正弦定理余弦定理的应用导学案
正弦定理和余弦定理的运用教案
正弦定理和余弦定理的运用教案正文：正弦定理和余弦定理的运用教案一、教学目标1. 理解正弦定理和余弦定理的含义和基本公式；2. 掌握正弦定理和余弦定理在解决三角形相关问题中的应用方法；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学重点1. 正弦定理的推导和应用；2. 余弦定理的推导和应用。
三、教学难点1. 正弦定理和余弦定理的理解和记忆；2. 通过具体问题实际运用，使学生深入理解定理的应用方法。
四、教学准备1. 教材：三角函数学科教材；2. 工具：投影仪、黑板、粉笔、直尺、量角器。
五、教学过程Ⅰ. 导入（10分钟）1. 教师简要复习三角比的概念和计算方法；2. 教师引导学生思考：在已知某一角的情况下，如何确定三角形的边长呢？Ⅱ. 正弦定理的推导和应用（20分钟）1. 教师通过投影仪展示正弦定理的基本公式：a/sinA = b/sinB =c/sinC；2. 教师讲解正弦定理的推导过程，并与学生一同完成推导；3. 教师给出具体问题，引导学生运用正弦定理解决问题，并逐步引导学生总结出应用方法。
Ⅲ. 余弦定理的推导和应用（20分钟）1. 教师通过投影仪展示余弦定理的基本公式：c² = a² + b² - 2abcosC；2. 教师讲解余弦定理的推导过程，并与学生一同完成推导；3. 教师给出具体问题，引导学生运用余弦定理解决问题，并逐步引导学生总结出应用方法。
Ⅳ. 正弦定理和余弦定理的综合应用（25分钟）1. 教师给出一些复合问题，要求学生结合正弦定理和余弦定理解决问题；2. 学生分组讨论、解答问题，并在黑板上展示解题过程；3. 教师组织学生展示解题思路和方法，并针对不同解题方法进行及时点评。
Ⅴ. 拓展应用（15分钟）1. 教师布置一些拓展性应用题，要求学生在课后完成；2. 学生自主学习拓展内容，并在下节课讲解时与教师进行互动讨论。
Ⅵ. 总结与作业（10分钟）1. 教师对本节课的要点进行总结，并强调正弦定理和余弦定理的重要性；2. 布置作业：完成课后习题，复习和巩固所学知识。
《正弦定理》教学设计、导学案、同步练习
《6.4.3 余弦定理、正弦定理》教学设计第2课时 正弦定理【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A 版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要学习正弦定理，用正弦定理来解三角形。
《正弦定理》是三角形理论中的一个重要内容,与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系。
在此之前,学生已经学习过了正弦函数和余弦函数、余弦定理,知识储备已足够。
它是后续课程中解三角形的理论依据,也是解决实际生活中许多测量问题的工具。
因此熟练掌握正弦定理能为接下来学习解三角形打下坚实基础,并能在实际应用中灵活变通。
【教学目标与核心素养】 A 理解并掌握正弦定理的证明； B.运用正弦定理解三角形；C.探索正弦定理的证明过程，并能掌握多种证明方法。
【教学重点】：正弦定理的内容，正弦定理的证明及应用；【教学难点】：正弦定理的探索及证明，已知两边和一对角解三角形时三角形解的个数。
【教学过程】，二、探索新知探究：余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角，已知三边直接解三角形的公式。
如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？在直角三角形中，能得到三边、三角之间的什么关系式？ 【分析】 在直角三角形ABC 中，由锐角三角函数， 再根据正弦函数的定义，可得，所以，因为，所以思考1：对于一般的三角形，仍然成立吗？ 【解析】分锐角三角形、钝角三角形证明。
（1）在锐角三角形中 。
过点A 作单位向量垂直于。
由，两边同乘以单位向量得，，则，所以整理得 同理，过点C 作与垂直的单位向量，可得所以。
（2）在钝角三角形中，不妨设A 为钝角，如图。
通过探究，由直角三角形得一结论，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
通过思考，分析在锐角三角形、钝角三角形该式子成立，得正弦定理。
提高学生分析问题、概括能力。
ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 222222-+=-+=，abc b a C 2cos 222-+=c bB c a A ==sin ,sin c B bA a ==sin sin 1sin =C CcB b A a sin sin sin ==CcB b A a sin sin sin ==ABC ∆j AC AB CB AC =+j AB j CB AC j ⋅=+⋅)(AB j CB j AC j ⋅=⋅+⋅)90cos(||||)90cos(||||90cos ||||A AB j C CB j AC j -=-+︒︒︒CcA a A c aisnC sin sin sin =∴=CB j CcB b sin sin =Cc B b A a sin sin sin ==ABC ∆四、小结1. 正弦定理；2.利用正弦定理可以解决的三角形。
正余弦定理及其应用导学案(文)
正弦定理和余弦定理及其应用一. 教学内容： 正、余弦定理及应用 二. 课标要求：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
三. 命题走向对本讲内容的考查主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。
今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考查正弦定理、余弦定理及应用。
题型一般为选择题、填空题，也可能是中、低难度的解答题。
【基础梳理】1.正弦定理：_______=________=_________=_______ 推论：a=____;b=_____;c=______sinA=_______;sinB=_______;sinC=________. 2.余弦定理:_______________________________________________ __________________________推论：cosA=_________;cosB=___________;cosC=___________ 3.正弦定理解三角形：1__________ ；2_________ 余弦定理解三角形：1__________ ；2_________ 4.三角形的面积公式（1）_________;(2)_____________;(3)___________. 5应用举例：（1）_________;(2)_____________;(3)___________. 【例题示范及考点剖析】[例1] (2011·辽宁高考)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a . (1)求b a；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .变式练习1：1．(2012·长沙模拟)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于 ( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 32、 (2012·福州质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c .若a ＝1，c ＝42，B ＝45°，则sin C =---------3．(2012·南通模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，已知cos 2C ＝－14.(1)求sin C 的值；(2)当a ＝2, 2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长． 考点二 利用正余弦定理判断三角形形状[例2] (2010·辽宁高考)在△ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sinB ＋(2c ＋b )sinC .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．变式练习24．(2012·蚌埠模拟)△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos A cos B ＝ab ，则△ABC 一定是 ( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形5．(2012·苏北四市联考)在△中，角、、所对的边分别为a、b 、c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc . (1)求角A 的大小；(2)若sin B ·sin C ＝sin2A ，试判断△ABC 的形状．三、当堂检测1、1. 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，15，则此人( )A. 不能作出这样的三角形B.能作出一个锐角三角形 C ．能作出一个直角三角形 D ．能作出一个钝角三角形2. 已知锐角△ABC 的面积为BC =4，CA =3，则角C的大小为( ) A. 75B. 60C. 45D. 303. 在△ABC 中，a =15，b =10，A =60 ，则cos B =( ) A. -3B. 3C. -3D.3四、课堂小结五、课后延展[例3] (2011·山东高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab .(1)求sin Csin A的值；(2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .变式练习36．(2011·朝阳二模)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则 S △ABC 等于 ( ) A. 2 B. 3 C.32D ．27．(2011·北京西城区一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ， b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2.(1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值．学后反思：。
