次线性Emden-Fowler方程两点边值问题的唯一解在零点的收敛速率的估计

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离散广义Emden—Fowler方程边值问题的多重解

离散广义Ｅｅ—ｏｌ方程边值问题的多重解木ｍｄｎＦｗｅｒ
贺铁山陈文革，
（一仲恺农业工程学院计算科学系，广州５０２；２南理工大学数学系，广州５０４）１１２５一华１６０摘要：文研究了离散广义Ｅｅ－ｏｅ方程边值问题多重解的存在性。通过将这类边值问题的解转本ｍｄｎＦｗｌｒ
引理２１．（设Ｅ是实可分Ｈｌｅｔｊｉｒ空间，Ｊ∈Ｃ（Ｒ满足ＰＳ条件，有下界，又设有ｂＥ，）．．
方程（）１作为描述众多实际问题的数学模型，己广泛出现在计算机科学、控制理论、流体力学、核物理学等学科的研究中。很多作者进行了深刻的讨论，得到了一系列重要的结果。例如关于非共轭与非焦性的结果【３，关于振动性与渐近性的结果［６，关于周期解及次调和解的卜１４］－存在性与多重性的结果【１。７２－］
由文献【］１知，Ｕ＝（０，（），（）４ｕ）２，后） … Ｔ∈Ｒ是泛函Ｊ的临界点当且仅当
＝
｛ｔ ¨＝札）（，２…，１ｕ）（瘥：（０１乱））（）（，）（，（，＋）
＋１）＝一（）后的解。由，的连续性可得，Ｊ ∈
组成的边值问题多重解的存在性，这里是一个固定的正整数，ｚ１ｋ１Ｒ并且对于任Ｐ：［＋１一，意的ｔ ∈ｚ［南＋１，（＞０ｑ：１纠一Ｒ１，１ｐｔ），ｚ［，，，：［，】ｚ１ｋ ×Ｒ— Ｒ关于第二个变量连续，△ 是前差分算子，定义为Ａｕｔ＝￡）（，Ｌ是常数。（（＋１一Ｏ）），

利用牛顿方法逼近零点问题

利用牛顿方法逼近零点问题在数学和计算机科学领域，求解方程的根或零点一直是一个重要的问题。

牛顿方法是一种常用的数值逼近方法，通过迭代的方式逐步逼近方程的根。

本文将探讨如何利用牛顿方法解决零点问题，并介绍其应用。

1. 牛顿方法简介牛顿方法，也称为牛顿-拉夫逊方法，是一种通过线性近似和迭代寻找方程根的数值方法。

对于一个实数解近似值x，牛顿方法通过切线来逼近曲线f(x) = 0与x轴的交点，并将交点的横坐标作为下一个迭代点，直至满足精度要求为止。

2. 牛顿方法的数学原理和公式设f(x)为一个可导函数，其在某一点x0附近存在根。

根据导数的定义，可得到函数f(x)在点x0处的切线方程为：f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x - x0)当f(x) = 0时，有：0 ≈ f(x0) + f'(x0)(x - x0)整理得到牛顿方法的公式：x ≈ x0 - f(x0) / f'(x0)通过不断迭代，逐步逼近x的真实解。

3. 利用牛顿方法逼近零点的步骤以下是通过牛顿方法逼近零点的一般步骤：步骤一：选取初始近似值x0，并计算函数f(x)在该点的导数f'(x0)。

步骤二：代入公式x ≈ x0 - f(x0) / f'(x0)计算新的近似值x1。

步骤三：重复步骤二，计算新的近似值x2、x3...，直至满足预设的精度要求。

步骤四：输出最终逼近得到的方程根。

4. 牛顿方法的应用牛顿方法在实际问题中有广泛的应用，以下介绍两个例子：例1：求解多项式的根考虑一个多项式方程f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1，我们希望找到其根。

