初二数学二元一次方程组的解法
北师大版数学八年级上册6《二元一次方程与一次函数》教学设计3
北师大版数学八年级上册6《二元一次方程与一次函数》教学设计3一. 教材分析《二元一次方程与一次函数》是北师大版数学八年级上册第六章的内容，本章主要介绍了二元一次方程和一次函数的定义、性质、解法及其应用。
通过本章的学习，学生能够理解二元一次方程和一次函数的概念，掌握它们的性质和解法，并能运用它们解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经掌握了初一、初二级别的数学知识，包括一元一次方程、一元一次函数等。
但部分学生可能对这些知识掌握不牢固，对于解决实际问题的能力也有一定的局限性。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的知识基础，引导学生将已有的知识运用到新的学习内容中，并通过实际问题激发学生的学习兴趣。
三. 教学目标1.理解二元一次方程和一次函数的概念，掌握它们的性质和解法。
2.能够运用二元一次方程和一次函数解决实际问题。
3.培养学生的合作交流能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重难点：二元一次方程和一次函数的解法及其应用。
2.难点：理解二元一次方程和一次函数之间的关系，并能运用它们解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实际问题引入二元一次方程和一次函数的概念，激发学生的学习兴趣。
2.合作学习法：引导学生分组讨论，共同探究二元一次方程和一次函数的解法，培养学生的合作交流能力。
3.案例教学法：通过典型例题，引导学生掌握二元一次方程和一次函数的解法，并能够运用它们解决实际问题。
六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材，包括实际问题、典型例题等。
2.准备黑板和粉笔，用于板书关键知识点和解题过程。
3.准备练习题和作业，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题，引入二元一次方程和一次函数的概念。
例如：某商店进行促销活动，购买一件商品需要支付20元现金或30元支付宝支付，某顾客购买了一件商品，支付了40元现金和30元支付宝支付，请问顾客购买了几件商品？2.呈现（10分钟）呈现二元一次方程和一次函数的定义、性质和解法。
初中二元一次方程知识归纳
初中二元一次方程知识归纳二元一次方程是初中解方程的重要知识点，求解二元一次方程首先要明白其基础内容。
以下是店铺分享给大家的初中二元一次方程知识，希望可以帮到你!初中二元一次方程知识一.二元一次方程(组)的相关概念1.二元一次方程：含有两个未知数并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程。
2.二元一次方程组：二元一次方程组两个二元—次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组。
3.二元一次方程的解集：(1)二元一次方程的解适合一个二元一次方程的每一对未知数的值.叫做这个二元一次方程的一个解。
(2)二元一次方程的解集对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意二个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值.因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解.由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集。
4.二元一次方程组的解：二元一次方程组可化为使方程组中的各个方程的左、右两边都相等的未知数的值，叫做方程组的解。
二.利用消元法解二元一次方程组解二元(三元)一次方程组的一般方法是代入消元法和加减消元法。
1.解法：(1) 代入消元法是将方程组中的其中一个方程的未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入到另一个方程中去，消去另一个未知数，得到一个解。
代入消元法简称代入法。
(2)加减消元法利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加或相减，以消去这个未知数，使方程只含有一个未知数而得以求解。
这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。
用加减法消元的一般步骤为：①在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数)，则可直接相减(或相加)，消去一个未知数;②在二元一次方程组中，若不存在①中的情况，可选择一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数)，再把方程两边分别相减(或相加)，消去一个未知数，得到一元一次方程;③解这个一元一次方程;④将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单的方程，求另一个未知数的值;⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程组的解。
初二数学上学期第七章二元一次方程组知识点加试题