高中数学：正弦定理、余弦定理及应用教案苏教版必修
教案：高中数学——正弦定理、余弦定理及应用教案编写者：教学目标：1. 理解正弦定理、余弦定理的定义及几何意义；2. 掌握正弦定理、余弦定理的应用方法；3. 能够运用正弦定理、余弦定理解决实际问题。
教学重点：1. 正弦定理、余弦定理的定义及几何意义；2. 正弦定理、余弦定理的应用方法。
教学难点：1. 正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用。
教学准备：1. 教师准备PPT、教案、例题及练习题；2. 学生准备笔记本、文具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习初中阶段学习的三角函数知识，引导学生回顾正弦、余弦函数的定义及图像；2. 提问：如何利用三角函数解决几何问题？引出正弦定理、余弦定理的学习。
二、正弦定理（15分钟）1. 讲解正弦定理的定义：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等；2. 解释正弦定理的几何意义：三角形任意一边的长度等于这一边所对角的正弦值乘以对边的长度；3. 举例说明正弦定理的应用方法，如已知三角形两边和一边的对角，求第三边的长度；4. 引导学生通过PPT上的例题，理解并掌握正弦定理的应用。
三、余弦定理（15分钟）1. 讲解余弦定理的定义：在一个三角形中，各边的平方和等于两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的乘积的二倍；2. 解释余弦定理的几何意义：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦值的乘积的两倍；3. 举例说明余弦定理的应用方法，如已知三角形两边和它们的夹角，求第三边的长度；4. 引导学生通过PPT上的例题，理解并掌握余弦定理的应用。
四、应用练习（15分钟）1. 给学生发放练习题，要求学生在纸上完成；2. 学生在纸上完成练习题，教师巡回指导；3. 选取部分学生的作业进行讲解和点评。
1. 回顾本节课学习的正弦定理、余弦定理的定义及应用；2. 强调正弦定理、余弦定理在解决几何问题中的重要性；3. 提醒学生课后复习巩固，做好预习准备。
教学反思：本节课通过讲解正弦定理、余弦定理的定义及几何意义，让学生掌握了这两个重要定理的应用方法。
正弦定理和余弦定理学案
正弦定理和余弦定理学习目标：1、能掌握正弦定理和余弦定理，并能解决一些简单的三角形证明和计算问题；2、培养学生自主探究、灵活综合运用知识的能力.【自测练习】60,.90.45.30b B B C D ∆==1、已知ABC 中，那么角A 等于 （ ）A.135sin :in :sin 2:3:4,ABC A B C ∆=2、在中，则该三角形的形状为( )A.直角三角形B.等边三角形C.锐角三角形D.钝角三角形,,,C A a 3、已知b=4,c=8,B=30求典例精析（合作探究） （一）正弦定理的应用【例1】,4,,b C A a = 已知B=30,c=8,求【变式1】,,,b C A a 已知B=30求【变式2】：,6c =先判断是否有解，再作解答b=10,C=30(二) 余弦定理的应用【例2】3sin ,sin cos 0,5,5ABC A A A a b c ∆=+<==在中，已知求【变式练习】(1)2sin ABC b C ∆1在中，角A 、B 、C 的对边分别为a,b,c,已知a=2,c=3,cosB=4求的值（）求的值（三）正余弦定理的综合运用 【例3】,,,,,2sin (1)2)5,ABC A B C a b c a b A B a c b∆===设锐角的内角的对边分别为且求的大小（若求当堂检测：2221,,)tan 52....636633ABC A B C a b c a c b B B A B C D ππππππ∆+-=、在中，角、、的对边分别为若（，则角的值为（）或或,,120.2ABC A B C a b c b B B C D ∆==2、在中，角、、的对边分别为若，则a 的值为（）,,cos 3.sin 4(1)ABC A B C a b c a B b A ABC ABC l ∆==∆∆3、设锐角的内角、、的对边分别为且求边长a（2）若的面积S=10，求的周长。
正弦定理、余弦定理的应用(一) 学案
1.3正弦定理、余弦定理的应用(一) 学习目标 1.利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题(重点).2.利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量问题(重点).3.利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关角度的测量问题(难点).预习教材P18 19，完成下面问题：知识点1有关的几个术语1.方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的角.如图所示的θ1、θ2即表示点A 和点B的方位角.故方位角的范围是[0°，360°).2.方向角：指以观测者为中心，指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，它是方位角的另一种表示形式.如图，左图中表示北偏东30°，右图中表示南偏西60°.3.仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角；目标视线在水平视线下方时叫做俯角.如图所示.4.视角：观测者的两条视线之间的夹角叫做视角.5.坡角坡面与水平面的夹角叫坡角，坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡度⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α＝h l ，如图.【预习评价】图(1)图(2)上图中的两个方向，用方位角应表示为________(图(1))与________(图(2)).答案60°210°知识点2解三角形应用题解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解三角形，得到实际问题的解，求解的关键是将实际问题转化为解三角形问题.(1)解题思路(2)基本步骤运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤如下：①分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形).②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型.③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解.④检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解.(3)主要类型预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)1.某次测量中，A在B的北偏东55°方向，则B在A的南偏西35°方向.(×)2.某人从A地向正东方向走了3米到达B地，再从B地向右转60°后又走了3米到达C地，则A、C两地间的距离是33米.(√)3.某人在A处测得一电线杆的仰角为15°，向前走了10米到达B处，又测得电线杆的仰角为30°，于是就说电线杆的高度为5米.(√)题型一测量距离问题【例1】如下图，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边测出CD的长为1 m，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A、B两点间的距离.(结果可含根号)解在△BCD中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得BCsin 30°＝CDsin 45°，则BC＝CD sin 30°sin 45°＝22m.在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°，∴△ACD为正三角形，∴AC＝CD＝1 m.在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos 45°＝1＋12－2×1×22×22＝12，∴AB＝22m.答：A、B两点间的距离为22m.规律方法求距离问题时应注意的三点(1)选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.(3)测量两个不可到达的点之间的距离问题.首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后在相关三角形中利用正弦定理计算其他边.【训练1】如图，货轮在海上以40 m/h的速度沿着方位角为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点观测灯塔A的方位角为65°.问货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？解在△ABC中，BC＝40×12＝20( m)，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，故∠A＝180°－(30°＋105°)＝45°.由正弦定理得AC＝BC·sin∠ABCsin A＝20×sin 30°sin 45°＝102( m).答：货轮到达C点时，与灯塔A的距离是10 2 m.