(全体)函数练习四
第四章一次函数之一次函数的应用专题练习北师大版2024—2025学年八年级上册
第四章一次函数之一次函数的应用专题练习北师大版2024—2025学年八年级上册一、利用一次函数模型解决实际问题例1.实验表明，在某地，温度在15℃至25℃的范围内，一种蟋蟀1min的平均鸣叫次数y可近似看成该地当时温度x（℃）的一次函数．已知这种蟋蟀在温度为16℃时，1min平均鸣叫92次；在温度为23℃时，1min平均鸣叫155次．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）当这种蟋蟀1min平均鸣叫128次时，该地当时的温度约是多少？变式1.如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y（单位：cm）随着碗的数量x（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的y与x之间的对应数据：x/个1234y/cm68.410.813.2（1）依据小亮测量的数据，写出y与x之间的函数表达式，并说明理由；（2）若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8cm，求此时碗的数量最多为多少个？变式2.某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低0.6℃，气温T（℃）和高度h（百米）的函数关系如图所示．请根据图象解决下列问题：（1）求高度为5百米时的气温；（2）求T关于h的函数表达式；（3）测得山顶的气温为6℃，求该山峰的高度．二、利用一次函数解决行程问题例2.小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发的沿相同路线先后到达观景点，如图，l1，l2分别表示小军与观光车所行的路程y（m）与时间x（min）之间的关系．根据图象解决下列问题：（1）观光车出发分钟追上小军；（2）求l2所在直线对应的函数表达式；（3）观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由．变式1.在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，男男从A地跑步到C地，同时乐乐从B地跑步到A地，休息1分钟后接到通知，要求乐乐比男男早1分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是男男跑步时间t（分钟）与两人距A 地路程s（米）之间的函数图象．（1）a＝，乐乐去A地的速度为；（2）结合图象，求出乐乐从A地到C地的函数解析式（写出自变量的取值范围）；（3）请直接写出两人距B地的距离相等的时间．变式2.一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离s （km）与慢车行驶的时间t（h）之间的关系如图：（1）快车的速度为km/h，C点的坐标为．（2）慢车出发多少小时后，两车相距200km．变式3.某物流公司的一辆货车A从乙地出发运送货物至甲地，1小时后，这家公司的一辆货车B从甲地出发送货至乙地．货车A、货车B距甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的关系如图所示．（1）求货车B距甲地的距离y与时间x的关系式；（2）求货车B到乙地后，货车A还需多长时间到达甲地．三、利用一次函数解决最低费用和最高利润问题例3.某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．（1）两种棋的单价分别是多少？（2）学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？变式1.眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购进的B款文创产品数量相同．每件A款文创产品进价比B款文创产品进价多15元．（1）求A，B两款文创产品每件的进价各是多少元？（2）已知A款文创产品每件售价为100元，B款文创产品每件售价为80元，根据市场需求，商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？变式 2.近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如表：价格/类别短款长款进货价（元/件）8090销售价（元/件）100120（1）该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；（2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？变式3.某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境．已知购买2株A 种花卉和3株B种花卉共需要21元；购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元．（1）求A，B两种花卉的单价．（2）该物管中心计划采购A，B两种花卉共计10000株，其中采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍，当A，B两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用．变式4.A、B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．某超市销售A、B两种型号的吉祥物，有关信息见如表：成本（单位：元/个）销售价格（单位：元/个）A型号35aB型号42b若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，则一共需要410元．（1）求a、b的值；（2）若某公司计划从该超市购买A、B两种型号的吉祥物共90个，且购买A 种型号吉祥物的数量x（单位：个）不少于B种型号吉祥物数量的，又不超过B种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为y元，求y的最大值．变式5.成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A 种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元．（1）求A，B两种食材的单价；（2）该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．变式6.某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元．（1）分别求出每件豆笋、豆干的进价；（2）某特产店计划用不超过10440元购进豆笋、豆干共200件，且豆笋的数量不低于豆干数量的，该特产店有哪几种进货方案？（3）若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？变式7.近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．（1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？四、利用一次函数解决含参数的最高利润问题例4.在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为m元/支，肉串的成本为n元/支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）：次数数量（支）总成本（元）海鲜串肉串第一次3000400017000第二次4000300018000针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元．（1）求m、n的值；（2）五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x支，店主获得海鲜串的总利润为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价a（0＜a＜1）元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求a的最大值．变式1.为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：甲乙运动鞋价格进价（元/双）m m﹣20售价（元/双）240160已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．（1）求m的值；（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？变式2.为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg．（1）求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；（2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额﹣成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；（3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值．变式3.为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：衬衫价格甲乙m m﹣10进价（元/件）260180售价（元/件）若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同．（1）求甲、乙两种衬衫每件的进价；（2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几种进货方案；（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每件优惠a元（60＜a＜80）出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？五、利用一次函数解决方案问题例5.暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．变式1.某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的关系如图所示．（1）写出图中点B表示的实际意义；（2）分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为a kg时，它们的利润和为1500元，求a的值．。
(名师整理)最新北师大版数学8年级上册第4章第1节《函数》市优质习题课件
光读书不思考也许能使平庸之辈知识 丰富，但它决不能使他们头脑清数概念，能判断两个变量间的关系是 否可看作函数. 2、根据两个变量间的关系式，给定其中一个量， 相应地会求出另一个量的值. 3、会对一个具体实例进行概括抽象成为数学问 题.
