安徽省合肥市第一六八中学2020学年高二数学上学期期末考试试题 理(无答案)
安徽省高二上学期期末考试数学试题(理)
1合肥一中、合肥168中学高二上学期期末数学试卷命题人：合肥一六八中学祝文革 冯继国本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分100分，考试时间100分钟。
考生注意事项：必须在标号所指示的答题卷上答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
一、 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求 1.在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是（） A ．6πB ．3πC ．65πD ．32π2.命题“存在∈0x R ，02x ≤0”的否定是( ) A ．不存在∈0x R, 02x >0 B ．存在∈0x R, 02x ≥0C ．对任意的∈x R, 2x ≤0D ．对任意的∈x R, 2x>03.已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“βα⊥”是“β⊥m ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.已知椭圆1254122=+yx 的两个焦点为1F 、2F ，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长为（ ） A ．10 B ．20 C ．241 D ． 4145.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于( ) A ． 4 B ． 6 C ．8 D ．126.在平行六面体1111D C B A ABCD -中，若11===AD AB AA ，6011=∠=∠=∠BAD AB A AD A ，则直线1AC 与平面ABCD 所成的角的余弦值为( )A.32 B.322 C.33 D.367.椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A.3B.11C.22D.108.已知抛物线x y 42=上两个动点B 、C 和点A(1,2),且090=∠BAC ，则动直线BC 必过定点（ ） A. (2,5) B. (-2,5) C. (5,-2) D. (5,2) 二.填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分9.若圆C 与圆1)1()2(22=-++y x 关于坐标原点对称，则圆C 的方程是____________________________ 10.如图，在四棱锥ABCD O -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，A B OA 底面⊥，2=OA ，M 为OA 的中点．则异面直线OB 与MD 所成角余弦值为_______________11.P 为单位正方体1111D C B A ABCD -内（含正方体表面）任意一点，则AC AP ⋅的最大值为_____________________12.光线由点P(2,3)射到直线1-=+y x 上,反射后过点Q(1,1),则反射光线所在直线方程为_________________________ 13.在三棱锥P-ABC 中，给出下列四个命题：① 如果PA ⊥BC ，PB ⊥AC ，那么点P 在平面ABC 内的射影是∆ABC 的垂心；② 如果点P 到∆ABC 的三边所在直线的距离都相等，那么点P 在平面ABC 内的射影是∆ABC 的内心； ③ 如果棱PA 和BC 所成的角为60︒,PA=BC=2,E 、F 分别是棱PB 、AC 的中点,那么EF=1； ④ 如果三棱锥P-ABC 的各棱长均为1,则该三棱锥在任意一个平面内的投影的面积都不大于12；其中正确命题的序号是____________三、解答题: 本大题共5小题，共48分 14.(本小题满分6分）如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在线段AM 上，点N 在CM 上，且第5题图第10题图2满足N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E .求曲线E 的方程.15.(本小题满分8分）圆锥SO 的侧面展开图为如图所示的半径为4的半圆，半圆中∠ASC ＝045. ①圆锥SO 的体积；②在圆锥母线SC 上是否存在一点E ，使得OEA SC 平面⊥，若存在，求此时EC SE ∶的值；若不存在，说明理由.16.(本小题满分12分）如图ABCD 为正方形，ABCD VD 平面⊥,VD=AD=2,F 为VA 中点，E 为CD 中点. ①求证：VEB DF 平面//；②求平面VEB 与平面VAD 所成二面角的余弦值；③V 、D 、C 、B 四点在同一个球面上，所在球的球面面积为S ，求S.17.(本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知：)4,0(),0,3(B A ，O 为坐标原点，以点P 为圆心的圆P 半径为1. ①点P 坐标为P （1，2），试判断圆P 与OAB ∆三边的交点个数；②动点P 在OAB ∆内运动，圆P 与OAB ∆的三边有四个交点，求P 点形成区域的面积.18.(本小题满分12分）已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的离心率为3，右准线方程为33=x（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线l 是圆O ：222r y x =+上动点)0)(,(0000≠y x y x P 处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点A,B ，是否存在实数r 使得AOB ∠始终为090。
2020-2021学年合肥168中学高二上学期期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年合肥168中学高二上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x<0}，集合B={x|(x+1)(x−2)<0}，则A∪B等于()A. (−1,0)B. (−∞,2)C. (−1,2)D. (−∞,0)2.已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为√3的直线与抛物线在x轴上方的部分交于A点，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积为()A. 4B. √3C. 4√3D. 83.关于曲线C：x2−xy+y2=1有下述三个结论：①曲线C关于y轴对称②曲线C上任意一点的横坐标不大于1③曲线C上任意一点到原点的距离不小于√63其中所有正确结论的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 34.给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两个平面互相平行；③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 45. 曲线C：f(x,y)=0关于直线x−y−2=0对称的曲线C′的方程为()A. f(y+2,x)=0B. f(x−2,y)=0C. f(y+2,x−2)=0D. f(y−2,x+2)=06. 过点的直线将圆形区域分成两部分，使得两部分的面积相差最大，则该直线的方程是()A. B. C. D.7. 若三棱锥P−ABC的三个侧面与底面ABC所成角都相等，则顶点P在底面的射影为△ABC的()A. 外心B. 重心C. 内心D. 垂心8. 在(1,+∞)上的函数f(x)满足：①f(2x)=cf(x)(c为正常数)；②当2≤x≤4时，f(x)=1−(x−3)2.若f(x)图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上．则c=()A. 1或12B. 12或2 C. 1或3 D. 1或29. 给出以下四个判断，其中正确的判断是A. 若“或”为真命题，则，均为真命题B. 命题“若且，则”的逆否命题为“若，则且”C. 若x≠300°，则cos x≠D. 命题“x 0R，”是假命题10. 当x>1时，不等式mx2+mx+1≥x恒成立，则实数m的取值范围是()A. [3+2√2,+∞)B. (−∞,3+2√2]C. [3−2√2,+∞)D. (−∞,3−2√2]11. 已知分别为双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点，为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是()A. B. C. D.12. 如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3，BC=CC1=2，三棱锥B−DCD1的体积为()A. 1B. 2C. 3D. 6二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 与a⃗=(−3,2)平行的直线平分圆x2+y2+2y=0的周长，则直线l的点法向式方程为______．14. 直观图(如图)中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，则在xOy坐标中四边形ABCD为______ ，面积为______ cm2．15. 已知直四棱柱的ABCD−A1B1C1D1所有棱长均为2，E，F，G分别为棱AD，DC，B1C1的中点，且∠BAD=60°，则异面直线A1C1与FG所成的角的余弦值为______，三棱锥A1−EFG的体积为______．16. 已知F1，F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，若直线l：x=a2c上存在一点P，使得线段PF1的垂直平分线过点F2，则该椭圆离心率的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知c>0，且c≠1，设p：函数y=c x在R上递减；q：函数f(x)=x2−2cx−1在(12,+∞)上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．18. (本小题满分14分)已知直线；(1)直线当求的值；(2)直线不过第二象限，求的值；(3)圆：，与圆相交弦最短时的值．19. 三个图中，左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，右面是它的主视图和左视图(单位：cm)．(1)画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积．20. 设F1、F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点．(1)设椭圆C上点(√3,√32)到两点F1、F2距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；(2)设K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段KF1的中点B的轨迹方程；(3)设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为k PM，k PN，试探究k PM⋅K PN的值是否与点P及直线L有关，不必证明你的结论．21. 如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2m，高为√7m，制造这个塔顶需要多少铁板(冷水塔不含底面)？22. 设点P是曲线C：上的动点，点P到点(0,1)的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为(1)求曲线C的方程(2)若点P的横坐标为1，过P作斜率为的直线交C与另一点Q，交x轴于点M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由。
安徽省合肥市2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试卷word版
