函数与方程零点问题考点例题讲解
考点1零点的求法及零点的个数
考点 1零点的求法及零点的个数题型 1：求函数的零点。
[例1]求函数 y x32x2x 2的零点.[ 解题思路 ] 求函数yx 32x 2x 2的零点就是求方程 x 32x 2x 2 0的根[解析]令 x32x2x 2 0，∴ x2 ( x 2) ( x 2) 0∴ (x 2)( x 1)( x 1) 0 ，∴x1或x 1或 x 2即函数yx32x 2x2的零点为 -1 ，1，2。
[ 反思归纳 ]函数的零点不是点，而是函数函数y f ( x) 的图像与x轴交点的横坐标，即零点是一个实数。
题型 2：确定函数零点的个数。
[例2]求函数 f(x)=lnx＋2x － 6 的零点个数 .[ 解题思路 ] 求函数 f(x)=lnx＋ 2x －6 的零点个数就是求方程 lnx ＋ 2x －6=0 的解的个数[ 解析 ] 方法一：易证 f(x)= lnx＋ 2x －6 在定义域(0,)上连续单调递增，又有 f (1) f (4)0，所以函数 f(x)= lnx ＋ 2x－6 只有一个零点。
方法二：求函数 f(x)=lnx ＋2x－ 6 的零点个数即是求方程lnx ＋2x－ 6=0 的解的个数y ln x即求y62x 的交点的个数。
画图可知只有一个。
[ 反思归纳 ]求函数y f ( x)的零点是高考的热点，有两种常用方法：①（代数法）求方程f ( x)0的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y f ( x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。
题型 3：由函数的零点特征确定参数的取值范围[ 例3] (2007 ·广东 ) 已知 a 是实数 , 函数f x2ax22x 3a, 如果函数y f x在区间1,1上有零点，求 a 的取值范围。
[ 解题思路 ] 要求参数 a 的取值范围，就要从函数y f x 在区间1,1 上有零点寻找关于参数 a 的不等式（组），但由于涉及到 a 作为x2的系数，故要对 a 进行讨论[ 解析]若a 0, f ( x)2x 3 ,显然在1,1上没有零点 ,所以a 0.48a 3a8a 224a4, 解得a37令2 a37y f x1,12时,上;①当恰有一个零点在②当f1 f 1a1a50 ，即1 a 5 时，yf x在1,1 上也恰有一个零点。
函数零点的题型总结
函数零点的题型总结例题及解析考点一函数零点存在性定理的应用【例1】已知函数f(x)=(12)x-13x,那么在下列区间中含有函数f(x)零点的是( )(A)(0,13) (B)(13,12)(C)(12,23) (D)(23,1)解析:f(0)=1>0,f(13)=(12)13-(13)13>0,F(12)=(12)12-(12)13<0,f(13)f(12)<0,所以函数f(x)在区间(13,12)内必有零点,选B.【跟踪训练1】已知函数f(x)=2x-log3x,在下列区间中包含f(x)零点的是( )(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4)解析:由题意,函数f(x)=2x-log3x为单调递减函数,且f(2)= 22-log32=1-log32>0,f(3)= 23-log33=-13<0,所以f(2)·f(3)<0,所以函数f(x)=2x-log3x在区间(2,3)上存在零点,故选C.【教师备用巩固训练1】设函数f(x)=ln (x+1)+a(x2-x),若f(x)在区间(0,+∞)上无零点,则实数a的取值范围是( )(A)[0,1] (B)[-1,0](C)[0,2] (D)[-1,1]解析:f(1)=ln 2>0,当a=-1时,f(2)=ln 3-2<0,所以f(x)在(1,2)上至少有一个零点,舍去B,D;当a=2时,f(12)=ln 32-12<0,所以f(x)在(12,1)上至少有一个零点,舍去C.因此选A.考点二函数零点的个数考查角度1:由函数解析式确定零点个数【例2】 (1)函数f(x)=xcos(x2-2x-3)在区间[-1,4]上的零点个数为( )(A)5 (B)4 (C)3 (D)2(2)已知f(x)=2xx +x-2x,则y=f(x)的零点个数是( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析:(1)由题意可知x=0或cos(x2-2x-3)=0,又x∈[-1,4],所以x2-2x-3=(x-1)2-4∈[-4,5],当cos(x2-2x-3)=0时,x2-2x-3=kπ+π2,k ∈Z,在相应的范围内,k只有-1,0,1三个值可取,所以总共有4个零点,故选B.解析:(2)令2xx +x-2x=0,化简得2|x|=2-x2,画出y=2|x|,y=2-x2的图象,由图可知,图象有两个交点,即函数 f(x)有两个零点.故选C.考查角度2:根据函数零点个数确定参数范围 【例3】 (1)已知函数f(x)= 24,1,ln 1,1,x x a x x x ⎧-+⎪⎨+≥⎪⎩＜若方程f(x)=2有两个解,则实数a 的取值范围是( ) (A)(-∞,2) (B)(-∞,2] (C)(-∞,5) (D)(-∞,5] (2)已知函数f(x)= 3,2,1e ,20x xa x x a x x ⎧--≤-⎪⎪+⎨⎪--⎪⎩＜＜恰有3个零点,则实数a 的取值范围为( )(A)(-1e ,-13) (B)(-1e ,-21e) (C)[-23,-21e ) (D)[-23,-13)解析:(1)可知x ≥1时,f(x)=2必有一解,x=e,所以只需x<1时f(x)=2有一解即可,即x 2-4x+a=2有解,设g(x)=x 2-4x+a-2,由于该函数的对称轴为直线x=2,故只需g(1)=-3+a-2<0,即a<5,故实数a 的取值范围是(-∞,5).选C. 解析:(2)-1x x +-3a=-111x x +-+-3a=1x x +-1-3a,在(-∞,-2]上单调递减.若a≥0,则e x -a x在(-2,0)上递增,那么零点个数至多有一个,不符合题意,故a<0.故需f(x)当x ≤-2时,-1-3a>0,a<-13,且121-+-1-3a ≤0,a ≥-23,使得第一段有一个零点,故a ∈[-23,-13).对于第二段,e x -a x=e xx a x -,故需g(x)=xe x -a 在区间(-2,0)有两个零点,g ′(x)=(x+1)e x ,故g(x)在(-2,-1)上递减,在(-1,0)上递增,所以(2)0,(1)0,(0)0,g g g -⎧⎪-⎨⎪⎩＞＜＞解得-22e >a>-1e.综上所述,a ∈(-1e ,-13).故选A.【题组通关】1.若函数f(x)=|2x -4|-a 存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a 的取值范围为( C ) (A)(0,4) (B)(0,+∞)(C)(3,4) (D)(3,+∞)解析:如图,若f(x)=|2x -4|-a 存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a ∈(3,4),故选C.2.已知偶函数f(x)= 4log,04,(8),48,x x f x x ⎧≤⎪⎨-⎪⎩＜＜＜且f(x-8)=f(x),则函数F(x)=f(x)-12x在区间[-2 018,2 018]的零点个数为( A )(A)2 020 (B)2 016 (C)1 010 (D)1 008解析:依题意,当4<x<8时,f(x)=f(8-x)对称轴为直线x=4,由f(x-8)=f(x)可知,函数f(x)的周期T=8. 令F(x)=0,可得f(x)=12x,求函数F(x)=f(x)-12x的零点个数,即求偶函数f(x)与函数y=12x图象交点个数,当0<x<8时,函数f(x)与函数y=12x图象有4个交点,2 018=252×8+2由f(2)=|log 42|=12>212=14知, 当0<x<2时函数f(x)与函数y=12x图象有2个交点.故函数F(x)的零点个数为(252×4+2)×2=2 020, 故选A.3.已知函数f(x)= 31,1,,1,x xx x ⎧≥⎪⎨⎪⎩＜若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同零点,则k 的取值范围是 . 解析:作出f(x)=31,1,,1x xx x ⎧≥⎪⎨⎪⎩＜的函数图象如图所示.方程f(x)=k 有两个不同零点,即y=k 和f(x)= 31,1,1x x x x ⎧≥⎪⎨⎪⎩＜的图象有两个交点,由图可得k 的取值范围是(0,1). 答案:(0,1)【教师备用 巩固训练2】 已知函数f(x)=32233,2,4(56),2,x x x x x x ⎧-+⎪⎨--+≥⎪⎩＜则函数f(f(x))的零点个数为( ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 解析:画出函数的图象,如图所示,令f(x)=t,因为f(f(x))=0则f(t)=0,由图象可知,f(t)=0有四个解,分别为t 1=2,t 2=3,-1<t 3<0,1<t 4<2, 由图象可知,当t 1=2时,f(x)=2有两个根,即函数f(f(x))有2个零点; 由图象可知,当t 2=3时,f(x)=3有一个根,即函数f(f(x))有1个零点;由图象可知,当-1<t 3<0时,f(x)=t 有三个根,即函数f(f(x))有3个零点;由图象可知,当1<t 4<2时,f(x)=t 有两个根,即函数f(f(x))有2个零点;综上所述,函数f(f(x))有8个零点. 