自主招生数学试题及答案

2017年自主招生数学试题
(分值: 100分 时间:90分钟)
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）
1、若对于任意实数a ，关于x 的方程0222
=+--b a ax x 都有实数根，则实数b 的取值围是（ ）
A b ≤0
B b ≤2
1
-
C b ≤81-
D b ≤-1
2、如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且DE ∥AC ，已知S △BDE ∶S △CDE =1∶3，则S △DOE ∶S △AOC 的值为（ ）
A ．1∶3
B ．1∶4
C ．1∶9
D ．1∶16 3、某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高(如图所示)。

已知电线杆直立于地面上，某天在太的照射下，电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D 处测得电线杆顶端A 的仰角为300，在C 处测得电线杆顶端A 得仰角为450，斜坡与地面成600角，CD=4m ，则电线杆的高(AB)是（ ）
A ．)344(+m
B ．)434(-m
C ．)326(+m
D ．12m 4、如图，矩形ABCD 中，AB=8，AD=3．点
E 从D 向C 以每秒1个单位的速度运动，以AE 为一边在AE 的右下方作正方形AEFG ．同时垂直于CD 的直线MN 也从C 向D 以每秒2个单位的速度运动，当经过（ ）秒时，直线MN 和正方形AEFG 开始有公共点。

A ．53
B ．
12 C ．43 D ．23
(第2题图) (第3题图) (第4题图)
5、如图，在反比例函数x
y 2
-
=的图象上有一动点A ，连接AO 并延长交图象的另一支于点B ，在第一象限有一点C ，满足AC=BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数x
k
y =的
图
象上运动，若tan ∠CAB=2，则k 的值为( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
6、如图，O 是等边三角形ABC 一点，且OA=3，OB=4，OC=5．将线段OB 绕点B 逆时针旋转600得到线段O ′B ，则下列结论：①△AO ′B 可以由△COB 绕点B 逆时针旋转
600
得
到；②∠AOB=1500；③633AOBO'S =+四边形；④93
64
AOB AOC S S +=+△△。

其中正确的是（ ）
A.②③④
B.①②④
C.①④
D.①②③
O'
O
C B A
(第5题图) (第6题图)
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 7、已知方程组24221
x y k
x y k +=⎧⎨+=+⎩，且1x y -<-<0，则k 的取值围是 。

8、一次函数b x y -=
34与13
4
-=x y 的图象之间的距离等于3，则b 的值是 。

9、如图，△ABC 中，∠ACB=900，BC=6cm ，AC=8cm ，动点P 从A 出发，以2cm/s 的速度沿AB 移动到B ，则点P 出发 s 时，△BCP 为等腰三角形。

10、已知关于x 的方程32
2=-+x m
x 的解为正数，则m 的取值围 。

11、如图，AC ⊥BC 于点C ，BC=4，AB=5，⊙O 与直线AB 、 BC 、CA 都相切，则⊙O 的半径等于 。

12、如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点B 顺时针旋转到△A 1BO 1的位置，使点
A 的对应点A 1落在直线x y 3
3
=
上，
再将△A 1BO 1绕点A 1顺时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2落在直线x y 3
3
=上，依次进行下去…，若点A 的坐标是(0,1)，点B
的坐标是(3,1)，则点A 8的横坐标是 。

O
B
A
C
(第9题图) (第11题图) (第12题图)
三、解答题（本大题共3小题，满分40分）
13、(本题共12分) 如图，在△ABC中，∠C=900，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F。

(1)若AC=6，AB=10，求⊙O的半径；
(2)连接OE、ED、DF、EF，若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由。

A
E
C
D
F B
O
14、(本题共14分) (1)已知：△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E 是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE，若∠A=600(如图①)，求证：EB=AD；
(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其它条件不变(如图②)，(1)的结论是否成立，并说明理由；
(3)若将(1)中的“若∠A=600”改为“若∠A=900”，其它条件不变，则
AD
EB
的值是多少？(直接写出结论，不要求写解答过程)
15、(本题共14分)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-x+3(a≠0)交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为直线x=-2。