第七章：二元一次方程组考点1： 方程组及其解法一、考点讲解：1．二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程． 2．二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组． 3．二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解． 4．二元一次方程组的解法．（1）代人消元法：解方程组的基本思路是“消元”一把“二元”变为“一元”，主要步骤是，将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代人另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代人消元法，简称代人法．（2）减消无法：通过方程两边分别相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法． 5．整体思想解方程组．（1）整体代入．如解方程组3(1) 5 5(1)3(5) x y y x -=+⎧⎨-=+⎩①②，方程①的左边可化为3(x+5)－18=y+5③，把②中的3（x+5）看作一个整体代入③中，可简化计算过程，求得y ．然后求出方程组的解．（2）整体加减，如1+3y 19 313x+y 11 3x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①②因为方程①和②的未知数x 、y 的系数正好对调，所以可采用两个方程整体相加减求解．利用①+②，得x+y=9③，利用②－①得x －y=3④，可使③、④组成简单的方程组求得x ，y ． 二、经典考题剖析：【考题1－1】（2004、汉中）若x+y+4则 3x+2y ＝_______解：－6 点拨：由x+y+4=0, x-2=0,解得x=2, y=－6,故3x+2y ＝3×2+2×(－6)= －6 【考题1－2】（2004、北碚，5分） 解方程组：x-y=42x+y=5⎧⎨⎩点拨：此题用加减消元法较容易，也可用代人消元法解． 三、针对性训练：( 20分钟) (答案：242 ) 1、对方程组4x+7y=-19 4x-5y=17 ⎧⎨⎩①②，用加减法消去x ，得到的方程为（ ）A 、2y=－2 =－36 C. 12y=－2 =－36 2．二元一次方程组x+y=102x-y=-1⎧⎨⎩的解是（ ） A ．11x=x=2x=73 C. D.19y=8y=3y=3x=3 B.y=7⎧⎪⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎩⎧⎨⎩ 3．若x=-2y=1⎧⎨⎩ 是方程组ax+by=1bx+ay=7⎧⎨⎩的解，则（a+b ） （a －b ）的值为（ ）A. －353B. 353 C. －164．解方程组：⑴2x+5y=53x+2y=53x-5y=102x+5y=7⎧⎧⎨⎨⎩⎩⑵ 5．已知方程组ax+5y=15 4x-by=-2 ⎧⎨⎩①②由于甲看错了方程①中的a 得到的方程组的解为x=-3y=-1⎧⎨⎩乙看错了方程②中的b ，得到方程组的解为x=5y=4⎧⎨⎩若按正确的a 、b 为计算，求原方程组的解x 与y 的差．6．若a+b4b 与3a+b 是同类二次根式，求a 、b 的值.7．已知关于x ，y 的方程组2x-y=32kx+(k+1)y=10⎧⎨⎩的解互为相反数，则k 的值是多少？8．甲、乙两人解同一个二元一次方程组，甲正确地得出解x=3，y=－2，乙因把这个方程组中的第二个方程X 的系数抄错了，得到一个错误的解为x=－2，y=2．他们解先后，原方程组的三个系数又被污染而看不清楚，变成下面的形式：请你把原方程组的三个被污染的系数填上．考点2：方程组的实际应用 一、考点讲解：方程组解决实际问题：应用方程组解决实际问题的关键在于正确找出问题中的两个等量关系，列出方程并组成方程组，同时注意检验解的合理性． 二、经典考题剖析： 【考题2－1】（2004、宁安）某商品按进价的100％加价后出售．经过一段时间，商家为了减少库存，决定5折销售，这时每件商品（ ）A ．赚50％B ．赔50％C ．赔25％D ．不赔不赚【考题2－2】（2004、南山区正题3分）如图1－7－1，AB ⊥BC ，∠ABD 的度数比∠DBC 的度数的两倍少15°，设∠ABD 和∠DBC 的度数分别为x 、y ，那么下面可以求出这两个角的度数的方程组是（ ）A ．9015x y x y +=⎧⎨=-⎩ B ．90215x y x y +=⎧⎨=-⎩ C ．90152x y x y+=⎧⎨=-⎩ D ．290215x x y =⎧⎨=-⎩【考题2－3】（2004、宁安）如图，如果横行上的两个数字之和相等，竖列上的两个数字之和相等，那么a 、b 、c 、d 依次可为 。
5.5 二元一次方程组的图象解法 课件1
解： 由2x－y=5,x＋y=1, 得 y=2x－5, y=－x＋1
如右图,在同一直角 y=－x＋14 坐标系中,画出一次 3 函数y=2x－5和y= 2 －x＋1的图象
y
y=2x－5
它们的交点坐标为 P（2，－1）。所 -4 -3 -2 -1 o -1 以原二元一次方程 组的解为 -2
x=2 y=－1
（2）你会解二元一次方程组吗？它的解是什么？
问题2 二元一次方程组的解与图象交点的坐标
有关系吗？
问题3 通过以上活动，你得到什么结论？
归纳
1.一次函数与二元一次方程可以相互转化，从形 式到内容它们都是统一的。 2.用作图法来解方程组的步骤： (1)转化形式：把二元一次方程化成一次函 数的形式； (2)画函数图象：在同一直角坐标系中画出 两个一次函数的图象，并标出交点确定坐标； (3)写出方程组的解：交点坐标就是方程组的解。
2.把下列二元一次方程写成y=kx＋b的形式： （1）3x＋y=7 (2) 3x＋4y=13
活动一：（1）从图形上看，二元一次方程2x－y－3=0
与一次函数y=2x－3有什么关系？ x 2 （2）点P在一次函数y=2x－3图象上，那么它的坐标 （3） y 1 是二元一次方程2x－y－3=0的解, （4，5），即 x 4 是方程2x－y－3=0的解吗？ 那么以此解为坐标的点，即点（2，1）在函数图 y 5 象上吗？ 是 在 y
-3 -4
1
1
2
P(2, －1)
3 4
x
1、函数y=2x－3的图象任意一点的坐标都一定满足 2x－y=3 二元一次方程是：____________
2、直线y=3x-2和y=-2x+3的图象的交点是 (1,1) . 3、已知直线y=kx+5和y=-2x-b的图象的交点是 2 (-1,3),则k= , b= -1 .