考点三 函数零点的性质考查角度1:求零点的代数式的取值或取值范围 【例4】 (1)已知函数f(x)=122log ,022,0,x x x x x ⎧⎪⎨⎪++≤⎩＞函数F(x)=f(x)-b 有四个不同的零点x 1,x 2,x 3,x 4,且满足:x 1<x 2<x 3<x 4,则43x x -2213232x x x x +的取值范围是( )(A)(2,+∞) (B)(174,25716] (C)[2,174) (D)[2,+∞) (2)已知函数f(x)是定义域为R 的偶函数,且满足f(12+x)=f(32-x),当x ∈[-1,0]时,f(x)=-x.若函数F(x)=f(x)+412x x +-,则在区间[-9,10]上的所有零点之和为 . 解析:(1)f(x)=122log ,0,22,0x x x x x ⎧⎪⎨⎪++≤⎩＞=122log ,0,(11,0x x x x ⎧⎪⎨⎪++≤⎩＞）， 由二次函数的对称性可得x 1+x 2=-2,由12log x 3=-12log x 4可得x 3x 4=1,函数F(x)=f(x)-b 有四个不同的零点,等价于y=f(x)的图象与y=b 的图象有四个不同的交点,画出y=f(x)的图象与y=b 的图象,由图可得1<b ≤2,所以1<12log x 3≤2⇒x 3∈[14,12),所以43x x -2123()2x x x +=43x x +23x =231x+23x , 令t=23x ∈[116,14), 所以1t +t ∈(174,25716],故选B. 解析:(2)因为满足f(12+x)=f(32-x), 所以f(x)=f(2-x), 又因函数f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=f(2+x),即f(x)=f(2+x),所以T=2,令F(x)=0,f(x)=421x x +-,即求f(x)与y=421x x +-交点横坐标之和.y=421x x +-=12+9221x -, 作出图象如图所示.由图象可知有10个交点,并且关于(12,12)中心对称, 所以其和为102=5. 答案:(1)B (2)5考查角度2:隐性零点的性质 【例5】已知函数f(x)= ln(1),0,11,0,2x x x x +⎧⎪⎨+≤⎪⎩＞若m<n,且f(m)=f(n),则n-m 的取值范围为( )(A)[3-2ln 2,2) (B)[3-2ln 2,2] (C)[e-1,2) (D)[e-1,2]解析:作出函数f(x)的图象,如图所示,若m<n,且f(m)=f(n),则当ln(x+1)=1时,得x+1=e,即x=e-1, 则满足0<n ≤e-1, -2<m ≤0,则ln(n+1)=12m+1,即m=2ln(n+1)-2,则n-m=n+2-2ln(n+1), 设h(n)=n+2-2ln(n+1),0<n ≤e-1,则h ′(n)=1-21n +=11n n -+, 当h ′(n)>0,解得1<n ≤e-1,当h ′(n)<0,解得0<n<1,当n=1时,函数h(n)取得最小值h(1)=1+2-2ln(1+1)=3-2ln 2,当n=0时,h(0)=2-2ln 1=2;当n=e-1时,h(e-1)=e-1+2-2ln(e-1+1)=e-1<2,所以3-2ln 2≤h(n)<2,即n-m的取值范围是[3-2ln 2,2),故选A.【题组通关】1.已知a>1,方程12e x+x-a=0与ln 2x+x-a=0的根分别为x1,x2,则21x+22x+2x1x2的取值范围为( A ) (A)(1,+∞) (B)(0,+∞)(C)(12,+∞) (D)(12,1)解析:方程12e x+x-a=0的根,即y=12e x与y=a-x图象交点的横坐标,方程ln 2x+x-a=0的根,即y=ln 2x与y=a-x图象交点的横坐标, 而y=12e x与y=ln 2x的图象关于直线y=x对称,如图所示.所以x1+x2=a,所以21x +22x +2x 1x 2=(x 1+x 2)2=a 2,又a>1,所以21x +22x +2x 1x 2>1,故选A2.已知函数f(x)= 42log ,04,1025,4,x x x x x ⎧≤⎪⎨-+⎪⎩＜＞若a,b,c,d 是互不相同的正数,且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则abcd 的取值范围是( A ) (A)(24,25) (B)(18,24) (C)(21,24) (D)(18,25)解析:由题意可知,ab=1,c+d=10,所以abcd=cd=c(10-c),4<c<5,所以取值范围是(24,25),故选A.考点四 函数零点的应用【例6】 (1)已知α,β分别满足α·e α=e 2,β(ln β-2)=e 4,则αβ的值为( )(A)e (B)e 2 (C)e 3 (D)e 4 (2)已知f(x)=9x-t ·3x,g(x)=2121x x -+,若存在实数a,b 同时满足g(a)+g(b)=0和f(a)+f(b)=0,则实数t 的取值范围是 . 解析:(1)因为α·e α=e 2,所以e α=2e α, 因为β(ln β-2)=e 4,所以ln β-2=4e β,所以ln β-ln e 2=4e β,所以ln 2e β=4e β=22e e β. 所以α,2e β分别是方程ex=2e x ,ln x=2e x的根,因为点(α,2e α)与点(2e β,4e β)关于直线y=x 对称, 所以α=4e β,所以αβ=e 4.故选D.解析:(2)因为g(-x)=2121x x ---+=1212xx-+=-2121x x -+=-g(x),所以函数g(x)为奇函数, 又g(a)+g(b)=0,所以a=-b. 所以f(a)+f(b)=f(a)+f(-a)=0有解, 即9a -t ·3a +9-a -t ·3-a =0有解, 即t=9933a a aa--++有解.令m=3a+3-a(m ≥2),则9933a aa a--++=22m m-=m-2m ,因为ϕ(m)=m-2m 在[2,+∞)上单调递增,所以ϕ(m)≥ϕ(2)=1.所以t ≥1.故实数t 的取值范围是[1,+∞). 答案:(1)D 答案:(2)[1,+∞)【跟踪训练2】函数f(x)的定义域为D,若满足:①f(x)在D 内是单调函数;②存在[a,b]⊆D 使得f(x)在[a,b]上的值域为[2a ,2b ],则称函数f(x)为“成功函数”.若函数f(x)=log m (m x +2t)(其中m>0,且m ≠1)是“成功函数”,则实数t 的取值范围为( ) (A)(0,+∞) (B)(-∞,18] (C)[18,14) (D)(0,18] 解析:无论m>1还是0<m<1,f(x)=log m (m x +2t)都是R 上的单调增函数,故应有(),2(),2a f a b f b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则问题可转化为求f(x)=2x ,即f(x)=log m (m x +2t)=2x,即m x+2t=12x m在R上有两个不相等的实数根的问题,令λ=12x m (λ>0),则m x+2t=12x m可化为2t=λ-λ2=-(λ-12)2+14,结合图形可得t∈(0,18].故选D.。
高中数学-函数零点问题及例题解析
高中数学-函数零点问题及例题解析一、函数与方程基本知识点1、函数零点：（变号零点与不变号零点）（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。
（2）方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。
若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。
2、二分法：对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; 二、函数与方程解题技巧零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：（一）函数零点的存在性定理指出：“如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(<b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间（a,b ）内有零点，即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,这个c 也是方程0)(=x f 的根”。
根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如例、函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（ ） （A ）（0，1）； （B ）（1，2）； （C ） （2，e ）； （D ）（3，4）。
分析：显然函数xx x f 2)1ln()(-+=在区间[1,2]上是连续函数，且0)1(<f ,0)2(>f ，所以由根的存在性定理可知，函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B（二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。
函数的零点与方程的解(经典导学案及练习答案详解)