首先，计算函数的导数f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。

选取初始近似值x0 = 2，代入牛顿方法的公式计算新的近似值。

通过迭代，我们可以逐步逼近方程的根，直至满足预设的精度要求。

例2：求解复杂方程的根对于复杂的方程，牛顿方法同样适用。

带脉冲的Emden-Fowler方程次线性奇异边值问题的正解

带脉冲的Emden-Fowler方程次线性奇异边值问题的正解闰宝强;代丽美
【期刊名称】《数学物理学报》
【年(卷),期】2005(025)005
【摘要】该文讨论了带脉冲的Emden-Fowler方程次线性奇异Dirichlet边值问题,利用上下解方法得到了该类问题正解存在的充分必要条件.在脉冲的影响下得到了多解的存在性结果.
【总页数】12页(P722-733)
【作者】闰宝强;代丽美
【作者单位】山东师范大学数学系,济南,250014;北京师范大学数学科学学院,北京,100875
【正文语种】中文
【中图分类】O175.8
【相关文献】
1.带脉冲的正指数Emden-Fowler方程奇异边值问题的正解 [J], 代丽美
2.次线性Emden-Fowler方程奇异m-点边值问题的正解 [J], 沈文国;何韬;张明新
3.负指数的脉冲EMDEN-FOWLER方程奇异边值问题的正解 [J], 代丽美
4.一类次线性Emden-Fowler方程奇异m-点边值问题的正解 [J], 沈文国;宋兰安
5.正指数Emden-Fowler方程脉冲奇异边值问题的PC^1([0,1],R_+)正解 [J], 代丽美
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边值问题和唯一性定理(静电场)

静电场边值问题唯一性定理

静电场的边值问题

静电场的唯一性定律
目前可解决的静电场问题

电荷在有限区域内，电荷的分布情况已知，并且介质为线性各向同性均匀介质中的静电场问题。对于此类问题，一般可以先求出电位，再计算场中各点的电场强度和电位移矢量。电荷、介质分布具有某种对称性的问题。由于电荷和介质的分布具有对称性，因此电位移矢量的分布必然也具有对称性。在这种情况下，可以先用高斯通量定理求解电位移矢量，然后再求电场强度。已知电场的分布求电荷分布的问题。在这种情况下，可直接由公式计算电荷的体密度，导体上的面电荷密度根据分界面条件确定。
2
静电场边值问题的提出

实际中对于很多电磁场的问题通常并不知道电荷分布，如静电场中导体表面的感应电荷分布，介质极化后极化电荷的分布等。对于此类的问题，必须通过求解满足给定边界条件的电位微分方程（泊松方程或拉普拉斯方程）的电位函数，进而再求场域中的电场强度。我们把这种在给定边界条件下，求解泊松方程或拉普拉斯方程的问题称为边值问题。

对于各向同性、线性的非均匀媒质，电位满足的微分方程又是什么形式呢？
D
D E
E
( )
7
边值问题举例－直接积分法
例设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷体密度为，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。（同例2-4）解:采用球坐标系,分区域建立方程
自学)
10
反设满足场的解答有两个相异的解答1和 2，则差
场u= 1 2 满足拉普拉斯方程
2 2
u 1 2 0 根据矢量恒等式

一类非线性偏微分方程的唯一解的证明

设
设
墒设设设浊軍t+塄窑(浊1u軈+浊軍u2- 浊軍塄椎)- 驻浊軍=0,
初值条件院(籽軈,u軈,浊軍)|t=0=(0,0,0),x∈R3.
方程(5)2 乘以u軈袁在 R3 上关于 x 积分袁利用分部积分法袁得
1d 2 dt
2
姨籽1Βιβλιοθήκη u軈+滋2
L
塄u
2
2+姿塄窑u
L
2
2
L
乙乙 =- 籽軈(u2t+u2窑塄u2)窑u軈dx- 籽1u軈窑塄u2窑u軈dx
1 引言
本文考虑一类在冒泡范畴内的流体与粒子相互作用模
型袁关于此模型的物理背景及其数学研究可见文献[1- 4],
具体如下院
扇设设籽t+塄窑(籽u)=0,
设设设
缮设设籽ut+籽u窑(塄u)+塄(PF+浊)- 滋驻u- 姿塄(塄窑u)=- (浊+茁籽)塄椎, (1)
设设设
墒设设浊t+塄窑(浊(u- 塄椎))- 驻浊=0,
乙乙 + (PF(籽2)- PF(籽1)+浊軍)(塄窑u軈)dx- (浊軍+茁籽軈)塄椎窑u軈dx.
(6)
注意到 |PF(籽2)- PF(籽1)|=a(兹籽1+ (1- 兹)籽2)酌|籽1- 籽2| ≤ C| 籽軈|,兹 ∈ (0,1),对上式(6)应用 H觟lder 不等式及 Cauchy 不等式袁得
2 唯一性
定理假设椎∈H4,i=1,2,(籽i,ui,浊i)|t=0= (籽i0,ui0,浊i0),(籽1,u1,浊1)
与(籽2,u2,浊2)分别是方程(1)- (3)的强解且满足正则性(4),则必有