5.5二元一次方程组的图像解法
A
课堂延伸
如图，已知直线PA是一次函数y=x+n（n>0)的图 象，直线PB是一次函数y=-2x+m(m>0)的图象，用 m、n表示出点A、B、P的坐标。
课堂思考
一次函数y=–x+2，y=–x+5的图象之间有 何关系？你能从中“悟”出些什么吗？ 我们可以得到： (1)二元一次方程组无解<=>一次函数 的图象平行（无交点）; (2)二元一次方程组有一解<=>一次函 数的图象相交（有一个交点）; (3)二元一次方程组有无数个解<=>一 次函数的图象重合（有无数个交点）.
例3
如下图，两条直线m1和m2的交点可以看作是 哪个二元一次方程组的解？
y
m1
3 2 1 x -4 -3 -2 -1 o -1 -2 -3 C -4 1 2 3 4
m2
例4
如图，两直线交于点A， 则点A的坐标（ ，
y
）
33
2 1 x -4 -3 -2 -1 o -1 -2 -3 -4 1 2 3 4
一般的，一次函数y=kx+b图象上任意一点 的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的解； 以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点 都在一次函数y=kx+b的图象上。
讨论
2个一次函数图象上的点与二元一次 方程组的解有什么关系？
一般的，如果2个一次函数的图象有一个交点， 那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解.
P（1，2）
x 1 2 3 4
3 2
所以原二元一次方程组 x 2 的解为
y 1
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-4
-3
-2
初二数学知识点归纳
初二数学知识点归纳1. 数的运算- 有理数的加、减、乘、除运算法则- 绝对值的概念和运算- 相反数的概念和运算- 乘方和开方的运算法则2. 代数基础- 代数式的书写规则- 代数式的加减运算- 代数式的乘除运算- 分式的加减乘除运算3. 一元一次方程- 一元一次方程的定义- 一元一次方程的解法- 一元一次方程的应用4. 二元一次方程组- 二元一次方程组的定义- 二元一次方程组的解法（加减消元法和代入消元法） - 二元一次方程组的应用5. 不等式- 不等式的概念- 不等式的解法- 一元一次不等式组的解法- 不等式的应用6. 几何图形- 点、线、面的基本性质- 平面图形的分类- 几何图形的对称性7. 三角形- 三角形的分类- 三角形的内角和定理- 三角形的外角性质- 三角形的边长关系8. 四边形- 四边形的分类- 平行四边形的性质- 矩形、菱形、正方形的性质9. 圆- 圆的基本概念- 圆的周长和面积计算- 圆的切线性质- 圆与圆的位置关系10. 空间几何- 空间几何体的认识- 空间几何体的表面积和体积计算 - 空间几何体的组合与分解11. 函数初步- 函数的概念- 一次函数的图像和性质- 正比例函数和反比例函数12. 概率初步- 概率的基本概念- 简单事件的概率计算- 概率在实际问题中的应用以上是初二数学的主要知识点归纳，涵盖了数的运算、代数基础、方程与不等式、几何图形、空间几何、函数和概率等重要领域，为进一步学习数学打下坚实的基础。
5.5二元一次方程组的图象解法
学生自己先思考 后，再分组讨论。 并让代表展示出 讨论结果.