§2.9函数的零点与方程的解学习目标1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．知识梳理1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．2．二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(×)(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(×)(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若b2－4ac<0，则f(x)无零点．(√)教材改编题1．(多选)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x 1234567f(x)－4－2142－1－3在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为()A．(1,2) B．(2,3) C．(5,6) D．(5,7)答案 BCD解析 由所给的函数值表知， f (1)f (2)>0，f (2)f (3)<0，f (5)f (6)<0， f (5)f (7)<0，∴f (x )在区间(2,3)，(5,6)，(5,7)内各至少有一个零点．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0，则f (x )的零点为________．答案 －2，e解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e.3．方程2x ＋x ＝k 在(1,2)内有解，则实数k 的取值范围是________． 答案 (3,6)解析 设f (x )＝2x ＋x ， ∴f (x )在(1,2)上单调递增， 又f (1)＝3，f (2)＝6， ∴3<k <6.题型一 函数零点所在区间的判定例1 (1)(多选)(2022·菏泽质检)函数f (x )＝e x －x －2在下列哪个区间内必有零点( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)答案 AD解析 f (－2)＝1e 2>0，f (－1)＝1e －1<0，f (0)＝－1<0，f (1)＝e －3<0， f (2)＝e 2－4>0，因为f (－2)·f (－1)<0，f (1)·f (2)<0， 所以f (x )在(－2，－1)和(1,2)内存在零点．(2)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )·(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内 答案 A解析 函数y ＝f (x )是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a <b <c ，则a －b <0，a －c <0，b －c <0，因此f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.所以f (a )f (b )<0，f (b )f (c )<0，即f (x )在区间(a ，b )和区间(b ，c )内各有一个零点． 教师备选(2022·湖南雅礼中学月考)设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )( )A ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 答案 D解析 f (x )的定义域为{x |x >0}， f ′(x )＝13－1x ＝x －33x，令f ′(x )>0⇒x >3，f ′(x )<0⇒0<x <3，∴f (x )在(0,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增， 又f ⎝⎛⎭⎫1e ＝13e ＋1>0，f (1)＝13>0， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点．又f (e)＝e3－1<0，∴f (x )在(1，e)内有零点．思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断． 跟踪训练1 (1)(2022·太原模拟)利用二分法求方程log 3x ＝3－x 的近似解，可以取的一个区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)答案 C解析 设f (x )＝log 3x －3＋x ， 当x →0时，f (x )→－∞，f (1)＝－2， 又∵f (2)＝log 32－1<0， f (3)＝log 33－3＋3＝1>0， 故f (2)·f (3)<0，故方程log 3x ＝3－x 在区间(2,3)上有解，即利用二分法求方程log 3x ＝3－x 的近似解，可以取的一个区间是(2,3)．(2)已知2<a <3<b <4，函数y ＝log a x 与y ＝－x ＋b 的交点为(x 0，y 0)，且x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________. 答案 2解析 依题意x 0为方程log a x ＝－x ＋b 的解， 即为函数f (x )＝log a x ＋x －b 的零点， ∵2<a <3<b <4，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 又f (2)＝log a 2＋2－b <0， f (3)＝log a 3＋3－b >0， ∴x 0∈(2,3)，即n ＝2. 题型二 函数零点个数的判定例2 (1)(2022·绍兴模拟)若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，已知函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，e x ，x <0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－6,6]内的零点个数为( )A ．14B ．13C ．12D ．11 答案 C解析 因为f (x ＋1)＝－f (x )，所以函数y ＝f (x )(x ∈R )是周期为2函数， 因为x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，所以作出它的图象，则y ＝f (x )的图象如图所示．(注意拓展它的区间)再作出函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，e x ，x <0的图象，容易得出交点为12个．(2)函数f (x )＝36－x 2·cos x 的零点个数为______． 答案 6解析 令36－x 2≥0，解得－6≤x ≤6， ∴f (x )的定义域为[－6,6]．令f (x )＝0得36－x 2＝0或cos x ＝0， 由36－x 2＝0得x ＝±6， 由cos x ＝0得x ＝π2＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－6,6]，∴x 为－3π2，－π2，π2，3π2.故f (x )共有6个零点． 教师备选函数f (x )＝2x |log 2x |－1的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 答案 C解析 令f (x )＝0，得|log 2x |＝⎝⎛⎭⎫12x ，分别作出y ＝|log 2x |与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象(图略)， 由图可知，y ＝|log 2x |与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象有两个交点，即原函数有2个零点． 思维升华 求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f (x )＝0，方程有多少个解，则f (x )有多少个零点； (2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．跟踪训练2 (1)函数f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，当0≤x <2时f (x )＝x 2－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[－3,3]上与x 轴的交点个数为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案 B解析 令f (x )＝x 2－x ＝0，所以x ＝0或x ＝1，所以f (0)＝0，f (1)＝0， 因为函数的最小正周期为2， 所以f (2)＝0，f (3)＝0，f (－2)＝0，f (－1)＝0，f (－3)＝0.所以函数y ＝f (x )的图象在区间[－3,3]上与x 轴的交点个数为7.(2)(2022·泉州模拟)设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，则关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为( ) A ．