题型二测量高度问题【例2】如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是C点到水平面的垂足，求山高CD.解由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由ABsin 15°＝ADsin 45°，得AD＝AB·sin 45°sin 15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m).即山的高度为800(3＋1) m.规律方法在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解.【训练2】如图，地平面上有一旗杆OP ，为了测得它的高度h ，在地面上选两点A ，B ，AB ＝20 m ，在A 点处测得P 点仰角∠OAP ＝30°，在B 点处测得P 点的仰角∠OBP ＝45°，又测得∠AOB ＝60°，求旗杆的高度h .解 在Rt △AOP 中，∠OAP ＝30°，OP ＝h . ∴OA ＝OP ·1tan 30°＝3h .在Rt △BOP 中，∠OBP ＝45°，∴OB ＝OP ·1tan 45°＝h .在△AOB 中，AB ＝20，∠AOB ＝60°，由余弦定理得AB 2＝OA 2＋OB 2－2·OA ·OB ·cos 60°， 即202＝(3h )2＋h 2－2×3h ×h ×12， 解得h 2＝4004－3＝400（4＋3）13，∴h ＝204＋313＝201352＋13 3.答：旗杆的高度为2013 52＋133m.题型三 测量角度问题【例3】如图，甲船在A 处遇险，在甲船西南10海里B 处的乙船收到甲船的警报后，测得甲船是沿着北偏西15°的方向，以每小时9海里的速度向某岛靠近，如果乙船要在40分钟内追上甲船，则乙船应以多大速度，以何方位角航行？(已知cos 68°13′≈0.37)解 设乙船速度为x 海里/时，且乙船在40分钟后在点C 处追上甲船，则 BC ＝4060x ＝23x (海里)， AC ＝4060×9＝6(海里).由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2＝102＋62－2×10×6×cos(90°－15°＋45°)，∴x ＝21，BC ＝14. 由正弦定理得BC sin ∠BAC＝AC sin B ，∴sin B＝614sin 120°≈0.37，∴B≈21°47′.答：乙船应以每小时21海里的速度沿北偏东23°13′航行.规律方法(1)测量角度与追及问题主要是指在海上、空中或陆地测量或计算角度，确定目标的方位，观察某一物体的视角等问题.(2)解决它们的关键是根据题意和图形以及相关概念，确定所求的角或距离在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解.【训练3】甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a n mile，乙船向正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的3倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶了多少n mile?解如图所示，设两船在C处相遇，并设∠CAB＝θ，乙船行驶距离BC为x n mile，则AC＝3x，由正弦定理得sin θ＝BC ·sin 120°AC＝12， 而θ<60°，∴θ＝30°，∴∠ACB ＝30°，BC ＝AB ＝a .∴甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了a nmile.课堂达标1.甲、乙两楼相距a ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________.解析 甲楼的高为a tan 60°＝3a ， 乙楼的高为3a －a tan 30°＝3a －33a ＝233a .答案 3a ，233a2.某人从出发点A 向正东走x m 后到B ，向左转150°再向前走3 m 到C ，测得△ABC 的面积为334 m 2，则此人这时离开出发点的距离为________m.解析 在△ABC 中，S ＝12AB ×BC sin B ， ∴334＝12×x ×3×sin 30°，∴x ＝ 3.由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B ＝3＋9－9 ＝3(m).答案 33.一艘船上午9∶30在A 处，测得灯塔S 在它的北偏东30°的方向，且与它相距82海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10∶00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°的方向，此船的航速是________海里/时.解析 由题意得在三角形SAB 中，∠BAS ＝30°，∠SBA ＝180°－75°＝105°，∠BSA ＝45°.由正弦定理得SA sin 105°＝AB sin 45°， 即82sin 105°＝AB sin 45°，得AB ＝8(6－2)， 因此此船的航速为8（6－2）12＝16(6－2)(海里/时). 答案 16(6－2)4.如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°方向，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°方向，则灯塔A 在灯塔B的北偏西________方向.解析由题意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA ＝50°，从而可知灯塔A在灯塔B的北偏西10°.答案10°5.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的飞行高度为18 m，速度为1 000 m/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，1分钟后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的高度约为多少？(精确到0.1 m)解AB＝1 000×160＝503，∴BC＝ABsin 45°·sin 30°＝5032.∴航线离山顶的距离h＝5032×sin 75°＝5032×6＋24＝25（3＋1）6≈11.4.∴山高约为18－11.4＝6.6( m).课堂小结1.测量距离问题包括两种情况(1)测量一个可到达点到另一个不可到达点之间的距离.(2)测量两个不可到达点之间的距离.第一种情况实际上是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理即可解决(如图1)；对于第二种情况，首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用正弦定理求三角形边长的问题，然后把BC，AC转化为测量可到达的点与不可到达的点之间的距离问题(如图2).2.测量底部不可到达的建筑物的高度问题.由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题.3.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.基础过关1.在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的北偏西________.解析由方向角的概念，B在A的北偏西34°27′.答案34°27′2.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么d1，d2的大小关系是________.解析仰角大说明距离小，仰角小说明距离大，即d1<d2.答案d1<d23.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a m，灯塔A在观察站C 的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离是________ m.解析如图所示，在△ABC中，∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，∵AC＝BC＝a，∴由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°＝a2＋a2－2a2×(－12)＝3a2，∴AB＝3a( m)，即灯塔A与灯塔B的距离为3a m.答案3a4.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC的长度为4米，A ＝30°，则其跨度AB的长为________米.解析△ABC为等腰三角形，A＝30°，∴B＝30°，C＝120°，∴由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝42＋42－2×4×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝48， ∴AB ＝4 3 米.答案 4 35.如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝________.解析 在△ABC 中，由正弦定理AB sin 30°＝AC sin 135°，∴AC ＝100 2.在△ADC 中，ACsin （θ＋90°）＝CD sin 15°，∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝AC ·sin 15°CD ＝3－1. 答案 3－1 6.如图，一栋建筑物AB 的高为(30－103)米，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD ，在它们之间的点M (B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角是30°，求通信塔CD 的高.