学习了本课后，你有哪些收获和感想？ 告诉大家好吗？
1、函数的概念：
一般的，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果 给定一个x值，相应的就确定一个y值，那么我们称y是 x的函数，其中x是自变量， y是因变量。
函数习题及答案
一、选择题1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( )⑴，；⑵，；⑶，；⑷，；⑸，．A．⑴、⑵B．⑵、⑶C．⑷D．⑶、⑸2．函数y=的定义域是()A．-1≤x≤1B．x≤-1或x≥1 C．0≤x≤1 D．{-1，1}3．函数的值域是( )A．(-∞，)∪(，+∞)B．(-∞，)∪(，+∞)C．R D．(-∞，)∪(，+∞)4．下列从集合A到集合B的对应中：①A=R，B=(0，+∞)，f:x→y=x2；②③④A=[-2，1]，B=[2，5]，f:x→y=x2+1；⑤A=[-3，3]，B=[1，3]，f:x→y=|x|其中，不是从集合A到集合B的映射的个数是( )A．1 B． 2 C． 3 D．45．已知映射f:A→B，在f的作用下，下列说法中不正确的是( )A．A中每个元素必有象，但B中元素不一定有原象B．B中元素可以有两个原象C．A中的任何元素有且只能有唯一的象D．A与B必须是非空的数集6．点(x，y)在映射f下的象是(2x-y，2x+y)，求点(4，6)在f下的原象( )A．(，1)B．(1，3) C．(2，6)D．(-1，-3)7．已知集合P={x|0≤x≤4}，Q={y|0≤y≤2}，下列各表达式中不表示从P到Q的映射的是( )A．y=B．y=C．y=x D．y=x28．下列图象能够成为某个函数图象的是( )9．函数的图象与直线的公共点数目是( )A．B．C．或D．或10．已知集合，且，使中元素和中的元素对应，则的值分别为( )A．B．C．D．11．已知，若，则的值是( )A．B．或C．，或D．12．为了得到函数的图象，可以把函数的图象适当平移，这个平移是( )A．沿轴向右平移个单位B．沿轴向右平移个单位C．沿轴向左平移个单位D．沿轴向左平移个单位二、填空题1．设函数则实数的取值范围是_______________．2．函数的定义域_______________．3．函数f(x)=3x-5在区间上的值域是_________．4．若二次函数的图象与x轴交于，且函数的最大值为，则这个二次函数的表达式是_______________．5．函数的定义域是_____________________．6．函数的最小值是_________________．三、解答题1．求函数的定义域．2．求函数的值域．3．根据下列条件，求函数的解析式：(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x-1，求f(x)；(2)已知f(x)是二次函数，且f(2)=-3，f(-2)=-7,f(0)=-3，求f(x)；(3)已知f(x-3)=x2+2x+1，求f(x+3)；(4)已知；(5)已知f(x)的定义域为R，且2f(x)+f(-x)=3x+1，求f(x).能力提升一、选择题1．设函数，则的表达式是( )A．B．C．D．2．函数满足则常数等于( )A．3 B．-3 C．D．3．已知，那么等于( )A．15 B．1 C．3 D．304．已知函数定义域是，则的定义域是( )A．B．C．D．5．函数的值域是( )A．B．C．D．6．已知，则的解析式为( )A．B．C．D．二、填空题1．若函数，则=_______________．2．若函数，则=_______________．3．函数的值域是_______________．4．已知，则不等式的解集是_______________．5．设函数，当时，的值有正有负，则实数的范围________．三、解答题1．设是方程的两实根，当为何值时，有最小值?求出这个最小值．2．求下列函数的定义域(1)；(2)．3．求下列函数的值域(1)；(2)．综合探究1．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程.在下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，如图四个图象中较符合该学生走法的是( )2.如图所表示的函数解析式是( )A. B.C. D.3．函数的图象是( )4.如图，等腰梯形ABCD的两底分别为AD=2a，BC=a，∠BAD=45°，作直线MN⊥AD交AD于M，交折线ABCD于N，记AM=x，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域.答案与解析：基础达标一、选择题1．C．(1)定义域不同；(2)定义域不同；(3)对应法则不同；(4)定义域相同，且对应法则相同；(5)定义域不同．2．D．由题意1-x2≥0且x2-1≥0，-1≤x≤1且x≤-1或x≥1，∴x=±1，选D．3．B．法一：由y=，∴x=∴y≠，应选B．法二：4．C．提示：①④⑤不是，均不满足“A中任意”的限制条件．5．D．提示：映射可以是任何两个非空集合间的对应，而函数是要求非空数集之间．6．A．设(4，6)在f下的原象是(x，y)，则，解之得x=，y=1，应选A．7．C．∵0≤x≤4，∴0≤x≤=2，应选C．8．C．9．C．有可能是没有交点的，如果有交点，那么对于仅有一个函数值．10．D．按照对应法则，而，∴．11．D．该分段函数的三段各自的值域为，而∴∴．12．D．平移前的“”，平移后的“”，用“”代替了“”，即，左移．二、填空题1．.当，这是矛盾的；当.2．. 提示：.3．.4．.设，对称轴，当时，.5．. .6．. ．三、解答题1．解：∵，∴定义域为2．解：∵∴，∴值域为3．解：(1).提示：利用待定系数法；(2).提示：利用待定系数法；(3)f(x+3)=x2+14x+49.提示：利用换元法求解，设x-3=t，则x=t+3，于是f(x-3)=x2+2x+1变为f(t)=(t+3)2+2(t+3)+1=(t+4)2，故f(x+3)=[(x+3)+4]2；(4)f(x)=x2+2.提示：整体代换，设；(5).提示：利用方程，用-x替换2f(x)+f(-x)=3x+1中所有的x得到一个新的式子2f(-x)+f(x)=-3x+1，于是有，联立得能力提升一、选择题1．B. ∵∴；2．B.3．A. 令4．A. ；5．C.；6．C. 令．二、填空题1．. .2．. 令.3．..4．.当当，∴.5．得.三、解答题1．解：2．解：(1)∵∴定义域为；(2)∵∴定义域为．3．解：(1)∵，∴值域为；(2)∵∴∴值域为.综合探究1.D．因为纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，所以当时，纵轴表示家到学校的距离，不能为零，故排除A、C；又由于一开始是跑步，后来是走完余下的路，所以刚开始图象下降的较快，后来下降的较慢，故选D.2.B．本题考查函数图象与解析式之间的关系.将x=0代入选项排除A、C，将x=1代入选项排除D，故选B.3.D．.4.思路点拨：要求函数的表达式，就需准确揭示x、y之间的变化关系.依题意，可知随着直线MN的移动，点N分别落在梯形ABCD的AB、BC及CD边上，有三种情况，所以需要分类解答.解析：作BH⊥AD，H为垂足，CG⊥AD，G为垂足，依题意，则有(1)当M位于点H的左侧时，由于AM=x，∠BAD=45°.；(2)当M位于HG之间时，由于AM=x，(3)当M位于点G的右侧时，由于AM=x，MN=MD=2a-x.综上：总结升华：(1)由实际问题确定的函数，不仅要确定函数的解析式，同时要求出函数的定义域(一般情况下，都要接受实际问题的约束).(2)根据实际问题中自变量所表示的具体数量的含义来确定函数的定义域，使之必须有实际意义.。
高等数学练习题(函数)
x0 x0
3、
x 2 1 f ( x) x 1 k
4、