3 B ．7 C ．5 D ．6 答案 B解析 根据题意，令2f 2(x )－3f (x )＋1＝0， 得f (x )＝1或f (x )＝12.作出f (x )的简图：由图象可得当f (x )＝1和f (x )＝12时，分别有3个和4个交点，故关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为 7. 题型三 函数零点的应用命题点1 根据函数零点个数求参数例3 (2022·武汉模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋2x |，x ≤0，1x ，x >0，若关于x 的方程f (x )－a (x ＋3)＝0有四个不同的实根，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，4－23) B ．(4＋23，＋∞) C ．[0,4－23] D ．(0,4－23)答案 D解析 画出f (x )的函数图象，设y ＝a (x ＋3)，该直线恒过点(－3,0)， 结合函数图象，若y ＝a (x ＋3)与y ＝－x 2－2x 相切，联立得x 2＋(a ＋2)x ＋3a ＝0， Δ＝(a ＋2)2－12a ＝0， 得a ＝4－23(a ＝4＋23舍)， 若f (x )＝a (x ＋3)有四个不同的实数根， 则0<a <4－2 3.命题点2 根据函数零点范围求参数例4 (2022·北京顺义区模拟)已知函数f (x )＝3x －1＋axx .若存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，43 B.⎝⎛⎭⎫0，43 C ．(－∞，0) D.⎝⎛⎭⎫43，＋∞ 答案 B解析 由f (x )＝3x －1＋ax x ＝0，可得a ＝3x －1x，令g (x )＝3x －1x ，其中x ∈(－∞，－1)，由于存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围即为函数g (x )在(－∞，－1)上的值域．由于函数y ＝3x ，y ＝－1x 在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g (x )在(－∞，－1)上单调递增．当x ∈(－∞，－1)时， g (x )＝3x －1x <3－1＋1＝43，又g (x )＝3x －1x>0，所以函数g (x )在(－∞，－1)上的值域为⎝⎛⎭⎫0，43. 因此实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，43. 教师备选1．函数f (x )＝xx ＋2－kx 2有两个零点，则实数k 的值为________．答案 －1解析 由f (x )＝xx ＋2－kx 2＝x ⎝⎛⎭⎫1x ＋2－kx ，函数f (x )＝x x ＋2－kx 2有两个零点，即函数y ＝1x ＋2－kx 只有一个零点x 0，且x 0≠0.即方程1x ＋2－kx ＝0有且只有一个非零实根．显然k ≠0，即1k＝x 2＋2x 有且只有一个非零实根．即二次函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k 有且只有一个交点(横坐标不为零)．作出二次函数y ＝x 2＋2x 的图象，如图．因为1k ≠0，由图可知，当1k>－1时，函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k 有两个交点，不满足条件．当1k＝－1，即k ＝－1时满足条件． 当1k <－1时，函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k无交点，不满足条件． 2．若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋2m ＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫14，12解析 依题意，结合函数f (x )的图象分析可知，m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，(m －2－m ＋2m ＋1)(2m ＋1)<0，(m －2＋m ＋2m ＋1)·[4(m －2)＋2m ＋2m ＋1]<0， 解得14<m <12.思维升华 已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．跟踪训练3 (1)(多选)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0，e x (x ＋1)，x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 可取的值可能是( ) A ．0 B.13 C.12 D ．1答案 BCD解析 函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有三个不同的交点， 当x ≤0时，f (x )＝(x ＋1)e x ， 则f ′(x )＝e x ＋(x ＋1)e x ＝(x ＋2)e x ，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2,0]上单调递增，且f (－2)＝－1e 2，f (0)＝1，x →－∞时，f (x )→0，从而可得f (x )的图象如图所示，通过图象可知，若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有三个不同的交点，则b ∈(0,1]． (2)已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x ＋m 在区间(1,3]上有零点，则m 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－53，0 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－53∪(0，＋∞) C.⎝⎛⎦⎤－∞，－53∪(0，＋∞) D.⎣⎡⎭⎫－53，0 答案 D解析 由于函数y ＝log 2(x ＋1)，y ＝m －1x 在区间(1,3]上单调递增，所以函数f (x )在(1,3]上单调递增，由于函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x＋m 在区间(1,3]上有零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0，f (3)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m ＋53≥0，解得－53≤m <0.因此，实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－53，0.课时精练1．函数f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2的零点所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案 B解析 由题意知，f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2，f (0)＝－4，f (1)＝－1，f (2)＝7，因为f (x )在R 上连续且在R 上单调递增，所以f (1)·f (2)<0，f (x )在(1,2)内有唯一零点．2．设函数f (x )＝4x 3＋x －8，用二分法求方程4x 3＋x －8＝0近似解的过程中，计算得到f (1)<0，f (3)>0，则方程的近似解落在区间( )A.⎝⎛⎭⎫1，32 B.⎝⎛⎭⎫32，2 C.⎝⎛⎭⎫2，52 D.⎝⎛⎭⎫52，3 答案 A解析 取x 1＝2，因为f (2)＝4×8＋2－8＝26>0，所以方程近似解x 0∈(1,2)，取x 2＝32， 因为f ⎝⎛⎭⎫32＝4×278＋32－8＝7>0， 所以方程近似解x 0∈⎝⎛⎭⎫1，32. 3．(2022·武汉质检)若函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．[2，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫2，52 D.⎣⎡⎭⎫2，103 答案 D解析 由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝⎛⎭⎫12，3上有实数解，即a ＝x ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，3上有解， 设t ＝x ＋1x，x ∈⎝⎛⎭⎫12，3， 则t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103. 所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103. 4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4(x －1)，x >1，－3x －m ，x ≤1存在2个零点，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－3,0)B ．[－1,0)C ．