解在Rt△ABM中，AM＝ABsin 15°＝30－103sin 15°＝30－1036－24＝206，过点A作AN⊥CD于点N，在Rt△ACN中，因为∠CAN＝30°，所以∠ACN＝60°，又在Rt∠CMD中，∠CMD＝60°，所以∠MCD＝30°，所以∠ACM＝30°，在△AMC中，∠AMC＝105°，所以ACsin 105°＝AMsin∠ACM＝206sin 30°，所以AC＝60＋203，所以CN＝30＋103，所以CD＝DN＋CN＝AB＋CN＝30－103＋30＋103＝60.∴通信塔CD的高是60 m.7.某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米以后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高.解如图所示，AB为塔高，某人从C处沿CD方向前进，过B作BE⊥CD于E，连接AE，则∠AEB＝30°.在△BDC 中，CD ＝40，∠BCD ＝90°－60°＝30°，∠DBC ＝180°－45°＝135°.由正弦定理，得CD sin ∠DBC ＝BD sin ∠DCB， ∴BD ＝40sin 30°sin 135°＝202(米).∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°，∴BE ＝BD sin 15°＝202×6－24＝10(3－1)(米).在Rt △ABE 中，∠AEB ＝30°，∴AB ＝BE tan 30°＝103(3－3)(米).故所求的塔高为103(3－3)米.能力提升8.在静水中划船的速度是每分钟40 m ，水流的速度是每分钟20 m ，如果船从岸边出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为________.解析 如图，设水流速度与船速的合速度为v ，方向指向对岸.则由题意知，sin α＝v 水v 船＝2040＝12， 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝π6. 答案 π69.某人朝正东方向走x m 后，向右转150°，然后朝新方向走3 m ，结果他离出发点恰好为 3 m ，那么x 的值为________.解析 如图，在△ABC 中，AB ＝x ，B ＝30°，BC ＝3，AC ＝3，由余弦定理(3)2＝x 2＋32－2×3×x ×cos 30°，∴x 2－33x ＋6＝0，∴x ＝ 3 或2 3.答案 23或 310.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，吊索AB ＝519 m ，起吊的货物与岸的距离AD 为________ m.解析 在△ABC 中，cos ∠ABC ＝102＋（519）2－1522×10×519＝7219， ∠ABC ∈(0°，180°)， ∴sin ∠ABC ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫72192＝33219， ∴在Rt △ABD 中， AD ＝AB ·sin ∠ABC ＝519×33219＝1523. 答案 152 311.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线和甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔的高度为________米.解析由题可知，如图，其中AS为塔高，设为h，甲、乙分别在B、C处.则∠ABS＝45°，∠ACS＝30°，BC＝500，∠ABC＝120°，∴在△ABS中，AB＝AS＝h，在△ACS中，AC＝3h，在△ABC中，AB＝h，AC＝3h，BC＝500，∠ABC＝120°.由余弦定理(3h)2＝5002＋h2－2×500×h×cos 120°，∴h＝500(米).答案50012.甲船在A处，乙船在A的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船以28海里/时的速度行驶，用多少小时能最快追上乙船？解 如图所示，设用t 小时甲船能追上乙船，且在C 处相遇.在△ABC 中，AC ＝28t ，BC ＝20t ，AB ＝9，∠ABC ＝180°－45°－15°＝120°.由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ，即(28t )2＝92＋(20t )2－2×9×20t ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 128t 2－60t －27＝0，∴t ＝34或t ＝－932(舍去)，∴甲船用34小时能最快追上乙船.13.(选做题)如图所示，a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上点A 处有一个水声监测点，另两个监测点B 、C 分别在A 的正东方20 m 处和54 m 处.某时刻，监测点B 收到发自静止目标P 的一个声波，8 s 后监测点A 、20 s 后监测点C 相继收到这一信号，在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是 1.5 m/s.(1)设A 到P 的距离为x m ，用x 表示B 、C 到P 的距离，并求x 的值；(2)求静止目标P 到海防警戒线a 的距离.(精确到0.01 m)解 (1)由题意得PA －PB ＝1.5×8＝12( m)，PC －PB ＝1.5×20＝30( m)，∴PB ＝(x －12) m ，PC ＝(x ＋18) m.在△PAB 中，AB ＝20 m ，由余弦定理，得cos ∠PAB ＝PA 2＋AB 2－PB 22PA ·AB ＝x 2＋202－（x －12）22x ×20＝3x ＋325x .同理，可得cos ∠PAC ＝72－x 3x .又cos ∠PAB ＝cos ∠PAC ，∴3x ＋325x ＝72－x 3x ，解得x ＝1327.(2)由题意作PD ⊥a ，垂足为D ，在Rt △PDA 中，PD ＝PA ·cos ∠APD ＝PA cos ∠PAB ＝x ·3x ＋325x≈17.71( m).答：静止目标P 到海防警戒线a 的距离约为17.71 m.。
正弦定理余弦定理 导学案答案
日照一中2019级数学导学案班级： 姓名: 使用日期：2020年3月6 日知识梳理1．正弦、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 的外接圆半径，则 定理正弦定理余弦定理内容a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R . a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， c ＝2R sin C ；(2)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sinC ；(3)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝asin A ＝2R .cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ； cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ； cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.三角形常用面积公式目 录 学案序号 课 题习题课课 型新授课课 时 第 1 课时 编写人 丁明谦 审核人 张念胜 学科联系人签字 孙正吉学法指导运用正弦定理余弦定理解决两类基本的解三角形问题课标要求(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
(2)能够运用余弦定理知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题素养达成培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力，通过正弦定理余弦定理等知识间的练习，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一.(1)S＝12a·h a(h a表示边a上的高)；(2)S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．[常用结论]1．在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. 2．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；c＝b cos A＋a cos B.3．内角和公式的变形(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C.4．角平分线定理：在△ABC中，若AD是角A的平分线，如图，则ABAC ＝BD DC.一．自学探究1、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．()(2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B. ()(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．()(4)当b2＋c2－a2＞0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，△ABC为钝角三角形．()2．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝π6，B＝π4，a＝1，则b＝()A．2B．1C. 3D. 23．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有() A．无解B．两解C．一解D．解的个数不确定4．在△ABC中，a cos A＝b cos B，则这个三角形的形状为二．