数学（理科）试卷（满分：150分 考试时间：120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并且用2B 铅笔把对应的准考证号涂黑。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案；不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.每小题4个选项中，只有1个选项符合题目要求.）1.已知A(2，-1)，B(2，3)，则|AB|=： A.4B.C.8D.2.命题“2(0,1),0x x x ∀∈-<”的否定是：A.2000(0,1),0x x x ∃∉-≥ B.2000(0,1),0x x x ∃∈-≥ C.2000(0,1),0x x x ∀∉-<D.2000(0,1),0x x x ∀∈-≥3.如图，棱长为a 的正方体1111ABCD-A B C D 中，M 为BC 中点，则直线1D M 与平面ABCD 所成角 的正切值为： 3525D.124.已知,αβ是两个不同平面，m 为α内的一条直线，则“m βP ”是“αβP ”的： A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知圆22(3)64x y ++=的圆心为M ，设A 为圆上任一点，点N 的坐标为（3，0），线段AN的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是： A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线6.三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为3,2,1，则该三棱锥的外接球的表面积： A.24πB.18π C .10πD.6π7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是：A.πB.2πC.4πD.8π8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF V 是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为：A.221412x y -=B.221124x y -=C.2213x y -=D.2213y x -= 9.设椭圆的两个焦点分别为1F F 2，，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于P 点，若12F PF V 为等腰三角形，则椭圆的离心率是： A.2B.21-C.22-D.21-10.过抛物线2y 8x =的焦点作直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为4，则|AB|=： A.6B.8C.12D.1611.我们把由半椭圆22221(0)x y x a b +=≥与半椭圆22221(0)y x x b c+=<合成的曲线称作“果圆”：（其中222,0a b c a b c =+>>>）如图所示，其中点012,,F F F 是相应椭圆的焦点若012F F F V是边长为1的等边三角形，则a ，b 的值分别为： 73,1 C.5，3D.5，412.如图，矩形ABCD 的边,2,AB a BC PA ==⊥平面ABCD ，2PA =，当在BC 边上存在点Q ，使PQ QD ⊥时，则实数a 的范围是： A.(0,1] B.(0,2]C.[1,)+∞D.[2,)+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中的横线上.） 13.抛物线24y x =的焦点坐标为 ．14.《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之， 深一寸，锯道长一尺，问径几何？”大意为：有个圆柱形木头，埋在墙壁中 （如图所示），不知道其大小，用锯沿着面AB 锯掉裸露在外面的木头，锯 口CD 深1寸，锯道AB 长度为1尺，问这块圆柱形木料的直径是 寸 （注：1尺=10寸）15.如图，E 是棱长为1正方体1111ABCD-A B C D 的棱11C D 上的一点， 且1BD ∥平面1B CE ，则线段CE 的长度为 ． 16.已知点(4,4)A 在抛物线x y 42=上，该抛物线的焦点为F ，过点A 作该抛物线准线的垂线，垂足为E ，则AF E ∠的角平分线所在直线 方程为 （用一般式表示）.三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答题应写出文字说明及演算步骤.） 17.（本题满分10分）给定如下两个命题：命题:p “曲线2212x ym+=是焦点在y 轴上的椭圆，其中m 为常数”；命题:q “曲线1122=--m yx 是焦点在x 轴上的双曲线，其中m 为常数”．已知命题“p q ∧”为假命题，命题“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围.18.（本题满分12分）已知圆C 的内接矩形的一条对角线上的两个顶点坐标分别为，(1,2),(3,4)P Q -． （1）求圆C 的方程；（2）求直线l :01843=+-y x 上的点到圆C 上的点的最近距离.19.（本题满分12分）如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，点E 、F 分别是边CD 、CB 的中点，AC 交EF 于点O ，沿EF 将CEF V 翻折到PEF V ，连接PA 、PB 、PD ，得到五棱锥P ABFED -，且10PB =． （1）求证：BD ⊥平面POA ； （2）求四棱锥P BDEF -的体积.20.（本题满分12分）已知动圆过定点(4,0)P ，且在y 轴上截得的弦MN 的长为8． （1）求动圆圆心C 的轨迹方程；（2）过点(2,0)的直线l 与（1）中的轨迹相交于A ，B 两点求证：OA OB →→⋅是一个定值．21.（本题满分12分）如图，已知正方形ABCD和矩形BDEF所在的平面互相垂直，AC交BD于O点，M为EF的中点，2,1BC BF==．（1）求证：BM∥平面ACE；（2）求二面角B AF C--的大小．22.（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>，过点P(2,1)，且离心率e=32．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l的方程为12y x m=+，直线l与椭圆C交于A，B两点，求PABV面积的最大值．数学（理科）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.每小题4个选项中，只有1个选 项符合题目要求.）1-5 ABCBB 6-10 DADDC 11-12 AA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中的横线上.） 13.1016（，） 14.26 15.2516.240x y -+=三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答题应写出文字说明及演算步骤.） 17.解：若命题p 为真命题，则，若命题q 为真命题，则，由题知p 与q 一真一假，若p 真q 假，则，此时无解.若p 假q 真，则，得，综上：实数m 的取值范围是．18.解：（1）由已知可知PQ 为圆C 的直径，故圆心C 的坐标为，圆C 的半径10||21==PQ r ，所以圆C 的方程是：．（2）圆心C 到直线01843=+-y x 的距离是45|181423|=+⨯-⨯=d所以，最近距离为4 —10 19.（1）证明：如图，点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，．菱形ABCD 的对角线互相垂直，．．．平面POA ，平面POA ，， 平面POA ．平面POA ． （2）解：设，连接BO ，，为等边三角形．．在中，，在中，．平面BFED ，平面BFED ，平面BFED ．梯形BFED 的面积为，四棱锥的体积．20.解：（1）设圆心为，线段MN 的中点为T ，则4||=MT依题意，得，为动圆圆心C 的轨迹方程.（2）证明：设直线l 的方程为2+=ty x ，由⎩⎨⎧=+=xy ty x 822，得01682=--ty y . ,821t y y =+，21212121)2)(2(y y ty ty y y x x +++=+=21212124)(2y y y y t y y t ++++== -12是一个定值.21.（1）证明：连结EO ，交BD 于O 点，M 为EF 的中点，四边形BMEO 是平行四边形，，又平面ACE ，平面ACE ，平面ACE ．（2）解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴， 建立空间直角坐标系，， ，设平面CAF 的法向量，则，取，得，又平面ABF的法向量，，，二面角的平面角为．22.解：（1）椭圆C：过点，且离心率，可得：，解得，椭圆方程为：；（2）直线l的方程为，设、，联立方程组整理得：，直线与椭圆要有两个交点，所以，即，得，利用弦长公式得：，点P到直线l的距离．．当且仅当，即时S取到最大值，最大值为2．。
2019-2020学年安徽省合肥一六八中学高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年安徽省合肥一六八中学高二上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．设集合{1,2,3}M =，{}2|230N x Z x x =∈--<，则M N ⋃=（ ）A ．{}1,2,3B ．{}1,0,1,2,3-C ．{}0,1,2,3D ．{}1,2【答案】C【解析】解二次不等式求得集合N ，再求并集即可. 【详解】由2230x x --<解得()1,3x ∈-，又x ∈Z ， 故{}0,1,2N =， 故{}0,1,2,3M N ⋃=. 故选：C . 【点睛】本题考查并集的求解，涉及一元二次不等式的求解. 2．抛物线22y x =的焦点坐标为（ ） A ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】将抛物线方程化为标准形式，得出p 的值，结合开口方向即可得焦点坐标. 【详解】由于抛物线的方程为22y x =，即212x y =， 可得抛物线开口向上，14p =， 可得抛物线22y x =的焦点坐标为10,8⎛⎫⎪⎝⎭，故选D. 【点睛】本题主要考查了求抛物线的焦点坐标，将抛物线方程化为标准形式是解题的关键，属于基础题.3．光线沿直线21y x =+射到直线y x =上, 被y x =反射后的光线所在的直线方程为 A ．112y x =- B ．1122y x =- C ．1122y x =+ D ．112y x =+ 【答案】B【解析】【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程． 专题：计算题；综合题．分析：先求出y=2x+11与y=x 的交点（-1，-1），然后求出反射光线与X 轴的交点（1，0），然后两点确定直线．解答：解：直线y=2x+1与y=x 的交点为（-1，-1），又直线y=2x+1与y 轴的交点（0，1）被y=x 反射后，经过（1，0） 所以反射后的光线所在的直线方程为：---y 010=---x 111即 y=12x-12故选B ．点评：本题考查与直线关于电、直线对称的直线方程，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题． 4．给出下列命题：①若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行； ②若两条直线与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行； ③若两条直线与第三条直线平行，这两条直线互相平行； ④若两条直线均与一个平面平行，则这两条直线互相平行. 其中正确的命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由空间三条直线构成等腰三角形可判断①;由空间直线的位置关系可判断②;由线面平行的定义可判断③由线线平行的公理4可判断④. 【详解】在空间中，若两条直线和第三条直线所成的角相等，可能这三条直线构成等腰三角形， 可得这两条直线不一定互相平行，故①错;在空间中，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行或相交或异面，故②错;若两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线互相平行或相交或异面，故③错; 在空间中，若两条直线都与第三条直线平行，由公理4可得这两条直线互相平行，故④对.故选：A 【点睛】本题考查了空间中直线的平行垂直关系，考查了学生逻辑推理，空间想象能力，属于基础题.5．已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，若OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为（ ）A ．BC ．2或 D ．2【答案】D【解析】 由题意得，圆22:1O x y +=的圆心坐标为(0,0)，半径1r =.