(一)函数的表示方法教案

2.1.2 函数的表示方法(一)
【学习要求】
1.会用列表法、图象法、解析法表示一些具体的函数；
2.会根据具体条件求函数的解析式；
3.会在不同情境中用不同形式表示函数．
【学法指导】
学习函数的表示方法，不仅是研究函数的性质和应用的需要，而且是为加深函数概念的理解．通过根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，感受函数与生活实际联系的密切性，通过求函数解析式加深对数学思想方法的理解，提高分析问题、解决问题的能力.
填一填：知识要点、记下疑难点
1.列表法：通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法．
2.图象法：如果图形F是函数y＝f(x)的图象，则图象上的任一点的坐标(x，y)都满足函数关系y＝f(x)，反之，满足函数关系y＝f(x)的点(x，y)都在图象F上．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法．
3.解析法：如果在函数y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式) 来表达的，这种方法叫做解析法.
研一研：问题探究、课堂更高效
[问题情境] 语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为：生日快樂！英文为：Happy Birthday！…，那么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？
探究点一函数的表示方法
问题1 在初中学习的函数有哪几种常用的表示法？
答：解析法、图象法、列表法．
问题2列表法是如何定义的？
答：通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法．
问题4 图象法是如何定义的？
答：如果图形F是函数y＝f(x)的图象，则图象上的任一点的坐标(x，y)都满足函数关系y＝f(x)，反之，满足函数关系y＝f(x)的点(x，y)都在图象F上．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法．
问题5我们在作函数y＝2x＋1的图象时，先列表，后描点作图．这实际上就是函数的列表法表示和图象法表示，而y＝2x＋1这种表示方法叫做解析法．你能给解析法下个定义吗？
答：如果在函数y＝f(x) (x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式)来表达的，这种方法叫做解析法．(也称为公式法．)
问题6 三种表示函数的方法各有哪些优缺点？
答：(1)用解析法表示函数的关系．优点：简捷明了．能从解析式清楚看到两个变量之间的全部相依关系，并且适合于进行理论分析和推导计算；缺点：在求对应值时，有时要做较复杂的计算. (2)用列表法表示函数关系．优点：对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把函数值找到，查询时很方便；缺点：表中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出，而且从表中看不出变量间的对应规律．
(3)用图象法表示函数关系．优点：形象直观，可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质，把抽象的函数概念形象化；缺点：从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值．
例1某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x)．
解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}．用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．
用列表法可将函数y＝f(x)表示为
笔记本数x 1 2 3 4 5
钱数y 5 10 15 20 25
用图象法可将函数y＝f(x)表示为下图．
小结：本例题的两个变量之间的函数关系用解析法、列表法、图象法都能表示，但并不是所有的函数都能用三种方法表示，能用解析法表示的一般也能用另两种方法表示，能用列表法或图象法表示的不一定能用解析法表示，也就是说有些函数的关系找不到一个等式来表示．
跟踪训练1 用列表法画出函数y＝x的图象．
解：在这个函数的定义域内，从0开始适当地取若干个x的值：0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5，….算出对应的函数值，列出函数的对应值表(精确到0.1)：
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 …
y 0 0.7 1 1.2 1.4 1.6 1.7 1.9 2 2.1 2.2 …
以这11个有序数对(x，y)为坐标，在直角坐标系中画出所对应的11个点，由这些点连成的一条光滑曲线就是函数y＝x的图象．
例2：设x是任意一个实数，y是不超过x的最大整数，试问x和y之间是否是函数关系？如果是，画出这个函数的图象．
解：对每一个实数x，都可以写成等式：x＝y＋α，其中y是整数，α是一个
小于1的非负数，
例如：6.48＝6＋0.48,6＝6＋0，－1.35＝－2＋0.65，－12.52＝－13＋
0.48，…，
由此可以看到，对于任一个实数x，都有唯一确定的y值与它对应，所以说x
和y之间是函数关系．
这个“不超过x的最大整数”所确定的函数记为y＝[x]．这个函数的定义域是实数集R，值域是整数集Z.
例如，当x＝6时，y＝[6]＝6；当x＝π时，y＝[π]＝3；当x＝－1.35时，
y＝[－1.35]＝－2.
函数的图象如下图所示．
小结：函数的图象不仅可以是一段光滑的曲线，还可以是若干条线段，甚至
是一些孤立的点．
，求f(1)，f(2)，f(3)，跟踪训练2 已知函数y＝f(n)，满足f(0)＝1，且f(n)＝nf(n－1)，n∈N
＋
f(4)，f(5)．
解：因为f(0)＝1，
所以f(1)＝1·f(1－1)＝1·f(0)＝1，
f(2)＝2·f(2－1)＝2·f(1)＝2，
f(3)＝3·f(3－1)＝3·f(2)＝6，
f(4)＝4·f(4－1)＝4·f(3)＝24，
f(5)＝5·f(5－1)＝5·f(4)＝120.
探究点二换元法求函数的解析式
问题已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式通常用什么方法？这种方法的具体做法是怎样的？
答： 通常用换元法．
即令g(x)＝t ，反解出x ，然后代入f(g(x))中求出f(t)，即求出了f(x)．
例3 已知f(x 2－1)＝x 4－x 2＋1，求f(x)．
解： 因为f(x 2－1)＝x 4－x 2＋1＝(x 2－1)2＋(x 2－1)＋1，
所以f(x)＝x 2＋x ＋1 (x≥－1)．
小结： (1)此法是把所给函数的解析式，通过配方、凑项等方法使之变形为关于“自变量”的表示式，然后以x 代替“自变量”，即得所求函数解析式．
(2)已知f(g(x))是关于x 的函数，求f(x)的解析式，通常令g(x)＝t ，由此能解出x ＝h(t)，将x ＝h(t)代入f(g(x))中，求得f(t)的解析式，再用x 替换t ，便得f(x)的解析式．
跟踪训练3 已知f(x －1)＝3－x ，求f(x)的解析式．
解: 令x －1＝t ，则t≥0，且x ＝t 2＋1，
所以f(t)＝3－(t 2＋1)＝2－t 2，
即f(x)＝2－x 2(x≥0).
练一练：当堂检测、目标达成落实处
1.函数y ＝f(x)的图象与一直线x ＝a 的交点个数为 ( )
A ．必有一个
B ．一个或两个
C ．至多一个
D ．可能两个以上
解析： 由函数的定义，知对于定义域内的任意一个x ，都有唯一一个f(x)值与之对应． 所以，当a 不在函数定义域内时，直线x ＝a 与函数y ＝f(x)的图象没有交点，所以选C.
2.已知f(1＋1x )＝1x
－1，则f(x)＝__________. 解析： 设1＋1x ＝t(t≠1)，则x ＝1t －1
， ∴f(t)＝11
t －1
－1＝t －2(t≠1)． ∴f(x)＝x －2(x≠1)．
3.已知f(x ＋1)＝x 2－3x ＋2，求f(x)．
解： 因为f(x ＋1)＝x 2－3x ＋2
＝(x ＋1)2－5x ＋1＝(x ＋1)2－5(x ＋1)＋6，
所以f(x)＝x 2－5x ＋6.
课堂小结：
1.如何作函数的图象
一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等．
2.如何求函数的解析式
求函数的解析式的关键是理解对应法则f 的本质与特点(对应法则就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法．。