k f ( x) 2 sin x
x0 x0
k f ( x ) 1 5、 sin x x
x0 x0
二、当 x 0 时，试比较无穷小 sinx , 2 x 的阶。
ln x dx x
1 dx x
C、 0 x cos xdx D、 C、 1
x dx 2 1 x
2x e 5、 A、 dx
0
1 dx x
D、 0
x dx 2 1 x
三、计算：
x
0
3
x 1dx
四、求下列各题中所给曲线及直线围成的平面图形面积
2 1、 y x ,
f ( 0)
3
x2 1 f ( x) 、 x
x0 x0
2 4、 f ( x) ln(x x 3)
三、判断函数的奇偶性
1、 f ( x ) e x e x 2、 f ( x ) x sinx
1 y x2 2
3 3、 f ( x ) x cos x
五、判断下列级数的敛散性，如收敛说明其是绝对收敛还是 条件收敛。 n n ( 1 ) 2 ( n 1 ) n 1
练习题十一 一、填空题： 1、一阶线性微分方程的标准形式是 。 2 3 4 2、观察微分方程的阶数。微分方程 ( y) ( y) xy 0 是 阶微分方程。. 3、若一阶微分方程可以表示成 形式，则称其为一阶 变量分离的微分方程。 二、求下列微分方程的通解： 1、 y 2 x 0 4、
D
dxdy dxdy
第四章级数（答案）
第四章级数（答案）复变函数练习题第四章级数系专业班姓名学号§1 复数项级数 §2 幂级数23521242211(1)1(1)sin ()3!5!(21)!(1)cos 1()2!4!2!1()2!!n n n n nn zz z z z zz z z z z z n z z z z z n z z e z z n +=+++++<--=-+-++<+∞+-=-+-++<+∞=+++++<+∞L L L L L L L L ⼀些重要的级数⼀、选择题:1.下列级数中绝对收敛得就是 [ ] (Ａ) (Ｂ) (Ｃ) (Ｄ)2.若幂级数在处收敛,那么该级数在处得敛散性为 [ ](A )绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 (D)不能确定3.幂级数在内得与函数为 [ ] (Ａ) (B) (C) (D)'100'110000(1)1(1)11(1)(1)1=ln(1)111n n n nn n n nz z n n n n z z n z z z dz dz z n n z ∞∞+==∞∞++==-=-=?? ?++??--==+ +++?∑∑∑∑?? ⼆、填空题:1.设,则 0 。
2.设幂级数得收敛半径为,那么幂级数得收敛半径为3.幂级数得收敛半径就是 e 。
4.幂级数(为正整数)得收敛半径就是 1 。
三、解答题:1.判断下列数列就是否收敛？如果有极限,求出它们得极限。
(1) (2)2.判断下列级数得敛散性。
若收敛,指出就是绝对收敛还就是条件收敛。
判断绝对收敛得两种⽅法: (1)绝对级数就是否收敛(2)实部与虚部得绝对级数就是否收敛 (1)11sin ()32323322332n n nnn nnnn n n in n e e n n e e n ne e -∞∞==-==-∑∑由级数及级数收敛，可得原级数绝对收敛(4)2111(1)(1)[]ln ln 2ln(21)(1)(1)ln 2ln(21)n k kn k k kk k i i n k k k k ∞∞==∞∞==--=++--+∑∑∑∑由于和为交错级数，由莱布尼兹准则，1111ln 2ln(21)k k k k ∞∞==+∑∑级数收敛，故原级数收敛。
高中数学之函数练习题
高中数学之函数练习题一、单项选择题（在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的。
错选、多选或未选均无分。
） 1.已知sin 3cos 3cos sin αααα+-＝5,则tan α的值为（ ）A.25B.－25C.－2D.22.11sin 22y x =+的最大值为（ ） A.32B.1C.12D.无最大值3.sin300︒＝（ ） A.12B.12-C.2D.2-4.sin （x －y ）cosy ＋cos （x －y ）siny 可化简为（ ） A.sinxB.cosxC.sinxcos2yD.cosxcos2y5.sin120°＋tan135°＋cos210°的值为（ ） A.1B.0C.－1D.－126.已知α是第二象限角，且sinα=513，则tanα等于 （ ） A.－512B.512C.125D.－1257.已知sin2αsinα=85，则cosα等于 （ ）A.45B.－45C.35D.－358.与－330°角终边相同的角是 （ ） A.30°B.400°C.－50°D.920°9.在△ABC 中，若sinA ＝35，∠C ＝120°，BC ＝23，则AB 等于 （ ） A.3B.4C.5D.610.若sin α＜0，tan α＞0，则角α是 （ ）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角 11.在0°～360°范围内，与1050°终边相同的角是 （ ） A.330° B.60°C.210°D.300°12.已知sin α＝35，且α∈π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则tan π4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于 （ ） A.－7 B.7 C.－17 D.17 13.求值：2tan22.5°1－tan222.5°等于 （ ）A.3B.－3C.1D.－114.命题甲“sinα＝1”是命题乙“cosα＝0”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件15.若1＋tanα1－tanα＝2＋3，α∈（0，π2），则α等于（ ）A.π6B.π4C.π3D.π516.若角α是第一象限角，则角π－α是（ ）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角17.函数y ＝3sin sin300︒的最小正周期是 （ ）A.3πB.2πC.2π3D.π318.在△ABC 中，下列表示不一定成立的是 （ ） A.∠A ＋△B ＋△C ＝π B.sinAsinBsinC ＞0 C.a ＋b ＞c D.cosAcosBcosC ＞019.已知sin α·cos α＞0，且cos α·tan α＜0，则角α所在的象限是（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 20.22ππsin cos 1212-＝（ ）A.B.12C.D.－12二、填空题21.sin （α＋k·360°）＝ ,cos （α＋k·360°）＝ ,tan （α＋k·360°）＝ .22.比较大小：sin 47π sin 57π;cos 25π cos 27π.23.函数y ＝2sinx 的最小正周期为 .24.若角α的顶点在直角坐标系的原点，始边重合于x 轴的正方向，在终边上取点P cos3π⎛⎫⎪⎝⎭，可得α的正弦函数值为 .25.已知sin （45°＋α）＝513，则sin （225°＋α）＝ . 26.若要使2sinx ＝1－3a 有意义，则a 的取值范围用区间表示为 .27.已知tan （2π－α）＝－3，则tan α＝ ，cos2α＝ .三、解答题（解答题应写出文字说明及演算步骤）28.在△ABC 中,已知a>b>c,且a ＝10,b ＝8,△ABC 的面积为24,求边长c 的值.29.在△ABC 中,已知a ＝7,b ＝43,c ＝13,求最小角及三角形的面积. 30.已知sin （6π＋α）＝35,并且α是第二象限角,求cos α,tan α的值. 31.已知2sinx ＋1=3a －2，x ∈R ，求a 的取值范围. 