因为OAB ∆为正三角形，则圆心O 到直线0x y m -+=的距离为22r =，即2d ==，解得2=m 或2m =-，故选D. 6．下列命题中正确命题的个数是（ ）①对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∃∈，均有210x x ++>； ②命题“已知x ，y R ∈，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”是真命题；③设a r ，b r是非零向量，则“a b =r r ”是“a b a b +=-r r r r ”的必要不充分条件；④3m =是直线()320m x my ++-=与直线650mx y -+=互相垂直的充要条件. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】①根据特称命题的否定是全称命题，判断①错误；②原命题与它的逆否命题真假性相同，判断它的逆否命题的真假性即可; ③利用向量的平行四边形法则，转化为平行四边形的对角线的关系，判断即可； ④计算直线()320m x my ++-=与直线650mx y -+=互相垂直的等价条件为0,3m =，即可.【详解】对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∃∈，均有210x x ++≥,故①不正确；命题“已知x ，y R ∈，，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”的逆否命题为：“已知x ，y R ∈，，若2x =且=1y ，则3x y +=”为真命题，故②正确；设a r ，b r是非零向量，则“a b =r r ”是“a b a b +=-r r r r ”的既不充分也不必要条件，故③不正确；直线()320m x my ++-=与直线650mx y -+=互相垂直，则0,3m =，故④不正确. 故选：A 【点睛】本题考查了命题的否定，逆否命题，充要条件等知识点，考查了学生逻辑推理，概念理解，数学运算的能力，属于基础题.7．《九章算术》将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.下图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD BC ==，则当点E 在下列四个位置：PA 中点、PB 中点、PC 中点、PD 中点时分别形成的四面体E BCD -中，鳖臑有（ ）个.A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】根据题意，结合线面垂直的判定以及性质，对点所在的位置进行逐一分析即可. 【详解】 设2PD =①当点E 在P A 中点时：6,2BE EC BC ===，不满足勾股定理，即此时EBC ∆不为直角三角形，不满足题意；②当点E 在PB 中点时：3DE BE EC ===2,2BD DC BC ===，由勾股定理，此时,,DEB EBC DEC ∆∆∆均不是直角三角形，不满足题意；③当点E 在PC 中点时：因为,DE EC DE BC ⊥⊥，故DE ⊥面BEC ，则DE BE ⊥，故,DEC DEB ∆∆均为直角三角形，又,,BC CD BC PD ⊥⊥故BC ⊥面PDC ，则BC CE ⊥，故,BEC DCB ∆∆均为直角三角形， 满足题意；④当点E 在PD 中点时：因为PD ⊥面ABCD ，故,PD DB PD DC ⊥⊥，故,DEC DEB ∆∆均为直角三角形， 又BC ⊥DC ，BC ⊥DP ，故BC ⊥面PDC ，则BC CE ⊥，故,BEC DCB ∆∆均为直角三角形 满足题意.综上所述，当点E 在PC 中点或PD 中点时，满足题意. 故选：C . 【点睛】本题考查由线线垂直，线面垂直的判定和性质，属综合基础题. 8．方程(x+y-1)224x y +-=0所表示的曲线是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：由题意得方程()22140x y x y +-+-=，得10x y +-=或，且，所以方程(22140x y x y +-+-=所表示的曲线为选项D ，故选D ．【考点】曲线与方程．9．已知P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的点，1F 、2F 是其焦点，双曲线的离心率是54，且120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，若12PF F △的面积为9，则此双曲线的实轴长为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C【解析】由双曲线的离心率求得34b a =，再根据12PF F △的面积为9，得到128||||1P PF F =，在12PF F △中，由勾股定理和双曲线的定义知，b=3,即得解.【详解】双曲线的离心率是5344c b a a ==∴=又12120PF PF PF PF ⋅=∴⊥u u u r u u u u r u u u r u u u u r12PF F ∴△的面积12121||||9||||182S P P PF F PF F ==∴= 在12PF F △中，由勾股定理可得：222221212124||+||=(||+||)2||||436c PF PF PF PF PF PF a =-=-3,4b a ∴==故双曲线的实轴长为：8 故选：C 【点睛】本题考查了双曲线的性质综合，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.10．若抛物线22y px =的焦点为F ，点A 、B 在抛物线上，且23AFB π∠=，弦AB 的中点M 在准线l 上的射影为'M ，则'MM AB的最大值为（ ）A ．3B ．3C D【答案】C【解析】转化：11|'|(||||)(||||)22MM AG BH AF BF =+=+，利用余弦定理：||AB =，即得解. 【详解】如图所示，由题意得(1,0)F ，22111(||||)(||||)(||||)'222=||||2||||2||||cos3AG BH AF BF AF BF MM AB AB AB AF BF AF BF π+++==+-22211(||||)(||||)22||||||||(||||)||||AF BF AF BF AF BF AF BF AF BF AF BF ++==+++-221(||||)2(||||)(||||)4AF BF AF BF AF BF +≤++-1(||||)3233(||||)AF BF AF BF +==+当且仅当：||||AF BF =时，'MM AB有最大值33. 故选：C 【点睛】本题考查了抛物线的综合问题，考查了学生综合分析，转化化归，数学运算的能力，属于中档题.11．已知点P 是双曲线()222210,0y x a b a b-=>>下支上的一点，1F 、2F 分别是双曲线的上、下焦点，M 是12PF F △的内心，且121213MPF MPF MF F S S S =+V V V ，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B 3C ．3D 21【答案】C【解析】设12PF F △的内切圆的半径为r ，121213MPF MPF MF F S S S =+V V V ，即12121111||||+||2232PF r PF r F F r ⨯=，故得解. 【详解】设22c a b =+，12PF F △的内切圆的半径为r ，则21212||||,||2c PF PF a F F -==12121212111||,||,||222F F MPF MPF M S PF r S PF r S F F r ===V V V 由于121213MPF MPF MF F S S S =+V V V 故12121111||||+||2232PF r PF r F F r ⨯= 因此：3ce a== 故选：C 【点睛】本题考查了双曲线的焦点三角形的综合问题，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.12．在Rt ABC V 中，已知D 是斜边AB 上任意一点（如图①），沿直线CD 将ABC V 折成直二面角B CD A --（如图②）．若折叠后,A B 两点间的距离为d ，则下列说法正确的是（ ）A ．当CD 为Rt ABC V 的中线时，d 取得最小值B ．当CD 为Rt ABC V 的角平分线时，d 取得最小值 C ．当CD 为Rt ABC V 的高线时，d 取得最小值 D ．当D 在Rt ABC V 的斜边AB 上移动时，d 为定值 【答案】B【解析】试题分析：如图设,,BC a AC b ACD θ==∠=，则022BCD ππθθ⎛⎫∠=-<< ⎪⎝⎭, 过A 作CD 的垂线AG ，过B 作CD 的延长线的垂线BH ， 所以AG sin b θ=，cos CG b θ=,BH cos a θ=,CH sin a θ=,sin cos HG CH CG a b θθ=-=-；直线AG BH 和是异面直线，所成的角为90︒；线段HG 是公垂线段， 所以222AB 2cos90d AG BH HG AG BH ==++-⋅︒()()()222sin cos sin cos b a a b θθθθ=++-22222222sin cos sin cos sin 2b a a b ab θθθθθ+++- 22sin 2a b ab θ+-当=4πθ时，即当CD 为Rt ABC V 的角平分线时，d 取得最小值.故选B.【考点】平面与平面之间的位置关系；两条异面直线上两点间的距离.二、填空题13．若三个点()2,1-，()2,3-，()2,1-中恰有两个点在双曲线C ：()22210x y a a-=>上，则双曲线C 的离心率为______. 6【解析】由双曲线的图象关于原点对称，可知点()2,1-，()2,1-在双曲线上，将点的坐标代入双曲线方程可求得a ，进而可求出离心率. 【详解】三个点()2,1-，()2,3-，()2,1-中恰有两个点在双曲线C ：()22210x y a a-=>上，又双曲线的图象关于原点对称，所以()2,3-不在双曲线上，点()2,1-，()2,1-在双曲线上，则()24110a a -=>，解得2a =，又1b =，所以离心率为216112b a ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭. 故答案为：6. 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查离心率的求法，属于基础题.14．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为46的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是 ． 【答案】723【解析】【详解】试题分析：如图甲，考虑小球挤在一个角时的情况，作平面111A B C //平面ABC ，与小球相切于点D ，则小球球心O 为正四面体111P A B C -的中心，111PO A B C 面⊥，垂足D 为111A B C 的中心．因11111113P A B C A B C V S PD -∆=⋅1114O A B C V -=⋅111143A B C S OD ∆=⋅⋅⋅， 故44PD OD ==，从而43PO PD OD =-=-=． 记此时小球与面PAB 的切点为1P ，连接1OP ，则2222113122PP PO OP =-=-= 考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB )相切时的情况，易知小球在面PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为1P EF ，如图乙．记正四面体的棱长为a ，过1P 作1PM PA ⊥于M ．因16MPP π∠=，有113cos 262PM PP MPP =⋅==1226PE PA PM a =-=-． 小球与面PAB 不能接触到的部分的面积为1PAB P EF S S ∆∆-223(6))a a =--3263a =- 又6a =124363183PAB PEF S S ∆∆-==． 由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为3 【考点】(1)三棱锥的体积公式；（2）分情况讨论及割补思想的应用．15．在圆2210210x y x y +--+=内，过点()2,1有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项1a ，最长弦长为n a ，若公差5311,d ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么n 的取值集合为________. 