典例讲解考点1利用正、余弦定理解三角形问题解三角形的常见题型及求解方法(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及asin A＝bsin B＝csin C，可先求出角C及b，再求出c.(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bc cos A，先求出a，再求出角B，C.(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理asin A＝bsin B可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由asin A＝csin C可求出c，而通过asin A＝bsin B求角B时，可能有一解或两解或无解的情况．例1 (1)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin C，cos A＝－14，则bc＝()A．6B．5C．4 D．3(2)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B －sin C)2＝sin2A－sin B sin C.①求A；②若2a＋b＝2c，求sin C.练习1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin A＋a cos B＝0，则B＝.2．在△ABC中，AB＝4，AC＝7，BC边上中线AD＝72，则BC＝9考点2与三角形面积有关的问题三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．例2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A＋3cos A＝0，a＝27，b＝2.(1)求c；(2)[一题多解]设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝π3，则△ABC的面积为．2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2a cosB.(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝a24，求角A的大小．考点3判断三角形的形状判断三角形形状的2种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．例3设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定[母题探究]1．(变条件)本例中，若将条件变为2sin A cos B＝sin C，判断△ABC的形状．2．(变条件)本例中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cos A sin B＝sin C，判断△ABC的形状．三【课堂小结】1、本节课学了哪些知识内容？2、本节课用了哪些方法思想？四、【课堂达标】1．在△ABC中，a＝3，A＝120°，b＝1，则角B的大小为()A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．在△ABC 中，A ＝45°，AC ＝4，AB ＝2，那么cos B ＝( ) A ．31010B ．－31010C ．55D ．－553．已知关于x 的方程x 2－x cos A ·cos B ＋2sin 2C2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形4．(2019年山西运城模拟)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( )A ．3π4B ．π3C ．π4D ．π65．已知△ABC 中，b 2＋c 2＞a 2且角A 为三个内角中的最大角，则角A 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫2π3，πB ．⎝⎛⎭⎫π2，2π3 C ．⎝⎛⎭⎫π3，π2D ．⎝⎛⎭⎫π4，π36．(2019年广西梧州校级月考)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km ，速度为1 000 km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km ，参考数据：3≈1.732)( )A．5.1 km B．5.6 kmC．6.1 km D．6.6 km7．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，三角形的面积S＝3，则三角形外接圆的半径为()A． 3 B．2C．2 3 D．48．如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为( )A ． 2B ．2 2C ． 3D ．239．在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且c (a cos B －b cos A )＝b 2，则sin Asin B＝________.10．已知△ABC 的周长为2＋1且sin A ＋sin B ＝2sin C ．若△ABC 的面积为16sin C ，则C ＝________.11．(2019年湖北武汉模拟)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，则该救援船到达D点需要________小时．12．(2017年新课标Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2 B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .12. 【解析】(1)∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(A ＋C )＝sin B ． 又8sin 2B2＝8×1－cos B 2＝4(1－cos B )， ∴sin B ＝4(1－cos B )，两边平方，整理，得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1517或cos B ＝1(舍去)．(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac ＝2，则ac ＝172.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517＝4，∴b ＝2.13．如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，DA ＝DC ，已知B ＝π4，BC ＝1.(1)若△ABC 是锐角三角形，DC ＝63，求角A 的大小； (2)若△BCD 的面积为16，求边AB 的长．13. 【解析】(1)在△BCD 中，B ＝π4，BC ＝1，DC ＝63，由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CDsin B ，解得sin ∠BDC ＝1×2263＝32，则∠BDC ＝π3或2π3.若∠BDC ＝π3，则∠BCD ＝π－π3－π4＝5π12，由DA ＝DC 可得∠A ＝∠ACD ＝π6，此时∠ACB＝5π12＋π6 ＝7π12，与△ABC 是锐角三角形矛盾，不合题意；若∠BDC ＝2π3，则∠BCD ＝π－2π3－π4＝π12，由DA＝DC可得∠A＝∠ACD＝π3，此时∠ACB＝π12＋π3＝5π12，满足题意．综上所述，A＝π3.(2)由于B＝π4，BC＝1，△BCD的面积为16，得12·BC·BD·sinπ4＝16，解得BD＝23.由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos π4＝1＋29－2×23×22＝59，解得CD＝5 3，则AB＝AD＋BD＝CD＋BD＝5＋2 3，∴边AB的长为5＋2 3.参考答案1.A2.D 3C. 4.C 5.C 6.D 7.B 8.C 9.2 10. 60°11.1。
正弦定理、余弦定理应用举例(导)学案 (1)
第2课时 正弦定理的应用学习目标 1.了解正弦定理及其变式的结构特征和功能.2.理解三角形面积公式及解斜三角形.3.能用正弦定理解决简单的实际问题．知识点一 正弦定理的变形公式设△ABC 的外接圆的半径为R ，有a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R .(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a b ＝sin A sin B ，a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C； (3)a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ； (4)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . 知识点二 边角互化思考 在△ABC 中，已知a cos B ＝b cos A ．你能把其中的边a ，b 化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?答案 可借助正弦定理把边化成角：2R sin A cos B ＝2R sin B cos A (R 为△ABC 外接圆半径)，移项后就是一个三角恒等变换公式sin A cos B －cos A sin B ＝0.梳理 一个公式就是一座桥梁，可以连接等号两端．正弦定理的本质就是给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系．所以正弦定理主要功能就是把边化为对角的正弦或者反过来，简称边角互化．知识点三 三角形面积公式思考 在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝30°.BC 边上的高AD 是多少？△ABC 的面积是多少？答案 AD ＝b sin C ＝2·sin 30°＝1. S △ABC ＝12a ·AD ＝12ab sin C ＝12×1×1＝12.