32.已知角α是第二象限角，则α2是第几象限角？ 33.求下列各三角函数值.（1）sin960°； （2）tan1035°； （3）cos 15π2⎛⎫- ⎪⎝⎭； （4）tan 11π4⎛⎫- ⎪⎝⎭.34.已知α，β均为钝角，cosα＝－513，sin （β－α）＝35，求sinβ的值.答案一、单项选择题 1.D 【提示】sin 3cos 3cos sin αααα+-＝5⇒6sin α＝12cos α⇒tan α＝2.2.B 【提示】sin y x =的最大值为1,则11sin 22y x =+的最大值为max 111122y =⨯+=.故选B.3.D【提示】sin 300sin(36060)sin 60︒=︒-︒=-︒=故选D.4.A5.C6.A7.A8.A9.C 【提示】△BC sinA ＝ABsinC ，∴AB ＝5. 10.C11.A 【解析】1050°＝360°×2＋330°. 12.D【解析】α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，∴cos α＝－45，tan α＝－34，∴tan π4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝πtan tan 4π1tan tan 4αα+-＝－34＋11＋34×1＝17. 13.C 【解析】原式＝2tan22.5°1－tan222.5°＝tan45°＝1.14.A15.A 【提示】 1＋tanα＝（2＋3）（1－tanα）＝2－2tanα＋3－3tanα，∴（3＋3）tanα＝1＋3，则tanα＝33，又△α△02π⎛⎫⎪⎝⎭，，∴α＝π6，故选A ． 16.B【提示】取α＝30°检验即可． 17.C 【提示】T ＝2π3. 18.D19.C 【分析】sin αcos α＞0，角α在第一、三象限，cos αtan α＜0，角α在第三、四象限，故选C. 20.A【提示】22πππsin cos cos 12126⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，故选A.二、填空题21.sin α cos α tan α 22.> < 23.2π 24.1313 25.－51326.[－13，1]【提示】由－2≤2sinx ≤2，得－2≤1－3a ≤2，－3≤－3a≤1，－13≤a ≤1.27.3，－45【分析】由tan （2π－α）＝3得tan α＝3，则cos2α＝22222222cos sin 1tan 134cos sin tan 1315αααααα---===-+++. 三、解答题28.解由题意得12absinC＝24,得sinC＝35.由a>b>c得角C是锐角,∴cosC＝45, ∴边长c102＋82－2×10×8×45＝6.29.最小角为△C＝30°,S△ABC＝7330.cosα＝－45,tanα＝－3431.解：由2sinx＋1＝3a－2得sinx＝3a－32，∵－1≤sinx≤1，∴－1≤3a－32≤1，解得13≤a≤53，∴a的取值范围是[13，53].32.解：∵α是第二象限角，∴90°＋360°k＜α＜180°＋360°k（k∈Z），∴45°＋180°k＜2α＜90°＋180°k（k∈Z）．当k是偶数时，2α是第一象限角；当k是奇数时，2α是第三象限角．∴2α是第一或第三象限角．33.解：利用诱导公式化简求值，可按照“负化正，大化小，小化锐，锐求值”的步骤进行.（1）sin960°＝sin240°＝－sin60°＝－32.（2）tan1035°＝tan （1080°－45°）＝－tan45°＝－1.（3）cos 15π2⎛⎫- ⎪⎝⎭＝cos 152π＝cos 32π＝0.（4）tan 11π4⎛⎫- ⎪⎝⎭＝tan π3π4⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝tan π4＝1. 34.解：△sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＝1－cos2α＝1－2513⎛⎫- ⎪⎝⎭＝144169，∴sinα＝±1213.又△α为钝角，∴sinα＝1213，∵sin2（β－α）＋cos2（β－α）＝1，∴cos2（β－α）＝1－sin2（β－α）＝1－235⎛⎫⎪⎝⎭＝1625，∴cos （β－α）＝±45.又△α，β均为钝角，则－90°＜β－α＜90°， ∴cos （β－α）＝45， ∴sinβ＝sin[（β－α）＋α]＝sin （β－α）cosα＋cos （β－α）sinα ＝35×513⎛⎫- ⎪⎝⎭＋45×1213＝3365.。
高一数学课时同步练习第四章第4节对数函数
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！第四章 指数函数与对数函数第4节 对数函数一、基础巩固1．（2020·全国高一课时练习）函数2log (2)y x =-的定义域是（ ） A ．(0,)+∞ B ．(1,)+∞ C ．(2,)+∞D ．[)4,+∞ 【答案】C【解析】由对数函数的定义域只需20x ->，解得2x >，所以函数的定义域为(2,)+∞ . 2．（2020·吉林长春�高三二模（文））下列与函数y =定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2xy =B ．21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．21log y x= D ．14y x =【答案】C【解析】函数y =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数. A 选项，2log 2x y =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为增函数，不符合.B 选项，21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为R ，不符合. C 选项，21log y x=的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数，符合. D 选项，14y x =的定义域为[)0,+∞，不符合.3．（2019·海南龙华�海口一中高二月考）函数()()ln 31y x x =-+的定义域是（ ） A ．()1,3- B ．[]1,3-C ．()(),13,-∞-+∞ D ．(][),13,-∞-+∞【答案】A【解析】在对数函数()()ln 31y x x =-+中，真数()()()()310310x x x x -+>⇒-+<，所以()1,3x ∈-. 4．（2020·西藏拉萨�高三二模（文））下列函数中，在区间()0,∞+上为减函数的是（ ）A．y =B ．21y x =-C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．2log y x =【答案】C【解析】对于A选项，函数y =()0,∞+上为增函数；对于B 选项，函数21y x =-在区间()0,∞+上为增函数；对于C 选项，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()0,∞+上为减函数； 对于D 选项，函数2log y x =在区间()0,∞+上为增函数.5．（2020·上海高一课时练习）若1log (1)1x x ++=，则x 的取值范围是（ ） A ．(1,)-+∞B ．(1,0)(0,)-+∞C ．(,1)(1,)-∞-⋃-+∞D ．(,0)(0,)-∞+∞【答案】B【解析】111log (1)110110,11x x x x x x x x ++=+⎧⎪+=∴+>∴>-⎨⎪+>+≠⎩且0x ≠ 6．