2.6 静电场边值问题唯一性定理

V/m
CQU
2.6.3 唯一性定理
1、唯一性定理在静电场中满足给定边界条件的电位微分方程满足给定边界条件的电位微分方程（在静电场中满足给定边界条件的电位微分方程（泊松方程或拉普拉斯方程)的解是唯一的，程或拉普拉斯方程)的解是唯一的，称之为静电场的唯一性定理。 2. 唯一性定理的重要意义可判断静电场问题的解的正确性解的正确性： • 可判断静电场问题的解的正确性：唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、 • 唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等）提供了思路及理论根据。解析解等）提供了思路及理论根据。
S
第三类边界条件
(ϕ + β ∂ϕ ) = f3 ( s) ∂n S
第四类边界条件
ϕ S = f1 ( s)
求解边值问题注意事项：求解边值问题注意事项：
CQU
点电荷的场
1．根据求解场域内是否有 ρ 存在，决定电位满足泊松方程还是拉氏．根据求解场域求解场域内是否有存在，决定电位满足泊松方程还是拉氏泊松方程还是方程，然后判断场域是否具有对称性，以便选择适当的坐标系。方程，然后判断场域是否具有对称性，以便选择适当的坐标系。 2．正确表达边界条件，并利用它们确定通解的待定常数。正确表达边界条件，并利用它们确定通解的待定常数。 3．若所求解的场域内有两个（或以上）的均匀介质区域，应分区求若所求解的场域内有两个（或以上）的均匀介质区域，分区求场域内有两个不能用一个电位函数表达两个区域的情况。这时会出现4 解。不能用一个电位函数表达两个区域的情况。这时会出现4个积分常数，还需考虑介质分界面上的衔接条件来确定积分常数。分界面上的衔接条件来确定积分常数常数，还需考虑介质分界面上的衔接条件来确定积分常数。 4.对于开域问题，还需给出无限远处的自然边界条件。 4.对于开域问题，还需给出无限远处的自然边界条件。当场域有对于开域问题限分布时，应有：限分布时，应有：

电磁场与微波技术-静电场唯一性定理ch3

n 1

因为 0 y b 范围内取任意值上式恒成立，得出 A0 An 0。
于是通解简化为
( x, y ) B0 x C0 D0 y Bn sin(kn x ) C ch k y D sh k y n n n n
n 1
y b, U 0
（0 x a）
0 ，因此，通解应取如下形式因为 x 0 和 a 时， ( x, y ) A0 B0 x C0 D0 y
An cos kn x Bn sin kn x Cnch kn y Dnsh kn y
研究生课程
电磁场与微波技术
Electromagnetic Fields and Microwave Technology 教师：孙保华学时： 46学时学分： 3.0学分
西安电子科技大学·电子工程学院
2
第三章静电场问题的解法
1. 引言
静电场问题的基本方程就是拉普拉斯方程和泊松方程泊松方程（有源） 2 拉普拉斯方程（无源） 0 在给定边界条件后，上述方程为定解问题。求解方法可分为两类，即解析法和数值法。解析法常用的有分离变量法、镜像法和复变函数法等，数值法有有限差分法等。静电场问题的求解方法具有一定的代表性，对其它电磁场问题求解具有一定的借鉴意义…
西安电子科技大学·电子工程学院
15
静电场问题的解法—分离变量法
当 kn 0 时，和
Yn Cnch kn y Dnsh kn y
X n An cos kn x Bn sin kn x
最终，方程的解为 k n 取各种可能的值时的线性组合