梳理 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，则△ABC 的面积S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sinA ＝12ca sin B .知识点四 仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角．目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示．1．仰角和俯角都是视线与铅垂线所成的角．(×)2．在△ABC 中，若b 2＝2a cos B ，则sin 2B ＝2sin A cos B ．(×) 3．平行四边形ABCD 的面积等于AB ·AD sin A ．(√)类型一 边角互化例1 在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状． 考点 判断三角形的形状题点 利用正弦定理和三角变换判断三角形的形状 解 方法一 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)， ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴a 2＝b 2＋c 2，∴A 是直角，B ＋C ＝90°， ∴2sin B cos C ＝2sin B cos(90°－B ) ＝2sin 2B ＝sin A ＝1， ∴sin B ＝22.∵0°<B <90°，∴B ＝45°，C ＝45°， ∴△ABC 是等腰直角三角形． 方法二 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)， ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ， ∴a 2＝b 2＋c 2，∴A 是直角．∵A ＝180°－(B ＋C )，sin A ＝2sin B cos C ，∴sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴sin(B －C )＝0.又－90°<B －C <90°，∴B －C ＝0，∴B ＝C ， ∴△ABC 是等腰直角三角形．反思与感悟 利用正弦定理判定三角形的形状，主要有两条途径(1)化边为角：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．转化公式为a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆半径)．(2)化角为边：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a ＝b ，a 2＋b 2＝c 2等，进而确定三角形的形状．转化公式为sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R(R 为△ABC 外接圆半径)．跟踪训练1 若将题设中的“sin A ＝2sin B cos C ”改为“b sin B ＝c sin C ”，其余不变，试解答本题．考点 判断三角形的形状题点 利用正弦定理和三角变换判断三角形的形状解 由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)，从而得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .∵b sin B ＝c sin C ，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴b ·b 2R ＝c ·c2R ，⎝⎛⎭⎫a 2R 2＝⎝⎛⎭⎫b 2R 2＋⎝⎛⎭⎫c 2R 2，∴b 2＝c 2，a 2＝b 2＋c 2， ∴b ＝c ，A ＝90°.∴△ABC 为等腰直角三角形． 类型二 三角形面积公式及其应用 命题角度1 已知边角求面积例2 在△ABC 中，已知B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2.求△ABC 的面积． 考点 用正弦定理解三角形 题点 用正弦定理求面积 解 由正弦定理，得sin C ＝AB ·sin B AC ＝32， 又AB ·sin B <AC <AB ，故该三角形有两解： C ＝60°或120°，所以当C ＝60°时，A ＝90°， S △ABC ＝12AB ·AC ＝23；当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝ 3.所以△ABC 的面积为23或 3.反思与感悟 对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，总的概括为两边与夹角正弦乘积的一半．一般是已知哪一个角就使用哪一个公式，但也要结合具体条件，如已知AB ，AC ，就以选S ＝12AB ·AC sin A 为宜．跟踪训练2 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若tan A ＝3，cos C ＝55， (1)求角B 的大小；(2)若c ＝4，求△ABC 的面积． 考点 用正弦定理解三角形 题点 用正弦定理求面积 解 (1)∵cos C ＝55，∴C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin C ＝255，tan C ＝2.又∵tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C1－tan A tan C＝－3＋21－3×2＝1，且0<B <π，∴B ＝π4.(2)由正弦定理b sin B ＝csin C ，得b ＝c sin Bsin C ＝4×22255＝10，由sin A ＝sin(B ＋C )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C 得sin A ＝31010， ∴△ABC 的面积S △ABC ＝12bc sin A ＝6.命题角度2 已知面积求边角例3 在△ABC 中，角A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则sin B ∶sin C ＝ . 考点 用正弦定理解三角形 题点 已知面积求边或角 答案 1∶4解析 因为S △ABC ＝12bc sin A ，所以c ＝2S △ABC b sin A ＝231×32＝4，由正弦定理b sin B ＝csin C ，得sin B ∶sin C ＝b ∶c ＝1∶4.反思与感悟 条件中涉及面积，要根据解题目标和其它条件()如已知条件中角的大小选取对解题有利的面积公式．跟踪训练3 在△ABC 中，B ＝60°，a ＝1，b ＝3，S △ABC ＝32，则C ＝ . 考点 用正弦定理解三角形 题点 已知面积求边或角 答案 90°解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝12·1·c ·32＝32，∴c ＝2，∵B ＝60°，b ＝3，∴c sin C ＝b sin B ＝332＝2. ∴sin C ＝1，∴C ＝90°.类型三 用正弦定理解决简单实际问题例4 如图所示，D ，C ，B 在地平面同一直线上，DC ＝10 m ，从D ，C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°，则A 点离地面的高AB 为 m.考点 解三角形求高度 题点 测量俯角(仰角)求高度 答案 5(3＋1)解析 方法一 设AB ＝x m ，则BC ＝x m. ∴BD ＝(10＋x ) m ．∴tan ∠ADB ＝AB DB ＝x 10＋x ＝33.解得x ＝5(3＋1) m.∴A 点离地面的高AB 等于5(3＋1) m. 方法二 ∵∠ACB ＝45°，∴∠ACD ＝135°， ∴∠CAD ＝180°－135°－30°＝15°. 由正弦定理，得AC ＝CDsin ∠CAD·sin ∠ADC＝10sin 15°·sin 30°＝206－2. ∴AB ＝AC sin 45°＝5(3＋1) m.反思与感悟 在运用正弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解．跟踪训练4 为了求底部不能到达的水塔AB 的高，如图，在地面上引一条基线CD ＝a ，这条基线延长后不过塔底，若测得∠ACB ＝α，∠BCD ＝β，∠BDC ＝γ，求水塔AB 的高．考点 解三角形求高度 题点 测量俯角(仰角)求高度解 在△BCD 中，BC sin γ＝a sin ∠CBD ＝asin (β＋γ)，∴BC ＝a sin γsin (β＋γ)，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan α＝a sin γ·tan αsin (β＋γ).1．如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者与A 在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C ，测出A ，C 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为 m.考点 解三角形求距离题点 测量可到达点与不可到达点间的距离 答案 50 2解析 ∠B ＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC 中，由AB sin 45°＝50sin 30°，得AB ＝100×22＝50 2.2．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是 ． 考点 解三角形求高度 题点 测量俯角(仰角)求高度 答案 203米，4033米解析 甲楼的高为20tan 60°＝20×3＝203(米)，乙楼的高为203－20tan 30°＝203－20×33＝4033(米)． 3．在△ABC 中，若c ＝2a cos B ，则A B ．