（2020·绥德中学高二月考（文））下列函数中，在区间()0+∞，上为增函数的是（ ） A ．ln(2)y x =+ B．y =C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．1y x x=+【答案】A【解析】对A ，函数ln(2)y x =+在()2-+∞，上递增，所以在区间()0+∞，上为增函数，符合； 对B，函数y =[)1,-+∞上递减，不存在增区间，不符合；对C ，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，不存在增区间，不符合；对D ，函数1y x x=+在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，不符合． 7．（2020·北京高一期末）函数()2log f x x =是（ ） A ．()0,∞+上的增函数B ．()0,∞+上的减函数C ．R 上的增函数D ．R 上的减函数【答案】A【解析】2log y x =的定义域为(0,)+∞, 又21>,故2log y x =在(0,)+∞上为增函数, 故选:A.8．（2020·安徽宿州�高一期末）函数()()()log 201a f x x a =+<<的图象必不过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】由01a <<可判断()()log 2a f x x =+为减函数，再根据函数平移法则，()()log 2a f x x =+应由()log a f x x =向左平移两个单位，如图，故()()()log 201a f x x a =+<<的图象必不过第一象限9．（2017·内蒙古集宁一中高一期中（文））函数()log 4=f x x 与()=4xf x 的图象（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称【答案】D【解析】由4log y x =得4y x =，即4x y =，∴4xy =与4log y x =互为反函数，其图象关于直线y x =对称． 故选：D.10．（2020·全国高一课时练习）函数2log ||y x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】函数2log y x =是偶函数，且在()0,∞+上为增函数，结合各选项可知A 正确． 故选A11．（2018·平遥县综合职业技术学校高一期中）图中曲线分别表示log a y x =，log b y x =，log c y x =，log d y x =的图象，则a ，b ，c ，d 的关系是（ ）．A ．01a b d c <<<<<B ．01b a c d <<<<<C ．01d c a b <<<<<D ．01c d a b <<<<<【答案】D【解析】如图所示，由于在第一象限中，随着底数的增大，函数的图象越向x 轴靠近， 所以01c d a b <<<<<．12．（2019·黄梅国际育才高级中学高一月考）若函数()y f x =与10x y =互为反函数，则()22y f x x =-的单调递减区间是（ ） A ．(2,)+∞ B ．(,1)-∞ C ．(1,)+∞ D ．(,0)-∞【答案】D 【解析】函数()y f x =与10xy =互为反函数，∴()lg y f x x ==，则()()222lg 2y f x x x x =-=-，根据同增异减的性质，可设()lg f t t =，22t x x =-，可知外层函数为增函数，则内层函数应在定义域内取对应的减区间，即2202x x x ->⇒>或0x <，应取0x < 13．（2019·浙江高一期中）函数12()log (2)f x x =-的单调递增区间是( )A ．(,2)-∞B ．(,0)-∞C ．(2,)+∞D ．(0,)+∞【答案】A【解析】由20x ->，得到2x <，令2t x =-，则2t x =-在(,2)-∞上递减，而12log y t =在(0,)+∞上递减，由复合函数单调性同增异减法则，得到12()log (2)f x x =-在(,2)-∞上递增，14．（2020·荆州市北门中学高一期末）已知函数f （x ）=ln （–x 2–2x +3），则f （x ）的增区间为 A ．（–∞，–1） B ．（–3，–1） C ．[–1，+∞） D ．[–1，1）【答案】B 【解析】由，得, 当时，函数单调递增，函数单调递增；当时，函数单调递减，函数单调递减,选B.15．（2020·浙江高一课时练习）函数2()log 31()x f x =+的值域为（ ）A ．(0,)+∞B ．[0,)+∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞【答案】A 【解析】30x >，311x ∴+>，()2log 310x∴+>，∴函数()f x 的值域为(0,)+∞.故选：A16．（2020·浙江高一课时练习）若[0,1]x ∈，且[]2222log log (22)2x x +++为整数，则满足条件的实数x 的个数为（ ）． A ．12 B ．13C ．14D ．15【答案】C【解析】令[]2222()log log (22)2x f x x +=++，[0,1]x ∈，则()f x 为增函数，且(0)4f =，(1)17f =，故()f x 的值域为[4,17]． 又[]2222log log (22)2x x +++为整数，则一共能取14个整数值，故相应的x 有14个．17．（2020·浙江高一课时练习）在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与xy e =的图象关于直线y x =对称．而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若()1f m =-，则m 的值是（ ）A ．e -B ．1e-C ．eD ．1e【答案】D【解析】∵函数()y g x =的图象与xy e =的图象关于直线y x =对称，∴函数()y g x =与xy e =互为反函数，则()ln g x x =，又由()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，∴()()ln f x x =-，又∵()1f m =-，∴()ln 1m -=-，1m e=-，故选B. 18．（2020·全国高三其他（理））已知函数()22,0()ln 1,0x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ） A ．(,0]-∞ B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-【答案】D【解析】作出()y f x =的图象如图，由对数函数图象的变化趋势可知，要使|()|ax f x ≤，则0a ≤，且22(0)ax x x x ≤-<，即2a x ≥-对任意0x <恒成立，所以2a ≥-.综上，20a -≤≤. 故选：D.19．（2020·全国高三一模（理））已知函数()3x f x n -=+，())2log 1g x x =，若对任意[]14,25t ∈，存在[]21,1t ∈-，使得()()21f t g t ≤，则实数n 的取值范围是（ ）A ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．5,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】解：∵对任意[]14,25t ∈，存在[]21,1t ∈-，使得()()21f t g t ≤，∴ ()()min min g x f x ≥ ∵())2log 1g x =，∴ ()()min40g x g ==，∵()3x f x n -=+，∴ ()()min 113f x f n ==+∴ 103n +≤，解得13n ≤-， 故选：A.20．