,21919;21919,21919,.6,10,10,6,0120322,136)16()2()4(.21919,21919055182,136)9()2()3()4(16,16,04)3(9,9,0344332211222222y x y x y x y x y x x x x x y x x x x x x y y x y x x y y x y x 其解为综上即得代入将即得代入将由此可得经检验，这四组解均为原方程组的解3．设P 为等边△ABC 外接圆的BC 上的一点，求证：PA 2=AB 2+PB ·PC证：在△ABP 和△ADB 中， ∠BAP=∠DAB 为公用角， 又∠APB=∠ACB=∠ABD=600 △ABP ∽△ADB ，ACAB 2=PA ·AD …………（1） 同理可证△BPD ∽△APC ，,PCPAPD PB ∴PB ·PC=PA ·PD …………（2） （1）、（2）式左、右两边分别相加，则得 AB 2+PB ·PC=PA （AD+PD ）=PA 2， ∴PA 2=AB 2+PB ·PC4．有一个四棱柱，底面是菱形ABCD ，∠A ＇AB=∠A ＇AD （如图）求证：平面A ＇ACC ＇垂直于底面ABCD证：设底面是菱形ABCD 的对角线相交于O ，联结A ＇D ，A ＇O ，A ＇B在△A ＇AB 与△A ＇AD 中，∵A ＇A=A ＇A ，∠A ＇AB=∠A ＇AD ，AB=AD ， △A ＇AB ≌△A ＇AD ，∴A ＇B=A ＇D ， △A ＇BD 为等腰三角形又∵O 为DB 的中点，∴A ＇O ⊥DB由菱形性质，DB ⊥AC ，∴DB 垂直于底面A ＇ACC ＇ 但底面ABCD 是经过DB 的故 平面A ＇ACC ＇垂直于底面ABCD 5．若三角形的三个角成等差级数，则其中有一个角一定是600;若这样的三角形的三边又成等比级数，则三个角都是600，试证明之证（1，）设△ABC 的三个角为A 、B 、C ，由题意可得 B-A=C-B ，∴2B=A+C但∵A+B+C=1800，即3B=1800，B=600.ACA'C'证（2），由（1）已知△ABC 必有一个角为600，今设∠B=600. ∵△ABC 的三边c b a ,,成等比级数， ∴.2ac b =又由余弦定理可得,2,cos 2222222ac c a b B ac c a b -+=-+=︒=∠=∠∴=︒=∠=∴=-=-+∴60,,60.0)(,02222C A BC BA B c a c a ac c a故△ABC 为等边三角形，即其三个内角均为600.。
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1959年普通高等学校招生全国统一考试
数学
1．甲、已知lg2=0.3010,lg7=0.8451,求lg35
解：原式=2lg 10lg 7lg 2
107lg 270lg -+=⨯= =0.8451+1-0.3010=1.5441. 乙、求i
i +-1)1(3的值. 解：.21)1(21221331133132-=++-=+--=++--=+-+-=i
i i i i i i i i i i 原式 丙、解不等式.3522<-x x
解：原式移项得,03522<--x x ∴原不等式的解为.32
1<<-x
丁、求︒165cos 的值 解：)3045cos(15cos )15180cos(165cos ︒-︒-=︒-=︒-︒=︒
.4
2621222322()
30sin 45sin 30cos 45(cos +-=⋅+⋅-=︒︒+︒︒-= 戊、不在同一平面的三条直线c b a ,,互相平行，A 、B 为b 上两定点，求证另两顶点分别在c a 及上的四面体体积为定值
证：因为A 、B 为直线b 上
两定点，而直线b ∥直线c ，所
以，不论点C 在直线c 的什么位
置上，△ABC 的面积均为一定
值（同底等高的三角形等积）又 D a C
因直线a 平行于直线
c b ,，所以，直线a ∥平面α（已知c b a ,,不在同一平面内）
，因此，不论点D 在直线a 的什么位置上，从点D 到平面α的距离h 为一定值，故
四面体ABCD 的体积=定值高底面积=⋅⋅=⨯⨯∆h S ABC 3
131
己、圆台上底面积为225cm π，下底直径为cm 20，母线为cm 10，求圆台的侧面积 解：设此圆台上底半径为r ，下底半径为R ，由已知条件 ,252π=πr 所以r=5(cm).又下底半径R=10cm ，母线,10cm l = 圆台侧面积=πl （R+r)=π·10·（10+5）=150π（cm 2).
2．已知△ABC 中，∠B=600，AC=4，面积为3，求AB 和BC. 解：设AB=c ，BC=a ，则有
⎪⎩⎪⎨⎧︒-+==︒),
(60cos 24)(360sin 21222余弦定理两边夹角求面积公式ac c a ac .
37,37.
32,12)(,72,28)(,,
1642222 =±=∴±=-∴=-=+∴=+⎩⎨⎧=-+=c a c a c a c a c a ac c a ac 由由解之即
故所求AB ，BC 之长为
⎩⎨⎧+=-=⎩⎨⎧-=+=.
37,37;37,37BC AB BC AB 3．已知三个数成等差数列，第一第二两数的和的3倍等于第三个数的2倍，如果第二个数减去2，则成等比数列，求这三个数
解：设所求之三数为d a a d a +-,,则根据题意有
⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧+-=-+=+-.45;
1,45:4454).
)(()2(),(2])[(3221122d a d a d a d a d a d a a d a a d a 解得化简后得 故所求三数为.9,5,14
9,45,41或 4．已知圆O 的两弦AB 和CD 延长相交于E ，过E 点引EF ∥CB 交AD 的延长线于F ，过F 点作圆O 的切线FG ，求证：EF=FG. 证：∵FG 为⊙O 的切线，而FDA 为⊙O 的割线，
∴FG 2=FD ·FA …………①
又∵EF ∥CB ，
∴∠1=∠2.而∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∠EFD=∠AFE 为公共角
∴△EFD ∽△AFE ，
,FA EF EF FD =即EF 2=FD ·FA …………② 由①，②可得EF 2=FG 2
∴EF=FG.
5．已知A 、B 、C 为直线l 上三点，且AB=BC=a ;P 为l 外一点，且∠APB=900，∠BPC=450，求
（1）∠PBA 的正弦、余弦、正切;
（2）PB 的长;
（3）P 点到l 的距离.
C G E B
解：过P 点作PD ⊥AB 交AB 于点D （如图）
（1）过点B 作BE ∥AP 交PC 于点E 则∠PBE=900，∠PEB=450，PB=BE. ∵△CPA ∽△CEB ∴
,22==a
a BE PA 因PB=BE ， ∴.2,2=∠=PBA tg PB PA 又∵,sec 122PBA PBA tg ∠=∠+∠PBA 为锐角， ∴,51sec 2=∠+=∠PBA tg PBA
.552cos sin ,5
551
cos =
∠⋅∠=∠==∠PBA PBA tg PBA PBA （2）.55cos a PBA AB PB =
∠⋅= （3）,5
52sin ,55=∠=PBA a PB ∴.52sin a PBA PB PD =∠⋅= 综上，所求为（1）∠PBA 的正弦、余弦、正切分别是
2,551,552 （2）PB 的长为;55
1a （3）P 点到l 的距离为.52
a
P
450 E
A a D
B a C。