(填>，＝，<) 考点 判断三角形形状题点 利用正弦、余弦定理、三角变换判断三角形形状 答案 ＝解析 ∵c ＝2a cos B ，由正弦定理得， 2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0， 又∵－π<A －B <π，∴A －B ＝0，∴A ＝B .4．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则A ＝ . 考点 用正弦定理解三角形题点 利用正弦定理进行边角互化解三角形 答案 π3解析 在△ABC 中，利用正弦定理，得 2sin A sin B ＝3sin B ，∵B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin B ≠0， ∴sin A ＝32.又∵A 为锐角，∴A ＝π3. 5．在△ABC 中，已知BC ＝6，A ＝30°，B ＝120°，则△ABC 的面积为 ． 考点 解三角形求面积题点 先用正弦定理求边或角再求面积 答案 9 3解析 由正弦定理得AC sin B ＝BC sin A ，∴AC ＝BC ·sin B sin A ＝6×sin 120°sin 30°＝6 3.又∵C ＝180°－120°－30°＝30°，∴S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C ＝12×63×6×12＝9 3.1．用正弦定理解决实际问题时，首先根据条件画出示意图，并特别注意诸如“仰角”、“俯角”之类术语的准确理解．然后分析解三角形已有哪些条件，要求什么，还缺什么，如何利用正弦定理及三角知识达到目标．2．当条件等式中边的次数、角的正弦次数相同时，或已知三角形外接圆半径时，可以用正弦定理进行边角互化．3．三角形面积公式要根据条件灵活选择．一、填空题1．在△ABC 中，若a ＝3，cos A ＝12，则△ABC 外接圆的半径为 ．考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的理解 答案3解析 ∵cos A ＝12，A ∈()0，π，∴sin A ＝32，由a sin A＝2R ，得R ＝ 3. 2．在△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝1∶3∶5，则2sin A －sin Bsin C 的值为 ．考点 用正弦定理解三角形题点 用正弦定理进行边角互化解三角形 答案 －15解析 由条件得a c ＝sin A sin C ＝15，∴sin A ＝15sin C .同理可得sin B ＝35sin C .∴2sin A －sin B sin C ＝2×15sin C －35sin C sin C ＝－15.3.埃及有许多金字塔，经过几千年的风化蚀食，有不少已经损坏了．考古人员在研究中测得一座金字塔的三角形横截面如图所示(顶端已经坍塌了)，A ＝50°，B ＝55°，AB ＝120 m ，则此金字塔的高约为 米．(sin 50°≈0.766，sin 55°≈0.819)(精确到1米)考点 正弦定理的简单实际应用 题点 求高度问题答案 78解析 先分别从A ，B 出发延长断边，确定交点C ， 则C ＝180°－A －B ＝75°，AC ＝AB sin C ·sin B ＝120sin 75°×sin 55°≈101.7.设高为h ，则h ＝AC ·sin A ＝101.7×sin 50°≈78(米)． 4．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝ .考点 用正弦定理解三角形 题点 已知面积求边或角 答案 2 3解析 ∵cos C ＝13，C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin C ＝1－cos 2C ＝223，∵12ab sin C ＝43，a ＝32，∴b ＝2 3.5．在△ABC 中，a cos B ＝bcos A ，则△ABC 的形状是 ．考点 判断三角形形状题点 利用正弦定理和三角变换判断三角形形状 答案 等腰三角形或直角三角形 解析 在△ABC 中，∵a cos B ＝bcos A ，∴a cos A ＝b cos B ，由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B . 又∵A ，B ∈(0°，180°)， ∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°， ∴A ＝B 或A ＋B ＝90°.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．6.如图，小山的电视发射塔AB 高为50米，在山下地面C 点，测得塔底B 的仰角为40°，测得塔顶A 的仰角为70°，则小山BD 的高约为 米．(sin 20°≈0.342，sin 40°≈0.643，精确到0.01米)考点 解三角形求高度题点 由仰角问题求高度答案 21.99解析 在△ACD 中，∠CAD ＝20°，在△ACB 中，∠ACB ＝30°，由正弦定理，得BC ＝50sin 20°sin 30°＝50×0.3420.5＝34.20. 在△BCD 中，BD ＝BC sin 40°≈21.99(米)．7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1＋tan A tan B ＝2c b，则角A 的大小为 ． 考点 用正弦定理解三角形题点 用正弦定理、三角变换解三角形答案 π3解析 由1＋tan A tan B ＝2c b及正弦定理，得 1＋sin A cos B cos A sin B ＝2sin C sin B， 即sin (A ＋B )cos A sin B ＝2sin C sin B， 又∵sin(A ＋B )＝sin C >0，sin B >0，∴cos A ＝12. 又∵0<A <π，∴A ＝π3. 8．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a＝ .考点 用正弦定理解三角形题点 用正弦定理进行边角互化解三角形答案 2解析 由正弦定理得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B ·(sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .所以sin B ＝2sin A ，所以b a ＝sin B sin A ＝ 2. 9．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的周长为 ．(用B 表示) 考点 用正弦定理解三角形题点 用正弦定理进行边角互化解三角形答案 6sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＋3 解析 在△ABC 中，由正弦定理得AC sin B ＝332， 化简得AC ＝23sin B ，AB sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝332， 化简得AB ＝23sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ，所以三角形的周长为BC ＋AC ＋AB ＝3＋23sin B ＋23sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝3＋33sin B ＋3cos B ＝6sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＋3. 10．已知圆的半径为4.a ，b ，c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为 ．考点 用正弦定理解三角形 题点 用正弦定理求面积答案 2解析 由正弦定理得，c ＝2R sin C ＝8sin C ，∴sin C ＝c 8. ∴三角形面积＝12ab sin C ＝12ab ·c 8＝116abc ＝116×162＝ 2.二、解答题11．在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin B sin A. 考点 用正弦定理解三角形题点 用正弦定理进行边角互化解三角形证明 因为a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，A ＋B ＋C ＝π， 所以左边＝2R sin A －2R sin C cos B 2R sin B －2R sin C cos A＝sin (B ＋C )－sin C cos B sin (A ＋C )－sin C cos A＝sin B cos C sin A cos C ＝sin B sin A＝右边． 所以等式成立．12．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C 求：(1)B 的范围；(2)a b的范围． 考点 用正弦定理解三角形题点 用正弦定理、三角变换解三角形解 (1)在锐角三角形ABC 中，0°<A <90°，0°<B <90°，0°<C <90°，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0°<B <90°，0°<2B <90°，0°<180°－3B <90°，得30°<B <45°.(2)由正弦定理知a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B ∈(2，3)， 故所求a b的范围是(2，3)． 13.我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和D 处，已知CD ＝6 000米，∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面点B 处时，测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°(如图)，求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)考点 运用正弦定理求距离题点 在不同三角形中给出角度求距离解 在△ACD 中，∠CAD ＝180°－∠ACD －∠ADC ＝60°，CD ＝6 000，∠ACD ＝45°，根据正弦定理有AD ＝CD sin 45°sin 60°＝23CD ， 同理，在△BCD 中，∠CBD ＝180°－∠BCD －∠BDC ＝135°，CD ＝6 000，∠BCD ＝30°，根据正弦定理有BD ＝CD sin 30°sin 135°＝22CD . 