（2020·江苏盐城�高一期末）设函数1,0()log (2),0a ax x f x x x --≤⎧=⎨+>⎩ 若存在12,x x R ∈且12x x ≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1(,)[1,)2-∞⋃+∞ B ．1[,1)2C ．1(0,)2D ．()10,1,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题知：0a >，设()1=--h x ax ，此时()h x 为减函数. 当01a <<时，设()()log 2a g x x =+，此时()g x 为减函数， 若存在12,x x R ∈且12x x ≠，使得12()()f x f x =成立， 只需满足()()00g h >，即log 21>-a ，解得102a <<. 当1a >时，此时恒有12,x x R ∈且12x x ≠，使得12()()f x f x =成立. 综上：102a <<或1a >. 21．（2019·河北路南�唐山一中高三期中（文））函数()()13,2log 1,2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨--≥⎪⎩，则不等式()1f x >的解集为（ ） A ．()1,2 B ．4(,)3-∞C ．4(1,)3D ．[)2,+∞ 【答案】A【解析】因为()1f x >，所以121x x e -<⎧⎨>⎩或()32log 11x x ≥⎧⎨-->⎩因此210x x <⎧⎨->⎩或21013x x ≥⎧⎪⎨<-<⎪⎩，12x <<或x ∈∅，即12x <<故选:A22．（2020·辽宁高三三模（文））设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，23()log (1)1f x x ax a =++-+(a 为常数)，则不等式(34)5f x +>-的解集为（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(2,)-+∞【答案】D【解析】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，解得1a =，所以，当0x ≥时，32()log (1)f x x x =++．当[0,)x ∈+∞时，函数3log (1)y x =+和2yx 在[0,)x ∈+∞上都是增函数，所以()f x 在[0,)x ∈+∞上单调递增，由奇函数的性质可知，()y f x =在R 上单调递增，因为(2)5(2)5f f =-=-，，故()(34)5(34)2f x f x f +>-⇔+>-，即有342x +>-，解得2x >-．故选：D ．23．（多选题）（2019·全国高一课时练习）（多选）下面对函数12()log f x x =与1()2xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间(0,)+∞上的衰减情况的说法中错误的有（ ）A ．()f x 的衰减速度越来越慢, ()g x 的衰减速度越来越快B ．()f x 的衰减速度越来越快，()g x 的衰减速度越来越慢C ．()f x 的衰减速度越来越慢，()g x 的衰减速度越来越慢D ．()f x 的衰减速度越来越快，()g x 的衰减速度越来越快 【答案】ABD【解析】在平面直角坐标系中画出()f x 与()g x 图象如下图所示：由图象可判断出衰减情况为：()f x 衰减速度越来越慢；()g x 衰减速度越来越慢 故选：ABD24．（多选题）（2020·全国高一课时练习）已知函数2222()(log )log 3f x x x =--，则下列说法正确的是（ ） A ．(4)3f =-B ．函数()y f x =的图象与x 轴有两个交点C ．函数()y f x =的最小值为4-D ．函数()y f x =的最大值为4E.函数()y f x =的图象关于直线2x =对称 【答案】ABC【解析】A 正确，2222(4)(log 4)log 433f =--=-；B 正确，令()0f x =，得22(log 1)(log 3)0x x +-=， 解得12x =或8x =，即()f x 的图象与x 有两个交点； C 正确，因为22()(log 1)4(0)f x x x =-->，所以当2log 1x =，即2x =时，()f x 取最小值4-； D 错误，()f x 没有最大值；E 错误，取1x =，则(1)3(3)f f =-≠.25．（多选题）（2020·全国高一开学考试）已知函数()()2lg 1f x x ax a =+--，给出下述论述，其中正确的是（ ）A ．当0a =时，()f x 的定义域为()(),11,-∞-+∞B ．()f x 一定有最小值；C ．当0a =时，()f x 的值域为R ；D ．若()f x 在区间[)2,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是{}4|a a ≥- 【答案】AC【解析】对A ,当0a =时,解210x ->有()(),11,x ∈-∞-+∞,故A 正确 对B ,当0a =时,()()2lg 1f x x =-,此时()(),11,x ∈-∞-+∞,()210,x -∈+∞,此时()()2lg 1f x x =-值域为R ,故B 错误.对C ,同B ,故C 正确.对D , 若()f x 在区间[)2,+∞上单调递增,此时21y x ax a =+--对称轴22ax =-≤. 解得4a ≥-.但当4a =-时()()2lg 43f x x x =-+在2x =处无定义,故D 错误.故选AC二、拓展提升1．（2020·上海高一课时练习）求下列各式中x 的取值范围： （1）21log 1ax -； （2）2log (3)x x +-； （3）()2xx +.【解析】（1）21log 1ax -, 210x ∴->,解得：1x >或1x <，x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-+∞.（2）2log (3)x x +-302021x x x ->⎧⎪∴+>⎨⎪+≠⎩，解得：321x x x <⎧⎪>-⎨⎪≠-⎩， x 的取值范围是(2,1)(1,3)--⋃-.（3）)2x x +20301x x x ⎧+>⎪∴+>⎨≠，解得：0132x x x x ><-⎧⎪>-⎨⎪≠-⎩或， x 的取值范围是(3,2)(2,1)(0,)--⋃--⋃+∞.2．（2020·陕西咸阳�高一期末）已知函数()()log 0,1a f x x a a =>≠的图象过点1,24⎛⎫⎪⎝⎭. (1)求a 的值；(2)计算12lg lg 5a a --+的值.【解析】(1)()()log 0,1a f x x a a =>≠的图像过点1,24⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1log 24a ∴=，214a ∴=，得12a =. (2)由(1)知，12a =，112211lg lg5lg lg5lg 2lg5122a a --⎛⎫∴-+=-+=+= ⎪⎝⎭. 3．（2019·安徽庐阳�合肥一中高一期中）己知函数()()log 01a f x x a a =>≠,. （1）若()()23f a f a +=，求实数a 的值（2）若()()232f f >+，求实数a 的取值范围.【解析】解：（1）由()()23f a f a +=得()1log 23a a +=，即()log 22a a =， 故log 21a =，所以2a =；（2）由()()232f f >+得log 2log 32a a >+，即22log 2log 3a a a >=，当1a >时，223a <，无解； 当01a <<时，223a >，得13a <<； 综上，实数a的取值范围为⎫⎪⎪⎝⎭． 