函数的表示法教案

1.2.2 函数的表示法一、教材分析：函数的表示法是“函数及其表示”这一节的主要内容之一．学习函数表示法，可以加深对函数概念的理解，领悟数形结合，化归等函数思想，函数的不同表示法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．二、学习目标：①了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法);②会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数,树立应用数形结合的思想.三、教学重点：掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法．四、教学难点：会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．五、课时安排：2课时六、教学过程（一）、自主导学（课堂导入）1、设计问题,创设情境语言是沟通人与人之间联系的,同样的祝福又有着不同的表示方法.例如,简体中文中的“生日快乐!”用繁体中文为生日快樂!英文为Happy Birthday!法文是Bon Anniversaire!德文是Alles Gute zum Geburtstag!西班牙文为Feliz CumpleaRos!印度尼西亚文是Selamat Ulang Tahun!荷兰文的生日快乐为Van Harte Gefeliciteerd metjeverj aardag!在俄语中则是С днемрождения!……问题1:我们前面已经学习了函数的定义,函数的定义域的求法,函数值的求法,两个函数是否相同的判定方法,那么对于函数,又有什么不同的表示方法呢?这节课我们就来研究这个问题(板书课题).2、自主探索,尝试解决结合研究函数概念时生活中的三个例子,以及初中学过的函数的表示方法,老师根据同学们分组讨论（回答）情况,带领学生总结出函数的三种不同表示方法.并作讲解介绍：函数的三种表示方法:解析法: 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系,这种表示方法叫做解析法,这个数学表达式叫做函数的解析式.如：1.2.1的实例（1）；图象法: 图象法:以自变量x的取值为横坐标,对应的函数值y为纵坐标,在平面直角坐标系中描出各个点,这些点构成了函数的图象,这种用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法.如：1.2.1的实例（2）；列表法: 列表法:列一个两行多列的表格,第一行是自变量的取值,第二行是对应的函数值,这种用表格来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法.如：1.2.1的实例（3）.问题2:分析对比三种不同表示方法的优缺点.现提出问题让学生思考，之后根据具体实例提示并和学生一起总结得出结论：解析法能够准确表达出两个变量之间的关系,简明扼要,给自变量求函数值;不足之处,比较抽象.图象法形象直观表示两个变量之间的关系,较好地反映了两个变量的变化趋势;不足之处,变量关系不够精确.列表法通过表格直接得出函数值,没有计算过程;不足之处,不能列出定义域为区间范围的所有函数值,仅能表示有限个.（二）、合作学习让学生合作做练习，教师巡视指导【例1】某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x).解:这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5},用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,x∈{1,2,3,4,5}.用列表法可将函数y=f(x)表示为用图象法可将函数y=f(x)表示为注意:①函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等;②解析法:必须注明函数的定义域,否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域;③图象法:根据实际情境来决定是否连线;④列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.【例2】下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表:请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.分析：学生思考做学情分析,具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？本题利用表格给出了四个函数,它们分别表示王伟、张城、赵磊的考试成绩及各次考试的班级平均分.由于表格区分三位同学的成绩高低不直观,故采用图象法来表示.做学情分析,具体要分析学习成绩是否稳定,成绩变化趋势.解:把“成绩”y看成“测试序号”x的函数,用图象法表示函数y=f(x),如图所示.由图可看到,王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分,学习情况比较稳定而且成绩优秀.张城同学的数学成绩不稳定,总是在班级平均分水平上下波动,而且波动幅度较大.赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平,但他的成绩呈上升趋势,表明他的数学成绩稳步提高.