泊松方程的边值问题的唯一性的证明

第一边值问题（Dirichlet问题）Dirichlet内问题我们研究方程{Δu=−fu|∂Ω=φ要说明该边值问题解唯一，只要说明下面的方程只有零解：{Δu=0u|∂Ω=0请注意极值原理：当Ω是有界区域，u在Ω¯上连续时，其最值只能在边界取，那就都是0，所以只有零解。

Dirichlet外问题我们研究方程{Δu=−fu|∂Ω′=φlimr→∞u=0要说明该边值问题解唯一，只要说明下面的方程只有零解：{Δu=0u|∂Ω′=0limr→∞u=0若有非零解，不妨设该点处u(M)>0。

考虑到limr→∞u=0，我们取球B(0,R)包裹住该点M，且取R足够大，使得边界ΓR上函数值都不超过u(M)，这与极值原理相悖。

第二边值问题（Neumann问题）Neumann内问题我们研究方程{Δu=−f∂u∂n|∂Ω=φ要说明该边值问题解唯一，只要说明下面的方程只有零解：{Δu=0∂u∂n|∂Ω=0但事实上并非如此，我们说明该方程的解在相差一个常数的意义下是唯一的，也就是仅有常数解。

请注意强极值原理：倘若u在Ω¯上连续，且Ω满足内切球条件，那么该方程确定的调和函数只能是常数，因若为非常数，在最大值点处∂u∂n>0，这与边界条件相违背。

Neumann外问题我们研究方程{Δu=−f∂u∂n|∂Ω′=φlimr→∞u=0要说明该边值问题解唯一，只要说明下面的方程只有零解：{Δu=0∂u∂n|∂Ω′=0limr→∞u=0事实上，倘若u在Ω′¯上连续，且Ω′满足外切球条件，那么该方程确定的调和函数只能是常数。

选取充分大的R使得球面ΓR与∂Ω围住一块区域，由极值原理，其最值只能在边界选取，而由强极值原理，其最值又不能在∂Ω上选取，则只能在ΓR上取到最值。

上面的结论对充分大的R都成立，取极限就知道最值只能是0，所以原方程只有零解。

第三边值问题（Robin问题）Robin内问题我们研究方程{Δu=−f∂u∂n+σu|∂Ω=φ,σ>0要说明该边值问题解唯一，只要说明下面的方程只有零解：{Δu=0∂u∂n+σu|∂Ω=0,σ>0事实上，倘若u在Ω¯上连续，且Ω满足内切球条件，那么该方程确定的调和函数只能是零。