x y 5 的解有什么关系？ 2 x y 1
x-2y= - 2 2x–y=2
你能说理由吗？ ﹙3﹚例：用作图象的方法解方程组
同学们你从本题中感悟到什么？ 原来我们解二元一次方程组除了代入法和加减法外还可以 用图像法，那么用作图法来解方程组的步骤如下： （a）把二元一次方程化成一次函数的形式 （b）在直角坐标系中画出两个一次函数的图像，并标出交点。 （c）交点坐标就是方程组的解。 4、练一练 1、用作图象的方法解方程组 2x+y=4 2x-3y=12 2、在图中的两直线 l1、l2 的交点坐标可以看作 的解。 三、总结 1、我们可以得到：二元一次方程组无解<=>一 次 函数的图像平行（无交点）二元一次 方程组有一解<=>一次函数的图像相交 （有一个交点）二元一次方程组有无数个 解<=>一次函数的图像重合（有无数个交点） 2、二元一次方程的解实际上就是一次函数的 图像交点。用图像法可以解二元一次方程组， 原来我们还可以用几何的图像法来解代数问题。
八年级
苏科版数学学科导学案 编者：
课
题
5.5 二元一次方程组的图象解法
课型
新授
课时
第 1 课时
教学目标
1、使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系 2、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解. 3、通过学生的思考和操作,了解方程与图象之间的关系,引入二元一次方程组图象解法, 同时培养了学生初步的数形结合的意识和能力. 二元一次方程和一次函数的关系，能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。 方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力。
3 x
5.4应用二元一次方程组——增收节支教学设计
北师大版数学八年级上册《第五章二元一次方程》5.4应用二元一次方程组——增收节支教学设计一、教学内容及其解析1．教学内容：《增收节支》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第五章《二元一次方程组》第四节.本节安排1个课时。
本节让学生进一步经历用二元一次方程组解决实际问题的步骤和方法，情境及例、习题中的等量关系均不易直接获得，需要借助列表进行分析，找出问题中所蕴含的等量关系。
二、学情分析在学习本课之前，应具备的基础知识和基本技能（1）方程的思想;（2）能整体地系统地审清题意，找出等量关系;（3）能从具体问题中的数量关系列出二元一次方程组;（4）熟练解二元一次方程组.本课是在学生已对一元一次方程、二元一次方程、二元一次方程组解法有了足够的认识的基础上来学习的，也学过了列一元一次方程解决实际问题，因此，大部分学生学习本课应该没有太大的困难的.初二的学生已经初步的具备了初步的抽象、想象、逻辑思维能力，初步的分析问题和解决问题的能力.三、教学目标1.能用二元一次方程组解决含增长率、利润率等百分数的实际问题；2.学会借助表格分析数量关系，建立方程组解决问题；3.进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界数量关系的有效数学模型，发展模型思想和应用意识.四、教学重点、难点1．教学重点：借助表格分析较为复杂问题中的数量关系2．教学难点：如何列表、填表．五、教学过程设计第一环节：温故知新内容：1.一种商品进价为150元，售价为165元，则该商品的利润为_____元;2.一种商品进价为150元，售价为165元，则该商品的利润率为______;3.一种商品标价为150元，打八折后的售价为____元;4.一种商品标价为200元，当打______折后的售价为170元.5.某工厂去年的总收入是x万元,今年的总产值比去年增加了20%,则今年的总收入是__________万元;6.若该厂去年的总支出为y万元,今年的总支出比去年减少了10%,则今年的总支出是__________万元;7.若该厂今年的利润为780万元,那么由5, 6可得方程___________________________.意图：通过列代数式复习含有百分数的常见问题中的的数量关系.效果：学生自主完成，先思考，后讨论。
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初二数学二元一次方程组的解法解法一：代入法
对于一个二元一次方程组，我们可以使用代入法来求解。
首先，假设方程组的两个方程分别为：方程1: ax + by = c，方程2: dx + ey = f。
我们可以从方程1中解出一个变量，然后将其代入方程2中，得到
只含有一个变量的方程。
然后，我们再解这个只含有一个变量的方程，得到该变量的解。
具体步骤如下：
Step 1: 从方程1中解出 x 或 y，得到 x 或 y 的表达式。
Step 2: 将 x 或 y 的表达式代入方程2中，得到只含有另一个变量的
方程。
Step 3: 解这个只含有一个变量的方程，得到该变量的解。
Step 4: 将该变量的解带入 Step 1 中的表达式，得到另一个变量的解。
解法二：消元法
另一种常用的解法是消元法。
这种方法通过消去一个变量来减少方
程数量，从而得到只含有一个变量的方程，再通过解这个方程得到变
量的值。
具体步骤如下：
Step 1: 若方程组中的两个方程为：方程1: ax + by = c，方程2: dx + ey = f，选择一个系数相等的变量，然后将两个方程中该变量的系数相乘，得到两个等式相加后消去该变量的方程。
Step 2: 消去该变量后，得到只含有另一个变量的方程。
Step 3: 解这个只含有一个变量的方程，得到该变量的解。
Step 4: 将该变量的解带入任意一个原始方程中，计算出另一个变量的值。
解法三：矩阵法
对于二元一次方程组，我们还可以使用矩阵法来求解。
设方程组的系数矩阵为 A，变量矩阵为 X，常数矩阵为 B。
则原始方程组可以表示为 AX = B。
如果 A 是可逆矩阵，则可以通过乘以 A 的逆矩阵来解方程组：X = A^(-1) * B。
总结：
通过代入法、消元法和矩阵法，我们可以解决初二数学中的二元一次方程组问题。
在实际应用中，可以根据具体情况选择不同的解法。
每种解法都有其独特的优势和适用范围，因此我们需要根据题目要求和求解条件来灵活选择解题方法。
通过掌握这些解法，并不断练习和应用，我们可以提高对于二元一次方程组的解题能力，使数学学习更加丰富和有趣。