[0,1)D ．[－3，＋∞)答案 A 解析 因为函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增，且f (2)＝0，即f (x )在(1，＋∞)上有一个零点，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4(x －1)，x >1，－3x －m ，x ≤1存在2个零点， 当且仅当f (x )在(－∞，1]上有一个零点，x ≤1时，f (x )＝0⇔m ＝－3x ，即函数y ＝－3x 在(－∞，1]上的图象与直线y ＝m 有一个公共点，而y ＝－3x 在(－∞，1]上单调递减，且有－3≤－3x <0，则当－3≤m <0时，直线y ＝m 和函数y ＝－3x (x ≤1)的图象有一个公共点．5．(2022·重庆质检)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2x ，设0<a <b <c ，且满足f (a )·f (b )·f (c )<0，若实数x 0是方程f (x )＝0的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是( )A ．x 0<aB ．x 0>cC ．x 0<cD ．x 0>b答案 B解析 f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2x 在(0，＋∞)上单调递减，由f (a )·f (b )·f (c )<0， 得f (a )<0，f (b )<0，f (c )<0或f (a )>0，f (b )>0，f (c )<0.∴x 0<a 或b <x 0<c ，故x 0>c 不成立．6．(2022·北京西城区模拟)若偶函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )且x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则方程f (x )＝log 3|x |的根的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．多于4答案 C解析 f (x )＝log 3|x |的解的个数，等价于y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象的交点个数，因为函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，所以周期T ＝2，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且f (x )为偶函数，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象，如图所示．显然函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象有4个交点．7．(多选)函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 的交点个数可能是( )A ．1B ．2C ．4D ．6答案 ABC解析 由题意知，f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈(π，2π]， 在坐标系中画出函数f (x )的图象如图所示．由其图象知，直线y ＝k 与y ＝f (x )的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.8．(多选)(2022·南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f (x )，存在一个点x 0，使得f (x 0)＝x 0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是( )A ．f (x )＝2x ＋xB ．g (x )＝x 2－x －3C ．f (x )＝12x ＋1D ．f (x )＝|log 2x |－1答案 BCD解析 选项A ，若f (x 0)＝x 0，则02x ＝0，该方程无解，故A 中函数不是“不动点”函数；选项B ，若g (x 0)＝x 0，则x 20－2x 0－3＝0，解得x 0＝3或x 0＝－1，故B 中函数是“不动点”函数；选项C ，若f (x 0)＝x 0，则120x ＋1＝x 0，可得x 20－3x 0＋1＝0，且x 0≥1，解得x 0＝3＋52，故C 中函数是“不动点”函数； 选项D ，若f (x 0)＝x 0，则|log 2x 0|－1＝x 0，即|log 2x 0|＝x 0＋1，作出y ＝|log 2x |与y ＝x ＋1的函数图象，如图，由图可知，方程|log 2x |＝x ＋1有实数根x 0，即|log 2x 0|＝x 0＋1，故D 中函数是“不动点”函数．9．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 是奇函数，且有三个不同的零点，写出一个符合条件的函数：f (x )＝________.答案 x 3－x (答案不唯一)解析 f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 为奇函数，故a ＝c ＝0，f (x )＝x 3＋bx ＝x (x 2＋b )有三个不同零点，∴b <0，∴f (x )＝x 3－x 满足题意．10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，若函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．答案 (1,2)解析 画出函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象，如图所示，注意当x ＝－1时，f (－1)＝－1＋2＋1＝2，f (0)＝1，∵函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，∴函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象有3个交点，由图象可得m 的取值范围为1<m <2.11．(2022·枣庄模拟)已知函数f (x )＝|ln x |，若函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0，e 2]上有三个零点，则实数a 的取值范围是______________．答案 ⎣⎡⎭⎫2e 2，1e 解析 ∵函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0，e 2]上有三个零点，∴y ＝f (x )的图象与直线y ＝ax 在区间(0，e 2]上有三个交点，由函数y ＝f (x )与y ＝ax 的图象可知，k 1＝2－0e 2－0＝2e2， f (x )＝ln x (x ＞1)，f ′(x )＝1x， 设切点坐标为(t ，ln t )，则ln t －0t －0＝1t ， 解得t ＝e.∴k 2＝1e. 则直线y ＝ax 的斜率a ∈⎣⎡⎭⎫2e 2，1e .12．(2022·济南质检)若x 1是方程x e x ＝1的解，x 2是方程x ln x ＝1的解，则x 1x 2＝________. 答案 1解析 x 1，x 2分别是函数y ＝e x ，函数y ＝ln x 与函数y ＝1x的图象的交点A ，B 的横坐标，所以A ⎝⎛⎭⎫x 1，1x 1，B ⎝⎛⎭⎫x 2，1x 2两点关于y ＝x 对称，因此x 1x 2＝1.13．已知函数f (x )＝2x ＋x －1，g (x )＝log 2x ＋x －1，h (x )＝x 3＋x －1的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小为( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．c >a >bD ．a >c >b答案 B解析 令f (x )＝0，则2x ＋x －1＝0，得x ＝0，即a ＝0，令g (x )＝0，则log 2x ＋x －1＝0，得x ＝1，即b ＝1，因为函数h (x )＝x 3＋x －1在R 上为增函数，且h (0)＝－1<0，h (1)＝1>0，所以h (x )在区间(0,1)上存在唯一零点c ，且c ∈(0,1)，综上，b >c >a .14．(2022·厦门模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))的所有零点之和为________．答案 12 解析 当x ≤0时，x ＋1＝0，x ＝－1，由f (x )＝－1，可得x ＋1＝－1或log 2x ＝－1，∴x ＝－2或x ＝12；当x >0时，log 2x ＝0，x ＝1，由f (x )＝1，可得x ＋1＝1或log 2x ＝1，∴x ＝0或x ＝2；∴函数y ＝f (f (x ))的所有零点为－2，12，0,2，∴所有零点的和为－2＋12＋0＋2＝12.15．若关于x 的方程|x |x ＋4＝kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为() A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫14，1C.⎝⎛⎭⎫14，＋∞ D ．