【答案】{}8,9,10【解析】先由圆的几何性质，最短的弦为垂直于OA 的弦，最长弦为直径，得到1,n a a ，因此公差21d n =-，结合公差11,35d ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即得解.【详解】设()2,1A ，圆心()5,1O ，半径为=5r ，最短的弦为垂直于OA 的弦，且||=3OA ∴18a =，最长弦为直径：10n a =， 公差：21217111513d n n n =∴<<∴<<-- 因此：n 的取值集合为{}8,9,10. 【点睛】本题考查了圆的性质和数列综合，考查了学生综合分析，转化于划归，数学运算的能力，属于中档题.16．存在实数φ，使得圆面225x y +≤恰好覆盖函数sin y x k πφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的最高点或最低点共三个，则正数k 的取值范围是________. 【答案】(]1,2【解析】根据题意，可知函数sin y x k πφ⎛⎫=+⎪⎝⎭图象的最高点或最低点在1y =±上，结合圆面方程可以列出方程组，即得解. 【详解】根据题意，可知函数sin y x k πφ⎛⎫=+⎪⎝⎭图象的最高点或最低点在1y =±上,则： 221225y x x y =±⎧∴-≤≤⎨+≤⎩又由题意：22T kkππ==，因此4<2T T ≤，解得正数k 的取值范围是：(]1,2 故答案为：(]1,2 【点睛】本题考查的是三角函数的周期性的应用，解答本题的关键是熟练使用三角函数周期性的定义以及求法，考查了学生综合分析，转化和划归，数学运算的能力，属于中档题.三、解答题17．已知命题:p x R ∃∈，使240x x a -+<成立，命题:,21q x R x x a ∀∈-++≥恒成立.（1）若命题p ⌝为真，求实数a 的取值范围；（2）若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）4a ≥；（2）34a <<【解析】（1）写出非P 命题，通过二次函数恒成立问题，求解参数的范围； （2）先求出每个命题真假分别对应的参数范围，再分类讨论，先交后并即可. 【详解】（1）p ⌝为真，即240x x a -+≥恒成立， 故0∆≤，即1640a -≤， 解得4a ≥，故a 的取值范围为：4a ≥（2）由（1）可知命题p 为假命题，则4a ≥ 故命题p 为真，则4a <，对命题q ，若其为真，则21x x a -++≥ 恒成立 则()()21213x x x x a -++≥--+=≥ 解得：3a ≤故命题q ,若其为假，则3a >； 又由p 或q 为真，p 且q 为假， 则p ，q 中一个为真，一个为假即43a a <⎧⎨>⎩或43a a ≥⎧⎨≤⎩解得()3,4a ∈故实数a 的取值范围为34a <<. 【点睛】本题考查由命题的真假，求参数的取值范围，涉及二次函数恒成立，绝对值不等式. 18．在ABC ∆中，BC 边上的高所在直线的方程为210x y -+=，A ∠的平分线所在直线方程为0y =，若点B 的坐标为(1,2)． （1）求点A 和点C 的坐标；（2）求AC 边上的高所在的直线l 的方程．【答案】（1）(5,6)C -（2）10x y -+=【解析】试题分析：（1）联立直线210x y -+=和0y =，可求得A 点的坐标，利用点斜式可得直线BC 的方程，利用角平分线可得直线AC 的斜率，利用点斜式可写出直线AC 的方程，联立直线,BC AC 的方程可求得交点C 的坐标.（2）由直线AC 的斜率可得高的斜率，利用点斜式可求得高所在直线方程. 试题解析：（1）由已知点A 应在BC 边上的高所在直线与A ∠的角平分线所在直线的交点， 由210{x y y -+==得1{x y =-=，故()1,0A -．由1AC AB k k =-=-，所以AC 所在直线方程为()1y x =-+，BC 所在直线的方程为()221y x -=--，由()()1{221y x y x =-+-=--，得()5,6C -．（2）由（1）知，AC 所在直线方程10x y ++=，所以l 所在的直线方程为()()120x y ---=，即10x y -+=．19．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，4BF =，H 是CF 的中点.（1）求证：AC ⊥平面BDEF ；（2）求直线DH 与平面CEF 所成角的正弦值； 【答案】（1）证明见解析（2）399133【解析】（1）由面面垂直的性质可证AC ⊥平面BDEF ；（2）以AC 、BD 的交点为坐标原点，DB 方向为x 轴，AC 方向为y 轴，建立空间直角坐标系，求出面CEF 的法向量，即可求直线DH 与平面CEF 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：Q 四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥.又Q 平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ⋂平面ABCD BD =， 且AC ⊂平面ABCD ，AC ∴⊥平面BDEF ；（2）以AC 、BD 的交点为坐标原点，DB 方向为x 轴，AC 方向为y 轴，建立空间直角坐标系，1333,0)(1,0,3)(1,0,3),(1,0,0)(,)222C E FD H --，，，,则()1,3,4CF =-u u u r ，()2,0,0EF =u u u r .设面CEF 的法向量为(),,n x y z =r则34020n CF x y z n EF x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩u u u v v u u u v v ，不妨令1y =， 得到面CEF 的法向量为3n ⎛= ⎝⎭r ，3322DH ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭u u u u r 因此：4399cos ,||||n DH n DH n DH ⋅==⋅r u u u u rr u u u u r ru u u u r 即DH u u u u r 与面CEF 4399【点睛】本题考查了面面垂直的判定以及线面角的求解，考查了学生逻辑推理，转化与化归，数学运算的能力，属于中档题.20．设抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于M.N 点.（1）若60MFN ∠=︒，AMN n 的面积为83，求抛物线方程；（2）若A ．M.F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到直线n 、m 距离的比值.【答案】（1）24x y =；（2）1:3【解析】（1）由抛物线的定义，以及圆的对称性可得FMN n 为等边三角形，可由其高线求得边长，进而表达出面积，列方程解得p 即可求得抛物线方程.（2）由A.M.F 三点共线，可得直线m 斜率，和直线m 方程；根据直线n 与C 只有一个公共点，设出直线n 方程，联立抛物线方程，0=n ，可求得n 方程；据此利用点到直线距离公式求得距离之比. 【详解】（1）由对称性以及60MFN ∠=︒可知MFN △是等边三角形.又F 点到MN 的距离为p，故||MN p =， 由抛物线定义知：点A 到准线l的距离||||3d FA MN p ===又AMN S n 818||2323MN d p =⇔⨯⨯=⇔=. 故抛物线方程为：24x y =.（2）由对称性设2000(,)(0)2x A x x p >，则(0,)2p F 点A ，M 关于点F 对称，得22220000(,)3222x x p M x p p x p p p --⇒-=-⇔=，得：3,)2pA ，直线m斜率3p p k -== 所以直线m方程为02x -+=. ∵//m n ，设直线n方程为：0x t -+=， 又因为直线n 与抛物线只有一个公共点，所以202x t x py⎧+=⎪⎨=⎪⎩，消去y得2033x px pt --=， 由0∆=，得t p =直线3:306n x y p --=， 坐标原点到n ，m 距离的比值为33:1:3p p =. 【点睛】本题考查抛物线，涉及抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属抛物线中的基础题. 21．已知平面PAB ⊥平面ABC ，P 、P 在平面ABC 的同侧，二面角Q AC B --的平面角为钝角，Q 到平面ABC 的距离为6，PAB △是边长为2的正三角形，4BC =，23AQ CQ ==，30ACB ∠=︒.（1）求证：面PAC ⊥平面PAB ；（2）求二面角P AC Q --的平面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）3236【解析】（1）由正弦定理，可求得90BAC ∠=︒，即AC AB ⊥，再由平面PAB ⊥平面ABC ，可得AC ⊥平面P AB ，可证得面PAC ⊥平面P AB ；（2）以A 为坐标原点，AB u u u r，AC u u u r 方向为x 轴、y 轴的正方向，建立空间直角坐标系. 求出平面ACQ , 平面P AC 的法向量，即可求得二面角. 【详解】 （1）424sin sin 30BAC ==∠︒，所以sin 1BAC ∠=，90BAC ∠=︒AC AB ∴⊥，又Q 平面PAB ⊥平面ABC ，AB =平面PAB ABC I ，AC ⊂平面ABC ，AC ∴⊥平面P AB ，AC ⊂Q 面P AC ，∴面PAC ⊥面P AB（2）以A 为坐标原点，AB u u u r，AC u u u r 方向为x 轴、y 轴的正方向，建立空间直角坐标系.则()2,0,0B ，()0,23,0C ，()1,0,3P，()3,3,6Q -，设平面ACQ 的法向量为(),,m x y z =u r ，则2303360AC m y AQ m x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩u u u v v u u u v v， 令1z =，()2,0,1m ∴=u r设平面P AC 的法向量为(),,n x y z =r ，则23030AC n y PA n x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u v v u u uv v ， 令1z =：()3,0,1n ∴=-r，设二面角P AC Q --的平面角为θ，则323cos cos ,m n θ-==u r r . 而此二面角为锐角，故二面角P AC Q --的平面角的余弦值为3236-. 【点睛】本题考查了面面垂直的判定以及线面角的求解，考查了学生逻辑推理，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.22．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长42，离心率为e ，定义直线b y e =±为椭圆的类准线，若椭圆C 的类准线方程为26y =±，（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，不垂直于x 轴的直线6:5l y kx =-与椭圆C 交于A 、B 两点，点()2,1P 在直线l 的左上方，且PA PB ⊥，直线PA 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，若线段MN 长度是4，求k .【答案】（1）22182x y +=（2）12【解析】（1）根据题设条件，列出a,b,c 的等量关系，联立即得解；（2）由4MN =，得到MNP △是等腰直角三角形，0MP NP k k ∴+=，联立65y kx =-与22480x y +-=，利用韦达定理即得解. 【详解】由题意知：2a c e a b a b e ⎧⎪=⎪⎪=∴==⎨⎪⎪=⎪⎩22182x y ∴+= （2）4MN =Q ，MNP ∴V 是等腰直角三角形0MP NP k k ∴+=设()11,A x y ，()22,B x y联立y kx m =+与22480x y +-=得：()222418480kx kmx m +++-=122841km x x k -∴+=+，21224841m x x k -=+ 212111022PB PA y y k k x x --+=+=--Q 代入，化简得：224140km k m k ++--=65m =-，12k ∴=或1110k =检验，当1110k =时，点P 在直线l 上，不合题意.12k ∴=. 【点睛】本题考查了直线和圆锥曲线综合，考查了学生综合分析，转化与化归，数学运算的能力，属于中档题.。
安徽省合肥市第六中学2020_2021学年高二数学上学期期末考试试题理
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.已知点 ， ，动点 满足直线 与 的斜率之积为 ，记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线？
（2）若直线l： 和曲线C相交于P，Q两点，求 .