又在△ABD 中，∠ADB ＝∠ADC ＋∠BDC ＝90°，根据勾股定理有 AB ＝AD 2＋BD 2＝ 23＋12CD ＝426CD ＝1 00042. 所以炮兵阵地到目标的距离为1 00042米．三、探究与拓展14．在△ABC 中，已知c ＝10，cos A cos B ＝b a ＝43，求a ，b 及△ABC 的内切圆半径． 考点 用正弦定理解三角形题点 用正弦定理、三角变换解三角形解 由正弦定理知sin B sin A ＝b a ，∴cos A cos B ＝sin B sin A. 即sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B .又∵a ≠b ，且A ，B ∈(0，π)，∴2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2. ∴△ABC 是直角三角形，且C ＝π2，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝102，b a ＝43，得a ＝6，b ＝8. 故内切圆的半径为r ＝a ＋b －c 2＝6＋8－102＝2. 15．已知△ABC 的面积为1，tan B ＝12，tan C ＝－2，求△ABC 的各边长以及△ABC 外接圆的面积．考点 用正弦定理解三角形题点 用正弦定理求面积解 因为tan B ＝12>0，所以B 为锐角． 所以sin B ＝55，cos B ＝255. 因为tan C ＝－2，所以C 为钝角．所以sin C ＝255，cos C ＝－55. 所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C＝55×⎝⎛⎭⎫－55＋255×255＝35. 因为S △ABC ＝12ab sin C ＝2R 2sin A sin B sin C ＝2R 2×35×55×255＝1. 所以R 2＝2512，R ＝536. 所以πR 2＝2512π，即外接圆的面积为2512π. 所以a ＝2R sin A ＝3，b ＝2R sin B ＝153， c ＝2R sin C ＝2153.。
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即墨实验高中高三数学（文）复习学案正弦定理和余弦定理 编号：08编写人： 隋海波 审核人： 高三文科数学 时间：2015-09-16一.知识梳理1．仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线_____时叫仰角，目标视线在水平视线_____时叫俯角．(如图(a))．2．方位角从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B 点的方位角为α(如图(b))．3．方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度．二．课前自主检测1若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( ) A ．北偏东15° B ．北偏西15° C ．北偏东10°D ．北偏西10°2．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 mD.2522m【课堂自主导学】 考点分析考点一 测量距离问题 角度一 两点都不可到达1.如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，测出AB 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，测得CD ＝a ，同时在C ，D 两点分别测得∠BCA ＝α，∠ACD ＝β，∠CDB ＝γ，∠BDA ＝δ.在△ADC 和△BDC 中，由正弦定理分别计算出AC 和BC ，再在△ABC 中，应用余弦定理计算出AB .若测得CD ＝32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A ，B 两点间的距离．角度二 两点不相通的距离2.如图所示，要测量一水塘两侧A ，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置C ，用经纬仪测出角α，再分别测出AC ，BC 的长b ，a ，则可求出A ，B 两点间的距离．即AB ＝a 2＋b 2－2ab cos α.若测得CA ＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，试计算AB 的长．角度三 两点间可视但有一点不可到达3.如图所示，A ，B 两点在一条河的两岸，测量者在A 的同侧，且B 点不可到达，要测出AB 的距离，其方法在A 所在的岸边选定一点C ，可以测出AC 的距离m ，再借助仪器，测出∠ACB ＝α，∠CAB ＝β，在△ABC 中，运用正弦定理就可以求出AB .若测出AC ＝60 m ，∠BAC ＝75°，∠BCA ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________．考点二测量高度问题例2某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚217秒．在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340米/秒)变式训练要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，求电视塔的高度．考点三测量角度问题例2在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．变式训练如图所示，处于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cos θ的值．．课堂检测1．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．102海里B．103海里C．203海里D．202海里2．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.3.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？即墨实验高中高三文科数学课后巩固练习正弦定理和余弦定理的应用 编号：08编写人： 隋海波 审核人： 高三文科数学 时间：2015-09-16【历年高考题】1．1.如图，一艘船上午9∶30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10∶00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°的方向，且与它相距8 2 n mile.此船的航速是________n mile/h..2．(2013·湖北八市联考)如图所示，已知树顶A 离地面212米，树上另一点B 离地面112米，某人在离地面32米的C 处看此树，则该人离此树________米时，看A ，B 的视角最大．3.(2013江苏，16分)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？2．(2010福建，12分)某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．【课后巩固导练】一、选择题(每小题5分，共25分)1.两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°2．如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量，已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，则∠DEF 的余弦值为()A.1665 B.1965 C.1657D.17573.如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°4．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m5．(2014·厦门模拟)在不等边三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫0，π2B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π6，π3D.⎝⎛⎭⎫π3，π26.(2014·大连联合模拟)如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________．7.(2013·福建高考)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．8．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20 m ，则折断点与树干底部的距离是________ m.9．在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距离A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船；在A 处北偏西75°方向，距离A 处2海里的C 处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船．同时，走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？。