(1，＋∞)答案 C解析 因为|x |x ＋4＝kx 2有四个实数解，显然，x ＝0是方程的一个解，下面只考虑x ≠0时有三个实数解即可．若x >0，原方程等价于1＝kx (x ＋4)，显然k ≠0，则1k ＝x (x ＋4)．要使该方程有解，必须k >0，则1k ＋4＝(x ＋2)2，此时x >0，方程有且必有一解；所以当x <0时必须有两解，当x <0时，原方程等价于－1＝kx (x ＋4)，即－1k＝x (x ＋4)(x <0且x ≠－4)，要使该方程有两解， 必须－4<－1k<0， 所以k >14. 所以实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫14，＋∞. 16．已知M ＝{α|f (α)＝0}，N ＝{β|g (β)＝0}，若存在α∈M ，β∈N ，使得|α－β|<n ，则称函数f (x )与g (x )互为“n 度零点函数”．若f (x )＝32－x －1与g (x )＝x 2－a e x 互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎦⎤1e ，4e 2解析 由题意可知f (2)＝0，且f (x )在R 上单调递减，所以函数f (x )只有一个零点2，由|2－β|<1，得1<β<3，所以函数g (x )＝x 2－a e x 在区间(1,3)上存在零点．由g (x )＝x 2－a e x ＝0，得a ＝x 2e x . 令h (x )＝x 2e x ，则h ′(x )＝2x －x 2e x ＝x (2－x )e x，所以h (x )在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减，且h (1)＝1e ，h (2)＝4e 2，h (3)＝9e 3>1e，要使函数g (x )在区间(1,3)上存在零点，只需a ∈⎝⎛⎦⎤1e ，4e 2.。
高考数学-函数零点问题及例题解析
1函数零点问题及例题解析一、函数与方程基本知识点1、函数零点：（变号零点与不变号零点）（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。
（2）方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。
若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。
2、二分法：二分法：对于在区间对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二的零点所在的区间一分为二,,使区间的两个端点逐步逼近零点使区间的两个端点逐步逼近零点,,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法值的方法叫做二分法; ;二、函数与方程解题技巧零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：（一）函数零点的存在性定理指出：“如果函数)(x f y =在区间在区间[a,b][a,b][a,b]上的图象是连续不断的一上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(<b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间（在区间（a,b a,b a,b）内有零点，即存在）内有零点，即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,这个c 也是方程0)(=x f 的根”。
根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）（或方程在某个区间上是否有根）（或方程在某个区间上是否有根）时，时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如分不必要条件：如例、函数x x x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（的零点所在的大致区间是（） （A ）（0，1）； （B ）（1，2）； （C ） （2，e ）； （D ）（3，4）。
函数的零点与解析式问题及例题解析
函数的零点与解析式问题及例题解析引言函数的零点和解析式问题是数学中常见的重要概念。
本文将介绍函数的零点和解析式问题的基本概念，以及通过例题解析来帮助读者理解和应用这些概念。
函数的零点函数的零点指的是函数取值为零的点。
具体而言，对于一个函数f(x)，如果存在一个实数a，使得f(a)=0，则a称为函数f的零点。
函数的零点在数学和实际问题中具有重要的意义。
一个函数可以有多个零点，也可以没有零点。
通过求解函数的零点可以帮助我们揭示函数的性质和解决实际问题。
常见的求解函数零点的方法包括零点定理、代数方法和数值方法。
解析式问题解析式问题是指通过已知的解析式来分析函数的性质和求解特定问题。
解析式是描述函数的一种抽象表达形式，通常使用符号和变量表示。
通过对解析式进行数学推导和计算可以得到函数的各种性质，例如函数的导数、极值点等。
解析式问题的求解通常需要运用数学方法和技巧，包括代数运算、函数性质的研究和推理、微积分等。
解析式问题在数学建模、物理学、工程学等领域具有广泛的应用，可以解决实际问题并提供深入的数学分析。
例题解析下面通过一些例题来具体说明函数的零点和解析式问题的应用。
例题1：已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求函数f的零点。
解答：要求函数f的零点，即求解方程x^2 - 4x + 3 = 0的解。
通过因式分解或使用求根公式，可以得到方程的两个解为x=1和x=3。
因此，函数f的零点为1和3。
例题2：已知函数f(x) = sin(x)，求函数f的极值点。
解答：要求函数f的极值点，即找到函数f取得最大值和最小值的点。
对于函数f(x) = sin(x)，我们知道sin(x)的最大值为1，最小值为-1。
因此函数f的极值点为x=kπ，其中k为整数。
通过以上例题的解析，我们可以看到函数的零点和解析式问题与数学的相关概念和方法紧密相连，对于理解函数的性质和解决实际问题具有重要意义。
总结通过本文的介绍，我们了解了函数的零点和解析式问题的基本概念。
高中数学-函数的零点问题及例题分析
高中数学-函数的零点问题及例题分析1. 引言函数是数学中一个非常重要的概念，它在数学和实际问题中发挥着重要的作用。
函数的零点问题是函数中一个常见且重要的问题，它与方程的解有着紧密的联系。
本文将介绍函数的零点问题，并通过一些例题分析来加深理解。
2. 函数的定义与性质回顾函数是一个将一个集合的元素映射到另一个集合的元素的规则。
函数通常用符号表示，如$f(x)$，其中$x$是自变量，$f(x)$是对应的函数值。
函数的零点指的是函数取零值的点，即满足$f(x)=0$的$x$值。
函数的零点问题与方程的解问题紧密相关。
对于一元函数，函数的零点就是方程$f(x)=0$的解。
因此，解方程可以转化为求函数的零点。
函数的零点可以通过图像、图表或数值计算等方法来确定。
下面将通过几个例题来进一步分析。
3. 例题分析3.1 例题一已知函数$f(x)=2x^2-3x+1$，求函数$f(x)$的零点。
解析：要求函数$f(x)$的零点，即求解方程$2x^2-3x+1=0$。
我们可以使用配方法、求根公式或因式分解等方法来解这个二次方程，最终可以得到$x=1$和$x=\frac{1}{2}$两个解。
3.2 例题二已知函数$g(x)=\sqrt{x+3}-2$，求函数$g(x)$的零点。
解析：要求函数$g(x)$的零点，即求解方程$\sqrt{x+3}-2=0$。
为了消除平方根，我们可以将方程两边平方，得到$x+3=4$，然后解得$x=1$。
因此，函数$g(x)$的零点为$x=1$。
3.3 例题三已知函数$h(x)=\frac{1}{x-2}$，求函数$h(x)$的零点。
解析：函数$h(x)$在$x=2$处不存在定义，因此不存在零点。
4. 总结本文介绍了函数的零点问题及其与方程的解之间的联系。
函数的零点是函数取零值的点，可以通过解相应的方程来求得。
通过例题分析，我们进一步了解了求函数零点的具体方法。
在实际问题中，函数的零点问题有时对于确定某个变量的取值非常重要，因此对于函数的零点问题的理解和掌握是非常有益的。
函数的零点与方程的解(基础知识+基本题型)(含解析)