【答案】（1） ，曲线C是一个椭圆，除去左右顶点；（2） .
18.已知直线 经过点 .
9.已知x，y满足约束条件 ，若 的最大值为9，则m的值为（）
A. B. C. 2D. 3
10.已知圆 ，圆 ，点M和N分别是圆 和圆 上的动点，P为x轴上的动点，则 的最大值是（）
A. 7B.9C. D.
11.在三棱锥 中， ，二面角 余弦值为 ，当三棱锥 的体积的最大值为 时，其外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
12.如图，正方体 的棱长为 ， 分别是棱 ， 的中点，过点 的平面分别与棱 ， 交于点G，H，给出以下四个命题：
①平面 与平面 所成角的最大值为45°；
②四边形 的面积的最小值为 ；
③四棱锥 的体积为定值 ；
④点 到平面 的距离的最大值为 .
其中正确命题的序号为（）
A.②③B.①④C.①③④D.②③④
A. B.
C. D.
【答案】A
4.已知直线 ： ， ： ，若 ，则实数 的值为（）
A. B. C. 4D. 0
【答案】B
5.某几何体 三视图如图所示，正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积等于（）
A. B. C. D.
【答案】D
6.已知直线m，n，平面 ， ， ， ， ，那么 是 的（）
22.已知椭圆E： 的离心率为 ，点 在椭圆E上.
（1）求椭圆E的方程；
安徽省合肥市第六中学2020-2021学年高二上学期期末数学(理)试题
安徽省合肥市第六中学2020-2021学年高二上学期期末数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．命题x R ∀∈，1x e x ≥+的否定是（ ）A ．x R ∀∈，1x e x <+B ．x R ∃∈，1x e x <+C ．x R ∃∉，1x e x <+D ．x R ∀∉，1x e x <+2．满足过点()2,3P 且在两坐标轴上截距相等的直线l 的条数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，还在反复思考一个问题：通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来呢？突然，他看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体顶点A 关于y 轴对称的点的坐标是（ ）A ．()1,1,1--B ．()1,1,1-C ．()1,1,1--D ．()1,1,1---4．已知直线1l ：210ax y ++=，2l ：820x ay a ++-=，若12//l l ，则实数a 的值为（ ）A ．4±B ．4-C ．4D ．05．某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积等于（ ）A ．43B ．23C ．13D ．166．已知直线m ，n ，平面α，β，n αβ=，//m α，m n ⊥，那么m β⊥是αβ⊥的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．在正方体1111ABCD A B C D -，中，M ，N ，P ，Q 分别为1A B ，1B D ，1A D ，1CD 的中点，则异面直线MN 与PQ 所成角的大小是（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 8．已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点A ，B ，若2ABF 为等边三角形，则该双曲线的渐近线的斜率为（ ）A． BC．D．9．已知x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若34z x y =-的最大值为9，则m 的值为（ ）A ．32-B ．28-C ．2D ．3 10．已知圆()()221:111C x y -++=，圆()()222:459C x y -+-=，点M 和N 分别是圆1C 和圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PN PM -的最大值是（ ） A ．7 B ．9 C．4+ D．2 11．在三棱锥A BCD -中，60BAC BDC ∠=∠=︒，二面角A BC D --的余弦值为13-，当三棱锥A BCD -的体积的最大值为4时，其外接球的表面积为（ ） A ．5π B ．6π C ．7π D ．8π12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱1AA ，1CC 的中点，过点,E F 的平面分别与棱1BB ，1DD 交于点G ，H ，给出以下四个命题：①平面EGFH 与平面ABCD 所成角的最大值为45°；②四边形EGFH 的面积的最小值为1；③四棱锥1C EGFH -的体积为定值16；④点1B 到平面EGFH 的距离的最大值为3. 其中正确命题的序号为（ ）A ．②③B ．①④C ．①③④D ．②③④二、填空题 13．两平行直线350x y +-=与2690x y +-=的距离是______.14．为迎接2022年北京冬奥会，短道速滑队组织甲､乙､丙等6名队员参加选拔赛，比赛结果没有并列名次.记“甲得第一名”为p ，“乙得第一名”为q ，“丙得第一名”为r ，若p q∨是真命题，()q r ⌝∨是真命题，则得第一名的是__________.15．已知抛物线2y ax =(0a >)的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，若FPM 为边长是2的等边三角形，则此抛物线的方程为___________.16．如图，在一个底面面积为4的正四棱锥P ABCD -中，大球1O 内切于该四棱锥，小球2O 与大球1O 及四棱锥的四个侧面相切，则小球2O 的体积为___________.三、解答题17．已知点()2,0A -，()2,0B ，动点(),M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为12-，记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线？（2）若直线l ：10x y -+=和曲线C 相交于P ，Q 两点，求PQ .18．已知直线l 经过点()2,4P -.（1）若原点到直线l 的距离为2，求直线l 的方程；（2）若直线l 被两条相交直线1l ：220x y --=和2l ：30x y ++=所截得的线段恰被点P 平分，求直线l 的方程.19．已知圆1C 过点()0,6A ，且与圆2C ：2210100x y x y +++=相切于原点，直线l ：()()211640m x m y m +++--=.（1）求圆1C 的方程；（2）求直线l 被圆1C 截得的弦长的最小值.20．在四棱锥P ABCD -中，90ABC ACD ∠=∠=︒，60BAC CAD ∠=∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，M 为AD 的中点，24PA AB ==.（1）求证：//EM 平面PAC ；（2）取PC 的中点F ，证明：PC ⊥平面AEF ；（3）在（2）的条件下，求二面角F AE C --的余弦值.21．如图1，在ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，AB AC ==4BC =.将ADE 沿DE 折起到1A DE △的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，如图2.（1）求证：1AO BD ⊥. （2）求直线1A C 和平面1A BD 所成角的正弦值.（3）线段1A C 上是否存在点F ，使得直线DF 和BC所成角的余弦值为7？若存在，求出11A F A C的值；若不存在，说明理由. 22．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为13，点81,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆E 上. （1）求椭圆E 的方程；（2）过点()1,1M 任作一条直线l ，l 与椭圆E 交于不同于P 点的A ，B 两点，直线l 与直线m ：89720x y +-=交于C 点，记直线PA ，PB ，PC 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，试探究12k k +与3k 的关系，并证明你的结论.参考答案1．B【分析】根据命题的否定的定义判断．【详解】命题x R ∀∈，1x e x ≥+的否定是x R ∃∈，1x e x <+．故选：B ．2．B【分析】按照题意直线在两坐标轴上截距相等，则讨论直线过原点和不过原点两种情况，然后计算出结果，确定直线的条数.【详解】由题意知直线在两坐标轴上截距相等.当直线过原点时直线方程为:32y x =； 当直线不过原点时设直线方程为1x y a b+=，又因为截距相等，则b a =， 将点()2,3P 代入有231a a +=，解得5a b ==，此时直线方程为:+50x y -=. 综上满足过点()2,3P 且在两坐标轴上截距相等的直线有2条.故选：B.【点睛】易错点点睛：本题考查了求直线方程，计算过程中需要满足其截距相等，这里需要注意分类讨论是否过原点，还有就是要注意直线方程有五种形式，解题时设直线方程要结合题中条件运用最优的直线方程来解题.3．A【分析】由图写出点A 的坐标，然后再利用关于y 轴对称的点的性质写出对称点的坐标.【详解】由图可知，点(1,1,1)A --，所以点A 关于y 轴对称的点的坐标为(1,1,1)--.故选：A.4．B【分析】利用直线平行的性质求解.【详解】因为直线1l ：210ax y ++=，2l ：820x ay a ++-=，且12//l l ， 则8221a a a -=≠， 解得：4a =-，故选：B.【点睛】(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． 5．D【分析】先由三视图得到该几何体为三棱锥，在正方体中还原该三棱锥，再由体积公式，即可求出结果.【详解】由三视图可知，该几何体是三棱锥A BCD -，如图，1BC CD ==，BC CD ⊥，高为1，所以该几何体的体积等于111111326⨯⨯⨯⨯=. 故选：D.6．C【分析】由充分必要条件定义，结合线面、面面垂直进行判断．【详解】//m α，过m 作平面与α相交于直线a ，则//m a ，若m β⊥，则a β⊥，所以αβ⊥，是充分的；又m n ⊥，所以a n ⊥，若αβ⊥，又n αβ=，a α⊂，所以a β⊥，所以m β⊥，也是必要的．所以应为充分必要条件．故选：C ．7．B【分析】由M 也是1A B 的中点，P 也是1AD 中点，得平行线，从而找到异面直线MN 与PQ 所成角，在三角形中可得其大小．