2.1.2(二)函数的表示方法教案

2.1.2 函数的表示方法(二)【学习要求】1.进一步掌握求函数解析式的方法；2.了解分段函数的定义，会求分段函数的定义域、值域；3.学会运用函数图象来研究分段函数．【学法指导】通过求函数解析式，进一步掌握数学中的思想方法；通过分段函数的学习，感悟表达的多样性；加深函数概念的理解，提高分析问题、解决问题的能力.填一填：知识要点、记下疑难点1.分段函数的定义：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．2.分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并 集(填“并”或“交”)．3.分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象.研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境] 某人去上班，由于担心迟到，所以一开始就跑步前进，等跑累了再走完余下的路程．可以明显地看出，这人距离单位的距离是关于出发后的时间的函数，想一想，用怎样的解析式表示这一函数关系？为解决这一问题，本节我们就来学习分段函数．探究点一 待定系数法求函数解析式问题1 若已知函数的类型，求函数的解析式通常用什么方法？答： 若已知函数的类型，可用待定系数法求解．问题2 用待定系数法求函数解析式的一般思路是怎样的？答：由函数类型设出函数解析式，再根据条件列出方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定的系数，进而求出函数解析式．例1 设二次函数f(x)满足f(x ＋2)＝f(2－x)，且f(x)＝0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式．分析： 由于f(x)是二次函数，其解析式的基本结构已定，可用待定系数法处理．解： 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)．由f(x ＋2)＝f(2－x)可知，该函数图象关于直线x ＝2对称．∴－b 2a＝2，即b ＝－4a.① 又图象过点(0,3)，∴c＝3.②由方程f(x)＝0的两实根平方和为10，即x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝10.即b 2－2ac ＝10a 2.③由①②③解得a ＝1，b ＝－4，c ＝3.∴f(x)＝x 2－4x ＋3.小结： 已知f(x)为一次函数时，可设f(x)＝ax ＋b (a≠0)；已知f(x)为反比例函数时，可设f(x)＝k x(k≠0)；已知f(x)为二次函数时，根据条件可设①一般式：f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)，②顶点式：f(x)＝a(x －h)2＋k (a≠0)；③双根式：f(x)＝a(x －x 1)(x －x 2) (a≠0)．跟踪训练1 已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋1，求函数f(x)的解析式．解： 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)，由f(0)＝0知c ＝0.∴f(x)＝ax 2＋bx.又f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋1，∴a(x＋1)2＋b(x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1.即ax 2＋(2a ＋b)x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1.故2a ＋b ＝b ＋1且a ＋b ＝1，解得a ＝12，b ＝12， ∴f(x)＝12x 2＋12x. 探究点二 消去法求函数解析式导引 有些求函数解析式的题目，已知条件为一方程，在方程中同时含有f(x)与f(－x)或f(x)与f(1x)，那么如何求函数的解析式？问题1 在一个等式中同时含有f(x)与f(－x)能不能求出函数的解析式？为什么？答： 不能．因为把f(x)与f(－x)分别看作未知数，那么这个等式相当于一个二元方程，而一个二元方程求不出唯一的解．问题2 仅仅利用“导引”中的条件，求不出函数的解析式，那么如何创造条件来求出解析式？答： 根据已知条件构造出含有f(x)与f(－x)的另一个方程，采用解方程组的方法消去不需要的函数式，从而得到f(x)的表达式，此种方法称为消去法．例2 已知函数y ＝f(x)满足af(x)＋bf ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝cx ，x≠0，其中a 、b 、c 都是非零常数，a≠±b，求函数y ＝f(x)的解析式．解： 在已知等式中，将x 换成1x ，得af ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋bf(x)＝c x ， 把它与原条件式子联立，得af(x)＋bf ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝cx.① af ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋bf(x)＝c x ② ①×a－②×b 得(a 2－b 2)f(x)＝c ⎝⎛⎭⎪⎫ax －b x ， ∵a≠±b，∴f(x)＝c a 2－b 2⎝⎛⎭⎪⎫ax －b x (x≠0)． 小结： 消去法适用于自变量的互为倒数，如f(x)、f(1x)；互为相反数，如f(x)、f(－x)，通过对称代换构造出另一个方程，解方程组即得f(x)的解析式．