4.5.1函数的零点与方程的解（基础知识+基本题型）知识点一 函数的零点1.函数零点的概念对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点.2.函数零点与方程的根之间的关系方程()0f x =有零点⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.由此可知，求()0f x =的实数根，就是确定函数()y f x =的零点，一般地，对于不能用公式求根的方程()0f x =来说，我们可以将它与函数()y f x =联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根. 提示：（1）并不是所有的函数都有零点，如函数1()f x x=就没有零点. （2）方程不同实数根的个数⇔函数图象与x 轴交点的个数⇔函数零点的个数.（3）函数的零点不是点：我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点，因此，函数的零点不是点，是函数()y f x =的图象与x 轴交点的横坐标，即零点是一个实数.当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零.知识点二 函数零点存在性定理1. 零点存在性定理如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是一条连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也是方程()0f x =的根.2. 零点存在性定理的适用条件（1）判断零点是否存在是存在闭区间[,]a b 上进行的.（2）函数()y f x =在[,]a b 上的图象应是连续无间断的一条曲线.（3）()()0f a f b ⋅<是关键条件，即两端点的函数值必须异号.（4）如果函数()y f x =在两端点处的函数值(),()f a f b 异号，则函数()y f x =的图象至少穿过x 轴一次，即方程()0f x =在区间(,)a b 内至少有一个实根c .3. 零点存在性定理的使用范围（1）此定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数。
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函数与方程考纲解读 1.求常见函数的零点；2.判断基本初等函数零点所在区间；3.判断二次函数零点个数及分布；4.根据函数零点与方程根的关系求参数范围；5.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．[基础梳理]1．函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y ＝f (x )，把使f (x )＝0的实数x 叫作函数y ＝f (x )的零点． (2)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系(x 0)，(x 0)(x 0) 无交点 1．函数f (x )＝lg x ＋x －3的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案：B2．函数f (x )＝e x －1＋4x －4的零点所在区间为( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2,3)答案：B3．函数f (x )＝ln x －2x 的零点所在的大致范围是( )A ．(1,2)B ．(2,3) C.⎝⎛⎭⎫1e ，1和(3,4) D ．(4，＋∞) 答案：B4．用二分法求f (x )＝2x ＋3x －7的零点的近似解，若第一次零点区间为(1,2)，则第二次的零点区间为________．答案：(1,1.5)5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)函数y ＝x 2＋1x 的零点为__________．答案：－1[考点例题]考点一 判定函数零点区间|方法突破[例1] (1)函数f (x )＝2x ＋ln 1x －1的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(1,2)与(2,3)[解析] f (x )＝2x ＋ln 1x －1＝2x －ln(x －1)，当1＜x ＜2时，ln(x －1)＜0，2x ＞0，所以f (x )＞0，故函数f (x )在(1,2)上没有零点．f (2)＝1－ln 1＝1，f (3)＝23－ln 2＝2－3ln 23＝2－ln 83.∵8＝22≈2.828＞e ，∴8＞e 2，即ln 8＞2，即f (3)＜0.又f (4)＝12－ln 3＜0，∴f (x )在(2，3)内存在一个零点．[答案] B(2)已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝log 3x ＋x ，h (x )＝x －1x的零点依次为a ，b ，c ，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c[解析] 在同一坐标系下分别画出函数y ＝2x ，y ＝log 3x ，y ＝－1x的图象，如图，观察它们与y ＝－x 的交点可知a <b <c .[答案] A判断函数零点所在区间的方法法 断对应函数值的正负； 图象法画出函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断容易画出函数的图象[方法提升][跟踪训练]1．设f (x )＝e x ＋x －4，则函数f (x )的零点位于区间( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2)D ．(2,3)解析：f (x )＝e x ＋x －4单调递增，仅有一个零点，又f (1)＝e －3＜0，f (2)＝e 2－2＞0， 故函数f (x )的零点位于区间(1,2)．故选C. 答案：C2．(2018·西安五校联考)函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x 的图象交点的横坐标所在区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析： 在同一个坐标系中，分别作出y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x 的图象如图，y ＝1x 过点P (1,1)，当x ＝1时，ln 2＜1，y ＝1x 过点⎝⎛⎭⎫2，12，当x ＝2时，ln 3＞1.设y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x 的交点为Q (x Q ，y Q )，则1＜x Q＜2.答案：B考点二 函数的零点个数|方法突破[例2] (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f [f (x )]＋1的零点的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1(2)(2018·郑州质检)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x | x ≤2(x －2)2 x >2的零点个数为__________．[解析] (1)(直接法)由f [f (x )]＋1＝0得f [f (x )]＝－1，由f (－2)＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－1得f (x )＝－2或f (x )＝12. 若f (x )＝－2，则x ＝－3或x ＝14；若f (x )＝12，则x ＝－12或x ＝ 2.综上可得函数y ＝f [f (x )]＋1的零点的个数是4，故选A.(2)(转化法)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－cos x ＝0的零点个数为⎝⎛⎭⎫12x ＝cos x 的根的个数，即函数h (x )＝⎝⎛⎭⎫12x与g (x )＝cos x 的图象的交点个数．如图所示，在区间[0,2π]上交点个数为3，故选C.(3)(图象法)作函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x | (x ≤2)(x －2)2 (x >2)的图象如图所示，可以看出图象与x 轴有且只有2个交点．故函数零点个数为2. [答案] (1)A (2)C (3)2 [方法提升]函数零点个数的判断方法方法 解读适合题型 直接法 令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点基本初等函数图象法画出函数f (x )的图象，函数f (x )的图象与x 轴的交点个数即为函数f (x )的零点个数 分段函数、绝对值函数转化法将函数f (x )拆成两个常见函数h (x )和g (x )的差，从而f (x )＝0⇔h (x )－g (x )＝0⇔h (x )＝g (x )，则函数f (x )的零点个数即为函数y ＝h (x )与函数y ＝g (x )的图象的交点个数复杂函数[母题变式]1．将本例(1)改为已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0.下列是关于函数y ＝f [f (x )]＋1的零点个数的四个判断：①当k >0时，有3个零点；②当k <0时，有2个零点；③当k >0时，有4个零点；④当k <0时，有1个零点．则正确的是( )A ．①④B ．②③C ．①②D ．③④解析： (图象法)令f [f (x )]＋1＝0，得f [f (x )]＝－1.当k >0时，在平面直角坐标系下画出函数f (x )的大致图象及直线y ＝－1，注意到直线y ＝－1与函数f (x )的图象有2个交点，设其横坐标分别是t 1，t 2，则t 1<0,0<t 2<1；再画出直线y ＝t 1与y ＝t 2，结合图象可知，直线y ＝t 1与函数f (x )的图象有2个不同的交点，直线y ＝t 2与函数f (x )的图象有2个不同的交点，因此此时函数y ＝f [f (x )]＋1有4个零点．同理，当k <0时，函数y ＝f [f (x )]＋1有1个零点，结合各选项知，选D.