(1)求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)若点P(0,t)是y轴上的一个动点，请进行如下探究：
探究一：如图1，设△PAD的面积为S，令W=t•S，当0＜t＜4时，W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此时t的值；如果没有，说明理由；
探究二：如图2，是否存在以P、A、D为顶点的三角形与Rt△AOC相似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由。

2017年自主招生数学试题参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）
1、C
2、D
3、A
4、A
5、D
6、B 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
7、
2
1
＜k ＜1； 8、-4或6； 9、2或2.5或1.4； 10、m ＞-6且m ≠-4； 11、2； 12、636 。

三、解答题（本大题共3小题，满分40分） 13、解：（1）连接OD ，设⊙O 的半径为r ，∵BC 切⊙O 于点D ，∴OD ⊥BC ，
∵∠C=90°，∴OD ∥AC ，∴△OBD ∽△ABC ，∴，即
，解得r=
，
∴⊙O 的半径为
；
（2）四边形OFDE 是菱形，
∵四边形BDEF 是平行四边形，∴∠DEF=∠B ， ∵∠DEF=∠DOB ，∴∠B=∠DOB ，
∵∠ODB=90°，∴∠DOB+∠B=90°，∴∠DOB=60°，∵DE ∥AB ，∴∠ODE=60°， ∵OD=OE ，∴△ODE 是等边三角形，∴OD=DE ，∵OD=OF ，∴DE=OF ， ∴四边形OFDE 是平行四边形，∵OE=OF ，∴平行四边形OFDE 是菱形。

14、(1)证明：作DF ∥BC 交AC 于F ，如图1所示： 则∠ADF=∠ABC ，∠AFD=∠ACB ，∠FDC=∠DCE ， ∵△ABC 是等腰三角形,∠A=600，
∴△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=600， ∴∠DBE=1200,∠ADF=∠AFD=600=∠A ，
∴△ADF 是等边三角形,∠DFC=1200，∴AD=DF ，
∵∠DEC=∠DCE ，∴∠FDC=∠DEC ，ED=CD ， 在△DBE 和△CFD 中,由∠DEC=∠FDC ， ∠DBE=∠DFC=1200，ED=CD ，
∴△DBE ≌△CFD(AAS)，∴EB=DF ，∴EB=AD ； (2)EB=AD 成立；理由如下：
作DF ∥BC 交AC 的延长线于F ，如图2所示：
同(1)得：AD=DF ，∠FDC=∠ECD ，∠FDC=∠DEC ，ED=CD ， 又∵∠DBE=∠DFC=600，
∴在△DBE 和△CFD 中,由∠DEC=∠FDC ，∠DBE=∠DFC ，ED=CD ， ∴△DBE ≌△CFD(AAS),∴EB=DF ，∴EB=AD ；
(3)
AD
EB
=2；理由如下： 作DF ∥BC 交AC 于F ，如图3所示：
同(1)得：△DBE ≌△CFD(AAS)，∴EB=DF ， ∵△ABC 是等腰直角三角形,DF ∥BC ， ∴△ADF 是等腰直角三角形，
∴DF=2AD ，∴AD
DF =2，∴AD EB
=2.
15、解：（1）∵抛物线的对称轴为直线，
∴，∴， ∴
，
∴
；
（2）探究一：当时，W 有最大值， ∵抛物线交x 轴于A 、B 两点， 交y 轴于点C ， ∴， ∴
，
当时，作轴于M ，则
，
∵， ∴
，
∵
，
∴
∴当
时，W 有最大值，
，
探究二：存在，分三种情况： ①当时，作
轴于E ，则，
∴
∴，
∴
∵轴，轴，∴，
∴，
∴
∴，，
此时，又因为，
∴，∴，∴，
∴当时，存在点P1，使，
此时P1点的坐标为（0，2）；
②当时，则，∴，
∴，∵，∴，
∴与不相似，此时点P2不存在；
③当时，以AD为直径作，则的半径，圆心O1到y轴的距离，∵，∴与y轴相离，不存在点P3，使，
∴综上所述，只存在一点使与相似。