点评:本题主要考查根据实际情境需要选择恰当的函数表示法的能力,以及应用函数解决实际问题的能力.通过本题可见,图象法比列表法和解析法更能直观反映函数值的变化趋势.注意:本例为了研究学生的学习情况,将离散的点用虚线连接,这样便于研究成绩的变化特点.【例3】画出函数y=|x|的图象.分析：学生思考函数图象的画法:①化简函数的解析式为基本初等函数;②利用变换法画出图象,根据绝对值的概念来化简解析式.解法一：由绝对值的概念,我们有y=⎩⎨⎧<≥0.x x,-0,x x,所以,函数y=|x|的图象如图所示.解法二：画函数y=x 的图象,将其位于x 轴下方的部分对称到x 轴上方,与函数y=x 的图象位于x 轴上方的部分合起来得函数y=|x|的图象如图1-2-2-10所示.归纳总结：带有绝对值问题的处理方法…………………………去掉绝对值符号． 例4．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定: (1)乘坐汽车5千米以内(含5千米),票价2元;(2)5千米以上,每增加5千米,票价增加1元(不足5千米按5千米计算),如果某条线路的总里程为20千米,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象. 分析：学生讨论交流题目的条件,弄清题意.本例是一个实际问题,有具体的实际意义,根据实际情况公共汽车到站才能停车,所以行车里程只能取整数值.由于里程在不同的范围内,票价有不同的计算方法,故此函数是分段函数.解：设里程为x 千米时,票价为y 元,根据题意得x ∈(0,20］. 由空调汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式:y=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤<≤<.2015,5,1510,4,105,3,50,2x x x x根据这个函数解析式,可画出函数图象,如上图所示. 归纳总结分段函数：① 研究分段函数的性质时，应根据“先分后合”的原则，尤其是在作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象． ② 分段函数是一个函数．③ 定义域是各段自变量求值的并集，写定义域时区间端点需不重不漏． ④ 值域是各段函数值的并集．⑤ 最大值是各段最大值的最大者，最小值是各段最小值的最小者，求最值时先分段求，再比较．⑥ 求分段函数的函数值时，关键是看自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式．⑷映射的概念①．我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种对应就叫映射（板书课题）．②．先看几个例子，两个集合A 、B 的元素之间的一些对应关系： （ⅰ）开平方； （ⅱ）求正弦；（ⅲ）求平方；（ⅳ）乘以2．归纳引出映射概念：一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．记作“f ：A →B ” 说明：（1）这两个集合有先后顺序，A 到B 的映射与B 到A 的映射是截然不同的，其中f 表示具体的对应法则，可以用多种形式表述．（2）“都有唯一”是什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思． 例5．下列哪些对应是从集合A 到集合B 的映射？（1）A={|P P 是数轴上的点}，B=R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应； （2）A={|P P 是平面直角坐标中的点}，}{(,)|,,B x y x R y R =∈∈对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）A={三角形}，B={|},x x 是圆对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆； （4）A={|x x 是新华中学的班级}，}{|,B x x =是新华中学的学生对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生．解：⑴⑵⑶中的对应f： A→B是从集合A到集合B的一个映射，⑷中的对应f： A →B不是从集合A到集合B的一个映射．（三）、当堂检测１．教师引导学生对函数的三种表示法进行对比，并让学生归纳然后说出它们各自的的优缺点．2．如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为__________，值域为__________．解析：由图象可知，第一段的定义域为[－1,0)，值域为[0,1)；第二段的定义域为[0,2]，值域为[－1,0]．因此该分段函数的定义域为[－1,0)[0,2]＝[－1,2]，值域为[0,1)[－1,0]＝[－1,1)．答案：[－1,2] [－1,1)3.已知函数f(x)＝2000x xx⎧>⎨≤⎩，，，，求f(2)，f(－3)的值．解：∵2＞0，∴f(2)＝22＝4．∵－3≤0，∴f(－3)＝0．（四）、课堂小结请同学们回想一下,本节课我们学了哪些函数的表示方法?在具体的实际问题中如何恰当地选择?理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法．这节课学习的主要内容及要掌握的知识点：①分段函数的表示，求值等问题．②表示函数的三种方法，映射的概念．七．课外作业课本P24习题1.2 A组第7,8,9题.八、教学反思：。