答案：D2．将本例(1)改为求f (x )的零点个数． 解析：函数f (x )的图象如图所示，由图象知，函数f (x )有2个零点．3．将本例(2)改为求函数f (x )＝2x －cos x 在(－π，0) 上的零点个数． 解析：令y 1＝2x ，y 2＝cos x . 如图所示：x ∈(－π，0)，两个图象只有一个交点， 即函数f (x )只有一个零点．考点三 函数零点的应用|模型突破角度1 已知函数零点或方程根的个数求参数[例3] (2018·宁德模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋3，x ≥0，⎝⎛⎭⎫12x ，x <0，若方程f (f (x ))－2＝0恰有三个实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．[1,3] C.⎝⎛⎦⎤－1，－13 D.⎣⎡⎦⎤－1，－13 [解析] ∵f (f (x ))－2＝0，∴f (f (x ))＝2， ∴f (x )＝－1或f (x )＝－1k(k ≠0)．(1)当k ＝0时，作出f (x )的函数图象如图所示：由图象可知f (x )＝－1无解，∴k ＝0不符合题意； (2)当k >0时，作出f (x )的函数图象如图所示：由图象可知f (x )＝－1无解且f (x )＝－1k 无解，即f (f (x ))－2＝0无解，不符合题意；(3)当k <0时，作出f (x )的函数图象如图所示：由图象可知f (x )＝－1有1个实根， ∵f (f (x ))－2＝0有3个实根， ∴f (x )＝－1k 有2个实根，∴1<－1k ≤3，解得－1<k ≤－13.综上，k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－1，－13.故选C. [答案] C [模型解法]角度2 已知函数在某区间上有零点求参数[例4] (1)(2018·安庆模拟)函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．[2，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫2，52 D.⎣⎡⎭⎫2，103 (2)(2018·南阳模拟)设函数f (x )＝log 2(2x ＋1)，g (x )＝log 2(2x －1)，若关于x 的函数F (x )＝g (x )－f (x )－m 在[1,2]上有零点，求m 的取值范围．[解析] (1)由x 2－ax ＋1＝0得a ＝x ＋1x ，其中x ∈⎝⎛⎭⎫12，3. ∵函数y ＝x ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，1上为减函数，在(1,3)为增函数， ∴y min ＝2，y max ＝103. ∴a ∈⎣⎡⎭⎫2，103. (2)令F (x )＝0， 即g (x )－f (x )－m ＝0. 所以m ＝g (x )－f (x ) ＝log 2(2x －1)－log 2(2x ＋1) ＝log 22x －12x ＋1＝log 2⎝⎛⎭⎫1－22x ＋1. 因为1≤x ≤2，所以3≤2x ＋1≤5.所以25≤22x ＋1≤23，13≤1－22x ＋1≤35.所以log 213≤log 2⎝⎛⎭⎫1－22x ＋1≤log 235，即log 213≤m ≤log 235.所以m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤log 213，log 235. [答案] (1)D[模型解法][高考类题]1．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12B.13 C.12D ．1解析：由f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)，得f (2－x )＝(2－x )2－2(2－x )＋a [e 2－x －1＋e－(2－x )＋1]＝x 2－4x ＋4－4＋2x ＋a (e 1－x ＋e x －1)＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)，所以f (2－x )＝f (x )，即x ＝1为f (x )图象的对称轴．由题意，f (x )有唯一零点，所以f (x )的零点只能为x ＝1，即f (1)＝12－2×1＋a (e 1－1＋e－1＋1)＝0，解得a ＝12.故选C.答案：C2．(2017·高考山东卷)已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[23，＋∞)B ．(0,1]∪[3，＋∞)C ．(0，2]∪[23，＋∞)D ．(0，2]∪[3，＋∞)解析：①当0<m ≤1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝(mx －1)2与y ＝x ＋m 的图象，如图．易知此时两函数图象在x ∈[0,1]上有且只有一个交点；②当m >1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝(mx －1)2与y ＝x ＋m 的图象，如图．要满足题意，则(m －1)2≥1＋m ，解得m ≥3或m ≤0(舍去)，∴m ≥3. 综上，正实数m 的取值范围为(0,1]∪[3，＋∞)． 答案：B[真题感悟]1.[考点二](2015·高考安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln xD ．y ＝x 2＋1解析：y ＝cos x 是偶函数，且存在零点；y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 既不是奇函数又不是偶函数；y ＝x 2＋1是偶函数，但不存在零点．故选A.答案：A2.[考点一](2014·高考北京卷)已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)解析：因为f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－log 24＝－12<0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2,4)，故选C.答案：C3.[考点三](2014·高考山东卷)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1,2)D ．(2，＋∞)解析： 在同一坐标系中分别画出函数f (x )，g (x )的图象如图所示，方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y ＝kx 的斜率大于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线y ＝x －1的斜率时符合题意，故12<k <1.答案：B4.[考点三](2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x >2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R .若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫74，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－∞，74 C.⎝⎛⎭⎫0，74 D.⎝⎛⎭⎫74，2解析：函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，即方程f (x )－g (x )＝0，即b ＝f (x )＋f (2－x )有4个不同的实数根，即直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点．又y ＝f (x )＋f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <02，0≤x ≤2x 2－5x ＋8，x >2，作出该函数的图象如图所示，由图可得，当74<b <2时，直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点，故函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点时，b 的取值范围是⎝⎛⎭⎫74，2.答案：D5.[考点二](2015·高考湖北卷)函数f (x )＝4cos 2x2cos ⎝⎛⎭⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为__________．解析： 因为f (x )＝4cos 2x2cos ⎝⎛⎭⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2(1＋cosx)·sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋1)|，所以函数f(x)的零点个数为函数y＝sin 2x与y ＝|ln(x＋1)|图象的交点的个数．函数y＝sin 2x与y＝|ln(x＋1)|的图象如图所示，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f(x)有2个零点．答案：2。