【详解】如图，连接1AD ，1AB ，显然M 也是1A B 的中点，P 也是1AD 中点，又N 是1B D 中点，Q 是1CD 中点，所以//MN AD ，//PQ AC ，所以CAD ∠是异面直线MN 与PQ 所成角（或补角），大小为4π． 故选：B ．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．8．C【分析】 利用双曲线的定义可求得12AF a =，24AF a =，利用余弦定理可求得c a 的值，利用公式=b a . 【详解】 2ABF 为等边三角形，22AB AF BF ∴==，且260ABF ∠=︒， 由双曲线的定义可得121212||BF AB AF a B AF F BF =+-==-，212AF AF a -=，24AF a ∴=，在12AF F △中12AF a =，24AF a =，12120F AF ∠=，由余弦定理可得122F F c ===，即c a =b a ====因此，该双曲线的渐近线的斜率为． 故选：C.【点睛】思路点睛：求解双曲线的渐近线的常用思路：（1）定义法：直接利用a ，b ，求得比值，则焦点在x 轴时渐近线by x a=±，焦点在y 轴时渐近线ay x b=±； （2）构造齐次式，利用已知条件，结合222+=a b c ，构建b a 的关系式（或先构建ca的关系式），再根据焦点位置写渐近线即可. 9．D 【分析】作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域如图中阴影部分所示，再利用数形结合分析得()max 33439z m =⨯--=，解得参数即可. 【详解】作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝3x -4y 得344z y x =-，它表示斜率为34纵截距为4z-的一系列直线， 当直线经过点A 时，直线的纵截距4z-最小，z 最大.由03x y m x +-=⎧⎨=⎩，解得A (3，m －3)，故()max 33439z m =⨯--=，解得3m =. 故选：D. 【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量,x y ； （2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数). 10．B 【分析】利用圆的几何性质进行求解即可. 【详解】解析 圆1C 的圆心为()1,1E -，半径为1，圆2C 的圆心为()4,5F ，半径为3， 要使PN PM -最大，需PN 最大，且PM 最小，PN 最大为3PF +，PM 最小为1PE -，故PN PM -的最大值是()314PF PE PF PE +--=-+， F 关于x 轴的对称点为()4,5F '-，5PF PE PF PE EF ''-=-≤==，故PN PM -的最大值是549+=． 故选：B 11．B 【分析】根据两个射影，结合球的图形，可知二面角A BC D --的平面角为AMD ∠；根据题意可知当AB AC =，BD CD =时，三棱锥A BCD -的体积最大．根据体积的最大值可求得BC 的长，结合图形即可求得球的半径，进而求得表面积． 【详解】如图，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD 内的射影为2O ， 则二面角A BC D --的平面角为AMD ∠， 点A 在截面圆1O 上运动，点D 在截面圆2O 上运动，由图知，当AB AC =，BD CD =时，三棱锥A BCD -的体积最大，此时ABC ∆与BDC ∆是等边三角形，设BC a =，则AM DM ==，2BCD S ∆=，sin()3h AM AMD a π=-∠=，313124A BCD DBC V S h -∆=⋅==，解得a =32DM =， 21DO =，212O M =，设2AMD θ∠=， 则21cos 22cos 13θθ=-=-，解得tan θ=∴22tan 2OO O M θ==，球O 的半径2R ==， 所求外接球的表面积为246S R ππ==， 故选B.【点睛】本题考查了三棱锥外接球的综合应用，根据空间几何关系求得球的半径，进而求得表面积，对空间想象能力要求较高，属于难题． 12．D 【分析】由两平面所成角的余弦公式即面积射影公式，计算可得所求最大值，可判断①；由四边形EGFH 为菱形，计算面积，分析GH 的最小值，可判断②；由棱锥的等体积法，计算可判断③；由等体积法和函数的性质可判断④. 【详解】对于①，四边形EGFH 为平行四边形，又直角梯形CBGF 和直角梯形ABGE 全等，得EG FG =，所以四边形EGFH 为菱形，且GH EF ⊥，平面EGFH 在底面上的射影为四边形ABCD ，设平面EGFH 与平面ABCD 所成角为θ，则1cos12ABCDEGFHSS GHGHθ===GH≤≤cos1θ≤≤，可得所成角的最大值不为45°，故①错误；对于②GH≤≤EGFH的面积的最小值为112=，故②正确；对于③，四棱锥1C EGFH-的体积为1111112223226C EGF E GFCV V V--===⨯⨯⨯=，故③正确；对于④，设BG x=，[]0,1x∈，()111111132B EFG E B FGV V x--==⨯⨯⨯-⨯(01x≤≤)，设1B到平面EGFH的距离为d，可得11132B EFGV d-=⨯所以d===其中1t x=-)，当0x=即1t=时，d取得最大值3，故④正确.故选：D.【点睛】一般关于体积计算，一是可以考虑通过空间向量的方法，写出点的坐标，计算底面积与点到底面的距离，代入体积公式计算，二是可以通过等体积法，通过换底换高求解；关于空间几何体中一些边长或者距离的最值计算一般转化为函数问题，可以通过二次函数、反比例函数的性质求解最值，或者有时可以利用基本不等式，较难的问题则需要通过导数判断单调性从而求出最值.13．20【分析】先化2690x y+-=为9302x y+-=，再根据平行线之间的距离公式求解即可.【详解】解：由2690x y+-=得：9302x y+-=，再根据平行线间的距离公式d =得：两平行直线350x y +-=与2690x y +-=的距离是1d ===14．乙 【分析】直接利用复合命题的真假判断推理得答案. 【详解】由p q ∨是真命题，可知p ，q 中至少有一个是真命题，又比赛结果没有并列名次，说明第一名要么是甲，要么是乙，则r 是假命题， 又()q r ⌝∨是真命题，则p ￢是真命题，即p 为假命题，故得第一名的是乙， 故答案为：乙． 15．22x y = 【分析】利用抛物线的定义得出PM 垂直于抛物线的准线，设()2,P m am ，求出FPM 的边长，写出有关点的坐标，利用两点距离公式得到FM ，列出方程求出m a ，的值，得到抛物线方程. 【详解】根据题意知，FPM 为等边三角形，PF PM =，PM ∴⊥抛物线的准线，设()2,P m am ，则1,4M m a ⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以2124PM am a=+=， 10,4F a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以由PF PM =2=，解得1,2a m == ∴抛物线方程为22x y =，故答案为：22x y =.16．24【分析】设O 为正方形ABCD 的中心，AB 的中点为M ，连接PM ，OM ，PO ，求出OM ，PM ，PO ，如图，分别可求得大球1O 与小球2O半径分别为2【详解】解：由题中条件知底面四边形ABCD 是边长为2的正方形.设O 为正方形ABCD 的中心，AB 的中点为M ，连接PM ，OM ，PO ，则1OM =，3PM ===，PO ==如图，在截面PMO 中，设N 为球1O 与平面PAB 的切点，则N 在PM 上，且1O N PM ⊥，设球1O 的半径为R ，则1O N R =，∵1sin 3OM MPO PM ∠==，∴1113NO PO =，则13PO R =，114PO PO OO R =+==∴R =，设球1O 与球2O 相切于点Q ，则22PQ PO R R =-=，设球2O 的半径为r ，同理可得4PQ r =，∴24R r ==，故小球2O的体积34324V r π==.故答案为：24．【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.17．（1）()221242x y x +=≠±，曲线C 是一个椭圆，除去左右顶点；（2）3. 【分析】（1）由题意可知，1222AM BM y y k k x x ⋅=⋅=-+-，可得曲线C 的方程. （2）直线的方程与椭圆的方程联立消去y 整理得23420x x +-=.设()11,P x y ，()22,Q x y ，运用根与系数的关系可求得弦长． 【详解】（1）由题意可知，1222AM BMy y k k x x ⋅=⋅=-+-，化简得()221242x y x +=≠±， 即曲线C 的方程为()221242x y x +=≠±.曲线C 是一个椭圆，除去左右顶点.（2）联立221,24,y x x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得()22214x x ++=，整理得23420x x +-=. 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则1243x x +=-，1223x x =-，所以12PQ x x =-=3==. 【点睛】方法点睛：求轨迹方程的方法之一： 直译法——“四步一回头”，四步：（1）建立适当坐标系，设出动点M 的坐标(),x y ； （2）写出适合条件的点M 的集合(){}|P P M P M =； （3）将()P M “翻译”成代数方程(),0f x y =； （4）化简代数方程(),0f x y =为最简形式.一回头：回头看化简方程的过程是否为同解变形，验证求得的方程是否为所要求的方程. 18．（1）2x =-或34100x y +-=；（2）4y =. 【分析】（1）当直线l 的斜率不存在时，直线方程为2x =-，符合条件.当直线l 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=+，由点到直线l 的距离公式求得k 值，则直线方程可求； （2）设直线l 夹在直线1l ，2l 之间的线段为AB (A 在1l 上，B 在2l 上)，用点A 的坐标表示出点B 坐标，根据A 在1l 上，B 在2l 上，求得点A 的坐标，即可求得直线方程. 【详解】（1）①直线l 的斜率不存在时，直线方程为2x =-，符合条件. ②直线l 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=+，由原点到直线l 的距离为22421k ，解得34k =-. 故直线l 的方程为()3424y x -=-+， 即34100x y +-=.综上，所求直线l 的方程为2x =-或34100x y +-=.