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收敛速率是数学研究中的一个很重要的Ｉ题，＂７而对方程边值问题解的收敛速度问题研究的很少。次线性Ｅｄｎｍｅ．
Ｆｗｅ方程两点边值问题在很多文献中用到，究了次线性ＥｄｎＦｗｅ方程ｏｌｒ研ｍｅ．ｏｌｒ
ｒ＋（）＝，ｐ＜１（）６００＜１【（）＝１００（）＝（）２
（）ｔ０１，￡，∈（，）ｕ０（）＝Ｍ１＝（）＝（）＝，（）０１０
２４期
卢晓云，：等次线性Ｅｅ—ｏｌｒｍｄｎＦｗｅ方程两点边值问题的唯一解在零点的收敛速率的估计
５４７５
０ｔ一ｆ（一）６） ≤（ ≤（一＜（ｏ１ｓ（ｄｑ）ｔ１）５ｓ１
＠２１ＳｉＴｅ．ｎｎ０１ｅ．ｅｈＥｇ￣
次线性Ｅｅ－ｏｌｒ程两点边值问题的ｍｄｎＦｗｅ方唯一解在零点的收敛速率的估计
卢晓云闰宝强
（山东师范大学数学科学学院，济南２０１）５０４
摘
要
１
值问题的解在零点的收敛速率问题，文主要研究本
了ＥｄｎＦｗｅ方程ｍｅ —ｏｌｒ
（）＜０１ｓ６） ∞０Ｐ１Ｂ０Ｊ一）（＜，＜＜，２（
则问题式（）式（）１、２有唯一的Ｃ［，］，ｌ０１解且
两点边值问题的唯一解（）ｔ在零点的收敛速率的估计问题，中，（）ｃｏ１，（），ｅ（，）其ｂｔ（，）ｂｔ＞０ｔ０１。
关键词
收敛速率
零点问题
Ｅｅ—ｏｌ方程ｍｄｎＦｗｅｒ文献标志码Ａ
中图法分类号
０７．；１５８
收敛速率是数学研究中的一个很重要的问题，
其中张志军在文献［］１中研究了边值问题的爆破率。在文献［］２中也有对爆破率的研究。而对方程
边值问题解的收敛速度问题研究的很少。由于次线性Ｅｅ —ｏｌ方程两点边值问题在很多文献ｍｄｎＦｗｅｒ中用到，是没有次线性ＥｄｎＦｗｅ方程两点边但ｍｅ —ｏｌｒ
２１年５月１０１６日收到国家自然科学基金项目（０７１０、１８１２）山东省教育厅基金（０ＷＨ８资助Ｊ７０）
第一作者简介：晓云（９７）山东临沂人，士研究生，究方卢１８一，硕研向：用微分方程。应
ｃｏ１解。另外，解（）∈Ｃ［，］即（＋），］Ｅ若ｔ０１，０，和（一）存在，１都我们称之为ｃ［１解。若解０，］
（）＞， ∈（１，ｔ０ｔ０，）称之为正解。引理１设ｂｔ满足条件：［（）（ｂＢ）（）∈Ｃ０１，（）＞，∈（，）（，）ｂ￡０ｔ０１，
是正解。
＋ｂｔｘ＝０＜（）０，ｐ＜１（）＝１００（）＝
（）１（）２
引理２假设
＝
的唯一解（）ｔ在零点的收敛速率的估计。
（岬（１一ｓ（）ｓ，＝（）岬６ｓｄ）
５（）ｓ一，）６ｓｄ）－ｌｐ
）（（）＋＝一＝１）１一印一（１１Ｊｓ１
）６ｓ，（）
令（）＝Ｌｇｔ（）＝Ｌｑｔ，ｌｔ和（）ｔ。（），ｔｚ（）则ｉ），（ｔ分
别是边值问题式（）式（）１、２的下解和上解。
证明：显然ｑｔ（）∈Ｃ［，］２０１，且０１ｎＣ（，）并ｕｔ，ｔ（）（）∈Ｃ［，］ｎＣ（，）０＜１（）＜０１２０１，１ｔ，
第１卷１
第２４期
２１年８月０１
科
学
技
术
与
工
程
Ｖｏ．１Ｎｏ２Ａｕ．２１１１．４ｇ０１
ｌ７一１１（ｏ１２・７４０６ｌ８５ｚｚ）４５４ —３
ＳｉｎｃｃｎｌｇｎｇｎｅｒｎｃｅｅＴｅｈｏｏｙａｄＥｎｉｅｉｇ
（１＿
１一些引理
定义１３函数（）问题式（）式（）１］是１、２的解是指（）［１０１，（１上满足方ｔ ∈ｃｏ，］ｎＣ（，）在０，）程（）并满足边值条件（）此时又称解（）１，２，ｔ为
（一ｔｔ × １）ｂ（）
（（
（（
下解和上解。
ＰＩ ≥ ＿）Ｌ
Ｐ ≤ －）Ｌ
１ｉｍ
ｒ（一）６ ≤ ≤Ｊ（一ｓｓ（卢，１ｓ１）１
ｓｂＳｄ。）（）ｓ
￡Ｊｓ１一）６ｓｄ， ∈（，））Ｉ（ｓ（）ｓｔ０１，
０
（～ｆｔ１Ｊ（一）（ｄ一卢＋Ｐ一）１ｓ６））ｉ（ｃｓｓｓ
￡（１一ｓ ¨ ６ｓｄ，）（）ｓ其中，
ｕ（）＋ｂ（）“ ｔ＝ｔｔ（）