4．（2020·山西应县一中高二期中（文））设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)=2f .(1)求a 的值；(2)求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值. 【解析】解：(1)∵(1)=2f ，∴(1)log 2log 2log 42a a a f =+==，∴2a =；(2)由1030x x +>⎧⎨->⎩得(1,3)x ∈-， ∴函数()f x 的定义域为(1,3)-，22222()log (1)log (3)log (1)(3)]log [[(1)4]f x x x x x x =++-=+---+=， ∴当(0,1)x ∈时，()f x 是增函数；当3(1,)2x ∈时，()f x 是减函数， ∴函数()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是2(1)log 42f ==． 5．（2020·开鲁县第一中学高二期末（文））设f （x ）＝log a （1+x ）+log a （3﹣x ）（a ＞0，a ≠1）且f （1）＝2． （1）求a 的值及f （x ）的定义域；（2）求f （x ）在区间[0,32]上的最大值和最小值． 【解析】（1）由题意知，1030x x +⎧⎨-⎩＞＞， 解得﹣1＜x ＜3；故f （x ）的定义域为（﹣1,3）；再由f （1）＝2得，log a （1+1）+log a （3﹣1）＝2； 故a ＝2.综上所述：函数定义域为()1,3-，2a =. （2）f （x ）＝log 2（1+x ）（3﹣x ）， ∵x ∈[0,32]，∴（1+x ）（3﹣x ）∈[3,4]，故f （x ）在区间[0,32]上的最大值为f （1）＝2；f （x ）在区间[0,32]上的最小值为f （0）＝log 23．。
高中数学必修一练习题(4)函数(含详细答案)
• 高中数学必修一复习练习（四）函数班 号 姓名 指数函数及其性质1．下列函数中指数函数的个数为( )①y ＝(12)x －1； ②y ＝2·3x ； ③y ＝a x (a >0且a ≠1，x ≥0)； ④y ＝1x ； ⑤y ＝(12)2x －1.A ．1个B ．2个C ．4个D ．5个2．函数y ＝3x 与y ＝3－x 的图象关于下列哪条直线对称( )A ．x 轴B ．y 轴C ．直线y ＝xD ．直线y ＝－x3．若集合M ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，N ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则集合M ，N 的关系为( ) A ．M NB ． M ⊆NC ．N MD ．M ＝N4．已知1＞n ＞m ＞0，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( )5．若函数y ＝(2a －1)x 为指数函数，则实数a 的取值范围是________． 6．函数y ＝a x ＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过点________(填点的坐标)． 7．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点(2，12)，其中a >0且a ≠1.(1)求a 的值； (2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．8．已知指数函数f (x )＝a x 在区间[1，2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．1．若2x ＋1<1，则x 的取值范围是( )A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．(0，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)2．函数y ＝⎝⎛⎭⎫121－x的单调递增区间为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0，1)3．下列不等关系中，正确的是( ) A ．(12)23<1<(12)13B ．(12)13<(12)23<1C ．1<(12)13<(12)23D ．(12)23<(12)13<14．函数f (x )＝2|x |，则f (x )( )A ．在R 上是减函数B ．在(－∞，0]上是减函数C ．在[0，＋∞)上是减函数D ．在(－∞，＋∞)上是增函数 5．方程3x －1＝19的解是________．6．已知函数y ＝(13)x 在[－2，－1]上的最小值是m ，最大值是n ，则m ＋n 的值为________．7．已知2x ≤(14)x －3，求函数y ＝(12)x 的值域．8．已知函数f (x )＝a 2－3x(a >0，且a ≠1)．(1)求该函数的图象恒过的定点坐标； (2)指出该函数的单调性．1．使式子log (x －1)(x 2－1)有意义的x 的值是( ) A ．x ＜－1或x ＞1 B ．x ＞1且x ≠2 C ．x ＞1D ．x ≠22．方程2log 3x ＝14的解是( )A.33B.3C.19D ．93．化简：2lg （lg a 100）2＋lg （lg a ）的结果是( )A.12B ．1C ．2D ．44．已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为( )A ．3B ．8C ．4D ．log 485．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x 的值为________．6．已知x ，y ∈(0，1)，若lg x ＋lg y ＝lg(x ＋y )，则lg(1－x )＋lg(1－y )＝________． 7．计算下列各式的值：(1)lg12.5－lg 58＋lg 12； (2)12lg25＋lg2＋lg 10＋lg(0.01)－1； (3)log 2(log 264)．8．方程lg 2x ＋(lg2＋lg3)lg x ＋lg2lg3＝0的两根之积为x 1x 2，求x 1x 2的值．1．下列函数中，定义域相同的一组是( ) A ．y ＝a x 与y ＝log a x (a >0，a ≠1) B ．y ＝x 与y ＝x C ．y ＝lg x 与y ＝lg xD ．y ＝x 2与y ＝lg x 22．函数y ＝2＋log 2x (x ≥1)的值域为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．[2，＋∞)D ．[3，＋∞) 3．函数y ＝log 12（3x －2）的定义域是( )A ．[1，∞)B ．(23，＋∞)C ．[23，1]D ．(23，1]4．函数y ＝lg(x ＋1)的图象大致是( )5．函数y ＝log x (2－x )的定义域是________．6．若a >0且a ≠1，则函数y ＝log a (x －1)＋1的图象恒过定点________． 7．求下列函数的定义域：(1)y ＝log 2（4x －3）； (2)y ＝log 5－x (2x －2)．8．已知f (x )＝log 3x .(1)作出这个函数的图象；(2)当0<a <2时，有f (a )>f (2)，利用图象求a 的取值范围．参考答案指数函数及其性质1．选A 由指数函数的定义可判定，只有③正确． 2．B3．选A x ∈R ，y ＝2x ＞0，y ＝x 2≥0，即M ＝{y |y ＞0}，N ＝{y |y ≥0}，所以M N. 4．