（2）设直线l 夹在直线1l ，2l 之间的线段为AB (A 在1l 上，B 在2l 上)，A B ，的坐标分别设为()11,x y ，()22,x y ，因为AB 被点P 平分，所以124x x +=-，128y y +=，即214x x =--，218y y =-. 由于A 在1l 上，B 在2l 上，即1111220,70,x y x y --=⎧⎨+-=⎩解得13x =，14y =，即A 的坐标是()3,4， 故直线l 的方程是4y =.19．（1）()()223318x y -+-=；（2）最小值为8. 【分析】（1）化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，再设圆2221:()()C x a y b r -+-=，由题意列关于a ，b ，r 的方程组，求解可得a ，b ，r 的值，则圆1C 的方程可求； （2）由直线系方程求得直线l 所过定点坐标，然后求出圆心到定点的距离，再由垂径定理求得直线l 被圆1C 所截得的弦长的最小值． 【详解】解：（1）化圆222:10100C x y x y +++=为22(5)(5)50x y +++=，可得圆心2(5,5)C --，半径为 设1C ：()()222x a y b r -+-=，则()()2222226,,,a b r a b r r ⎧-+-=⎪⎪+=⎨=解得3,3,a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 所以圆1C 的方程为()()223318x y -+-=. （2）因为l ：(21)(1)640m x m y m +++--=， 即(26)40x y m x y +-++-=，由260,40,x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得2,2,x y =⎧⎨=⎩所以直线l 过定点()2,2B ，设圆心()13,3C 到直线l 的距离为d ，则1d C B ≤==当且仅当1l BC ⊥时，等号成立.所以弦长为8≥=. 故直线l 被圆1C 截得的弦长的最小值为8.20．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4【分析】（1）根据中位线定理证得//EM PA 即可；（2）在等腰三角形APC 中可得PC AF ⊥，再证得CD ⊥平面PAC ，得PC CD ⊥，因此EF PC ⊥，从而得证；（3）从点F 向AE 作垂线，垂足为G ，连接GC ，可证得FGC ∠即为所求二面角的平面角，通过解直角三角形FGC 可得余弦值. 【详解】（1）因为E 为PD 的中点，M 为AD 的中点， 所以在PAD △中，//EM PA ，又因为PA ⊂平面PAC ，EM ⊄平面PAC ， 则//EM 平面PAC .（2）因为PC 的中点是F ，在Rt ABC △中，2AB =，60BAC ∠=︒，则BC =4AC =.而4PA =，则在等腰三角形APC 中PC AF ⊥①. 又在PCD 中，PE ED =，PF FC =，则//EF CD ， 因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，则PA CD ⊥， 又90ACD ∠=︒，即AC CD ⊥，AC PA A ⋂=.所以CD ⊥平面PAC ，所以PC CD ⊥，因此EF PC ⊥②. 又EFAF F =，由①②知PC ⊥平面AEF .（3）从点F 向AE 作垂线，垂足为G ，连接GC ，由（2）得PC ⊥平面AEF ，所以PC AE ⊥，又AE FG ⊥，所以AE ⊥面CFG ， 所以FGC ∠即为所求二面角的平面角，直角三角形PAC中，PC =AF =12EF CD ==直角三角形PAD中，PD =，所以12AE PD ==满足222AF EF AE +=，所以三角形AEF为直角三角形，所以AF EF FG AE ⋅==解直角三角形FGC，得5CF ===, 可得二面角F AE C --的余弦值为FG CG ==.【点睛】求解二面角的常用方法：1、定义法：过二面角的棱上任一点在两个面内分别作垂直于棱的直线，则两直线所构成的角即为二面角的平面角，继而在平面中求出其平面角的一种方法；2、三垂线法：利用三垂线定理，根据 “与射影垂直 ，则也与斜线垂直”的思想构造出二面角的平面角，继而求出平面角的方法；3、垂面法：指用垂直于棱的平面去截二面角，则截面与二面角的两个面必有两条交线，这两条交线构成的角即为二面角的平面角，继而再求出其平面角的一种方法；4、面积射影法：根据图形及其在某一个平面上的射影面积之间的关系，利用射影的面积比上原来的面积等于二面角的余弦值，来计算二面角。
安徽省合肥市一六八中学2020年高二数学理上学期期末试卷含解析
安徽省合肥市一六八中学2020年高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（）A．14 B. 16 C.20 D. 48参考答案：B略2. 若直线（）A． B．[－1，3]C．[－3，1] D．参考答案：C3. 圆的圆心坐标和半径分别为 ( )．．．．参考答案：C略4. 已知函数在上是单调函数,则实数的取值范围是（）A．B． C．D．参考答案：B 5. 设等比数列前项的积为，若是一个确定的常数，那么数列，，，中也是常数的项是A． B． C． D．参考答案：C6. 甲乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（）A. B. C. D.参考答案：A依题意，基本事件的总数有种，两个人参加同一个小组，方法数有种，故概率为. 7. 如图，正方体中，分别为BC, CC1中点，则异面直线与所成角的大小为参考答案：D8. 如图是一个组合体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积（接触面积忽略不计）是（）A．32πB．36πC．40πD．48π参考答案：D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个球与圆柱的组合体，分别计算其表面积，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个球与圆柱的组合体，球的半径为2，故表面积为：4?π?22=16π，圆柱的底面半径为2，高为6，故表面积为：2π?2?（2+6）=32π，故该几何体的表面积S=48π，故选：D【点评】本题考查的知识点是圆柱的体积和表面积，球的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．9. 如图，AB是⊙O的直径，PB，PE分别切⊙O于B，C.若∠ACE＝40°，则∠P＝( )A.60°B.70°C.80°D.90°参考答案：C10. 已知定义在R上的可导函数f（x）满足：f′（x）+f（x）＜0，则与f（1）（e是自然对数的底数）的大小关系是（）A．＞f（1）B．＜f（1）C．≥f（1）D．不确定参考答案：A【考点】63：导数的运算．【分析】构造函数g（x）=e x f（x），利用导数研究其单调性，注意到已知f′（x）+f（x）＜0，可得g（x）为单调减函数，最后由，代入函数解析式即可得答案．【解答】解：设g（x）=e x f（x），∵f′（x）+f（x）＜0，∴g′（x）=e x（f′（x）+f（x））＜0∴函数g（x）为R上的减函数；∵，∴g（m﹣m2）＞g（1）即，∴＞f（1）故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 命题P：“内接于圆的四边形对角互补”，则P的否命题是，非P是。
2017-2018学年安徽省合肥市第一六八中学高二(宏志班)上学期期末考试数学(理)试题
合肥一六八中学2017-2018学年度第一学期高二年级数学期末考试试题（理）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.30y ++=的倾斜角为（ ） A.6π B. 3π C. 23π D.56π2．命题“对任意R x ∈，都有20x ≥”的否定为（ ）A ．对任意R x ∈，使得20x < B ．存在0R x ∈，使得200x < C ．存在0R x ∈，都有200x ≥ D ．不存在R x ∈，使得20x < 3.圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为（ ） A.2π B.3π C.4π D.π4．设n m l ,,表示三条不同的直线，γβα,,表示三个不同的平面，给出下列三个命题： ①若βα⊥⊥⊥m l m l ,,，则βα⊥；②若β⊂m ，n 是l 在β内的射影，n m ⊥，则l m ⊥；③若γαβα⊥⊥,则//b g . 其中真命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．直线()1:340l a x y +++=与直线()2:140l x a y +-+=垂直，则直线1l 在x 轴上的截距是( )A. -4B. -2C. 2D. 46. 已知平面α及平面α同一侧外的不共线三点,,A B C ，则“,,A B C 三点到平面α的距离都相等”是“平面//ABC 平面α”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要件 7．空间四边形OABC 中，OA a =,OB b =,OC c =,点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，则MN =（ ）A ．121-232a b c + B ．211322a b c -++ C ．112-223a b c +D ．221-332a b c +8．设点(,)P x y 是曲线||||1(0,0)a x b y a b +=>>上任意一点，其坐标(,)x y 满足≤b +取值范围为（ ）A ．[0,2]B ．[1,2]C ．[1,)+∞ D ．[2,)+∞9．已知椭圆2214y x +=和点11,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭、1,12B ⎛⎫⎪⎝⎭，若椭圆的某弦的中点在线段AB 上，且此弦所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围为（ ）A ．[4,2]--B ．[2,1]--C ．[4,1]--D ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦10． 某几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在同一个球的表面上，则这个球的表面积是（ ）A ．41πB ．3244πC ．1894πD ． 57π11. 已知椭圆2213216x y +=内有一点()122,2,B F F 、是其左、右焦点， M 为椭圆上的动点，则1MF MB +的最小值为（ ）A.4 D 612．过抛物线 22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点,A B ， 交其准线于点.C 若||2||,||3BC BF AF ==且， 则此抛物线的方程为（ ）A ． 