跟踪训练2 设f(x)满足关系式f(x)＋2f(－x)＝3x ，求f(x)．解： ∵f(x)＋2f(－x)＝3x.①∴f(－x)＋2f(x)＝－3x.②①②联立得：f(x)＝－3x.探究点三 分段函数问题1 作函数的图象通常分哪几步？答： 通常分三步，即列表、描点、连线．例3 已知一个函数y ＝f(x)的定义域为区间[0,2]，当x∈[0,1]时，对应法则为y ＝x ，当x∈(1,2]时，对应法则为y ＝2－x ，试用解析法与图象法分别表示这个函数．解： 已知的函数用解析法可表示为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x∈[0，1]2－x ，x∈1，2] 用图象表达这个函数，它由两条线段组成，如下图：小结： (1)画函数图象时首先要考虑函数的定义域；(2)要标出关键点，如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心还是虚心；(3)要掌握常见函数图象的特征；(4)函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等．跟踪训练3 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象. 解：由题意得函数的解析式如下： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，0<x≤5，3，5<x≤10，4，10<x≤15，5，15<x≤20.函数图象为问题2 在例3和跟踪训练3中，我们得到的函数解析式是分段表达的，这样的函数就是分段函数，那么如何定义分段函数？答： 在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数． 例4 在某地投寄外埠平信，每封信不超过20 g 付邮资80分，超过20 g 不超过40 g 付邮资160分，超过40 g不超过60 g 付邮资240分，依此类推，每封x g(0<x ≤100)的信应付多少分邮资(单位：分)？写出函数的表达式，作出函数的图象，并求函数的值域．解： 设每封信的邮资为y ，则y 是信封重量x 的函数．这个函数关系的表达式为 f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 80，x ∈(0，20]，160，x ∈(20，40]，240，x ∈(40，60]，320，x ∈(60，80]，400，x ∈(80，100].函数的值域为{80,160,240,320,400}． 根据上述函数的表达式，在直角坐标系中描点，作图．这个函数图象是长度为20的5条平行线段，每条线段的左端点为虚点，右端点为实点．图象如图．小结： 处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的解析表达式；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出．跟踪训练4 某人开汽车以60 km/h 的速度从A 地到150 km 远处的B 地，在B 地停留1 h 后，再以50 km/h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地的路程x(km)表示为时间t(h)(从A 地出发是开始)的函数，再把车速v km/h 表示为时间t(h)的函数．解： 从A 地到B 地所需时间为15060＝2.5(h)， 从B 地到A 地所需时间为15050＝3(h)， 所以，当0<t≤2.5时，x ＝60t ；当2.5<t≤3.5时，x ＝150；当3.5<t≤6.5时，x ＝150－50(t －3.5)＝－50t ＋325；所以，x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60t ， 0<t≤2.5，150， 2.5<t≤3.5，－50t ＋325， 3.5<t≤6.5.v ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60，0<t≤2.5，0，2.5<t≤3.5，50，3.5<t≤6.5. 练一练：当堂检测、目标达成落实处1.设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ， x≤0，x 2， x>0，若f(α)＝4，则实数α等于( )A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2解析： 当α≤0时，f(α)＝－α＝4，得α＝－4；当α>0时，f(α)＝α2＝4，得α＝2. ∴α＝－4或α＝2.2.已知f(x)＋2f(1x)＝3x ，则f(x)的解析式为____________． 解析： 由f(x)＋2f(1x )＝3x ，得f(1x )＋2f(x)＝31x . 联立上面两个方程并消去f(1x )，得f(x)＝2x－x. 3.画出函数y ＝|x|的图象，并求f(－3)，f(3)，f(－1)，f(1)的值．解： 由绝对值的概念，有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x≥0－x ，x<0. 所以，函数y ＝|x|的图象为过原点且平分第一、第二象限的一条折线，如下图所示，其中f(－3)＝3，f(3)＝3，f(－1)＝1，f(1)＝1.课堂小结：1.求函数的解析式的类型比较多，方法也比较多，常用的有拼凑法，换元法，待定系数法，消元法，特殊值法等，要根据题目特点选用不同的方法求解．2.分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集.。