选C 由0＜m ＜n ＜1可知①②应为两条递减曲线，故只可能是选项C 或D ， 进而再判断①②与n 和m 的对应关系，判断方法很多，不妨选择特殊点，令x ＝1， 则①②对应的函数值分别为m 和n ，由m ＜n 知选C.5．解析：函数y ＝(2a －1)x 为指数函数，则2a －1>0且2a －1≠1，∴a >12且a ≠1. 答案：a >12且a ≠16．∵指数函数y ＝a x 恒过定点(0，1)．∴y ＝a x ＋1的图象必过点(0，2)．答案：(0，2) 7．解：(1)函数图象过点(2，12)，所以a 2－1＝12，则a ＝12.(2)f (x )＝(12)x －1(x ≥0)，由x ≥0得，x －1≥－1，于是0<(12)x －1≤(12)－1＝2.所以函数的值域为(0，2]． 8．解：由指数函数的概念知a >0，a ≠1.当a >1时，函数f (x )＝a x 在区间[1，2]上是增函数，所以当x ＝2时，f (x )取最大值a 2，当x ＝1时，f (x )取最小值a ， 由题意得a 2＝a ＋a 2，即a 2＝32a ，因为a >1，所以a ＝32；当0<a <1时，函数f (x )＝a x 在区间[1，2]上是减函数，同理可以求得a ＝12.综上可知，a 的值为32或12✠✠指数函数及其性质的应用1．选D 不等式2x ＋1<1＝20，∵y ＝2x 是增函数，∴x ＋1<0，即x <－1.2．选A 定义域为R.设u ＝1－x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12u，∵u ＝1－x 在R 上为减函数，又∵y ＝⎝⎛⎭⎫12u在(－∞，＋∞)上为减函数，∴y ＝⎝⎛⎭⎫121－x在(－∞，＋∞)上是增函数．3．选D ∵函数y ＝(12)x 在R 上是减函数，而0<13<23，∴(12)23<(12)13<(12)0，即(12)23<(12)13<1.4．选B ∵y ＝2x 在R 上递增，而|x |在(－∞，0]上递减，在[0，＋∞)是递增，∴f (x )＝2|x |在(－∞，0]上递减，在[0，＋∞)上递增．5．解析：∵3x -1＝19，∴3x -1＝3-2，∴x －1＝－2，∴x ＝－1. 答案：－16．解析：函数y ＝(13)x 在定义域内单调递减，∴m ＝(13)－1＝3，n ＝(13)－2＝9， ∴m ＋n ＝12. 答案：127．解：∵2x ≤(14)x -3，即2x ≤26-2x ，∴x ≤6－2x ，∴x ≤2，∴y ＝ (12)x ≥ (12)2＝14，∴函数值域是[14，＋∞)．8．解：(1)当2－3x ＝0，即x ＝23时，a 2－3x ＝a 0＝1. 所以，该函数的图象恒过定点(23，1)(2)∵u ＝2－3x 是减函数，∴当0<a <1时，f (x )在R 上是增函数；当a >1时，f (x )在R 上是减函数．❑❑对数与对数运算1．选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，x 2－1＞0，x －1≠1，解得x ＞1且x ≠2.2．选C 由已知得log 3x ＝－2 ，∴ x ＝3－2＝19.3．选C 由对数运算可知：lg(lg a 100)＝lg(100lg a )＝2＋lg(lg a )，∴原式＝2. 4．选A 由2x ＝3得：x ＝log 23.∴x ＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 23＋2log 283log 24＝log 23＋(3log 22－log 23)＝3.5．解析：log a x ＝1log x a ＝2，∴log x a ＝12. 同理log x b ＝13，log x c ＝16.log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c ＝1. 答案：16．解析：lg(x ＋y )＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )⇒x ＋y ＝xy ，lg(1－x )＋lg(1－y )＝lg[(1－x )(1－y )]＝lg(1－x －y ＋xy )＝lg1＝0. 答案：0 7．解：(1)原式＝lg(252×85×12)＝lg10＝1.(2)原式＝lg[2512×2×1012×(10－2)－1]＝lg(5×2×1012×102)＝lg1072＝72.(3)原式＝log 2(log 226)＝log 26＝1＋log 23.8．解：因为lg2x ＋(lg2＋lg3)lg x ＋lg2lg3＝(lg x ＋lg2)(lg x ＋lg3)，所以lg x ＝－lg2＝lg2－1或lg x ＝－lg3＝lg3－1，即x 1＝12，x 2＝13，所以x 1x 2＝16.对数函数及其性质1．C2．选C 当x ≥1时，log 2x ≥0，所以y ＝2＋log 2x ≥2.3．选D 由函数的解析式得log 12(3x －2)≥0＝log 121.∴0＜3x －2≤1，解得：23＜x ≤1.4．选C 当x ＝0时y ＝0，而且函数为增函数，可见只有C 符合．5．解析：由对数函数的意义可得⎩⎪⎨⎪⎧2－x >0x >0x ≠1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <2x >0且x ≠1⇒0<x <2且x≠1. 答案：(0，1)∪(1，2)6．解析：当x ＝2时y ＝1. 答案：(2，1)7．解：(1)要使函数有意义，须满足：log 2(4x －3)≥0＝log 21，⇒1≤ 4x －3⇒x ≥1，∴函数的定义域为[1，＋∞)．(2)要使函数有意义，须满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －2>05－x >05－x ≠1⇒1<x <5且x ≠4. ∴函数的定义域为(1，4)∪(4，5)．8．解：(1)作出函数y ＝log 3x 的图象如图所示．(2)令f (x )＝f (2)，即log 3x ＝log 32，解得x ＝2. 由如图所示的图象知：当0<a <2时，恒有f (a )<f (2)． 故当0<a <2时，不存在满足f (a )>f (2)的a 的值．。
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函数练习四
——复合函数的单调性和值域1.已知函数f (x) 的定义域为[-1,2]
（1）分别求函数f (- x ) 和函数f ( 1
x)的定义域；（2）求函数y = f (- x ) + f (
1
x)的定义域。
2.已知f (x2 +1 )的定义域为[-1,1]，求函数f ( | x | )的定义域。
3.已知函数f ( x ) = 8+2x-x2
(1)求函数的定义域；（2）写出函数的单调减区间；（3）求函数的值域。
4. 求函数f ( x ) = 1
x+1 的定义域，并指出函数的单调区间。
5. 已知函数f (x) = x 2 – x + 1
2 x – 1的定义域为[1,2] ,求函数的值域。
6. 求函数f ( x ) = 3 +
2
-x 2 + 2x -2
的值域。
7．求函数y = x 2 + 5
x 2 + 4
的值域。
8. 已知函数f (x) = x + k
x(k＜0)
(1) 证明函数在（0，+∞）上单调递增；（2）当x满足不等式1
x≥1时，求函数f (x)的值域。
9. 已知函数f (x) = x2+1 的值域为集合A，函数g (x) = x - (a2+1)
x -2a
的定义域为集合B，
且A∩B=φ，求a的取值范围。
10.已知函数f ( x ) =
a
x2+1+ (x
2+1) (a∈R)
(1) 求函数的定义域；（2）若a = 4, 求此时函数的最小值；
(3)若a = -1,写出函数的单调减区间，并求此时函数的值域。