232y x =B ． 23y x =C ． 292y x = D ． 29y x = 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若向量(2,1,2),//|1,a e a e e =-==且|则________.14．三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，2AD BC ==，点,M N 分别是,AD BC的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值为________.15．设1F ，2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以1F ，2F 为直径的圆交双曲线某条渐近线于M ，N 两点，且满足120MAN ∠=，则该双曲线的离心率为________. 16．下列四个命题：（1）已知向量,,a b c 是空间的一组基底，则向量,,a b a b c +-也是空间的一组基底；（2） 在正方体1111ABCD A BC D -中，若点G 在1A BD ∆内，且1AG xAD yAB zCC =++，则x y z ++的值为1；（3） 圆22(3)(3)9x y -+-=上到直线34110x y +-=的距离等于1的点有2个；（4）方程22(0x y +-=表示的曲线是一条直线. 其中正确命题的序号是________.三、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程步骤） 17．（10分）已知a R ∈，设命题p ：指数函数(0,x y a a a =>且≠1)在R 上单调递增.命题q ：函数2ln(1)y ax ax =-+的定义域为R ．若“p q 且”为假，“p q 或”为真，求a 的取值范围．18.（12分）已知直线l 过坐标原点O ，圆C 的方程为22640x y y +-+=．（1）当直线l 的斜率为时，求l 与圆C 相交所得的弦长；（2）设直线l 与圆C 交于两点,A B ，且A 为OB 的中点，求直线l 的方程．19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，PD ⊥底面ABCD ，//,,1,AB CD AD CD AD AB ⊥==.过A 作一个平面α使得α//PBC 平面.（1）求平面α将四棱锥P ABCD -分成两部分几何体的体积之比.（2）若平面α与平面PBC 求直线PA 与平面PBC所成角的正弦值.20. （12分）已知动点P 到点F 1(,0)4的距离比它到直线1x =-的距离小34，记动点P 的轨迹为M .若以(1,1)S 为圆心，r 为半径（1r <<x 轴于A ，B 两点，连结并延长SA 、SB ，分别交曲线M 于C 、D 两点。
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合肥一六八中学2020学年第一学期期末考试
高二数学(理科)试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2.选择题和非选择题答案必须填写在答题卷上相应位置，否则不得分。
3.考试结束后，请将答题卡和答题卷一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（共60题，每题5分。
每题仅有一个正确选项）. 1.设02
x π
＜＜
，则“2sin 1x x ＜”是“sin 1x x ＜”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件 2. 如果命题“曲线C 上的点的坐标都是方程(,)0f x y =的解”是正确的，则下列命题中正确的是（ ）
A.曲线C 是方程(,)0f x y =的曲线；
B.方程(,)0f x y =的每一组解对应的点都在曲线C 上；
C.不满足方程(,)0f x y =的点(,)x y 不在曲线C 上；
D.方程(,)0f x y =是曲线C 的方程.
3. 若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21，则双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为（ ）
A ．x y 23±
= B ．x y 3±= C ．x y 2
1
±= D ．x y ±= 4. 已知命题:p x R ∃∈,使5
sin ;2
x =
命题:q x R ∀∈,都有210.x x ++> 给出下列结论： ①命题“q p ∧”是真命题 ；②命题“q p ⌝∧”是假命题；
③命题“q p ∨⌝”是真命题 ；④命题“q p ⌝∨⌝”是假命题 .其中正确的是（ ） A.①②③ B.③④ C.②④ D.②③
5. 以双曲线2
214x y -=的中心为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程是（ ）
A ．24y x =
B ．245y =
C ．285y x =
D ．25y =
6. 在四面体ABCD 中，AB AD ⊥，1====CD BC AD AB ，且ABD BCD ⊥平面平面，M 为
AB 中点，则CM 与平面ABD 所成角的正弦值为（ ）
A ．
22 B ．33 C ．32 D ．63
7. 若双曲线22
221x y a b -=)0(>>b a 的渐近线和圆08622=+-+x y x 相切，则该双曲线的离心
率等于（ ）
A ．2
B ．2
C ．3
D ．3
8. 过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 作倾斜角为60o 的直线l ，若直线l 与抛物线在第一象
限的交点为A 并且点A 也在双曲线22
221x y a b -=（0a >，0b >）的一条渐近线上，则双曲线的
离心率为（ ） A ．
213 B ．13 C ．23
3
D ．5 9. 已知如图所示的三棱锥ABC D -的四个顶点均在球O 的球面上，ABC ∆和DBC ∆所在的平面互相垂直，3=AB ，3=AC ，32===BD CD BC ，则球O 的表面积为（ ） A ．π4 B ．π12 C ．π16 D ．π36
(9题) （10题）
10. 某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形,侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（ ）
A ．22
B ．4
C ．32
D ．62
11.已知椭圆22
1169x y +
=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若1F ，2F ，P 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）
B
A
C
D
A ．95
B ．3
C ．977
D ．9
4
12. 如图，已知直线a ∥平面α，在平面α内有一动点P ，点A 是定直线a 上定点，且AP 与a 所成角为θ（θ为锐角），点A 到平面α距离为d ，则动点P 的轨迹方程为（ ） A.2222tan d y x =+θ B.2222tan d y x =-θ C.)tan (22θd x d y -= D.)tan (22θ
d
x d y --= 二、填空题（共20分，每题5分） 13. 在ABC ∆中，“>
6A π
”是“1
sin >2
A ”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一） 14. 直线y=x+m 与圆x 2+y 2=4交于不同的两点M 、N ，且，其中O 为坐标原
点，则实数m 的取值范围是 .
15. 在平面直角坐标系中，已知点A 在椭圆22
1259
x y +=上，()1,AP OA R λλ=-∈u u u r u u u r ，且
72OA OP ⋅=u u u r u u u r ，则OP u u u r
在x 轴上的投影线段长的最大值是 .
16.已知正四棱锥V ABCD -可绕着AB 任意旋转，//平面CD α．若2AB =，5VA =,则正四棱锥V ABCD -在面α内的投影面积的取值范围是 ．
(16题)
三、解答题（共70分，每题需有必要的解答过程）
17.(本题满分10分) 设命题p ：“若0a ≥，则20x x a +-=有实根”．
（1）试写出命题p 的逆否命题；（2）判断命题p 的逆否命题的真假，并写出判断过程． 18. (本题满分10分) 已知四边形ABCD 满足AD ∥BC ，BA=AD=DC=
2
1
BC=a ，E 是BC 的中点，将△BAE 沿着AE 翻折成△B 1AE ，使面B 1AE ⊥面AECD ，F ，G 分别为B 1D ，AE 的中点． （Ⅰ）求三棱锥E ﹣ACB 1的体积； （Ⅱ）证明：平面B 1GD ⊥平面B 1DC ．
19.(本小题满分12分) 已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝2，点P 坐标为（2，－1），过点P 作圆C 的切线，切点为A 、B ．
（1）求直线PA ，PB 的方程； （2）求切线长PA 的值； （3）求直线AB 的方程．
20.(本题满分12分) 在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为直角梯形,
AD ∥BC ，
︒=∠90BAD ，PA ⊥底面ABCD ，且22====BC AB AD PA ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点．
（1）求证：PB ADMN ⊥平面；
（2）点E 在线段PA 上，试确定点E 的位置，使二面角E CD A --为︒45．
21(本题满分13分) 抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．
（1）若2AF FB =u u u r u u u r
，求直线AB 的斜率；
（2）设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．
22．(本题满分13分)如图，已知椭圆C :22221x y a b +=（0a b >>）经过点31,2⎛⎫
P ⎪⎝⎭，离心率12e =，
直线l 的方程为4x =． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）AB 是经过椭圆右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与l 相交于点M ，记PA ，
PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，问：是否存在常数λ，使得123k k k λ+=？若存在，求出
λ的值；若不存在，说明理由．。